结果得到：φ（0）≥ -2cuσ√2毫升。此外，引理4意味着1≤ expr2clσ！≤γ≤ expr2cuσ！。综上所述，我们得出结论，（49）的右侧消失，如σ→ ∞, 速率仅取决于cl、cu。这反过来产生（46）并完成命题的证明。回想一下，我们的最终目标是证明涉及v 7的映射存在固定点→Va/b（x、pa、pb、v）。正如本小节开头所宣布的，为了建立后者的连续性，我们需要将v限制为一组充分单调的函数。命题4表明，v 7保留了x中的期望单调性→ Va/b（x，pa，pb，v）和下面的命题依次表明，后一个映射在这类v命题5的集合上是连续的。假设pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v，v具有1-移位性质，且A/b/c是c-接近x的。还假设（v）（x），（v）（x）≥  > 0，对于所有x∈ R、 然后，存在一个函数ε：R+→ R+（仅取决于(, σ、 λ，F，α），但独立于（pa，pb，v，v），满足上述假设），因此ε（δ）→ 0，作为δ→ 0和SUPX∈RVa/b（x、pa、pb、v）- Va/b（x、pa、pb、v）≤ εsupx公司∈R | v（x）- v（x）|. （50）证明：我们将证明Va的陈述，VBA的陈述是相似的。我们会在任何时候∈R | v（x）-v（x）|≤ δ、 我们有Va（x，pa，pb，v）≥ Va（x，pa，pb，v）-ε（δ），ε在零处消失。这与对称不等式（类似地证明）一起，得出了命题的陈述。对于给定的δ>0，考虑δ-最优τ，例如ja（τ，x，pa，pb，v）≥ Va（x，pa，pb，v）- δ.请注意，必须找到τ，例如ja（τ，x，pa，pb，v）≥ Ja（τ，x，pa，pb，v）- ε(δ).在整个证明过程中，ε可能会随着直线的变化而变化，但它始终满足建议中所述的性质。

我们构造τ≥ τ、 分别在两个不同的Fτ-可测集上。关于事件Ohm:=ω：bv（Xτ）c≥ bv（Xτ）c,我们设置τ=τ。如果bv（Xτ）c<bv（Xτ）c，我们仍然有v（Xτ）≥ v（Xτ）- δ、 因此，根据（v）的假设，vXτ+δ≥ v（Xτ）。上述表示bv（Xτ+δ/)c≥ bv（Xτ）c.（51）然后，在事件上Ohm:= Ohmc类=ω：bv（Xτ）c<bv（Xτ）c,我们定义τ：=inft型≥ τ： Xt公司≥ Xτ+δ, τ： =inf{t≥ τ： Xt公司≤ Xτ- 1}, τ:= τ∧ τ.在随后的推导中，我们用以下表达式表示各种数量，可以解释为“相对于x”的目标值，这比“绝对”版本更方便。Ja（τ，x，pa，pb，vi）- x=ExZτexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+exp-Zτc（Xs）dsbvi（Xτ）c- Xτ, （52）其中英属维尔京群岛（x）c- x个≤ C+1和| ga（x）- c（x）x |≤ cuC，根据命题的假设。利用上述表达式，我们得到了ja（τ，x，pa，pb，v）- Ja（τ，x，pa，pb，v）=ExhOhm经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- bv（Xτ）c+ 1.OhmZττexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+1Ohm经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτi、 请注意，在上述预期范围内，三个总和中的第一个对于每个ω都是非负的，定义为Ohm. 还请注意，as | ga（x）- c（x）x |≤ cuC，我们有以下第二次Summand的边界：前任OhmZττexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt≤ cuCEx |τ-τ|=cuCEτ=：ε（δ），其中τ：=inf{t≥ 0:Xt/∈ (-1, δ/)},Eτ很容易变为零，即O（δ），即δ→ 0

只剩下估计最后一个summand的期望值，它可以分解为xhOhm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ+1.Ohm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτi、 同于| vi（x）- x |≤ C、 对于所有x∈ R、 和asPx（τ=τ）=Pinf公司t型≥ 0:Xt=δ> inf{t≥ 0:Xt=-1}=δ/1 + δ/= O（δ），对于δ→ 0，我们获得：Exh公司Ohm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ-经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ我≤ 2（C+1）Px（τ=τ）=：ε（δ）。最后，我们从下面估算剩余项：ExhOhm{τ=τ}经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ- 经验值-Zτc（Xs）dsbv（Xτ）c- Xτ≥ Exh公司Ohm{τ=τ}bv（Xτ）c- Xτ经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds+ （Xτ- Xτ）exp-Zτc（Xs）ds我≥ -（C+1）Ex经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds-δ,其中，第一个不等式源自bv（Xτ）c=bv（Xτ+δ/)c≥ bv（Xτ）c，由（51）得出，第二个不等式由Xτ得出-Xτ=-δ/ 和| bv（x）c-x |≤ C+1，连同τ≥ τ. 只需注意前任经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds≤前任Zττc（Xs）ds≤ cuEx |τ- τ|=O（δ），这是证明的结论。4连续控制的优化和平衡的存在本节，我们首先讨论每个代理优化问题的连续控制部分。也就是说，我们引入了反馈控制算子，并证明了它们产生的控制确实是最优的。我们的情况比标准参考文献中处理的情况要不太规则，因此，我们需要利用问题的特殊结构，并开发其他技巧来显示这种最优性。然后，我们证明了这些响应控制算子在适当的拓扑中是连续的，并展示了耦合优化问题系统（9）如何简化为某个映射的固定点问题。

