因此，我们确定了给定FNτt的（E，X）的唯一正则条件分布-关于可测空间（{τt<∞}, {τt<∞} ∩ F） 配备测量P（·）∩ {τt<∞})/P（{τt<∞}) （Kallenberg，2002，定理6.3，第107页）。此外，观察映射（ω，m）7→ λ（ω，τt（ω），m）1{τt（ω）<∞}is FNτt-B（M）可测量，参见Kallenberg（2002，第492页）中的引理25.3。使用Kallenberg（2002，第14页）中的引理1.26，我们得出由f（ω，e，x）定义的函数=λ（ω，τt（ω），e，x）RMλ（ω，τt（ω），m）um（dm）{τt（ω）<∞}, ω∈ Ohm, e∈ E，x∈ X是FNτt- B（M）-可测量。然后我们可以应用引理3.6，G=FNτt-和A={τt<∞}. 这个庄园十、∈ dx |σ（E）∨ FNτt-{τt<∞}=λ（τt，E，x）RXλ（τt，E，x）ux（dx）ux（dx）1{τt<∞}, a、 s.（3.5）MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.s.通过将术语φ（x | e，Xt）视为应用于（e，x，θtN<0）的可测函数，其中φ（x，e |ξ）=φ（x | e，F（ξ）），并使用状态函数F和转移函数φ的可测性，我们通过引理3.4得出φ（x | e，θtN<0），t∈ R、 e类∈ E，m∈ M，FN是可预测的。同样，注意η（e |θtN<0），t∈ R、 e类∈ E，也是FN可预测的（这在证明效率时很有用）。此外，由于λ的假设，λ（ω，t，e，x）RXλ（ω，t，e，x）ux（dx）=φ（x | e，Xt（ω）），P（dω）dtuM（de，dx）-a.e。因此，使用引理3.5，（3.5）成为十、∈ dx |σ（E）∨ FNτt-{τt<∞}= φ（x | E，xτt）ux（dx）1{τt<∞}, a、 为了得到（2.6），需要注意的是，Xτt=Xt+on{τt<∞} 由于通过定义τt，时间间隔（t，τt）上没有事件。此外，由于基点过程N（·×M）允许FN强度，我们得到N（{t}×M）=0 a.s.，这意味着Xt+=Xta。s

要显示备注2.14中的陈述，只需使用（2.6）和塔楼属性即可获得F{τt<∞}十、∈B= EF{τt<∞}E十、∈B |σ（E）∨ FNτt-= EF{τt<∞}ZBφ（x | E，Xt）ux（dx）对于所有F∈ σ（E）∨ FNt，B∈ B（X）并观察rbφ（X | E，Xt）uX（dx）是σ（E）∨ FNt可测量。效率。假设N是R×M上的一个非爆炸性标记点过程，因此它允许相对于uMand的anFN强度，因此陈述（i）和（ii）成立。我们想证明λ（ω，t，e，x）=φ（x | e，Xt（ω））η（e |θtN（ω）<0）对于所有t∈ R≥0，通过使用语句（ii）、（3.5）、引理3.3和3.5以及语句（i），我们得到φ（x | E，xτt）ux（dx）1{τt<∞}= P十、∈ dx |σ（E）∨ FNτt-{τt<∞}=λ（τt，E，x）RXλ（τt，E，x）ux（dx）ux（dx）1{τt<∞}=λ（τt，E，x）λE（τt，E）ux（dx）1{τt<∞}=λ（τt，E，x）η（E |θτtN<0）ux（dx）1{τt<∞}, a、 这意味着∈ R≥0，我们有λ（τt，E，x）1{τt<∞}= φ（x | E，xτt）η（E |θτtN<0）1{τt<∞}, uX（dx）-a.e.，a.s.这将同时保持所有t∈ Q∩ R≥0，其中，使用N中的事件数是可数的且在任何有界时间间隔内是有限的，λ（ω，t，e，x）=φ（x | e，Xt（ω））η（e |θtN（ω）<0），P（dω）NE（ω，dt，de）ux（dx）-a.e。通过引理3.5，上述等式意味着λ（ω，t，e，x）=φ（x | e，Xt（ω））η（e |θtN（ω）P（dω）λe（ω，t，e）dtuM（de，dx）-a.e.注意，在λe（ω，t，e）=0时，我们得到η（e |θtN（ω）<0）=0保持P（dω）dtue（de）-a.e，λ（ω，t，e，x）=0保持P（dω）dtue（de）ux（dx）-a.e。（再次使用引理3.3），我们得出上述方程实际上保持P（dω）dtuM（de，dx）-a.e。混合标记点过程：特征化、存在和唯一性4在本节中，我们用下面给出的泊松嵌入引理证明了强存在性结果（定理2.17）。

随后，我们还证明了强唯一性和弱唯一性结果（定理2.20和2.21）。4.1序言4.1.1违反Lipschitz条件的示例。这里我们给出了一个不满足Lipschitz条件（2.8）的混合标记点过程的例子，这意味着Massouli'e（1998）中的存在性和唯一性结果不适用。示例4.1。设置E={0，1}和X={0，1}，其中uE=δ+δ，uX=δ+δ。考虑与过渡函数φ和事件函数η的混合标记点过程相对应的强度函数ψ（见定义2.9）。取η为形式为η（e |ξ）=ν+ZZR<0×Mk的Hawkes泛函(-t、 x，e）ξ（dt，de，dx），其中ν∈ R> 0和k：R>0×X×E→ R> 0在时间上是连续的，并且严格为正。让t∈ R<0并选择ξ，ξ∈ N#gR×Msuchξ和ξ重合(-∞, t] （即θtξ≤0=θtξ≤0），但F（ξ）=0，F（ξ）=1（因此，ξ和ξ在（t，0）上不重合）。还假设φ（0 | 0，1）>φ（0 | 0，0），η（0 |ξ）<∞,andRR（t，0）×Mk(-t、 x，0）ξ（dt，de，dx）>RR（t，0）×Mk(-t、 x，0）ξ（dt，de，dx）。然后，在留给读者的一些计算之后，|ψ（0，0 |ξ）- ψ(0, 0 | ξ)| ≥ (φ(0 | 0, 1) - φ（0 | 0，0））ZZ(-∞,t] ×Mk(-t、 x，0）ξ（dt，dx）。接下来，考虑任何非负核k:R>0×M×M→ R≥0.我们有thatZZR<0×Mk(-t、 m，0，0）|ξ- ξ|（dt，dm）=ZZ（t，0）×Mk(-t、 m，0，0）|ξ- ξ|（dt，dm）。现在我们可以根据需要在ξ和ξ上添加任意多的点(-∞, t] 保证|ψ（0，0 |ξ）- ψ（0，0 |ξ）|>ZZR<0×Mk(-t、 m，0，0）|ξ- ξ|（dt，dm）。因此，强度泛函ψ不满足Lipschitz条件（2.8）。4.1.2泊松过程的积分。我们首先明确了点过程和随机测量之间的联系。

可测空间（S，S）上的随机测度M是映射M：Ohm ×S→ R≥0∪ {∞} 使得M（ω，·）是（S，S）上所有ω的度量∈ Ohm M（·，A）是所有A的随机变量∈ S、 见Kallenberg（2002年，第106页）和Cinlar（2011年，第6章，第243页）。注意，第2.1.6小节的内部历史和适应性概念可以直接扩展到随机测量。毫不奇怪，点过程正是有界整数值随机测度。提案4.2。设N是（U，B（U））上的随机测度，使得N（ω，·）∈ N#uF全部ω∈ Ohm. N是U上的非爆炸点过程。反过来，U上的任何非爆炸点过程N是（U，B（U））上的随机测度，使得N（ω，·）∈ N#uF全部ω∈ Ohm.MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.Proof。见提案9.1。《Daley和Vere Jones》第八卷（2008年，第8页）。可以证明，泊松过程是C,nlar意义上的泊松随机测度（2011年，第6章，第249页）。这使我们能够应用关于泊松随机测度的积分的一个重要结果。在说明结果之前，我们需要明确泊松过程相对于过滤的泊松意义。定义4.3。设N是R×U上的泊松过程，F=（Ft）t∈Rbe a过滤。我们说，对于所有t，N是相对于F的泊松∈ R、 点过程θtN≤0ft是可测的，σ（θtN>0）与Ft无关。很平常，泊松过程N相对于其内部历史FN总是泊松的。下一个结果在泊松嵌入技术中起着至关重要的作用，该技术后来被用于构造具有给定强度的标记点过程。定理4.4。设N是R×U上的泊松过程，参数测度为ν。设F=（Ft）t∈Rbe a过滤，并假设N是相对于F的泊松。

