全球范围内稳健的定价和对冲

2022-6-1 04:39:11

全球范围内稳健的定价和对冲*Sebastian Herrmann+Florian Stebegg2019年4月10日摘要我们考虑了给定初始律和终端律的cádlág过程的鞅最优输运对偶。针对一类具有中间成熟度的美国、亚洲、百慕大和欧洲期权，证明了对偶优化器（鲁棒半静态超边缘策略）的强对偶性和存在性。我们给出了一个最优的超边缘策略，其中静态部分解决了一个辅助问题，动态部分根据静态部分显式给出。稳健超磨边；半静态策略；鞅最优运输；二元性。AMS MSC 2010 60G44、49N05、91G20。JEL Cl ASSITION G12、G23、C61.1简介本文研究了支付形式为f（X，a）=fZ[0，T]XtdAt. （1.1）这里，f是一个非负Borel函数，X是一个cádlág价格过程（在Skorokhod空间上实现），a由买方从给定的行使权集合中选择。更准确地说，A是一组所谓的平均过程，即非负和非减损的自适应cádlág过程A与AT≡设置A={1[[τ，T]]：τA[0，T]-值停止时间}或A={T 7→ t/t}将（1.1）分别减少到美式或亚式导数的有利特例：f（Xτ）或fTZTXtdt. （1.2）其他相关示例包括百慕大期权和中等到期的欧洲期权（参见示例3.3–3.4）。*作者感谢David Hobson、Sigrid K"allblad、Marcel Nutz和Yavor Stoev鼓励讨论。+密歇根大学数学系，电子邮件sherrma@umich.edu.Columbia大学统计系，电子邮件florian。stebegg@columbia.edu.Robust定价问题。设u和ν为R上的概率测度。

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2022-6-1 04:39:15

Wedenote by M（u，ν）u和ν之间的（连续时间）鞅耦合集，即概率测度P，其中X是边际分布XP的鞅~ u和XTP~ ν. 原始问题的值：=supP∈M（u，ν）supA∈AEP【F（X，A）】（1.3）可以解释为所有模型中F的最大基于模型的价格，该价格与给定的边际值一致。如果A是单态，那么（1.3）就是所谓的（连续时间）ma rtingaleoptimal传输问题。这一问题是由贝格尔布克、亨利·劳德雷和彭克纳（6）在离散时间环境中提出的（对于一般支付），以及加利孔、亨利·劳德雷和图兹（15）在连续时间中提出的；参见调查【26】。半静态过边问题。（1.3）的形式对偶问题有一个自然的解释，即supe-rhedging问题。粗略地说，半静态超边是一个三元组（ψ，ψ，H），由函数ψ，ψ和一个合适的过程H组成，因此对于每个∈ A、超边缘不等式成立：ψ（X）+ψ（XT）+ZTHAt-dXt公司≥ F（X，A）路径。（1.4）此处，策略y H=HAmay以一种适应的方式取决于a（参考第3.2节的精确公式）。以美式支付为例，这意味着在选定的行使时间τ，买方将其行使决策传达给卖方，然后卖方可以调整其享乐策略的动态部分（参见【3，第3节】）。（1.4）中的左侧是两个欧洲风格衍生品在X上的静态头寸加上在X上的自我融资动态交易策略的最终价值。不平等性（1.4）表示，这种半静态投资组合的最终价值支配着每种选择的执行权和“所有”价格路径的支付。

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2022-6-1 04:39:18

半静态参数（ν，ψ，H）的初始cos t等于静态部分的价格u（ν）+ν（ψ）。（1.3），I：=inf{u（Д）+ν（ψ）：（Д，ψ，H）的形式问题是一个半静态超边缘}，（1.5）相当于找到最便宜的半静态超边缘（如果存在）及其初始成本，即所谓的稳健超边缘价格。对偶问题的主要目标和放松。我们感兴趣的是强对偶性，即S=i，以及对偶实现，即对偶极小化的存在。双重成就需要适当放松双重问题。实际上，对于离散时间鞅最优运输问题，Beiglb"ock、HenryLabordère和Penkner[6]研究了上半连续支付的对偶性有多强原始问题（1.3）可以看作是有限测度P上的优化，有三个约束：两个边际约束和鞅约束。其形式对偶问题是拉格朗日对偶问题，其中适当的函数ψ和ψ以及适当的过程分别用作边际约束和鞅约束的拉格朗日乘子。我们使用通用符号u（Д）表示Д对u的积分。但提供一个反例，表明即使支付函数有界且连续，双重实现也可能失败。Beiglb"ock、Nutz和Touzi【8】通过从两个方面放松双重问题，在一步案例中实现了一般支付和边际的强双重性和双重实现。首先，它们只要求s超对冲不等式在准肯定意义下成立，即，在u和ν之间的每一步鞅耦合下都是零集的超理想集。原因是边际约束可能会在实线上引入障碍，而这些障碍（几乎可以肯定）不能被任何带有边际的鞅所跨越；霍布森（Hobson）[16]首次观察到了这一点（另见考克斯（Cox）[11]和贝格尔布坎德朱伊莱（Beiglb"ockand Juillet）[7]）。

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mingdashike22

2022-6-1 04:39:21

这些障碍将实线划分为区间，将边缘定律划分为所谓的不可约分量。然后，可以将强对偶和双重实现简化为证明每个不可约分量的结果相同[16，8]。其次，Beiglb"ock、Nutz和Touzi【8】将表达式u（ν）+ν（ψ）的含义扩展到两个单独积分都是有限的某些情况。例如，u（Д）=-∞ 和ν（ψ）=∞, 但组合静态部分的价格EP[Д（X）+ψ（XT）]在选择P时是明确的、确定的和不变的∈ M（u，ν）。在这种情况下，该价格仍然用u（ν）+ν（ψ）表示。在第3.2节中，我们采用两种松弛方法来精确定义dua l问题。在连续时间内，Dolinsky和Soner【13，14】表现出强烈的二元性，即满足一定增长条件的一致连续支付。他们使用分部积分公式来定义随机积分T-dXtpathwise表示有限变量被积函数H。然而，一般来说，在这类函数中无法预测双重实现。对于我们的收益（1.1），我们需要允许被积函数在有界时具有有限变化，但在某些价格路径上可以任意变大或变小。由于被积函数在这些路径上的变化不是有限的，因此需要适当扩展沿程积分的含义。为了便于介绍，我们以一种非严格的方式讨论了我们的结果和方法，忽略了与双重问题松弛有关的所有方面。主要结果。我们证明了形式（1.1）的支付在不可约边值的f和A上的温和条件下的强对偶性和对偶实现（定理3.9）；所有结果都可以按照[8，第7节]的思路扩展到一般边缘。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:39:24

