市场微观结构及其他方面的控制停止博弈

2022-6-1 05:00:37

在此，我们证明了关联系统在特殊马尔可夫框架下解的存在性，给出了数值例子，并讨论了潜在的应用。1买方卖方博弈本文考虑两个博弈者之间的非零和控制停止博弈，其形式为（（θa，τa）∈ argmaxθ，τEUaτ（θ，θb）1{τ≤τb}+Laτb（θ，θb）1{τ>τb}（θb，τb）∈ argminθ，τEUbτ（θa，θ）1{τ≤τa}+Lbτa（θa，θ）1{τ>τa}（1）在上面，θ是一个随机过程，称为连续控制；τ表示停止时间（其确切含义在本节末尾讨论）；Ua、Ub、La和Lb是外部给定的非预期随机函数，将（θa、θb）的路径映射到所谓的奖励路径。（1）的解释是明确的：第一个参与者，即卖方，选择最优控制（θa，τa），第二个参与者，即买方，选择最优控制（θb，τb）。每个玩家的回报取决于她个人的持续控制、另一个玩家的持续控制以及谁先停下来。（1）定义的一般游戏类别可以*两位作者均承认NSF拨款DMS-1411824的部分支持。+通信地址：密歇根大学数学系，530 Church St，Ann Arbor，MI 48104；sergeyn@umich.edu.be被视为众所周知的Dynkin游戏（[8]）的扩展，其中扩展是因为（i）玩家除了停止时间外，还可以选择连续控制，以及（ii）游戏不必是Rilyzero和。文献[14]、[15]中考虑了两人非零和控制停止对策。Dynkin游戏的其他扩展可以在[2]、[4]、[11]、[12]、[1]、[18]以及其中的参考文献中找到。然而，本文考虑的特定类型的游戏之前没有进行过分析，只有我们早期工作的例外[9]。

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2022-6-1 05:00:39

即，我们假设θ=（p，q），实值过程p，q，andUat（pa，pb，qb）=Ztexp-Zucas（pas、pbs）dsgau（pau，pbu）du+exp-Ztcas（pas、pbs）dsqbt，Lat（pa，qa，pb）=ZTEP-Zucas（pas、pbs）dsgau（pau，pbu）du+exp-Ztcas（pas、pbs）dsqat，Ubt（pa，qa，pb）=ZTEP-Zucbs（pas、pbs）dsgbu（pau、pbu）du+exp-Ztcbs（pas、pbs）dsqat，Lbt（pa，pb，qb）=Ztexp-Zucbs（pas、pbs）dsgbu（pau、pbu）du+exp-Ztcbs（pas、pbs）dsqbt。（2）这种选择有一个明确的经济学解释，即买卖双方之间的博弈，这是我们研究此类问题的主要动机（参见[10]、[9]）。考虑一个战略买家和一个战略卖家（或两个同质的买家和卖家群体），分别尝试购买和出售一个资产单元。假设战略代理知道彼此的特征（例如，因为他们已经玩了很多次这个游戏，或者因为他们可以相互“研究”），但存在其他潜在的买家和卖家，他们不是完全战略性的，他们的特征对于战略玩家来说并不完全了解。这种环境的一个例子自然出现在市场微观结构的背景下，专业高频交易者使用共同的预测因素，因此，可能在某种程度上预测彼此的行为，而长期投资者（或者简单地说，不太成熟的投资者）可能使用非常不同的策略类型，因此，更难预测。类似的游戏可以描述百货商店和“逢低买主”的行为，分别代表战略卖家和买家。百货商店可以通过进行市场调查或通过过去的经验，相当清楚地了解低价买家的偏好（以及他们的行为）。然而，也可能存在其他潜在购物者，他们的行为更难以预测：例如：。

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能者818

2022-6-1 05:00:42

与其说是价格和折扣，不如说是直接的个人需求。无论具体的经济解释如何，战略代理人的行为都可以用以下方式描述。战略代理人通过指数随机变量对第一个非战略代理人的到达时间进行建模，与他们观察到的过去信息无关。非战略代理商尽管不是战略代理商，但确实有价格偏好，因此，其订单的到货率（cator cbt）（我们允许战略代理商对到货率有不同的信念）取决于战略买家和卖家分别发布的价格PBT和pat。后者还影响到到达的非战略客户是买方或卖方，因此将分别与战略卖方或战略买方进行交易的可能性。只要第一笔交易发生，游戏就结束了。如果到达的非战略代理是卖方，则战略卖方（在这种情况下，在游戏结束时留下正库存）将其库存标记为“新公平价格”，该价格通常低于其公布价格，pa。如果非战略代理是买方，则类似规则适用。后续章节将讨论剩余库存“按市价计价”的具体选择。由此产生的利润和损失由（2）中的GAA和gb这两个术语表示。然而，如果战略买家和卖家决定彼此交易，游戏也可能结束。如果其中一方对合适类型的非战略代理的到来感到足够悲观，则可能会出现后者。在这种情况下，他们将以所谓的“内部”价格Qa和qb进行交易，这些价格没有公布（因此，非战略代理人不知道），但可以由每个战略代理人在均衡状态下推断出来。

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2022-6-1 05:00:45

发起交易的战略代理人接受其他代理人提供的价格：例如，如果战略卖方与战略买方发起交易，交易将以qb价格进行。这被（2）右侧的最后一个术语所捕获。[9]中给出了导致（1）–（2）的市场微观结构模型的更详细数学描述。现在，让我们解释一下为什么表（1）–（2）中的游戏很难分析。首先，此类博弈不是零和的事实意味着，通过双反射BSDE建立的均衡描述，例如在【4】、【11】中，不适用于本案例。在没有零和性质的情况下，平衡的存在通常是通过一个不动点定理来建立的——要么使用其抽象版本（参见[14]、[15]、[12]、[18]），要么在偏微分方程的背景下（参见[2]）。为了应用不动点定理，必须依赖于目标的某些单调性属性，这在我们的案例中并不存在，或者（a）找到一组紧凑的单独控制，其足够大，可以包含目标函数的任何最大化子，以及（b）建立目标相对于所有控制的连续性。然而，（2）右侧最后一个术语的形式表示停车时的“奖励”，这使得实施程序（a）–（b）很困难。注意，这些术语将“qτ”形式的表达式引入目标。事实证明，很难在控制空间（q，τ）上找到拓扑，因此所有容许控制集都是紧的，映射（q，τ）7→ qτ是连续的。