然后，对于每个非负F-可预测过程h：Ohm ×R×U→ R≥0，我们有ZZR×UH（t，u）N（dt，du）= EZZR×UH（t，u）ν（dt，du）.证据参见C,inlar（2011年，第6章，第299页）中的定理6.2。4.1.3驱动泊松过程。我们证明了映射M：Ohm → （2.9）定义的N#R×M×rd仍然是一个泊松过程。引理4.5。映射M：Ohm → N#R×M×Ris是R×M×R上的泊松过程，参数为uM（dm）dz。此外，M是相对于F.Proof的泊松分布。通过合成，利用M>0的可测性，很容易检查M是可测映射，因此，它是一个非爆发点过程。为了证明M是一个泊松过程，参数测量为uM（dm）dz，请注意，对于任何n∈ N、 对于每个有界集族（Ai）i∈{1，…，n}，对于所有k，千牛∈ N、 P（M（Ai）=ki，i=1，n） =P>0（M>0（Ai）=ki，i=1，n） ，并使用M>0是一个泊松过程的事实，其参数度量为dtuM（dm）dz。显示θtM≤0英尺是否可测量任何t∈ R、 使用θtM≤0>0是FM>0t可测量的（因为泊松过程始终是相对于其内部历史的泊松）以及组合参数。类似地，可以显示σ（θtM>0） {, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0），因此，为了证明σ（θtM>0）与Ft无关，可以证明{, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0）与Ft无关。为此，让A≤0∈ {, Ohm≤0}，A>0∈ σ（θtM>0>0），B≤0∈ FN公司≤0和B>0∈ FM>0t。然后，利用M>0是相对于FM>0的泊松的事实，我们得到了p（A≤0×A>0∩ B≤0×B>0）=P（A≤0∩ B≤0×A>0∩ B> 0）=P≤0（A≤0∩ B≤0）P>0（A>0∩ B> 0）=P≤0（A≤0）P≤0（B≤0）P>0（A>0）P>0（B>0）=P（A≤0×A>0）P（B≤0×B>0）。混合标记点过程：特征、存在性和唯一性这表明两个π-系统生成{, Ohm≤0}σ（θtM>0>0）和FN≤0吨FM>0t分别是独立的。我们使用Kallenberg（2002，p。

50）该{, Ohm≤0}σ（θtM>0>0）和FN≤0吨FM>0独立。然后我们可以验证{, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0）保持独立于完成fn≤0吨 FM>0t，定义为Ft。事实上，请记住，Ft：=σ（C），C：=（FN≤0吨 FM>0t）∪ A其中A表示F中P-null集的所有子集的类。然后注意到C是π-系统{, Ohm≤0}  σ（θtM>0>0）与C.4.1.4泊松嵌入引理无关。我们现在可以展示以下关键引理，它演示了泊松过程M的额外维度如何允许我们生成具有给定强度的标记点过程。引理4.6（泊松嵌入）。设λ：Ohm ×R>0×M→ R≥0是F-可预测的流程。然后，映射n：Ohm ×B（R>0×M）→ R≥0∪ {∞}（ω，A）7→ N（ω，A）：=ZZAZ（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）（4.1）是R>0×m上的F-自适应整值随机测度。此外，对于每个非负F-可预测过程H：Ohm ×R>0×M→ R≥0，我们有ZZR>0×MH（t，m）N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t，m）λ（t，m）um（dm）dt.证据首先，让我们∈ B（R>0×M），并考虑以下成分（ω，t，M，z）7→ （λ（ω，t，m），z）7→ 1（0，λ（ω，t，m）]（z）注意到1（0，λ（ω，t，m）]（z）通过Kallenberg（2002，第5页）中的引理1.7和引理1.8是F可预测的。然后，两个F-可预测过程的乘积1A（t，m）1（0，λ（ω，t，m）]（z）也是Kallenberg（2002，第7页）中的Emma 1.12的F-可预测。这确保了所有ω的积分zzaz（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=ZZZR>0×m×RA（t，m）1（0，λ（ω，t，m）]（z）m（ω，dt，dm，dz）均已定义∈ Ohm N（·，A）是一个随机变量（见第2.1.5小节）。第二，让ω∈ Ohm. 对于任何不相交集A的有限族，一∈ B（R>0×M），n∈ N、 我们显然有N（ω，Si≤nAi）=Pi≤nN（ω，Ai），这意味着N（ω，·）是完全相加的。为了证明N（ω，·）是可数可加的，调用有限可加性并应用单调收敛定理。

前两个步骤表明，N确实是一个随机度量。第三，为了证明N是F适应的，首先考虑过程λ：Ohm ×R>0×M→ R≥形式为λ（ω，t，m）=1F（ω）1（s，u）（t）1C（m），其中F∈ Fs、s、u∈ R> 0，s<u，C∈ B（米）。对于任何t∈ R> 0，anyA∈ B（R>0），使得A （0，t）和任何B∈ B（M），我们得到n（ω，A×B）=1F（ω）M（ω，A∩ （s，u）×B∩ C×（0，1）），这是Ft可测量的，因为M是引理4.5的F适应。因此，N是F自适应的。为了将此结果推广到任何F-可预测过程λ，可以使用单调类参数，如命题a.4.1的证明中的例子。MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.第四，letω∈ Ohm. 通过N的定义和积分的线性，对于R>0×M上的所有简单非负函数f，我们得到了zzr>0×Mf（t，M）N（ω，dt，dm）=ZZZR>0×M×Rf（t，M）1（0，λ（ω，t，M）]（z）M（ω，dt，dm，dz）。然后，通过Kallenberg（2002，第7页）中的引理1.11和单调收敛定理，我们得到了上述等式适用于任何B（R>0×M）-可测非负函数f。特别是，对于所有ω∈ Ohm,ZZR>0×MH（ω，t，m）N（ω，dt，dm）=ZZZR>0×m×RH（ω，t，m）1（0，λ（ω，t，m）]（z）m（ω，dt，dm，dz）。第五，利用引理4.5和定理4.4，我们推导出ZZR>0×MH（t，m）N（dt，dm）= EZZZR>0×M×RH（t，M）1（0，λ（t，M）]（z）M（dt，dm，dz）= EZZZR>0×M×RH（t，M）1（0，λ（t，M）]（z）dtuM（dm）dz= EZZR>0×MH（t，m）λ（t，m）um（dm）dt.备注4.7。Br'emaud和Massouli'e（1996，引理3，第1571页）、Massouli'e（1998，引理1，第3页）和Torrisi（2016，引理2.1，第4页）给出了类似的结果。他们参考Lewis和Shedler（1976）和Ogata（1981）进行证明。我们证明的第五部分遵循Daley和Vere Jones（2008，命题14.7.I，第427页），但我们无法在任何地方找到前四部分。对于特殊情况M={0}（即，对于单变量点过程），C,nlar（2011，定理6.11，p。

303）而Chevallier et al.（2015，定理B.11）给出了一个替代性证明。此外，我们的引理版本没有对λ施加任何局部可积条件，因此也没有说明所获得的随机测度是否有界。最后，请注意，（4.1）可以使用Massouli'e（1998）的紧凑表示法重写为N（dt，dm）=M（dt，dm，[0，λ（t，M）]），t∈ R> 0。现在，我们可以证明Thorem 2.17中的最终陈述，我们在此重申这一推论。推论4.8。让N：Ohm → N#gR×Mbe在假设a、B、C或假设a、D、E下，泊松驱动的SDE（定义2.16）的解。然后，N将ψ作为其在R>0上的强度函数。证据让G∈ F是（2.10）中几乎可以确定的事件。考虑以下对N和λ的修改，其中λ的定义如（2.10）所示：~N（ω）：=N（ω）1G（ω），ω∈ Ohm, 和∧（ω，t，m）：=λ（ω，t，m）1G（ω），ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M然后，N和λ满足（4.1），使用假设B.（i）和C或假设D.（i）和E.（ii），可以检查λ（ω，t，m）<∞ 对于所有ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M此外，根据引理3.4，λ是FN可预测的，因此，F可预测，因为N是F自适应的。由于过滤F是完整的，这意味着∧也是可预测的。现在，考虑任何非负FN可预测过程H：Ohm ×R>0×M→ R≥0和applyHYBRID标记点过程：特征化、存在性和唯一性引理4.6到obtainEZZR>0×MH（t，m）N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t，m）~N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t，m）～λ（t，m）um（dm）dt= EZZR>0×MH（t，m）λ（t，m）um（dm）dt.我们使用引理3.2得出结论，N允许ψ作为其强度泛函。给定R×M上解（2.10）或通过引理4.6中的泊松嵌入定义的非爆炸点过程N，我们可以问，N实际上是一个非爆炸标记点过程。

