波动溢出和重尾：一个大t向量自回归模型

2022-6-1 05:24:04

波动溢出和重尾：一种大t向量自回归方法Luca Baraglia*, Christophe Crouxa和Ines Wilmsa，美国伊萨卡BelgiumcCornell大学KU Leuven经济与商业学院，美国文摘。波动率是财务分析中衡量风险的关键指标。今天一项金融资产的高波动性可能会影响明天另一项资产的波动性。我们使用向量自回归（VAR）模型研究了波动率之间的这些滞后效应，我们称之为波动率溢出。我们使用一个VAR模型来解释VAR模型误差的可能厚尾分布，该模型误差遵循一个具有未知自由度的多变量学生t分布。此外，我们还研究了大量资产的波动溢出。为此，我们使用带有t分布误差的VAR模型的惩罚估计。我们研究了能源、生物燃料和农产品之间的波动溢出，揭示了能源和生物燃料之间以及能源和农产品之间的双向波动溢出。关键词：商品，预测，多元t分布，向量自回归模型，波动溢出。JEL分类：C58、C32、Q02*通讯作者：卢卡。barbaglia@kuleuven.be1金融市场分析师和投资者密切关注金融资产收益的波动性。由于波动性是一种风险度量，从事投资组合管理的分析师有兴趣更好地了解其投资组合中金融资产的波动性，以尽量减少未来潜在损失的风险敞口。了解今天一项金融资产的高波动性是否会导致明天另一项资产的高波动性，可以成为减少这种风险敞口的关键信息。

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2022-6-1 05:24:07

我们关注波动性之间的这些滞后效应，并将其称为波动性溢出。我们调查了能源、生物燃料和农产品之间波动溢出的存在性（见Serra和Zilberman，2013年，以及其中的参考文献）。金融分析师和投资者对商品市场非常感兴趣，他们将商品市场用于风险对冲或作为替代投资领域。近年来，大宗商品市场的大量金融交易导致人们脱离了简单的供求动态。这使得分析师很难描述波动性的波动，而波动性又是经济基本面反复出现的。此外，大宗商品市场因其性质而波动：政策变化、自然灾害或技术突破可能会导致意外的高波动期。传统上，能源市场的高波动性将通过能源密集型农业投入（如燃料和肥料）对农产品的波动性产生单向影响。生物生产的出现改变了能源和农产品之间的联系，因为某些作物同时代表粮食、原料和燃料来源。因此，能源、生物燃料和农产品之间波动溢出的联合建模是相关的，因为这可能会改进传统的风险管理工具，并导致更好地评估生物燃料支持政策（Serra，2011）。我们遵循Diebold和Yilmaz（2015）的观点，使用向量自回归（VAR）模型分析波动溢出。首先，我们获得了波动性的度量（例如，见Martens和van Dick，2007或McAlierand Medeiros，2008）。然后，我们考虑了一个包含对数转换挥发物作为时间序列的VAR模型来估计溢出。

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2022-6-1 05:24:10

该程序已在许多实证应用中使用，但仍存在两个主要问题：（i）VAR的标准估计程序没有考虑到厚尾误差，因此也没有考虑到波动率序列中频繁出现的极端观测值（如Callot et al.，2017），以及，（ii）VAR模型中的时间序列数量有限，因为待估计的参数数量随时间序列数量的增加而二次增加（Diebold和Yilmaz，2015，p183）。最近几篇论文提出了估算大型VAR模型的方法，即包含大量时间序列相对于时间序列长度的模型（例如Basu和Michailidis，2015；Davis等人，2016；Gelper等人，2016；Barigozzi和Hallin，2017；Derimer等人，2017）。然而，大型VARmodels对厚尾错误的扩展尚未得到解决。有人认为，对数挥发率近似正常（Diebold和Yilmaz，2015年，第18页），这得到了经验证据（如Andersen等人，2001年）和渐近理论（Barndor Off-Nielsen和Shephard，2002年）的支持。然而，随后的研究强调，在实践中，这可能并不适用于所有波动性度量。考虑到已实现的方差，Corsi et al.（2008）和Hassler et al.（2016）强调，基于5min日内收益率的标准普尔500指数对数波动率显示出与高斯分布的偏差。考虑到实现范围，Christensen et al.（2009）证明对数波动率遵循混合多元正态分布，Caporin和Velo（2015）表明对数波动率具有比正态分布更大的尾部。因此，为VAR模型的误差指定更一般的分布是适当的。我们使用大型t-VAR估计方法分析波动溢出。

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2022-6-1 05:24:14

为此，我们依赖Diebold和Yilmaz（2015）的工作，但我们（i）使用了具有t分布误差的VAR模型。我们估计了t分布的自由度，与之前将其固定的研究相比（如FransesandLucas，1998；Finegold和Drton，2011）。因此，我们以数据驱动的方式确定变量残差的厚尾程度。（ii）我们考虑相对于时间序列长度包含大量时间序列的大型t-VAR模型。为了确保这一大型VAR模型的估计是可行的，我们本着Lasso（Tibshirani，1996）的精神使用VAR模型的惩罚估计量，并将其称为thet Lasso。正如我们的模拟研究所证实的那样，t-Lasso在存在厚尾误差的情况下比其他标准估计量具有更高的估计和预测精度。商品分析的结果揭示了VAR创新的厚尾性，因为t分布的估计自由度非常低。事实证明，解释这种厚尾性的t-Lasso估计器提高了预测精度。在我们的商品分析中，我们发现了能源和生物燃料之间的波动性溢出。在能源商品中，大部分波动溢出涉及汽油，汽油通常与乙醇混合用于消费。此外，我们观察到能源和农业之间的波动溢出，无论这些作物是否可用于生物燃料生产。我们还发现了生物燃料和可作为生物燃料生产投入的农产品之间的双向波动溢出。在能源价格较低、生物燃料投资不太有利的情况下，这些波动溢出效应并未出现。本文的其余部分结构如下。第2节回顾了VAR模型，并介绍了相应的t-Lasso估计量。