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2022-6-1 05:00:48

请注意，在现有文献中考虑的许多情况下都不会出现此问题，因为瞬时回报过程通常仅通过受控状态过程依赖于连续控制（参见[14]、[15]）。后一种类型的依赖比（2）右侧最后一项给出的对连续控制的显式函数依赖更复杂，但它确实具有“平滑”效果，并且在许多情况下，允许避免上述缺乏紧凑性或连续性的问题。我们早期的工作[9]展示了如何使用反射后向随机微分方程（RBSDE）系统在（1）–（2）的版本中构建平衡。在此，我们以（1）–（2）的形式扩展了我们对控制停止博弈的讨论，并考虑了连续控制（pa、qa、pb、qb）仅允许在离散等距网格中取值的情况，该网格假定为Z，但不失一般性。该限制反映了金融市场中存在严格的正规模：即。，交易价格只能是刻度大小的倍数。结果表明，与[9]的相关模型相比，在存在正刻度大小的情况下，平衡动力学在性质上变得不同，平衡的构建需要新的数学方法。这两个特征构成了本论文的主要贡献。特别是，本文构建的均衡允许两个参与者的持续价值交叉：即，战略卖方可能预期其资产的收益低于战略买方预期的收益。

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2022-6-1 05:00:52

在这种情况下，如果没有正刻度大小造成的摩擦，人们自然会期望这两个战略代理将以介于两个连续值之间的任何价格水平进行交易，游戏将结束。后者在[9]中被定义为这种情况。然而，在目前的模型中，代理可能无法相互交易，因为它们的连续值之间可能不存在可接受的价格水平（即刻度大小的倍数）。事实上，如果两个战略代理人对未来的订单流量有相同的预测，那么必然会出现连续值的交叉，在这种情况下，博弈会在[9]的模型中瞬间结束，而在当前的模型中通常会继续。这种交叉的大小（即买方的持续价值超过卖方的持续价值的程度）衡量了正ticksize所产生的效率。也就是说，如果这两个参与者被提供在“影子市场”中进行交易，而不需要支付额外的费用，那么他们愿意为这样的机会支付的最高费用正好等于十字交叉的规模。本文的结果允许我们计算交叉大小并研究其与蜱虫大小的关系。第5节介绍了该分析。在数学方面，我们的主要贡献在于展示了如何证明博弈中均衡的存在性，在博弈中，参与者的个人目标取决于不连续（但分段连续）的情况下，例外情况是[1]，其中均衡是显式构建的。然而，后一种结果依赖于问题的特定结构，尤其是不允许连续控制。受控状态过程的功能，如“FLOOR”和“天花板”功能。这种依赖性在各种游戏中都会出现。

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2022-6-1 05:00:55

例如，对计算机服务器的一系列攻击不会对其所有者造成任何损失，除非服务器的安全性被破坏，在这种情况下，损失会立即增加。同样，借款人信贷质量的变化不会给其债权人造成任何损失，直到信贷质量下降到临界值，此时借款人违约，损失激增。在目前的情况下，事实证明存在均衡问题的等效公式，其中战略要素的内部价格（qa，qb）由各自连续值的“FLOOR”和“天花板”函数给出，从而在目标中引入潜在的不连续性。众所周知，不连续映射的固定点的存在非常罕见，证明它是一项非常具有挑战性的任务。然而，如果受控状态过程完全“扩散”，则通过优化可以消除不连续性。因此，我们在此提出并实施的方法是限制参与者的控制，使其（i）受控状态过程保持充分的扩散，以及（ii）不会因此类限制而失去最佳性，并显示受限集中存在固定点。在定理1的陈述之后，给出了关于我们实现这种通用方法的更详细的讨论。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了马尔可夫框架中的控制停止博弈，并通过耦合控制停止问题的辅助系统获得其均衡的替代表示，其中一个问题的即时奖励过程直接取决于另一个问题的值函数（参见（9））。

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2022-6-1 05:00:58

本文的主要结果，定理1，也在第2节中陈述，它证明了上述辅助系统的解的存在性（因此，表明了所提出的博弈中均衡的存在性）。本文余下的大部分内容都用于证明主要结果。在第3节中，我们研究了一个agent所面临的单个最优停止问题的值函数的性质，给出了两个agent和另一个agent的值函数的连续控制。第3节描述了本文提出的主要数学新思想（见定理1的讨论）。在第4节中，我们首先表明反馈形式的候选最优连续控制确实是最优的，并且它们具有某些连续性属性。然后，我们利用这些性质和第3节的结果，通过不动点定理证明了第2节中导出的耦合控制系统停止问题的解的存在性。第5.2节“问题公式和主要结果”中讨论了一个数值示例，该示例说明了拟议均衡模型的性质及其应用。在市场微观结构模型的背景下，每个代理的连续控制取整数集Z中的值，对应于以刻度大小的倍数测量价格。每个元素的信息由（相同的）随机因子xt=X+σBt生成，其中X∈ R和B是一维布朗运动。其余规范是为了确定特定形式的ca/bt和ga/bt，并受市场微观结构模型的推动，如[9]中所述。

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2022-6-1 05:01:01

然而，本文所述的大多数结果适用于更一般的ca/bt和ga/bt，只要它们是由（pat、pbt、Xt）的确定性函数给出的，并且本文进一步说明的适当假设是令人满意的。在拟议的规范中，X代表非战略投资者的“保留价格”的当前估计。每个代理都认为，非战略投资者根据A来到市场，对这个术语的精确解释取决于手头的均衡问题。在此，我们证明了战略主体的连续值由布朗运动的函数给出，第一个导数的界远离零。泊松过程N，强度λ>0，与B无关。在任何到达时间Tiof N，此时到达的非战略投资者的实际保留价格pTi的值由pTi=XTi+ξi给出，其中{ξi}是i.i.d.随机变量，与B和N无关，平均值为0和c.d.f.f。当且仅当pTi时，到达的非战略投资者（向战略卖方）提交购买订单≥ 帕蒂。同样，如果且仅当pTi≤ pbTi。非战略卖家的订单执行后（所有订单均为单位大小），战略卖家的剩余库存（单位大小）在价格bXTi上标记为市价-+ αξic。同样，如果非战略代理人是买方，则战略买方的剩余库存将按dXTi的价格标记为市价-+ αξ即，我们用b·c和d·e表示标准的“地板”和“天花板”功能。参数α∈ （0，1）衡量单一贸易对估计基本价格的（线性）影响。

