准蒙特卡罗期权定价简介

2022-6-1 03:18:49

准蒙特卡罗期权简介*准蒙特卡罗（QMC）方法的主要实际应用之一是金融衍生品的估值。我们的目的是简要介绍期权定价，并展示如何使用QMC促进期权定价。我们给出了一些实际的例子进行说明。1概述金融数学，尤其是期权定价，已成为准蒙特卡罗（QMC）方法的主要应用之一。QMC是指高维积分在单位cubeI=Z[0,1]df（x）dx上的数值逼近，采用确定性等权积分规则，即isI≈NN型-1Xk=0f（xk），对于适当选择的点集x，xN公司-1.∈ [0，1]d.在第二节中，我们简要介绍了期权定价理论。主要目的是解释为什么可以写期权价格（大约！）作为高维积分。我们给出了几个研究人员经常使用的例子，作为他们定价方法的基准。*作者得到了奥地利科学基金（FWF）项目F5508-N26的支持，该项目是特别研究项目“准蒙特卡罗方法：理论与应用”的一部分。在第3节中，我们首先讨论了模拟的一些一般性，如非均匀随机变量的生成。我们给出了为什么acceptancerejection算法通常不能很好地与QMC配合使用的一些理由。我们给出了布朗运动和L'evy过程的基本性质，并说明了如何从均匀或正规输入变量生成近似路径。一个特殊的相位是用于路径生成的正交变换。我们提到了多层次蒙特卡罗的重要主题，并用期权定价的一些具体例子进行了总结。本文并不试图做一个全面的调查。

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2022-6-1 03:18:52

这里有许多问题和解决方案没有提及，但也同样重要。仅提及一个主题：对于障碍期权，当使用离散布朗路径的最大值作为连续时间路径的近似值时，离散化偏差非常大，因此导致不切实际的高维。因此，必须找到从离散化节点或类似节点之间的最大路径进行采样的方法，从而使用比理解此处所述基本方法所需的更多涉及概率理论。这篇文章也不够全面，因为它忽略了一个重要的问题：为什么这些方法适用于金融问题？大多数QMCdoes理论不适用于期权定价中出现的各种函数。这些函数通常表现良好，因为它们是分段对数线性的，但它们是非常高维的，它们通常没有边界或有边界变化，也不位于许多加权Korobov或Sobolevspace中，对于这些加权Korobov或Sobolevspace，积分已被证明是可处理的。尽管如此，本文中描述的方法在实践中得到了广泛的应用，而且看起来效果不错。充分解释为什么他们会给出这些好的结果将是一个巨大的成就，需要积极的研究。2金融数学基础2.1债券、股票和衍生品由于金融数学（主要）是关于金融工具的估值，我们现在简要概述其中最基本的内容债券是一种金融工具，在未来的预定日期向其所有者支付固定金额的资金。债券的发行人通常是大公司或ZF。所有者实际上成为了作者的编辑。如果债务人的质量很高，债券可以建模为确定性付款。

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kedemingshi

2022-6-1 03:18:55

债券通常以低于其支付价格的价格出售，从而支付利息A股是一种金融工具，保证其持有人拥有公司的股份。特别是，股东因股息支付而参与营业收入。然而，股息支付并不是a股收入的唯一可能来源。至少同样重要的是价格变化带来的收益。在不利的情况下，价格变化可能会导致亏损。如果一家公司的股票在证券交易所交易，那么买卖它们就特别简单，高频交易者可以每秒多次买卖大量股票。股票价值取决于一系列参数，如个人代理人的偏好、公司资产、未来股息支付和未来利率。所谓的有效市场假说假设，股票在特定时间的价值就是当时的市场价格。在这种假设下，在数学模型中计算股票的客观价值并将其与市场价格进行比较是没有意义的。计算出的股票价值与市场价格不同的唯一方式是，我们的偏好和/或预期与市场主体的偏好和/或预期不同，从而给出一个主观价格未定权益是一种金融工具，其在未来日期的价值可以完全用其他金融工具及其基础的价格来描述。一个典型的例子是股票期权。到期日为T的欧洲股票看涨期权是一种合同，赋予持有人权利（但不是义务）在未来某个固定时间T，按照先前约定的价格，从期权编写人处购买一股股票。

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可人4

2022-6-1 03:18:58

用ST表示T时的股票价格。由于期权持有人可以在证券交易所立即出售股票，T时的期权价值为ST-如果ST>K，则为K；如果ST>K，则为0≤ K、图1左侧显示了欧洲看涨期权的支付，该支付取决于到期时的股票价格。一个重要特征是履约价格K的扭结。在图1的右侧，我们绘制了欧洲认沽期权的支付。这是一种期权，其持有人有权（但不是特权）在未来的某个固定时间T，以先前商定的价格K向期权制定人出售一股股票。如果股价满足≥ K在时间T时，则期权无效。但如果ST<K，期权持有人可以在证券交易所以固定价格购买股票，然后立即以K的价格将其出售给作者，从而实现K的收益- 在图2中，我们显示了另一个或有债权的支付，即所谓的数字资产或无认购权。如果当时标的物的价格高于重击K，则该期权在到期时支付固定金额的现金。我们还绘制了相应看跌期权的支付图。数字期权是不连续支付的未定权益的一个例子。图1：欧洲看涨期权和看跌期权的支付图2：数字现金或无任何看涨期权和看跌期权的支付图由于期权的价值与基础期权的价值密切相关，在简单模型中完全由模型的参数决定，因此可以在这些模型中使用套利参数计算期权的客观价值。2.2套利和无套利原则为您提供股票期权。你知道期权的具体情况，因此，鉴于股票在特定时间的不确定价值，你知道期权到期时的不确定收益。