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2022-6-1 05:24:17

第3节概述了算法。第四部分的仿真研究表明，该估计器具有良好的性能。第5节介绍了数据、波动性溢出的定义以及将其可视化的网络分析工具。第6节介绍了波动溢出分析的结果。最后，第7节得出结论。2模型和估计器1的对数波动率的J维向量≤ t型≤ T，T为时间序列长度。我们对波动率进行对数变换，以确保波动率预测的积极性（例如Callot et al.，2017）。我们考虑对数挥发率yt=PXp=1Bpyt的P阶平稳VAR-p+et，（1）其中bps是lags 1的自回归系数的J×J矩阵≤ p≤ P，etis是均值为零且协方差矩阵∑的误差项的J维向量。在不丧失一般性的情况下，我们假设所有对数波动率时间序列均以均值为中心，因此不包括截距。为了便于记法，我们以矩阵形式Y=XB+E重写模型（1），其中N×J矩阵Y=[yP+1，…，yT]，N=T- P设X=[X，…，XP]为滞后时间序列的N×jp矩阵，其中XP=[yP+1-p年初至今-p] 是1的N×J矩阵≤ p≤ P最后，自回归系数的JP×J矩阵是B=[B，…，BP]，E是N×J误差矩阵。在接下来的小节中，我们首先回顾了高斯VAR模型的惩罚估计量，然后介绍了带有学生t误差的VAR模型的惩罚估计量。为此，我们基于Finegold和Drton（2011）提出的稀疏图形模型的tLasso估计器。

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2022-6-1 05:24:19

我们扩展了Finegold和Drton（2011）的方法：（i）允许t分布的未知自由度（ii）通过在逆协方差矩阵上添加惩罚，确保估计量在任何维度上的存在（iii）扩展其对VAR模型响应之间相互依赖性的静态框架。2.1高斯创新假设误差项Et服从多元正态分布N（0，∑）。考虑以下BbB=argminB2Ntr[（Y）的惩罚最小二乘估计量- XB）（Y）- XB）]+λJXi，j=1PXp=1 | Bp，ij |，（2）其中tr（·）是跟踪运算符，λ>0是与[Bp]ij=Bp，ij表示的Bp的ijthentry上的l-惩罚相关的正则化参数（Hasteeet al.，2015，p8）。这种惩罚确保即使参数数量超过时间序列长度，B的估计也是可行的。此外，它将BB的某些元素精确地设置为零。正则化参数λ越大，sparserbB，即其元素越多，正好为零。根据Rothman et al.（2010），我们通过包含反向误差协方差矩阵的估计来解释相关误差Ohm = Σ-为此，我们转向最大似然框架，共同估计B和Ohm 通过最小化负对数似然：（bB，bOhm) = argminB，Ohm2Ntr[（Y- XB）Ohm（Y）- XB）]-日志|Ohm| + λJXi，j=1xp=1 | Bp，ij |+γJXi6=j |ωij |，（3）其中ωij是Ohm, γ>0是与逆误差协方差矩阵的对角元素的l-惩罚相关的正则化参数（Friedman et al.，2008）。此l-惩罚确保Ohm 即使参数数量超过时间序列长度，也是可行的。此外，它还设置了B的一些元素Ohm 归零。

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2022-6-1 05:24:22

正则化参数γ越大，sparserbOhm.我们将（3）中的估计量称为高斯套索。2.2学生t-创新我们偏离正态性假设，假设误差项按照多变量t分布tν（0，ψ）分布，其中ν>0是自由度，ψ是尺度矩阵，相关方差协方差矩阵∑=ψ/（ν）- 2）如果ν>2。关联的密度函数由Γ（（ν+J）/2）给出|Ohm|1/2（πν）J/2Γ（ν/2）[1+etOhm et/ν]（ν+J）/2，（4）带Ohm = Ψ-1（Kotz和Nadarajah，2004年，第1页）。回想一下，J是时间序列的维数。学生t分布的随机向量Et可以写成φtandτt的高斯尺度混合（例如Kotz和Nadarajah，2004，p2）。这里φ是一个J维随机向量，以多变量N（0，ψ）的形式分布，与随机变量τt以伽马Γ（ν/2，ν/2）的形式分布无关。然后et=φt/√τt服从t-分布tν（0，ψ）。可以证明ethas是一个正态条件分布|τt~ N0，ψτt（5）和τt | et~ Γν+J，ν+etOhm et公司. （6）伽马分布的参数分别是形状和比例参数。根据伽马分布的性质[τt | et]=ν+Jν+etOhm 等。（7）B和Ohm 定义如（3）所示，用（4）中给出的t密度代替高斯分布，并保留惩罚项。我们称之为t-套索估计量。3算法我们首先假设自由度ν已知，然后讨论EM（期望最大化）算法，以获得t-Lasso估计量，遵循Finegold和Drton（2011）的图形模型。然而，实际上，ν未知，需要估计。为此，我们使用ECM（ExpectationConditional Maximization）算法来包含ν的估计（Liu和Rubin，1995）。

