如果市场的均衡是竞争性的，那么交易者k∈ 我会将交易后beta进一步降低至λ，而不是1，但根据分解（1.6），溢价将严格为正。如果βkis足够大，则零风险溢价的好处是风险降低幅度较低。另一方面，其余贸易商以零溢价出售其所有市场风险敞口。对于那些初始贝塔值较低的交易者（更准确地说，βi<λi/2），非竞争性均衡使他们的效果比竞争性均衡更差。这源于这样一个事实，即在竞争性均衡中，初始贝塔值较低的交易者从过度暴露于市场风险的交易者那里获得溢价，这在非竞争性极端均衡中是不会发生的。然而，对于βi的交易者≥ λi/2，非竞争性平衡更可取，因为它们也受益于零风险溢价。概括地说：从极端非竞争均衡中获得更多效用的交易者是那些初始市场风险敞口非常高的交易者。4、双边战略风险分担4.1。基本上是两个战略交易员的情况。正如导言部分所指出的，由于大多数OTC交易仅由两个机构或一个机构和一个客户组成，因此双交易商案例具有特殊意义。由于p re交易贝塔值小于或等于-1始终在均衡状态下出售所有风险，风险分担博弈本质上是两个交易方之间的博弈，如果两个交易方正好是其中的两个（就具体性而言，交易方为0∈ I和1∈ 一） 交易前beta值大于-1、那么，只有交易者0和1提交非零弹性需求。根据§3.3的一般分析，我们只处理非极端平衡的情况，即（3.4）失败的情况。

直截了当的代数得出，在当前情况下，（3.4）的失败相当于以下简单等式（4.1）|λβ- λβ| < λ+ λ.如果I={0，1}，并且在这种情况下回顾β+β=λ+λ=1，则不等式（4.1）等价于-λi<βi<2- λi对于两个i∈ {0, 1}.提案4.1。假设β>-1, β> -1，βi≤ -i为1∈ I \\{0，1}，和强制（4.1）。那么非竞争均衡是唯一的，满足θ*i=0表示i∈ I \\{0，1}，以及（4.2）θ*= δ2λ(β+ β)(λ+ λ) + (λβ- λβ), θ*= δ2λ(β+ β)(λ+ λ) + (λβ- λβ).证据如前所述，命题2.2意味着每个交易者的最佳反应∈ i带βi≤ -1为零；对于交易者0和1，θ*和θ*应满足（3.5）。在本案例中，20岁的MICHAIL ANTHROPELOS、CONSTANTINOS KARDARAS和D GEORGIOS VICHOStwo交易员，系统采用以下两个方程（4.3）（2δ+θ*)θ*= δ(1 + β)(θ*+ θ*) 和（2δ+θ*)θ*= δ(1 + β)(θ*+ θ*).从第二个方程式中减去第一个方程式并除以θ*I=θ*+ θ*给出（4.4）2（δk*- δk*) = δ(1 + β) - δ（1+β），其中k*我≡ θ*i/（θ）*+ θ*) 对于i∈ {0, 1}. 自k起*= 1.- k*, （4.4）是k的简单线性方程*其溶液为（4.5）k*=+λβ- λβ2(λ+ λ).（4.3）中的第一个方程可以写成（2δ+θ*)k*= （1+β）δ，与（4.5）一起表示θ*应如（4.2）所示。对称论证表明θ*也应如（4.2）所示开始。最后，注意假设（4.1）和施加条件βi≤ -1，为每个人∈ I \\{0，1}保证θ*和θ*严格来说是积极的和有限的。在上述非竞争均衡下，价格由p给出*= -CaI/（θ）*+ θ*), 当分配为q时*i=aIθ*i/（θ）*+ θ*) - 每个i的AI∈ 一、 也就是说，只有交易员0和1在交易后才有市场风险。备注4.2。