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2022-6-1 03:19:01

人们试图使用统计方法从历史股票价格中估计时间T的股票价格分布，并更进一步估计期权的价值，作为其在估计分布下的预期价值。我们将在本节中说明，从更基本的角度来看，这种合理的计划通常会产生一个不合理的价格，因为它允许风险较小的利润。虽然一般套利理论远远超出了本文的范围，但基本原则可以很快说明。对于一般理论见[5]。假设以下简单的市场模型，其中我们只有两次0和1，以及三种工具，一种债券、一种股票和一种欧洲看涨期权，其期限K=1，到期日T=1。设B=（Bt）t∈{0,1}，S=（St）t∈{0,1}，C=（Ct）t∈{0,1}分别表示债券、股票、期权的价格过程，并假设以下参数：B>0，B=B（1+r），r≥ 0，S>0，S=Su，概率p，S=Sd，概率1- p、其中，0<d<1+r<u。时间1的选项值为最大值（S- K、 0），因此C=最大值（Su-K、 0），概率p和C=最大值（Sd-K、 0）概率为1- p、假设我们知道，例如，从统计研究中，p的值。那么我们很容易得出结论，在时间0时，期权的价格是^C=BBE（max（S-K、 0））=1+r（p最大值（Su-K、 0）+（1-p）最大值（Sd-K、 0））。然而，这个公式在一般情况下不可能成立。假设r=0，u=2，d=，S=K=1，p=，上述公式给出了^C=。然后我们可以做以下事情：在时间0时，写出4份期权，以2欧元的价格出售，再借入1欧元购买3股股票。请注意，netinvestment为零。现在等到时间1。如果股价上涨，这些股票价值6英镑。我们卖掉它们可以得到6欧元的现金。

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2022-6-1 03:19:05

由于股价ST（2）大于罢工K（1），期权将被执行，花费我们4欧元，我们必须偿还1欧元。因此，我们的战略给我们留下了1欧元的净利润。如果股价下跌，期权就会变得一文不值，我们就会卖掉这些股票，从而在偿还1欧元后，给我们留下大约欧元。因此，无论发生什么，我们都会得到积极的回报，而不会承担任何风险。这种情况被称为套利机会，并且由于明显的原因，通常假设这种机会在viablemarket中不存在。可以很容易地证明，在这个模型中，只有一个价格不允许套利，namelyC=1+rp*最大值（Su- K、 0）+（1- p*) 最大值（Sd- K、 0）,其中p*=1+r-杜邦-d、 p的显著特征*是1+r（p*Su+（1-p*)Sd）=S，也就是说，股票价格过程是关于这个新概率的鞅。对此，我们没有给出确切的定义。直观地说，鞅是一个过程X，因此Xt+s的条件期望等于Xt。因此，鞅是一个公平博弈中参与者的收益过程的模型。2.3 Black-Scholes模型上一节中的简单模型可以扩展到n步设置。人们倾向于让n进入单位，以获得连续时间模型。事实上，这可以用严格的方式来完成，这样我们就可以得到一个形式为bt=Bexp（rt）St=Sexp（ut+σWt），（1）的模型，其中W是布朗运动，即具有特定性质的连续时间随机过程。布朗运动的精确数学定义将在第3.2.1节中给出。与一步模型一样，存在概率测度P*, 等于原始度量值P，因此t 7→ B-1stt变成鞅。

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2022-6-1 03:19:08

在这个新的概率度量下=Sexp（r）-σ） t+σW*t型,其中W*t=重量+r-u-σσ是P下的布朗运动*.这种新的概率度量现在被用于该模型中的衍生品定价：如果C是某个欧洲未定权益，即支付时间T是St的函数的衍生品，0≤ t型≤ T，则其在时间0的无套利价格由C=E给出*（B）-1 CT），（2）其中E*表示对P的期望*. 当Ct仅取决于若干Stj时，j=1，那么（2）中的期望可以写为一个m维积分，这就是QMC进入游戏的地方。第3.2节将对此进行详细说明。在我们的连续时间模型中，我们假设期权可以在到期之前的任何时间进行交易。为此，（2）isB的时间t模拟-1tCt=E*（B）-1 Ct），（3）或Ct=BtE*（B）-1TCT）。由于其简单性，Black-Scholes模型并没有为我们提供许多有趣的模拟示例。解决棘手问题的一个步骤是研究m维Black-Scholes模型。考虑m股，其价格过程由jt=Sjexpujt+kXl=1σjlWlt给出！其中W，wk是k独立的布朗运动，σ=（σjl）jlisa m×k矩阵。在这个模型中，概率测度的存在性和唯一性都不是-rtSjt）0≤t型≤Ta鞅被授予。事实上，每个解ν∈ 线性系统的Rmofσν=r1-u -diag（σ∑>）产生了这样一个度量（1是rm中的向量，所有条目都等于1）。如果存在这样的解决方案，那么价格过程的形式为sjt=sjep（r-（σσ>）jj）t+kXl=1σjlWlt！，式中，W，在新测度下，wk是k独立的布朗运动。备注2.1。