关键思想是将原始问题和对偶问题简化为不依赖于执行权集的更简单的辅助问题。特别是，我们的结果涵盖了Borel可测f的美式导数f（Xτ）和下半连续f的亚洲式导数f（TRTXtdt），并表明这两种导数具有（可能令人惊讶的）相同的超边缘价格和结构相似的半静态超边缘。方法论我们的方法依赖于两个重要的观察结果，这两个观察结果允许我们分别用更简单的辅助原始问题和对偶问题来约束原始问题和对偶问题。为了得到一个原始下界，我们证明了对于在u和ν之间的凸序中的任何定律θ，都有一个序列（Pn）n≥1. 如果A是一个合适的平均过程，则pn下的r[0，T]xtdat定律弱收敛于θ。这允许我们用辅助原问题的值从下方将S绑定：=supu≤cθ≤cνθ（f）。（逆不等式也成立（参见引理4.1），因此实际上S=eS。）关于对偶上界，我们证明了（模技术性），如果ψ是凹的，ψ是凸的，则ψ+ψ≥ f、那么（ψ，ψ，H）是一个半静态边界，其中动态部分H明确地以Д和ψbyHt的形式给出：=Д′（X）-Z[0，t]{Д′（X）+ψ′（Xs）}dAs。（1.6）这允许我们用辅助对偶问题的值来限制I fr om：=inf{u（ν）+ν（ψ）：ν凹，ψ凸，Д+ψ≥ f} 。因此，S和I的强二元性和双重成就来自于对更简单的问题andeI的相同断言，我们通过采用[8]的技术证明了这一点。此外，我们对对偶问题的简化意味着，如果（ψ，ψ）是最优foreI，那么它也是最优半静态超边的静态部分，动态部分H可以通过（1.6）事后计算。

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2022-6-1 04:39:27

这大大降低了超边缘问题的复杂性：在Skorokhod空间上满足不等式约束的两个函数和过程上的优化被简化为两个函数上的优化，在R上实现不等式约束。我们的方法表明，许多导数具有相同的鲁棒超边缘价格和半静态超边缘。事实上，eI-andeS并不依赖于授予买方的行使权集合A，这种独立性在f和A的温和条件下转移给S和I。例如，如果f是下半连续的，那么亚洲风格的衍生工具f（TRTXtdt）、美国风格的衍生工具f（Xτ）和欧洲风格的衍生工具f（XT′）（对于固定到期日T′∈ （0，T））均具有相同的稳健超边缘价格（备注3.10）。当给定两个以上的边距时，这种不变性会减弱。相关文献。关于半静态环境下鲁棒超边缘的现有文献大多涉及强对偶和双重实现。结果在通用性、明确性以及精确公式方面各不相同。看涨期权可作为额外对冲工具使用的半静态设置可追溯到霍布森关于lo-okbackoption的最终文件【17】。在过去二十年中，许多其他特殊的外来衍生品（大多没有特殊行使权）已在此框架内进行了分析；参见调查【18】。有特殊行使权的证券已经在离散时间环境下的美国式衍生品的背景下进行了研究。Bayraktar，Huang，and Zhou[3]获得了一个有点不同的原始问题的对偶结果（参见[3，定理3.1]），并表明，如果他们用与本文类似的y来表述原始问题，对偶可能会在他们的设置中失败；有关订单组合约束的相关结果，请参见lso【4】。

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2022-6-1 04:39:30

Hobson和Neuberger【20】（基于我们注意到【17】中描述的超边缘策略实际上在调用选项中是动态的。Neuberger的早期手稿【23】通过对原始问题采用弱公式来解决这个问题：而不是在固定过滤路径空间上仅优化鞅测度，优化过程在支持鞅的过滤概率空间上运行，从而允许更丰富的信息结构，从而允许更多的停止时间。关于这方面的最新发展，我们也参考了[1、5、19]。我们注意到，所有这些文件都允许对可能的价格路径集（例如，二叉树）进行重大限制，而我们允许所有的cádlág路径。这种差异可能就是为什么我们的环境中存在着强烈的二元性，而原始公共关系问题却没有得到任何放松。在aDirac初始定律u的情况下，研究了（1.2）中的亚洲风格支付案例。对于凸f或凹f，Stebegg[25]表现出很强的对偶性和对偶性。对于非负Lipschitz f，Cox和K"allblad【12】获得了基于模型的最大价格的PDE特征，该价格为完全支持的ν。Bayraktar、Cox和Stoev【2】为美式支付的相应定价问题提供了类似但不完全相同的PDE，如（1.2）所示。我们主要对偶结果的一个序列是，亚洲和美国的PricingProblem是相同的，因此这两个偏微分方程具有相同的（粘度）解。论文的组织结构。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了关于凸阶和势函数的基本结果，介绍了[8]的广义积分及其相关性质，并给出了有限变分被积函数随机积分的路径定义的扩展。

