洛伦兹曲线对Bruss-Duerinckx定理的解释

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《Lorenz curves interpretations of the Bruss-Duerinckx theorem for
resource dependent branching processes》
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作者：
Alexandre Jacquemain
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
The Bruss and Duerinckx theorem for resource dependent branching processes states that the survival of any society form is nested in an envelope formed by two extreme policies. The objective of this paper is to give a novel interpretation of this theorem through the use of Lorenz curves. This representation helps us visualize how the parameters interplay. Besides, as we will show, it clarifies the impact of inequality in consumption.
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中文摘要：
资源依赖分支过程的布鲁斯和杜林克斯定理指出，任何社会形式的生存都嵌套在由两种极端政策形成的包络中。本文的目的是通过洛伦兹曲线对这一定理给出一种新的解释。这种表示有助于我们可视化参数之间的相互作用。此外，正如我们将要展示的那样，它澄清了消费不平等的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Lorenz_curves_interpretations_of_the_Bruss-Duerinckx_theorem_for_resource_depend.pdf
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可人4

2022-6-1 05:05:05

洛伦兹曲线资源相关分支过程的Bruss-Duerinckxtheorem解释Alexandre-Jacquemain*卢万天主教大学（Universitécatholique de Louvain，1348，Louvain la Neuve，Belgium星期四，2018年9月6日）摘要资源相关分支过程的布鲁斯和杜林克斯定理表明，任何社会形式的生存都嵌套在由两个极端政策构成的信封中。本文的目的是利用洛伦兹曲线对这一理论进行新的解释。此r e演示帮助我们可视化参数之间的相互作用。此外，正如我们将要展示的那样，它阐明了消费不平等的影响。关键词：消费不等式、完全不等式、有限资源、依赖资源的分支过程、Bruss-Duerinckx定理、Lorenz曲线*电子地址：alexandre。jacquemain@uclouvain.be1简介Bruss和Duerinckx（2015）[6]通过所谓的资源依赖性分支过程（RDBP），对人口的发展和社会形态的影响进行建模。在本文中，我们只关注RDBPs，并借用了[6]中的符号。简言之，RDBP是分支过程的特殊模型，在这些过程中，个人创建和使用资源。所谓的政策（所谓的社会规则）决定了资源如何在当前的个人之间分配，个人有一种互动的方式。RDBP是具有无性生殖的离散时间模型。这些假设是为了简单起见。然而，应该指出的是，无性生殖的假设，首先似乎是不充分的，是由布鲁斯（1984）定义的交配单位的平均生产率的概念所证明的。

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kedemingshi

2022-6-1 05:05:08

事实上，后一参考文献的理论1表明，对于所有与可能生存和平衡相关的长期问题，简化是渐近完美有序的。本节剩余部分首先介绍正式RDBP（第1.1节），然后介绍洛伦兹曲线的概念（第1.2节）。在第2节中，我们将考察洛伦兹曲线对分析两种具体政策的贡献，即最弱的一级社会和最强的一级社会。第3节对发展定理进行了详尽的解释。引入洛伦兹曲线的进一步动机见第4节，该节引入了移民。最后，第5节得出结论。1.1依赖资源的分支过程在Bruss和Duerinckx模型中，两个自然假设和驱动力为oHyp。1：个人希望生存并为后代看到未来，以及oHyp。2：一般来说，个人更喜欢较高的生活标准，而不是较低的生活标准。1、Hyp前优先。2，如果这些不兼容。这些假设是通过围绕四个主要方面的分支过程建模的：再生产、资源、索赔和政策。生殖除了简化生殖是无性生殖外，还假设所有个体相互依赖地生殖，并遵循相同的生殖定律（pj）j，其中pj表示一个个体有j个后代的概率。为了避免不重要的情况，我们至少对一些j>1的情况，建议p>0和pj1。繁殖矩阵（Dkn）n，kgathers i.i.d随机变量Dkn表示第n代个体的后代数量。如前所述，P（Dkn=j）=pj。此外，m≡ E【Dkn】<∞ 关于分支过程的一般参考文献，作者参考了Haccou、Jagers和Vatutin（2007）[9]。o OFF弹簧。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:05:11