可以很容易地检查到，命题3.6、定理3.4和命题4.1的组合完全涵盖了所有可能的交易配置，包括最多三个参与者。另一方面，我们可能会发现四名交易员的配置未包含在结果中；例如，对于所有I，I={0，1，2，3}和δI=1∈ 一、 设β=β=2，β=0，β=-在本节的其余部分，我们将重点分析和讨论双边交易，其中我们假设I={0，1}。为了方便读者，我们注意到以下结果直接来自命题4.1。推论4.3。当I={0，1}且在不等式（4.1）下，存在由（θ）给出的唯一线性非竞争平衡*, θ*) =δ2λλ+ β, δ2λλ+ β.相应的价格分配均衡由（4.6）p给出*= -δI（λ+β）（λ+β）4δδCaI=（λ+β）（λ+β）4λλbp，and q*i=λi+βiaI- ai=bqi+βiaI- 哎，我∈ {0, 1} .瘦风险分担市场中的有效风险规避21备注4.4。非竞争性均衡的分配与竞争性均衡一致的唯一情况是当β=λ时，这必然意味着β=λ也成立。然而，这个等式意味着竞争均衡是一个微不足道的无交易均衡，因为（1.4）给出了q*= 0=q*.正如第2节的分析所预期的那样，相对较高的初始市场风险敞口意味着在非竞争均衡下提交的弹性更高：对于每一个∈ {0，1}，δi<θ*我<=> λi<βi<=> λ-i> β-i、 特别是，通过交易减少（或增加）市场风险敞口的交易者提交的需求函数比对应交易者风险承受能力的需求函数具有更高（尤其是更少）的弹性。上述分析表明，初始市场风险敞口较高的交易员愿意保留部分风险，以换取较低的风险溢价。

相应地，通过交易承担进一步市场风险的交易者倾向于以更为规避风险的方式行事，不愿在相同的风险溢价下承担更多风险。直接结果是，风险分担量低于竞争均衡时的风险分担量，从而导致风险分担效率。事实上，简单的计算得出交易者i的纳什交易后贝塔∈ i从βito（λi+βi）/2变化，而不是竞争和社会最优的交易后βλi。换句话说，对于两个交易者来说，非竞争均衡交易使其β恰好等于初始和社会最优之间的中点。备注4.5。从（4.6）中，我们可以很容易地看到p*= 当且仅当λ=β或λ=（2）时，bp成立-β)/3.虽然前一种情况是微不足道的（在任何均衡状态下，交易量为零），但后一种情况给出了特殊的非平凡情况，即价格仍然不受交易员战略行为的影响。在这种情况下，Nash交易后β为（λi+βi）/2=（1+βi）/3=λ-如果我和∈ {0, 1}.与（1.6）中竞争均衡下的效用收益分解类似，我们分解了i∈ {0，1}作为（4.7）Ui（Ei+hq*i、 S- p*i） =ui+2δihai，Caii-λi+βihaI，CaIi2δi |{z}随机支付的利润/损失-βi- λiδIhaI，CaIi L{z}（签名）风险溢价，其中L≡ (β+ λ)(β+ λ)/8λλ.

分解（1.6）和（4.7）给出了（3.2）中定义的两个平衡之间效用差异的表达式；也就是说，（4.8）DUi=haI，cai2δi“λi-λi+βi#+βi- λiδIhaI，CaIi（1- 五十） ，我∈ {0, 1} .与§3.3中讨论的极端均衡的情况一样，公用事业收益的差异来自两个来源：分享随机（风险）支付的收益和支付的风险溢价22米切尔·安瑟罗·佩洛斯（MICHAIL ANTHROPELOS）、康斯坦丁斯·卡尔达拉斯（CONSTANTINOS KARDARAS）和乔治·维乔索（GEORGIOS VICHOSor）收到的风险溢价。假设β<λ（或等效地，β>λ），即在（竞争性或非竞争性）交易后，交易方承担更多的市场风险。由于非竞争性风险分担贝塔值仅达到竞争性风险分担的一半，因此0号交易员承担的风险较小。当且仅当L>1时，承担市场风险所获得的风险溢价高于竞争均衡中的风险溢价，尤其是当λ接近1时。当λ不接近1时，风险溢价较低，可以吸收较低承担市场风险的所有收益。因此，对于在交易中承担市场风险且风险p参考值接近风险中性的交易员来说，非竞争性均衡更为有利。另一方面，交易者1在出售市场风险，交易后纳什贝塔的降低程度较低（这一事实降低了效用），而当且仅当ifL<1时，纳什均衡的溢价较低。差异1- 对于接近零的λ，L为负值；对于λ的每个值，当β<1时，i=1的总差值（4.8）为负值。

