然后，可以将切割值tn定义为模拟距离的经验分位数{√nk^hb-hbk}Bb=1，所有b均根据正确的规格计算。例如，tn可以定义为{√nk^hb-hbk}Bb=1。然后，可将从该程序中获得的tn值与的相应值进行比较√nk^h-根据实际观测数据y获得hk，如果√nk^h-hk>tnwe得出结论，模型可能存在误判。我们在简单的运行示例中演示了这种诊断模型误判的方法。示例1（续）：假设D GP为z，zniid为N（θ，1），但实际DGPis y，yniid为N（θ，σ）。我们再次考虑以下汇总统计数据：o样本平均数η（y）=nPni=1yi，o样本方差η（y）=n-1Pni=1（yi-η（y））。对于观测数据a序列y，我们从均值θ=1、方差σ的正态随机变量中模拟n=100个观测数据点，取σ={2，3}。对于ABC-AR和ABCReg，我们再次获取N=25000个根据zji生成的模拟数据集~ N（θj，1），带θj~ N（0，25）。对于d（·，·），我们采用欧几里德范数，再次将公差设为模拟距离的1%分位数。对于函数h（θ）的选择，我们考虑h（θ）=（θ，θ）, 因此，^h和▄h代表根据ABC-AR和ABC Reg计算的第二和第三后验矩s:^h=Zθd∏[θ|η（y）]，Zθd∏[θ|η（y）],小时=Zθd∏∏[θ∏η（y）]，Zθd∏∏[θ∏η（y）].回想一下，在正确的规格下√nk^h-hk=oP（1）。因此，如果模型的规格正确，我们预计将实现√nk^h-香港相对较小。计算√nk^h-香港在正确规格下，我们首先模拟b=1，B“观测数据”系列，其中每个系列包含n=100个观测值，这些观测值由平均值θ=1和σ=1的异常随机变量生成iid。

然后，使用这些序列作为观测数据，运行ABC-AR和ABC Reg并计算{√nk^hb-hbk}Bb=1。对于本实验，wetake B=100次重复。然后，将切割值Tn定义为95%的经验分位数。在获得tn后，我们现在分析这种方法检测误判的能力。对于两个不同的错误指定DGP，对应于σ∈ {2，3}，我们模拟了100Monte-Carlo复制并计算√nk^h-每次复制中的hk。结果抽样分布√nk^h-图4给出了hk。为了进行比较，在图4的面板A中，我们还给出了√nk^h-根据正确规范（σ=1）计算的hk。结果表明，样本分布之间存在显著差异√nk^h-香港的规格不正确或不正确。使用所选的切割值tn，我们在σ=2时检测到91%的误检，在σ=3时检测到97%。考虑到这些结果以及图4中的结果，很明显，这种简单的诊断方法允许我们在本例中检测模型错误。重要的是要认识到√nk^h-图4中观察到的hk不是我们选择的规格h（θ）的函数，而是由模型误判下ABC-AR和ABC regposterior的差异驱动的。特别是，Coro llary 1和2的结果表明，对于几乎任何表现良好的函数θ7，都会观察到类似的行为→ h（θ）。选择θ来模拟发现tn所需的伪“观测数据”，对大样本中的cuto off值的大小几乎没有影响。

因此，可以从ABC AR后验值中随机选择θ值，而不会显著改变此处给出的结果。σ2=1σ2=20 5 10 15 20 25面板Aσ2=2σ2=30 20 40 60 80 100 1 20面板B图4：蒙特卡罗抽样分布√nk^h-在σ的正常示例中为hk∈ {1，2，3}，其中h=（θ，θ）. 回想一下，σ=1对应于正确的规格。为了说明这一事实，我们使用替代函数h（θ）=θ重复上述示例。在本实验中，我们使用与上述示例完全相同的数据集，并执行相同的程序来确定切割值tn，但现在是在h（θ）=θ的情况下。在整个MonteCarlo复制中，当σ=2时，该方法检测到96%的错误指定，当σ=3时，检测到99%的错误指定。类似地，图5绘制了√nk^h-~hk，当h（θ）=θ时。虽然量表与图4中的量表不同，但结果在质量上是相同的：在√nk^h-香港在正确和不正确的规范下。我们重申，这一结果并不令人惊讶，因为根据我们的结果，我们知道ABC-AR和ARC Reg将后部质量集中在不同的值上，因此，任何有效平滑的函数h（θ）将集中在ABC-AR和ABC Reg下的不同值上。σ2=1σ2=20面板Aσ2=2σ2=30面板B图5：蒙特卡罗抽样分布√nk^h-在σ的正常示例中为hk∈ {1，2，3}，其中h（θ）=θ。回想一下，σ=1对应于正确的规格。最后，我们注意到，选择用于构建TN的θ不会显著改变报告的结果。为了证明这一点，我们在两个额外的θ值处重新运行诊断程序，用于构建tn。

如果我们使用值θ=0来获得tn，在h（θ）=（θ，θ）的情况下, 该程序将导致我们在σ=2和σ=3的情况下得出100%有利于误检的结论，而使用函数h（θ）=θ，我们将在σ=2和σ=3的情况下得出97%有利于误检的结论。类似地，如果我们考虑值θ=2并构造tn，在h（θ）=（θ，θ）的情况下, 对于σ=2，我们会在83%的时间内得出错误定义的结论，对于σ=3，我们会在92%的时间内得出错误定义的结论，而对于h（θ）=θ，我们会在σ=2，我们会在95%的时间内得出错误定义的结论，对于σ=3.5，我们会在98%的时间内得出错误定义的结论，ABC技术似乎不太适合于不规范的环境，因为它们严重依赖于假设模型再现观测数据集特征的能力。此外，他们根据实际数据将接近度（或公差）缩放为百分位，从而提供相对接近度而非绝对接近度。本文证明了ABC在这些环境中确实存在性能低下的问题，ABC版本越复杂，性能就越差。这种模式并不令人惊讶，因为更复杂的方法试图从模拟数据中提取更多信息。更令人兴奋的是，更基本的CABC版本的收敛结果，前提是满足汇总统计的可识别性约束。公差序列a lso的作用似乎比特定情况下更重要，这与该公差存在最小非零限制这一事实无关。此外，我们还证明，通过局部回归对ABC输出进行后处理可能会导致错误模型的推断不佳，并且我们提出了一种对模型规格的正确性不太敏感的替代方法。