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2022-6-1 03:19:11

只有当我们限制为有限的时间间隔[0，T]，T<∞.从（最优）投资组合选择的角度来看，这些模型很有趣，但它们也通过衍生品定价为我们提供了实际的高维集成问题。重要的例子是篮子期权，这是一种衍生品，其收益取决于几只股票的价格过程。一个价格为S的股票篮子期权支付的例子，SdisCT=最大值wST+…+wrd1SdT- K、 0个,对于某些重量w，wd。2.4 SDE模型在金融数学的许多模型中，股价过程没有明确给出，而是通过随机微分方程（简称SDE）来描述。例如，与基本Black-Scholes模型相对应的SDE isdSt=uStdt+σStdWtS=s。该SDE的a.s.唯一解的初始值为sist=sexp（ut+σWt-σt），这样，对于^u=u+σ，我们可以从（1）中恢复价格过程。这是随机分析中著名的It^o公式的结果。简言之，Ite^o公式表明，对于函数f，其中Cin为第一个变量，Cin为第二个变量，我们有df（t，Wt）=ft（t，Wt）dt+fW（t，Wt）dWt+fW（t，Wt）dt。更一般地说，模型可以通过m+一维SDEdSt=u（t，St）dt+σ（t，St）dWtS=s来定义。（4）其中s=（s，…，Sm）是m+一维随机过程，s=（s，…，Sm）∈ Rm+1。假设一个坐标是可以用作数字的资产的价格，因为它从不为0。

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2022-6-1 03:19:13

在这个通用模型中，并非所有组件都需要对应于股价，甚至根本不需要对应于价格。例如，考虑所谓的Heston模型（已经采用了一个等效的鞅度量）：dBt=rBtdtdSt=rStdt+pVtSt（ρdWt+p1- ρdWt）dVt=κ（θ- Vt）dt+ξpVtdWt（B，S，V）=（B，S，V）。这里，r，κ，θ，ξ是正常数，u是实常数，和-1<ρ<1是相关系数。我们流程的第三个组成部分V是所谓的股价波动，它不是一种可交易资产。值得一提的是，尽管SDE没有明确的解决方案，但在使用拉普拉斯反演的赫斯顿模型中，欧式看涨期权的价格有一个半精确公式。我们不关心SDEs理论，因为这显然超出了本文的范围。从（准）蒙特卡洛的观点来看，人们最感兴趣的是知道，在SDE系数的适当正则性要求下，存在唯一的解，并且在更强的条件下，该解可以近似。设St为时间T时SDE的解，并设^sn为时间网格0=T<T<…<上计算的St的近似值tN=T，线性度δ=max1≤k≤N（tk-tk公司-1). 我们说，如果E（| ST），则^sn收敛到具有γ级的强感觉-^SN |）=O（Δγ）。有时，计算属于某类C的函数f的解（f（ST））的某些特征就足够了。这个问题与数值格式的弱收敛概念有关。例如，参见[15，第9.7章]。其好处是，近似格式的弱阶通常高于同一格式的强阶。最直接的求解方法是Euler-Maruyama方法：给定（4），我们计算时间节点0，h，…，上的近似解^S，nh=T过孔=SbSk+1=bSk+u（kh，bSk）h+σ（kh，bSk）周+1。

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2022-6-1 03:19:16

（5）根据布朗运动的定义，W（k+1）h-这是一个期望值为0且协方差矩阵为的正态随机向量√h1Rm+1。因此，（5）通常以^Sk+1=^Sk+u（kh，^Sk）h+σ（kh，^Sk）的形式表示√hZk+1，（6）其中Z，Z。是标准法向量的序列。然而，当使用拟蒙特卡罗时，我们更喜欢原始形式。在SDE系数函数u、σ的适当正则条件下（第二变量为Lipschitz，第一变量为次线性增长，充分光滑），Euler-Maruyama格式在强意义上以阶收敛，在弱意义上以阶1收敛，因此，对于充分正则f，E（f（^Snh））是E（f（ST）的一个适当近似，对于su ficientlysmall h，正则性条件和证明的讨论见【15】。我们报告了另外两种数值求解自治SDE的方案，它们在适当的条件下，系数在强意义下以1阶收敛。第一种是Milstein方案，^Sk+1=^Sk+u（^Sk）h+σ（^Sk）Wk+1+σ（^Sk）σ（^Sk）(周+1- h），（7）其中周+1：=W（k+1）小时-其中σ是σ的导数。第二个是龙格-库塔方案的一个例子，其优点是不需要反激励：^Sk+1=^Sk+u（^Sk）h+σ（^Sk）Wk+1+（σ（Yk）-σ（^Sk））(周+1-h） h类-, （8）其中，支持值Yk由Yk=^Sk+σ（^Sk）h给出。实际中可能出现的问题是，模拟路径可以离开定义域，而精确解则不能。例如，近似股票价格和/或波动过程可能变为负值。有关Heston模型蒙特卡罗模拟的彻底处理，请参见[15]和[1]。2.5 L'evy模型L'evy过程是布朗运动的推广。第3.3节将给出数学定义。这些过程对于财务建模来说很有趣，因为它们允许跳跃。