最后，我们证明了该映射的连续性及其不动点的存在性，满足了所需的性质，从而完成了定理1的证明。对于任何可测量的v:R→ R、 我们定义了以下反馈控制运算符：Pa（v）（x）：=最小argmaxp∈Aa（x）（p- v（x））F+（p- x） ，x∈ R、 Pb（v）（x）：=最大argmaxp∈Ab（x）（v（x）- p） F（p- x） ，x∈ R、 （53）其中，对于x∈ R、 我们表示AA（x）：={p∈ Z：1- F（p- x）≥cl2λ}，Ab（x）={p∈ Z:F（p- x）≥cl2λ}，F+（x）：=1- F（x），带c.d.F.F（参见（8））。很明显，对于固定的x∈ R、 集合Aa（x）表示连续控制pa（x）的可能值，Ab（x）类似。也很容易看出，对于任何可测量的v，函数Pa（v）和Pb（v）是可测量的，因此，它们分别属于Aa和Ab（即Pa（v）和Pb（v）是可容许的连续控制）。以下命题（其证明见附录）允许我们将代理的控制停止问题简化为与最优停止和反馈控制相关的定点问题。提案6。设σ>0足够大，以便命题2在w<1时成立。考虑任何pb∈ Aband任意容许势垒v，均满足1-移位性质，且v（x）≥ 1.- w>0，对于allx∈ R、 假设存在可测量的Va:R→ R、 thatVa（x）=supτJa（x，τ，Pa（Va），pb，v），x个∈ R、 （54）andgac（Pa（Va）（·），pb（·），·）是C-接近x。然后，Va（x）=suppa∈Aa，τJa（x，τ，pa，pb，v），x个∈ R、 （55）类似的陈述适用于（Vb，Jb，Pb（Vb））。备注2。请注意，更容易证明相反的说法：即Va，由（55）定义，满意度（54）。然而，这并不意味着该命题的陈述，因为（54）可能存在多种解决方案。

对于随后的结果，重要的是要证明（54）的任何解决方案都是令人满意的（55）。命题6允许我们通过使用反馈控件Pa和PbThrough，分别在Va和Vb的定义中避开paor pb的优化。接下来，我们注意到假设1尤其意味着最优反馈价格总是C=C+1-接近x，并且还继承了它们对应的壁垒的1-移位特性。这个观测在下面的引理中正式化了。引理9。Letpa（x）：=Pa（v）（x），pb（x）：=pb（v）（x），x个∈ R、 对于一些容许势垒v，那么对于所有x∈ R、 | pa（x）- x |≤ C、 | pb（x）- x |≤ Cga/b（x）/c（x）≤ C、 此外，如果v具有1-shift属性，则pa和pb也具有1-shift属性。证据：根据定义（53）和suppξ [-C、 C]，很容易看出pa（x）- x不得小于最大整数≤ -C不大于最小整数≥ C、 因此，pa（x）≥ x个- C、 pa（x）≤ x+C。pb（x）也有类似的结论。从（3），（4）我们得到gac（x）- x个=（pa（x）- x） （1）- F（pa（x）- x） ）+Fb（pb（x），x）- xF（pb（x）- x） （1）- F（pa（x）- x） ）+F（pb（x）- x）.类似的说法适用于gb。因此，为了证明该主张，有必要显示| pa（x）- x |≤ C、 | Fb（pb（x），x）- x |≤ CF（pb（x）- x） 。第一个不平等已经确立。对于第二个，我们有fb（pb（x），x）- x=Zpb（x）-x个-∞bx+αyc- x dF（y）为了完成证明，我们注意到| bx+αyc- x |≤ C、 当y∈ suppξ（dF（y）=0，否则）。gb/c的主张可以用类似的方法加以证明。假设v满足，则Pa和pb的1-shiftproperty从（53）立即开始。鉴于上述引理，选择常数C是很自然的，它出现在“C-接近x”的性质中。请注意，CSaties（12）。接下来，对于任何允许的屏障（va，vb），我们定义Φ（va，vb）=弗吉尼亚州·, Pa（va）、Pb（vb）、vb, Vb（·，Pa（va），Pb（Vb），va）.