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2022-6-1 05:24:25

算法的代码可以在作者的网站上找到。3.1已知ν的EM算法我们将τtas视为一个隐藏变量，并希望估计B和Ohm. 在E步骤中，我们根据（7）计算隐藏变量的条件期望。这些期望值放在anN×N对角矩阵τ的对角线上。在M步中，我们解决了优化问题（bB，bOhm |τ）=argminB，Ohm2Ntr[τ（Y-XB）Ohm （Y）- XB）]-日志|Ohm| + λJXi，j=1xp=1 | Bp，ij |+γJXi6=j |ωij |，（8），其中使用给定隐藏变量的误差项的条件正态性（5）。该M步恰好对应于加权观测值的求解问题（3）。算法1给出了THEM算法的细节。3.2具有未知ν的ECM算法对于未知自由度ν，M步被两个约束最大化（CM）步骤代替，其中第一个（B，Ohm) 然后估算ν。在每个CM步骤之前引入E步骤，以便在每次迭代中估计两次权重。该结果是EM算法的多周期版本。以t=1，…，的潜变量τt为条件，N，参数B的对数似然，Ohm 忽略常数，ν为：L（B，Ohm, ν|τ）=LN（B，Ohm|τ）+LG（ν|τ），（9），其中LN（B，Ohm|τ）是（8）中的目标函数，lg（ν|τ）=-N logΓ（ν）+Nνlog（ν）+νNXt=1（log（τt）- τt）。（10）给定B和Ohm, 假设t=1的潜变量τtf，N，我们优化（10）并获得ν作为- ν（ν）+log（ν）+NNXt=1（log（τt）- τt）+1=0，（11）算法1 t-Lasso，已知ν：期望最大化（EM）输入Y，X，自由度ν和期望精度ε。初始化BOhm（0）=IJ，bB（0）p=IJ，对于1≤ p≤ P和e（0）t t Y的t箭头- XbB（0）。迭代对m=0、1、2、…，重复以下步骤：t=1时的E步计算。

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2022-6-1 05:24:28

，N权重bτt（m+1）=ν+Jν+（e（m）t）bOhm（m） e（m）t.m步计算b（m+1）和bOhm（m+1）使用附录A中的算法A，输入Y=bτ*（m+1）Y，X=bτ*（m+1）X.这里，bτ*（m+1）是具有bτ（m+1）的平方根的对角线矩阵，对于t=1，N设e（m+1）t为Y的t方向- XbB（m+1）。收敛迭代，直到（8）中目标函数值在两次连续迭代中的相对变化小于ε。输出bB=bB（m+1）和BOhm =bOhm（m+1）。式中，Д（·）是对数伽马函数的导数。然而，在实践中未观察到τ。因此，我们替换术语Pnt=1（log（τt）- τt）及其期望值（Liu和Rubin，1995）E[NXt=1（log（τt）- τt）| B，Ohm, ν] =NNXt=1（对数（bτt）- bτt）+Nφν+J- 日志ν+J, （12）其中，我们使用（6），其中bτt按（7）计算。我们在（11）中替换（12），并估计ν为- ν（ν）+log（ν）+NNXt=1（log（bτt）- bτt）+1+Nφν+J- 日志ν+J= 0。（13）算法2给出了完整的ECM算法。4模拟我们分析t-Lasso的性能，计算如第3节所述。我们使用具有固定自由度（真实值）和估计自由度的t-Lassow。它们的性能与两种替代估计器进行了比较：最小二乘法（LS）和高斯套索，即方程（3）的解。LS是标准的非惩罚估计量，高斯套索是高斯模型的基准。算法2具有未知ν的t-Lasso：期望条件最大化（ECM）输入Y、X和期望精度ε。初始化BOhm（0）=IJ，bB（0）p=IJ，对于1≤ p≤ P，e（0）t t Y的箭头- XbB（0）和bν（0）=1000。迭代对m=0、1、2、…，重复以下步骤：E-步骤1计算t=1，N权重：bτt（m+）=bν（m）+Jbν（m）+（e（m）t）bOhm（m） e（m）t.CM-步骤1计算b（m+1）和bOhm（m+1）使用算法A，输入Y=bτ*（m+）Y，X=bτ*（m+）X。

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2022-6-1 05:24:31

这里，bτ*（m+）是对角线矩阵，其对角线上的bτ（m+）的平方根，对于t=1，N、设e（m+1）t为Y的t方向- XbB（m+1）。E-步骤2计算t=1，N权重：bτt（m+1）=bν（m）+Jbν（m）+（e（m+1）t）bOhm（m+1）e（m+1）t.CM-步骤2使用一维搜索最小化（13）计算bν（m+1）。收敛迭代，直到（8）中目标函数值在两次连续迭代中的相对变化小于ε。输出bB=bB（m+1），bOhm =bOhm（m+1）和bν=bν（m+1）。数据生成过程。我们从阶数为P=2的VAR和J=10的时间序列进行模拟。VAR的维度与第5节中讨论的应用程序中的维度一致。数据生成过程为：yt=Byt-1+Byt-2+et，用于P+1≤ t型≤ T=100。自回归系数矩阵以结构化的方式高度稀疏：在主对角线和第一行上，B带具有相同的稀疏结构，非零元素（B带为0.4，B带为0.2）。误差项Et在多元Student tν（0，ψ）之后，带有ν∈{1, 2, 3, 5, 10, ∞}. 在特殊情况下，ν=1，分布为多元Cauchy分布，其中→ ∞ 分布为多元正态分布。ψ的ijthentry为ψi，j=0.1 | i-j |，使得逆误差协方差矩阵Ohm 是带矩阵。我们采用S=1000次模拟运行。表1：四个估计器和不同自由度的平均绝对估计误差ν。νLS Gaussian t-LassoLassoνfixedν估计值1 0.638 0.187 0.088 0.0892 0.135 0.096 0.088 0.0883 0.107 0.090 0.088 0.0895 0.098 0.090 0.088 0.08910 0.095 0.091 0.089 0.090∞ 0.093 0.091 0.091 0.091性能度量。