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2022-6-1 03:19:19

与高斯模型（即基于布朗运动的模型）类似，它们有两种形式。有明确的模型，其中股票价格是指数L'evy运动：St=exp（Lt），其中L是一个L'evy过程，E（exp（Lt））<∞r、或者，股票价格也可以由SDE给出，即dSt=f（t，St-)dLt。如果可以从L的增量中采样，那么Euler-Maruyamascheme仍然允许我们模拟解S的离散近似，^Sk+1=^Sk+f（kh，^Sk）（L（k+1）h- Lkh）。从期权定价的角度来看，重要的是市场是无风险的。也就是说，我们需要找到一个等效的概率度量，这样可交易资产的贴现价格就是鞅。这通常是通过所谓的Esscher变换来实现的，这是一种度量的变化，在这种变化下，过程L再次是一个L'evy过程，参见示例【4，第9.5章】。2.6示例我们用一些示例来总结这篇非常简短的金融数学简介。具有价格过程（St）t的股票的欧式看涨期权≥0且有罢工和到期日，T的支付效果=最大（ST- K、 0）。因此，定价方程（2）给出了Black-Scholes模型中t asC=e时的期权价格-rTE公司*（最大值（ST- K、 0））。SinceST=Sexp（r）-σ） T+σW*T,自（r-σ） T+σW*这是一个N（0，σT）随机变量，我们得到c=e-rTZ公司∞-∞最大值（性别- K、 0）e-（十）-（r）-σ） T）2σT√2πσTdx=e-rTZ公司∞日志（KS）（性别- K） e类-（十）-（r）-σ） T）2σT√2πσTdx。积分实际上可以计算，其值由著名的Black-Scholes期权定价公式C=SΦ（d）给出- e-rTKΦ（d），（9），其中Φ（x）=Rx-∞e-x个√2πdx和d=logSK+（r+σ）Tσ√Tand d=logSK+（r-σ） Tσ√T、（10）在这种情况下，我们得到了一个封闭式公式，无需应用模拟技术。0的价格≤ t型≤ T可以从方程（9）和（10）中简单地通过替换（T）得到- t）对于t。

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kedemingshi

2022-6-1 03:19:22

另一类通常存在封闭公式的示例是障碍和回望期权，其中支付取决于给定区间内价格的最大值或最小值。我们接着看一个更难的例子：在价格过程（St）t的股票上书写的亚洲期权的支付∈[0，T]取决于某一区间的平均价格[T，T]，T<T，其中T是期权的到期日。固定行使亚洲看涨期权的收益由C fi fix=maxT给出- TZTTSτdτ- K、 0！，浮动罢工亚洲看涨期权的支付由C fl tT=maxT给出- TZTTSτdτ- ST，0！。到目前为止，还没有人找到任何一种亚式期权的明确公式，但有相当有效的方法使用偏微分方程来计算价值，参见示例【21】。然而，这个例子是simulationmethods的一个很好的基准。对于多支股票的一揽子期权，偏微分方程方法变得很难处理。在这里，我们必须使用模拟。一个可能的示例Payoff ismaxm（ST+…+SmT）- K、 0个,但在实践中可能会遇到对价格过程更复杂的依赖。特别是，支付可能取决于价格过程的时间平均值。那么这个选项也有一些亚洲的特点。3蒙特卡罗和准蒙特卡罗模拟3.1非均匀随机数生成实际模型中遇到的大多数随机变量不是均匀分布的。因此，我们对从均匀分布中生成具有给定分布的伪随机数或准随机数的方法感兴趣。最直接的方法是所谓的反演方法，将在第一小节中介绍。我们还将介绍一类接受-拒绝方法，这些方法可以伪造具有给定分布的随机数。

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2022-6-1 03:19:25

我们还将指出，这些方法虽然通常对蒙特卡罗最有效，但不适用于准蒙特卡罗。3.1.1反演方法从均匀伪随机数构造非均匀伪随机数最直接的方法是反演方法。我们只在特殊情况下介绍这种方法。考虑一个具有双射累积分布函数（CDF）F的实随机变量X，即F:R-→ （0，1），F（x）=P（x≤ x）对于所有x∈ R是这样的，存在G：（0，1）-→ 对于所有x，R的G（F（x））=x∈ R和F（G（u））=所有u的u∈ (0, 1).现在假设随机变量U均匀分布在（0，1）上，并定义一个实随机变量Y：=G（U）。那么Y有相同的分布X。要看到这个，让Y∈ R、然后（Y≤ y） =P（G（U）≤ y） =PF（G（U））≤ F（y）= P（U≤ F（y））=F（y）。所以F也是Y的分布函数。累积分布函数可逆的一个有效条件是，它在R.3.1.2接受-拒绝方法中具有正概率密度函数（PDF），对CDF进行数值反演在计算上可能会很昂贵。生成具有规定概率密度函数f的随机变量的一种非常通用且廉价的替代方法是接受-拒绝法。对于其实现，我们需要另一个便宜的分布，例如通过反演方法进行采样。设g为该分布的概率密度函数。此外，我们需要它，对于一些c>0，f（x）≤ cg（x）代表allx∈ R、算法如下：算法3.1。1、根据密度g和均匀随机变量U.2生成样本Y。

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2022-6-1 03:19:28

如果U≤f（Y）cg（Y），设置X=Y，否则返回步骤1。不难证明算法确实给出了一个具有所需分布的随机变量，并且证明c应该尽可能小，这样算法只需几步就可以停止。3.1.3 Box-Muller方法和Marsaglia-Bray算法回顾了正态（或高斯）随机变量的定义：定义3.2。如果随机变量X具有概率密度函数fx（X），则其正态分布的均值u和方差σ>0=√2πσexp-（十）- u)2σ.更一般地，随机向量X=（X，…，Xd）称为正态分布，平均u∈ 如果具有联合概率密度函数fx（x）=p（2π）ddet（∑）exp，则Rd和协方差矩阵∑>0-（十）- u)>Σ-1（x- u).这里，∑>0意味着∑必须是正定义，即x>所有x的∑x>0∈ Rd \\{0}。考虑一个二维标准法向量（X，Y）。P（pX+Y≤ r） =Zr-rZ公司√r-y-√r-yexp是的(-（x+y）/2）/√2πdx dy=ZrZ2πρexp(-ρ/2）/（2π）dДdρ=1- 经验值(-r/2）。因此，（X，Y）的模量具有分布函数FR（r）=1- 经验值(-r/2）。但这意味着我们可以通过FR，F的反演来生成一个随机半径-1R（u）=p-2日志（1- u）算法3.3。1、生成两个独立的U[0，1）随机样本U，V；2、设R=p-2日志（1- U）；设X=R cos（2πV），Y=R sin（2πV）。备注3.4。在算法3.3中，我们可以让R=p-2个对数（U）。但许多伪随机数生成器的实现都给出了非常低但仍然为正的概率0，而从不给出1。所以有1个- Uas对数的参数稍微节省一些。Box-Muller方法有一种接受-拒绝类型的变体，称为Marsaglia-Bray算法：算法3.5（Marsaglia-Bray）。1、生成两个独立的U[0，1）随机样本U，V；2、设U=2U- 1和V=2V- 1.3、如果U+V≥ 1拒绝（U、V）并从头开始；4.