（56）引理2和9意味着Φ的分量是可容许的势垒，我们可以迭代这个映射。实际上，我们只对Φ对集合A和A（w）的限制感兴趣，定义如下。定义4。该集合由R上的所有连续实值函数组成，这些连续实值函数C-接近x且满足1-移位性质。对于任何w≥ 0，我们说v∈ A（w），如果v∈ A、 v是绝对连续的，1- w≤ v≤ 1+w a.e。。我们在所有紧上为A和A（w）赋予一致收敛的拓扑。引理1、2和9表明Φ将A×Ainto映射到自身。此外，命题4表明ΦmapsA×Ainto A（w）×A（w），其中w可以选择为任意小，因为足够大的σ>0。使用命题6，我们在下面展示，该映射在适当子集中的固定点给出了系统的解决方案（9）。因此，我们的下一个目标是确定这样一个固定点的存在。第一步是显示Φ在A（w）×A（w）上连续，w<1。为此，我们首先为反馈价格控制Pa（v）和Pb（v）选择适当的空间和拓扑，并表明它们是连续的inv∈ A（w）。然后，我们展示了Va·, pa、pb、v和Vb·, pa、pb、v作为作用于函数（pa，pb）的运算符，对于所选拓扑，在v中均匀连续∈ A、 再加上Va的持续性·, pa、pb、v和Vb·, pa、pb、v在命题5中建立的v中，得到Φ的连续性。让我们定义反馈价格控制的空间。定义5。用Ba和BB分别表示Aa和Ab的子空间，由C-接近x且满足1-移位性质的所有函数组成。我们为Ba/B配置了由其自然限制到L（[0，1]）的拓扑（考虑到1-shift属性）。注意Pa（v）∈ Baand Pb（v）∈ Bb，对于任何v∈ A.

下面这个有点棘手的引理是我们需要建立Φ连续性的两个剩余结果中的第一个。引理10。对于任何w∈ [0，1），映射SV 7→ Pa（v），v 7→ Pb（v），从A（w）到Ba和Bb，分别是连续的。证据：我们只显示了铺装层，Pbone是类似的。证明包括两个步骤。首先，我们证明，给定v，具有引理陈述中描述的性质（特别是，v是递增的），Pa（v）（x）也是x的递增函数。然后，我们使用这个单调性性质来显示Pa的期望连续性。步骤1。对于固定的v，我们表示px=Pa（v）（x）。相反，假设对于某些x>x，我们有px<px。注意，当x增加时，允许的控制值集Aa（x）向上移动。因此，如果px是x=x<x时的容许控制值，px>px，px是x=x时的容许控制值，那么px是x=x时的容许控制值。同样，如果px<px，那么px是x=x时的容许控制值。因此，为了获得矛盾，有必要证明px在x=x时产生比px更好的局部目标值，即（px- v（x））F+（px- x） >（px- v（x））F+（px- x） 。（57）如果px，上述不等式显然成立≤ v（x）。因此，在不丧失一般性的情况下，我们假设px>v（x）。那么，（57）等于：px- v（x）px- v（x）>F+（px- x） F+（px- x） （58）注意（px- v（x））F+（px- x）≥ （px- v（x））F+（px- x） ，（59）由于px是x=x时的最优价格，因此，并不比px差（在x=x时允许）。假设px>v（x）也意味着px>v（x），因为v（x）<v（x）。因此，不等式（59）等价于topx- v（x）px- v（x）≥F+（px- x） F+（px- x） （60）为了得到所需的矛盾，必须注意px- vpx公司- v=1+像素- pxpx- v中的vis严格增加∈ R、 对于v<px和thatF+（px- x） F+（px- x） 在x中减少。

前者是显而易见的，而后者来自x个F+（px- x） F+（px- x）=f（px- x） F+（px- x）- f（px- x） F+（px- x） F+（px- x） =f（px- x） f（px- x） F+（px- x）F+F（px- x）-F+F（px- x）≤ 0，这反过来又源于假设1中F+/F正在减少的事实。鉴于（60）中项的上述单调性，我们推导出（58），从而得到所需的矛盾，并证明Pa（v）（·）的单调性。第2步。可以很容易地检查Pa（v）≥ Pa（v），如果v（x）≥ v（x）表示所有x。为了表明Pa（v）和Pa（v）在Ba的拓扑结构中很接近，有必要显示z | Pa（v）- Pa（v）| dx较小。请注意，整数值函数Pa（v）（参见Lemma9）的单调性和1-移位性质意味着它与bx一致-αc，对于x∈ [0，1]（后一个函数的跳转点可能除外），对于某些α。类似的结论适用于Pa（v），其中有一些α。W、 l.o.g.我们假设α≥ α、 因此，v≥ v、 假设vand vare也在sup norm中δ-close，所以我们有v≤ v+δ。如果我们能证明α≤ α+δ1 - w、 （61）那么，一个简单的计算将是yieldZ | Pa（v）- Pa（v）| dx=O（δ）。因此，仍需显示（61）。为此，我们注意到，由于A（w）的定义，对于每个x∈ R、 存在x*∈ [x，x+δ/（1- w） ，使得v（x*) = v（x）。假设pA（v）（x*) < Pa（v）（x），并回顾x*≥ x和v（x*) = v（x），我们按照步骤1中的参数得到一个矛盾。因此，Pa（v）（x*) ≥ Pa（v）（x），表示（61）。下面的引理（其证明见附录）提供了显示Φ连续性所需的最后一个结果。回顾（17）–（20）中给出的（Ja，Jb）和（Va，Vb）的定义。引理11。操作员（pa、pb）7→ · + Va（·，pa，pb，v），·+Vb（·，pa，pb，v），从Ba×BB到A，是连续的，均匀地覆盖在v上∈ A、 最后，我们可以陈述本节的主要结果。定理2。

