期权定价序贯蒙特卡罗方法的一些贡献

2022-5-25 13:52:19

DEBORSHEE SEN，AJAY JASRA&YAN Zhou，新加坡国立大学统计与应用概率系，117546，SG，对期权定价顺序蒙特卡罗方法的一些贡献。电子邮件：deborshee。sen@u.nus.edu；staja@nus.edu.sg；stazhou@nus.edu.sgAbstractPricing期权是金融工程中的一个重要问题。在许多实际利益的情况下，与标的资产相关的金融期权价格降低到计算预期值W。r、 t.分化过程。一般来说，这些期望值无法通过分析计算得出，估计这些量的一种方法是通过蒙特卡罗方法；至少从20世纪70年代起，蒙特卡罗方法就被用于定价期权。从[9，16]中可以看出，顺序蒙特卡罗（SMC）方法是在这种情况下应用的自然工具，可以大大改进标准蒙特卡罗方法。在这篇文章中，本着与[9，16]相似的精神，我们表明，通过构建一系列随时间变化的艺术目标密度，使用SMCmethods可以获得显著的收益。特别是，我们使用一系列加权函数来近似SMC算法中的最优重要性抽样分布。这在障碍期权和目标应计赎回票据（TARN）两个示例中得到了证明。我们还提供了SMC估计无偏的证明。关键词：差异；序贯蒙特卡罗；Option PricingAMS科目分类：Primary 91G60；辅助65C05。AcknowlementsAj得到新加坡教育部学术研究基金一级拨款（R-155-000156-112）的支持，并与新加坡国立大学的RMI和CQF合作。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:23

YZ得到新加坡教育部学术研究基金二级拨款（R-155-000-143-112）的支持。1简介基本（或普通）期权是一种金融产品，为期权持有人提供在期权到期日或之前以固定价格购买或出售特定数量标的资产的权利。今天有许多更复杂的选项（称为奇异选项）在使用；这些问题往往更具实际意义，也更难处理。在许多具有实际意义的场景中，正如我们在本文中所述，基础资产的价值可以通过一个差异化过程来描述；在完全市场中，期权的价值可以表示为在风险中性概率下的预期，即潜在差异过程路径的函数。一般来说，这些期望值无法进行分析计算。蒙特卡罗（MC）方法是用于近似这些数量的标准方法，自[3]以来，它已广泛用于期权定价。随后，应用了各种各样的蒙特卡罗方法（【14】提供了全面的介绍）。相对于其他数值方法，蒙特卡罗方法在期权定价中的重要性在于其处理高维积分的能力。这要么在期权的时间参数（路径依赖）中，要么在基础维度（一篮子期权）中，更普遍的是在这两者中。然而，期权定价文献中指出，标准蒙特卡罗估计值可能会受到高可变性的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:26

从[9、16、17]中可以看出，在许多实际感兴趣的情况下，顺序蒙特卡罗（SMC）方法可以大大优于更标准的蒙特卡罗技术。序贯蒙特卡罗方法是一类从维数递增的分布序列中进行抽样的一般方法，在工程、统计学、物理学和其他相关领域有着广泛的应用。域。[11] 介绍并展示了如何将基本上所有的粒子过滤方法解释为通用SMC算法的一些特殊实例。SMC方法利用一系列粒子密度，通过一组称为粒子的M个样本，依次逼近目标。在大多数情况下，不可能将利益分配用作提案。因此，必须通过重要性权重纠正提案和目标之间的差异。在大多数实际情况下，这些重要性权重的方差随着算法时间的增加而增加。在某种程度上，这可以通过重采样过程来处理，该过程包括从当前加权样本中进行替换采样，然后将其重置为1/M（自适应重采样）。权重的可变性通常通过有效样本量（ESS）来衡量。随着M的增长，一些收敛结果已得到证明[4、5、6、12]。SMC方法最近也被证明在某些高维环境中是稳定的[1]。本文的主要贡献如下。我们开发了加权函数的形式化框架；这种技术已经在[8、9、10、16]中隐式或显式地使用过。利用该框架，我们开发了高维环境下障碍期权定价的定制方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:29

它还适用于目标应计赎回票据（TARN）的定价，TARN是另一种广泛交易的路径依赖型期权，其难以准确估值。在理论方面，我们证明了当使用自适应重采样方案时，SMC估计的无偏性。本文的结构如下。在第2节中，我们提供了期权定价的背景细节。第3节对SMC方法进行了基本总结。在第4节中，我们给出了加权函数框架及其在期权定价问题中的应用。第5节对我们的方法进行了数值说明。附录给出了我们的SMC估计在自适应重采样情况下的无偏性证明。在本文的其余部分中，我们使用符号RDR表示d维欧氏空间andRd+≡ （0，∞)d、具有均值u和方差σ的正态分布用N表示u，σ其密度在x处表示为十、u，σ. Id表示d维单位矩阵。E表示期望值。2期权有两种基本类型：买入期权和卖出期权。看涨期权赋予买入权，看跌期权赋予卖出权。在这方面，有两种主要的选择——美国和欧洲。美国期权可以在到期前的任何时候行使，而欧洲期权只能在到期后行使。本文重点讨论欧洲期权。欧洲买入/卖出期权被称为vanillaoptions，因为它们的结构相对简单。奇异期权是一种比一般交易的普通期权更为复杂的期权。路径相关期权就是一个例子，在这种情况下，支付取决于到期日之前某些（或所有）时间点的基础价值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:33