最后，D（k）=Dn（k）≡Pkj=1djn是第n代的后代总数，假设该代有k个个体。请注意，由于我们处理的是i.i.d变量，因此可以省略n索引。资源空间资源空间被视为社会分配给其成员的一个公共场所，由遗产构成，我们在其中加上个人生产，减去个人消费。资源创建矩阵（Rkn）n，k包含所有i.i.d个人资源创建Rkn和r≡ E【Rkn】<∞ 是个人的平均生产率。最后，R（k）=Rn（k）≡Pkj=1RJN是总资源空间。在RDBPs中，个人有一种通过声明进行交互的方式。基本观点是，一个人只有在他的要求得到满足的情况下才能留在社会中，否则他就会离开。索赔矩阵（Xkn）n，k包含每个索赔Xkn中的所有i.i.d。除F（x）=P（Xkn≤ x）是权利要求和u的分布≡ E【Xkn】是平均索赔。社会政策π定义为决定社会优先顺序的任何函数。然后满足有关此订单的个别索赔，直到资源空间耗尽。RDBPA RDBP是任何计数过程（Γt），初始祖先Γ=1，下一周期的人口由Γn+1=Qπ（D（Γn），（X，…，XD（Γn）），R（Γn））确定，其中Qπ是基于策略π的计数过程。有关更多详细信息，请参阅[6]。

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mingdashike22

2022-6-1 05:05:14

关于[6]的更详细动机和社会经济利益的影响，请参见Waijnberg（2014）[13]和Bruss（2016）[5]。正如我们将在后面详细阐述的，以下条件在[6]中起着核心作用：如果没有ESSF（τ），人口就无法永远生存≥ 1（1）式中，F是一个独立个体的随机资源要求（消耗）的连续累积分布函数（CDF），τ是隐含方程MzτxdF（x）=r（2）方程（1）的唯一解，这将吸引我们对当前工作的兴趣，在Bruss和Robertson（1991）[7]中已经在更一般的上下文中出现，并且在更进一步的扩展中，在Steele（2016）[12]中，我们将对其进行创新研究。我们的兴趣是根据著名的洛伦兹曲线概念重新表述和解释这个条件。1.2洛伦兹曲线洛伦兹曲线在收入分配的背景下被广泛使用，用来描述p以上最贫穷个人的总收入比例如何随p的变化。虽然美国经济学家马克斯·洛伦兹（MaxLorenz）[11]早在1905年就引入了洛伦兹曲线，以描绘社会不平等，但它在阿特金森（1970）[2]的工作中得到了更多的关注，这为使用伦茨曲线来衡量不平等提供了一个规范的理由。对于洛伦兹曲线的定义，我们遵循Gastw irth（1971）[8]。

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能者818

2022-6-1 05:05:17

纵坐标p处F的洛伦兹曲线定义为LC（p）≡uZpF-1（t）dt继续变量t=F（x）的以下变化，我们可以将洛伦兹曲线p重写为：LC（p）=uZF-1（p）xf（x）dx=uZF-1（p）xdF（x）=uE[XI]F（x）≤ p] ]就属性而言，LC通过（0，0）和（1，1），始终是递增和凸的。转向直觉，洛伦兹曲线回答了以下问题：最谦虚的人收集了多少份索赔？如果曲线是一条直线，我们称之为平等线（LOE）：最底层的5%的人聚集了5%的权利主张，最温和的10%的人聚集了10%，依此类推。因此，我们完全平等。如果曲线是直角形状，所有的主张都是由要求最高的个人提出的，这就是完美的不平等。图1显示了典型的洛伦兹曲线（虚线）以及完全相等（实线）和完全不等（虚线）的情况。我们现在有必要的工具来定义洛伦兹的统治地位。我们可以说，在以下情况下，FLC占主导地位SLC（p）≥ LC（p）p∈ [0，1]s ome p.Atkinson（1970）[2]提供了使用LC支配的规范性理由，以便根据不平等对社会进行排名。基本观点是，如果兴趣变量为非负，则这是正确的。这在一般情况下并非如此。0 1L（p）人口的累积份额图1:L-oren z曲线（实线）以及完全相等（虚线）和完全不相等（虚线）的表示，所有合理的不平等指数都认为F比F具有更少的不平等，但前提是F的洛伦兹曲线高于F。如果两条曲线相交，人们可以找到至少一对给出矛盾结论的合理不平等指数。后一个参考中给出了“合理”的确切含义。

