在中固定平均过程a和路径Ohmu,ν. 为了便于记法，我们写h而不是下面的hAin。然而，请注意，Hah与（4.7）中的h具有相同的形式表达式，但A是固定平均过程（而不是^上规范过程的第二个组成部分）Ohm).使用H的定义 Xt和h以及A=A、 我们获得 XT=（XT- 十） h+Z（0，T）（XT- Xt）htdAt=（Xt- 十） ^1′（X）-Z[0，T]（XT- Xt）（Д′（X）+ψ′（Xt））数据。然后，利用dA是[0，T]上的概率测度、ψ的凹凸性和Jensen不等式，我们可以估计 XT=Z[0，T]Д′（X）（XT- 十） dAt公司-Z[0，T]ψ′（Xt）（Xt- Xt）dAt（4.13）≥ И′（X）Z[0，T]XtdAt- 十、-Z[0，T]（ψ（XT）-ψ（Xt））dAt≥ ^1Z[0，T]XtdAt！- ^1（X）-ψ（XT）+Z[0，T]ψ（XT）dAt≥ ^1Z[0，T]XtdAt！- ^1（X）-ψ（XT）+ψZ[0，T]XtdAt！。重新排列术语并使用该ψ+ψ≥ f在J上，我们发现ν（X）+ψ（XT）+H XT公司≥ fZ[0，T]XtdAt！。第三，我们展示了可采性条件（3.9）。固定平均进程A和P∈ M（u，ν）。确定F停止时间Cs、s的系列∈ （0，1），byCs=inf{t∈ [0，T]：At>s}，注意0≤ 铯≤ T代表s∈ （0，1），因为AT=1。然后，使用族作为（4.13）中积分的时间变化（参见[24，命题0.4.9]），得到了ψ（X）+ψ（XT）+H XT（4.14）=Z{Д（X）+ψ（XT）+Д′（X）（XCs- X）-ψ′（XCs）（XT- XCs）}ds。现在，假设（4.14）中的被积函数是从下面有界的，uniformlyover s∈ （0，1）和ω∈ Ohmu,ν. 然后通过引理4.9，P-integr的期望值，等于每个s的u（ν）+ν（ψ）∈ (0, 1). 将其与托内利定理和（4.14）结合使用，给出了sep[Д（X）+ψ（XT）+H XT]=u（Д）+ν（ψ），因此（3.9）保持不变。仍然需要证明（4.14）中的被积函数从下面一致有界。

这是由Д的凹性和ψ的凸性以及Д+ψ的偏移量得出的≥ f≥ J上的0：Д（X）+ψ（XT）+Д′（X）（XT- X）- ψ′（Xt）（Xt- Xt）≥ ψ（Xt）+ψ（Xt）≥ f（Xt）≥ 0，t∈ [0，T]。这就完成了证明。4.4二元性我们现在转向辅助问题u，ν（f）和iu，ν（f）之间的二元性。定理4.10。Letu≤cν与域（I，J）不可约且设f:R→[0, ∞].（i） 如果f是上半解析的，则Nesu，ν（f）=eIu，ν（f）∈ [0, ∞].（ii）IfeIu，ν（f）<∞, 然后存在一个对偶极小化子（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）。有几个重新标记。备注4.11。我们只陈述了一个不可约c分量的对偶性。我们可以公式化并证明任意边缘的完全对偶性u≤cνinanalogy至【8，第7节】。为了简洁起见，我们省略了细节。备注4.12。定理4.10中f的下界可以放宽。确实，假设f:R→R是上半解析函数，由下半解析函数g建立。我们首先考虑原始问题。B e原因g为a ffine和任意u≤cθ≤cν与u、θ（f）具有相同的质量和质心- g） =θ（f）-θ（g）=θ（f）- u（g）。因此，eSu，ν（f-g） =eSu，ν（f）-u（g）。（4.15）关于对偶问题，我们注意到（ψ，ψ）∈eDu，ν（f- g） if和onlyif（Д+g，ψ）∈eDu，ν（f）和Le mma 2.7（iii），u（Д）+ν（ψ）={u（Д+g）+ν（ψ）}- u（g）。因此，eIu，ν（f-g） =eIu，ν（f）-u（g）。（4.16）因为f- g是非负的，（4.15）–（4.16）的左手边与定理4.10（i）一致。因此，eSu，ν（f）=eIu，ν（f）∈ (-∞, ∞].此外，ifeIu，ν（f）<∞, 然后，alsoeIu，ν（f- g） <∞ 和一个对偶极小值（ψ，ψ）∈eDu，ν（f-g） foreIu，ν（f- g） 根据定理4.10（ii）存在。现在，上述结果表明（ψ+g，ψ）∈eDu，ν（f）是iu，ν（f）的对偶极小值。Theo rem 4.10的证明基于几个准备结果。根据[8，命题5.2]的精神，威斯特研究了对偶空间的关键封闭性。提案4.1 3。