设σ足够大，以便命题4中定义的w严格小于1。那么，集合A：=A（w）×A（w）是C（R）×C（R）的紧致闭凸集，其拓扑在所有紧致上均一致收敛。此外，（56）中定义的映射Φ是a自身的连续映射，它有一个固定点。证明：对于足够大的σ，Φ将A映射到自身的事实在定义4后的段落中讨论。A的封闭性和凸性也很清楚。A的紧性由A（w）的紧性得到。反过来，A（w）是紧致的，因为它的元素具有一致的Lipschitz性质，并且它们与x的一致性。最后，Φ是连续的，因为它可以写成e：（va，vb）7的组合→va、vb、Pa（va）、Pb（vb）andV：（va、vb、pa、pb）7→Va（·，pa，pb，vb），vb（·，pa，pb，Va）.在上文中，E:A→ A×Ba×bb由引理10连续。运算符V：A×Ba×Bb→ A是连续的，因为它在（pa，pb）中是连续的∈ Ba×Bb，均匀覆盖va，vb∈ A（w），引理11，在va，vb中是连续的∈ A（w），由于命题5和A（w）元素的1-移位性质。Φ不动点的存在源自Schauder不动点定理。将上述定理与命题6相结合，我们得到了定理1的证明（比较（56）、（54）、（55）和（9））。5数值示例和应用在本节中，我们考虑一个数值示例，该示例说明了前面章节中构造的平衡的性质，并显示了它们的潜在应用。如定理2的证明所述，为了计算平衡值函数（\'Va，\'Vb），我们需要找到映射V的固定点o E、 请注意，AA（x）/Ab（x）是有限集，在模型参数（σ、λ、F、α）的实际假设下，这些集变得足够小。

因此，E可以通过简单的网格搜索轻松计算，我们只需要弄清楚如何计算V。V相当于计算一个平稳的最优停止问题的值函数，该问题有运行成本和折扣。我们用于计算该值函数的算法如下所述，它构成了文献[16]中开发的马尔可夫链近似方法的简单应用。设N为控制空间和时间离散化的正整数，定义：=N，t:=hσ。设ξnbe为{nh}n上的对称随机游动∈Z、 很容易检查ξn+1的条件一阶矩和二阶矩- ξnapproximate X（n+1）t型- Xn公司t、 因此，ξ可以看作X的近似值，其中ξ的每一步都需要时间t、 然后，我们考虑近似马尔可夫链ξ的最优停止问题（14）、（15）的相关离散化，并用VaN（x，pa，pb，v）和VbN（x，pa，pb，v）表示相应的值函数。众所周知（参见【16】），Va/bN（x，pa，pb，v）→Va/b（x、pa、pb、v），如N→ ∞, VaN满足以下动态规划方程：VaN（x，pa，pb，v）=maxbv（x）c，1+cp（x）t型厢式货车（x- h） +货车（x+h）+cp（x）t1+cp（x）tgap（x），（62）和类似的VbN。该方程的解可以通过通常在值空间中的迭代找到。也就是说，如果我们在（62）的右侧用第n步近似值VaN，n替换VaN，在其左侧用VaN，n+1替换VaN，那么VaN，n→ 瓦纳斯n→ ∞. 请注意，为了描述平衡（更准确地说，它的近似值），我们需要找到“VaN=VaN（·，Pa（VaN），Pb（VbN），VbN）”和“VbN=VbN（·，Pa（VaN），Pb（VbN），VaN”），其中每个Va/Bn解出相关的动态规划方程（62）。为了求解得到的耦合系统，我们从初始值（VaN，0，VbN，0，paN，0，pbN，0）开始，使用它来获得VaN，1，如上所述（即。

通过计算（62）的右侧，使用（VaN，0，VbN，0，paN，0，pbN，0）），通过（53）计算paN，1=Pa（VaN，1），然后计算VbN，1given（VaN，1，VbN，0，paN，1，pbN，0），依此类推。如果结果序列收敛，则极限函数满足（\'VaN，\'VbN）的定义。虽然[16]的理论收敛结果并不完全适用于手头的耦合系统，但在数值上，我们确实观察到所提出的格式在σ值不太小的情况下的收敛性，如定理1所示。图1的左侧显示了（近似）平衡值函数（\'VaN，\'VbN）的典型图。其右侧包含相关的买卖价格（pa=pa（\'VaN），pb=pb（\'VbN））。参数值如下：f（x）=1[-γ、 γ]（x）/（2γ），γ=1.2，α=0.9，λ=1，σ=1，N=100。由于值和价格的1-shift特性，可以很容易地将这些图扩展到范围x之外∈ [0，1]：这些函数在x+n处的值是通过将它们在x处的值向上移动n来获得的。我们可以观察到平衡值函数和引号的几个性质，这些性质可以从前面章节的平衡构造中推导出来首先，x中的值函数“Va/bare monotone和Lipschitz”。这是因为根据定理2，它们可以延伸到A（w）（参见定义4）在两个值函数重合的点（因此游戏停止），它们取整数值。这源于命题1的证明和等式（9）前面的段落中提出的论点二维随机过程（\'Va（Xt），\'Vb（Xt））在一维流形上演化（asX是一维的），如图2红色所示引号pa/b通过构造只取整数值，它们是非递减的，如引理10的顶部所示。