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2022-6-1 05:01:04

如果买卖价差等于一个勾号，则可选择此特定标记规则：在这种情况下，XTi-+ αξire表示保留价格的新估计值（在执行非战略代理的订单之后），而出价和要价是从下到上与该数字最接近的整数。上述规范导致ca/带ga/b的以下表达式：cat（pat，pbt）=cbt（pat，pbt）=c（pat，pbt，Xt），c（pa，pb，x）：=λ(1 - F（pa- x））+Fpb级- x个, （3） gat（pat，pbt）=ga（pat，pbt，Xt），ga（pa，pb，x）：=λpa（1- F（pa- x））+Fb（pb，x）, （4） gbt（pat，pbt）=gb（pat，pbt，Xt），gb（pa，pb，x）：=λpbF公司pb级- x个+ Fa（pa，x）, （5） Fb（pb，x）：=Zpb-x个-∞bx+αycdF（y），Fa（pa，x）：=Z∞帕-xdx+αyedF（y）。（6）任何战略代理也可以在任何时候停止游戏，与其他战略代理进行交易，交易价格为后者可接受的价格：如果买方发起交易，则为qa；如果卖方发起交易，则为qbif。这就为战略代理人带来了最优停止问题，即时奖励过程等于（折扣）QA和qb（参见（1）和（2））。即时奖励过程对其他代理的持续控制的这种功能依赖性，给停止策略的定义带来了额外的挑战。为简单起见，假设ca/b≡ 0，注意，如果τa>τb，那么卖方的收益是qaτb。如果τb固定为惊人的时间（卖方已知），那么卖方可以在τb周围增加qa的值，从而使其收益任意大。当然，在实践中，买方不会接受任意高的价格。

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2022-6-1 05:01:07

因此，为了使我们的博弈更加现实，我们假设每个停止策略都取决于其他代理的连续控制，因此改变qa将导致τb的变化。由此产生的控制停止博弈由下式给出（pa，qa，τa）∈ argmaxp∈Aa，q∈A、 τ∈TaE公司Uaτ（qb）（p（X），pb（X），qb（X））1{τ（qb）≤τb（q）}+Laτb（q）（p（X），q（X），pb（X））1{τ（qb）>τb（q）},（pb，qb，τb）∈ argminp∈Ab，q∈A、 τ∈待定Ubτ（qa）（pa（X），qa（X），p（X））1{τ（qa）≤τa（q）}+Lbτa（q）（pa（X），p（X），q（X））1{τ（qa）>τa（q）},（7）其中Ua/波段La/裸通过（2）和（3）–（6）定义；A是从R到Z的所有可测函数的空间；Aa={p∈ 答：1- F（p（x）- x）≥cl2λ，x个∈ R} ，Ab={p∈ A:F（p（x）- x）≥cl2λ，x个∈ R} ，（8）某些常数cl>0；Ta和Tb由A到FX stoppingtimes，s.t.τ空间的所有映射组成∈ 助教=> FX适应流程v，s.t。q∈ A、 τ（q）=inf{t≥ 0:q（Xt）≥ vt}，τ∈ Tb=> FX适应流程v，s.t。q∈ A、 τ（q）=inf{t≥ 0:q（Xt）≤ vt}。上述停止策略的定义反映了第（7）段的结论，并暗示代理的停止规则是“阈值”类型：当对其他代理的持续控制（即报价）变得足够有吸引力时，她停止。通过指定相关阈值v，可以唯一定义TBTAOR中的任何τ。因此，我们有时会使用符号τv。显然，对于任何固定的q∈ A、任何外汇止损时间都可以用τv（q）表示，并选择适当的v。选择允许的公布价格集Aa/b，以确保非战略代理的订单流动率c（pa，pb，x）（在（3）中给出）远离零。为了确保每个代理的最佳连续控制表现良好，我们做出以下假设（与[9]中的假设2-5相比）。假设1。

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kedemingshi

2022-6-1 05:01:10

ξ的分布具有密度f，由一个常数Cf>0从上方限定，其支撑是凸的，包含在[-C、 C]，对于某些常数C>0。此外，在支架内部，f是连续的，（1- F）/F不增加，F/F不减少。备注1。可以放宽假设1，以便（1-F）/F仅要求在SUP（F）内部不增加∩R+，且supp（F）内部的F/F不递减∩R-. 这需要对建模假设进行微小的改变：即，外部购买订单只能达到p的正跳，而外部出售只能达到p的负跳（除了p≥ PAN和p≤ 分别为pb）。[9]中使用了后一个设置，但我们选择在这里避免它，以便简化符号。此外，如【9】中假设5后的备注所述，假设1的充分条件可以通过f的对数凹度来说明。如导言所述，形式（1）–（2）的博弈无法使用标准方法直接分析。因此，我们的第一个目标是找到一个更方便的方程组来描述（7）的一个子类平衡。为此，我们回顾了价值函数的概念，它代表了所有可容许控制下代理的目标值的上确界或内确界（无论哪一个是合适的）。很容易得出，该值仅取决于初始条件X。假设X=X，让我们分别用“Va（X）”和“Vb（X）”表示卖方和买方的值函数。在平衡状态下，我们自然会期望qa（X）≥(R)Va（x）和qb（x）≤(R)Vb（x）：代理人愿意立即交易的最优价格不应低于他们预期的执行价格，如果他们采取最佳行动的话。由于价格取整数值，我们得出结论：qa（x）≥ d'Va（x）e和qb（x）≤ b'Vb（x）c。