Letu≤cν与域（I，J）不可约，设f，fn:J→ [0, ∞] 使fn→ f逐点，let（ψn，ψn）∈eDu，ν（fn）与SUPN{u（νn）+ν（ψn）}<∞. 然后是（ψ，ψ）∈eDu，ν（f），使得u（ν）+ν（ψ）≤ lim信息→∞{u（νn）+ν（ψn）}。证据设hn=Д′n:I→ R是凹函数νn的超导数。AsДn（x）+ψn（y）+hn（x）（y- x）≥ ψn（y）+ψn（y）≥ fn（y）≥ 0，（x，y）∈ I×J，（νn，ψn，hn）在[8]的对偶空间Dcu，ν（0）中。因此，按照[8，命题5.2]证明中的推理路线（基于Komlos引理；我们记得凸（凹）函数的凸组合是一个gainconvex（凹）），我们可以在不丧失一般性的情况下假设→ ^1u-a.e.和ψn→ψν-a.e.for so me（(R)，ψ）∈ Lc（u，ν）。此外，[8]中的参数还表明u（(R)ν）+ν（(R)ψ）≤ lim信息→∞{u（νn）+ν（ψn）}。现在，定义函数ψ，ψ：J→R byД：=直线信息→∞^1nandψ：=lim supn→∞ψn.则ψ是凸的，ψ是凹的，ψ=(R)u-a.e.，特别是ψ=(R)ψν-a.e，（ν，ψ）∈ Lc（u，ν）和u（ν）+ν（ψ）≤ lim信息→∞{u（νn）+ν（ψn）}。此外，asДk+ψk≥ fkon J，我们每个n都有≥nхk+SUP≥nψk≥ infk公司≥n（ψk+ψk）≥ infk公司≥nfkon J.发送n→ ∞ 给出ψ+ψ≥ f总之，（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）。我们继续证明了有界上半连续函数的强对偶性。引理4.14。让f：R→ [0, ∞] 有界且上半连续。TheneSu，ν（f）=eIu，ν（f）。该证明基于类似于[8，引理6.4]的Hahn–Banach分离论证。证据我们首先展示了弱对偶不等式。Letu≤cθ≤cν和（Д，ψ）∈eDu，ν（f）。尤其是，ψ+ψ从下方有界。然后通过引理2.9（iii）–（iv），θ（f）≤ θ(φ + ψ) = θ(φ) + θ(ψ) ≤ θ(φ) + ν(ψ) ≤ u（ν）+ν（ψ），（4.17）和不等式u，ν（f）≤eIu，ν（f）如下。这个逆不等式基于一个Hahn–Banach参数，所以让我们引入一个合适的空间。

根据de la Vallée–Poussin定理，存在一个递增的凸函数ζν：R+→ 超线性增长的R+，使得x 7→ζν（| x |）是ν-可积的。现在，设置ζ（x）=1+ζν（| x |），x∈ R、 用cζ表示所有连续函数f:R的空间→ R，使f/ζ完全消失。我们赋予Cζ范数kfkζ：=kf/ζk∞. 使用这个符号，与[8，引理6.4]的证明中相同的参数表明，对偶空间c*Cζ上连续线性泛函的ζ可以用有限符号测度表示。修复f∈ Cζ。然后-ζ（x）kfkζ≤ f（x）≤ ζ（x）kfkζ，x∈ J、 （4.18）因为ζν是凸的，x 7→ ζν（| x |）是ν-可积的，我们有θ（ζ）≤ ν(ζ) < ∞对于所有u≤cθ≤cν。这与（4.18）一起表明ESu，ν（f）是有限的。因此，在f上加一个合适的常数，我们可以假设esu，ν（f）=0。对于以下Hahn–Banach参数，我们考虑凸锥：={g∈ Cζ：eIu，ν（g）≤ 0}.命题4.13暗示K是闭合的。为了矛盾起见，假设eiu，ν（f）>0。然后，通过Hahn–Banach定理，K和f可以通过Cζ上的连续线性函数来精确分离。也就是说，有一个有限的有符号度量ρ，使得ρ（f）>0和ρ（g）≤ 所有g为0∈ K、 对于任何紧支撑的非负连续函数g∈ Cζ，我们有eiu，ν(-g）≤ 0也就是说，-g级∈ K，因此ρ(-g）≤ 这表明ρ是一个（非负）有限度量。如果需要，将ρ乘以正常数，我们可以假设ρ的质量与u和ν的质量相同。接下来，设ψ为凸且线性增长。然后ψν（R）- ν(ψ) ∈ 坎德-ψu（R）+u（ψ）∈ K、 使用ρ≤ 这两个函数的0产生u（ψ）≤ ρ(ψ) ≤ ν(ψ). 我们的结论是u≤cρ≤cν。但现在ρ（f）>0合同u，ν（f）=0。因此，eIu，ν（f）≤eSu，ν（f）。最后，设f有界且上半连续，并选择fn∈ Cb（R）Cζ，使得fnf。通过上述，我们得到了所有n的eu，ν（fn）=eIu，ν（fn）。Weshow低于该界限→∞eSu，ν（fn）=eSu，ν（f）。