在这一阶段，尚不清楚其他后处理ABCapproaches，例如边际调整法（Nott et al.，2014）或再校准法（Rodrigues et al.，2018），是否会在模型误判下执行类似于局部回归后处理的操作，需要在这方面进行更多研究以获得结论性结果。除上述内容外，我们还证明，很自然地，不同ABC版本之间的差异可以被用来检测模型错误，尽管在区分蒙特卡罗可变性和真实差异方面存在固有的困难。本文和附录中的示例都说明了检测是可以实现的，因为ABC生成的参考表可用于自动校准ABC不同版本之间的预期差异。由于这种机器学习技术旨在学习数据生成机制（generativenetwork）和将实际数据从生成的数据中分离出来（判别网络），因此本文中未研究的误认未来研究的一个潜在方向是将其与生成的DVersial网络相连接（GAN，Goodfello et al.，2014）。虽然已经注意到ABC和GANs之间的接近性，但从统计角度来看，这一领域对误认属性知之甚少。关于其他版本的基于机器学习方法的ABC，例如在Papamakarios和Murray（2016）中，我们的直觉是，与基于局部非线性回归调整的ABC类似，对模型的大规模和非结构化依赖性校准也会在误判情况下产生较差的性能。与GAN战略不同，在现阶段，我们没有看到解决这一难题的可靠解决方案。参考Beaumont，M。

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无可能性的序贯蒙特卡罗。《美国国家科学院院刊》，104（6）：1760-1765。主要结果的证明本节包含对正文中给出的理论结果的证明。定理1的证明该定理是Frazier等人（2018）的改编。设δn≥ Mn（n- *) ≥ 3Mnv-10，n，然后P(Ohmd） =1+o（1）Ohmd： ={y:d（η（y），b）≤ δn/2}。假设y∈ Ohmd、 考虑事件ad（δn）：={（z，θ）：{d（η（z），η（y））≤ n}∩ {d（b（θ），b）≥ *+ δn}}。注意，通过定义d（b（θ），b）≥ *, 带*> 0.对于所有（z，θ）∈ Ad（δn）和if y∈ Ohmd、 δn<d（b（θ），b）- *≤ d（b（θ），η（z））+d（η（z），η（y））+d（η（y），b）- *≤ d（b（θ），η（z））+n-*+ δn/2so thatδn≤ 4d（b（θ），η（z））。这特别意味着pr（Ad（δn））=Z{d（b（θ），b）≥*+δn}Pθ[d（η（z），η（y））≤ n]d∏（θ）≤ZΘPθ[d（b（θ），η（Z））≥ δn/4]d∏（θ）。（5） 如果（i）为多项式尾，则Pr（Ad（δn））≤ （vnδn）-k ZΘc（θ）d∏（θ）=o（1）（6）只要vnδn→ +∞, 或在（ii）指数tailsPr（Ad（δn））的情况下≤ Ce公司-c（δnvn）τ。（7） 此外，我们可以从下面的αn=ZΘPθ[d（η（Z），η（y））进行束缚≤ 注意{d（η（z），b（θ））≤ 中压-1n/2}∩ Ohmdd（η（y），η（z））≤ d（η（z），b（θ））+d（η（y），b）+d（b（θ），b）≤ v-10，T+Mv-1n/2+d（b（θ），b）≤ 越快越好*≤ d（b（θ），b）≤ n- v-10，T+Mv-1无/2。自n起- *≥ v-10，T+Mv-1n，开Ohmd、 ZΘPθ（d（η（Z），η（y））≤ n）d∏（θ）≥Zd（b（θ），b）≤（n）-*)/4.∨v-1牛米/2（1- Pθd（η（z），b（θ））≥ 中压-1牛/2d∏（θ）≥Zd（b（θ），b）≤（n）-*)/4.∨v-1牛米/21.-c（θ）2κMκd∏（θ）&（n- *)D∨ v-Dn和（n）- *)【A1】的Din案例（i），【A2】下。如果[A1]的情况（ii）成立，在[A2]下，我们有zΘPθ（d（η（z），η（y））≤ n）d∏（θ）≥Zd（b（θ），b）≤（n）-*)/4.∨v-1牛米/21.- c（θ）e-hθ（M/2）d∏（θ）&（n-*)d将这两个不等式与上界（6）或（7）结合，得到∏[d（b（θ），b）≥ *+ δn |η（y）]。（n）- *)-D（vnδn）-κ、 在（i）和∏[d（b（θ），b）的情况下≥ *+ δn |η（y）]。（n）- *)-扩散系数-c（δnvn）τ，在（ii）情况下。

如果δn，则为o（1）阶≥ Mnv公司-1n（n-*)-D/κ在情况（i）中，或如果δn≥ Mnv公司-1n | log（n-*)|（ii）情况下为1/τ。推论1证明。定义Q（θ）=d（b（θ），b）-d（b（θ*), b） |。从θ7的连续性→ b（θ）和θ的定义*, 对于任何δ>0，存在一个γ（δ）>0，使得infθ：d{θ，θ*}>δQ（θ）≥ γ(δ) > 0. 那么∏[d（θ，θ*) > δ|η（y）]≤ ∏[| Q（θ）- Q（θ*)| > γ（δ）|η（y）]=∏[| d（b（θ），b）- d（b（θ*), b） |>γ（δ）|η（y）]=∏[d（b（θ），b）>*+ γ（δ）|η（y）]。如果∏[| d（b（θ），b）>，则结果如下*+γ（δ）|η（y）]=oP（1）。对于定理1中定义的δn>0且δn=o（1），根据定理1的结论，结果如下一次γ（δ）≥ δn.定理2Proof的证明。为了简单且不失一般性，我们编写了vn=√n、 锌=√n（η（z）-b（θ））和▄Zy=√n（η（y）- b） 。用Bn（K）={Kθ表示- θ*k≤ K} 。在整个证明过程中，一个通用常数可能因行而异。我们有所有θPθkη（z）- η（y）k≤ n= PθkZn-Zy+√n（b（θ）- b） k级≤ nn= PθkZnk+2hZn，√n（b（θ）-（b）-Zyi≤ n[n-kb（θ）- b-Zy/√nk]= PθhZn，b（θ）- bi公司≤√n[n- kb（θ）- b-Zy/√nk]-kZnk-2h▄Zn，▄Zyi√n现在开始Ohmn={kZyk≤ Mn/2}，Mna序列以任意缓慢的速度进入完整性，因此Mn=o（n1/4），√nkb（θ）- b-Zy/√nk公司=√nkb（θ*) - 黑色+√n（θ- θ*)H*(θ - θ*)-2hb（θ*) - b、 Zyi+O（Mn/√n） +O(√nkθ- θ*k+kθ- θ*kMn）其中H*是θ7的二阶导数→ kb（θ）- bkatθ*, 注意到θ处的一阶导数等于0*. Let*= kb（θ*) - bk，e′=（b（θ*) - b） ，且>0。如果kθ- θ*k≤ 和事件上Ohmn={kZyk≤ Mn}，其中Mn=o(√n） ，Pθkη（z）- η（y）k≤ n≤ PθhZn，e′i≤√n[n- (*)- （1+C）（θ）- θ*)H*(θ - θ*)/2] +hZy，e′i+C+kθ- θ*kMn公司+ PθkZnk>√编号/4≥ PθhZn，e′i≤√n[n- (*)- (1 - C）（θ- θ*)H*(θ - θ*)/2] +h▄Zy，e′i- C- kθ-θ*kMn公司-Pθk~Znk>√编号/4（8） 考虑以下情况：√n（n- (*)) → 2c∈ R