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kedemingshi

2022-6-1 05:05:20

显然，LOELC支配着所有其他的欧伦z曲线。作者很清楚，在RDBPS的背景下对洛伦兹曲线的解释实际上与通常的意义不同。后者是，信用证最初倾向于衡量某一州的总财富份额，作为其效用份额的一个函数。在RDBP存续的条件1中，它将作为债权的洛伦兹曲线进行干预，这与当前财富不同，而是作为消费。然而，这些概念之间的联系非常紧密。另见Waijnberg（2014）[13]，了解自由解释。2最弱和最强的第一社会Buss和Duerinckx（2015）[6]提出了两种极端政策，最弱的第一社会和最强的第一社会。这些政策体现了一种特殊的利益，因为它们将为任何社会的生存创造有利条件。我们将在第3.2.1节中明确指出，最弱的第一社会（WFS）为要求较低的第一社会服务。从形式上讲，它可以通过计数过程来确定。N（t，s）=（0，如果X<1，t>>ssup{1≤ k≤ t:Pkj=1X<j，t>≤ s} 否则，其中X<j，t>是第j阶统计。与WFS相关的R DBP为（Wn）nw，W=1，Wn+1=N（D（Wn），（X，…，XD（Wn）），R（Wn））与RDBPs相关的一个重要挑战在于确定在给定特定政策的情况下，哪个社会可以生存。如果人口肯定会逐渐减少，Hyp。生效了，社会必须改变政策。更具体地说，我们想确定qΓ=P（limn）的时间→∞Γn=0 |Γ=1）正好等于1。定理1在WFS的情况下回答了这个问题。定理1（WFS的消光准则）。

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能者818

2022-6-1 05:05:23

设（Wn）nbe为最弱的第一过程（Dkn，Xkn，Rkn）n，k（a），如果r≤ mu和τ是rτxdF（x）=r/m的解，然后（i）mF（τ）<1=> qW=1（ii）mF（τ）>1=> qW<1（b）如果r>mu，那么qW<1可以指出一些特征从大量祖先开始，qW<1与qW=0基本相同（见[6]中的命题4.2）案例（b）对应的情况是资源多于平均索赔额。因此，从宏观经济的角度来看，这并不有趣F（τ）=1/m是WFS几乎确定灭绝和可能存活之间的阈值。我们可以用洛伦兹曲线来改写这个定理的条件。请注意，在以下各节中，我们将重点讨论（有趣的）情况，其中r≤ mu。WehaveZτxdF（x）=rm=>ZF（τ）F-1（t）dt=rm=> LC[F（τ）]=rmu=> F（τ）=L C-1.rmu为了使WFS消光，需要SMF（τ）<1<=> 信用证m级>rmu这本身就是一个有趣的结果。为了解决WFS灭绝的问题，人们不需要知道F。通过洛伦兹曲线，可以了解r、m、u以及不等式。2.2最强大的第一社会（SFS）最强大的第一社会（SFS）遵循相反的逻辑，它服务于要求最高的第一社会。其计数过程定义为asM（t，s）=（0，如果X<t，t>>ssup{1≤ k≤ t:Ptj=t-k+1X<j，t>≤ s} 另一方面，与其相关的RDBP是（Sn），s=1，Sn+1=M（D（Sn），（X，…，XD（Sn）），R（Sn）），定理2以类似于之前的方式检查了SFS的生存模式。定理2（SFS的消光准则）。Le t（Sn）nbe如果r≤ mu和θ是r的溶液∞θxdF（x）=r/m，然后（i）m[1- F（θ）]<1=> qS=1（ii）m[1- F（θ）]>1=> qS<1（b）如果r>mu，则可以作出与之前相同的注释。