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kedemingshi

2022-6-1 03:19:31

否则S=U+V；5、如果S=0，则设置（X，Y）=（0，0）；6、else设置X=向上-2个对数/秒，Y=Vp-2个日志。我们把（X，Y）是独立标准正态变量的证明留给读者。3.1.4重要性采样对于某些密度，很难（如果不是不可能的话）精确反转CDF，而且通常在数字上这样做非常昂贵。另一方面，并不总是需要从给定的分布中精确地生成样本，而是从与之接近的分布中（在某种意义上仍有待精确）生成一个样本，并根据所产生的错误进行调整。这种方法被称为重要性抽样，或者在当前上下文中称为平滑拒绝。我们在一维环境中提出这个想法，一般情况很简单。考虑一个带有PDF FX的随机变量X，假设我们要计算某个函数h的E（h（X））。让FX表示相应的CDF，FX（X）=Rx-∞fX（ξ）dξ。通常，我们会计算（h（X））≈NNXn=1h（F-1X（Un））使用反演方法，其中U，UNis是均匀伪随机序列或低差异序列。假设现在我们不知道如何（廉价地）反转外汇。此外，假设还有另一个PDF g，其中g，g（x）=Rx-∞g（ξ）dξ容易倒置。ThenE（h（X））=Z∞-∞h（x）fX（x）dx=Z∞-∞h（x）fX（x）g（x）g（x）dx=Eh（Y）fX（Y）g（Y）,其中，Y是一个随机变量，具有PDF g。现在，可以通过使用反演方法从密度h中采样来计算最后的期望值。Eh（Y）fX（Y）g（Y）≈NNXn=1gH-1（联合国）fX（H-1（Un））g（H-1（Un））备注3.6。当使用蒙特卡罗法时，也可以使用拒识法从densityh中取样。重要性抽样的目标是减少被积函数的方差以加快收敛速度。参见示例【9】。备注3.7。

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2022-6-1 03:19:33

重要抽样对于arandom向量的抽样特别有用，因为arandom向量的分量具有复杂的相关结构。3.1.5为什么不使用准蒙特卡罗拒绝算法？Lowe已经提到，使用准蒙特卡罗拒绝算法是不合适的。这并不一定意味着这样做会导致糟糕的结果。但是，结果将比蒙特卡罗法更昂贵，并且比没有拒绝的QMC法更不准确。但首先考虑蒙特卡罗模拟。通常我们会得到一个伪随机数生成器，它会给我们一个序列（Un）n≥[0，1]中的数字，理想情况下，这些数字与[0，1]上均匀分布的独立随机变量的真正随机序列无法区分。从序列（Un）n≥1我们现在计算序列（Xn）n≥1具有给定分布的独立随机变量，例如使用拒绝算法。当原始序列遵守概率定律时，转换序列也会遵守概率定律。如果平均来说，一个接近原始序列1的分数β被拒绝了，这不会造成太大的伤害。对于准蒙特卡罗，情况截然不同。如果我们有一个低偏差序列（un）n≥1在s维单位立方体中，我们对每个组件应用一个映射算法，然后我们必须决定如果一个组件被拒绝，该怎么办。我们是否拒绝整个要点，即所有组件？我们还能做什么？无论我们做什么，我们都会放松序列的低差异结构。我们提供了一个简单的示例。设f为γ分布的概率密度函数，参数a，f（x）=xa-1exp(-x） /Γ（a）并设g为参数b的指数分布的密度，g（x）=b exp(-bx）。如果a=1.2，b=0.85，则f（x）≤ b-1g（x）。

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2022-6-1 03:19:36

我们将拒绝算法应用于维度4中的一些晶格规则，即前两个分量用于生成第一个Gamma变量，而后两个分量用于生成第二个Gamma变量。如果在生成任一组件时发生拒收，则整个四维样本将被拒收。结果序列（xn）n≥将具有两个独立的Γ（1.2）变量的分布，因此将相应的CDF应用于给定序列（un）的组件≥1在单位平方中是均匀的。然而，没有理由说它应该有任何额外的结构，比如低离散度是（t，4）-序列。图3比较了（un）n≥1使用原始晶格的第一个和第三个组件。当然，晶格中的点数必须大于绘制的点数，这样我们可以在两个图中显示相等的点数。可以看出，虽然左侧的点与晶格仍有一些相似之处，但它们显示了随机数的一些典型特征，即它们显示了簇和孔的存在。3.1.6当仍然不使用蒙特卡罗拒绝法时，接受-拒绝法的另一个问题是，它有时会使蒙特卡罗模拟结果对模型参数的依赖性变得不太平滑。很明显，真实蒙特卡罗模拟的结果是通过定义随机的。如果要寻找使计算的积分最小化（函数）的模型参数，那么这有一个平行缺点0.20.40.60.81.00.20.40.60.81.00.20.40.60.81.00.20.40.60.81.00.20.40.60.81.0图3：拒绝的晶格点与原始晶格点的比较，例如牛顿方法无法使用。在实践中，通常需要确定蒙特卡罗模拟的随机序列，即为每组参数重新启动随机生成器。