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2022-6-1 04:39:33

第三节介绍了鲁棒定价和半静态定价问题，并给出了我们的对偶结果。第4节讨论了辅助问题之间的对偶性，它们的优化器的结构，以及它们与毛坯定价和超边缘问题的关系。在第5节中，我们提供了风险逆转和奶油价差的primal和dua l优化器的简单几何结构。最后，第6.2节“预备工作”中收集了一些反例，确定了时间范围T，并让Ohm = D（[0，T]；R）是[0，T]上实值c撸dl撸gpath的空间。我们捐赠Ohm 使用Skorokhod拓扑，并用相应的Borelσ-algebr a表示，用X=（Xt）t表示∈[0，T]上的规范化进程Ohm, F=（Ft）t∈[0，T]由X生成的（原始）过滤。除非另有说明，所有需要过滤的概率概念都与F有关。对于任何过程，Y=（Yt）T∈[0，T]打开Ohm, 我们是Y0-= 0，所以y在时间0的跳跃是Y=Y.2.1鞅测度和凸序集u和νbe finitemeasures on R with fi fi fi fi first moment。我们用∏（u，ν）表示u和ν的（连续时间）耦合集，即有限测度POhm 这样Po 十、-1=u和Po 十、-1T=ν。此外，如果正则过程X是P下的鞅（如果[8]中的PAs是以自然方式定义的，则使用与概率测度相反的有限测度证明是有用的。不是概率测度），那么我们写P∈ M（u，ν），并假设P是u和ν之间的（连续时间）鞅耦合。我们还考虑这些概念的离散时间版本。也就是说，我们用∏d（u，ν）表示rw上具有边际分布u和ν的有限测度Q集，用Md（u，ν）表示测度Q的子集，在该子集下，Ris上的正则过程是鞅（在其自身的过滤中）。

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2022-6-1 04:39:36

Rw上的有限测度集∏d（u，θ，ν）和m（u，θ，ν），规定的边际分布类似地重新定义。我们写u≤cν如果u和ν在u（ν）的意义上是凸序的≤ ν（ν）适用于任何凸函数Д：R→ R、在这种情况下，u和ν具有sa memass和相同的重心重心（u）：=u（R）Rxu（dx）。势函数uu：R→ [0, ∞] u的定义单位为u（x）：=Z | x-y |u（dy）。（2.1）我们参考【7，第4.1节】了解势函数的基本性质。特别是，凸阶、势函数和鞅测度之间的以下关系是众所周知的。提案2.1。设u和ν为有限测度，且u（R）=ν（R）。则以下各项等效：（i）u≤cν，（ii）uu≤ uν，（iii）Md（u，ν）6=, 和（iv）M（u，ν）6=.类似的结果适用于三个边缘u、θ、ν、相应的势函数和集合Md（u、θ、ν）。我们回顾了[8，定义2.2]中的以下定义（另见[7，定义A.3]）。定义2.2。一对有限的度量值u≤如果集合I={uu<uν}连接且u（I）=u（R），则称cν为不可约的。在这种情况下，让J是I和I的任何端点的并集，它们是ν的原子；那么（I，J）是u的域≤cν。我们使用不可约u≤cν表示本文的其余部分。2.2广义整数u≤cν与域（I，J）不可约。Beiglb"ock和Juillet【7，第A.3节】以及Beiglb"ock、Nutz和Touzi【8，第4节】恰当地将表达式u（ν）+ν（ψ）的含义扩展到了单个整数不一定是有限的情况。

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2022-6-1 04:39:39

为了处理中间定律，我们在这里对他们的工作进行了轻微的扩展≤cθ≤cν，其中≤cθ和θ≤cν可能不是不可约的。在本文的其余部分中，每当我们编写u≤cν对于任何两个度量ua和ν，我们隐含地假设这两个度量都是有限的，并且有一个有限的第一时刻。在本节中，我们将≤cθ≤cθ≤cν。定义2.3。Letχ：J→ R为C形。表示为-凸函数的二阶导数测度χ′-χ和byχ在I的端点处χ的可能跳跃。我们设置（θ- θ）（χ）：=ZI（uθ- uθ）dχ′+ZJ\\I|χ| d（θ- θ) ∈ [0, ∞]. （2.2）右侧在[0，∞] 因为uθ≤ I和θ（{b}）上的uθ≤θ（{b}）表示b∈ J\\I.如果θ=u且θ=ν，则（2.2）与[8]中的方程式（4.2）一致，因为u集中在I上。如[8]中所述，存在（θ）的替代表示- θ）（χ）关于R上（一步）鞅耦合分解的迭代积分：引理2.4。Letχ：J→ R是凹的，让Q∈ Md（θ，θ）。对于任何分解Q=θ κ、我们有（θ- θ）（χ）=ZJχ（x）-ZJχ（x）κ（x，dx）θ（dx）。证据[8，引理4.1]的证明没有使用该u≤cν是不可约的。此外，对于χ：J→ R凹和连续，与[8，Le mma 4.1]yieldZI（uθ- uθ）d′χ′=ZJ(R)χ（x）-ZJ′χ（x）κ（x，dx）θ（dx）。（2.3）（注意，对于边界点x，rj'χ（x）κ（x，dx）=χ（x∈ J\\I因为κ是集中在J.）上的鞅核，对于一般凹χ：J→ R、我们写χ=(R)χ- |χ| 1J \\i带'χ连续。

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2022-6-1 04:39:42

然后，我们可以在（2.3）的左侧用χ替换“χ”，右侧的被积函数读数为χ+|χ| 1J\\I-ZJχ（x）κ（·，dx）-ZJ\\I|χ（x）|κ（·，dx）。将其与θ积分并使用Fubini定理yieldsZJχ（x）-ZJχ（x）κ（x，dx）θ（dx）+ZJ\\I|χ| dθ-ZJ\\I|χ| dθ。这与（2.3）一起证明了该主张。如[8]所示，（θ-θ)(χ) = θ(χ) - θ（χ），如果至少一个单独的积分是有限的。我们现在可以定义积分θ（Д）+θ（ψ），如【8，定义4.7】所示。定义2.5。Let^1：J→R和ψ：J→ R be Borel函数。如果存在凹函数χ：J→ R以便-χ ∈ L（θ）和ψ+χ∈ L（θ），我们说χ是（ψ，ψ）相对于θ的凹慢化剂≤cθ和setθ（Д）+θ（ψ）：=θ（Д-χ) + θ(ψ + χ) + (θ- θ)(χ) ∈ (-∞, ∞]. （2.4）如[8]中所述，（2.4）中定义的表达式θ（Д）+θ（ψ）不影响凹面慢化剂的选择。定义2.6。对于Borel函数对的空间，我们写Lc（θ，θ）：J→ R允许凹模torχ与θ的关系≤cθsuchthat（θ- θ)(χ) < ∞.接下来，我们将介绍上述概念的其他性质。引理2.7。Let（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）。（i） ν是θ原子上的有限元素。如果Д为凹面，则Д<∞ 在J和Д上>-∞关于θ支撑的凸包的内部。（ii）ψ是θ原子上的有限元素。如果ψ是凸的，那么ψ>-∞ 关于J和ψ<∞关于θ支撑的凸包的内部。（iii）如果a，b：R→ R为a ffne，则（ψ+a，ψ+b）∈ Lc（θ，θ）和θ（Д+a）+θ（ψ+b）={θ（Д）+θ（ψ）}+θ（a）+θ（b）。证据我们只同意（iii）。设χ是（ψ，ψ）相对于θ的协方差慢化剂≤cθ。然后^1-χ ∈ L（θ），ψ+χ∈ L（θ），和（θ-θ)(χ) < ∞. Beinga ffne，a和b是θ-和θ-可积的。因此，χ也是（Д+a，ψ+b）的凹面慢化剂，r相对于θ≤cθ和（Д+a，ψ+b）∈Lc（θ，θ）。最后一个断言是直接计算。备注2.8。