本文考虑了两种路径相关期权，即障碍期权和塔恩期权，我们将简要介绍这两种期权。2.1考虑d类标的资产的集合；这也称为篮子。我们用Rt表示∈ R篮子中资产的价值。RTI通常由一个分化过程建模。其中一个过程是具有漂移和挥发度的aBlack-Scholes模型dtRt=u（t，Rt）dtRt+σ（t，Rt）RtdWt，（1），其中u：R+×Rd→ Rdis漂移函数，σ：R+×Rd→ Rdi是波动率，Wt表示Rd中的布朗运动，平均值为0，协方差矩阵∑。可以合理地假设WT是归一化的，即所有i的∑i，i=1；这一假设是有效的，因为标度因子可以包含在波动率项中。还有一个利率r，它也可以取决于时间。一般来说，除了在简单的场景中，很难对（1）进行分析。这导致文献（[14]）中提供了几种分类方法，其准确性和复杂性水平各不相同。最广泛使用的离散化方法之一是Euler-Maruyama离散化，我们在本文中对其进行了研究；然而，也可以使用其他离散化方案，从而降低偏差。考虑离散化时间点0=t<t<···<tN=t。通过让S表示对数R，并在Stn的位置写入SNI，（1）isSn+1=Sn的Euler Maruyama离散化+u（n，Sn）-σ（n，Sn）δtn+σ（n，Sn）pδtnZn（2），对于n=1，N、其中Zn~ Nd（0，∑），0表示Rd中的原点，δtn=tn+1- tn.这里我们不关注离散化的级别。给定一个特定的离散化，我们将我们的方法应用于它。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-25 13:52:37

然而，此处开发的方法可用于多级设置（如【13】所示）；在本文中，我们不会对此进行进一步探讨。为了保持简单，我们假设漂移u=0。我们处理两种情况，一种是波动率σ为常数，另一种是它取决于标的资产的价格。我们现在描述了两种路径相关选项，稍后将演示我们在这些选项上的方法。2.2障碍期权障碍期权是一种奇特的衍生工具，通常是针对基础资产的期权，其价值在达到预设障碍水平时，要么使期权存在，要么使已经存在的期权失效。篮子也存在障碍期权，障碍条件通常可定义为基础资产的函数。例如，基础资产的功能可以是其价值的平均值，也可以是其价值的最大值。有两种障碍期权：o如果基础资产价值的某个函数违反了预先规定的障碍，则该期权开始存在，称为“敲入”；如果基础资产价值的某个函数违反了预先规定的障碍，则该期权终止，称为“敲出”。我们考虑淘汰选项。只要在到期之前的某些（或所有）时间点，基础的值满足屏障条件，这些选项就是“活动的”。如果违反了障碍条件，期权“失效”，导致零支付。如果该期权在到期日仍然“有效”，那么它会给出类似于看涨期权或看跌期权的支付（取决于期权类型）。我们考虑一篮子d标的资产和基于这些资产的障碍期权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-25 13:52:40

障碍期权很难使用标准MC定价，因为大多数（如果不是全部）粒子都会导致零回报，这会导致最终估计的高方差。由于资产价值随时间演变的连续性，这是可以应用SMC方法的自然示例；实际上[9]谈到了SMC方法如何在这种情况下使用。我们扩展了他们的方法，并表明即使采用启发式方法，在论文第5节中选择hn也可以获得显著的收益。我们在上面有一点滥用符号，其中我们使用u（n，Sn）和σ（n，Sn）分别表示u（tn，Rtn）和σ（tn，Rtn）。如果u是一个非0的常数，那么扩展我们提出的方法就很简单了。如果它是资产价值的函数，我们可以做类似于我们在稍后考虑的局部波动率模型中所做的事情。2.3目标应计赎回票据目标累计赎回票据（TARN）提供了一段时期内支付的上限金额，提前终止（淘汰）的可能性由对累计金额施加的目标水平决定。在一系列现金流日期（称为结算日期）支付一定金额的款项，直至达到目标水平。TARN的支付功能是路径依赖的，因为在结算日的支付取决于资产的即期价值以及截至结算日的累计支付金额。通常，TARN定价的商业软件解决方案基于MC方法。外汇交易中使用的TARN产品有不同的版本。为简单起见，我们在此考虑TARN的一种特殊形式。考虑一系列筛选日期0<T<T<····<Tp=T和函数f:Rd→ R、函数f分解为其正、负两部分，即f=f+- F-.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:44

损益过程定义如下：Gk=kXi=1f+（RTi）和Lk=kXi=1f-（RTi），分别是正现金流和负现金流的金额。有两个现金流截止时间τ（L）和τ（G）定义为τ（L）：=inf{k:Lk≥ ΓL}和τ（G）：=inf{k：Gk≥ ΓG}，这是第一次正现金流和负现金流分别跨越其切分。总停止时间τ定义为τ：=inf{τ（L），τ（G），p}，这是正现金流或负现金流第一次穿过边界。TARNis的价格是总体现金流的预期值，E【Pτi=1f（RTi）】。在这里，我们假设利率为0，如果不是，那么期望值将是一个加权和，其权重与贴现因子相对应。我们假设利率为0的原因将在第4.3节中解释。在这种情况下，应用标准MC方法的主要困难在于函数f可能是不连续的。可以使用SMC方法，我们将在后面介绍。3序贯蒙特卡罗方法MC方法是一类一般的MC方法，从目标概率密度{πn（x1:n）}n的序列中依次采样≥1增加维度，其中每个分布πn（x1:n）定义在乘积空间Xn上。写入πn（x1:n）=γn（x1:n）Zn，只需要γn:Xn→ R点式已知。具体而言，归一化常数Zn=RXnγn（x1:n）dx1:nma可能未知，并通过SMC方法获得估计值。SMC提供π（x）的近似值和Zat时间1的估计值，然后是π（x1:2）的估计值和Zat时间2的估计值，依此类推。这些方法的工作原理是使用一系列重要的采样和重采样步骤传播M个粒子的集合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:47