我们把Θ分解成{kθ- θ*k√n≤ M} ，{>kθ-θ*k>M/n1/4}和{≤ kθ- θ*k} ，其中非常小。如果kθ，则为第一个-θ*k√n≤ M√n[n- (*)- (1 - C）（θ- θ*)H*(θ - θ*)/2] +hZy，e′i+Mn√n+kθ-θ*kMn公司≤ c+hZy，e′i-(1 - C）√n（θ- θ*)H*(θ - θ*)+ 和√n[n- (*)- （1+C）（θ）- θ*)H*(θ -θ*)/2] +百万√n+kθ- θ*kMn公司≥ c+hZy，e′i-（1+C）√n（θ- θ*)H*(θ -θ*)- 此外，使用假设[A5]，hZn，e′i=√n<∑n（θ）-1Zn，e′i=hZn，√n∑n（θ）-1e′i=hZn，A（θ*)e′i+o（kZnk）。然后我们得到了c′=c+h′Zy，e′i，x=n1/4（1- )1/2(θ -θ*) 和kθ- θ*k≤ M/n1/4≤ uif nis lar ge enoughPθkη（z）- η（y）k≤ n≤ PθhZn，A（θ*)e′i≤ c′-x个H*x++ ≤ Φc′+MkA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′k+ +supkθ′-θ*k≤uPθ′hZn，A（θ*)e′i≤ c′-x个H*x+-Φc′+kA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′k≤ Φc′+kA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′k+ C。类似地，y=n1/4（1+）1/2（θ-θ*)Pθkη（z）- η（y）k≤ n≥ Φc′- kA（θ*)e′k-yH*y4kA（θ*)e′k- - supkθ-θ*k≤uPθhZn，A（θ*)e′i≤ c′-yH*y- -Φc′- kA（θ*)e′k-yH*y4kA（θ*)e′k≥ Φc′- MkA（θ*)e′k-yH*y4kA（θ*)e′k+ Cf或所有t∈ R、 写x（θ）来强调它在θ中的依赖性，=ZBn（Mn1/4）supkθ′-θ*k≤uPθ′hZn，A（θ*)e′i≤ t型-x（θ）H*x（θ）-ΦtkA（θ*)e′k-x（θ）H*x（θ）4kA（θ*)e′kdθ=n-kθ/4Zkxk≤Msupkθ′-θ*k≤uPθ′hZn，A（θ*)e′i≤ t型-x个H*x个- ΦtkA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′kdx=n-kθ/4Mo（1），其中最后一个等式在m[A4]之后，我们得到了zbn（m/n1/4）Pθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ≤ π(θ*)（1+o（1））n-kθ/4Zkxk≤MΦc′+MkA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′kdx+o（n-kθ/4M）（9）类似zΘPθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ≥Zkθ-θ*k≤n-1/4MPθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ≥ π(θ*)（1+o（1））n-kθ/4Zkxk≤MΦc′-MkA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′kdx（1+oP（1））。（10） 如果>kθ- θ*k>M/n1/4，因为存在a>0使得zH*z≥ Akzk对于所有z，ifM足够大，Pθkη（z）- η（y）k≤ n≤ PθhZn，A（θ*)e′i≤ -是≤ PθkZnk>aM8kA（θ*)e′k. M-2κ现在让j≥ 0并设置Mj=2jM。