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2022-6-1 05:01:14

那么，任何代理停止都是次优的，除非“Vb（Xt）”≥ d'Va（Xt）e或'Va（Xt）≤ b“Vb（Xt）c.请注意，后两个不等式中的每一个都描述了相同的事件：间隔[”Va（Xt），”Vb（Xt）]至少包含一个整数。然后，对于每个战略代理人来说，以这个区间内任何整数给出的价格与另一个进行交易是最理想的，对于其中至少一个战略代理人来说，以任何其他价格进行交易是最理想的。如果这样的整数是唯一的，我们就得到了唯一的阈值价格，这样当代理的值函数达到这个阈值时，代理就会（同时）停止。这种启发式讨论通过耦合控制问题的辅助系统激发了对（7）平衡的搜索：Find pa∈ Aa、pb∈ Ab和可测量的“Va”和“Vb”，使得（\'Va（x）=支持∈Aa，τJax、 τ，p，pb，\'Vb= supτJax、 τ，pa，pb，’Vb,(R)Vb（x）=infp∈Ab，τJbx、 τ，pa，p，’Va= infτJbx、 τ，pa，pb，(R)Va,（9）这是确保游戏不会持续太长时间所需的技术条件，因此，代理的值函数不会偏离X太远（参见，例如，（13）和引理2的证明）。式中，τ在所有FX停止时间内变化，且x、 τ，pa，pb，v= ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsga（pa（Xt），pb（Xt），Xt）dt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）dsbv（Xτ）ci，（10）Jbx、 τ，pa，pb，v= ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsgb（pa（Xt），pb（Xt），Xt）dt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）dsdv（Xτ）ei，（11），其中Ex[·]=E[·| X=X]。提案1。假设（pa、pb、\'Va、\'Vb）、solve（9）和（\'Va、\'Vb）是连续且递增的。然后，（pa，d'Vae，τ'Va）和（pb，b'Vbc，τ'Vb）形成（7）的平衡。证明：该证明包括基本验证，即建议的策略对于（7）中的代理是最优的。以战略卖家为例。

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kedemingshi

2022-6-1 05:01:16

从qb=b'Vbc这一事实来看≤\'Va，我们很容易推断出（7）中卖方的最大目标值不超过\'Va，前提是其他代理人使用命题陈述中给出的策略。作为“Vb”≤ d'Vae=pa，很容易看出，使用（7）中规定策略的药物都在停止时间τ停止*:= inf{t≥ 0：(R)Va（Xt）=b'Vb（Xt）c}，卖方在（7）中的目标值与（10）的关联值一致。“Va”和“Vb”的连续性和单调性意味着：“Va（Xτ）”*) = b'Vb（Xτ*)c、无论何时τ*< ∞. 然后，最优停止理论中的标准论证得出，（10）的关联值是最优的，因此与'Va一致。类似的论证适用于战略买方。上述命题表明，构建（7）均衡的问题归结为求解（9）。后者是一个由两个马尔可夫控制-停止优化问题组成的系统，通过连续控制和停止屏障耦合，每个屏障由另一个代理的值函数的不连续函数（即FLOOR或天花板）给出。即使在目前的一维布朗环境中，相关的固定点问题也缺乏所需的连续性或单调性，使得其难以用一般方法解决。然而，下面的定理证明了（9）的解的存在性。此外，第3节和第4节中给出的证明以及第5节中的讨论进一步阐明了解决方案的结构。定理1。对于满足假设1的任何Cf，C>0，任何C.d.f.f，以及任何cl，λ>0，α∈ （0，1），存在'σ>0，因此，对于任何σ≥ σ，存在一个溶液（pa，pb，\'Va，\'Vb）到（9），其中（\'Va，\'Vb）是连续且不断增加的。让我们概述定理1的证明。首先，我们注意到[9]中的RBSDE方法不能用于这种情况。

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能者818

2022-6-1 05:01:19

事实上，RBSDEs相关系统的反射域是非凸和不连续的（见第5节），迄今为止，此类系统没有可用的存在结果。因此，我们采用directapproach，旨在显示映射（va，vb）7→ （Ja，Jb）7→ （\'Va，\'Vb），其中第一个映射是通过（10）–（11），第二个映射是通过（9），有一个固定点。正如引言中所述，这种方法的主要挑战在于JA和Jb定义中存在“地板”和“天花板”功能，这会导致不连续性。我们提出了以下解决这一困难的一般方法（值得一提的是，定理1的证明实际上表明了马尔可夫完美（或子博弈完美）均衡的存在，也就是说，如果代理在任何中间时间重新评估其目标，所提策略仍将形成均衡。可用于具有类似类型不连续性的许多问题）。这种方法基于这样一种观察，即如果限制在一组“足够嘈杂”的功能中，“地板”和“天花板”操作符可以在适当的意义上连续（参见[7]，[17]，了解该观察的另一个应用）。注意，bv（X）c是卖方最优停止问题的瞬时奖励过程。用τ表示相应的最佳停车时间。接下来，考虑均匀拓扑中v的一个小扰动v。假设过程v（X）有足够的噪声，即对于任何ε>0的情况，存在一个停止时间τε，因此v（Xτε）≥ v（Xτ）+ε和τε↓ τ为ε↓ 0（例如，布朗运动满足此特性）。然后，bv（Xτε）c≥ bv（Xτ）c保持不变，前提是kv- vk<ε。

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2022-6-1 05:01:22

由于运行报酬在时间上是连续的，且τε接近τ，因此我们可以为扰动问题找到一个停止时间，该时间产生的目标值接近于未扰动问题的最优目标值。将这两个问题相互交换，我们得出结论，这两个问题的值函数是密切的，这就产生了所需的映射连续性（va，vb）7→ （Ja，Jb）7→ （\'Va，\'Vb）。然后，将后一个映射限制为一个紧映射，在该紧映射上保证va/b（X）具有足够的噪声，我们可以应用Schauder定理来获得一个固定点。我们强调，这一战略是相当普遍的，可以在目前问题的范围之外应用。然而，为了应用Schauder定理，需要证明所选的压缩是通过映射来保持的：特别是，有足够噪声的va/b（X）被映射为有足够噪声的va/b（X）。后者的预防可能取决于当前问题的结构。在目前的情况下，我们在第3节中利用[6]、[5]的几何方法提供了这样的证明，这种方法可以应用于非常不规则的线性扩散停止问题。它允许我们证明“Va/b（·）”具有远离零的导数，前提是（Va（·）、vb（·））满足该属性，并且基础过程X的波动率σ足够大（命题4）。反过来，后者意味着“Va/b（X）”在上述意义上具有足够的噪声，命题5利用这一结论来证明（Va，vb）7的连续性→ （Ja，Jb）7→ （\'Va，\'Vb）。第4节的大部分内容涉及反馈形式（命题6）中最优连续控制的特征，并显示反馈泛函的正则性。通常，此类特征通过PDE或BSDE方法获得，但后者不能应用于当前情况（即。