在下文中，上标（m）应表示第m个粒子。当我们用上标（m）写一个操作时，我们的意思是它发生在所有m个粒子上。选择一个建议密度qn（x1:n），并由此建议粒子。建议密度具有以下结构：qn（x1:n）=qn-1（x1:n-1） qn（xn | x1：n-1） =q（x）nYk=1qk（xk | x1：k-1）。提出粒子后，使用分解wn（x1:n）=γn（x1:n）qn（x1:n）=γn递归计算相关的非正规化权重-1（x1:n-1） qn公司-1（x1:n-1） γn（x1:n）γn-1（x1:n-1） qn（xn | x1：n-1）。这些可以用wn（x1:n）=wn的形式写入-1（x1:n-1） αn（x1:n）=w（x）nYk=1αk（x1:k），其中增量权重函数αk（x1:k）由αk（x1:k）=γk（x1:k）γk给出-1（x1:k-1） qk（xk | x1:k-1）。这些是为每个粒子计算的。权重wn（x1:n）未标准化，因为它们加起来不超过1。它们通过除以总和进行归一化，归一化权重用Wn表示。一旦我们获得了M个加权粒子的集合，它们将根据其权重snw（M）noMm=1进行重新采样。这是一个关键步骤，可确保系统不会塌陷为极少数重量极高的粒子。重新选择采样指标ni（m）noMm=1，以便PI（m）n=j= W（j）n。然后通过设置X（m）1:n来更新系统← X（I（m）n）1：与非W（m）n← 1个1/M≤ M≤ M、重采样是昂贵的，在实践中，仅当权重的方差很高时才进行重采样。其中一种方法是使用有效样本大小（ESS），在n asESS=PMm=1时确定W（m）n如果ESS低于某个阈值（通常取M/2 orM/3），则在时间n执行重采样。算法1描述了一种通用的SMC算法。我们有两个近似值πn（x1:n）：bπn（x1:n）=MXm=1W（m）nδX（m）1:n（x1:n）和‘πn（x1:n）=MXm=1W（m）nδX（m）1:n（x1:n），如果在时间n不使用重采样，则这两个近似值相等。这里δ表示Diracδ函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:51

我们还可以估算锌/锌-1通过\\ZnZn-1=MXm=1W（m）n-1αnX（m）1:n.4使用加权函数4。1在SMC中，使用加权函数的目标是创建一系列中间目标密度，这些密度试图接近最佳重要性采样密度，以引导粒子朝向感兴趣的区域。考虑离散时间随机过程X1：非一般空间XN。假设我们要估计算法1，一个通用的SMC算法1：设置初始权重W（m）=1/m，归一化常数的初始估计tc=1.2：对于n=1 do3：样本X（m）~ q（x），4：计算非标准化权重wX（米）,5：归一化常数的更新估计值bC=bC×PMm=1wX（米）,6：计算归一化权重W（m）∝ WX（米）,7：如果满足重采样标准，则8：重采样nw（m），X（m）oMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）oMm=1和setnW（m），X（m）oMm=1←n1/M，X（M）oMm=1,9：else10：setnW（M），X（M）oMm=1←nW（m），X（m）oMm=1.11：对于n≥ 2 do12：样品X（m）n~ qn公司xn | X（m）1:n-1.设置X（m）1:n←X（m）1:n-1，X（m）n,13：计算增量权重αnX（m）1:n和非标准化权重wnX（m）1:n=W（m-1） n个-1αnX（m）1:n,14：更新归一化常数的估计值bCn=bCn-1×PMm=1wnX（m）1:n,15：计算归一化权重W（m）n∝ 西尼罗河X（m）1:n,16：如果满足重采样标准，则17：重采样nw（m）n，X（m）1：noMm=1，以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）1：noMm=1和setnW（m）n，X（m）1：noMm=1←n1/M，X（M）1：标称值=1,18：elsesetnW（M）n，X（M）1：标称值=1←nW（m）n，X（m）1：标称值=1。该过程函数的期望值H（X1:N）。基本蒙特卡罗方法模拟进程的M个独立化nx（M）1：NoMm=1，其中X（M）1：n表示第M个实现。E【H（X1:N）】估计为bymmxm=1HX（m）1:N.如果H的形式是H（X1:N）在大多数空间xn上为零，而仅在一个小子集上为非零，则H的大多数X（m）1:N’s将为零。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-25 13:52:54

这会导致最终估计值的高方差。更具体地说，由于XN是样本空间，我们写：=XN=S∪ S、在哪里=x1：N∈ XN:H（x1:N）=0andS公司=x1：N∈ XN:H（x1:N）6=0.如果P（X1:N∈ S）远大于P（X1:N∈ S），模拟M个独立的实现将导致大多数位于S。我们的目标是使用SMC模拟更多来自S的粒子。为了做到这一点，我们考虑了一系列正势函数Gn:Xn→ R、 n=1，2，N这样qnn=1Gn（X1:n）=1，writeh（X1:n）=“NYn=1Gn（X1:n）#H（X1:n）。目标是选择Gn，使其通过SMC的称重和重采样步骤引导粒子进入SThrn。当在路径空间上进行此操作时，生成的算法有时称为回火。[7]考虑这一点，并展示如何在路径空间上构建一个中间目标密度的艺术序列，将粒子引导到感兴趣的区域。但是，在路径空间上执行此操作会导致计算成本较高，并且我们不在路径空间上执行此操作。4.2屏障选项我们考虑在一系列监测日期T<····<Tp=T和一系列上下屏障LT，LTp公司∈ Rdand UT，UTp公司∈ 分别为Rd。我们假设障碍条件是，所有基础资产的价值在监测时都位于各自的障碍内。这是一个过于简单的假设，使我们更容易演示各种方法；也可以使用更复杂的屏障条件。为了便于记法，我们将TIF从屏障中移除，并将其简单地替换为i。设Xn=（Sn-1，序号）∈R2D用于n≥ 1，让H表示时间T的payoff函数。随机变量序列X1:n构成马尔可夫链。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:52:59

