从这两个图可以看出，sensex和12个部门的加入并不会改变连通性随时间的变化。因此，在随后的所有相关矩阵特征分析中，我们将sensex以及12个扇区包括在内。05101520253035402006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2014连通时间（a）t=0.9005101520253035402006 2007 2009 2011 2012 2013 2014连通时间（b）t=0.85FIG。1、12个部门和sensex的连通性随时间的变化0510152025302006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014连通性时间（a）连通性t=0.9005101520253034045502006 2007 2009 2010 2011 2013 2014连通性时间（b）连通性t=0.85图。2、12个扇区的连通性随时间的变化虽然阈值的选择是任意的，但不会改变结论。从图中可以看出。（1） ，（2）和（3），定性特征不随t的变化而变化，但明显的是连接的实际性质200620720082009201020112012201320014 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 0.2 0.4 0.6 0.8 1连接的时间（年）阈值连接图。3.（归一化）t=0.95、t=0.90、t=0.85、t=0.80、t=0.75和t=0.75的连通性在阈值的某个值以上变得更加明显。为方便起见，可以选择t=0.9的值，以便正常期间的连接数低于10，但在高波动期间会显著增加。从这些数据中也可以明显看出，各部门之间的相关性在危机期间相当高，而在正常时期则较低。

很明显，在金融危机期间（图中的灰色区域），市场高度相关，因此联系紧密。我们通过从图（4）中t=0.9的邻接矩阵构建两个代表月的图来进一步说明这一特征。在图中，每个扇区表示为一个节点。如果互相关矩阵中的对应条目高于阈值t=0.9，则两个节点通过链路连接。可以清楚地看到，在危机期间（如2006年4月），生成的图表与几乎所有相互关联的部门高度相关。在正常时期（如2010年5月），链接数量要少得多，但情况并非如此。AutoCfMcGittMetalPowerTeckSensex BankexDoil&GASREALTY（a）在危机期间（2006年4月）AutoSensexBankexCfMcGitteCMetalOil&GASPOWERREALTY（b）在正常期间（2010年5月）图4。比较危机期间和正常期间的连通性表征危机期间的另一种方法是查看图（5）中相关矩阵的平均值、标准偏差和标准偏差与平均值的比率。高平均相关和低标准差的时期意味着一个高度相关的市场[18]。在正常时期，平均值在0.80左右或以下；在危机期间，平均值在0.80以上，例如2006年4月，平均值达到0.85。

同样地，正常期间，标准0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.92006 2007 2008 2009 2010 2012 2013 2014平均时间（a）相关矩阵的平均值与时间0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.52006 2007 2009 2010 2012 2012 2014标准偏差时间（b）相关矩阵的标准偏差与时间0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 22006 2007 2009 2009 20102011 2012 2013 2014年同期标准偏差（c）标准偏差与timeFIG相关矩阵平均值的比率。平均值的变化，标准偏差。和Stdev。平均而言，时间偏差在0.12左右或以上，在危机期间，该值要低得多，例如2006年4月，该值降至0.10。在标准差和平均值的比率中可以看到类似的特征。相关矩阵的一些单独条目也包含关于大波动率的信息【19】。一个相对较大的最小相关性值表明，原本不相关的部门正在相互移动。如图（6）所示，在正常期间，其值远低于0.65，在危机期间，其值高于0.65。通过研究12个部门和sensex的相关矩阵的最大特征值，可以获得市场中存在的相关性的另一个良好度量。随后，我们将表示相关矩阵的最大特征值为LECM。相关矩阵的最大特征值表示变量的最大方差量，该变量可以通过一个单一的基础因子用线性模型来解释。巨大的价值是整个市场背后共同驱动力的指标【21】。这在危机期间尤其重要。