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大多数88

2022-6-1 05:05:26

让我们突出显示最后一个：F（θ）=1- 1/m对应于SFS中灭绝和存活之间的阈值。再一次，我们可以用洛伦兹曲线来重写这个定理的条件。我们有∞θxdF（x）=rm=> u -ZF（θ）F-1（t）dt=rm=> 1.- LC[F（θ）]=rmu=> F（θ）=LC-1.1.-rmu为了让SFS生存下来，需要SM[1- F（θ）]>1<=> 信用证1.-m级> 1.-rmu与WFS类似，我们不需要知道F的精确形式来确定SFS是否可以存活。3包络理论由于WFS和SFS形成了极端政策，人们可能会想知道关于它们的结果的一般相关性。实际上，它们似乎构成了任何社会生存的封套。这一思想在第三章中正式表达。定理3（无条件包络定理）。假设m[1- F（θ）]6=1，如果r≤ mu。然后，以下公式成立o设Γn（L）为任何RDBP，Wn（L）为WF过程，Sn（L）为SF过程，所有过程都从L>0个个体开始，然后画→∞序号（L）≤ 画→∞Γn（L）≤ 画→∞Wn（L）L→∞----→ 1oqW=1=> qΓ=1=> qS=1，适用于所有RDBPΓqS<1=> qΓ<1=> 对于所有RDBPΓ，qW<1。我们可以如下解释最后两个结果。如果WFS这样做，那么几乎可以肯定的是，Γn将消亡，如果SFS能够存活，那么Γnca可以存活。根据上一节，重新计算f（τ）=LC-1.rmuF（θ）=LC-1.1.-rmu此外，当F（τ）<1/m时，WFS灭绝，当F（τ）<1/m时，SFS存活- F（θ）>1/m。图2表示包络定理的上下文。请注意，1/m∈ [0，1]，因此，可以在水平轴上表示。将我们的注意力集中在1- F（θ）F（θ）F（τ）1-rmurmuLC（p）图2：在洛伦兹曲线和包络理论横轴之间的连接上，有两个区域特别令人感兴趣虚线区域：是所有m的集合，使得1/m<1- F（θ）。

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能者818

2022-6-1 05:05:28

因此，它是所有m的集合，因此社会肯定会生存（因为SFS也会生存）虚线区域：它是所有m的集合，使得1/m>F（τ）。因此，社会肯定会灭绝（因为WFS也灭绝了），这是所有m的集合。换言之，这两个领域对应于我们所知道的确保社会最终生存或消亡的所有m。在这些领域之外，答案将取决于所选择的政策。现在我们已经了解了这一点，我们可以看看改变参数的影响。1、如果r增大或u减小会发生什么情况。查看图表，我们看到虚线区域增加，而虚线区域减少。这是有道理的：更多的资源和更少的索赔会导致更高的生存机会。2、如果不平等减少会发生什么。在这里，我们从技术上说，纽洛伦兹曲线无处不在。在这种情况下，很容易看到F（τ）和F（θ）都减小了。因此，虚线和虚线区域都会增加。这很有趣。不平等对社会的生存机会没有明显的影响。更少的不平等实际上扩大了m的集合，对于m我们可以肯定生存，对于m我们可以肯定灭绝。令人惊讶的是，不平等的减少无疑会增加我们对社会命运的把握。从某种意义上说，不平等越少，我们就越不可能了解决定社会最终生存还是消亡的政策。3、完全平等。回想一下，完全相等时的洛伦兹曲线是45o线在这种情况下，F（τ）=1- F（θ）=r/（mu）。因此，虚线和虚线区域覆盖了整个[0，1]段。因此，无论政策如何，我们都知道社会最终会消亡或生存。4、完全不等式。

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nandehutu2022

2022-6-1 05:05:31

回想一下，存在完全不等式的洛伦兹电流是三角形的。在这种情况下，F（τ）=1，F（θ）=0，两个区域都消失。因此，在不了解基本政策的情况下，我们无法判断社会最终会生存还是消亡。4移民介绍在天主教大学德洛文分校布鲁斯教授的最近一门关于RDBPs的特别课程中，可以看到，每当人们将移民带入画面中，想要了解移民人口和原籍人口在何种条件下能够达到平衡时，洛伦兹曲线也会介入，这两者都是以生存为条件的。在此，我们将我们的兴趣界定为一个最简单的情况，即从某个特定时间开始，没有新移民，并且移民没有融入当地人口。在这种情况下，平衡存在的必要条件可以用条件mhfh（τ）=miFi（τ）表示≥ 1（3）顺便注意，这也意味着不平等程度越低，SF中的生存机会就越大，WFS中的生存机会就越小。均衡是指移民人口规模与本国人口规模之间的渐近比率α。式中，τ是mHzτxdFh（x）+αmiZτxdFi（x）=rh+αri（4）的解，其中Fh（分别为Fi）表示来自家庭人口（分别为移民人口）的个人索赔的CDF。此外，rh（ri）和mi（mh）是这两个亚种群对应的参数。注意，两个积分中的值τ是相同的。虽然我们在这篇短文中没有讨论家庭人口和移民人口的平衡，但我们想在这篇文章中提及布鲁斯平衡的条件（3）和（4）。