障碍期权的价格为QD=E“H（ST）pYi=11{STi∈ （Li，Ui）}#，我们在此假设利率为0。如果利率是r，那么将有一个eRTr（t）dt乘以QD的系数。这是一个常数，仅在（已知）比例因子范围内影响估计方差。其中1{STi∈ （Li，Ui）}=dYj=11{STi，j∈ （李，j，Ui，j）}。STi、j、Li、jand Ui、jdenote分别是STi、LIAN和Ui的第j个组件。在这种情况下，S=RdN，S=s∈ RdN:sTi，j∈ （Li，j，Ui，j），i=1，2，p、 j=1，2，D,S=S\\S。【9】中的作者介绍了一种SMC算法来估计价格。建议密度q被选为与基础离散化相关的密度。对于每个时间间隔（Ti-1，Ti）他们向前模拟直到Tiand，然后从仍在屏障内的粒子中重新采样时间Ti时突破屏障条件的粒子。他们的算法是算法2。据评论，他们不使用自适应版本的重采样，而是始终重采样。屏障选项的算法2 SMC 1：设置初始权重W（m）=1/m，归一化常数的初始估计值bc=1.2：对于n=1 do3：样本X（m）~ q（x）.4：对于n≥ 2 do5：样品X（m）n~ qn公司xn | X（m）n-1.设置X（m）1:n←X（m）1:n-1，X（m）n.6：如果n∈ {T，…，Tp}，假设n=Tkthen7：计算非标准化权重w（m）k=w（m）k-1×1nS（m）Tk∈ （Lk，英国）o，8：归一化康斯坦贝克=bCk的更新估计-1×PMm=1w（m）k，9：计算归一化权重W（m）k∝ w（m）k，10：重新采样nw（m）n，X（m）1：noMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）1：noMm=1和setnW（m）n，X（m）1：noMm=1←n1/M，X（M）1：标称值=1。估计价格为青岛银行=bCp×MXm=1W（m）pHS（m）N.此外，由于基本上只计算归一化常数，因此不存在路径退化问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:02

与标准MC估计器相比，在监控时间从屏障内的路径对屏障外的路径进行重采样可以提高估计器的效率。有人认为，对于持续波动性，在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）的背景下，可以对价格进行抽样，以确保在一个步骤中，该过程始终存在；见【15】。然而，如果在时间Ti时只有极少数粒子满足势垒条件，则该估计值也将具有较高的方差。例如，如果：维度d高；障碍条件是狭窄的，即Liand UI相互靠近；波动率σ较高；时间间隔（Ti-1，Ti）较大。我们的目标是引入一系列正权重函数，以便解决这个问题。为了做到这一点，我们写下路径退化是指重复的重采样步骤导致相同粒子X1:N的多个副本。这导致基于整个路径的估计不可靠。QD=Eh（S）h（S）h（S）×hT（ST）hT-1（ST-1） ×hT+1（ST+1）×hT+2（ST+2）hT+1（ST+1）×hTp-1（STp-1） hTp公司-1.-1（STp-1.-1） ×hTp-1+1（STp-1+1）×hTp-1+2（STp-1+2）hTp-1+1（STp-1+1）×···×hTp（STp）hTp-1（STp-（1）= h（S）×E“NYn=1Gn（Xn）#，（3），其中Gn（Xn）=Gn（Sn-1，Sn）=hn（Sn）hn-1（序号-1），n/∈ {T+1，T+1，…，Tp-1+1}，GTi+1（XTi+1）=GTi+1（STi，STi+1）=hTi+1（STi+1），对于i=1，2，P- 1，且hti（STi）=1{STi∈ （Li，Ui）}对于i=1，2，p、 hn，n/∈ {T，T，…，Tp}，是正加权函数序列。在算法2中，它们只是1。我们试图更仔细地选择它们，以近似最佳重要采样密度。算法为算法3。估算价格为青岛银行=小时（S）×bCNMXm=1W（m）NHS（m）N.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:05

（4）路径退化再次不是问题，因为我们仍然在本质上估计归一化常数。该估计是无偏的，附录中提供了证据。由于HTI是在时间Ti时STI位于屏障内的指示器，因此在这种情况下，在监测时间位于屏障外的路径也以概率1丢弃。然而，与算法2不同的是，在这里，我们寻求为粒子赋予更高的权重，我们认为这些粒子在监测时有更高的机会进入屏障。当使用加权函数时，所寻求的是最佳重要性抽样密度的近似值，即St（在时间t）的密度，条件是它在时间ti，i=1，2，p、在考虑屏障选项的情况下，这对应于STi∈ （Li，Ui）。这是通过赋予粒子更高的重量来实现的，这些粒子有时存活的几率更高。例如，远离屏障的粒子比靠近屏障的粒子存活的几率更低。这是我们选择加权函数背后的直观想法，这在第5.1.4.3节TARNS中进行了说明。我们考虑基于单个基础资产的TARN。由于主要问题出现在函数f不连续时，我们考虑不连续f来说明我们的方法。Letf（右）=2（右- 110）+20，如果r>1102（80-r） r<90时+20-20如果90≤ R≤ 110此函数在90和110处有两个大跳跃。负现金流量和正现金流量分别为ΓL=100和ΓG=200。我们记得，我们之前假设利率为0。这一点现已得到证实。在这种情况下，标准MC不能有效使用的主要原因如下。使用MC，大多数物品在第一个五天内都留在（90110）内。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-25 13:53:10