此外，pa/b（x）在间隔x中最多可以改变一次∈ （0，1），如下来自1-shift属性。o根据（53）中反馈函数的定义，询价pa（x）从不低于“Va（x）”，投标报价pb（x）从不高于“Vb（x）”，如下所示。由于开放区间（\'Va（x），\'Vb（x））不包含任何整数（见前面（9）段），因此我们有pa（x）≥ pb（x）。o最后，如果pa（x）=dxe，pb（x）=bxc（对于具有单个刻度价差的市场而言，这是预期的），则值函数始终交叉：(R)Va（x）≤(R)Vb（x）。要看到这一点，请注意，在我们构建的均衡中，两个代理同时停止τ，因此，它们的收益由uA/bτ给出pa（Xτ），d'Va（Xτ）e，pb（Xτ），b'Vb（Xτ）c（见（7）和（2））。当“Va（Xτ）=”Vb（Xτ）时，所需的不等式由ga（pa（X），pb（X），X）得出≤gb（pa（x），pb（x），x）（参见（4），（5）），依次从Z开始∞dxe公司-xdx+αyedF（y）≥ dxe（1- F（dxe- x） ），Zbxc-x个-∞bx+αycdF（y）≤ bxcF（bxc- x） 。值得一提的是，在图1所示的均衡中，当X达到0或1时，值函数重合，游戏停止。一般来说，情况并非如此，数值实验揭示了具有不同停止边界的平衡的存在（即使停止区域总是周期性的）。现在让我们讨论上面列表中最后一个属性的含义，这说明了所提出模型的潜在应用。如引言所述，战略代理人的价值函数交叉，即“Va（Xt）”≤(R)Vb（Xt），在游戏结束前是由于存在正的ticksize。如果没有后者造成的摩擦，两个战略代理人将在[\'Va（Xt），\'Vb（Xt）]以任何价格水平进行交易，游戏将结束。

然而，在目前的模型中，代理人可能无法交易，因为他们的连续值之间可能不存在可接受的价格水平（即整数）。值交叉的大小，即“Vb”-(R)Va，测量正刻度大小产生的效率。也就是说，如果这两个参与者被提供在“影子市场”中进行交易，而不需要打勾，他们愿意为这种机会支付的最高费用正好等于0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x00.20.40.60.81valueVaVb0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x-0.200.20.40.60.811.2价格图1：左边：价值函数（(R)VbN，(R)VaN）作为X的函数。右边：标价（pa，pb），作为X的函数交叉路口的。所提出的模型允许我们在整个游戏过程中计算这种效率的最大值，这对应于图1中红色和蓝色曲线之间的最大差值，以及图2中红色曲线与对角线之间的最大偏差。图3显示了作为刻度大小函数的不效率度量。值得注意的是，这一函数似乎是超线性的，这尤其意味着效率的大小并不仅仅与刻度大小成正比。请注意，刻度大小的任何变化都会对市场产生双重影响。一方面，在自然的假设下，当X达到刻度大小的倍数时，游戏总是停止，如图1所示，我们得出结论，游戏的持续时间随着刻度大小的增加而增加。因此，勾号大小的增加对市场流动性有积极影响：战略代理人撤回流动性的频率较低。

另一方面，随着正刻度大小导致的无效性增加，战略代理更倾向于完全退出游戏，在刻度大小较小的替代市场进行交易，即使他们为这种转换支付费用。本文开发的均衡模型可以量化这两种影响，例如，决策者可以在决定监管金融交易所的交易量时使用这两种影响。6附录。6.1命题6的证明从Va和Ja中减去x，如（19）和（17）所示，我们重新表述了相关版本的声明，Va=Va-x和Ja=Ja-x代替Vaand Ja。为了证明这一说法，我们需要验证反馈控制Pa=Pa（Va）是最优的。反过来，后者要求对任何容许控制pa（参见（19），（17））的值函数VA（x，pa，pb，bvc）=supτJa（x，τ，pa，pb，bvc）进行微分表征，以及允许我们将随机最优控制与任意控制进行比较的比较原则。我们使用变分不等式（VIs）理论来实现这个程序。不幸的是，由于存在无界域L，我们无法找到任何直接适用于我们设置的VI结果∞贴现因子和运营成本，以及不连续障碍。数值实验表明，这是最可能的平衡-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5Va-5-4-3-2-1012345Vb（Va，Vb）域{（Va，Vb）平衡基曲线：Va≥  Vb, Vb≤  弗吉尼亚州}-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5Va-5-4-3-2-1012345Vb（Va，Vb）域{（Va，Vb）平衡基曲线：Va≥  Vb, Vb≤  弗吉尼亚州}图2：红色：曲线（\'Va（x），\'Vb（x））：x∈ R. 蓝色：集合{（x，y）：x的边界≥byc，y≤ 染料}。