关于美赞臣-1/4≤ kθ- θ*k≤ Mj+1n-1/4Pθkη（z）- η（y）k≤ n≤ PθhZn，A（θ*)e′i≤ -aMj公司≤ PθkZnk>aMj8kA（θ*)埃克. M-2κjso t hatZMn-1/4≤kθ- θ*k≤Pθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ。n-kθ/4JnXj=0M-2κj（Mj+1- Mj）。n-kθ/4JnXj=0M-2κ+1j。n-kθ/4M-2κ+1.（11） 最后如果kθ- θ*k>，kb（θ）- b- Zy公司/√nk公司- (*)≥ Con公司Ohmn足够大时为nand√n（n- (*)) ≤ c+c使pθkη（z）- η（y）k≤ n≤ PθhZn，b（θ）-bi公司≤ -√nC+c′+c+ O（n-κ/4)≤ Pθ（kZnk>Cn1/2kb（θ）- 黑色-1/2）+O（n-κ/4)≤ c（θ）c-κn-κ/2kb（θ）-bkκ+O（n-κ/4).ThereforeZkθ-θ*k≥Pθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ≤ C-κn-κ/2Zkθ-θ*k≥c（θ）kb（θ）- bkκπ（θ）dθ+Cn-κ/4Zkθ-θ*k≥c（θ）π（θ）dθ（12）最后结合（9），（11），（12）和（10），我们得到如果κ>kθZΘPθkη（z）- η（y）k≤ nπ（θ）dθ=n-kθ/4ZRΦc′kA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′kdx+o（n-kθ/4），对于所有x=n1/4（θ- θ*) ∈ Rkθ固定，书写πzn，（·）∏zn的密度，，zn的ABC后验分布（θ- θ*),πn1/4，（x）=Φc′kA（θ*)埃克-x个H*x4kA（θ*)e′kRRΦc′kA（θ*)e′k-x个H*x4kA（θ*)e′kdx+o（1）：=qc（x）+o（1）所以πn1/4，-质量控制部= o（1）。我们现在研究的情况是√n（n- (*)) :=√修女→ +∞ 当un=o（1）时，我们证明极限分布是均匀的。利用（8），我们得到了如果B0，n={（θ-θ*)H*(θ -θ*) ≤2un- 400万/√n} ，Mn<un√n到单位pθ（kη（z））- η（y）k≤ n）≤ 1.≥ PθhZn，e′i≤ 2Mn+hZy，e′i-  - kθ-θ*kMn公司≥ PθhZn，e′i≤ 锰/2≥ 1.-厘米-k对于事件{| h  Zy，e′i |上的某些c>0≤ Mn/2}，概率为1。这特别意味着zb0，nPθ（kη（z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ≤ π(θ*)（1+o（1））体积（B0，n）≥ π(θ*)（1+o（1））体积（B0，n）（1-厘米-κn）（13）AlsoVol（B0，n） ukθn（14）Let Kn≥ 4，如果Knun≥ (θ - θ*)H*(θ - θ*) > 2un（1- C）-1+4百万/√n、 那么t在这里存在c′>0，这样√n[联合国- (1 - C）（θ- θ*)H*(θ - θ*)/2] +h▄Zy，e′i-  - kθ-θ*kMn公司≤ -2Mn+hZy，e′i-  - C′Mn≤ -Mnon事件{| hZy，e′>|≤ 锰/2}。

因此写B1，n={Knun≥ ( θ - θ*)H*(θ - θ*) >2un（1- C）-1+4百万/√n} ZB1，nPθ（kη（z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ。M-κnVol（B1，n）。M-κnKkθ/2nVol（B0，n）（15）MoreoverVol{(θ - θ*)H*(θ -θ*) ≤ 2un（1- C）-1+4百万/√n}- 体积（B0，n）。Vol（B0，n）。（16） 如果Knun≤ (θ - θ*)H*(θ -θ*) ≤ 那么√n[联合国- (1 - C）（θ- θ*)H*(θ - θ*)/2] +h▄Zy，e′i-  - kθ-θ*kMn公司≤ -√n（θ- θ*)H*(θ -θ*)当n足够大且存在b>0时，zbc1，n1l（θ-θ*)H*(θ-θ*)≤Pθ（kη（z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ。n-κ/2ZBn（A）1lkθ-θ*k≥b√Knunkθ- θ*k-2κdθ。n-κ/2Z√Ab√Knunrkθ-2κ-1dr（17）由于kθ<2κ，则上述项为k（kθ）阶-2κ）/2n(√修女）-κ/2ukθn K（Kθ-2κ）/2n(√修女）-k/2Vol（B0，n）=o（Vol（B0，n）），如果kθ- θ*k≥ ，类似于以下情况：√修女→ c∈ R、 我们得到（12），这个项是o（Vol（B0，n）），只要n-κ/4=o（ukθn）。自n起-1/4=o（un）后者在κ≥ kθ。结合（13），（1 5），（17），（16）和（12），我们得到ZΘPθ（kη（Z））- η（y）k≤ n）π（θ）dθ-π(θ*)体积（￠B0，n）= op（1）（18）式中B0，n={（θ- θ*)H*(θ - θ*) ≤ 2un}。设x=u-1n（θ- θ*) 固定和xH*x<2，则对于足够大的n xH*x个≤ 2.-400万/(√nun）并使用πu-1n，（x）=π（θ*+ unx | y）ukθnthenπu-1n，（x）=1+op（1）。如果xH*x>2，那么如果>0足够小，n足够大xH*x个≥ 2(1 - C）-1+4百万/(√nun）和πu-1n，（x）=op（1）。这意味着u的ABC后验分布-1n（θ- θ*) 收敛到椭球体{x上的均匀分布H*x个≤ 2} 总的变化。命题1证明。为了证明命题1，我们证明了近似似然pθ锌- Zy公司+√n（b（θ）- （b）≤ n在θ6=0附近达到高峰，因此，浓度在θ附近*= 无法生成0。在定理2的证明中，写Zn=Z=（Z，Z）, 我们可以定义W=Z/kZk和R=kZk/vθ，我们知道W和R是独立的，它们的分布不依赖于θ。特别是R~ χ(2).

现在，设置h=b（θ）- b-Zy公司/√n、 所以Z-Zy公司+√n（b（θ）- （b）-nn=vθR+2√nRvθhW，hi+n（khk- n）≤ 0（19）当且仅当（W）=vθn（hW，hi- khk+n）=vθn°（W）≥ 0，R∈ （r（W），r（W））∩ R+，其中R（W）=√nvθh-hW，你好-p▄（W）i，r（W）=√nvθh-hW，hi+p▄（W）i.注意（W）≤ 如果（W）≥ 0然后| hW，hi |=khk（1+O（n）），给定thatkhk 1关于kZyk事件≤ 对于一些任意大的M。因此如果h-W、 你好≤ 0，然后是h-W、 你好 -khk和（19）中的R没有解决方案。因此，如果且仅如果（19）成立-W、 你好≥ 0,~（W）≥ 0和R∈ （r（W），r（W））。通过对称，我们可以设置W=-W和，在现场h W，hi≥ 0，使用以下事实：~ χ（2），PθZ-Zy公司+√n（b（θ）-（b）≤ nn | W= e-r（W）/2（1）- e-n▄（W）vθ）r（W）∈√nkhk/vθ{1- 2n}，√nkhk/vθ推导Pθ的近似值kZ公司-Zy公司+√n（b（θ）-b） k级≤ nn我们更精确地研究了yr（W）。为了简单起见，我们假设√nn=o（1），因为√nn=O（1）可以类似地处理。ThenPθZ-Zy公司+√n（b（θ）- （b）≤ nn≤ e-nkhk2vθ（1-2n）Pθ~（W）≥ 0≥ e-nkhk2vθPθ~（W）≥ 0考虑θ=r'B和r∈ [-所以r=0对应于θ=θ* ≡ 0，则h=(R)b（r- 1，r+1）+ OP（1/√n） andPθ~（W）≥ 0≤ 2Pθ0≤ 硬件- h/khk，你好≤ n/（2khk）（1+n/khk）≥ 2Pθ0≤ 硬件- h/khk，你好≤ n/（2khk）=n（1+r）(R)bg（（1- r） p2（1+r））1+O（n∨ 1 /√n）其中g（·）是W的密度，W=（W，W）。因此，对于n大的enoughPθZ-Zy公司+√n（b（θ）-（b）≤ nn≤n（1+r）(R)be-n'b（1+r）2vθ（1-3n）×g（(R)b（1- r） p2（1+r））1+O（n∨ 1 /√n）≥n（1+r）(R)be-n'b（1+r）2vθ（1+n）×g（'b（1- r） p2（1+r））1+O（n∨ 1 /√n）Ta ke vr'b='bv（r），使（1+1/4）/v（1/2）≤ 1/（2v（0）），然后对于δ>0足够小，则∏（|θ- θ*| ≤ δ|η（y））=oΠ|θ-\'b/2 |≤ δ|η（y）因为t存在c>0，所以z |θ|≤δe-n（(R)b+θ）2vθπ（θ）dθ≤ e-ncZ |θ-\'b/2|≤δe-n（(R)b+θ）2vθπ（θ）dθ。推论2Proof的证明。