这导致MC估计中的粒子贡献为-100.然而，在第一个五年算法3 SMC中，偶尔有一个粒子逃逸（90110），用于加权函数的期权定价1：设置初始权重W（m）=1/m，归一化常数的初始估计c=1.2：对于n=1 do3：样本X（m）~ q（x），4：计算非标准化权重SW（m）=W（m）×GX（米）,5：更新归一化常数的估计值TBC=bC×PMm=1w（m），6：计算归一化权重W（m）∝ w（m），7：如果满足重采样标准，则8：重采样nw（m），X（m）oMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）oMm=1和setnW（m），X（m）oMm=1←n1/M，X（M）oMm=1,9：elsesetnW（M），X（M）oMm=1←nW（m），X（m）oMm=1.10：对于n≥ 2 do11：样品X（m）n~ qn公司xn | X（m）n-1.设置X（m）1:n←X（m）1:n-1，X（m）n,12：计算非标准化权重SW（m）n=W（m）n-1×GnX（m）n,13：更新归一化常数的估计值bCn=bCn-1×PMm=1w（m）n，14：计算归一化权重W（m）n∝ w（m）n，15：如果满足重采样标准，则16：重采样nw（m）n，X（m）1：noMm=1以获得m个等权重粒子n1/m，X（m）1：noMm=1，并设置nw（m）n，X（m）1：noMm=1←n1/M，X（M）1：标称值=1,17：elsesetnW（M）n，X（M）1：标称值=1←nW（m）n，X（m）1：标称值=1。日期和贡献的价值与-100，因为f的大幅跳跃。这导致MC估计的方差很高。即使利率为正，这一困难仍将存在。因此，为简单起见，我们假设利率为0。为了回到前面的表示法，让S=log（R）∈ R和定义g（s）=f（es）。那么，letg（S1:N）：=100+τXi=1g（STi）是新的payoff函数，在这里我们写了S1:Nin代替（St，St，…，StN）。通过这样定义g，问题已经转化为以前使用的格式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:14

在这种情况下，S=RN，S=（s1：N∈ RN：L：=Xi=1g-（sTi）=100），S=（s1:N∈ RN：L：=Xi=1g-（sTi）<100）。粒子位于应力强度因子中（且仅当粒子在第一个五天内保持在（90110）以内时）。P（S） P（S），例如，如果波动率较低或时间间隔Ti- Ti公司-1较小。值得注意的是，这与障碍期权的情况相反（在这种情况下，我们认为时间间隔和波动性较大）。我们考虑一系列正加权函数h，h，hTand writeg（s1:N）=“TYn=1hn（sn）hn-1（序号-1） #×g（s1:N）hT（sT），其中h（s）≡ 1.我们基本上在做与障碍期权相同的事情。我们的目标是再次引导粒子进入S，我们表明，这可以通过在算法3.5数值结果中使用一些简单的权重函数来实现。在本节中，我们从数值上演示了使用权重函数的好处。为了比较算法2和3的标准偏差，我们将它们运行100次，每次运行100000个粒子。然后查看100个估计值的标准差，并报告相对标准差（标准差的比率）。5.1障碍期权我们考虑资产价值独立演变的障碍期权。这转化为∑=Id。选项类型为call。我们假设我们可以一次模拟一天的前进。一种常见的监控策略是，在总共p个时间段内，每k天监控一次基础资产。在这种情况下，对于i=1，…，Ti=ik，p和N=pk。我们选择k=540，p=1。算法2在p天结束时重新采样，因此通过选择屏障内的所有重新采样粒子来重置粒子系统。因此，我们使用算法3期望的增益只能在系统复位之前，这就是为什么我们选择p=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:17

在下文中，我们将算法2称为“MC”，将算法3称为“SMC”。算法在维度d和波动率σ=（σ，…，σd）的不同值上运行。回顾（3），任何时候n的目标密度与hn（sn）pn（s1:n）成比例，其中pn（s1:n）表示s1:n的密度。这意味着时间n的目标边缘密度与hn（sn）pn（sn）成比例，式中，Pn（sn）表示s1:Nat时间n的边际密度。我们用epn（sn）表示时间n的目标密度。5.1.1恒定波动率模型由于我们的篮子由d个独立资产组成，我们选择边际目标密度（在不同时间点）为d（非标准化）密度的乘积。也就是说，epn:Rd→ R为epn（sn）=Qdj=1epn，j（sn，j），其中sn=（sn，1，…，sn，d）。在恒定波动率的情况下，1:Nat时间n的边际密度是已知的，用pn（sn）=Qdj=1pn，j（sn，j）表示；这只是d高斯的乘积。因此，加权函数为hn（sn）=Qdj=1[epn，j（sn，j）/pn，j（sn，k）]。我们选择σ=···=σd=σ。由于我们的目标是在时间k时将粒子推向屏障内部，因此我们考虑了一个（一维）布朗桥，其挥发性σ在B0处固定，j=S0，jand Bk，j=Kj：=（Lj+Uj）/2。然而，由于布朗桥的方差随着时间接近k而变为0，我们不能直接使用它，因为它会导致高方差。所以我们在布朗桥的标准差上加上0.2σ。值得注意的是，0.2σ在某种程度上是一种任意选择。这不一定是最好的选择，我们也不这么认为；这个选择只是为了说明使用加权函数的好处。我们已经注意到，即使使用其他值，我们所需要做的就是确保目标密度不会趋于退化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:21

在实践中，我们仅在时间n=2k/3后引入权重函数，因为我们希望让粒子最初探索空间，然后在时间k时为更可能位于屏障内的粒子赋予更高的权重。结果如图1所示。通过使用这些函数，我们观察到标准偏差的增益。总的来说，如果不同链的波动率、初始价格和执行价格不同，我们可以考虑将d个不同的布朗桥密度的乘积作为加权函数。由于实际目标是估计最佳重要性密度，因此我们尝试在简单的设置中进行此操作，以查看其效果有多好。给定粒子在时间k存活的边缘密度可以近似为高斯密度。事实上，这就是我们之前选择targeteddistribution作为布朗桥时所做的。我们可以先模拟一维粒子，然后观察