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2022-6-1 05:24:34

比较了不同估计量的估计精度。为了评估估计精度，我们使用平均绝对估计误差maee（B，bB）=SP JSXS=1JXi，j=1ppp=1 | bB（s）p，ij- B（s）p，ij |，其中BB（s）p，ij是估算BB（s）引脚模拟运行s的ijthentry。模拟结果。表1报告了四个估计器的MAEE以及真实自由度ν的不同值。ν固定在真值的t型套索总是达到最佳MAEE。紧随其后的是估计出ν的t-套索。在计算ν时，估计精度没有显著损失。两种t-Lasso估值器的表现均明显优于高斯Lasso（估计精度的差异通过配对t检验进行检验，所有p值均<0.01）。例如，对于ν=1和ν=2，估计精度的提高分别为53%和9%。对于较大的自由度，thet Lasso估计优于Gaussian Lasso的幅度会减小。特别是对于ν=∞ t-Lasso估计量和高斯Lasso估计量之间没有显著差异。实际上，作为ν→ ∞, 多元t分布可以看作是多元正态分布的近似值。Lasso估计器在ν的所有值上也显著优于LS：例如，当ν=3时，它们提高了估计精度18%。考虑到时间序列的长度，最小二乘法需要估计大量参数。最后，图1显示了不同设置下t-Lasso估计自由度的频率ν∈ {1, 2, 3, 10}. 估计的自由度以truevalue（垂直红线）为中心。平均（所有模拟运行的平均）估计自由度为0.94（对于ν=1）、2.10（对于ν=2）、3.16（对于ν=3）和11.14（ν=10）。

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2022-6-1 05:24:38

ν值越大，估计自由度的方差越大。我们的结论是，自由度是相当准确的估计。ν=1估计自由度频率0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.00 0.05 0.10 0.15 0.20ν=2估计自由度频率1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.50.00 0.05 0.10 0.15 0.20ν=3估计自由度频率2 50.0 0 0.1 0.2 0.3ν=10估计自由度频率0 10 20 30 40 500.0 0.1 0.2 0.3 0.4图1：估计自由度的频率，用于在模拟研究中设置ν=1、2、3、10。自由度的真实值由垂直红线（灰阶上的深灰色）表示。表2：汤森路透Eikon对未来延续1商品的变量描述。标签商品描述CRUO原油NYMEX轻质低硫原油（WTI）复合能源GASO汽油RBc1 NYMEX RBOB汽油复合能源天然气NGc1 NYMEX Henry Hub天然气复合能源乙醇CBoT变性燃料乙醇电子能源玉米Cc1 CBoT玉米复合商品小麦Wc1 CBoT小麦复合商品大豆Sc1 CBoT大豆综合商品Suga Sugar ICE-US Sugar No.11 Futures Electronic CommodityCOTT Cotton ICE-US Cotton No.2 Futures Electronic CommodityCoffee KCc1 ICE-US Co ffee C Futures Electronic Commodity5数据和波动性溢出分析在本节中，我们首先展示数据。然后，我们基于预测误差方差分解定义波动溢出。最后，我们提供了一个网络分析工具，用于可视化这些波动溢出。5.1数据我们研究J=10种农业（玉米、小麦、大豆、糖、棉花、玉米）、能源（原油、汽油、天然气）和生物燃料（乙醇）商品。

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2022-6-1 05:24:41

我们使用有关在相应期货市场交易的最接近到期合约的开盘价、最高价和最低价的每日信息。汤森路透Eikon上有相关数据。时间跨度为2012年1月3日至2016年10月28日，因此T=1070个每日观测值。表2报告了每个变量的标签和描述。我们使用Parkinson（1980）提出的已实现每日高-低范围获得了单变量波动率度量，更多详情请参见附录B。我们使用Levin等人（2002）的单变量单位根检验和汇总单位根检验检查估计波动率的平稳性，并找到支持平稳性的有力证据（p值<0.01）。其次，我们在2012-2016年期间采用滚动窗口，窗口大小W=220天。在每个时间点t=W，T，我们估计了一个VAR（P）模型，其中P是使用贝叶斯信息准则BIC选择的，用于时间窗口T中日期的对数波动率- W+1直到t。我们假设误差项遵循多元t分布，并使用tLasso估计自由度。然后，我们基于预测误差方差分解研究波动溢出，如下小节所述。5.2溢出指标我们通过广义预测误差方差分解计算波动溢出，取代Diebold和Yilmaz（2015）的定义。考虑模型（1）yt中VAR（P）的向量移动平均（VMA）表示=∞Xp=0θpet-p、其中θpis是滞后p处的移动平均系数矩阵（cfr.Wold表示定理，L¨utkepohl，2005，p25）。Letbyt+hbe在时间t和预测地平线h对时间t+h进行h步超前预测。然后，ytisbyt+h的jthcomponent的h步超前预测误差，j- yt+h，j=h-1Xp=0θp，j1et+h-p、 1+。