该证明是定理1和|θ=θ结构的结果-^β{η（z）- η（y）}，和￠θ*= θ*- β{b（θ）*) - b} 。因此，我们在这里仅略述一下想法。Ta keδn≥ Mn（n- *) ≥ Mnv公司-1n。假设*> 0和kβk>0。定义Ohmd={y:kη（y）- 黑色≤ δn/u}对于某些u≥ 2（1+kβk）。根据定理1的结果，我们得到了e∏h|θ-~θ*| > δn | yi=∏h{θ：|Дθ-~θ*| > δn}∩ {θ : |θ -θ*| ≤ δn/u}| yi+oP（1）=R |θ-θ*|≤δn/u1lh |￠θ-~θ*| ≥ δniPθ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）R |θ-θ*|≤δn/上θ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）+oP（1），其中两个等式后接|θ的后验浓度-θ*| 速率δn>> v-10，n.与定理1相似的步骤yieldDn=Z |θ-θ*|≤δn/上θ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）&δDn，在[A1]的情况（i）或情况（ii）下。定义事件（δn）=n（z，θ）：{θ：|θ-~θ*| > δn}∩ {θ : |θ -θ*| ≤ δn/u}∩ {z:kη（z）- η（y）k≤ n}表示▄θ-~θ*=θ-θ*+ [^β - β]{b（θ）-b} +β- β]{b- η（y）}+[β- β]{η（z）- b（θ）}+[^β- β]{b（θ）- b（θ*)} + β{b- η（y）}+β{η（z）- b（θ）}+β{b（θ）- b（θ*)}对于y∈ Ohmd、 我们有δn<|Иθ-~θ*| ≤|θ-θ*| + k^β- βkkb（θ）- bk+k^β- βkkb- η（y）k+k^β- βkkη（z）-b（θ）k+k^β- βkkb（θ）- b（θ*)k+kβkkb- η（y）k+kβkkb（θ）- b（θ*)k+kβkkη（z）- b（θ）k≤δn/u+kβkδn/u+o（δn）+（o（δn）+kβk）kη（z）- b（θ）k+oPθ（1），其中最后一个不等式来自k^β- βk=oPθ（1）和浓度|θ- θ*| 速率δn>> v-1n。因此，以u为例≥ 2（1+kβk）并重新排列，得到0<δn2（O（δn）+kβk）<kη（z）- b（θ）k+o（δn）。这意味着pr[S（δn）]=Z{θ：|θ-θ*|≤δn/u}1lh |Иθ-~θ*| > δniPθ[kη（z）- η（y）k≤ n]d∏（θ）≤ZΘPθ[kη（Z）- b（θ）k>c·δn]d∏（θ）。（vnδn）-[A1]第（i）种情况下的κ。经验值(-cvτnδτn）在[A1]的情况（ii）下，回顾Dn和δDand，使用上述方法，结果类似于定理1。B附加计算例如1在本节中，我们将在正文中考虑示例1模拟练习的几个附加方面。

为了完整起见，我们现在回顾一下示例的一般特征。假设dDGP为z，zniid为N（θ，1），但实际DGP为y，yniid为N（θ，σ）。我们使用以下汇总统计数据进行ABC：o样本平均值η（y）=nPni=1yi，o样本方差η（y）=n-1Pni=1（yi-η（y））。我们的先验信念由θ给出~ N（0，25）。对于接受/拒绝ABC（ABC-AR），我们使用N=25000个根据zji生成iid的模拟伪数据集~ N（θj，1）。对于ABC A和局部线性回归平差（ABC Reg），我们将公差设置为模拟距离kη（y）的1%数量-η（zj）k.B.1示例1：ABC-AR和ABC Reg后验比较在本节中，我们使用与正文第1节示例1中进行的实验完全相同的数据，但是，我们现在分析ABC-AR和ABCReg的后验值。为清楚起见，我们简要回顾了本例中使用的蒙特卡罗设计的细节。生成一系列y的“观察”数据集，每个数据集对应不同的σ值。为了在整个实验中隔离σ6=1时发生的模型误判的影响，使用相同的随机数集生成观测数据。实验中的样本量a cro ssn=100。为了进一步隔离误判的影响，在所有实验中使用相同的伪数据实施ABC。第1节中的例子清楚地表明，ABC-AR和ABC-R eg后验者的行为非常不同，这取决于模型误判的程度。不出所料，ABC-AR和ABC Reg后验者本身在模型错误定义下表现出非常不同的行为模式。在图6中，我们绘制了从ABC-AR（图A）和ABC Reg（图B）中获得的p后验密度，这些密度跨越了实验中使用的与σ相关的不同数据集的子集∈ {1, 1.05, 1.10, . . .