为此，确定由驱动泊松过程M引起的以下随机测度是有用的：Ln（ω，·）：=M（ω，·×M×（0，n）），ω∈ Ohm, n∈ N、 然后，我们可以在λ上找到以下有效条件。引理4.9（简单地面测量）。设λ：Ohm ×R>0×M→ R≥0是一个F-可预测过程，并且是（4.1）定义的R>0×M上的F-自适应整值随机测度。那么，如果假设Aholds和假设supm∈Mλ（t，M）<∞ 对于所有t∈ R> 0，a.s.，我们有N（{t}×M）≤ 所有t均为1∈ R> 0，a.s.证明。每个ln都是R上的泊松随机测度，在C,nlar（2011年，第6章，第249页）的意义上，具有有界的有限参数测度nuM（M）dt。将C,nlar（2011年，第6章，第256页）中的定理2.17应用于每个n∈ N、 存在集合B∈ F使得P（B）=1，并且对于所有ω∈ B和n∈ N、 Ln（ω）∈ N#gR（即Ln，N∈ N、 同时也很简单）。接下来，让A成为几乎可以肯定的事件∈Mλ（t，M）<∞ 对于所有t∈ R> 0。固定ω∈ A.∩ B并使用λ的假设来确定n（ω，{t}×M）=Z{t}ZMZ（0，λ（ω，s，M）]M（ω，ds，dm，dz）≤ Mω、 {t}×M×0，supm∈Mλ（ω，t，M）≤ M（ω，{t}×M×（0，p（ω，t）]）=Lp（ω，t）（ω，{t}）≤ 1，其中p（ω，t）∈ N表示supm∈Mλ（ω，t，M）≤ p（ω，t）。4.2强存在性：通过泊松嵌入的路径构造4.2.1假设A、B、C下的存在性。我们首先提出候选解N的构造：Ohm → N∞R×Mto（2.10）。我们以一种循序渐进的方式前进。在假设A下，使用泊松过程的定义，不难看出，给定n∈ N、 Ln公司∈ N#Ra。s、 这意味着f：={ω∈ Ohm | Ln（ω）∈ N#R，N∈ N}∈ Fis是一个几乎可以肯定的事件，它在我们的路径构建中起着关键作用。算法4.10。构造映射N：Ohm → N∞R×Mas如下。

对于所有ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 初始值（ω）：=N≤0(ω≤0），T（ω）：=0，M（ω）：=, λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0），对于所有t∈ R> 0，m∈ M递归定义序列（Nn）n∈N、 （Tn）N∈N、 （Mn）N∈N、 和（λN）N∈Nas紧随其后。适用于所有n∈ N、 MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.o如果Tn（ω）<∞, thenTn+1（ω）：=sup（u>Tn（ω）：ZZ（Tn（ω），u）×MZ（0，λn（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0；（4.2）–如果Tn+1（ω）<∞, thenMn+1（ω）：={m∈ M:M（ω，{Tn+1（ω）}×{M}×（0，λn（ω，Tn+1（ω），M）]）>0}；Nn+1（ω）：=n+1Xi=1Xm∈Mi（ω）M（ω，{Ti（ω）}×{M}×（0，λi-1（ω，Ti（ω），m）]）δ（Ti（ω），m）；（4.3）λn+1（ω，t，m）：=ψ（m |θtNn+1（ω）<0），t∈ R> 0，m∈ M（4.4）–如果Tn+1（ω）=∞, thenMn+1（ω）：= ;Nn+1（ω）：=Nn（ω）；λn+1（ω，t，m）：=λn（ω，t，m），t∈ R> 0，m∈ M；o如果Tn（ω）=∞, thenTn+1（ω）：=∞ ;Mn+1（ω）：= ;Nn+1（ω）：=Nn（ω）；λn+1（ω，t，m）：=λn（ω，t，m），t∈ R> 0，m∈ M对于所有ω=（ω≤0, ω>0) ∈ Ohm \\ F、 设置Nn（ω）：=N≤0(ω≤0），Tn（ω）：=∞, Mn（ω）：= , λn（ω，t，m）：=0，t∈ R> 0，m∈ M，表示所有n∈ N、 那么，对于所有ω∈ Ohm, 适用于所有n∈ N、 定义N（ω）开(-∞, Tn+1（ω））乘以θTn+1（ω）N（ω）<0：=θTn+1（ω）Nn（ω）<0。还应确定爆炸时间T∞（ω） ：=limn→∞Tn（ω）。如果T∞(ω) <∞, 将N（ω）扩展到[T∞(ω), ∞) 按θT∞（ω） N（ω）≥0:= 0. 这相当于定义N（ω）asN（ω）：=limn→∞Nn（ω）=∞Xn=1Xm∈Mn（ω）M（ω，{Tn（ω）}×{M}×（0，λn）-1（ω，Tn（ω），m）]）δ（Tn（ω），m）{Tn（ω）<∞}.如果（4.2）中的集合为空，则算法4.10将无法定义。这意味着在时间Tn之后会有很多事件。以下命题表明，这实际上从未发生过，因此，确保了算法4.10得到了很好的定义。我们还需要证明集合Mnis fine和thatNn（ω）∈ N#R×m对于所有N∈ N、 因为否则λN（ω，t，m）可能定义不清（ψ是函数onM×N#R×m）。提案4.11。

在算法4.10中，在假设A、B.（i）和C的情况下，对于每个ω∈ F、 卡片（Mn（ω））<∞, Nn（ω）∈ N#R×M，kλik（ω）：=supt>0，M∈Mλi（ω，t，M）<∞, 适用于所有n∈ N、 和（u>Tn（ω）：ZZ（Tn（ω），u）×MZ（0，λN（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6= 适用于所有n∈ N s.t.Tn（ω）<∞.因此，算法4.10在这些假设下得到了很好的定义。混合标记点过程：特征、存在性和唯一性证明。我们通过归纳给出了期望的结果。取任意ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 让n∈ N尽管我∈ n确保i<n和Ti（ω）<∞, 假设（u>Ti（ω）：ZZ（Ti（ω），u）×MZ（0，λi（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6=. （4.5）尽管我∈ N这样我≤ n、 假设Ni（ω）∈ N#R×Mand kλik（ω）：=supt>0，m∈Mλi（ω，t，M）<∞.如果Tn（ω）=∞, 然后，通过构造，这对于n+1也是如此。现在，假设Tn（ω）<∞. 我们首先表明（4.5）对于i=n也成立。取任何ε>0。我们有thatzz（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×MZ（0，λn（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）≤ M（ω，（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×M×（0，kλnk（ω）]）≤ Lpn（ω）（ω，（Tn（ω），Tn（ω）+ε））=：Un（ω，ε）<∞,其中pn（ω）∈ N等于kλnk（ω）≤ pn（ω），我们使用Lpn（ω）（ω）∈ N#R.如果Un（ω，ε）=0，则显然（4.5）满足i=N。如果不满足，则M（ω）在（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×M×（0，kλnk（ω）]中有一个有限的点数，并且存在0<ε<ε，使得Un（ω，ε）=0，在这种情况下（4.5）再次满足i=N。请注意，（4.5）中的积分定义良好，因为i（ω，ε）=ω，·，·）是R>0×M上所有ω的可测函数∈ Ohm. 要了解这一点，请考虑组成（t，m）7→ （m，θtNi（ω）<0）7→ ψ（m |θtNi（ω）<0）和useLemma A.2.3，Kallenberg（2002）中ψ和引理1.8的可测性。其次，我们展示了卡片（Mn+1）<∞ 和Nn+1（ω）∈ N#R×M。