利用这一点和iu，ν的单调性，我们得到了iu，ν（f）≤ 画→∞eIu，ν（fn）=limn→∞eSu，ν（fn）=eSu，ν（f）≤eIu，ν（f）。所以有界上半连续函数具有很强的对偶性。limn仍然有争议→∞eSu，ν（fn）=eSu，ν（f）。我们更普遍地证明了esu，ν沿有界上半连续函数的递减序列是连续的。因此，设fnf是有界上半连续函数的收敛序列。固定ε>0并设置l := 画→∞eSu，ν（fn）。然后，对于每个n，l ≤ Su，ν（fn）<∞ 因此setAn：={u≤cθ≤cν：θ（fn）≥ l - ε} 不是敌人。此外，每个Anis都是弱紧集{θ：u的闭子集≤cθ≤cν}和An+1 一因此，在交点处存在θ′∩n≥1安。然后通过单调收敛得到u，ν（f）≥ θ′（f）=limn→∞θ′（fn）≥ l - ε.这意味着esu，ν（f）≥ l asε是任意的。逆不等式来自于esu，ν的单调性。这就完成了证明。定理4.10的证明。（i） ：这是引理4.14和电容性参数的结果，几乎与[8，第6节]一模一样。sa me ar gumentscan可在[22]中找到。因此，我们省略这些阐述。（ii）：将命题4.13应用于常数序列fn=f，并将序列（ψn，ψn）最小化∈eDu，ν（f）of eiu，ν（f）产生一个对偶极小值。我们现在可以证明鲁棒价格和超边缘问题之间的对偶性。定理3.9的证明。根据命题4.2、引理3.8和命题4。5，eSu，ν（f）≤ Su，ν（f，A）≤ Iu，ν（f，A）≤eIu，ν（f）和定理4.10表明esu，ν（f）=eIu，ν（f）。因此，eSu，ν（f）=Su，ν（f，A）=Iu，ν（f，A）=eIu，ν（f）。（4.19）尤其是，（4.19）中的量都与A的选择无关（只要定理3.9的两个条件之一成立）。如果Iu，ν（f，A）<∞, theneIu，ν（f）<∞ 因此有一个优化器（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）foreIu，ν（f）。

那么命题4.7提供了一个H=（H，A），使得（ψ，ψ，H）∈ Du，ν（f，A）。通过（4.19）和Iu，ν（f，A），（ν，ψ，H）的定义，Iu，ν（f，A）的isan优化器。备注4.15。如果我们将自己局限于动态部分为有限变化的交易策略，那么稳健定价和超边缘问题的强二元性（没有双重实现）将继续存在。首先，观察（2.9）定义的过程^H在有界时具有有限的变化。回顾命题4.7中h的定义（4.7），我们发现h在{ω：ωT上有界∈ Jo} 由于这些路径被定义在一个紧子集J中，ψ′有界。这将更普遍地适用于几乎所有路径，如果ψ′在J上一致有界。因此，如果J是开的，则强对偶（以及有限变分策略中的对偶实现）成立。第二，考虑以下情况：对于某些-∞ < a<b≤ ∞. 假设定理3.9的假设成立，且Iu，ν（f，A）<∞, 和let（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）是一个双辅助优化器。然后ψ（a）<∞ asν在a处有一个natom（参见引理2.7）。如果ψ′（a）>-∞, 然后，与Boves相同的论点表明，命题4.7中构建的动态交易策略具有有限的变化。如果ψ′（a）=-∞, 然后我们构造了一系列函数ψk（x）：=（ψ（x）for x≥ a+k，ψ（a）+k（x- a） （ψ（a+k）-ψ（a））表示x<a+k。通过区间[a，a+k]上的线性插值逼近ψ。然后我们得到ψkψ和u（ν）+ν（ψk）u（ν）+ν（ψ）=eIu，ν（f）作为k→ ∞. 自ψ′k（a）>-∞, 几乎可以肯定，相关过程H（k）的变化是有限的。J=（a，b）和J=[a，b]的情况类似于原始优化器和对偶优化器的4.5结构。如果存在辅助问题的原始优化器，我们可以导出对偶优化器的一些必要属性。命题4.16。让u≤cν与域（I，J）不可约且设f:R→ [0, ∞] 博雷尔。