对于固定λ，L在β中减小（当β>1时- λ） 当β接近其上限2时，i=1的总差值（4.8）为正值- λ.最后，应该指出的是，当交易者0的风险偏好（即市场风险的买方）接近风险中性（即λ接近1）时，当且仅当β|<1或等价地，当0<β<2时，非竞争性平衡总是优于竞争性平衡。尤其是，（4.8）和§3.3中对极端平衡的讨论意味着Limδ→∞DU=（haI，CaIi（1+β）（1- β） /8δ，如果β∈ (-1, 1);0，否则。因此，在非极端纳什均衡中，在非竞争均衡中获得更多效用的交易者是风险偏好接近风险中性的交易者。总的来说，我们得出结论，在两种交易者交易中，从非竞争性均衡中受益更多的交易者是初始市场风险敞口非常高的交易者，以及风险承受能力非常高的交易者。4.2. 薄型市场中不完全性的影响。如上所述，我们的模型允许市场不完整，因为可交易证券不一定属于交易者的天赋。当交易者的天赋没有证券化时，通过其他证券的竞争性交易来分担风险是次优的。本节的目的是研究当风险分担是非竞争性的时，市场不完全性在总体和个人层面上的影响。为了这个目标，我们考虑指示性的双交易者博弈，I={0，1}。为了检验市场不完全性的影响，我们比较了两种市场环境：一种是完全市场，另一种是s=e。

为了突出不完整性的影响，我们假设除了（缺乏）完整性之外，其余参数都是相同的；特别是，风险规避保持不变，预测和实际beta是相等的。我们考虑了瘦风险共享市场23效用收益（1.6），（4.7）和效用差异（4.8）中的个人有效风险规避。对于与完全市场相关的数量，我们使用上标“o”的符号，即，（qoi，po）是非竞争性均衡配置和价格，以及竞争性均衡下的^Qoith配置。简单的计算给出了效用收益的后续分解，即竞争均衡中的收益和市场非竞争性的影响：不完全设置中的效用收益=Ui（Ei+hq*i、 S- p*（一）- ui=2δiC1/2bqi|{z}竞争均衡中的收益+完全环境中的效用收益=Ui（Ei+hqoi，E- poi）- ui=2δiCov1/2（E，E）^qoi|{z}竞争均衡中的收益+DUoi。基于上述情况，我们注意到以下几点：如果市场具有竞争力，第一期代表风险分担的收益。特别是，我们有（另请参见[Ant17]中的位置2.7）C1/2bqi= Cov（S，λiEI- Ei）C-1Cov（S，λiEI- Ei）≤ Var（λiEI- Ei）=Cov1/2（E，E）qoi,当且仅当S在E范围内时，等式成立。上述不等式意味着，在竞争性市场环境下，每个交易者由于市场的不完全性而失去效用。在考虑了竞争环境中的差异后，市场的不完全性对非竞争性交易的影响可以通过差异DUoi得到- 酒后驾车。鉴于（4.8），我们有（4.9）DUi=haI，cai2δi“λi-λi+βi+ 2λi（βi- λi）（1- 五十） #，i∈ {0, 1} .保持参数βi、λ等于完整和不完整的市场设置，唯一的区别来自术语haI、CaIi。