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2022-6-1 04:39:45

回想一下，I是ν的支撑的凸包的内部，J是I和作为ν原子的I的任何端点的并集。因此，引理2.7（ii）特别表明，如果（ψ，ψ）∈ Lc（θ，ν）与ψ凸，则ψ在J上是有限的。我们用上述积分的一些计算规则来总结这一节，当ν是凹的，ψ是凸的。引理2.9。Letu≤cθ≤cθ≤cθ≤cν（其中对u≤cν不可约）和let（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）是这样的，即Д是凹的和有限的，ψ是凸的和有限的，并且Д+ψ从下方以凹的θ-可积函数为界。（i） ^1和-ψ是（ψ，ψ）相对于θ的凹慢化剂≤cθ。（ii）（Д，ψ）∈ Lc（θ，θ）∩Lc（θ，θ）。（iii）θ（Д）+θ（ψ）≤ θ(φ) + θ(ψ).（iv）θ（Д）+θ（ψ）≤ θ(φ) + θ(ψ).证据表示为ξ+ψ的凹θ-可积下界。根据ξ的凹度，我们得到θ（ξ）≥ θ(ξ) ≥ θ(ξ) > -∞, 所以ξ也是θ-和θ-可积的。（i）：关于ν的凹慢化剂性质，必须证明ν+ψ是θ-可积的。用I上凹函数Д的左导数Д′表示。然后表示（x，x）∈ I×J，ξ（x）≤ ψ（x）+ψ（x）≤ Д（x）+ψ（x）+Д′（x）（x- x）。（2.5）固定任何Q∈ Md（θ，θ）。然后（2.5）还将Q-a.e.保持在J×J上（例如，在J\\I上设置Д′=0）；这使用了J\\I点上的任何质量保持在鞅运输计划下。由于ξ是θ-可积的，所以（2.5）中右侧的负部分是Q-可积的。然后，可以在[8，备注4.10]中论证，（2.5）中的右侧是Q-可积的。它允许ψ+ψ是θ-可积的。关于断言-ψ、必须证明ψ+ψ是θ可积的。我们有ξ（x）≤ Д（x）+ψ（x）=[Д（x）+ψ（x）+Д′（x）（x- x） ]+[ψ（x）-ψ（x）- И′（x）（x）- x） ]Q-a.e.在J×J.（2.6）根据上述，右侧的第一项是Q-可积的。因此，第二项的负部分也是Q-可积的。

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2022-6-1 04:39:48

因此，我们可以使用Fubini定理对第二项进行迭代积分，如【8，备注4.10】所示。Q积分等于-(θ-θ)(-ψ) ≤ 特别地，（2.6）中的右侧是Q-可积的。因此，ψ+ψ是θ-可积的。（ii）–（iv）：我们从上面知道，ψ+ψ是θ-可积的。由此可知，对于θ，ν是（ψ，ψ）的凹慢化剂≤cθ。因为θ≤cθ，我们有uθ≤ uθ和θ（{b}）≤ θ（{b}）表示b∈ 因此，（θ- θ)(φ) ≤ (θ- θ)(φ) < ∞ （参见定义2.3）。因此，（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）和θ（Д）+θ（ψ）=θ（Д-φ) + θ(φ + ψ) + (θ- θ)(φ)≤ θ(φ -φ) + θ(φ + ψ) + (θ- θ)(φ)= θ(φ) + θ(ψ).可以类似地显示（ψ，ψ）∈ Lc（θ，θ）和θ（Д）+θ（ψ）≤ θ(φ)+θ(ψ).2.3路径随机积分对于任何有限变分的F适应cádlág过程H，积分H-oXT=R（0，T）Ht-DXT可按路径定义，即针对每个ω∈ Ohm 分别通过以下部分进行整合：H-o XT：=XTHT- XH公司-Z（0，T）XtdHt，（2.7），其中右侧的积分是路径Lebesgue–Stieltjesuintegr al.设置H0-= 0，因此H=H，我们可以重铸（2.7）灰-o XT=（XT- 十） H+Z（0，T）（XT- Xt）dHt。（2.8）对于任何鞅测度P，如果H的（标准）随机积分-关于X的存在，那么它是P-与路径随机积分不可区分的。我们需要给积分H一个合理的意义-o XT对于某些整数和H，它们不一定是有限的变化，但可能在有限的时间内发散。示例2.10。下面的例子激发了我们对有限变分被积函数的路径随机积分的扩展。设u=δ，ν=δ-1+δ.然后u≤cν与域（I，J）=((-1, 1), [-1, 1]).