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:25

相对于图1，我们可以观察到标准MC方法的改进。然而，这一结果并不是很明显，它说明了即使是简单的直觉使用布朗桥也能很好地完成。值得注意的是，即使选择波动率为0.08并在一个维度上运行该链，我们也观察到其他波动率值也会增加。这表明，即使不同链的波动性不同，我们也可以简单地在一维中运行一条链，其波动性值在波动性范围内，并且仍然可以得到不错的结果。关于运行时间的注意事项：我们观察到MC的运行时间少于SMC的三倍（即使没有对代码进行过多优化）。因此，如果我们考虑运行时间，我们可以在运行带有M个粒子的SMC的同时运行带有3M个粒子的MC。使用3M颗粒的MC的标准偏差为√M颗粒比MC少3倍。因此，即使考虑到运行时间，SMC的表现也优于MC。在最后一个示例中，此外，我们使用10000个粒子运行MC。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:29

我们也应该考虑到这一时间，但我们只对一个值运行它。图1：当我们针对布朗桥时，对于m=1和k=540的障碍期权，对于常数波动模型，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3）；在左图中，尺寸D=10；在右图中，波动率σ=0.08.0.08 0.09 0.10 0.11 0.12σ010203040508 9 10 11 12D01020304050图2：当我们以“最优”目标为目标时，m=1和K=540的障碍期权的MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3），对于恒定波动率模型；在左图中，尺寸D=10；在右图中，波动率σ=0.08。它的波动性很快。我们在图表中不考虑运行时间的原因是我们相信可能会进一步优化代码。目的是证明在SMC中使用加权函数的好处。5.1.2本地波动率模型本地波动率模型在实践中使用更频繁，因为它们通常更准确。此处考虑的局部波动率函数是波动率σat0值之间的线性插值。12、0.11、0.105、0.101、0.097、0.093、0.098、0.10、0.105、0.11、0.17以及10-6、60、70、80、90、100、110、120、130、140、10。在这种情况下，我们不知道S1:N的边际密度。为简单起见，我们仍然假设所有链的波动率函数都相同，并按以下方式进行近似。考虑单链。如果我们知道E S，E S。，然后我们可以用σ（E Sn）近似σ（Sn）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:32

我们将E Sn近似如下（假设离散化的时间步长δtn为常数）：E[Sn | Sn-1] =序号-1.-σ（Sn-1） δt=> E序号=E序号-1.-δt Eσ（Sn-（1）≈ E序列号-1.-δtσ（E Sn-1）；（5）因此，我们迭代地近似E Sn和σ（E Sn）。我们首先近似E Sby（5）；根据这个估计，我们近似E Sby（5），并继续这样做。我们将pn（Sn）近似为Bpn（Sn）=dYj=1Д序号，jE序列号-1.-σ（E Sn-1） δt，σ（E Sn-1） nδt迭代。1、我们从布朗桥加权函数开始，使用目标密度中先前估计的σ（E Sn）值，并像以前一样将0.2σ（E Sn）添加到标准偏差中。与恒定波动率模型一样，我们在一维中模拟M=10000个粒子（对于局部波动率模型），并查看存活粒子的边际均值和方差。我们将其称为“最优”目标，并在SMC算法中对其进行定位。结果如图3所示。我们观察到了显著的收益，正如预期的那样，随着尺寸的增加，收益会变得更加显著。这是因为粒子存活的概率随着维数的增加而变小。当我们以“最优”为目标时，收益更为显著。就运行时间而言，观察结果与恒定波动率模型的情况相同。因此，即使考虑到运行时间，算法3的性能也优于算法2。5.2 TARNsWe再次假设，我们可以一天一次模拟前进。我们取固定日期的数量p=24，固定日期之间的间隔k=30天。这大致相当于一个TARN，在该TARN中，每个月底的现金流最多持续两年。我们考虑了波动率的不同值。如果粒子停留在(-90、110），如果在第四个月底之前逃逸，则支付正收益。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:36

我们再次比较了标准MC和Algorithm3（将其称为“SMC”）。我们注意到，和障碍期权相反，在这种情况下，我们预计在波动率较低的情况下，SMC比通常的MC表现更好。这是因为在这种情况下，该地区波动率较低的概率较低，而在障碍期权的情况下，波动率较高的概率较低。这就是为什么我们在本节中限制自己的波动率值低于第5.1.5.2.1节中的恒定波动率模型。当标的证券遵循布莱克-斯科尔斯动力学，波动率σ为常数时，我们可以使用Euler-Maruyama离散化一次直接模拟前k天。我们运行不同波动率值的算法并报告结果。我们尝试三种（越来越复杂，但更直观的）权重函数，试图让粒子逃逸。在最简单的版本中，我们选择hn（s1:n）为（sn- S）。这只会给第n个月末远离Sat的热门文章带来更高的权重。我们得到了图4中的结果。然后我们注意到，对于1，时间n的目标密度是成比例的hn（s1:n）p（s1:n）≤ N≤ 5、如果我们选择hn（s1:n）为形式hn（sn），则时间n的目标密度的边缘与hn（sn）pn（sn）成比例，其中pn（sn）是时间n的s1:Nat的边缘密度。因为我们的目标是（sn- S），我们选择hn（sn）=（sn-S） /pn（sn），结果如图5所示。可以看出，除了最后几例外，具有加权函数的SMC在大多数情况下都表现得更好。最后几种情况对应更高的挥发度，在这种情况下，粒子逃逸的概率增加。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:39