左图使用与图Fig:1中相同的参数值。图3：正刻度大小导致的效率低下的大小，作为刻度大小的函数。也就是说，据我们所知，在这种情况下，不存在将解决方案与最优停止问题和VI解决方案联系起来的结果。因此，我们需要引入额外的近似步骤。更具体地说，在步骤1中，我们表明不连续势垒bvc可以用其连续主要近似s代替, 在不影响相关最优停止问题值的情况下，无论选择哪种允许的（pa，pb）。在步骤2中，我们选择一系列光滑逼近函数Vn↓ s并利用VI解w.r.t.障碍的连续性（参见文献[3]），证明了s满足适当的VI。最后，在步骤3中，我们使用关联VI的比较结果，以表明Pa（Va）确实是最佳控制。第1步。这一步由下面的引理处理，其（几何）证明如下。引理12。设（pa，pb）为容许控制，v为容许屏障，使得（pa，pb，v）具有1-移位属性，ga/b/c为c-接近x，v≥ 1.- w、 一些固定常数w<1，并且命题2与该w保持一致（由于命题2，后者可以通过选择足够大的σ来保证）。然后，存在一个连续的分段线性函数s≥ bvc独立于满足1移位特性的（pa，pb），C-接近x，因此Va（·，pa，pb，bvc）=Va（·，pa，pb，s),对于满足上述性质的任何（pa，pb）。证明：证明的主要思想是修改跳跃点周围的阶跃函数，用倾斜线段替换跳跃，这样我们就不会影响其“mcm”。

为了便于注释，让我们引入fa（x，pa，pb）：=fa（x，pa，pb）- x=ExZ∞经验值-Ztc（Xs，pa（Xs），pb（Xs））dsga（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）- c（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）Xtdt公司.（63）那么，根据命题3，我们得到：Va（x，pa，pb，~v）=fa（x）+φ（x）mcm\\v- fa公司- x个（F（x）），其中唯一依赖于障碍物v的是“mcm”内部，VAI在（19）中定义。因此，足以证明mcm\\v- fa公司- x个（y） 如果我们将▄v=bvc替换为▄v=s，则不会改变.让我们来确定任何 > 0和定义. 我们知道，bvc具有1-shift特性，并且仅在点序列{x+n}n处通过大小为1的跳跃来改变∈Z、 我们定义（x） 在间隔（x+n）外等于bv（x）c- , x+n]，并与连接的线段重合（x+n- , bv（x+n- )c） 和（x+n，bv（x+n）c）。注意，在左边-bvc，s的每个跳跃点的邻域是坡度为1的线段/, 它与其他地方的bvc（局部恒定）一致。请注意≥ bvc建造，因此，mcm\\s- fa公司- x个≥ mcm公司\\bvc公司- fa公司- x个, 对于一些人来说，只剩下证明相反的不平等了 > 为此，我们注意到，在引理的假设下，fa+x严格增加，因此，函数x 7→ bv（x）c- fa（x）- x正好在{x+n}点达到其最大值。如果这个最大值是非正的，我们从命题4的证明中推断出mcm\\bvc公司- fa公司- x个= 那么，理想的不等式是明确的，因为我们可以确保- fa公司- x与bvc具有相同的上确界- fa公司- x、 选择足够小的 > 0（由于命题2，仅取决于w）。因此，对于其余的证明，我们假设bvc的上确界- fa公司- x是严格正的，这意味着它的“mcm”在任何地方都是严格正的。表示y：=F（x），y：=F（x），其中x=x+1，F由（39）给出。请注意（fa）≥ 1.- w、 一些固定的w<1。