如果Tn+1（ω）=∞, 那么这是立即的。如果不是，则再次使用该Lpn（ω）（ω）∈ N#R，Xm∈Mn+1M（ω，{Tn+1（ω）}×{m}×（0，λn（ω，Tn+1（ω），m）]）≤ M（ω，{Tn+1（ω）}×M×（0，kλnk（ω）]）≤ Lpn（ω）（ω，{Tn+1（ω）}）<∞,这意味着集合Mn+1（ω）是有限的，并且从（4.3）来看，Nn+1（ω）∈ N#R×M。注意，这也证明了Nn+1（ω，（0，Tn+1（ω））×M）<∞.第三，我们证明了kλn+1k（ω）<∞. 如果Tn+1（ω）=∞, 那么这是立即的。如果不是，通过（4.4）并使用假设B.（i）和（4.3），我们得到所有t>0，m=（x，e）∈ M，λn+1（ω，t，M）≤ a（Nn+1（ω(-∞, t） ×M））=a（Nn+1（ω(-∞, 0]×M）+Nn+1（ω，（0，t）×M））≤ a（N≤0(ω≤0, (-∞, 0]×M）+Nn+1（ω，（0，Tn+1（ω））×M））。（4.6）由于Nn+1（ω，（0，Tn+1（ω））×M）<∞ 假设C，N≤0(ω≤0, (-∞, 0]×M）<∞, 这意味着kλn+1k（ω）<∞.关于这个归纳的基础，N（ω）=N是直接的≤0(ω≤0）∈ N#R×M.见kλk（ω）<∞, 简单设置n=-1英寸（4.6）。我们证明构造的映射N：Ohm → N∞R×mStatis（2.10）直到每个事件时间。提案4.12。在假设A、B.（i）和C下，映射N：Ohm → N∞由算法4.10得到的R×m使得N（ω）在(-∞, 所有n的Tn（ω）∈ N、 对于所有ω∈ F、 MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.Proof。定义过程λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0），ω∈ Ohm, t型∈ （0，T∞（ω） ），m∈ M取任意ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 按构造，N（ω）≤0=N（ω）=N≤0(ω≤0），因此，N满足强初始条件N≤0、取任意n∈ N使得Tn+1（ω）<∞ 在算法4.10中，考虑时间间隔（Tn（ω），Tn+1（ω）]。通过构造，我们得到所有t的nn+1（ω，dt，dm）=M（ω，dt，dm，（0，λn（ω，t，M）]∈ （Tn（ω），Tn+1（ω）]。

（4.7）但是，根据定义(-∞, Tn+1（ω）]，N（ω）=Nn+1（ω），因此，对于所有t∈ （0，Tn+1（ω）]，m∈ M，λ（ω，t，M）=ψ（M |θtN（ω）<0）=ψ（M |θtN+1（ω）<0）=ψ（M |θtN（ω）<0）=λn（ω，t，M），通过λn的定义（4.4），因为Nn+1（ω）和Nn（ω）只能在时间tN+1（ω）时通过质量进行区分。因此，（4.7）可以在（Tn（ω），Tn+1（ω）]asN（ω，dt，dm）=M（ω，dt，dm，（0，λ（ω，t，M）]上重写。（4.8）这表明构造的N（ω）在(-∞, Tn（ω）]，对于所有n∈ N使得Tn（ω）<∞.现在，如果有n∈ N使得Tn（ω）<∞ 和Tn+1（ω）=∞, 很明显，构造的N（ω）在（Tn（ω）上为空，∞) 通过类似的论证，（4.8）保持不变（Tn（ω），∞). 现在我们可以得出结论，N（ω）在(-∞, 所有n的Tn（ω）∈ N在两种情况下，Tn（ω）<∞ 和Tn（ω）=∞.对于强大的存在性证明来说，证明所有n∈ N、 NNI适应过滤F和λnis F-可预测。提案4.13。在算法4.10中，对于所有n∈ N、 λnis F-可预测，Nnis是F-适应的非爆炸点过程，Tnis是F-停止时间。证据我们采用归纳法。就基础而言，由于过滤F已完成，显然已适应，这是一个F停止时间。现在假设Nnis F-adapted和Tnis是某个n的F-stopping时间∈ N、 首先，观察到这意味着λnis F-可以通过简单地使用恒等式λN（ω，t，m）=ψ（m |θtNn（ω）<0）1F（ω）并调用引理3.4预测，事实上FNnt 英尺，吨∈ R、 假设F是完备的。第二，让t∈ 注意{Tn+1≤ t}=ZZZR×M×R（Tn，t）（s）1（0，λn（s，M）]（z）M（ds，dm，dz）>0∩ {Tn<∞} ∩ F、 （4.9）因为Tn是F-停止时间，我们有（1（Tn，t）（s））s∈Ris F-适应并左连续，这意味着它是F-可预测的，参见Kallenberg中的引理25.1（2002，第491页）。

根据引理4.6证明的第三部分的论证，我们推断（4.9）右侧的第一个事件属于FTA，因此Tn+1是F停止时间。第三，使用命题4.12并查看算法4.10，注意Nn+1的满意度Nn+1（ω，dt，dm）=M（ω，dt，dm，（0，λn（ω，t，M）1{t≤Tn+1（ω）}），ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，N≤0（ω）=N≤0(ω≤0), ω = (ω≤0, ω>0) ∈ Ohm,式中λn（t，m）1{t≤Tn+1}作为F-可预测过程的产物是F-可预测的，请注意，1{t≤Tn+1}是F自适应的，并且保持连续，因为Tn+1是F停止时间。现在，应用引理4.6，可以得出NN+1确实是F适应的。混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性在假设a、B和C下，我们现在能够证明定理2.17，强度泛函如下：ψ：M×N#R×M→ R≥0∪ {∞}（m，ξ）7→ ψ（m |ξ）：=a（ξ((-∞, 0）×M）。不过，请注意，以下证明的第一步对于满足假设B的一般强度泛函ψ仍然成立，并将在定理2.17证明的其他部分中重复使用。定理2.17第1部分的证明。让N：Ohm → N∞算法4.10在假设A，带C下给出的R×Mbe，命题4.11很好地定义了这一点，这里考虑特殊情况ψ=ψ。我们将证明N承认了一个解决泊松驱动SDE的版本。我们分四步进行。首先，注意对于所有ω∈ Ohm, t<t∞（ω） ，存在n个∈ N使得θtN（ω）<0=θtNn（ω）<0，根据命题4.15，过程λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0）1F（ω）1{t<t∞(ω)}, ω ∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M，是定义明确的，对于所有ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ M，λ（ω，t，M）=limn→∞ψ（m |θtNn（ω）<0）1F（ω）1{t<t∞（ω） }=limn→∞λn（ω，t，m）1{t<t∞(ω)}.根据命题4.12，由于我们构造N的方式，我们得到了N和λ满足（4.1）。ByProposition 4.13，适用于所有n∈ N、 λnis F-可预测，tn是F-停止时间。

自T起∞= 画→∞Tn，我们有那个T∞是F-可预测时间，引理25.3表示。（ii）在Kallenberg（2002，第492页）中，1{t<t∞}是F-可预测的。由于λ是F-可预测过程的一个极限，我们在Kallenberg（2002年，第6页）的引理1.9中发现λ也是F-可预测的。因此，我们可以应用引理4.6得到N是自适应整值随机测度。接下来步骤的主要目标是显示∞= ∞ a、 其次，根据4.11号提案，我们可以看到supm∈Mλ（ω，t，M）<∞ 对于所有t∈ R> 0，ω∈ Ohm.因此，根据引理4.9，存在并且几乎可以确定的事件G∈ 其中N（{t}×M}）的F≤ 所有t均为1∈ R、 设▄N，（▄Nn）N∈N、 （Tn）N∈NandT∞与N重合，（Nn）N∈N、 （Tn）N∈与非T∞在G上。在G外，设置▄N：=0，▄Nn：=0，▄Tn：=∞, 适用于所有n∈ N、 和▄T∞:= ∞. 定义RNM（·）：=~N（·×M），~NM，N（·）：=~Nn（·×M），N的随机测量值∈ N、 并定义过程λ（ω，t）：=limn→∞a（～NM，n（ω(-∞, t） ））1{t<t∞（ω） }=a（￠NM（ω(-∞, t） ））1{t<t∞(ω)}, ω ∈ Ohm, t型∈ R> 0。自{Tn≤ t} ={NM（（0，t）]）≥ n} ，tn实际上是一个F NM停止时间，因此，在第一步中重复使用参数，我们得到了1{t<t∞}FNM可预测。此外，通过引理3.4，我们得到了（a（~NM，n((-∞, t） ）））t>0表示FNM，n-可预测，因此，FNM可预测。因此，再次使用引理1.9 inKallenberg（2002，第6页），我们得出∧也是FNM可预测的。下一步，因为对于所有t，N=N a.s.；且λ（t）=λ（t，m）∈ R> 0，m∈ 因为引理4.6适用于N和λ，所以我们得到了，对于任何非负的morariu PATRICHI，M.和PAKKANEN，M。