在不完全市场环境下，该术语等于COV（S，EI）C-1Cov（S，EI），而在完整的市场环境中，它等于Var（EI）。自（4.10）Cov（S，EI）C-1Cov（S、EI）≤ Var（EI），市场不完全性减少（或增加）了由市场非竞争力导致的效用收益（或损失）。换言之，受益于非竞争性市场环境的交易员（即具有高风险承受力和/或高市场风险敞口的交易员）的收益来自于最终收益未证券化的事实。更准确地说，我们已经看到，市场风险敞口相对较高的交易员表现为风险中性，以便在不支付风险溢价的情况下将其风险敞口降低到一个水平。当市场完成时，风险的降低更有效，因为交易员出售部分捐赠，而不是像在不完全环境中那样，与捐赠呈显著正相关的证券。还记得在非竞争性环境下，风险规避相对较低的交易者的效用收益来自于他们支付（或收到）的较低（或较高）风险收益。Fr om（4.7），我们得到24 MICHAIL ANTHROPELOS、CONSTANTINOS KARDARAS和GEORGIOS Vichost风险溢价在完整市场环境中总是较高的（另见（4.10）），因此，在竞争环境中，风险溢价的上述增加（或减少）也较高。我们可以得出结论，虽然市场的不完全性降低了风险分担的总体效率，但它也减少了交易者之间效用收益/损失的差异。附录A.定理3.4的证明让我们从条件（3.6）和（3.3）都成立的情况开始。命题3.6，在（3.4）与（3.6）等价的有效性下，表明存在一个极端的线性阿什均衡。

事实上，这在极端线性纳什均衡上是唯一的；事实上，请注意（3.6）立即表示βk>1。假设交易者k∈ 我是唯一一个betagreater大于1的交易者，即βI≤ 1对于所有i∈ I \\{k}。Let（θ*i） 我∈Ibe定义3.1中的任何线性非竞争性平衡。根据（2.3），βi≤ 1表示θ*我≤ δi（1+βi）+，对于所有i∈ I \\{k}。但是，βk≥ 1+δkXi∈I \\{k}δI（1+βI）+≥ 1 +θ*-kδk.By（2.3）再次得出θ*k=∞, 再次应用（2.3），我们得到θ*i=δi（1+βi）+，对于所有i∈ 它在定义3.1的所有可能线性纳什均衡上建立了极端纳什均衡的唯一性。在证明结束之前，我们假设（3.3）成立，但（3.6）失败。在不丧失一般性的情况下，让交易员0∈ 我有最大预交易β：βI≤ β代表所有i∈ I \\{0}。在引理3.5的视图中，我们必然会看到，（A.1）- 1<β<1+δXi∈I \\{0}δI（1+βI）+。定义集合：={i∈ I \\{0}}- 1<βi≤ 1} .集合J：=J∪ {0}包含最终将提交非零弹性需求函数的所有交易者。注意，（A.1）表示J 6=; 实际上，如果J=, 那么β=1-圆周率∈I \\{0}βI>1，并且（A.1）将失败，因为右侧的数量将等于1。纳什均衡存在的充要条件是θ*i=所有i均为0∈ I\\J，while2 +θ*我- θ*iδiθ*iθ*I=1+βI，我∈ J、 遵循（3.5）。给定θ*一> 0，θ*i或i∈ J满足二次方程（A.2）（θ*（一）- （δi+θ*I/2）θ*i+δi（1+βi）θ*I/2=0，我∈ J、 薄风险分担市场中的有效风险规避25 discr iman等于（δi+θ*I/2）- δi（1+βi）θ*一、 其中，自-1<βi≤ 1，始终是s（无论θ的值是多少*一） 非负。方程（A.2）的两个根是δi+θ*I/2±qδi+θ*I/2- δi（1+βi）θ*我