来自图。（7） ，我们可以看到，在正常期间，最大特征值低于10，在危机期间，该值为0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.72006 2007 2008 2009 2010 2012 2014最小时间（a）相关矩阵的最小元素fig。6、最小相关变化接近11。我们还可以从图（8）中清楚地看到，12个部门和sensex的相关矩阵的第二和第三大特征值在危机期间较低，但在正常期间较高。请注意，正如预期的那样【20】，相关矩阵的平均值（图（5a））和相关矩阵的最大特征值（图（7））的图在性质上是相似的。然而，我们选择使用最大特征值，而不是相关性的平均值，因为它更接近随机矩阵理论。随后，在本文中，我们使用LECM来捕捉金融市场中存在的高相关性。5 6 7 8 9 10 11 12 006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014年第一大特征值。7、相关性矩阵的最大特征值因此，我们可以认为，股票市场的任何危机期都可以具有以下特征o高波动性0.5 1 1.5 2 2.5 3 3 3.52006 2007 2008 2010 2011 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2014第二大特征值时间（a）第二大特征值0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.82006 2007 2009 2011 2012 2012 2012 2013 2014第三大特征值时间特征值时间（b）第三大特征值图。8、相关矩阵的第二大和第三大特征值o部门间的高连通性o相关性的低标准差o高平均相关度o高最大相关度在上述所有图中，灰色区域表示高波动期。

这些时期可以对照SENSEX的历史数据进行检查（见表（II）），以证明我们从表中得出的结论是正确的。期间收盘指数（最小）收盘指数（最大）显著2006年5月至7月8929.44 12612.38连续三次大跌（5月18日、19日、22日）2007年7月至9月13989.11 17291.1无连续大跌2008年1月至3月14809.49 20873.33连续三次大跌（1月18日、21日、22日）2008年8月至12月8451.01 15503.92大跌但无连续大跌表一。历史数据（SENSEX）注意，我们的分析是用月平均值，因此我们的结果只会表明至少持续一个月以上的高波动性周期。三、 在本节中，我们将探讨考虑期间的市盈率（PE）表现。让我们先定性地解释一下，为什么我们认为市盈率是即将到来的危机的重要指标。金融市场的大多数危机都是繁荣与萧条周期的一部分，这一周期由市盈率来捕捉【13，22】。请注意，假设每只股票的收益、账面价值和股息在每个季度保持不变，只有在下一季度业绩公布时才会发生变化。在没有任何外部消息的情况下，一只股票的价格波动在一个季度内几乎是随机的。然而，如果市场情绪乐观，外部因素表明下一季度业绩将显示盈利增加，那么股价的走势将是向上的。如果这种情绪持续更长时间，股票价格的上涨速度将比基于预期收益增长的上涨速度更快。由于市场中存在相关性，这将导致其他股票上涨，从而提高市盈率。如果积极情绪持续更长时间，市盈率将变得非常高。

因此，市场将变得不可持续。请注意，在此期间，无法根据季度收益和账面价值结果解释市场走势。持续不断的外部利好消息影响了市场，买家多于卖家。持续的好消息导致的不平衡将市场推高一段时间。这种市场状态是一种非常不稳定的均衡，可能会受到一连串坏消息的干扰。此后，市场崩溃，正常状态再次确立。在图（9）中，我们绘制了市盈率随时间的变化，而图（10.a）给出了LECM（12个扇区和sensex）和市盈率随时间的变化。因此，市盈率可以用来衡量市场的不可持续性，而LECM可以用来衡量整个市场对外部消息的敏感程度【24】。对于给定的（高）LECMand值和相同强度的负面外部消息，市盈率非常高的市场比市盈率低的市场更容易崩溃。在前一节中对LECM进行了分析（见图（7））。根据历史数据we10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 3099 00 01 02 03 04 05 07 08 09 10 11 12 14 15 16 PE比率时间（年）图9。PE比率随时间的变化知道，在这段时间内（i）2006年5月（ii）2008年1月，BSE发生了两起重大车祸。sensex的月市盈率（25±5）和高LECM持续较高(≥ 11） 是导致崩溃的高度不平衡市场的特征。在表（II、III）中，我们看到了这两个事件之前、期间和之后PE比率的变化以及相关矩阵（LECM）的最大特征值。SensexJan 06月LECM PE比率7.75 18.6 2006年2月5.46 18.64 2006年3月6.4 20.04 2006年4月8.68 21.35 2006年5月11日20.41 2006年6月11.2 17.9表二。