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能者818

2022-6-1 05:05:35

事实上，这大大增加了我们在多个视角下观察洛伦兹曲线的动机，因为（3）和（4）必须同时满足，并且条件mF（τ）=mF（τ）非常苛刻。我们如何在单一组合洛伦兹曲线图中解释这些条件仍然是一个挑战。5结论在RDBPs的背景下，Bruss和Duerinckx定理指出，任何社会的生存机会最终嵌套在两种极端情况之间，即最弱的第一社会和最持久的第一社会。正如Bruss和Duerinckx（2015）[6]所指出的，这一包络线受到个人生产力、人口倍增率和权利要求分布的影响。虽然前两个参数很简单，但后者的影响更难把握。洛伦兹曲线的作用是将平均索赔的影响与其纯粹的分布方面（即不平等）分离开来。通过这样做，我们观察到消费不平等对包络线的严格程度有着明显的影响。Lessinequality不一定会转化为或多或少的生存机会，它会产生更多的确定性。在实践中，这意味着平等性越低，我们就越能确定社会最终是生存还是消亡。我们认为这是一项非凡的资产。最后，请注意Hyp 2的作用。引言中列出的内容仅在此处直接提及。Hyp 1。具有优先权，但在这一限制条件下，人口可能会提高生活水平，从而使长期乘法因子mF（τ）可能被选择为接近1，即接近所谓的临界状态。

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kedemingshi

2022-6-1 05:05:37

RDBPs不能直接与Galton-Watson过程（如Bruss（1978）[3]）或arandom环境中的BPs进行比较，但在关键性方面存在一些有趣的结果链接。布鲁斯在伦敦大学学院（2017）的课程中提到了贾格斯和克莱班纳（2004）[10]和阿法纳萨耶夫（2005）[1]的更多细节。参考文献[1]Afanasyev V.I.、Geiger J.、Kersting G.和Vatutin V.A.（2005），《随机环境中分支过程的临界性》，Ann。属于问题。33（2），第645页- 673.[2]Atkinson A.（1970），《不平等的衡量》，经济理论杂志，2（3），第244页- 263。[3]Bruss F.T.（1978），《具有随机om吸收过程的分支P过程》，J.Appl。问题。15，第54页- Bruss F.T.（1984），关于两性Galton-Watson过程灭绝准则的注记，J.Appl。问题。21，第915页- 919。[5]Bruss F.T.（2016），《资源相关分支过程中的包络定理和控制指令》，斯普林格《统计学讲稿》219，（由I.Del Puerto等人编辑），第7章，第119页- 136.[6]Bruss F.T.和Duerinckx M.（2015），《资源依赖型分支过程与社会包络》，Ann。应用程序。概率。，25（1），第324页- 372.[7]Bruss F.T.和Robertson J.B.（1991），“i.i.d.随机变量顺序统计量和的“Wald引理”，Adv.Appl。问题。23，第612页- 623.[8]Gastwirth J.L.（1972），《洛伦兹曲线的一般定义》，计量经济学39（6），第1037页- 1039.[9]Haccou P.、Jagers P.和Vatutin V.A.（2007），《分支过程：种群的变异、增长和保留》，剑桥大学出版社。[10] Jagers，P.和Klebaner，F.C.（2004），《近临界随机环境中的分支过程》，J.App。概率。41A，第17页- 23.[11]Lorenz M.O.（1905），《衡量财富集中度的方法》，美国统计协会出版物9（70），pp。

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大多数88

2022-6-1 05:05:40

209- 219【12】Steele J.M.（2016），《Bruss-Robertson不等式：扩展、阐述和应用》，数学。应用程序。44（1），第3页- 16.【13】Waijnberg A.，（2014），Le th eoreme d e Bruss Duerinckx，Fond National de laRecherche Scientique，FNRS News，2014年6月，第21页- 22

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