S、 FNM可预测过程H：Ohm ×R>0→ R≥0，EZR>0H（t）~NM（dt）= EZZR>0×MH（t）N（dt，dm）= EZZR>0×MH（t）λ（t，m）um（dm）dt= EZR>0H（t）～λ（t）uM（M）dt.因此，▄NM，或等效（▄Tn）n∈N、 定义了一个简单的点过程，即R>0，FNM可预测投影（在Jacod（1975）的意义上，uM（M）Rtλ（s）ds）t>0。第三，引理3.1，FNMt=FNM∨ FN>0Mt，因此，Jacod（1975）的假设A.1成立，另请参见定理2.21和备注4.17的证明。然后，根据Jacod（1975）中的命题3.1，我们得到了，条件是N≤0((-∞, 0]）=n∈ N、 序号：=▄Tn+1-Tn，n∈ N、 遵循指数分布，参数a（N+N）uM（M）和（Sn）N∈Nare独立。由于假设B.（ii），通过Jacobsen（2006，第20页）中的示例3.1.4，我们推断出，以N为条件≤0((-∞, 0]）=n，~T∞= 画→∞Tn=∞a、 参见Kallenberg（2002年，第240页）中的12.19号提案。因此，它认为∞= ∞ a、 s.无条件。第四，遵循前三个步骤，我们证明了存在一个版本的N，即N∈ N#gR×M，即N的这个版本是一个非爆炸性标记点过程，见命题4.2，因此N解决了泊松驱动的SDE。我们通过推论4.8得出结论。为了在一般情况下证明定理2.17，在假设A、B和C下，我们将使用特殊情况ψ=ψ的解来证明构造的映射N：Ohm → N∞R×M实际上取N#gR×M。首先，我们需要确定标记点过程N被另一个标记点过程N支配的含义。定义4.14。设ξ，ξ∈ N∞R×M。我们说ξ受ξ支配，并写入ξ ξ如果，对于所有A∈ B（R×M），ξ（A）≤ ξ（A）。让T∈ R、 我们说ξ被ξon控制(-∞, T]ifθTξ≤0 θTξ≤考虑两个映射N：Ohm → N∞R×M和N：Ohm → N∞R×M。如果N为N，则N为N所支配 N时不适用 另一方面，人们也可以说，N是N的减薄。

实际上，请注意ξ ξ意味着ξ的所有原子也是ξ的原子。现在，我们将显示构造的映射N：Ohm → N∞R×Mis受特殊情况ψ=ψ的任何解支配。提案4.15。让N：Ohm → N#gR×Mbe具有强度泛函ψ的泊松驱动SDE的解。然后，在假设A、B.（i）和C下，映射N：Ohm → N∞R×从算法4.10Saties N中获得 不适用。s、 证明。固定ω=（ω≤0, ω>0) ∈ A.∩ F、 其中A∈ F是Nsolves（2.10）的几乎确定事件，其中ψ被ψ取代。很清楚，我们有N（ω） N（ω）开(-∞, 0]. 现在取任意n∈ N使得Tn（ω）<∞假设N（ω） N（ω）开(-∞, Tn（ω）]。如果Tn+1（ω）=∞, 那么N（ω）在（Tn，∞) 和weHYBRID标记点过程：特征化、存在性和唯一性shave N（ω） N（ω）。如果Tn+1（ω）<∞, 我们已经做到了∈ （Tn（ω），Tn+1（ω）]，m∈ M，λ（ω，t，M）=ψ（M |θtN（ω）<0）（通过构造）=ψ（M |θtNn（ω）<0）（通过假设B.（i））≤ ψ（m |θtNn（ω）<0）（根据ψ的定义，假设B和自Nn（ω） N（ω））≤ ψ（m |θtN（ω）<0）=：λ（ω，t，m）。根据N（ω）的命题4.12和N（ω）的假设，我们得到N（ω）和N（ω）都满足(-∞, Tn+1（ω）]，其中λ替换为λ表示N（ω）。因此，我们必须有N（ω） N（ω）开(-∞, Tn+1（ω）]。通过构造，N（ω）只有在T（ω）<T（ω）<…<∞,我们已经证明了N（ω） N（ω）。这意味着N 不适用。s、 这使我们能够在假设A、B和C下得出定理2.17的证明。定理2.17的证明，第2部分。重复第1部分的第一步。然后，通过命题4.15，我们推断出∈ N#gR×Mand T∞= ∞ a、 然后，我们在假设a、D、E下，重复第1.4.2.2部分的第四步。

为了在假设A、D和E下证明定理2.17，我们还将使用算法4.10构造候选解，但几乎确定的事件F需要被另一个几乎确定的事件F替换，以确保算法在这些新假设下得到很好的定义。然而，在假设B和C下，我们能够首先构造候选解，然后通过特例ψ=ψ的解来控制它，这里我们将在构造候选解的同时控制它。主要的非爆炸性标记点过程就是泊松驱动的随机微分方程的解，其强度泛函ψ为：M×N#R×M→ R> 0个∪ {∞}（m，ξ）7→ ψ（m |ξ）：=λ+ZZ(-∞,0）×Mk(-t、 m，m）ξ（dt，dm），其中λ和k与假设D相同。事实上，通过应用Massouli'e（1998）和Lemma4.9的结果，我们可以在假设A、D和e的特殊情况下证明定理2.17ψ=ψ。定理2.17第3部分的证明。显然，ψ用核k满足Lipschitz条件（2.8）。在假设A、D.（ii）和E.（i）下，根据Massouli\'E（1998）的定理2，我们知道存在一个非爆炸点过程N：Ohm → N#R×Mthat求解（2.10），其中ψ替换为ψ，因此N（·×M）∈ N#R.此外，应用假设D.（iii）和E.（ii），我们得到λ（ω，t，m）：=ψ（m |θtN（ω）<0）=λ+ZZ(-∞,t） ×Mk（t- t、 m，m）N（ω，dt，dm）≤ λ+~λ≤0(ω≤0，t）+ZZ（0，t）×Msupm∈Mk（t- t、 m，m）N（ω，dt，dm）<∞, ω∈ Ohm, t型∈ R> 0，m∈ 这证明了supm∈Mλ（t，M）<∞, 对于所有t∈ R> 因此，通过引理4.9，我们得出结论，Nadmit的一个版本使得N（ω）∈ N#gR×M，ω∈ Ohm, 这意味着该版本解决了泊松驱动的SDE。由推论4.8得出结论。从现在起，MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.用N表示在特殊情况ψ=ψ和byF下泊松驱动的SDE的解∈ F N解（2.10）的几乎确定事件，其中ψ替换为ψ。