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2022-6-1 04:39:51

考虑apayo ff函数f，它在[-1，1]，并且在-1和1，例如，f（x）=1-√1.-x个[-1,1]（x），亚洲风格导数f（TRTXtdt）的半静态超边可推导如下。ByJensen不等式与f的凸性[-1，1]，fTZTXtdt≤ZTf（Xt）dtT≤ZT公司f（XT）-f′（Xt）（Xt- Xt）dtT=f（XT）-ZT（XT- Xt）f′（Xt）dtT。与（2.8）相比，亚洲风格衍生品的半静态超优势来自于Payofff（XT）成熟度为T的欧洲风格衍生品和H=0且动态dHt的动态交易策略H=-f′（Xt）dtT。当X远离(-1, 1). 但是，当X接近时-1或1，导数f′（Xt）bec任意变大（绝对值），H可能无法确定。然而，事实证明，integralRT（XT-Xt）f′（Xt）数据仍在这些路径上定义。原因是，当X的路径任意接近1时，那么对于任何鞅耦合P∈ 这些路径上的M（u，ν），XT=1P-a.s.（原因J=[-1，1]），以便XT-Xtbec体积小，阻碍f′（Xt）的生长。我们将为F-自适应cádlág积分器X和被积函数H定义一个路径随机积分-F rm^Ht=h+Z（0，t]hsdYs（2.9），对于F适应的cádlág过程Y=（Yt）t∈有限变量的[0，T]和Fadapted过程h=（ht）T∈[0，T]-即使在（2.9）的右侧不确定的某些情况下。其想法是将（2.9）正式替换为（2.8），正式使用Lebesgue–Stieltjes积分的关联性，然后将结果表达式用作路径随机积分的定义。我们首先为该积分引入一组被积函数。定义2.11。Le t公司Ohm′ D（[0，T]；R）。

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2022-6-1 04:39:54

我们用L表示(Ohm′) 由一个F适应过程h和一个F适应过程cádlág组成的一组对（h，Y）具有有限的变化，使得过程（XT-Xt）ht）t∈对于中的每条路径，[0，T]在（0，T]上是dY-可积的Ohm′.如果Y是有限变化的F-适应cádlág过程，那么（1，Y）∈ L(Ohm′)对于任何Ohm′ D（[0，T]；R）（因为任何cádlág函数都有界于紧区间）。我们制作了一套Ohm′ D（[0，T]；R）表示本节其余部分。定义2.12。对于H=（H，Y）∈ L(Ohm′), 我们赛斯 XT：=（XT- 十） h+Z（0，T）（XT- Xt）htdYtonOhm′. （2.10）我们注意到，（2.10）右侧的Lebesgue–Stieltjes积分通过定义L得到了很好的定义(Ohm′). 下面的结果显示，对于路径有界h，hXt与^H重合-oXTfor^H如（2.9）所示。这激发了对H的解释 X根据自我融资交易策略从X交易中获得的收益-.提案2.13。设H=（H，Y）∈ L(Ohm′) 和ω∈ Ohm′. 如果功能T 7→ ht（ω）在[0，T]上有界，然后（H XT）（ω）=（^H-o XT）（ω），其中^H=H+R（0，·]H dY。如果我们为t设置H=Yand ht=1∈ （0，T）对于有限变化的F适应cádlág过程，则H=（H，Y）∈ L(Ohm) 根据命题2.13，H XT=Y-o XTon公司Ohm.所以积分H XTembeds所有路径随机积分Y-o XT。命题2.13的证明。

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2022-6-1 04:39:57

由于h（ω）在[0，T]上有界，因此^Ht（ω）=h（ω）+R（0，T）hs（ω）dYs（ω）在[0，T]上是一个定义良好的cádlág有限变差函数。因此，通过（2.8），^H-oXT=（XT- 十） h+Z（0，T）（XT- Xs）hsdYs=H XT。3稳健的定价和边缘化问题在本节中，我们定义了一对不可约对u≤具有域（I，J）和Borel函数f:R的cν→由一个ν-可积凹函数从下方限定的R。3.1定价问题我们的定价和对冲双重性适用于广泛的外来衍生工具，包括美式期权、固定行使亚洲期权、百慕大期权和中等到期的欧洲期权。我们现在描述这类衍生证券。定义3.1。一个非负F-适应的非减量cádlág过程A=（At）t∈如果AT（ω）=1表示每个ω，[0，T]称为平均过程∈ Ohm. 如果附加A（ω）=0和AT（ω）=每个ω0∈ Ohm, 然后A被称为内部平均过程。如果还有∈ （0，T），使得对于每个ω，At（ω）=0∈ Ohm, 然后，A被称为严格的内部平均过程。回想一下，我们设置了A0-= 0，注意对于每个ω∈ Ohm, A（ω）可以用[0，T]上的Borel概率测度来表示。如果A是一个内部平均过程，那么这个概率测度在（0，T）上得到支持，如果A是一个严格的内部平均过程，那么对于某些T，它的支持度（统一在ω中）包含在[T，T]中∈ （0，T）。给定一组非空的平均过程，我们考虑一个导数安全性，其在时间T的支付为fZ[0，T]XtdAt, （3.1）如果∈ A由买方选择，卖方遵守∈时间t时为[0，t]。然后，稳健的基于模型的价格定义为asSu，ν（f，A）=supP∈M（u，ν）supA∈AEP“fZ[0，T]XtdAt#. （3.2）换句话说，Su，ν（f，A）是与给定边缘分布一致的所有鞅模型中基于模型的衍生证券（3.1）的最高价格。备注3.2。

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mingdashike22

2022-6-1 04:40:00

可以证明，对于每个P∈ M（u，ν）和每个平均过程A，P下r[0，T]xtdat的定律在u和ν之间为凸序；参见引理4.1。由于f是由一个ν可积分凹函数从下方限定的假设，因此（3.2）中的预期得到了很好的定义。对于示例3.3（无特殊行使权）中的特定选择，获得了重要的特殊证书。设置A={A}剥夺了买方的任何特殊行使权，并将（3.2）简化为更常见的robustpricing问题Supp∈M（u，ν）EP【F】表示导数分数F=F（R【0，T】XtdAt）。（i）亚洲选项。设置为=t/t可恢复亚洲风格的导数f（TRTXtdt）；这包括固定罢工亚洲看跌期权和看涨期权，但不包括浮动罢工亚洲期权。[12]分析了这种稳健的定价问题。（ii）欧洲选项。设置为=1[T′，T]（T）时，会产生欧洲风格的支付（XT′），中间到期日为T′∈ （0，T）。示例3.4（特殊行使权利）。固定一个非空集T，其停止时间为[0，T]-value，并考虑a={1[[τ，T]]：τ∈ T}。然后（3.2）降低到上限∈M（u，ν）supτ∈TEP[f（Xτ）]。（3.3）（i）美式期权。如果T由所有[0，T]值的F-停止时间组成，则（3.3）是[2]中分析的鲁棒美式期权定价问题。（ii）百慕大期权。百慕大期权，行使日期为0≤ T<···<Tn≤ 通过选择T作为停止时间的{T，…，Tn}-值的集合来覆盖T。3.2超边际问题在美式期权稳健半静态超边际的情况下，众所周知，通常只有当期权的卖方在行使期权后可以调整其交易策略的动态部分时，定价套期保值双重性才能成立；参见【3，第3节】。换言之，买方必须在行使权利时将其行使权利的决定告知卖方。模拟inour设置是卖方在时间t观察。