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kedemingshi

2022-6-1 05:01:26

由于停止奖励过程的不规则性，相关方程的适定性未知）。第1项的证明通过结合命题6和定理2.3 agent的最优停止问题得出结论。在本节中，我们研究了单个agent的值函数的性质，前提是两个agent的连续控制以及另一个agent的值函数是固定的。换句话说，我们考虑单个最优停止问题的值函数。我们首先建立了它的基本相对有界性和拟周期性。然后，我们回顾了与线性扩散相关的二阶常微分方程的分析机制，它与[6]、[5]的最优停止的几何方法一起，允许我们建立一个充分强单调的代理最优停止问题的值函数。最后，已建立的单调性、相对有界性和准周期性，允许我们证明值函数相对于其他代理的值函数的连续性（对于固定连续控制），这是本节的主要结果，如命题5.3.1“初步构造”中所述，鉴于假设1和（Aa，Ab）的定义，假设pa∈ aa和pb∈ Absatisfykpa（x）- xk公司∞≤ Cpb（x）- x个∞≤ C、（12）如命题4所示，σ必须足够大，以确保w（σ）<1，其中w在命题2中定义。某些固定常数C>0（仅取决于（cl，λ，F）），其中k·k∞表示L∞norm（即代理的最大目标值不会因此类限制而改变）。此外，对于任何pa∈ aa和pb∈ Ab，我们有：c（pa（x），pb（x），x）≥ 氯，x个∈ R、（13）根据c的定义，由于λ在本文中是固定的，我们得到了c（pa（x），pb（x），x）≤ cu=2λ>0。我们经常使用的另一个属性如下。定义1。

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2022-6-1 05:01:29

可测函数f:R→ R为“C-接近x”，ifkf（x）- xk公司∞≤ Cx个∈ R、常数C出现在（12）中。利用上述性质，我们定义了容许障碍的概念：即函数v，因此相关最优停止问题中的报酬函数是v定义2的四舍五入。A函数v:R→ 如果R是可测的且C接近x，则R是可容许的障碍。接下来，我们介绍了代理所面临的最优停止问题的值函数：Vax、 pa、pb、v:= supτJax、 τ，pa，pb，v, x个∈ R、（14）Vbx、 pa、pb、v:= infτJbx、 τ，pa，pb，v, x个∈ R、（15）对于pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v。很容易看出这些值函数定义良好且不明确。请注意，pa、pb、Va、Vb和x是以刻度为单位测量的，只有相对测量值是可解释的。因此，以下平衡的安萨兹是自然的：(R)Va（x+1）=Va（x）+1，(R)Vb（x+1）=Vb（x）+1，pa（x+1）=pa（x）+1，pb（x+1）=pb（x）+1。（16）让我们为上述财产引入一个特殊术语。定义3。我们说函数f:R→ R具有“1-移位性质”iff（x+1）=f（x）+1，x个∈ R、我们还需要一个目标和相关价值函数的版本，在奖励函数中不含浮点数和升幅，并减去x（这对于第4节中的某些近似值尤为重要）。因此，对于任何pa∈ Aa、pb∈ Ab，任意停止时间τ，以及任意容许势垒v，我们引入：Ja（x，τ，pa，pb，v）=ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsga（p（Xt）、pb（Xt）、Xt）- c（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）Xtdt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）i，（17）Jb（X，τ，pa，pb，v）=ExhZτexp-Ztc（pa（Xs）、pb（Xs）、Xs）dsgb（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）- c（pa（Xt）、pb（Xt）、Xt）Xtdt+exp-Zτc（pa（Xs），pb（Xs），Xs）ds（v（Xτ）- Xτ）i，（18）Va（X，pa，pb，v）=supτJa（X，τ，pa，pb，v），（19）Vb（X，pa，pb，v）=infτJb（X，τ，pa，pb，v）。

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2022-6-1 05:01:32

（20）最终，我们的目标是证明存在（9），（pa，pb，\'Va，\'Vb）的解，使得（\'Va，\'Vb）满足1-移位特性，并且C-接近x。然后，重要的第一步是验证这些特性由映射v 7保留→ 弗吉尼亚州·, pa、pb、v, Vb·, pa、pb、v. 下面的引理表明1-shiftproperty是保留的。在将目标改写为形式（22）后，它的证明很容易进行。引理1。假设pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v具有1-移位性质。那么，doVa（·，pa，pb，v）和Vb（·，pa，pb，v），而Va（·，pa，pb，Vb）和Vb（·，pa，pb，Va）是1周期的。此外，对于所有x，我们有c（x+1，pa+1，pb+1）=c（x，pa，pb），ga/bc（x+1，pa+1，pb+1）=ga/bc（x，pa，pb）+1∈ R、这意味着c（·，pa（·），pb（·））是1-周期的，（ga/b/c）（·，pa（·），pb（·））具有1-移位性质。在下面的内容中，我们将经常从符号中抑制对pa（x）、pb（x）的依赖，以避免混乱。因此，我们表示c（x）：=cp（x）：=c（pa（x），pb（x），x），ga（x）：=间隙（x）：=ga（pa（x），pb（x），x），gb（x）：=gbp（x）：=gb（pa（x），pb（x），x），Fb（x）：=Fbp（x）：=Zpb（x）-x个-∞bx+αycdF（y），Fa（x）：=Fap（x）：=Z∞pa（x）-xdx+αyedF（y），（21），当我们想要强调对pa，pb的依赖时，我们使用下标p。下一个问题是“C-close to x”属性被保留。引理2。假设v是容许势垒，pa∈ Aa、pb∈ 假设ga/b/c是c-接近x。然后，Va（·，pa，pb，vb）和vb（·，pa，pb，Va）是c-接近x的，而Va（·，pa，pb，vb）和vb（·，pa，pb，Va）是绝对受c约束的。证明：我们展示了Va的声明，其他声明是类似的。根据定义（14）和（10），我们得到：Va（x，pa，pb，vb）- x=supτExZτexp-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt+exp-Zτc（Xs）dsbvbc公司- x=supτExZτgac（x）- x个d-经验值-Ztc（Xs）ds+ 经验值-Zτc（Xs）dsbvbc公司- xc公司.