以下陈述类似于命题4.11，并确保算法4.10在这组不同的假设下得到了很好的定义。提案4.16。在算法4.10中，用F代替Fis，在假设A、D和E下，我们得到了，对于每个ω∈ F、 卡片（Mn（ω））≤ 1，Nn（ω） N（ω），对于所有N∈ N、 和（u>Tn（ω）：ZZ（Tn（ω），u）×MZ（0，λN（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6= 适用于所有n∈ N s.t.Tn（ω）<∞.因此，算法4.10在这些假设下得到了很好的定义。证据我们用归纳法证明了这个断言。取任意ω=（ω≤0, ω>0) ∈ F、 让n∈ N而且我∈ n确保i<n和Ti（ω）<∞, 假设（u>Ti（ω）：ZZ（Ti（ω），u）×MZ（0，λi（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0）6=. （4.10）对于所有i∈ N这样我≤ n、 假设Ni（ω） N如果Tn（ω）=∞, 然后，通过构造，这也适用于n+1。现在，假设Tn（ω）<∞. 我们首先证明了（4.10）也适用于i=n。通过修改命题4.15的证明并使用假设D.（i），我们得到λn（ω，t，m）≤ λ（ω，t，m），对于所有t>Tn（ω），m∈ M因此，对于任何ε>0，我们有thatZZ（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×MZ（0，λn（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）≤ZZ（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×MZ（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=N（ω，（Tn（ω），Tn（ω）+ε）×m）=：Un（ω，ε）<∞,自N（ω，·×M）∈ N#R.如果Un（ω，ε）=0，那么显然（4.10）对于i=N是满足的。如果不是，N（ω，·×M）在（Tn（ω），Tn（ω）+ε中有一个有限的点数，并且存在0<ε<ε，使得Un（ω，ε）=0，在这种情况下（4.10）对于i=N也是满足的。其次，我们证明了卡（Mn+1）≤ 1和Nn+1（ω） N（ω）。如果Tn+1（ω）=∞, 那么这是立即的。如果不是，则为λn（ω，t，m）≤ λ（ω，t，m），对于所有t>Tn（ω），注意mn+1（ω）：={m就足够了∈ M:M（ω，{Tn+1（ω）}×{M}×（0，λn（ω，Tn+1（ω），M）]）>0}m级∈ M:M（ω，{Tn+1（ω）}×{M}×（0，λ（ω，Tn+1（ω），M）]）>0=m级∈ M:N（ω，{Tn+1（ω）}×{M}）>0≤ 1，因为N（ω）∈ N#gR×M。

我们已经知道Nn（ω） N（ω），观察（4.3）并观察到Nn+1（ω）和Nn（ω）在时间Tn+1（ω）时只相差一个质量，我们进一步推断Nn+1（ω） N（ω）。关于这个归纳的基础，N（ω）是立即的 N（ω），因为N（ω）=N≤0(ω≤0）=N≤0(ω).我们现在可以在假设a、D和E下完成定理2.17的证明。混合标记点过程：定理2.17的特征化、存在性和唯一性证明，第4部分。让N：Ohm → N∞R×Mbe由算法4.10在假设A、D和E下给出，其中F代替了F。根据命题4.16，该映射得到了很好的定义。此外，我们注意到，在目前的假设下，命题4.12和4.13仍然成立。因此，我们可以重复证明第1部分的第一步。根据命题4.16，我们知道Nn（ω） N（ω）表示所有ω∈ F、 这意味着通过构造N（ω） 对于所有ω，R上的N（ω）>0∈ Ohm. 因此，我们得到N（ω）∈ N#gR×MandT∞(ω) = ∞ 对于所有ω∈ Ohm, 这意味着N求解泊松驱动的SDE。我们通过推论4.8.4.3定理2.20的强唯一性和弱唯一性证明再次得出结论。让▄Ohm ∈ F几乎可以肯定N和Nsolve都存在的事件（2.10）。Let（Tn，Mn）n∈Nand（Tn，Mn）n∈Nbe（0，∞]×M，其中N和Nare分别等效。现在fix任意ω∈~Ohm. 我们通过强归纳证明，对于所有n，Tn（ω）=Tn（ω），Mn（ω）=Mn（ω）∈ N、 让N∈ N并假设对于所有i=1，…，Ti（ω）=Ti（ω）和Mi（ω）=Mi（ω），n- 通过矛盾，假设Tn（ω）6=Tn（ω），并且在不丧失一般性的情况下，假设Tn（ω）<Tn（ω）。那么，这意味着n（ω，（0，Tn（ω）]×M）=Z（0，Tn（ω）]ZMZ（0，λ（ω，t，M）]M（ω，dt，dm，dz）=n，n（ω，（0，Tn（ω）]×M）=Z（0，Tn（ω）]ZMZ（0，λ（ω，t，M）]M（ω，dt，dm，dz）=n- 其中λ（ω，t，m）=ψ（m |θtN（ω）<0），λ（ω，t，m）=ψ（m |θtN（ω）<0）。但由于N（ω）≤0=N（ω）≤0并且对于所有i=1，…，Ti（ω）=Ti（ω）和Mi（ω）=Mi（ω）。

n- 1，我们有θtN（ω）<0=θtN（ω）<0表示所有t≤ Tn（ω），因此λ（ω，t，m）=λ（ω，t，m），对于所有t≤ Tn（ω），m∈ M这意味着n=n- 这是矛盾的，因此，Tn（ω）=Tn（ω）。类似地，如果我们假设Mn（ω）6=Mn（ω），那么这意味着N（ω，{Tn（ω）}×{Mn（ω）}）=Z{Tn（ω）}Z{Mn（ω）}Z（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=1，N（ω，{Tn（ω）}×{Mn（ω）}）=Z{Tn（ω）}Z{Mn（ω）}Z（0，λ（ω，t，m）]m（ω，dt，dm，dz）=0。但同样，因为λ（ω，t，m）=λ（ω，t，m）对于所有t≤ Tn（ω），m∈ M，这导致矛盾1=0，因此，Mn（ω）=Mn（ω）。同样的推理允许我们证明强归纳法的基础（即，证明T（ω）=T（ω）和M（ω）=M（ω））。定理2.21的证明。考虑正则可测空间（N#gR×M，B（N#gR×M）），其中B（N#gR×M）=N#gR×M∩ B（N#R×M），以及由N（ω）=ω定义的所有ω的规范非爆炸标记点过程N∈ N#gR×M。在PN和PN（它们只充电N#gR×M）下，N满足弱初始条件N≤0并允许（2.2）给出的强度。现在我们将应用Jacod（1975，第242页）中的定理3.4来证明PN=PN。通过引理3.1，我们得到fnt=FN∨ FθN>0t=FN≤0∨ FN>0t，t∈ R≥0，因此，满足了Jacod（1975）的假设A.1（见备注4.17）。MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.为了应用Jacod（1975）中的定理3.4，仍需验证Pn和Pn的限制与FN重合。注意，fn是由{N形式的集合的π系统C生成的∈ N#gR×M:N（A×M）≥ nN（Ak×Mk）≥ nk}，n，nk公司∈ N、 k级∈ N、 其中A，Ak，∈ B（R≤0）和M，Mk公司∈ B（米）。对于任何此类集合F∈ C、 设置Bi：=Ai×Mifori=1，并调用Nand和NSA都满足弱初始条件N的事实≤0，我们推断PN（F）=PN（N（B）≥ nN（黑色）≥ nk）=PN（N≤0（B）≥ nN≤0（黑色）≥ nk）=PN≤0（N≤0（B）≥ nN≤0（黑色）≥ nk）=PN（N≤0（B）≥ n

N≤0（黑色）≥ nk）=PN（N（B）≥ nN（黑色）≥ nk）=PN（F）。因此，PN和PN在C上重合，C是一个包含N#gR×M的π-系统。因此，PN=PNonFN，参见Kallenberg（2002，第9页）中的引理1.17，我们可以应用Jacod（1975，第242页）中的定理3.4来推断PN=PNon（N#gR×M，B（N#gR×M））。备注4.17。让我们澄清一下我们的符号与Jacod（1975）中的符号之间的关系。我们的正则可测空间（N#gR×M，B（N#gR×M））起着他的可测空间的作用(Ohm, F∞). 我们的标记点过程N>0对应于他的标记点过程u。我们的概率测度pn和pnare分别对应于P和P。我们的过滤FN和FN>0与他的过滤（Ft）t相对应≥0和（Gt）t≥分别为0。附录A。1子空间N#gR×Mis-boreth以下结果不太可能是原始结果，但我们无法在Daley和Vere-Jones（2008）中找到它。引理A.1.1。集合N#gR×Mis是N#R×M的Borel子集，即N#gR×M∈ B（N#R×M）。证据适用于所有n∈ N、 确定设置fn：=Nξ∈ N#R×M：ξ([-n、 n]×M）<∞, ξ（{t}×M）≤ 所有t均为1∈ [-n、 n]o注意n#gR×M=Tn∈NFn。接下来，让n∈ N、 根据提议A2.1。《Daley and Vere Jones》（2003，第385页）中的第四节[-n、 n]包含解剖系统（（Aij）j∈{1，…，ji}）i∈N此处Aij∈ 任何j的B（R）∈ {1，…，ji}和i∈ N、 见Daley和Vere Jones（2003，第382页）中的定义A1.6.1。我们证明fn=（ξ∈ N#R×M：ξ([-n、 n]×M）<∞, lim supi公司→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）≤ 1） =：Gn。Letξ∈ Fn。那么ξ（·×M）有很多原子t，tpin[-n、 n]对于某些p∈ N编号p∈ 它们的质量不能超过一。解剖系统的一个关键特性是，对于q6=q的每对distinctatoms tqand tqs，存在n（q，q）∈ 这样，对于所有i>N（q，q），tq∈ Aijimpliestq/∈ 哎呀。