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2022-6-1 04:40:02

也就是说，他的交易策略可以“适应”买方选择的平均过程。为了精确起见，让我们Ohm 是的笛卡尔积Ohm 非负的，非减量的，cádlág函数集a：[0，T]→ [0，1]，其中a（T）=1。As^Ohm 是Skorokhod空间D（[0，T]；R×[0，1]）的子空间，我们可以用子空间Skorokhod拓扑来装备它，并用相应的Borelσ-代数来表示。我们写下^F=（^Ft）t∈[0，T]对于^上规范过程生成的（原始）过滤Ohm. 对于^上的任何过程ZOhm 和任何平均过程a（开Ohm), 我们定义了程序ss ZAonOhm byZAt（ω）=Zt（ω，A（ω）），ω∈ Ohm.请注意，如果Z是^F-适应的，则ZA是F-a适应的，如果Z是cádlág或单位差，则ZA也是。接下来，我们为套期保值问题确定一组合适的路径。允许Ohmu,ν Ohm表示路径子集，这些路径从I开始，在J中演化，如果它们接近边界，则被“捕获”J:Ohmu,ν:= {ω ∈ Ohm : ω∈ 一、 ωt∈ J代表所有t∈ （0，T），如果ωT-∈ J、那么ωu=ωt-适用于所有u∈ [t，t]和（3.4）如果ωt∈ J、那么ωu=ωt对于所有u∈ [t，t]}。我们可以证明u和ν之间的每一个marting-ale耦合都集中在Ohmu，ν：引理3.5。Ohmu,ν∈ F和P[Ohmu，ν]=P[Ohm] 对于每个P∈ M（u，ν）。我们现在已经准备好为稳健的超级边缘问题确定交易策略。定义3.6。半静态交易策略是由一对函数（ψ，ψ）组成的三元组（ψ，ψ，H）∈ Lc（u，ν）和a对H=（ht，Yt）t∈^F-AdaptedProcess on^的[0，T]Ohm 这样的话哈：=（哈，耶）∈ L(Ohmu，ν）对于每个平均过程A.（3.5），半静态交易策略时间T的投资组合价值由静态部分与payoff sν（X）和ψ（XT）的和以及收益HA动力部分的XT：Д（X）+ψ（XT）+HAXT。（3.6）u和ν分别集中在I和J上的事实，以及马丁格尔性质意味着P-a.e.路径具有（3.4）中的前两个性质。

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mingdashike22

2022-6-1 04:40:05

其他两个性质可以类似于非负上鞅几乎可以在零中捕获的事实（参见[21，引理7.31]）。建立该位置的初始成本等于静态部件的初始价格：u（ν）+ν（ψ）。（3.7）我们现在将注意力转向半静态交易策略，该策略规定了我们的衍生证券在Ohmu，ν和定义3.7中的每个平均过程。半静态交易策略（ψ，ψ，H）称为半静态超边缘（对于f和A），如果对于每个A∈ A、 f级Z[0，T]XtdAt≤ ψ（X）+ψ（XT）+HA XTon公司Ohmu，ν（3.8）andEPψ（X）+ψ（XT）+HA XT公司≤ u（ν）+ν（ψ），P∈ M（u，ν）。（3.9）f和A的半静态超边集用Du，ν（f，A）表示。要求（3.9）是可接受的条件。它要求每个P∈ M（u，ν），由静态部分和动态部分组成的投资组合值，是静态部分设置时间和时间T之间的一步P-上乘。换句话说，最终投资组合价值（3.6）的期望值小于或等于初始投资组合价值（3.7）。我们将稳健的超边际价格（对于f和A）定义为为为f和A建立半静态s超对冲所需的“最小”初始资本：Iu，ν（f，A）=inf（Д，ψ，H）∈Du，ν（f，A）{u（ν）+ν（ψ）}。（3.10）3.3弱对偶和强对偶稳健定价和对冲问题之间的弱对偶是其定义的直接序列：引理3.8（弱对偶）。让f：R→R是Borel的，由aν-可积凹函数从下开始有界，并设a是一个非空的平均过程集。ThenSu，ν（f，A）≤ Iu，ν（f，A）。证据让P∈ M（u，ν），A∈ A、和（ψ，ψ，H）∈ Du，ν（f，A）（如果此集合为空，则无需显示）。

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能者818

2022-6-1 04:40:08

取（3.8）中的P-期望值并使用（3.9）表明，EPhf（R[0，T]XtdAt）i≤ u(φ) + ν(ψ).这证明了P、A和（ψ、ψ、H）是任意的。通过对a或f的附加温和假设，我们得到了强对偶和对偶极小值的存在性：定理3.9。Letu≤cν不可约，设f:R→ [0, ∞] be Borel，让Abe得到一组平均过程。假设以下两个条件之一：我们使用约定inf = ∞.o f是下半连续的，A包含一个内部平均过程；oA包含一个严格的内周期平均过程。然后su，ν（f，A）=Iu，ν（f，A）∈ [0, ∞]只要上述两个条件之一成立，这个值就与A无关。此外，如果Iu，ν（f，A）<∞, 然后存在一个优化器（ψ，ψ，H）∈Du，ν（f，A）表示Iu，ν（f，A）。备注3.10。（i）对于固定的f，基于模型的稳健价格Su，ν（f，A）在选择se t A下是不变的（只要定理3.9的假设成立）。特别是，美国、百慕大和欧洲中等成熟度期权（参见示例3.3-3.4）都具有相同的稳健模型基础价格（因为相应的集合A都包含严格的内部平均过程）。如果f是下半连续的，则扩展到示例3.3（i）的Asian styleoption。如果给出了两个以上的边际值，则这些衍生产品的基于实物模型的价格通常会有所不同；参见示例6.3。（ii）式（3.1）的导数明显依赖于X和/或X，如f（（X+X））不在定理3.9中（A不包含内部平均过程）。在这些情况下，稳健的基于模型的价格仍以相应的稳健的基于模型的价格为界，例如欧式衍生工具f（XT/2）。