假设thateSu，ν（f）=eIu，ν（f），thatu≤cθ≤cν是u，ν（f）和（ν，ψ）的最佳值∈eDu，ν（f）是iu，ν（f）的优化器。然后（i）Д+ψ=fθ-a.e.，（ii）Д是{uu<uθ}的连接分量上的一个函数，（iii）ψ是{uθ<uν}的连接分量上的一个函数，（iv）如果θ（{b}）>0，则Д在J的有限端点b没有跳跃，并且（v）如果θ（{b}<ν（{b}）在J的有限端点b没有跳跃。证据在引理4.14的证明中，我们得到（参见（4.17）），θ（f）≤ θ(φ + ψ) ≤ u(φ) + ν(ψ).由于没有对偶间隙以及θ和（Д，ψ）的最优性，所有的线性性质都是相等的：θ（f）=θ（Д+ψ）=u（Д）+ν（ψ）。（4.20）现在（i）源自（4.20）中的第一个等式，以及以下事实：≥ fon J.重新排列第二个等式，我们可以写0={u（ν）+ν（ψ）}-θ(φ + ψ)= {u(φ) + ν(ψ)} - {θ(φ) + ν(ψ)} + {θ(φ) + ν(ψ)} - θ(φ + ψ).使用前三个表达式的定义（2.4）（使用Д作为前两个术语的共同调节因子，以及-ψ表示第三个；参考引理2.9（i）），WeActain0=（u- ν)(φ) - (θ - ν)(φ) + (θ - ν)(-ψ)= (u - θ)(φ) + (θ - ν)(-ψ） ，（4.21），其中最后一个等式是（u）定义的直接序列- ν） （Д）和（θ）- ν） （Д）（参见（2.2））。（4.21）右侧的两个术语定义为非负相关，因此必须消失：0=（u- θ） （Д）=ZI（uu- uθ）dИ′+ZJ\\I|Дdθ，对于（θ）类似- ν)(-ψ). 这意味着{uu<uθ}（这是断言（ii）），且|对于θ具有anatom（即断言n（iv））的J的每个端点，ν|=0。（iii）和（v）的证明是相似的。下一个结果表明，对于上半连续f，存在一个极大孔径u，ν（f），它相对于凸阶是最大的。为了简洁起见，我们省略了标题。提案4.17。

Letu≤cν不可约且设f:R→ [0, ∞] 是上半连续的，并由一个凸的、连续的和ν可积的函数从上面加以约束。此外，fix严格凸函数g:R→ 考虑“二次”优化问题supθ∈Θ（f）θ（g），（4.22），其中Θ（f）：={θ：u≤cθ≤cν和θ（f）≥eSu，ν（f）}是辅助原始问题的优化器集。（i） Θ（f）是非空的，凸的，弱紧的，（4.22）允许一个优化。（ii）（4.22）中的任何优化器θ都具有以下性质：oθ在Θ（f）中相对于凸阶是最大的。o如果O是一个开放区间，那么O {uθ<uν}且f | Ois凸，则θ（O）=0。o如果K是一个间隔，则Ko {uu<uθ}，f | Kis严格凹，θ（K）>0，则θ| Kis集中在单个原子中。下面的示例显示，集合优化器foreSu，ν（f）可以具有多个关于凸阶的最大或最小元素；这个偏序集通常没有最大或最小元素。示例4.18。设u=δ，ν=（δ-1+δ+δ），并设f与f分段线性(- 1） =f（1）=3，f(-1/2）=f（1/2）=2，f（0）=0。我们声称不存在最大或最小的原始优化器。我们构建候选原始优化器和对偶优化器，如下所示。在主LSIDE上，设置θ=δ-+δ和θ=δ-1+δ. 在双面，设置Д≡ 0且设ψ为在ψ之间线性插值的凸函数(-1） =ψ（1）=3，ψ（0）=1。直接计算得到θ（f）=θ（f）==ν（ψ），这表明θ和θ是原始优化器，而（ν，ψ）是对偶优化器。首先，我们证明了在凸序中不存在同时支配θ和θ的原始优化器。实际上，我们可以检查uν=max（uθ，uθ），因此，ν是唯一可行的原始元素，它在对流序中同时支配θ和θ。