因此*:= maxq，q∈{1，…，p}，q6=qn（q，q）混合标记点过程：特征化，存在性和唯一性，ξ（Aij×M）≤ 1代表所有j∈ {1，…，ji}和i>i*, 这意味着Lim supi→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）≤ 1表示ξ∈ Gn。现在，让ξ∈ Gnand t公司∈ [-n、 n]。分割系统的另一个显著特性是存在一个序列（ji）i∈n确保ξ（{t}×M）=limi→∞ξ（Aiji×M）。但由于ξ∈ Gn，我们有ξ（{t}×M）=limi→∞ξ（Aiji×M）≤ lim supi公司→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）≤ 1，这意味着ξ∈ Fn。现在我们已经证明了Fn=Gn，我们调用定理A2.6。III inDaley和Vere Jones（2003，第404页）推导出ξ7→ ξ([-n、 n]×M）和ξ7→ ξ（Aij×M），对于anyj∈ {1，…，ji}和i∈ N、 可测量，并使用Kallenberg（2002，第6页）中的引理1.9得出ξ7→ lim supi公司→∞supj公司∈{1，…，ji}ξ（Aij×M）是可测的。然后，Fn∈ B（N#R×M），当N#gR×M=Tn∈NFn公司∈ B（N#R×M）。A、 2移位和Restrictions的可测性和连续性从Daley和Vere-Jones（2008，p.178，Lemma 12.1.I），我们知道移位算子在w#拓扑下是连续的。我们可以进一步证明θtξ在ξ和t中实际上是联合连续的。我们还证明了对有界有限测度的正实线或负实线的限制是一个可测操作。此外，我们还证明了θtξ<0作为t的函数是左连续的∈ R表示任何ξ∈ N#U，这对于我们证明应用于点过程历史的强度泛函生成可预测过程（引理3.4）至关重要。在给出正式声明之前，我们定义了一些符号。回想一下，d#是N#U空间上的w#距离（Daley and Vere Jones，2003，第403页）。中心为U的开放球∈ U和半径r用Br（U）表示。

对于任何子集A U和ε>0时，A的ε-邻域由Aε定义：=Sa∈ABε（a），a的边界表示为A.引理A.2.1。当N#R×Uis配备w#距离d#且N#R×U×R配备productmetric时，映射N#R×U×R→ N#R×U（ξ，t）7→ θtξ是连续的。证据Letξ∈ N#R×U，t∈ R和let（ξn，tn）n∈N#R×U×R中的一个序列，使得d#（ξN，ξ）→ 0和TN→ t作为n→ ∞. 根据提议A2.6。II在Daley and Vere Jones（2003，第403页）中，足以证明ξn（A+tn）→ ξ（A+t）为n→ ∞ 对于任何有界A∈ B（R×U）使得ξ(（A+t））=0。对于这样一个集合a，我们可以假定它是非空的，而不丧失一般性，存在δ>0，这样b2δ（an） （A+t）和ξ(Bδ（an））=0，n=1，N，其中a，A表示A+t中ξ的原子，因此ξ（（A+t）δ）=ξ（A+t）与ξ(（（A+t）δ））=0。引入两个有界集合：=（A+t）δ\\（A+t）和S：=（A+t）\\N[N=1Bδ（an）！MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.注意ξ（S）=ξ（S）=ξ(S） =ξ(S） =0。自d#（ξn，ξ）→ 0作为n→ ∞, 我们有ξn（S）=ξn（S）=ξn(S） =ξn(S） =0表示n足够大。这意味着，对于足够大的n，ξnin（A+t）δ的所有原子实际上都位于（A+t），它们到（A+t）边界的距离大于δ（所有原子都在球Bδ（an））。这意味着，对于足够大的n，对于所有s，ξn（（A+t）\\（A+s））=ξn（（A+s）\\（A+t））=0∈ R使得| t- s |<δ，意味着ξn（A+t）=ξn（A+s），对于所有suchn和s。但对于足够大的n，我们也有| tn- t |<δ和ξn（A+t）=ξ（A+t），最终得出，对于足够大的n，ξn（A+tn）=ξn（A+t+（tn- t） ）=ξn（A+t）=ξ（A+t）。引理A.2.2。限制ξ<0，ξ≤0，ξ>0和ξ≥0是从N#R×u到自身的可测量映射。证据我们证明了ξ<0的断言，其他三个限制条件可以类似地处理。

考虑函数f:N#R×U3ξ7→ ξ<0∈ N#R×U。记住，根据定理A2.6。III在Daley和Vere-Jones（2003，第404页）中，Borelσ-代数B（N#R×U）由setsFA生成，N：={ξ∈ N#R×U：ξ（A）∈ [n，∞]}, A.∈ B（N#R×U），N∈ R、 Sincef公司-1（FA，n）={ξ∈ N#R×U：ξ（A∩ R<0×U）∈ [n，∞]} ∈ B（N#R×U），我们得出结论，f可以通过Kallenberg（2002年，第4页）中的引理1.4来测量。引理A.2.3。Letξ∈ N#R×U.然后映射器→ N#R×Ut 7→ 当N#R×Uis配备w#-距离d#时，（θtξ）<0保持连续。证据修复t∈ R，取任意非递减序列（tn）n∈Nin R使tn↑ t作为n→ ∞. 根据提议A2.6。II在Daley和Vere Jones（2003，第403页）中，足以证明（θtnξ）<0（A）→（θtξ）<0（A）作为n→ ∞ 对于所有有界A∈ B（R×U），使得（θtξ）<0(A） =0。显然，它需要考虑有界Borel集A，以便 R<0×U。首先，考虑以下情况：A. R<0×U。这意味着（θtξ）(A） =（θtξ）<0(A） =0。引理A.2.1，并再次使用命题A2.6的特征化。II在Daley和Vere-Jones（2003，第403页）中，这意味着（θtnξ）<0（A）=（θtnξ）（A）→ （θtξ）（A）=（θtξ）<0（A），n→ ∞.其次，考虑剩下的情况，其中A.∩ {0}×U 6=. 然后，（θtξ）<0(A） =0并不意味着（θtξ）(A） =0。然而，让ξ-是省略时间坐标为t的所有原子的测度ξ。那么，对于这个测度ξ-, 我们再次得到（θtξ-)(A） =（θtξ）<0(A） =0。自tn起≤ t、 并将前面的参数改为ξ-, 我们最终发现（θtnξ）<0（A）=（θtnξ）（A）=（θtnξ-)（A）→ （θtξ-)（A） =（θtξ）<0（A），n→ ∞.混合标记点过程：特征、存在性和唯一性。3标记点过程的枚举表示以下结果证实，R>0×M的非爆炸性枚举确实对应于非爆炸性标记点过程。引理A.3.1。Let（Tn，Mn）n∈Nbe R>0×M中的一个枚举，使得limn→∞Tn=∞ a、 s。