, 5} .-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 30.51.52.53.54.5面板A-0.5 0.5 1 1.50.51.52.53.54.5面板B1.41.82.22.63.43.84.24.6图6:ABC-AR和ABC Reg的后验密度在不同模型误判水平上的比较。生成数据的真值为θ=1。后面的颜色是彩色的，因此较深的颜色表示模型误判较少（σ更接近统一），较浅的颜色表示模型误判程度更大（σ值更大）。通过分析图6中的面板A，我们可以看到，无论σ的值如何，ABC-AR后验概率都大致保持在θ=1附近的中心位置。然而，随着σ增加ABC-AR后验概率，观测数据中的额外可变性显著减弱。与ABC-AR相比，随着σ的增加，ABC Reg后验值的平均值（图6的面板B）发生了显著变化，并且ABC Reg后验值的可变性在所有误判水平上保持大致不变。因此，ABC-R eg完全忽略了观测数据的方差随σ增加而增加的事实。图7的结果进一步从视觉上证实了这一发现，图7绘制了实验中使用的σ不同值的ABC-AR和ABC Reg的相应95%可信区间（HPD区间）。图7中的结果表明，随着σ的增加，ABC-AR的可信区间扩大，以适应观测数据中增加的方差，而ABC-R eg的可信区间保持与σ增加大致相同的长度。0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 50.20.40.60.81.21.41.61.8HPD间隔：[.5,5]图7:ABC-AR和ABC Reg的可信间隔（HPD间隔）比较，跨越不同的模型误判水平。生成数据的真值为θ=1。

实线表示ABC-AR的HPD间隔，而虚线表示ABC Reg的HPD间隔。B、 2示例1：备选回归调整在本节中，我们进一步探讨了局部回归调整方法在误认下的行为。特别是，在示例1的定义中，我们将比较ABC-AR和三种不同的回归调整方法的重复采样行为：局部线性回归调整（ABC Reg），第3.2节中描述的拟议局部线性调整方法（ABC RegN），以及Blum和Fran,cois（2010）（ABC-NN）的局部非线性回归调整。对于每种回归调整方法，我们考虑两个版本：一个版本具有Blum和Fran,cois（2010）的异方差调整，另一个版本没有。总之，我们将比较六种不同的回归调整方法，这些方法适用于不同程度的模型错误规范。所有调整方法均使用R包abc进行（Csill'ery等人，2012年）。我们遵循主要论文第3.2节中考虑的蒙特卡罗设计：对于每个蒙特卡罗复制，我们模拟观测数据yi~ N（1，σ），iid，并考虑对应于σ的σ的三个不同值∈ {1, 2, 3}. 对于σ的每个值，我们生成1000个长度为n=100的人工观测数据集。每个ABC过程都依赖于根据zi生成的N=25000个伪数据集~ N（θ，1），iid，对于每种方法，公差选择为模拟距离kη（y）的1%分位数- η（z）k。与正文中一样，局部回归调整过程使用Epanechnikov核。在图8中，我们绘制了不同程序的后验平均值，包括σ值和蒙特卡罗复制值，没有异方差校正，图9中的结果考虑了异方差校正的情况。

虽然图8的结果已经在正文中给出，但我们在这里复制它们以简化比较。该实验的结果表明，在这种重复抽样的情况下，从回归调整程序中获得的点估计量比从ABC-AR中获得的点估计量显示出更大的可变性。此外，局部非线性回归调整似乎没有真正的好处。此外，异方差校正不会显著改变任何局部回归调整方法的行为。事实上，这两组结果在视觉上非常相似。AR RegN Reg NN0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3σ2=1AR RegN Reg NN0.6 0.8 1.0 1.2 1.4σ2=2AR RegN Reg NN0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0σ2=3图8：ABC-AR（AR）、局部线性回归调整（Reg）、建议局部线性回归调整（RegN）和局部非线性回归调整（NN）的后验平均值比较∈ {1, 2, 3}. 回想一下，σ=1对应于校正模型规格。所有绘图均无异常值。AR RegNC RegC NNC0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3σ2=1AR RegNC RegC NNC0.6 0.8 1.0 1.2 1.4σ2=2AR RegNC RegC NNC0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0σ2=3图9:ABC-AR（AR）的后验平均值比较，带异方差校正的局部线性回归调整（RegC），带异方差校正的局部线性回归调整（r egNC），以及对σ的三个单独值进行局部非线性回归平差，并进行异方差校正（NNC）：∈ {1, 2, 3}. 回想一下，σ=1对应于正确的模型规格。

所有结果均无异常值。在蒙特卡罗重复和每个ABC程序中，在表2中，我们给出了主题后验标准差、蒙特卡罗覆盖率、95%后验可信区间的中位数长度，以及2.5%和9.7.5%后验分位数（表示为重复的主题值）。在本实验中，我们比较了e中位数而不是均值，因为异方差校正回归调整方法返回了几个可能会使比较产生偏差的lar ge异常值。表2中的结果表明，在后验变异性方面，如通过标准差测量的，ABC-AR在所有设计中显示出最大的变异性。未经异方差校正的局部线性回归调整（ABC Reg、ABC RegN）的后验标准偏差在整个设计中几乎没有变化，而异方差校正局部线性方法（ABC RegC）的标准偏差实际上随着σ的增加而减少，即随着数据的变率增加。相反，无异方差校正的非线性回归平差（ABC-NN）的后验标准偏差随着σ的增加而增加，然而，校正版本（ABC-NNC）的后验标准偏差在整个设计中是稳定的。正如正文中所讨论的，相对于ABC-AR，局部回归平差具有较小的后验变量，这一事实会导致较小的可信集和错误的精度。

作为直接后果，当σ=2，3时，所有调整程序，无论是否进行异方差校正，都具有较差的蒙特卡罗覆盖率。总的来说，这些结果表明，至少在这种情况下，通过局部线性或局部非线性回归调整获得的结果之间没有显著差异。此外，异方差校正不会改善回归调整的行为，并且可能会加剧这些程序中观察到的覆盖率问题（例如，见表2中ABC RegC的结果）。最后，这些结果表明，我们提出的局部线性回归调整（ABC RegN）相对于其他局部回归调整（有或没有异方差校正）表现良好。表2：不同模型误判水平下正常示例的蒙特卡罗覆盖率（Cov）、可信集长度（Len）和后验标准差（Std）。Cov是95%可信集包含θ=1的百分比geof乘以。Len是蒙特卡罗试验中95%可信集的平均长度。Std是整个蒙特卡罗试验的中间值或标准偏差。