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2022-6-1 04:40:11

然而，这个不等式通常是严格的；参见示例6.4。备注3.11。（i）定理m 3.9可以沿着[8，第7节]的路线扩展到不可约边值。（ii）如果我们将自己限制在有限的风险策略上，则持续保持强大的双重性；参考备注4.15了解论点的概要。是否存在（通常）具有有限变化动态部分H的对偶极小值（ψ，ψ，H），这是一个悬而未决的问题。我们将定理3.9的证明推迟到第4.4节的末尾。这个想法如下。我们分别用辅助最大化问题和辅助最小化问题来约束定价问题和hedg-ing问题，并证明这两个辅助问题之间存在strong对偶。因此，所有四个问题都具有相同的价值，尤其是价格和对冲问题具有很强的二元性。此外，我们还证明了辅助对偶问题允许一个极小化子，并且辅助问题对偶空间中的每个元素都会产生一个代价相同的半静态超边。然后，特别地，辅助对偶问题的极小值产生了f和A的最优半静态超边（与A无关）。4辅助问题在本节中，我们定义了一个不可约对u≤具有域（I，J）和函数f:R的cν→由一个ν-可积凹函数从下方限定的R。第4.1节正式推导了辅助原始和对偶问题。第4.2–4.3节严格介绍了它们，并证明它们分别是基于模型的稳健价格和稳健超边际价格的上界和下界。第4.4节证明了它们的强对偶性。

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2022-6-1 04:40:14

最后，第4.5.4.1节研究了辅助pr问题的原优化器和对偶优化器的结构特性。形式（3.1）的支付的关键特性是在P∈ M（u，ν）在u和ν之间为凸序。在本节中，我们将解释这一观察结果，以及如何使用它从下面估计鲁棒pricingproblem和从上面估计鲁棒Superhedge问题。让P∈ M（u，ν）a和letτb e a[0，T]-值F-停止时间。可选停止定理和Jensen不等式的应用表明，对于任何凸函数ψ，u（ψ）=EP[ψ（X）]=EPψ（EP[Xτ| F]）≤ EP[ψ（Xτ）]和ν（ψ）=EP[ψ（XT）]≥ EP公司ψ（EP[XT | Fτ]）= EP[ψ（Xτ）]，因此P下的Xτ定律在u和ν之间为凸序。利用一个时变参数和Jensen不等式以及optionalstopping定理，可以证明这个性质推广到平均过程a的随机变量r[0，T]xtdat。引理4.1。让P∈ M（u，ν），设A为平均过程。那么P下r[0，T]xtdat的定律是在u和ν之间的凸序。在续集中，为了简洁起见，我们编写了S=Su，ν（f，A）和I=Iu，ν（f，A）。引理4.1意味着≤ supu≤cθ≤cνθ（f）=：eS。我们在第4.2节中表明，在对f和A的温和假设下，逆不等式也成立。因此，S=eS和one被认为是I=eI的可测对偶问题。因此，让我们正式推导拉格朗日对偶问题。

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2022-6-1 04:40:17

双重化约束u≤cθ≤cν建议考虑拉格朗日（θ，ψ，ψ）：=θ（f）+（θ（ψ）- u(ψ)) + (ν(ψ) -θ（ψ）），（4.1），其中凸函数ψ，ψ被视为拉格朗日乘子。那么这个图对偶问题就是i=infψ，ψsupθL（θ，ψ，ψ）=infψ，ψsupθ{θ（f+ψ- ψ) -u（ψ）+ν（ψ）}注意，（4.1）中的最后两项对于所有凸ψ，ψ当且仅当原始约束u≤cθ≤cν保持不变。其中，企业接管了共同投资职能，并采取了明确的措施。将有限测度θ视为约束f的拉格朗日乘数≤ -ψ+ψ和重新标记Д=-ψ和ψ=ψ，我们得到i=inf{u（ν）+ν（ψ）：Д凹，ψ凸，和Д+ψ≥ f} 。（4.2）在第4.3节对EI的精确定义中，u（ν）+ν（ψ）是广义定义2的理解。5和不等式ψ+ψ≥ f需要保持J。然后我们证明，foreI中的每个可能元素（Д，ψ）都包含一个元素（Д，ψ，H）∈ Du，ν（f，A）（命题4.7），这意味着≤工程安装。将上述与弱对偶不等式（引理3.8）yieldseS=S相结合≤ 我≤工程安装。因此，对于r-obust定价和超边缘问题的强对偶性和双重实现，归结为对于更简单的辅助问题的相同断言，这在第4.4.4.2节辅助原始问题中得到了证明。考虑辅助原始问题u，ν（f）=supu≤cθ≤cνθ（f），（4.3），其中θ（f）被理解为外积分，如果f不是Borel可测的。在f和A的合理条件下，原始值u，ν（f）是稳健模型基础d价格（3.2）：命题4.2的下限。设A是一组平均过程。