然后，利用引理4中给出的（ψ，φ）的估计，很容易推断出存在δ∈ （0，1），独立于（pa，pb，v）和y∈ [y，F（x- δ） ，这样\\（bvc- fa公司- x） （y）>0和点的线性插值（y，\\（bvc- fa公司- x） （y）和（y，\\（bvc）- fa公司- x） （y））位于bvc图形上方- fa公司- 间隔[y，y]上的x。我们的目标是显示此插值也占主导地位- fa公司- 对于所有足够小的 > 0.显然，如果 < δ、 然后，函数\\bvc- fa公司- x、 由上述[y，F（x+1）]上的插值修改，占主导地位- fa公司- [F（x），F（x+1）]上的x。然后，由于周期性，可以在任何[F（x+n），F（x+n+1）]上构建类似的修改，以控制- fa公司- 这个区间上的x，它产生所需的不等式：mcm\\s- fa公司- x个≤mcm公司\\bvc公司- fa公司- x个.请注意，“b·”操作符（在（40）中定义）将φ和ψ的任何线性组合转换为直线。因此，有必要证明-fa公司-x在[x:=F]上占主导地位-1（y），x]通过（x，z）和（x，z）之间的“aφ（x）+bψ（x）”插值（选择常数a和b分别匹配x和x处的边界值zand z），其中z=bv（x）c- fa（x）- x、 z=bv（x）c- fa（x）- x、 表示h=aφ+bψ，观察：h（x）=z∈ [（z- 1） +，z]，h（x）=z>0，x≥ x+δ和h≥ 0，小时≥ bvc公司- fa公司- [x，x]上的x。接下来，当h满足σhxx时- ch=0，a.e.，并且是连续可微的，我们应用最大值原理得出结论，hon[x，x]的最大值不能在该区间的内部达到（否则，在最大点，我们会有h>0和hxx<0，这与上述方程相矛盾）。

因此，h（x）≤ zfor x公司∈ [x，x]。那么，上面的方程就意味着0≤ hxx（x）≤2cσz≤2cuσz，x∈ [x，x]，且作为hx在区间[x，x]上的积分（长度至少为δ∈ （0，1），最多1）不超过1，我们得出结论：hx（x）≤2cuσz+δ，x∈ [x，x]。引理的假设意味着bvc（C+1）-接近x，并且Fa绝对有界于C。因此，z=bv（x）C- x个- fa（x）≤ 2C+1，然后，hxis在[x，x]上以常数为界，与（pa，pb，v）无关，只要后者满足引理中所述的性质。最后，注意h（x）=z=s（十）- x个- fa（x），函数的斜率s- fa公司- x至少等于1/ - 1.- w开[x- , x] （由于提案2）。那么，我们可以选择 足够小，以便1/ - 1.- w≥ C≥ hx（x），对于x∈ [x- , x] 。因此，我们获得（十）- fa（x）- x个≤ h（x），x∈ [x- , x] 。作为h≥ bvc公司- fa公司- 通过构造，我们得出结论，上述不等式适用于所有x∈[x，x]。因此，我们得出结论，函数\\bvc- fa公司- x、 通过其在[y，y]上的线性插值进行修改，占主导地位- fa公司- x开[y=F（x），y=F（x+1）]。其他间隔[F（x+n），F（x+n+1）]由相同的参数处理。因此，我们获得了MCM\\s- fa公司- x个≤ mcm公司\\bvc公司- fa公司- x个,这将在上面的左侧和右侧之间产生所需的相等。第2步。让我们回顾一下[3]中的一些符号。设u>0，并考虑权重函数mu（x）=exp(-u| x |）。用Hu=W0,2，u，Vu=W1,2，u表示R上适当的mu加权Sobolev空间（我们需要加权空间，因为我们的系数是有界的和周期性的，而我们需要它们在整个有界域上是可积的）。对于任何u、r∈ Vu和任意p∈ Aa，我们定义（u，r）=ZRσmuur- 2u符号（x）σmuvmur+cpmuur dx。让fp∈ Hu，由fp（x）=间隙（x）- cp（x）x是我们相对x停止问题的运行cots，ku（v）={u∈ Vuu（x）≥ v（x）- x a.e。

x} 是一组适当的测试功能。我们用VI（p，v）表示以下VI（从弱意义上理解）ap（u，r-u）≤ （fp，r-u） ，则，r∈ Ku（v）（64），其中（u，r）=（u，r）u=ZRmuurdx。我们说u是上述VI的解，如果u∈ Ku（v）和u满意度（64）。作为所有系数，cp、σ/2、fp和（v- x） ，在L中∞（R） 当μ足够小时，由于形式ap（·，·）是强制性的，我们得出结论（对于此类u），VI（64）在Ku（v）中具有唯一的溶液，对于任何p∈ aa和任何C-接近x的v，根据定理1.13，[3]p.217。设Vn为C∞-s上方的近似值, 通过引理12与v关联，引理12最多是s的1/naway在sup norm中。然后，根据定理3.19，[3]p.387，对于足够小的u，un=Va（·，p，pb，vn）是VI（p，vn）的唯一解。也可用VI（p，s）的唯一解表示). 将这些VIs重写为muu的加权VIs并限制为有界域，可以推广定理1.10，[3]p.207，toobtain un→ uin L公司∞（R） 。后一个事实，加上易于检查的值函数的收敛性，Va（·，p，pb，vn）→ Va（·，p，pb，s) = Va（·，p，pb，bvc），意味着后一个值函数是VI（p，s）的唯一解).第3步。根据定理1.4，[3]p.198，扩展到无界域，如备注1.21，p.219，唯一解u，~u∈ VIsap的Ku（v）（u，r-u）≤ （h，r- u） ，则，r∈ Ku（v）分别。ap（▄u，r- u）≤ （￠h，r- u），r∈ Ku（v）共享障碍物v和形状ap，但右侧h和▄h不同，满足▄u≥ u如果▄h≥ h、 回想一下，Va（x）=Va（x）- x和表示'p：=Pa（Va）。我们需要证明以下不等式成立：’u：=Va=Va（·，’p，pb，bvc）=Va（·，’p，pb，s) ≥ Va（·，p，pb，s) = Va（·，p，pb，bvc）=：’u=’u（p）对于任何p∈ Aa。