当粒子逃逸的可能性较低时，SMC表现得更好，这正是我们想要的。进一步研究这个问题，我们发现逃逸的粒子可以通过两种方式之一逃逸：向左或向右。我们确定σ=0.05的值，并运行10000份链副本。我们的目标是观察逃逸粒子的精确边缘分布。我们观察到大约20%的粒子向左逃逸，80%的粒子向右逃逸。这当然适用于固定σ，但我们使用这些边际近似值作为目标（我们使用法线的混合），并对σ的不同值运行SMC算法。结果如图6所示。在这种情况下，也观察到了显著的收益，并且比之前的收益还要多。在这种情况下，我们也在尝试近似最佳重要性密度。在本节的上述三个示例中，我们观察到SMC的运行时间少于MC的两倍。因此，我们可以得出与障碍期权类似的结论，这表明即使在考虑运行时间的情况下，SMC的表现也优于MC。5.2.2局部波动率模型在这种情况下，波动率σ是基础Rt价格的函数。我们不能再一次模拟远期平日，我们现在一次模拟一天远期。在这种情况下，前5个时段每天都会引入权重函数。我们考虑一个波动率函数，最小值为100，且在100两侧都增加。100处的值为0.036。（90、110）中的值小于0.04，超出该值时更高。我们选择这一点是因为σ的低值意味着逃逸的粒子更少，但对于确实逃逸的粒子，我们可以更自由地探索空间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-25 13:53:42

局部波动率函数是0.055、0.051、0.045、0.041、0.037、0.035、0.038、0.04、0.045、0.05、0.055的波动率σ值与基础R值之间的线性插值-6、60、90、93、98、100、103、107、110、140、10。我们从最简单的加权函数hn（s1:n）=（sn）开始- S）。在这种情况下，我们观察到算法3的标准偏差比MC的标准偏差低1.83倍。由于SNI的边缘密度未知，我们选择了边缘的粗略近似值并使用它。我们选择Pn（sn）=Д序号S+u-0.04δtn，0.04δt作为近似值。这是snif的密度，波动率为常数0.04。我们运行10000copies的链子，查看向左和向右逃逸的链子。然后，我们选择图3：对于m=1的障碍期权，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3），对于局部波动性模型，K=540；左图是我们瞄准布朗桥的时候；正确的数字是我们何时瞄准“最佳”。图4：在恒定波动率情况下，使用TARN最简单的加权函数，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3）。图5：在恒定波动率情况下，使用简单的加权函数forTARN，MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3）。图6:MC相对于SMC的相对标准偏差（算法3），在恒定挥发性情况下，使用正态密度的混合物作为TARN的目标。混合法线（在本例中，比例为0.3和0.7）并重复实验。我们观察到SMC的标准偏差是MC的2.33倍。在这种情况下，SMC的运行时间是普通MC的两倍。这意味着，虽然在本例中使用SMC可以取得一些收益，但它们并不像以前那么重要。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-25 13:53:46

这是因为局部波动率函数很低（在0.035左右的范围内），仅适用于一些基础值，这表明人们实际上应该给予更高的权重，以迫使粒子逃逸。然而，这确实说明了使用SMC而非MC的潜在好处。6结论我们在SMC中正式提出了加权函数的概念。其主要思想是尝试使用相对启发式的加权函数技术来估计最佳重要性密度的顺序，为潜在的有利粒子赋予更多的权重。我们在金融业的两个例子中证明了这一点，但这可以扩展到其他情况（例如[16，17]中的情况）。我们还看到，随着我们接近最佳重要性密度，收益会不断增加。然而，即使使用近似值也会带来显著的收益。由于这一想法相当普遍，因此它有可能被用于金融领域，为其他类型的路径依赖型期权定价，例如[16]中的亚洲期权。它也可用于边际预期的估计，即跳跃差异定律（以及一些控制问题）；例如，参见[17]。加权函数的基本概念也适用于高维滤波问题。总之，本文中的观点对文献中以前出现的许多观点进行了简单的形式化。本文对这项工作进行了许多扩展。例如，人们可以自适应地确定序列中的潜在函数，尽管这是以统计偏差为代价的。其他想法包括进一步应用和适应可以使用多层蒙特卡罗方法的问题（例如。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:50

[2] ）。估计的无偏性我们证明了当自适应地和多项式地进行重采样时，估计的无偏性。A、 1额外定义：设τ<τ<···<τrbe连续重采样时间，设eτ（n）为时间n之前的最新重采样时间，如果在时间n之前没有进行过重采样，则eτ（n）=0。还定义τ=0，τr+1=n。定义n（x1:n）=nYt=eτ（n）+1αn（x1:n），V（m）n=vnX（m）1:nMvn，其中VN=MMXj=1vnX（j）1:n.如果在时间n执行重采样，则nv（m）noMm=1是重采样权重。对于任何测试函数ψ：XN→ R、我们用bψ或=PMm=1V（m）Nψ估计ψN：=EπN[ψ（X1:N）]X（m）1:N我们通过ZMN=Qr+1s=1vτs来估计归一化常数。定义：eH（m）τs=v··vτshτsX（m）1：τs, H（m）τs=v···vτshτsX（m）1：τs,其中hτs（x1：τs）=Qτsn=1αn（x1：n）。观察h（m）τs-1eH（m）τs=vτs×Qτsn=1αnX（m）1:nQτs-1n=1αnX（m）1:n=vτsX（m）1：τsvτs=MV（m）τs=>eH（m）τsV（m）τs=MH（m）τs-1.（6）确定似然比asLN（x1:N）=πN（x1:N）QNn=1qn（xn | x1:N-1），并删除ψ或=MMXm=1LNX（m）1:NψX（m）1:NH（m）eτ（N）=MZNMXm=1γNX（m）1:NQNn=1qnX（m）n | X（m）1：n-1.ψX（m）1:Nv···vτrQτrn=1αnX（m）1:n=v···vτrvτr+1ZNMXm=1vNX（m）1:NMvNψX（m）1:N=ZMNZNbψ或。第三个等式是因为τr+1=N。将A（m）τ定义为A（m）τ=1和A（m）τs=AI（m）τs-1.τs-1，其中我们称I（m）τs-1是τs处第m个粒子的重采样指数-第1个重采样步骤。LetF2t-1=σnX（m）：1≤ M≤ Mo[编号X（m）1：τs，X（m）1：τs+1，A（m）τs: 1.≤ s<t，1≤ M≤ Mo公司,F2t=σF2t-1【n】X（m）1：τt，A（m）τt: 1.≤ M≤ Mo公司;这些是分别在第t次重采样步骤之前和之后由与M个粒子相关的随机变量生成的σ场。Letef（·）≡ ψ1的Nand定义≤ N≤ N，efn（x1:N）=等式ψ（X1:N）LN（X1:N）| X1:N=X1:N, （7）其中Eqdenotes为提案密度下的预期值。Thenefn（x1:n）=等式efN（X1:N）X1:n=X1:n.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:53