2006年5月左右SensexOct的LECM PE比率07 9.04 24.8611月07日8.83 25.4412月07日8.17 26.941月08日11.32 25.532月08日9.82 22.23 3月08日10.76 20.184月08日6.98 20.71 5月08日7.11 20.666月08日9.25 18.22表三。2008年1月左右，PE比率高值表明市场不可持续，而LECM高值表明一个部门的波动更大可能影响整个市场。从图（10）以及表（II、III）和图（11和12）中的数据中，我们可以做出几点评论：o2006年5月股市崩盘时的市盈率和LECM低于2008年1月。因此，2006年车祸的严重程度较低与2006年5月不同的是，在2008年1月股市崩盘之前的几个月里，Sensex的市盈率一直较高。我们可以得出结论，在2006年危机之前，市场略微偏离正常，而在2008年危机之前，市场处于非常高的非均衡状态从图（9）中，我们可以看到市盈率高于20的其他情况，但从图（7）中，我们可以看到，在此期间，LECM较低，因此市场没有崩溃在图（10.b）中，我们绘制了LECM和PE比率的参数空间。黄色圆圈中标记的数据点是2008年1月，当时LECM和PE比率都很高。这就是危机的开始，直到2008年11月，市场一直在自由落体。这由红色框中的值显示。我们的结论也可以通过查看图（11和12）来轻松验证，图中列出了整个考虑期间的PE比率和LECM。0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 1月6日2月8日2月10日3月12日4月14日MonthleCMPE（Sensex）（a）LECM和PE比率随时间的变化10 15 20 25 30 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00PELECM（b）LECM和PE比率的参数空间。10

LECM和市盈率总结起来，LECM的大值意味着几乎所有行业都在朝着同一方向发展。在大跌期间，几乎所有板块都朝着同一方向运动，这似乎很自然。这意味着在危机时期，我们应该有大的主特征值。我们的分析证实了这一点。我们的研究还表明，反之亦然；在正常/高波动期，我们有时会得到较大的主特征值。如数据所示，需要较高的市盈率和较高的LECM来推动市场走向崩溃。在本文中，我们表明，同时研究LECM和PE比率是金融市场崩溃的良好指标。事实上，这些数据也可以用来预测近期的崩盘，但崩盘的严重程度将取决于当时的市场状况[25]）。此外，崩盘的持续时间取决于负面情绪在市场上持续的时间，而这又取决于负面消息的持续时间。四、 结论本文的目标是通过研究BS8年来的每日收益率，找出股市崩盘的指标。让我们再次强调，由于我们的数据集是每日收益率，因此我们所有的报表都与高波动期相关，波动期至少超过一个月。特别是，如果股市单日暴跌没有导致（或曾经是）持续的大幅波动，我们将无法检测到股市的单日暴跌。牢记这一警告，让我们简要地回顾一下我们所做的工作。众所周知，当不切实际的回报预期将股价推到极高的水平时，市场会在一段时间内自我纠正。众所周知，在市场崩盘期间，所有部门的指数都会下跌，无论其表现是否良好。

第一个特征可以通过高PE比来表征，而第二个特征可以通过互相关矩阵（LECM）最大特征值的高值来表征。这表明，同时研究PE比率和LECM这两个参数的行为可能是表征碰撞的一种方法。这正是我们在本文中所做的。我们表明，通过同时研究操作和LECM的行为，我们实际上可以确定碰撞实际发生的时间。我们还认为，持续的高市盈率和高LECM是一个不稳定市场面临即将崩溃的有力指标。我们的结果的一个主要优点是，它只需要两个参数进行预测。预计从投资组合管理和经济政策决策的角度来看，这将具有重大意义。它在未来的金融市场建模中也可能具有很大的价值。然而，这项研究还需要扩展到其他市场和其他经济体，以加强研究结果。我们还预计，股票交易量可能在研究股市崩盘方面发挥关键作用。这一方面，以及按照此处进行的分析对其他一些市场进行定性和定量研究，是未来工作的一个方向。[1] R.N.Mantegna和H.E.Stanley，“经济物理学导论”，剑桥大学出版社，剑桥，（1999年）。Sitabhra Sinha、Arnab Chatterjee、Anirban Chakraborti和Bikas K.Chakrabarti，《经济物理学：导论》，Wiley VCH，Weinheim，（2010）。[2] C.D.Romer，“是什么结束了大萧条”，《经济史杂志》第52卷，第4期，（1992年）。J、 A.Tapia Granados和A.V.Diez Roux《大萧条期间的生与死》，PNAS第106卷，第411729017295号，（2009年）。[3] V.Plerou，P.Gopikrishnan，B.Rosenow，L.A.Nunes Amaral，T。

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2010年1月至2014年4月期间12个行业的LECM与sensex和PE（sensex）的变化