Q025代表不同方法中2.5%后验分位数的中位数（在重复数中），而Q975代表相应的97.5%分位数。σ=1 Cov Len Std Q025 Q975ABC-AR 0.982 0.461 0.120 0.770 1.234ABC-RegN 0.938 0.385 0.100 0.802 1.190ABC-Reg 0.941 0.3 82 0.100 0.811 1.192ABC-NN 0.950 0.385 0.100 0.811 1 1.194ABC-RegNC 0.938 0.389 0。100 0.802 1.193ABC-RegC 0.945 0.3 86 0.100 0.809 1.197ABC-NNC 0.941 0.384 0.101 0.808 1.200σ=2 Cov Len Std Q025 Q975ABC-AR 0.961 0.6 14 0.158 0.698 1.310ABC-RegN 0.802 0.383 0.100 0.809 1.194ABC-Reg 0.717 0.3 82 0.100 0.818 1.200ABC-NN 0.729 0.428 0.113 0.766 1.204ABC-RegNC 0.809 0.387 0。100 0.805 1.194ABC-RegC 0.645 0.3 61 0.094 0.791 1.223ABC-NNC 0.636 0.383 0.100 0.773 1.201σ=3 Cov Len Std Q025 Q975ABC-AR 0.913 0.6 13 0.157 0.694 1.311ABC-RegN 0.707 0.383 0.099 0.816 1.195ABC-Reg 0.460 0.81 0.100 0.791 1 1 1.180ABC-NN 0.419 0.479 0.128 0.632 1.137ABC-RegNC 0.708 0.386 0。100 0.811 1.199ABC-RegC 0.462 0.2 61 0.069 0.700 1.249ABC-NNC 0.409 0.383 0.101 0.624 1.171C附加示例：错误指定的g-and-k模型为了进一步证明不同ABC方法在模型错误指定下的行为，我们考虑基于g-and-k分布的附加示例，这是ABC文献中经常使用的一个例子，用于比较不同ABC方法的行为（参见Drovandi和Pettitt，2011，Fearnhead和Prangle，2012，以及Bernton et al.，2019）。g-andk模型最常见的表述是通过它的分位数函数：q∈ (0, 1) 7→ a+b1 + 0.81 - 经验值(-gz（q）1+经验(-gz（q）1+z（q）kz（q），其中z（q）表示标准正态分布的第q个分位数。g和k分布的四个参数有特定的解释。参数a表示位置，b表示刻度，而g和k分别控制偏度和峰度。

继Drovandi和Pettitt（2011）之后，我们考虑了以下关于参数的先验知识a~ U【0，10】，b~ U【0，10】，g~ U[0，1 0]b~ U[0，10]，其中U[0，1]表示[0，1]上的统一rm分布。g-and-k模型中基于ABC的推理通常使用模拟和观测数据的分位数进行。因此，在下文中，我们将数据的八位字节作为我们的汇总统计数据：oηj（y）=Oj（y），对于1，7，其中（O，…，O）将数据分成八个相等的部分。g-and-k分布是一类高度灵活的分布，能够用复杂的无条件分布建模数据。虽然高度灵活，但g和k分布是单峰的，无法捕获数据中可能存在的多模态。在本节中，我们比较了当基本假设数据来自g-and-k分布时，不同基于ABC的程序的行为，但当观测到的数据实际上是从具有次要双峰的分布生成时。特别是，我们从高斯混合中生成观测数据iid~ w·N（u，σ）+（1- w） ·N（u，σ）。（20） 在下文中，我们将方程式（20）中的参数固定为（u，σ）= (1, 2), (u, σ)= (7, 2), w=0.9。该DGP产生的观测数据显示出正偏度和过度峰度，这是因为密度在数据的右尾显示出一个较小的“驼峰”。选择该规范是为了在观测数据中生成较小的双峰，这是g-and-k模型无法捕捉到的特征。

为了便于说明，图10给出了从该混合模型模拟的大小为n=100的代表性数据集的核密度。-6.-4.-2 0 2 4 6 8 10 120.10.2 ykernel密度：y~ 0.90·N（1，2）+0.10·N（7，2）图10：方程式（20）中DGP模拟数据的欧内斯密度。C、 1蒙特卡罗实验与本文中的示例1相似，我们现在比较ABC-AR和各种局部ABC回归调整的行为。特别是，我们考虑以下局部回归调整：ABC-R eg（标准加权局部线性调整，Beaumont et al.，2002），ABC RegN（我们的加权局部线性调整）和ABC-NN（使用神经网络的局部非线性回归调整，Blum和Fran,cois，2010）。根据方程式（20）中的DGP，我们对观测数据y模拟n=100个观测值。正如正文中的示例1一样，每个ABC程序基于n=25000个模拟图，其中公差选择为总模拟距离的1%分位数。对于ABC-AR，我们使用欧几里德范式。图11绘制了代表性实验中g和k分布四个参数的不同ABC方法的后验值。0.9 0 .92 0.94bRegN1.28 1.3 1.321.341.36aRegN-1 0 1 2 30.20.40.6aAR0 2 40.20.40.60.8bAR-5 0 5 10 152 · 10-24 · 10-26 · 10-28 · 10-20.1加仑-50.10.20.3灰色-15-10-50.10.20.3gReg1.36 1.38 1.4bReg1.61.621.641.661.681.7aReg0.5 1 1.5 2 2.50.51.5aNN0.5 1 1.5 2 2 2 2.5bNN-10-5 00.20.40.60.8gNN0 2 4 6kNN0 50.20.40.60.8kReg0 50.20.40.6kRegN0 5 100.20.40.6KAR图11:g-and-k模型中各种ABC程序的后验比较，当公式（20）给出trueDGP时。分析图11，三个特征立即显现出来。

首先，对于大多数ABC过程，以及几乎所有参数，后验概率都是非高斯的（如正文中定理2的结果所示）。其次，在各个参数中，不同的ABC程序产生具有非常不同行为的后验概率，这反映了示例1中观察到的结果。如前所述，这种行为是公认的ABC-AR图纸局部回归调整转换的直接结果。第三，对于G参数，局部回归后验概率将显著质量置于原始先验空间之外，即U[0，10]。类似地，对于参数k，这些程序会产生一些k的负值。考虑到实际的gP和假设的g-and-k分布之间不匹配的特殊性质，后一个特征很麻烦。特别是，实际GP中的理论矩表明，粒子偏度大于1.5，剩余峰度接近3。回顾g和k分布中的偏度和峰度分别由g和k控制，我们知道g>0与正偏度相关，k<0与小于正态分布的kurto sis相关。有鉴于此，图11的结果表明，局部回归调整程序可以将显著的后质量置于g<0，即使观察数据总是正偏斜。类似地，这些程序可以在k<0时放置一些正的后部质量，即使观察到的数据显示正的过度峰度。在局部回归调整中观察到的这些行为完全是因为这些方法在调整可接受的绘图时忽略了参数空间的性质，因此可以将后部质量转移到原始参数空间之外。