但是ν（f）=2<，因此ν不是最优的。其次，我们证明了不存在同时受θ和θ支配的原始优化器。实际上，可以检查{uu<min（uθ，uθ）}=(-,), 因此，必须集中于同时受θ和θ支配的每个可行的原始元素[-,]. 但f≤ 2开[-,], 所以没有原始优化器可以集中在这个时间间隔上。我们用一个例子来结束这一节，这个例子表明，如果f不是上半连续的，则原始达到一般不成立。示例4.19。设u=δ，ν=（δ-1+δ），并设置f（x）：=| x | 1(-1,1）（x）。然后u≤cν与域不可约((-1, 1), [-1, 1]). 考虑序列θn：=（δ-1+n+δ1-n） ，我们可以看到这是u，ν（f）≥ 1、但没有u≤cθ≤cν使得θ（f）≥ 1，因为f<1开[-1, 1].5例如，两种常见的支付函数是风险逆转和奶油价差。在本节中，我们为这些支付效应的辅助原始和对偶问题提供了解决方案。在本节中，我们确定了不可约边际≤cν和分别用m表示其共同总质量和一阶矩。5.1风险逆转风险逆转的支付函数的形式为f（x）=-（a）- x） ++（x- b） +，对于固定的a<b。以下结果提供了关于u和ν的潜在函数的原始和双优化器的简单几何结构。我们记得，位于势函数uu和uν之间的任何凸函数u都是测度θ的势函数，该测度θ在u和ν之间为凸序（参见，例如，[10]）。提案5.1。考虑通过最大坡度点（a，uu（a））的线位于uν图形的下方（或上方）；参见图5.1。

这条线要么是（i）uν图的切线，对于某些z有一个切点（z，uν（z））∈ （a），∞) 或（ii）uνnear图的渐近线+∞.在（i）的情况下，用ν（x）=定义凹函数Д和凸函数ψ-α（x- a） +，ψ（x）=x-a+α（x- （z）∨ b） ）+，其中α=（b- a） /（（z∨ （b）- a） 。此外，设u是唯一的凸函数，与uuon重合(-∞, a] 当uν在[z]上时，∞) 并且是[a，z]上的α（即，u在[a，z]上与上述切线重合）。用θ表示唯一的测量值，势函数uθ=u。在（ii）的情况下，设置Д（x）=0，ψ（x）=x-a、 θ=u。作者们感谢大卫·霍布森提出了这种构造的想法。注意，只有当（a，u（a））位于图5.1中虚线势函数的增加部分时，才会发生情况（ii）。特别是，在这种情况下，u集中在a.uνuuabД+ψf（a，uu（a））（z，uν（z））uνuuД+ψab（a，uu（a））（z，uν（z））的左侧。图5.1：构建命题5.1中所述风险逆转的最佳中间层θ（顶部）和双重优化器Д+ψ（底部）的p势函数；左面板中的z>b，右面板中的z<b。然后，θ是辅助原始问题u，ν（f），（ν，ψ）是辅助对偶问题eIu，ν（f）的优化器，公共最优值是根据u和νbyeSu，ν（f）=eIu，ν（f）=（m）的势函数给出的-a+bm+b-auν（z∨（b）-uu（a）（z∨（b）-ain案例（i），m- 阿明案（二）。证据我们首先注意到θ和（Д，ψ）分别是辅助主问题和对偶问题的容许元素。实际上，通过构造，uθ是凸的，并且位于uu和uθ之间。因此，相关测量θ满足u≤cθ≤cν。

此外，一个简单的计算表明，ψ+ψ≥ f和（ψ，ψ）∈ 引理2.9的Lc（u，ν）。通过弱对偶不等式（4.17）（如果f从下方以一个函数为界，这也成立；参见备注4.12），θ（f）≤ u（ν）+ν（ψ）适用于任何可容许的原始元素和对偶元素。因此，可以证明θ（f）=u（ν）+ν（ψ）对于θ和（ν，ψ）的特定选择。案例（i）：使用身份（t- s） +=（| t- s |+t- s） ，积分θ（f）、u（ν）和ν（ψ）可以用u、θ和ν的势函数表示如下：θ（f）=（uθ（b）-uθ（a））+m-a+bm，u（Д）=-α（uu（a）+m- am），ν（ψ）=m- am+α（uν（z∨ b） +百万- （z）∨ b） m）。替换α=（b- a） /（（z∨ （b）- a） 简化得到u（ν）+ν（ψ）=m+（（a-（z）∨ b） ）α-2a）米-α（uu（a）-uν（z∨ b） ）=米-a+bm+b-auν（z∨（b）- uu（a）（z∨（b）- a、 uνuμν+ψa-haa+hf（z-, uν（z-)) （z+，uν（z+）（a，uu（a））图5.2：构建建议n 5.2中所述黄油摊铺的最佳中间层θ（顶部）和双优化器Д+ψ（底部）的势函数。因此，θ（f）- （u（Д）+ν（ψ））=b-一uθ（b）- uθ（a）b-一-uν（z∨ （b）- uu（a）（z∨ （b）- 一,并且它可以证明br集合中的两个商是相等的。为此，我们区分了两种情况。一方面，如果z≤ b、 通过构造u=uθ，就足以观察到uθ（a）=uu（a）和uθ（b）=uν（b）。另一方面，如果z≥ b、 那么这两个商是相同的，因为u=uθ是[a，z]上的一个函数 【a，b】与a处的uu和z处的uν重合。情况（ii）：一方面，由于θ=u且u集中在a的左侧，因此θ（f）=u（f）=m- 是另一方面，u（ν）+ν（ψ）=R（x- a） ν（dx）=m- 是5.2奶油摊铺奶油摊铺的支付函数的形式为f（x）=（x- （a）- h） （）+- 2（x- a） ++（x- （a+h））+，对于固定的a和h>0。我们有以下类似于命题5.1的内容：；我们省略了证据。提案5.2。