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2022-6-1 05:01:35

（22）要获得上限，请注意上面的右侧是≤ supτExZτCd-经验值-Ztc（Xs）ds+ 经验值-Zτc（Xs）dsC= C、我们使用GAC的地方- x个≤ C、 bvbc公司- x个≤ vb- x个≤ C、根据引理的假设。要获得下限，请注意相同的表达式也≥ 前任Z∞gac（x）- 除息的-经验值-Ztc（Xs）ds≥ 前任Z∞-Cd光盘-经验值-Ztc（Xs）ds≥ -C、我们使用τ=∞. Va和Vb的说法更简单，可以在这个引理的第一部分得到证明。在下面的内容中，我们更仔细地分析Va（x，pa，pb，v）（Vb（x，pa，pb，v）是类似的）。最后，在第3.3小节中，我们在适当的条件下建立了它在x上的单调性和在v上的连续性。在整个分析过程中，我们认为pas和pbas固定了x的函数，而我们改变了x和vb（va）。3.2价值函数的表示在本小节中，我们开发了价值函数Va（x，pa，pb，v）的方便表示（参见命题3），与命题2一起，需要证明第3.3小节的主要结果。我们将大量使用线性扩散和二阶常微分方程之间众所周知的联系。我们的贴现和运行成本函数比文献中常见的假设要少一些规则性（可测量和局部有界，但不是连续的），因此，需要稍微小心，以使这种联系更加严格。首先，如【13】中所述，对于任何给定的pa∈ Aa、pb∈ Ab，我们定义ψ（x）：=ψp（x）：=（Ex经验值-Rτcp（Xs）ds, x个≤ 0，E经验值-Rτxcp（Xs）ds-1，x>0，（23）和φ（x）：=φp（x）：=（Ex经验值-Rτcp（Xs）ds, x>0，E经验值-Rτxcp（Xs）ds-1，x≤ 0，（24），其中τxis是x的首次命中时间∈ 很明显，ψ（0）=φ（0）=1，ψ严格递增，φ严格递减。

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2022-6-1 05:01:38

[13]的结果（以及本例中扩散的killing度量的绝对连续性）表明，f=φ，ψ有右导数，f+，处处定义，其满足σZ（a，b）c（x）f（x）dx=f+（b）- f+（a），对于所有b>a。通过限制为b↓ a和a↑ b表示f+是连续的。我们还可以展示以下内容。引理3。如果f是连续的并且在[a，b]上有连续的右导数，那么f∈ C（a，b）。这一事实的证明是基本的，因此省略了。因此，f=φ，ψ的方程可以重写为σZ（a，b）c（x）f（x）dx=f（b）- f（a）（25）作为c∈ L∞（R）和f∈ C（R），fxx存在a.e.和满足σfxx- cf=0，a.e.，对于f=ψ，φ，尤其是f属于Sobolev空间W2，loc（R）。接下来，我们定义fa（x）：=fap（x）：=σWφ（x）Zx-∞ψ（y）ga（y）dy+ψ（x）Z∞xφ（y）ga（y）dy, （26）fb（x）：=fbp（x）：=-σWφ（x）Zx-∞ψ（y）gb（y）dy+ψ（x）Z∞xφ（y）gb（y）dy, （27）其中Wronskian W=ψ（x）φ（x）- φ（x）ψ（x）独立于x且严格正。使用x 7的事实→ φ（x）Rx-∞ψ（y）ga（y）dy（以及其他类似项）是绝对连续的，作为两个绝对连续函数的乘积，我们得出结论：fahas连续导数σWφ（x）Zx-∞ψ（y）ga（y）dy+ψ（x）Z∞xφ（y）ga（y）dy,这反过来又是可微的，而且σfaxx- cfa=-ga，a.e.（28）类似的索赔适用于fb。这尤其意味着fa和fb属于W2，loc（R）。应用Dynkin\'sformula，以及exp-Rtc（Xs）dsfa（Xt），我们沿着增加到实际停止时间的序列传递到极限，以获得以下概率表示fa（x）=ExZ∞经验值-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt. （29）fb也有类似的表述。最后，我们在φ，ψ上建立了以下初等界（whoseproof也省略）。引理4。设cl>0（cu>0）为函数c的下界（分别为上界）。