因此，在本例中，局部回归调整方法可能会产生与观测数据不兼容的g（以及较小程度的k）的显著后验masson值。与例1中得出的结论类似，局部回归调整的这种行为不是任何特定数据集的特征，而是在不同数据集之间持续存在的。为了证明这一事实，我们模拟了方程式（20）中真实DGP的1000次复制，并在这些观测数据集上重新运行每个ABC过程。在整个复制过程中，对于每个不同的ABC程序，我们记录了g和k分布中每个参数的后验平均值、标准偏差以及95%可信区域的长度，我们通过每个参数后验值的相应2.5 a和97.5分位数进行计算。在表3中，我们给出了这些复制结果的平均值。为了帮助解释表3中的结果，在讨论结果之前，我们首先计算伪真值θ*= arg最小θ∈Θkb- b（θ）k，其中我们提醒读者，bis是η（y）的概率极限，由观测数据的八进制数给出，b（θ）是η（z）的概率极限，对应于模拟数据的八进制数。为了获得这个伪真值，我们必须首先计算b，高斯混合分布的人口八位数。高斯混合的分位数函数没有闭合形式，但分位数以及b的值可以通过数值转换高斯混合的相应CDF来获得。给出b的值，以及g和k分布的分位数具有解析形式的fa ct，根据标准正态分位数函数，我们可以数值求解θ=（a，b，g，k）最大限度地减少KB-b（θ）k。

使用这种方法，在这种特殊蒙特卡罗设计下的伪真值由θ给出*= （a）*, b*, g级*, k*)= (1.17 , 1.50, 0.41, 0.23 ). （21）θ的这个值*对应于正偏态和峰度大于正态分布的g-and-k分布。因此，正如人们所希望的那样，伪真值反映了真实DGP的实际特征，即正偏度和过度峰度。利用这个伪真值，我们还计算了不同ABC过程的蒙特卡罗覆盖率，我们也在表3中显示了这一覆盖率。表3：接受/拒绝ABC（AR）、局部线性回归调整ABC（Reg）的后验总结，见Beaumont et al.（2002），我们提出的局部线性回归调整ABC（RegN）和基于神经网络的局部非线性回归调整（NN），见Blum a和Fran,cois（2010）。

Mean是平均后验平均值，Std是平均后验标准差，Lent是95%可信集的平均长度，Cov是使用（21）中定义的伪真值计算的蒙特卡罗覆盖率，Q025和Q975是后验分位数的平均值（在蒙特卡罗复制中）2.5%和97.5%。a AR RegN Reg NN b AR RegN Reg NNMean 1.1190 1.1568 1.2060 1.1862 Mean 0.8961 1.0143 1.6342 1.668 5Std 0.6564 0.027 0.0031 0.1333 Std 0.7114 0.0104 0.0113 0.0994 Len 2.2517 0.0112 0.0125 0.4893 Len 2.5380 0.0414 0.04 39 0.3914Cov 1.0000 0.0180 0.014 0 0 0.5110 Cov 0.9990 0 0.1730 0 20 0.56 00Q025 0.0831 1.1509 1.19 93 0.9419 Q025 0.0478 0.9940 1.6119 1.5326Q975 2.3349 1.1621 1 1.21 18 1.4312 Q9752.5858 1.0354 1.6558 1.9240g AR RegN Reg NN k AR RegN Reg NNMean 4.7758 5.3310 0.8639 0.3707平均1.5321 2.1790 0.7973 0.388 9Std 2.9404 1.5 265 1.4632 0.7212 Std 1.4145 0.9426 0.7810 0.3866 Len 9.4511 6.1010 5.8798 2.9902 Len 5.1661 3.8949 3.28 41 1.5546Cov 0.8900 0.3380 0.632 0 0.6870 Cov 1.0000 0.5760 0.8420 0.80 60Q025 0.2484 2.4728-1.7755-0.9119 Q025 0.051 0.3648-0.6637-0.3487Q9759.6995 8.5738 4.10 43 2.0783 Q975 5.2171 4.2597 2.6204 1.2059分析表3中的结果，我们发现所有程序都对位置参数a给出了相对准确的点估计。然而，不同ABC程序中，其参数的蒙特卡罗覆盖率差异很大，这反映了局部回归调整方法的极小后验标准偏差。对于比例参数b，也有类似的情况。

也就是说，所有过程都给出了与伪真值b相差不大的点估计量*= 1.5然而，局部调整程序的后验标准差很小，导致严重的覆盖不足。对于参数g，不同的ABC程序具有非常不同的后验行为。最显著的特点是，虽然局部线性平差（Reg）和非线性平差（NN）的平均后验均值与伪真值相差不远，但g*= 0.41，两种手术均将大量后部肿块置于g<0。我们记得，trueDGP是这样的，即观测数据总是具有正偏度。控制g和k分布峰度的参数k的结果与参数g的结果相似。即，局部线性和非线性回归调整通常给出更接近k伪真值的点估计*≈ 0.23与其他ABC程序相比，其他方法在k<0时放置不可忽略的后质量。这种行为显然与观察到的数据不一致：k<0的值意味着观察到的da ta表现出比正常值小的峰度。正如主要论文推论2所示，这种行为是模型误判和局部回归调整性质的直接后果。

本质上，通过分析这些程序中的2.5%和97.5%分位数可以看出这一点。模型错误，这些调整过程可被视为采用公认的图纸，其渐进地产生观测和模拟总结之间的最小距离，并根据不尊重这些图纸原始最优性的标准对其进行扰动。鉴于本例中局部回归调整的行为，以及正文中示例1的结果，我们建议研究人员在模型可能存在误判的情况下，以健康的怀疑态度对待局部回归调整ABC程序的输出。