让F∈ Fbe几乎可以肯定limn→∞Tn=∞ 和定义（ω）：=Pnδ（Tn（ω），Mn（ω））{Tn（ω）<∞}, 如果ω∈ F、 0，如果ω/∈ F、 然后，在R上定义一个非爆炸性标记点过程≥0×M。证据根据提案9.1。X在Daley和Vere Jones（2008年，第13页）中，N定义了非爆炸点过程R≥0×M。此外，序列（Tn）n的单调性∈N（{t}×M）=0或1的所有ω的倍数∈ Ohm. 还有，使用limn→∞Tn=∞ 在F上，注意N（ω，A×M）<∞, 对于每个有界集∈ B（R≥0），对于所有ω∈ Ohm. 这意味着N∈ N#gR≥因此，0×Mand定义了非爆炸性标记点过程。相反，每个非爆炸性标记点过程都会生成一个枚举。引理A.3.2。设N是R上的非爆炸标记点过程≥0×M，使得N（{0}×M）=0 a.s。确定序列（Tn）N∈Nby Tn：=sup{t>0:N（（0，t）×M）≤ n} 。然后（Tn）n∈Nis（0，∞]. 此外，对于每个n∈ N、 在{Tn<∞}, 可以将Mn定义为M中唯一的元素，使得N（{Tn}×{Mn}）>0。在{Tn=∞}, 简单设置Mn=m∞对于某些高管而言∞∈ M然后，（Tn，Mn）n∈Nis R中的枚举≥0×M，使n=Xn∈Nδ（Tn，Mn）{Tn<∞}（A.1）和limn→∞Tn（ω）=∞ 对于所有ω∈ Ohm.证据我们分几个步骤进行。（i） 对于每个n∈ N、 映射ω7→ Tn（ω）是可测量的。实际上，请注意{Tn<t}={N（（0，t）×M）>N}。然后回想一下，根据定理A2.6。《Daley and Vere Jones》（2003，第404页）第三卷，N#R≥0×Mξ7→ ξ（（0，t）×M）是可测量的，因此，作为一种成分（Kallenberg，2002，引理1.7，第5页），映射ω7→ N（ω，（0，t）×M）是可测的。因此，{Tn<t}∈ F、 我们使用Kallenberg（2002，第4页）中的inglemma 1.4得出结论，映射ω7→ Tn（ω）是可测量的。（ii）利用地面测量简单的事实，Tn<∞ 表示Tn<Tn+1。此外，当Tn=∞, 然后Tn+1=∞.

因此，（Tn）n∈（0，∞]满足枚举的单调性。（iii）对于每个n∈ N、 映射ω7→ Mn（ω）定义良好（再次使用地面测量简单的事实）。此外，该映射是可测量的。的确，让我们∈ B（M）并考虑最微妙的情况，其中M∞∈ A、 注意{Mn∈ A} =（{Tn<∞} ∩ {N（{Tn}×A）>0}）∪ {Tn=∞}.MORARIU-PATRICHI，M.和PAKKANEN，M.S.根据我们目前所看到的，我们知道{Tn=∞} ∈ F、 因此，必须显示集合{Tn<∞} ∩ {N（{Tn}×A）>0}是可测量的。为此，请注意{Tn<∞} ∩ {N（{Tn}×A）>0}={Tn<∞} ∩ {θTnN（{0}×A）>0}，其中θtn是第2.1.6小节中定义的移位运算符。然后，通过引理A.2.1，我们知道映射N#R≥0×M×R≥03（ξ，t）7→ θtξ∈ N#R≥0×Mis连续，因此，引理1.5 inKallenberg（2002，第4页）可测量。同样，通过Kallenberg（2002，第5页）中的引理1.8，映射ω7→ （N（ω），Tn（ω））是可测量的，因此，作为一种成分（Kallenberg，2002，引理1.7，第5页），映射ω7→ θTn（ω）N（ω）是可测量的。再次使用定理A2.6。III在Daley和Vere Jones（2003，第404页）中，我们得出结论{Tn<∞} ∩ {θTnN（{0}×A）>0}∈ F和映射ω7→ Mn（ω）是可测量的。到目前为止，前三个步骤确定（Tn，Mn）n∈Nis是一个枚举。此外，（A.1）通过构造保持。（iv）自N（·×M）∈ N#R≥0，我们有那个limn→∞Tn（ω）=∞ 对于所有ω∈ Ohm.备注A.3.3。一方面，引理A.3.1为我们提供了一个映射，该映射从非爆炸性枚举中生成一个非爆炸性标记点过程。可以看出，如果两个非爆炸性枚举几乎不一定相等，那么相应的非爆炸性标记点过程也不能几乎肯定相等。换句话说，引理A.3.1的映射是内射的。另一方面，引理A.3.2告诉我们这个映射是满射的。

因此，上述两个引理告诉我们，非爆炸性枚举和非爆炸性标记点过程是看待同一对象的两种等效方法。A、 4 Hawkes泛函可以将引言中提出的多元线性Hawkes过程推广为强度泛函ψ：M×N#R×M→ R≥0∪ {∞} ψ（m |ξ）=ν（m）+ZZ形式(-∞,0）×Mk(-t、 m，m）ξ（dt，dm），m∈ M，ξ∈ N#R×M，（A.2），其中ν：M→ R≥0和k:R×M×M→ R≥0是非负的可测量函数。我们证明了这些事件泛函是可测的，因此它们在我们的框架中是可容许的。提案A.4.1。形式（A.2）的Hawkes泛函可在m中联合测量∈ M和ξ∈ 不适用于美国。只要证明（A.2）中的积分项（现在用I（m，ξ）表示）是作为m的函数可测的就足够了∈ E和ξ∈ N#R×M。首先，考虑形式为k（t，M，M）=1S（t，M，M）的函数k，其中S∈ B（R×M×M），设C是集S的类∈ B（R×M×M）使得（M，ξ）7→ I（m，ξ）是可测量的。通过单调收敛，类C是一个单调类（即，它在单调递增序列下是闭合的）。用R表示形式的集合类sni=1Ai×Mi×Mi，其中Ai∈ B（R），Mi∈ B（M），Mi∈ B（M），n∈ N、 这一类形成一个环（即，它在有限的相交和对称差下是闭合的）。事实上，笛卡尔产品联盟的差异就是笛卡尔产品的联盟。此外，由于笛卡尔积的任何并集都可以分解为不相交笛卡尔积的并集，因此我们得到了R C、 事实上，根据定理A2.6。Daley和Vere-Jones（2003，第404页）中关于任何混合标记点过程：特征化、存在性和唯一性∈ B（R），M∈ B（M），M∈ B（M），函数（M，ξ）7→ZZ公司(-∞,0）×MA(-t） 1M（m）1M（m）ξ（dt，dm）=1M（m）ξ((-（A）∩ (-∞, 0）×M）是可测量的。

然后，根据单调类定理（Daley和Vere-Jones，2003，第369页），我们得到了b（R×M×M）=σ（R） C、 积分的线性意味着（m，ξ）7→ I（m，ξ）对于所有简单函数k是可测的，通过单调收敛，对于所有非负可测函数k也是可测的（Kallenberg，2002，引理1.11，第7页）。致谢我们要感谢拉马·孔特、法布里齐奥·利洛、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒、让·菲利普·布沙德和多拉夫·卡伦伯格的有趣讨论。Maxime Morariu Patrichi感谢伦敦帝国理工学院数学系颁发的MiniDTC奖学金。Mikko S.Pakkanena感谢丹麦国家研究基金会资助的CREATES（DNRF78）的部分支持。参考Bacry，E.，Jaisson，T.，和Muzy，J.-F.（2016）。缓慢递减Hawkes核的估计：应用于高频订单动态。定量金融，16（8）：1179–1201。Bacry，E.，Mastromatteo，I.，和Muzy，J.-F.（2015）。Hawkes流程融资。《市场微观结构与流动性》，1（1）：1550005，59页。Blundell，C.、Beck，J.和Heller，K.A.（2012年）。用霍克斯过程模拟往复关系。在Pereira，F.、Burges，C.J.C.、Bottou，L.和Weinberger，K.Q.的《神经信息处理系统的进展》，编辑，第25期，第2600–2608页。Bowsher，C.G.（2007）。连续时间证券市场事件建模：基于强度的多变量过程模型。《计量经济学杂志》，141（2）：876–912。Br'emaud，P.（1981年）。点过程和队列：鞅动力学。斯普林格，纽约。Br\'emaud，P.和Massouli\'e，L.（1996年）。非线性Hawkes过程的稳定性。《概率年鉴》，24（3）：1563–1588。Cartea，A.、Donnelly，R.F.和Jaimungal，S.（2015年）。通过订单簿信号加强交易策略。预印本，网址：http://ssrn.com/abstract=2668277.Chevallier，J.（2015）。

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