考虑两条线l+，l-通过最大和最小斜率的点（a，uu（a）），分别位于uν图形的下方（或上方）。我们区分了（i+）l+是一条切线，其切点（z+，uν（z+），（ii+）l+是一条渐近线，（i-) l-是具有切点（z）的切线-, uν（z-)), （二）-) l-是渐近线。在（ii±）情况下，我们设置z±=±∞.设u是与uνon重合的凸函数(-∞, z-] ∪ [z+，∞)并且在[z]上-, a] 并在[a，z+]上，用φ（x）=定义凹函数φ和凸函数ψ-（α+β）（x-a） +，ψ（x）=α（x-（z）-∧ （a）- h） ））++β（x-（z）+∨ （a+h））+，其中α=ha-（z）-∧（a）-h） ）和β=h（z+∨（a+h））-a、 这里，在渐近线情况下（ii±），ψ，ψ需要被解释为出现在z±上的极限函数→±∞.然后，具有势函数uθ=u的中间定律θ是辅助原始问题u的优化器，ν（f），（ν，ψ）是辅助原始问题eIu，ν（f）的优化器，公共最优值是根据u和νbyeSu的势函数给出的，ν（f）=eIu，ν（f）=h（s++s-),式中+=（uν（z+∨（a+h））-uu（a）（z+∨（a+h））-ain情况（i+），min情况（ii+），s-=（uν（z-∧（a）-h） （）-uu（a）a-（z）-∧（a）-h） ）在（i-）的情况下，-最小情况（ii-）。6反例在本节中，我们给出四个反例。例6.1表明，如果对偶元素Д、ψ分别要求为全局凹和全局凸，则辅助问题的强对偶可能无法用于一般（不一定不可约）边缘。例6.2表明，如果要求对偶元素ν和ψ分别是u-和ν-可积的，则强对偶可能会失败。

示例6.3表明，当给出两个以上的边际值时，亚洲和美国风格衍生品基于模型的稳健价格通常不相等。例6.4表明，当命题4的假设成立时，e质量Su，ν（f，A）=eSu，ν（f）可能失效。2 a再次违反。示例6。1（具有全局凸/凹双元素的对偶间隙）。设u=δ-1+δ，设ν为上的均匀分布(- 2，2），并设置f（x）：=| x|-, x个∈ R（带f（0）=∞).首先，我们证明了esu，ν（f）是有限的。固定任何u≤cθ≤cν。计算势函数uu和uν表明u≤cν和{uu<uν}=I∪ I，I=(-2，0）和I=（0，2）。因为eν在I和I的共同边界0处没有原子，θ也不能在0处有原子。因此，我们可以用δ写出θ=θ+θ-1.≤cθ≤cν| i和δ≤cθ≤cν| I。由于f在限制为Ior I时是凸的，我们得到θ（f）=θ（f）+θ（f）≤ ν| I（f）+ν| I（f）=ν（f）<∞.它遵循u，ν（f）=ν（f）<∞.第二，设ψ是凹的，ψ是凸的，这样tν+ψ≥ f我们证明了必要的u（ν）+ν（ψ）=∞. 为此，我们可以假设∞例如，如果z-= -∞ 和z+<∞, 则Д（x）=-β（x- a） +和ψ（x）=h+β（x-（z）+∨ （a+h））+。图6.1：示例6.2中的函数f。on supp（u）={-1, 1}. 然后Д<∞ 到处都是凹痕。因此，计算ψ+ψ≥ f等于0意味着ψ（0）=∞. 其中ψ=∞ 在上(-∞, 0]或在[0，∞) 利用ψ的凸性。在这两种情况下，我们都有u（ν）+ν（ψ）=∞.例6.2（具有单独可积对偶元素的对偶间隙）。我们考虑边缘u：=CXn≥1n-3unandν：=CXn≥1n-3νn，其中C：=（Pn≥1n-3)-1，un：=δnandνn：=（δn-n为1+δn+δn+1）≥ 1、这些是与[8，示例8.5]中相同的边缘，其中显示u≤cν与域（（0，∞), [0, ∞)). 我们现在让f:R+→ [0，1]是通过f（n）=0和f（2n+）=n给出的点的piec e w ise线性函数≥ 0; 查阅