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2022-6-1 05:24:44

+θp，jJet+h-p、 J，（14）式中，et，jis是et的jthcomponent，θp，jk是θp的jkthentry。如果给出了et的脉冲，kof大小为一个标准偏差，则误差项的期望值等于（et | et，k=√σkk）=∑δk√σkk，（15），其中σkk是∑的kkthentry，δkis是长度J的选择向量，单位条目作为其k元素，其他地方为零。方程（15）定义了广义脉冲，如Pesaran和Shin（1998）所述，响应向量θp∑δk/√σkk，对于p=1，P需要注意的是，（15）不仅适用于正态分布，也适用于t分布（如Ding，2016）。如果ν≤ 2且t分布的协方差矩阵不存在，则应将∑in（15）替换为ψ尺度矩阵。然后，将h步超前方差分解矩阵的jkthentry定义为wh，jk=σ-1公里/小时-1p=0（δjθp∑δk）Ph-1p=0δjθp∑θpδj.（16）这是由VAR变量k中的方差所占的h步超前预测误差（14）方差的比例。请注意，（16）的分母等于（14）的方差，（16）的分子是响应向量的平方JTH分量。由于误差项分量不是正交的，一般来说，jk=1wh，jk6=1。我们考虑了归一化方差分解~wh，jk=wh，jkPJk=1wh，jk，其通过构造在区间[0，1]内。上述归一化方差分解对应于Lanne和Nyberg（2016）提出的广义方差分解。商品k对商品j的波动溢出定义为k→j=100* wh，jk。（17）波动溢出指数由h=JXj6=kj，k=1sh，k给出→j、（18）作为整体波动性溢出的单一衡量指标和波动性溢出幅度的总体代表。

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2022-6-1 05:24:47

在其余部分中，我们取h=5，这与一个工作周重合（Bub\'ak等人，2011）。5.3网络分析我们使用网络分析工具（例如Diebold和Yilmaz，2015；Hautschet al.，2015）对波动溢出进行可视化。网络中的节点是不同的商品。如果sh，k，则绘制从商品k到商品j的边→方程式（17）中的j为非零；边缘宽度表示波动溢出的大小。因此，我们的网络是定向和加权的，但不一定是稀疏的。实际上，在估计的VMA系数矩阵Bθ中，B的稀疏性并不一定保持不变。因此，网络将描绘出许多非零波动溢出，因此包含许多边缘，尽管其中许多可能非常小。因此，为了更好地可视化，我们给出了仅代表15%最大波动溢出的网络。6结果在本节中，我们首先介绍了估计自由度和挥发度溢出的时间演变（cfr第5.1节）。其次，我们描绘了显示波动溢出的网络（cfr第5.3节）。最后，我们展示了t-Lasso在预测精度方面的良好性能。6.1滚动窗口分析估计自由度。图2报告了VAR残差在每个时间点t的多变量分布的估计自由度，t是每个时间窗口的终点。bν的平均值为1.57，最大值为1.80，最小值为1.43。总的来说，我们观察到自由度的估计值非常低。这证实了重尾的存在，并证明了t型套索比高斯套索更适合使用。如果我们观察bν随时间的演变，我们会发现在2014年下半年至2015年上半年之间结束的时间窗口内，估计自由度的值较低。

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2022-6-1 05:24:50

2014年下半年，大宗商品市场波动较大，主要受原油价格下跌近50%的推动（Knittel和Pindyck，2016）。bν值越小，表明变量创新中的极端实现越明显，反映出商品市场的不可预测行为。2013 2014 2015 20161.2 1.4 1.6 1.8 2.0时间估计自由度图2:t-Lassofor 220天滚动窗口下VAR残差多元t分布的估计自由度。x轴表示每个窗口的结束日期。波动溢出指数。图3报告了t-Lasso波动溢出指数（cfr方程（18））随时间t的变化，t是每个时间窗口的终点。我们观察到，波动溢出指数随着时间的推移会经历较大的波动。特别是，2014年下半年，我们发现波动性溢出的总体水平大幅下降。这种下降并非永久性的，2015年期间，波动溢出指数恢复到2014年之前的水平。波动溢出指数的下滑也可能与2014年下半年原油价格的下跌有关。原油价格经历了大幅下跌，原因是（i）欧佩克和非欧佩克国家的供应量增加，以及（ii）由于世界经济放缓，尤其是中国经济放缓，全球需求疲软。能源价格的下跌使生物燃料的竞争力下降，并意味着能源、生物燃料和农产品之间的波动溢出效应减弱。6.2网络分析我们对商品网络中的波动溢出进行了可视化。图4顶部显示了截至2016年10月28日的时间窗口的网络，这是我们数据集中的最后一个时间点。