LetZ（m）2s-1=hefτsX（m）1：τs-efτs-1.X（m）1：τs-1.iH（m）τs-1，Z（m）2s=efτsX（m）1：τsH（m）τs-MXj=1V（j）τsefτsX（j）1：τseH（j）τs.A.2主要结果建议A.1。NZ（1）k，Z（M）k, Fk：1≤ K≤ 2r+1是一个鞅差级数，meψ或- ψN=2r+1Xk=1Z（1）k+···+Z（M）k备注A.1。它来自于ψORi=ψN的命题=> EZMNZNbψ或= ψN=> EhZMNbψORi=ZNψN.取ψ≡ 1生成所需的结果。命题A.1的证明。我们观察到Z（m）+···+Z（m）2r+1=rXs=1Z（m）2s+r+1Xs=1Z（m）2s-1=rXs=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-MXj=1V（j）τsefτsX（j）1：τseH（j）τs+r+1Xs=1hefτsX（m）1：τs-efτs-1.X（m）1：τs-1.iH（m）τs-1=-efτX（m）τH（m）τ+r+1Xs=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-1.-rXs=1MXj=1V（j）τsefτsX（j）1：τseH（j）τsThus，MXm=1Z（m）+···+Z（m）2r+1= -MefτX（m）τH（m）τ+MXm=1r+1Xs=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-1.-MXm=1rXs=1MXj=1V（j）τseH（j）τsefτsX（j）1：τs= -MefτX（m）τH（m）τ+r+1Xs=1MXm=1efτsX（m）1：τsH（m）τs-1.-MXm=1rXs=1MXj=1MH（j）τs-1efτsX（j）1：τs=MXm=1efτr+1X（m）τr+1H（m）τr- MefτX（m）τH（m）τ=meψ或- ψN第二个等式来自6，最后一个等式是因为τ=0和τr+1x1：τr+1= 均衡器ψX1：NLN公司X1：N|X1：τr+1=X1：τr+1= ψx1：τr+1LN公司x1：τr+1=>efτr+1X（m）1：τr+1H（m）τr=LNX（m）1:NψX（m）1:NH（m）eτ（N）as X（m）1：τr+1=X（m）1：与eτ（N）=τr。让em表示m粒子系统下的期望。为了证明鞅差性质，我们观察到emhz（m）Fi=EMefτX（m）1：τH（m）τ-MXj=1V（j）τefτX（j）1：τeH（j）τF= EM公司efτX（m）1：τH（m）τ-MMXj=1efτX（j）τH（j）τF从（6）=EMefτX（m）1：τH（m）τ-MMXj=1efτX（j）τF当H（j）=1=0时。最后一个等式是因为X（1）1：τs，X（M）1：τs给定F2s-1是M i.i.d.随机向量的值，取X（j）1：τs，概率为V（j）τs。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-25 13:53:57

此外，EMhZ（m）Fi=EnefτX（m）1：τ-efτX（m）1：τoH（m）τF= EnefτX（m）1：τ-efτX（m）1：τoFH（m）τ=0。最后一个等式是因为eemhefτsX（m）1：τsF2（s-1） i=EM均衡器ψ（X1:N）LN（X1:N）X1：τs=X（m）1：τsF2（s-（1）= 均衡器ψ（X1:N）LN（X1:N）X1：τs-1=X（m）1：τs-1.=efτs-1.X（m）1：τs-1..最后一个等式是条件期望的塔式性质。以这种方式进行，可以看到nZ（1）k，Z（M）k, Fk：1≤ K≤ 2r+1是一个鞅差序列。参考文献【1】Beskos，A.、Crisan，D.&Jasra，A.（2014）。关于高维序贯蒙特卡罗方法的稳定性。安。应用程序。概率。，241396–1445。[2] Beskos，A.、Crisan，D.Jasra，A.、Kamatani，K.&Zhou，Y.（2014）。在高维中实现稳定的粒子过滤器。arXiv预印本。[3] Boyle，P.P.（1977年）。选项：蒙特卡罗方法。J、财务部。经济。，4323-338。[4] Chan，H.P.&Lai，T.L.（2013）。隐马尔可夫模型中粒子滤波的一般理论及其应用。安。统计员。，412877-2904。[5] Del Moral，P.（2004年）。费曼-卡克公式：谱系和相互作用粒子系统及其应用。斯普林格：纽约。[6] Del Moral，P.（2013年）。蒙特卡罗积分的平均场模拟查普曼和霍尔：伦敦。[7] Del Moral，P.、Doucet，A.&Jasra，A.（2006）。顺序蒙特卡罗采样器。J、 R.统计学家。Soc。B、 68411–436。[8] Del Moral，P.，Garnier，J.（2005年）。罕见事件的谱系粒子分析。安。应用程序。概率。154496–2534。[9] Del Moral，P.&Shevchenko，P.V.，（2014年）。使用序贯蒙特卡罗法评估障碍期权。arXiv预印本。[10] Del Moral，P.和Murray，L.M.（2014）。具有高信息量观测的序贯蒙特卡罗。arXiv预印本。[11] Doucet，A.&Johansen，A.（2011）。粒子过滤与平滑教程：十五年后。在《非线性滤波手册》（eds.D.Crisan et B。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