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2022-6-1 03:19:39

在这个意义上，蒙特卡罗方法变得更接近QMC，因为点集现在是确定性的。然而，如果接受-拒绝用于生成随机变量，那么作为模型参数函数的积分仍然可能有噪声。以下艺术示例摘自【6】。示例3.8。允许Xλii=1，。。。，nbe一个i.i.d.伽马（λ，1）随机变量序列，Sλ=Pni=1Xλi。进一步f（S）：=S-(R)λ·n。我们想要近似α（λ）=Ef（Sλ）对于λ，λ的不同值，通过估计器^αN（λ）=NNXj=1f（Sλj）∈ (λ - ,λ + ). 有两种情况：1。我们使用蒙特卡罗方法和以合适的指数分布为主导函数的接受-拒绝。对于λ的每一个选择，都会重新启动伪数生成器，因此实际上我们对每个积分求值都使用相同的序列。其原因是，否则^α（λ）本身将是随机的。2、我们使用低偏差准蒙特卡罗序列（此处为Sobolsequence）和逆变换方法。我们为n=5，n=1024，(R)λ=2和 = 0.2，其中λ以0.001的步长变化。在图4中可以看到相当多的噪声，而在图5中，图形非常平滑。例如，如果想要最小化α（λ），平滑度很重要。一个应用是根据市场数据校准财务模型。1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2-1.5-1.-0.500.511.5λ^αN（λ）图4：采用固定蒙特卡罗点集的验收-拒收方法1.8 1.85 1.9 1.95 2 2 2.05 2.1 2.15 2.2-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81λ^αN（λ）图5：具有准蒙特卡罗点集的逆变换方法3.2布朗路径的生成从金融和物理角度来看，许多问题都包含由布朗运动建模的现象。

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2022-6-1 03:19:42

在本节中，我们给出了基本定义，并描述了从布朗运动中采样的一些方法。3.2.1布朗运动——定义和性质定义3.9。RDI中的标准布朗运动B是一个连续时间的随机过程，定义在某个概率空间上(Ohm, ∑，P），具有以下性质：1。B=0几乎可以肯定；2.B具有固定增量，即对于任何s，t≥ 0随机变量Bt+s- Bt和Bs具有相同的分布；3.B具有独立增量，即对于任何n∈ N和任何t，田纳西州∈[0, ∞) t：=0<t<t<…<tn，随机变量Bt-英国电信，Btn公司- Btn公司-1独立；4.qtbt是每t的标准正态Rd值随机变量≥ 0;B有连续的路径，即对于每个ω∈ Ohm 映射t 7-→ Bt（ω）是连续的。对于应用程序，我们通常只需要计算有限多个节点t，…，的布朗路径，td。因此，我们定义了离散化为0<t<…<TDA为具有均值零和协方差矩阵的高斯向量（Bt，…，Btd）最小值（tj，tk）dj，k=1=ttt。tttt。tttt。t、。。。。。。。。。。。。。。。ttt。td公司.3.2.2经典构造离散布朗路径有三种经典构造：o正向方法，也称为分步法或分段法o布朗桥构造或L'evy Ciesielski构造o主成分分析构造（PCA构造）正向方法也是最简单的方法：给定标准法向量X=（X，…，Xd），离散布朗路径由BT归纳计算=√tX，Btk+1=Btk+ptk+1- TXK+1。利用E（XjXk）=δjk，很容易看出（Bt，…，Btd）具有所需的相关矩阵。

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2022-6-1 03:19:45

forwardmethod除了简单之外，主要的吸引力在于它非常有效：假设√tk+1- tkare预先计算，生成路径只需生成法向量加上d乘和d- 1新增内容。另一种结构是布朗桥结构，它允许值Bt，BTD按任意给定顺序计算。使这成为可能的主要观察结果是下面的引理，其证明留给读者。引理3.10。设B为布朗运动，r<s<t。则B的条件分布给定Br，Btis N（u，σ），u=t- st公司- 苏格兰皇家银行+苏格兰皇家银行- rt公司- rBtandσ=（t- s）（s）- r） t型- r、假设（Bt，…，Btd）的元素应按Btπ（1），Btπ（2），…，的顺序计算，Btπ（d）表示d元素的某些置换π。在计算btπ（j）时，我们需要考虑之前计算的元素，其中两个元素是相关的，左边π（j）旁边的元素和右边π（j）旁边的元素：定义每个j∈ {1，…，n}两组，L（j）：={k:k<π（j）和π-1（k）<j}R（j）：={k:k>π（j）和π-1（k）<j}。因此，L包含所有小于π（j）的指数k，并且已经为其构造了btkha，R包含所有大于π（j）的指数k，并且已经为其构造了btkha。现在定义（j）：=如果Lj=最大Ljif Lj6=r（j）：=∞ 如果Rj=最小Rjif Rj6=设置Bt=0，Btπ（j）：=Btl（j）+ptπ（j）- tl（j）Xjif r（j）=∞tr（j）-tπ（j）tr（j）-tl（j）Btl（j）+tπ（j）-tl（j）tr（j）-tl（j）Btr（j）+q（tπ（j）-tl（j））（tr（j）-tπ（j））tr（j）-tl（j）Xjif r（j）<∞,其中X=（X，…，Xd）是标准正态随机向量。很容易检查以这种方式构造的向量（Bt，…，Btd）是否再次具有协方差矩阵（min（tj，tk））j，k。