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2022-6-1 05:24:53

例如，从汽油（GASO）到原油（CRUO）的直接差异是因为汽油到渣油的波动性溢出不同于零，属于最大的15%波动性溢出。回顾edge width2013 2014 2015 201655 60 65 70时间波动性溢出指数图3：220天滚动窗口的t-Lasso波动性溢出指数。x轴表示每个窗口的结束日期。表示波动性溢出的大小。图4还报告了截至2015年2月5日（左下）和2014年6月17日（右下）的时间窗口的网络。为简单起见，从现在起，我们仅在其windows的结束日期之前提及这三个网络。2015年和2014年的网络对应的时间窗口分别具有最低和最高的波动性Pillover指数值。链接能源生物燃料。在所有网络中，我们发现能源和生物燃料商品之间存在波动溢出。在2015年和2014年的网络中，汽油是唯一通过edge与乙醇相连的能源商品。由于乙醇通常混合在汽油中用于消费（Serra和Zilberman，2013），因此在能源价格高企时期（即network 2014）和能源价格大幅度变化时期（即network 2015），观察到这两种商品之间的波动溢出就不足为奇了。链接能源农业。在所有网络中都检测到能源和农业之间的双向波动溢出，证实了Rezitis（2015）的发现。在2016年的网络中，天然气从农产品中溢出并流向农产品，而在2015年和2014年的网络中，汽油是与农业联系最紧密的能源商品。

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2022-6-1 05:24:56

天然气和汽油都是农业部门的主要商品：前者是化肥的主要生产成本，而后者是最重要的燃料（与柴油一起）。如果能源价格很高（如network 2014），燃料对农产品的影响很大，这可以解释/togasoline带来的众多波动溢出。相反，由于能源价格低，燃料便宜（如network 2016），肥料价格的变化在很大程度上影响了农产品的波动，这可以解释天然气产生的许多波动溢出。在所有网络中，各种农产品都与能源的波动溢出有关。一般而言，能源的波动性溢出既涉及作为生物燃料生产主要投入的农作物（如小麦、大豆和糖），也涉及与生物燃料没有直接联系的农作物（如二氧化碳），如Rezitis（2015）。链接生物燃料农业。生物燃料和农业之间的波动溢出仅在2016年和2014年的网络中发现。这些波动溢出是双向的，涉及小麦、糖和棉花：这与我们的预期一致，因为这些作物可以用于乙醇生产。在2015年的网络中，我们观察到生物燃料和农业之间没有波动溢出。在此期间，能源价格大幅下跌（Knittel和Pindyck，2016）：这使得生物燃料与其他标准燃料相比缺乏吸引力，并可能导致农业波动溢出较弱。6.3预测准确性我们现在预测商品波动率。对于给定的预测期，我们通过（t）t+h=[通过（t）t+h，1。

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能者818

2022-6-1 05:24:58

，通过（t）t+h，J]基于时间窗[t- W+1，t]，其中t是大小为W的时间窗口的终点，通过（t）t+h，jis是在该终点对时间t+h的系列j进行的h步超前预测。使用（1）中的VAR模型进行预测，自回归系数bb通过估计ν的t-Lasso、高斯Lasso和LS获得。我们通过计算平均绝对预测误差mafe=N来比较这三种估计器的预测精度- h类- W+1N-hXt=WMAFEtwith MAFEt=JJXj=1 | x（t）t+h，j- yt+h，j |。因此，计算每个时间窗口的MAFE，然后对所有时间窗口进行平均。平均绝对预测误差值越小，波动率预测越准确。后果表3报告了不同预测期（即h=1、h=5和h=20天）的三种估计器的MAFE结果。t-Lasso为所有预测者实现了MAFE的最佳价值。我们发现，基于Diebold-Mariano检验（Diebold和Mariano，1995），信息预测精度与其他估计值的差异总是显著的（p值<0.01）。对于预测层位H=1，t-Lasso的MAFE相对改善了1%，比高斯Lasso和Cruogasonatgethacornwheasoybsugacottcoffoctober 2016年6月28日Cruogasonatgethacornwheasoybsugacottcofff2015年6月17日Cruogasonatgethacornwheasoybsugacottcoffoctober 5的MAFE相对改善了23%，2014年图4:220天滚动窗口不同结束时间的波动溢出商品网络：2016年10月28日（上图）、2015年2月5日（左下）和2014年6月17日（右下）。表3:220天滚动窗口中t-Lasso、Gaussian Lasso和LS的预测水平SH=1、5和20的平均绝对预测误差。地平线t-套索高斯套索LSh=1 1 1.871 1.896 2.418h=5 1.959 2.056 2.589h=20 2.280 2.636 2.820 LS。

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2022-6-1 05:25:01

预测范围越高，与高斯套索相比，t套索的性能越好：例如，对于h=20，我们的估计值提高了14%。图5报告了t-Lasso（蓝色实线）、GaussianLasso（红色虚线）和最小二乘（绿色虚线）的MAFEt（h=20）随时间窗口终点t的变化。在除时间窗口外的所有时间窗口中，t型套索的平均绝对预测误差均低于高斯套索，Diebold-Mariano检验证实，在所有这些时间窗口中，预测精度的差异都是显著的。总的来说，我们发现，无论预测期限或是否存在较大的波动溢出，t-Lasso都比Gaussian Lasso和LS具有更好的预测性能。7讨论本文研究了向量自回归（VAR）模型中的波动溢出，该模型解释了其创新的胖病性。我们扩展了Diebold和Yilmaz（2015）的工作，并提出了一个多元t分布后的VAR模型的惩罚目标，其中包括自由度的估计。我们强调，对于ν=∞. 即使对于大量相对较短的时间序列，我们的估计也是可计算的。我们的仿真研究表明，所提出的t-Lasso在估计精度方面比高斯Lasso或最小二乘法有更好的性能。即使对于包含相对于时间序列长度的大量时间序列的VAR模型，惩罚估计器也能确保良好的估计精度。误差的t分布更好地捕捉到商品波动的典型峰值。我们使用滚动窗口方法研究了J=10能源、生物燃料和农产品之间的波动溢出动态。