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2022-6-1 04:40:20

假设以下两组条件中的一组成立：（i）A包含一个内部平均过程，f是下半连续的，并且从下方以一个ν-可积凹函数ν：J为界→R（ii）A包含严格的内部平均过程，f是Borel。TheneSu，ν（f）≤ Su，ν（f，A）。本节末尾给出了命题4.2的证明。它基于以下以M（u，ν）为单位的度量构造，根据该构造，r[0，T]XtdAtequals定律（近似或实际）等于给定θ。这种结构还强调了A包含一个内部平均过程的重要性，该过程不会对给定X的边际分布的时间0和T施加任何质量；反例见示例6.4。引理4.3。Letu≤cθ≤cν。（i）有一个序列（Pn）n≥1. M（u，ν），使lpnZ[0，T]XtdAtn→∞----→ θweaklyf对于每个内平均过程A.（ii）如果A是严格的内平均过程，则存在P∈ M（u，ν）（取决于A）使得LPR[0，T]XtdAt= θ.证据（i）：通过命题2.1的两步改编，存在一个度量∈ Md（u，θ，ν）。对于所有足够大的n，让ιn:R→ Ohm be嵌入ofRinOhm 它将（y，y，y）映射到具有恒定路径的工件[0，T] t 7→ y[0，n）（t）+y[n，t）（t）+y{t}（t）（4.4）（在时间和t跳跃（最多），并用Pn表示：=Qo （ιn）-1相关pushfor ward措施。然后Pn∈ M（u，ν）的相应性质。此外，表示Rby（Y，Y，Y）上的正则过程，并设置An=Ao 对于一个内部平均过程，我们有z[0，T]（n）tdAnt- Y=YAnn-+ Y（蚂蚁-- 安-) + Y蚂蚁- YAT=（Y- Y）安-+ （Y）- Y）AnT（4.5）=（Y- Y）安-在R上，我们使用=1和内部平均过程的AT=0。通过构造，Q下的r[0，T]（ιn）tdantn定律与pn下的r[0，T]xtdat定律相结合，云德Q定律为θ。

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2022-6-1 04:40:22

因此，证明（4.5）c中的右侧在L（Q）中接近于零，即n→ ∞.为此，请注意| Y- Y |≤ |Y |+| Y |是Q-可积的，因为u和θ有有限的一阶矩。因此，受支配收敛的影响，Ann-→ 0点方向为n→ 0.So fix（y，y，y）∈ R、自isF改编后-（ω）仅取决于区间[0，n]上路径ωo的值。鉴于嵌入（4.4），这意味着-（y，y，y）=An-（ιn（y，y，y））=一个-（y[0，T]），其中y[0，T]表示y处的常数路径。因此，断言的逐点收敛源自A=0且A是右连续的事实。（ii）：如果A是一个严格的内部平均过程，那么（4.5）中的最后一个表达式对于足够大的n是相同的零，并且设置P=pn给出期望的结果。备注4.4。引理4.3的第（i）部分仍然成立，如果我们限制自己使用几乎肯定是连续路径的鞅测度。第（ii）部分对连续鞅的模拟需要额外的假设，即存在小于T的，使得≡ 这个断言的主要成分是[9，定理1 1]：对于每个离散时间鞅{Yn}n≥0，存在连续时间鞅{Zt}t≥0具有连续采样路径，因此进程{Yn}n≥0和{Zn}n≥0具有相同的（联合）分布。命题4.2的证明。Letu≤cθ≤cν。首先假设条件（ii）成立，并假设A是严格的内部平均过程。然后通过引理4.3（ii），有P∈ M（u，ν），使得LP（R[0，T]XtdAt）=θ。因此，θ（f）=EP“fZ[0，T]X dA#≤ Su，ν（f，A）。由于θ是任意的，因此声明如下。下一步，假设条件（i）成立，并假设A是内部平均过程，而Д与条件（i）相同。根据引理4.3（i），有一个序列（Pn）n∈N M（u，ν），θn：=LPn（R[0，T]XtdAt）→ θ弱。定义fk=f∨ (-k），k≥ 1.

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2022-6-1 04:40:25

那么fkis的界是低的和下半连续的，所以lim infn→∞θn（fk）≥ θ（fk）由Portmanteau定理确定。固定ε>0。选择足够大的第一个k，以便ν（（ν+k）-) ≤ε和N足够大，以至于θN（fk）- θ（fk）≥ -ε表示所有n≥ N、使用该0≤ fk公司- f≤ （^1+k）-（Д+k）-是凸的，我们得到≥ N、 θN（f）-θ（f）=θn（f-fk）+（θn（fk）- θ（fk））+θ（fk- f）≥ -θn（（Д+k）-) -ε≥ -ν（（ν+k）-) -ε≥ -ε.因此，lim infn→∞θn（f）≥ θ（f）。现在，声明遵循mθ（f）≤ lim信息→∞θn（f）=lim infn→∞EPn“fZ[0，T]XtdAt#≤ Su，ν（f，A）。4.3辅助对偶问题考虑辅助对偶问题iu，ν（f）=inf（ν，ψ）∈eDu，ν（f）{u（ν）+ν（ψ）}，（4.6），其中u，ν（f）表示（ν，ψ）的集合∈ Lc（u，ν），带凹面Д：J→R与凸ψ：J→R使得ψ+ψ≥ f on J.对偶值eiu，ν（f）是稳健超边缘pr ice（3.10）：命题4.5的上界。让f：R→ [0, ∞] 博雷尔。然后Iu，ν（f，A）≤eIu，ν（f）。命题4.5紧跟在下一个结果（命题4.7）之后，该结果表示每个（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）产生f和a的半静态超边。更准确地说，半静态超边的形式为（Д，ψ，H），动态部分H可以用Д和ψ的“导数”明确表示。给定一个凸函数ψ：J→ R、一个Borel函数ψ′：I→ 对于每个x，R被称为ψif的asubderivative∈ 一、 ψ′（x）属于ψ在x处的次微分，即ψ（x）-ψ（x）≥ ψ′（x）（x）-x），x∈ J、对称地，对于凹函数Д：J→ R、 a Borel函数Д′：I→ Ris称为νif的超导数-ν′是-φ.备注4.6。If（ψ，ψ）∈eDu，ν（f）和f>-∞ 在J上，则ψ和ψ都是有限的（因此，亚导数和超导数都得到了很好的定义）。根据注释2.8，我们已经知道ψ在J上是有限的。此外，ψ<∞ o n J byLemma 2.7（i）如果f>-∞ 在J上，然后≥ f- ψ > -∞, 因此，这也是J.命题4.7的定义。

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