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2022-6-1 03:19:47

函数l和r以及Btl（j）、Btr（j）、Zj的因子不依赖于随机向量X，因此可以预先计算它们。在某些特殊情况下，可以显式计算函数l和r，例如，如果π（tj）是vander-Corput序列或α=1的{kα}序列的前n个元素+√, 见【16】。因此，布朗桥构造也非常有效：除了向量X的生成，一个样本的计算最多使用2d加法和3D乘法。此外，我们还看到，正构式是布朗桥构式的一个特例，其中π是相同的置换。PCA构造利用了（Bt，…，Btd）的相关矩阵为正定义的事实，因此可以以V DV的形式写入-1对于具有正项的对角矩阵D和正交矩阵V。D可以写成D=DD，其中Dis是D的元素正平方根。现在，标准正态随机向量X的PCA构造由（Bt，…，Btd）>=V DX给出。对于高维问题，主成分分析的缺点是矩阵向量乘法的计算复杂度为O（d），成本相对较高。Keiner和Waterhouse【14】描述了一种近似的PCA，其矩阵向量乘法的代价为O（d log d）。3.2.3远期建设有什么问题？我们已经提供了三种不同的布朗路径构造，其中一种是独立的，因为它显然是最简单的一种。那么，为什么不在每个应用程序中使用forward结构呢？答案是，理论预测，如果维度很大，并且集成节点的数量是现实的顺序，那么QMC的集成误差很大，就像几百万个节点一样。

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2022-6-1 03:19:50

但人们可能希望，如果只有有限数量的输入参数对结果具有重要意义，那么qmcm的行为可能与低维积分问题非常相似。图6显示了输入参数对整个离散路径的影响。我们比较了左侧的正向结构和右侧的布朗桥结构。在上两个图中，除第一个输入变量外，其余所有变量均保持不变。我们发现，对于布朗桥结构，第一个变量对路径总体行为（非正式意义上）的影响更大。在两个较低的图中，除第7个输入变量外，其余所有变量均保持不变。我们发现，在正向构造中，只有第七个节点后的路径值受到影响，但总体影响仅略小于第一个变量的影响。相比之下，第七个变量对Brownianbridge结构的影响仅限于第三季度，远远小于第一个变量。上述“行为像一个低维问题”的概念在[3]中用有效维的概念进行了精确表述。但必须补充的是，尽管效果维度的概念很受欢迎，但它并不能完全解释替代结构的成功。有大量的作者研究了这个问题，目前这一问题在很大程度上仍未解决-15-10-5-15-10-5-15-10-5-15-10-5图6：用正向结构（左）和布朗桥结构（右）构造的布朗运动路径。除一个参数外，所有参数均已固定。回答标题中提出的问题：正向构造没有错，但对于某些类别的问题，其他构造的错误更低，至少在经验上是如此。

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2022-6-1 03:19:53

对于其他问题，正向构造可能很明确，例如，由于【19】的原因，这也是第3.5.3.2.4节等间距离散化节点中的一个示例。在这种情况下，等间距的tjare具有特殊意义，很快就会变得明显。在这种情况下，协方差矩阵等于dmin（j，k）dj，k=1=d1 1 1 . . . 11 2 2 . . . 21 2 3 . . . 3.1 2 3 . . . d.我们将用∑（d）表示该矩阵，如果没有混淆的危险，则用∑表示该矩阵。注意，我们可以很容易地计算∑的Cholesky分解：∑（d）=SS>，其中S=S（d）：=√d1 0 0 . . . 01 1 0 . . . 01 1 1 . . . 0...............1 1 1 . . . 1..请注意，如果y=（y，…，yd）是Rd中的向量，则Sy是累计总和y除以√d、 Sy=√d（y，y+y，…，y+…+yd）。我们有以下两个简单的引理：引理3.11。设A为AA>=的任意d×d矩阵，X为标准法向量。那么B=AX是一条离散布朗路径，具有离散化d，d，d-1d，1。证据因为每个独立正态随机变量的线性组合仍然是正态的，所以AX是正态的。我们计算协方差矩阵：E（（AX）j（AX）k）=EdXl=1AjlXldXm=1AkmXm=dXl=1dXm=1AjlAkmE（XlXm）=dXl=1AjlAkl=（AA>）jk=∑jk。引理3.12。设A为AA>=的任意d×d矩阵。然后是A=SV的直角d×d矩阵V。相反，对于每个正交d×d矩阵V，SV（SV）>=∑。证据假设AA>=∑，这样AA>=SS>。请注意，S是可逆的，定义V=S-1A。ThenV V>=S-1AA>（S-1） >=S-1SS>（S-1） >=idRd，表示V正交。反之，对于正交V，我们有V>=V-对于等距离散化节点，通常可以显式给出与经典矩阵对应的正交矩阵。