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2022-6-1 05:25:05

我们的发现强调了VAR模型的对数挥发率和残差的分布是厚尾的。此外，我们使用基于预测误差方差分解的网络来可视化波动溢出。我们发现了能源和农产品之间双向波动溢出的证据，无论是否为生物燃料作物（Rezitis，2015）。我们的分析基于Diebold和Yilmaz（2014）的波动性溢出定义，并依赖于2013 2014 2015 20161.5 2.0 2.5 3.0 3.5TimeMAFEFigure 5：220天滚动窗口的平均绝对预测误差和预测地平线h=20的套索（实心）、高斯套索（虚线）和最小二乘（虚线）。x轴表示每个窗口的结束日期。广义预测误差方差分解。然而，也可以使用其他定义。例如，我们使用Cholesky分解（Diebold和Yilmaz，2015年，第14页）和光谱分解（Hafner和Herwartz，2006年）重新进行了分析。在这两种情况下，我们得到的结果与所报告的结果相当，波动性溢出的幅度只有微小变化。使用其他波动性溢出定义时也是如此。例如，我们将波动溢出定义为广义脉冲响应的平方和，并得出可比较的结论。详细结果可根据要求从作者处获得。进一步的研究可能遵循几个轨迹。一方面，可以研究VAR误差中不对称性的存在，例如通过考虑多元偏态t分布（Kotzand Nadarajah，2004，p98）或通过研究Barun'ik等人（2015）中的已实现半方差。另一方面，使用其他数据和波动性度量可能很有趣（McAleer和Medeiros，2008）。

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kedemingshi

2022-6-1 05:25:09

对于商品期货，与日内高频回报率相比，开盘、最低和最高日价格的数据更容易获得，这促使我们选择研究每日实现范围。然而，根据资产类型和/或波动性度量，创新分布可能会有更少或更多的厚尾分布，这可能会对风险管理产生不同的影响（例如，参见Brownlees和Gallo，2010年纽约证券交易所股票不同已实现波动性度量之间的风险价值比较）。最后，提出的t-VAR方法可用于其他研究大量时间序列中的滞后效应的研究，以解释厚尾误差。其中，系统性风险分析，即单个企业违约可能威胁整个市场稳定的风险（Hautsch et al.，2015），似乎是一种自然的应用。2007-09年之后，作为系统性风险的衡量标准，企业间溢出的建模变得非常重要：通常，人们会研究大量企业（Hautsch等人，2015），并对股票市场极端低迷导致的非正态创新分布进行建模（Engle等人，2015）。拟议的t-VAR方法将明确解决这两个问题，其结果将以风险网络的形式进行高度解释。确认。这项工作得到了FWO（法兰德斯研究基金会，合同编号12M8217N）和库鲁汶研究基金会GOA/12/014项目的支持。我们感谢PietSercu和Kris Boudt的有用评论，这些评论极大地改进了手稿。附录A：高斯套索算法用于计算高斯套索的算法在算法A中给出。首先，我们在逆误差协方差矩阵的条件下求解自回归参数BOhm 使用坐标描述算法，如Friedman et al.（2007）。

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2022-6-1 05:25:11

其次，我们解决Ohm 以B为条件，使用Friedman et al.（2008）的图形Lassoalgorithm。这两个步骤分别使用grplasso和glassopackages在R中实现。我们反复重复这两个步骤，直到目标函数收敛。正则化参数的选择。求解B时|Ohm, 我们使用正则化参数λ的网格，并搜索最小化贝叶斯信息准则（BIC）BICλ=-2logLλ+dfλlog（N），其中logLλ是使用正则化参数λ估计的可能性，即（3）中的第一项，dfλ是bbλ的非零分量数。同样，在解决Ohm|B我们使用正则化参数γ的网格，并搜索使BICBICγ=-2logγ+dfγlog（N），其中dfγ是b的非零下对角线元素数Ohm.算法A高斯套索：高斯误差输入Y、X和期望精度ε的惩罚估计。初始化BOhm（0）=IJ。迭代对m=0、1、2、…，重复以下步骤：求解B|Ohm. 计算B（m+1）：bB（m+1）=argminB2Ntr（Y）- XB）bOhm（m）（Y）- XB）+ λJXi，j=1ppp=1 | Bp，ij |。正在解决Ohm|B、计算机Ohm（m+1）：bOhm（m+1）=argminOhm第2次（Y）- XbB（m+1））Ohm（Y）- XbB（m+1））-日志|Ohm| + γJXi6=j |ωij |。收敛迭代，直到（3）中目标函数值在两次连续迭代中的相对变化小于ε。输出bB=bB（m+1）和BOhm =bOhm（m+1）。附录B：波动性度量在帕金森（1980）之后，我们使用高低日变化估计量获得了未来合约波动性的度量。考虑关于开盘价Ot，j，最高价Ht，Jan和最低价Lt，Jat的每日信息，日期1≤ t型≤ 商品1的T≤ j≤ J