图e 6.1。我们继续为优化器foreu，ν（f）andeIu，ν（f）构建候选优化器。对于原始问题，定义序列（(R)θn）n≥1by？θn=（（δn-n偶数为1+2δn+（2δn-+ δn+1）表示n奇数，并设置'θ：=CPn≥1n-3〃θn。可以检查un≤c′θn≤cνnand compute？θn（f）=。因此，u≤c′θ≤cν（通过测量中势函数的线性）和θ（f）=。我们现在转向双重公关问题。设|和|ψ分别是唯一的凹函数和凸函数，具有二阶导数测度s-\'^1′\'=Xn≥0δ2n+和‘ψ′’=Xn≥1δnand？ψ（0）=？ψ（0）=0、？Д′（0）=f′（0）=和？ψ′（0）=0。选择“初始条件”时，应确保f（0）=Д（0）+ψ（0）和f′（0）=Д′（0）+ψ′（0），并且二阶导数测度的选择确保Д和ψ分别获得f的负曲率和正曲率。因此，R+byconstruction上的|+|=f。在定义2.3的意义上，我们继续计算u（|）+ν（|ψ）。（单个积分是有限的，因为|和|有四次增长，而u和ν没有二阶矩。）为此，我们不需要在ν的支持下证明t′ν+’ψ=fvanishes。这意味着相对于u而言，(R)Д是（(R)Д，(R)ψ）的凹慢化剂≤cν。然后，我们可以计算u（°ν）+ν（°ψ）=u（°Д）- φ) + ν(ψ + φ) + (u - ν)( φ) = (u -ν） （(R)Д）=CXn≥1n-3（un- νn）（(R)ν）。修复n≥ 1、由于(R)是连续的，我们有（un- νn）（(R)ν）=ZI（uun- uνn）d′~n′。（6.1）差异uun-uνnvanishes外部（n-1，n+1），在该间隔上，(R)Д′集中在n-（如果n为奇数）或在n+（如果n为偶数）上，质量为1。因此，（6.1）的右侧塌陷为（uun-uνn）（n±）=。因此，u（(R)ν）+ν（(R)ψ）==(R)θ（f）。

因此，通过（弱）对偶，θ和ψ分别是原始优化和对偶优化。我们现在可以争辩说，L（u）×L（ν）中不存在对偶优化器。为便于对比，假设（ψ，ψ）∈ L（u）×L（ν）是一个双优化器，请注意supp（(R)θ）={0.5，1，2，2.5，3，…}。根据命题4.16（i），我们得到了ψ+ψ=f′θ-a.e。我们可以证明，对（Д，ψ）的以下修改不会影响其最优性，也不会影响Д和ψ的个别可积性；我们省略了繁琐的细节。首先，ψ被其在ν原子上的分段线性插值所代替。第二，在f的扭结处，用其分段线性插值代替φ。第三，将适当的凸函数添加到φ，并从ψ中减去（分别保持其凹凸性），以使二阶导数测度-Д′和ψ′是单数形式。由于φ+ψ=f在supp（(R)θ）上，并且两侧都是分段线性的，因此我们得出结论，φ+ψ=f在[，∞). 像-Д′和ψ′是单数，则Д和ψ必须分别考虑f的负曲率和正曲率。由此可见，ψ和ψ都有四次增长。由于u和ν没有第二时刻，我们得出u（ν）=-∞ 和ν（ψ）=∞, 矛盾。示例6。3（亚洲和美国风格衍生产品针对多个边际的不同稳健模型价格）。对于n≥ 2给定边缘u≤cu≤c···≤cun与时间点0、1、…、，n（比如）基于模型的稳健价格Su，。。。，un（f，A）的定义类似。但这种基于模型的健壮价格现在非常依赖于，如下例所示。固定收敛凸函数f。一方面，如果A对应于美式衍生工具，那么可以检查Su，。。。，un（f，A）=un（f）。