注意sin ceδi+θ*I/2+qδi+θ*I/2- δi（1+βi）θ*我≥ δi+θ*I/2+qδi+θ*I/2- 2δiθ*I=δI+θ*I/2+|θ*I/2- δi |≥ θ*一、 和θ*必须是严格正的，它认为θ*i<θ*i对于每个i∈ J、 因此，唯一可接受的根，即唯一的非负根是θ*i=δi+θ*I/2-qδi+θ*I/2- δi（1+βi）θ*我我∈ J、 （回想一下，我们对非竞争均衡的定义考虑了具有非正斜率的线性需求函数。）换言之，u pon定义函数φi：（0，∞) 7.→ R通过φi（x）：=δi+x/2-q（δi+x/2）- δi（1+βi）x，x>0，我们应该有θ*i=φi（θ*一） f或所有I∈ J、 下一个结果给出了φifori的一些必要性质∈ J、 引理A.1。让我∈ J、 那么，φi（0+）=0，φ′i（0+）=（1+βi）/2。此外，φi是凹的，不减薄的，并使φi(∞) = δi（1+βi）。证据φi（0+）=0的事实是直接的。在特殊情况下，βi=1，我们有φi（x）=δi+x/2- |x/2- δi |=x∧ （2δi）对于x>0，结果是平凡的。什么时候-1<βi<1，φiis两次连续可微，简单计算得出φ′i（x）=-x/2- δiβiq（δi+x/2）- δi（1+βi）x，x>0，由此可立即得出φ′i（0+=（1+βi）/2。此外，另一个简单的计算给出φ′\'i（x）=-1+（x/2- δiβi）/（δi+x/2）- δi（1+βi）xq（δi+x/2）- δi（1+βi）x，x>0。因此，φ′i（x）<0，对于所有x>0的情况，等于（x/2- δiβi）<（δi+x/2）- δi（1+βi）x对于所有x>0。通过计算平方和对消项，我们得到δiβi<δi，这是正确的，因为-1<βi<1。因此，φiis为凹面。继续，简单的计算给出x-q（δi+x/2）- δi（1+βi）x=（x/2）-（δi+x/2）- δi（1+βi）xx/2+q（δi+x/2）- δi（1+βi）x=-δi+δiβixx/2+q（δi+x/2）- δi（1+βi）x，26 MICHAIL ANTHROPELOS，CONSTANTINOS KARDARAS，and D GEORGIOS Vichosmith，as x→ ∞, 具有极限δiβi。因此，φi(∞) = δi（1+βi）>0。自φi（0）=0<δi（1+βi）=φi(∞) 和φiis凹，我们得出结论，它是非减损的。

关于交易员0∈ 一、 自β>-在平衡状态下，我们应该2 +θ*我- θ*δθ*θ*I=1+β。注意θ*我- θ*=圆周率∈Jθ*i=Pi∈Jφi（θ*一） 。因此，u pon定义σ（x）：=Xi∈Jφi（x），x>0，我们应该2 +σ(θ*一） δθ*θ*I=1+β，立即给出θ*=(1 + β) δ2δ+ σ(θ*一） θ*一、 因此，在平衡状态下，以下方程式应适用于θ*一> 0：（1+β）δ2δ+σ（θ*一） θ*I+σ（θ*一） =θ*一、 换句话说，在平衡θ*我应该解方程（A.3）（1+β）δ2δ+σ（x）+σ（x）x=1，x>0。通过引理A.1，可以得出方程（A.3）的左侧在x>0时减小。其极限x=0+等于1+β+Xi∈J1+βi=| J |+Xi∈Jβi.自| J |≥ 2（回想一下J 6=) andPi∈Jβi≥ 1（根据J的定义和βI=1的事实），上述限值严格大于1。因此，（A.3）将有一个（必然唯一的）解，当且仅当极限为x→ ∞ （A.3）左侧的值严格小于1。换句话说，sin ceσ(∞) =圆周率∈J（1+βi）δi，应认为（1+β）δ<2δ+σ(∞) = 2δ+Xi∈J（1+βi）δi，即（A.1）。上述讨论表明，在（3.3）的有效性和（3.4）的失败性下，存在唯一的纳什均衡，完成了定理3.4的证明。瘦风险分担市场中的有效风险规避27参考文献【AK17】M.Anthropelos和C.Kardaras，《风险分担博弈中的均衡均衡》，金融与随机21（2017），第3期，815–865。【Ant17】M.Anthopelos，《市场力量对风险分担的影响》，数学和金融经济学11（2017），323–368。【AˇZ10】M.Anthopelos和G.ˇZitkovi\'c，《不完全市场中的代理人协议和部分均衡定价》，数学金融20（2010），第3411–446号。【Bab16】A.Babus，《金融网络的形成》，兰德经济杂志47（2016），239-272。【Bac92】K.Back，《持续时间内的内幕交易》，《金融研究评论》第5期（1992），第3期，387–409页。[BCW00]K。

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