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2022-6-1 05:25:14

日方差的高低范围估计量为vt，j=4 log（2）（ht，j- lt，j），其中ht，j=对数（ht，j）-log（Ot，j）和lt，j=log（lt，j）-log（Ot，j）分别是最大和最小日收益。关于波动性的已实现范围度量，请参见Shu和Zhang（2006）或Martens和van Dick（2007）。进入方程（1）VAR的时间序列是时间t时商品j的实现范围bvt，jof的对数变换，即yt=[log（bvt，j），…，log（bvt，j）]。原始波动率序列可以通过对inBauer和Vorkink（2011）的再变换偏差进行指数变换和校正来获得。参考Sandersen，T.G。；Bollerslev，T。；Diebold，F.X.和Heiko，E.（2001），“已实现股票收益波动率的分布”，《金融经济学杂志》，61（1），43–76。Barigozzi，M.和Hallin，M.（2017），“高维金融系列波动性的网络分析”，《皇家统计学会期刊：C系列（应用统计）》，66（3），581–605。Barndor Off-Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2002），“已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用”，《皇家统计学会期刊：B辑（统计方法学）》，64（2），253-280。巴伦克，J。；Koˇcenda，E.和V'acha，L.（2015），“石油市场波动性溢出”，《能源杂志》，36（3），309–330。Basu，S.和Michailidis，G.（2015），“稀疏高维时间序列模型中的正则化估计”，《统计年鉴》，43（4），1535–1567。Bauer，G.H.和Vorkink，K.（2011），“预测多变量已实现股票市场波动”，经济计量学杂志，160（1），93–101。Brownlees，C.T.和Gallo，G.M.（2010），“波动性度量的比较：风险管理视角”，《金融计量经济学杂志》，8（1），29–56。Bub\'ak，V。；科森达，E.和齐克，F。

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2022-6-1 05:25:18

（2011），“新兴欧洲外汇市场的波动传递”，《银行与金融杂志》，35（11），2829–2841。卡洛特，L.A.F。；Kock，A.B.和Medeiros，M.C.（2017），“大型已实现协方差矩阵和投资组合选择的建模和预测”，《应用计量经济学杂志》，32（1），140–158。Caporin，M.和Velo，G.G.（2015），“实现范围波动率预测：动态特征和预测变量”，《国际经济与金融评论》，第40、98–112页。克里斯滕森，K。；Podolskij，M.和Vetter，M.（2009），“在存在市场微观结构噪音的情况下，偏差校正基于范围的已实现方差”，《金融与随机》，13（2），239-268。科尔西，F。；Mittnik，S。；Pigorsch，C.和Pigorsch，U.（2008），“已实现波动的波动性”，《计量经济学评论》，27（1-3），46-78。Davis，R。；Zang，P.和Zheng，T.（2016），“稀疏向量自回归建模”，《计算与图形统计杂志》，25（4），1077-1096。德里默，M。；迪堡，F.X。；Liu，L.和Yilmaz，K.（2017），“估计全球银行网络连通性”，即将发表在《应用计量经济学杂志》上。Diebold，F.X.和Mariano，R.S.（1995），“比较预测准确性”，《商业与经济统计杂志》，13（3），253-263。Diebold，F.X.和Yilmaz，K.（2014），“关于方差分解的网络拓扑：衡量金融企业的关联性”，《计量经济学杂志》，182（1），119–134（2015），《金融和宏观经济学的关联性：计量和监测的网络方法》，牛津大学出版社，美国纽约。Ding，P.（2016），“多元t分布的条件分布”，美国统计学家，70（3），293–295。恩格尔，R。；Jondeua，E.和Rockinger，M.（2015），“欧洲的系统性风险”，《金融评论》，第19（1），145–190页。Finegold，M.和Drton，M。

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2022-6-1 05:25:21

（2011），“使用经典和替代t分布的基因网络稳健图形建模”，《应用统计学年鉴》，5（2A），1057–1080。Franses，P.和Lucas，A.（1998），“协整分析中的异常值检测”，《商业与经济统计杂志》，16（4），459–468。弗里德曼，J。；黑斯蒂，T。；H–o Fling，H.和Tibshirani，R.（2007），“路径坐标优化”，《应用统计学年鉴》，1（2），302–332。弗里德曼，J。；Hastie，T.和Tibshirani，R.（2008），“使用graphicallasso进行稀疏逆协方差估计”，生物统计学，9（3），432–441。Gelper，S。；Wilms，I.和Croux，C.（2016），“确定大型产品类别网络中的需求影响”，《零售杂志》，92（1），25–39。Hafner，C.M.和Herwartz，H.（2006），“多元GARCH模型的波动性脉冲响应：汇率说明”，《国际货币与金融杂志》，25（5），719–740。哈斯勒，U。；Rodrigues，P.M.M.和Rubia，A.（2016），“长记忆测试的分位数回归：已实现波动率分析”，《金融计量经济学杂志》，14（4），693–724。黑斯蒂，T。；Tibshirani，R.和Wainwright，M.（2015），《稀疏的统计学习：套索和泛化》，CRC出版社。豪奇，N。；Schaumburg，J.和Schienle，M.（2015），“金融网络系统性风险贡献”，《金融评论》，19（2），685–738。Knittel，C.R.和Pindyck，R.S.（2016），“商品价格投机的简单经济学”，《美国经济杂志：宏观经济学》，8（2），85–110。Kotz，S.和Nadarajah，S.（2004），《多元t分布及其应用》，剑桥大学出版社，英国剑桥。Lanne，M.和Nyberg，H.（2016），“线性和非线性多变量模型的广义预测误差方差分解”，牛津经济与统计公报，78（4），595–603。Levin，A。；Lin，C-F.和Chu，C-S.J。

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