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2022-6-1 03:19:56

与正向方法相对应的正交变换是Rd上的相同映射。对于d=2k，与布朗桥结构相对应的正交变换，其中B按顺序B、B、B、B、B、B、B、。，Is由Haar逆变换给出，参见[18]。对于PCA，Scheicher给出了正交变换，并且证明了计算复杂度为O（d log（d）），参见【22】。引理3.12中表示A的优点是，有许多正交矩阵允许快速矩阵向量乘法，也就是说，可以使用O（d log（d））运算计算长度为d的路径。示例包括沃尔什变换、离散正弦/余弦变换、希尔伯特变换等。再次参见[18]。回到非均匀空间离散化节点的一般情况，请注意以下几点：假设节点0<t<…<td。我们可以使用我们最喜欢的正交变换计算等距路径（Bd，…，Bd），然后计算▄B=√d√待定，√t型- t（Bd- Bd），ptd公司- td公司-1（Bdd- Bd公司-1d）.那么▄B是离散化为0<t<…<的离散布朗路径td。3.3生成列维路径定义3.13。RDI中的L'evy过程L是一个连续时间的随机过程，定义在某个概率空间上(Ohm, F、 P）具有以下特性：1。L=0几乎可以肯定；2、L具有固定增量，即对于任何s，t≥ 0，随机变量Ls+t- Lt和Ls具有相同的分布；3、L有独立的增量，即对于任何n∈ N和任何t，田纳西州∈[0, ∞) t：=0<t<t<…<tn，随机变量Lt-Lt，Ltn公司- Ltn公司-1独立；4、L在概率上是连续的，即对于所有t≥ 0和c>0，limh→0P（| Lt+h- Lt |>c）=0。在不丧失一般性的情况下，也可以要求（见[20，第I.4章，理论30]）5。

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2022-6-1 03:19:59

L有c\'adl\'ag路径，也就是说，对于每个ω∈ Ohm 映射t 7-→ Lt（ω）是右连续的，从左边开始有限制。我们将集中讨论离散路径，因此讨论属性4。和5。对我们的目的来说，这些都不重要。从上面得出的一个性质是，L'evy过程已经完全以L的分布为特征。Poisson过程提供了例子，其中Lhas Poisson分布和Brownian运动，其中L~ N（0，1）。L'evy-Kintchineformula（见[20，第I.4章，定理43]）指出，对于任何L'evy过程，都有数字b，σ∈ R和R{0}上的度量ν，R | x |<1xν（dx）<∞使得由φLt（u）=E（exp（iuLt））=exp（tψ（u））和ψ（u）=ibu给出的Ltis的特征函数-σu+Z | x|≥1（exp（iux）-1） ν（dx）+Z | x |<1（exp（iux））-1.-iux）ν（dx）。因此，Lt的分布（以及增量Lt+s- Lt）可通过傅立叶反演计算。对于某些分布，如正态分布、泊松分布和伽马分布，可以明确给出增量的密度。实际上，在给定的节点集0<t<…<td：让F-1t表示Lt的分布函数的倒数。设U，Udbe独立U（0，1）随机变量。定义：=F-1t（U）Ltk：=Ltk-1+F-1千吨-tk公司-1（英国）。也就是说，forward方法立即起作用。

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2022-6-1 03:20:02

除特殊情况外，其他结构对L'evy过程没有直接的推广，对于L<m<r，可以计算给定L，L的条件分布。其中一个例子是Gamma过程，即L'evy过程，其中L的Gamma分布具有参数（tγ，λ），γ，λ∈ （0，∞), 即P（Lt≤ z） =Zxxγ-1λγΓ（γ）exp(-x/λ）dx，其中在[2]中显示，对于该过程以及方差伽马过程，可以进行桥梁施工，方差伽马过程是形式7的L'evy过程→ WLt，其中L是伽马过程，W是布朗运动。然而，有一个简单的技巧，首先在[17]中用于布朗桥，然后在[11]中单独用于一般正交变换，它恢复了这些变换的一些定性特征：我们可以重写离散L'evy路径的正向构造asLt：=F-1t（Φ（Y））Ltk：=Ltk-1+F-1千吨-tk公司-1（Φ（Yk）），其中Y，Y是独立的标准正态变量，Φ是标准正态CDF。现在使用正交变换的原因很简单，Ydare由输入变量X、…、，Xdby与正交矩阵相乘，即Y=V X。图7说明了该方法对离散正态逆高斯（NIG）L'evy路径构造的影响。右侧的图显示了第7个输入变量的影响。与图6中相应的布朗运动示例相比，我们发现这种影响的局部化程度较低，但它仍然是第七个变量，主要影响区间上路径的行为[，]。请注意，这些图有点误导，因为它们在离散化点之间线性插值，因此看起来像连续函数。实际上，NIG过程的路径（概率为1）在每个非空开放区间内的若干跳跃内不连续。

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2022-6-1 03:20:05

例如，如果要计算某个集合中路径的首次进入时间的某些特征，请务必记住这一点，例如障碍选项-0.4-0.20.20.4-0.15-0.10-0.050.050.100.15图7：用布朗桥正交变换构造的NIG过程路径。左图：除第一个变量外，所有变量都保持不变。右图：除第7个变量外，其余变量均保持不变。为了简单起见，这里从NIG分布中对增量进行了采样。一般来说，对于t 6=1，从LTT中采样需要傅立叶逆变换。3.4多层（准）蒙特卡罗多层蒙特卡罗是一种加速蒙特卡罗模拟的技术，尤其是SDE模型。从贾尔斯（8）和海因里希（10）的开创性工作开始，它在过去几年中获得了很多认可。我们简要介绍一下这种方法。假设我们想要近似E（Y），对于某个具有有限期望的随机变量Y。进一步假设我们有一系列有效的正则函数f`:Rd`→ R使Lim`→∞E（f`（X`）=E（Y），（11），其中每个`≥ 0，X`表示d`-维标准法向量。在大多数情况下，f`将是在具有d`离散化节点的布朗路径上定义的函数的离散版本，通常d`=2`。固定行使亚洲期权提供了一个标准示例，其payofff（B）：=maxTZTSexpσ√T Bt/T+（r-σ） t型dt，K！，其中，B是标准布朗运动，Sis是时间0时的股价，K是期权的行使，σ是波动率，r是利率。B将由形式为SV\'X\'的离散路径近似，其中，例如，V\'是对应于d`=2 `-维PCA的正交变换。等式。（11）指出存在一系列以更高精度逼近E（Y）的算法。

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