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2022-6-1 05:01:41

那么，对于所有x∈ R、 ψ（x）≤ expr2clσx！∨ expr2cuσx！和φ（x）≤ 经验值-r2clσx！∨ 经验值-r2cuσx！。接下来，我们证明fa和fb继承了pa和pb的C-接近x和1-移位性质。引理5。假设pa∈ AA和pb∈ a确保ga/b/c接近x。然后，fa和fb也一样。证据：关于fa的说法来自fa（x）- x=ExZ∞gac（Xt）- Xt公司d经验值-Ztc（Xs）ds. （30）与fb类似。引理6。如果pa∈ AA和pb∈ Ab具有1-shift属性，Fa和fb也具有1-shift属性。证明：遵循表示（30）和引理1。结果表明，Pa和Pb的1-移位性质意味着Fa和Fb收敛到f:x 7→ Cnorm中的x，随着基础扩散x的波动率σ增加到单位。特别是，我们可以对fa和fb的导数建立以下双边估计。提案2。假设pa∈ AA和pb∈ Ab具有1-移位性质，并且使得ga/b/c是c-接近x的。然后，存在一个函数（c，cl，cu，σ）7→ w（C，cl，cu，σ），使得1- w≤ （前/后）（x）≤ 1+w，x个∈ R、（31）和W（σ）→ 0，作为σ→ ∞. （32）证明：我们只显示fa导数的上界，其他部分的证明是类似的。微分表示（26），我们得到（fa）（x）=|φ（x）|ψ（x）WZ∞xgac（y）φ（y）c（y）σ|φ（x）| dy-Zx公司-∞gac（y）ψ（y）c（y）σψ（x）dy. （33）作为我们的扩散X，以c（X）的速率杀死- cl，有±∞ 作为自然边界点，[13]的结果意味着φ(-∞) = 0, ψ(∞) = 因此，通过（25）中适当的极限，我们得到ψ（x）=σZx-∞ψ（y）c（y）dy（34）和φ（x）=-σZ∞xφ（y）c（y）dy.（35）从上面的表示中，我们可以看到函数y 7→ 2φ（y）c（y）/（σ|φ（x）|）是[x]上的概率密度，∞), 那是y 7→ 2ψ（y）c（y）/（σψ（x））是(-∞, x] 。使用此项和不等式ga（x）c（x）≤ x+C，我们得到（fa）（x）≤ 2C |φ（x）|ψ（x）W+fa（x）。式中，fa（x）定义为fa（x），ga（x）替换为ga（x）：=xc（x）。

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2022-6-1 05:01:44

特别地，f=~fa是σf（x）的唯一解- c（x）f（x）=-xc（x），可以很容易地看到由▄fa（x）=x给出。因此，fa= 1，我们得出结论：（fa）（x）≤ 1+2C |φ（x）|ψ（x）W。因此，为了证明这一主张，只需在上述最后一个和上建立适当的界限。为此，我们首先注意到，由于引理1，c（x+1）=c（x），这意味着：φ（x+1）=γφ（x）和ψ（x+1）=γψ（x），0<γ=φ（1）<1。因此，x 7→ |φ（x）|ψ（x）是1-周期的，对于x，可以估计2c |φ（x）|ψ（x）/W∈ [0, 1]. 为此，回想一下|φ（x）|=σZ∞x的xc（y）φ（y）dy≥ 0，使用引理4和c上的边界，我们得出结论，上述表现主义的右侧从上方以2cuσZ为界∞xexp-r2clσy！dy=2cuσ√2clexp-r2clσx！。结合下面的类似估计，上述结果为：2clσ√2cuexp-r2cuσx！≤ |φ（x）|≤2cuσ√2clexp-r2clσx！，（36）对于x≥ 0。同样，对于x≤ 0，我们得到2clσ√2cuexpr2cuσx！≤ |ψ（x）|≤2cuσ√2clexpr2clσx！，其中，使用ψ（x+1）=γψ（x），得到γ2clσ√2cuexpr2cuσ（x- 1)!≤ |ψ（x）|≤γ2cuσ√2clexpr2clσ（x- 1)!, （37）对于x∈ [0, 1]. 综合以上情况，并用指数项的最坏情况边界替换指数项，我们得出结论：|φ（x）|ψ（x）≤γ2cuσ√2毫升, x个∈ [0, 1].注意，在[0，1]上，我们有γ≤ φ ≤ 1.≤ ψ ≤ 1/γ，加上上述|φ|和ψ的估计，得出x∈ [0，1]，W=φψ+ψ|φ|≥ γ·γ2clσ√2cuexpr2cuσ（x- 1)!!+ 1·2clσ√2cuexp-r2cuσx！≥4clσ√2cuexp-r2cuσ！，（38）和|φ（x）|ψ（x）W≤σγ2cu√2毫升√2cu4clexp√2cu-√2clσ, x个∈ [0, 1].最后，我们注意到，当ψ（1）=1/γ时，引理4中ψ上的界意味着γ≤ expr2cuσ！。这与前面的不等式一起，意味着2C |φ（x）|ψ（x）/W上的期望上界，以及（fa）（x）上的期望上界。接下来，我们使用[5]的结果，根据fa和fb建立值函数的期望表示。

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2022-6-1 05:01:47

为此，我们定义f（x）：=Fp（x）：=ψ（x）φ（x），x∈ R、（39）并介绍以下转换：b·：h 7→bh，bh（y）=hφ（F-1（y）），（40）映射任意函数h:R→ R进入函数BH：（0，∞) → R、下面的引理特别描述了变换函数的移位性质。它的证明很琐碎，因此省略了。引理7。对于任何pa∈ Aa、pb∈ Ab，满足1-移位性质，我们有φ（x+1）=γφ（x），ψ（x+1）=γψ（x），F（x+1）=γF（x），x个∈ R、（41）其中φ、ψ、F由（24）、（23）、（39）和γ=φ（1）给出∈ (0, 1). 因此，^Hyγ=γ^H（y），y>0，（42）对于任何1-周期函数H:R→ R、特别地，通过引理6，上述性质适用于H=v- fa、fb- v、任何v：R→ R满足1-shift性质。使用（40）定义的变换，我们获得了单个停止问题的valuefunction的以下“几何”描述。提案3。对于任何pa∈ Aa、pb∈ Ab和任何容许势垒v，函数x 7→ Va（x）：=x+Va（x，pa，pb，v）和x 7→ Vb（x）：=x+Vb（x，pa，pb，v）由BVA（y）=mcm \\（v）唯一确定- fa（y）+bfa（y），bVb（y）=-mcm \\（fb- v）（y）+bfb（y），（43），其中mcm（f）表示函数f的最小非负凹主分量（如果不存在此类主分量，则等于单位）。类似地，各个代理的值函数由Va（·，pa，pb，v）（y）=mcm（bvc）唯一确定- fa）（y）+bfa（y）\\Vb（·，pa，pb，v）（y）=-mcm \\（fb- dve）（y）+bfb（y）（44）证明：我们仅证明Va的索赔。首先，我们回顾（17），以获得JA（x，τ，pa，pb，v）+x=ExZτexp-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt+exp-Zτc（Xs）dsv（Xτ）= ExhZ公司∞经验值-Ztc（Xs）dsga（Xt）dt- 经验值-Zτc（Xs）dsZ∞经验值-Ztc（Xτ+s）dsga（Xτ+t）dt+exp-Zτc（Xs）dsv（Xτ）i=fa（X）+Ex经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- fa（Xτ））,其中，最后一个等式来自（29）和X的强马尔可夫性质。