另一方面，对于亚洲风格的衍生品，即A′={t 7→ t/n}，Jensen不等式yieldsfnZnXtdt≤nn型-1Xi=0fZi+1iXtdt,所以这是u，。。。，un（f，A′）≤nnXi=1ui（f）≤ un（f）。对于一般的边缘选择，这两个不等式都是严格的。因此，具有严格凸Payoff函数的亚洲风格衍生品基于模型的稳健价格通常小于相应的美国风格衍生品。例6.4（命题4.2假设的必要性）。（i） 我们表明，如果A不包含内部平均过程，Su，ν（f，A）=eSu，ν（f）可能失败。集合A={A}={t 7→+{t=t}，所以rtxtdat=（X+XT）/2，并考虑f（X）=X。然后，使用X在任何P∈ M（u，ν），可以检查su，ν（f，A）=（3u（f）+ν（f））/4，当u，ν（f）=ν（f）时，因为f是凸的。现在，选择u和ν，使得u（f）<ν（f）（f是严格共凸的）。然后，Su，ν（f，A）<eSu，ν（f）。（ii）我们表明，如果A包含内部平均过程，但f不是低半连续过程，则Su，ν（f，A）=eSu，ν（f）可能失败。设置A={t 7→ t/t}和f（x）=1{| x|≥1} ，并选择u=δ和ν=（δ+δ-1)/2. 一方面，因为ν（f）=1和f≤ 1，我们有u，ν（f）=1。另一方面，我们声称Su，ν（f，A）=0。为此，Fix P∈M（u，ν）。因为P-a.e.X的路径从0开始，在[-1，1]和isright continuous，TRTXtdt公司< 1 P-a.s.因此，EPf（TRTXtdt）= 0 .自P起∈ M（u，ν）是一个半径，Su，ν（f，a）=0。参考文献【1】A.Aksamit、S.Deng、J.OblóJ和X.Tan，《离散时间金融市场中美式期权的稳健定价对冲对偶》，数学。《金融》（2019年以上），即将出版。[2] E.Bayraktar，A.M.G.Cox和Y.Stoev，鞅最优运输与运输，暹罗J.控制优化。56（2018），第1417–433号。[3] E.Bayraktar、Y.-J.Huang和Z.Zhou，关于在模型不确定性下对冲美式期权，暹罗J.Financ。数学6（2015）号。

1, 425–447.[4] E.Bayraktar和Z.Zhou，《模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶》，数学。《财务》27（2017），第4988–1012号。[5] ，模型不确定性下具有半静态交易策略的超级对冲美式期权，Int.J.Theor。应用程序。财务20（2017），第6期，1750036。[6] M.Beiglb"ock、P.Henry Labordère和F.Penkner，《期权价格的模型独立边界——一种大众运输方法》，Finance Stoch。17（2013），第3477–501号。[7] M.Beiglb"ock和N.Juillet，关于边际鞅约束下的最优运输问题，Ann。概率。44（2016），第1号，第42-106条。[8] M.Beiglb"ock、M.Nutz和N.Touzi，《线上鞅最优输运的完全对偶》，Ann。概率。45（2017），第5号，3038–3074。[9] R.V.Chacon，《潜在过程》，Trans。美国。数学S oc。226 (1977), 39–58.[10] R.V.Chacon和J.B.Walsh，《一维势嵌入》，Séminairede ProbabilitéS X，《数学课堂讲稿》，第511卷，柏林斯普林格，1976年，第19-23页。[11] A.M.G.Cox，《扩展Chacon–Walsh：极小化和广义启动分布》，Séminaire de ProbabilitéS XLI，《数学课堂讲稿》，第1934卷，柏林斯普林格，2008年，第233–264页。[12] A.M.G.Cox和S.K"allblad，《亚式期权的模型独立边界：动态规划方法》，SIAM J.Control Optim。55（2017），第6期，3409–3436。[13] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《鞅最优运输和鲁棒套期保值不连续时间》，Probab。理论关系。Fields 160（2014），no.1–2，391–427。[14] ，Skorokhod空间中的鞅最优输运，Stoch。Pro c.A ppl。125（2015），第10号，3893–3931。[15] A.Galichon、P.Henry Labordère和N.Touzi，一种给定边际的无套利边界的随机控制方法，并应用于回望期权，N.Appl。概率。24（2014），第1312-336号。[16] D。

霍布森，鞅的最大值，Séminaire de Probabilitésxxii，数学讲座，第1686卷，柏林斯普林格，1998年，第250-263页。[17] ，回望期权的稳健对冲，金融Stoch。2（1998），第4329–347号。[18] ，斯科罗霍德嵌入问题和期权价格的模型独立界限，巴黎-普林斯顿数学金融讲座2010，数学讲座，第2003卷，柏林斯普林格，2011年，第267-318页。[19] D.Hobson和A.Neuberger，《关于模型不确定性下美式期权套期保值的更多信息》，预印本arXiv:1604.02274v1，2016年。[20] ，模型不确定性与美式期权定价，金融斯托赫。21（2017），第1285–329号。[21]O.Kallenberg，《现代概率基础》，第二版，《概率及其应用》，柏林斯普林格出版社，2002年。H.G.Kellerer，《边缘问题的对偶定理》，Z.Wahrsch。verw公司。Gebiete67（1984），第4期，第399-432页。【23】A.Neuberger，《美式期权的界限》，预印SSRN:9663332007。[24]D.Revuz和M.Yor，《连续鞅和布朗运动》，第三版，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，第293卷，柏林斯普林格，1999年。【25】F.Stebegg，《通过最优鞅运输的亚洲期权模型独立定价》，预印本arXiv:1412.1429v12014。【26】N.Touzi，《鞅不等式、最优鞅传输和鲁棒超边缘》，Congès SMAI 2013，第45卷，EDP Sci。，Les Ulis，2014年，第32-47页。