步骤2中显示，“u满足（64）的一个版本，运行成本f”和二次型a“p”，经过常规转换后，其结果相当于p（\'u，r- \'\'u）≤ （￠f，r- \'\'u），r∈ Ku（bvc），（65），其中▄f=fp+q，q：=g'p- c'p（'u+x）- （总成- cp（(R)u+x））≥ 0，从“p=Pa（Va）和“u（x）+x=Va（x）”开始。回想一下，“usatis fis fies the the over equation with the running cost function fp in the▄f，and the fp≤~f.因此，我们可以应用本步骤开头所述的比较原则来完成证明。6.2引理11的证明我们只显示（pa，pb）7的连续性→ x+Va（x，pa，pb，v），另一部分类似。回想一下thatVa（x，pa，pb，v）=supτJa（x，τ，pa，pb，v）。因此，有必要表明，对应于两对价格（pa，pb）和（pa，pb）（τ相同）的Ja-s也很接近，τ一致。为此，我们回顾了（17）和obtainJa（x，τ，pa，pb，v）- Ja（x，τ，pa，pb，v）=ExhZτ经验值-Ztc（Xs）ds- 经验值-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+Zτexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt- （ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt+经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）i，（66），其中表示c（X）=c（pa（X），pb（X），X），c（X）=c（pa（X），pb（X），X），ga（X）=ga（pa（X），pb（X），X），ga（X）=ga（pa（X），pb（X），X）。为了完成证明，有必要表明，当（pa，pb）和（pa，pb）在拓扑结构上接近时，（66）中三条不同线的绝对值的期望值都很小。对于第三项，请注意，作为| exp(-x）-经验值(-y） |≤ 最大值（exp(-x） ，经验值(-y） ）| x-y |，和as ci（x）≥cl>0，对于所有x和i=1，2，我们有经验值-Zτc（Xs）ds- 经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）≤经验值(-clτ）Zτ| c（Xs）- c（Xs）| ds|v（Xτ）- Xτ|≤ CZτexp(-cls）| c（Xs）- c（Xs）| ds≤CZτexp(-cls）|pa（Xs）- pa（Xs）|+pb（Xs）- pb（Xs）ds，其中一个正常数Cmay在两行之间不同（此处和整个证明）。

上面的第二个不等式来自于v与x的接近度，最后一个不等式来自于c（pa，pb，x）=λ的事实F+（pa- x） +F（pb- x）是Lipschitz in（pa，pb），因为ξ的密度受假设1的限制。同样，很容易证明，对于所有x∈ R、 |（ga（x）- c（x）x- （ga（x）- c（x）x）|≤ C|pa（x）- pa（x）|+pb（x）- pb（x）,利用ξ密度的有界性和所有容许pa、pbto x的一致逼近性。这允许我们估计（66）中的第二项：Zτexp-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt- （ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt≤CZτexp(-clt）|pa（Xt）- pa（Xt）|+pb（Xt）- pb（Xt）dt。最后，我们注意到| ga（Xt）- c（Xt）Xt |≤ C、 这源于ga/cis C-close tox（参见引理9）和C≤ 铜。这使我们能够估计（66）中的第一项：Zτ经验值-Ztc（Xs）ds- 经验值-Ztc（Xs）ds（ga（Xt）- c（Xt）Xt）dt≤CZτexp(-clt）Zt公司|pa（Xs）- pa（Xs）|+pb（Xs）- pb（Xs）ds公司dt公司≤CZτexp(-clt）|pa（Xt）- pa（Xt）|+pb（Xt）- pb（Xt）dt，其中第二个不等式是在丢弃一些负项后，通过部分积分得到的。因此，（66）中所有项的绝对值都是通过上述viaZτexp估计的(-clt）|pa（Xt）- pa（Xt）|+pb（Xt）- pb（Xt）dt公司≤Z∞经验值(-clt）|pa（Xt）- pa（Xt）|+pb（Xt）- pb（Xt）dt，这意味着Va（x，pa，pb，v）- Va（x，pa，pb，v）≤ CEx公司Z∞经验值(-clt）|pa（Xt）- pa（Xt）|+pb（Xt）- pb（Xt）dt公司.只剩下根据pa的L（[0，1]）范数估计后一个期望值- PAN和pb- pb。通过交换期望值和积分，并使用阿高斯核的标准估计，可以很容易地实现后者。参考文献【1】T.D.Angelis、G.Ferrari和J.Moriarty。停止的两人非零和对策的阈值型纳什均衡。arXiv:1508.03989，预印本，2015年。[2] 本索桑和弗里德曼。

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