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2022-6-1 05:01:50

因此，Va（x，pa，pb，v）+x=fa（x）+supτEx经验值-Zτc（Xs）ds（v（Xτ）- fa（Xτ））.作为v- Fa是可测且局部有界的，上面的最后一项（即纯停止问题的值函数（带折扣））具有[5]中命题3.4所声称的mcm特征。3.3通过单调性的连续性在本小节中，我们建立了Va/b（·，pa，pb，v）的充分强单调性，这使得我们能够显示映射v 7的连续性→ Va/b（x、pa、pb、v）。请注意，由于lattermappings涉及不连续的舍入操作符，因此它在先验上是不连续的。然而，正如本文开头所讨论的那样，如果过程v（X）具有“足够的噪声”，则这些映射确实是连续的。特别是后一个性质，可以从v（·）的严格单调性推导出来。下面的命题表明，映射v 7保持了x中所需的单调性→ Va/b（x、pa、pb、v）。提案4。假设pa∈ Aa、pb∈ Ab和容许势垒v具有1-移位性质，使得ga/b/c与x接近。然后，v（x）=Va/b（x，pa，pb，v），x+Va/b（x，pa，pb，v）是绝对连续的，其导数满足：| v（x）- 1| ≤ w、 a.e.x公司∈ R、（45）带w（σ）→ 0，作为σ→ ∞, 满足上述特性（假设剩余的模型参数（λ、F、α）是固定的）的总体一致（pa、pb、v）。特别是，存在 > 0，s.t.V（x）≥ , a、 e.x公司∈ R、对于所有足够大的σ>0。证明：我们只证明V（x）=x+Va（x，pa，pb，V）导数的下界，其他部分类似。

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2022-6-1 05:01:53

注意，命题3意味着v（x）=fa（x）+φ（x）mcm\\v- fa公司（F（x）），x个∈ R、注意fa，φ，F∈ C（R），上述“mcm”的值是绝对连续的，因为它是凹的（注意，它也是有限的，因为v- 由于引理5，fa是绝对有界的，这反过来意味着- FAI由一个函数定义）。那么V也是绝对连续的，其（即定义的）导数是：V（x）=（fa）（x）+φ（x）mcm\\v- fa公司（F（x））+φ（x）F（x）mcm\\v- fa公司（F（x））。从命题2，我们得到（fa）≥ 1.- w、在命题陈述中用w表示。因此，我们只需要证明，对于a.e.x∈ R、 V（x）- （fa）（x）=φ（x）mcm\\v- fa公司（F（x））+φ（x）F（x）mcm\\v- fa公司（F（x））≥ - ~w（σ），（46），~w具有适当的渐近性质。回想一下，根据引理1，V（x）=Va（x）+x是1周期的，因此，有必要考虑长度至少为1的任何有界区间上的x，而不是整个实线。为了简化符号，我们表示h（y）：=\\v- fa（y），h（y）：=mcm（h）（y），y>0。注意，通过引理6，假设v的1-移位性质意味着v- fais 1-周期。后者和引理7依次表示h（y/γ）=h（y）/γ，y>0。可以很容易地检查（使用mcm的标度特性）上述特性是否传递到最小凹主参数h（y）。接下来，我们定义φ（y）：=cφ（y）=φ（F-1（y））很容易检查σx个- c（φ） >0，因此，(R)φ通过以下引理是凸的，这可以通过简单的计算来证明。引理8。让H∈ W2，locand-∞ < x<x<∞ 应确保σHxx- 通道>0，（分别<0）a.e.开启（x，x）。然后，bH在（y，y）上是凸的（分别是凹的），yi=F（xi）。此外，“φ”在减小，满足“φ（y/γ）=γ”φ（y）。

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2022-6-1 05:01:55

在其余的证明中，我们使用φ、h和h的既定性质来证明（46）中的不等式。让我们定义▄c:=supy∈[1,1/γ]h（y）(R)φ（y）。注意，当（h’φ）（y/γ）=（h’φ）（y）时，我们得到h（y）≤ c/(R)φ（y），对于所有y>0（而不仅仅是y∈ [1，1/γ]）的定义如下。首先，我们假设≤ 我们将证明，在这种情况下，h（y）≡ 0，且▄w=0给出（46）中所需的下限。实际上，在这种情况下，常数函数0是一个凹函数。如果存在大于0 s.t.h（y）=z<0，则当h（y/γ）=h（y）/γ时，整数k的所有点（y/γ2k，z/γk）都位于图h上。然而，很容易看出，如果z<0，则该族中两个连续点之间的斜率会增加，这与h的凹度相矛盾。在处理了较简单的￠c情况后≤ 0，我们假设其余证明中的▄c>0。灰分（y）(R)φ（y）=（v- fa）（F-1（y）），并且v和fa是C-接近x的（见引理5），我们得出结论▄C≤ 2C。此外，1/(R)φ（y）=^1（即，应用于常数函数1的“b·”变换）被前面的引理凹，如下所示：σddx- c(1) < 0.因此，▄c/▄φ是h的凹主。上面还显示h≥ 这些观察结果意味着0<h（y）≤ c/(R)φ（y），y∈ (0, ∞).根据▄c的定义，我们可以在[1，1/γ]s.t.（h'φ）（yi）中找到点{yi}的有限序列→ c.莱蒂*是该序列的任何集中点。然后，从凹主函数h的连续性，和byh≤ ~c/’φ，我们得到h（y*) = c/(R)φ（y*).回想一下，我们只需要在长度的某个x-区间上建立（46）≥ 1、可以方便地使用xinterval对应（通过F-1）到y间隔*, y*/γ]. 注意，作为y*∈ [1，1/γ]，结果x区间必然位于[0，2]之内。还要注意，φ（x）=φ（F（x）），φ（x）=φ（F（x））F（x），因此，（46）的左侧可以重写为asF（x）\'（F（x））h（F（x））+\'（F（x））h（F（x））.

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