因为^VT（(R)Д）=V（(R)Д）+TXk=1хk^Sk，我们得到了必要条件（5.4）V（(R)Д）=maxω∈Ohm^C（ω）-TXk=1хk（ω）^Sk（ω）,if(R)应为最便宜的整数superhedge。它遵循tσZ（C）=infД可预测，Zd值maxω∈Ohm^C（ω）-TXk=1хk（ω）^Sk（ω）≤ 最大ω∈Ohm^C（ω）-TXk=1ψk（ω）^Sk（ω）≤ 最大ω∈Ohm^C（ω）-TXk=1ψk（ω）^Sk（ω）+ 最大ω∈OhmTXk=1ψk（ω）- ψk（ω）^Sk（ω）≤ sup∏（C）+最大ω∈OhmTXk=1kψk（ω）- ψk（ω）k·k^Sk（ω）k≤ sup∏（C）+√d最大ω∈OhmTXk=1k^Sk（ω）k。以下示例表明，与经典的超边缘相反，不需要存在最便宜的整数超边缘。示例5.3。允许Ohm = {ω，ω}，r=0，T=1，d=2。我们选择S：=（2，2）and（ωj）=（（3，2）的模型-√2） j=1，（1，2+√2） j=2。该模型满足NA，在经典意义上是完整的。实际上，对于j=1，2，唯一的人工测度是由Q[{ωj}]=1/2给出的。考虑索赔c（ω）=1-√2，C（ω）=1+√2，其（整数）无套利价格集为单态∏Z（C）=∏（C）={1}。那么，对于超边缘问题没有最小值（见（5.4））inf^1∈zmax=1,2（C（ωi）-φS（ωi））=：infД∈Zf（Д）。的确，对于^1∈ R、 最小值集为∈ {（x，+x）/√2） ：x∈ R} ，产生infД∈Rf（Д）=1。显然，这个集合不包含整数策略。ByKronecker近似定理（定理A.2），序列（+m/√2） 整数约束下的modDYNAMIC交易251，m∈ N、 在[0，1]中密集。因此，存在序列mk∈ N这样0≤ （+mk/√2） 模块1≤k、 k级∈ N、 定义（k）：=mk，+ mk公司/√2.∈ Z、 k级∈ N、 因为f是Lipschitz连续的（比如常数L），所以我们有| f（ν（k））-1 |=| f（Д（k））-f（mk，+mk/√2)|≤ L0，（+mk/√2） 模块1→ 0，k→ ∞.因此，整数超边的价格单位为σZ（C）=1，但不存在最便宜的整数超边。金融机构通常对冲相同（或至少相似）期权的大型投资组合。

下面的定理表明，当对C的N个副本进行超边缘化时，每个索赔的整数超边缘价格收敛于经典的超边缘价格：limN→∞N-1σZ（NC）=sup∏（C）。定理5.4的第二部分给出了具有受控分母的有理策略的超边C的估计。定理5.4。假设me（F）和NA，让C是一个索赔。然后（i）σZ（NC）N=sup∏（C）+ON, N→ ∞.（ii）有一系列理性策略|ψ（N）∈ Q使得|ψ（N）中出现的所有分母的绝对值最多为N，V（|ψ（N））=sup∏（C）+ON-1/（nd（T+1））对数N,ψ（N）是C证明的超边缘策略。（i） 假设（F）意味着经典的超边缘价格sup∏（C）=sup{EQ[C/（1+r）T）]：Q∈ Q} 是有限的。很明显N-1σZ（NC）≥ N-1sup∏（NC）=所有N的sup∏（C）。对于相反的估计，设揺为C的一类ic-al超边缘策略，价格为sup∏（C）（见第3.2节）。定义η（N），jt（ω）：=Nхjt（ω） = NИjt（ω）+O（1），ω∈ Ohm, t型∈ T、 1个≤ j≤ d、 N个∈ N、 我们选择一个任意映射f:N→ R满足limN→∞f（N）=∞ 并将η（N），0：=NИ+f（N），N∈ N、 然后我们定义η（N），对于t=2，…，0，T递归获得每个N的自融资整数策略η（N）。根据η（N）的定义，并且由于是一个超级边缘26 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERstrategy，我们有VT（η（N））N=V（η（N））N+T-1Xk=1η（N）kN^Sk=Д+f（N）N+η（N）SN+T-1Xk=1хk^Sk+ON=f（N）N+V（(R)Д）+T-1Xk=1хk^Sk+ON≥C（1+r）T+f（N）N+ON≥C（1+r）t对于大N。

这表明对于较大的N，η（N）是N C的整数超边缘策略，因此σZ（NC）≤ V（(R)η（N））=NV（(R)Д）+O（f（N））=N sup∏（C）+O（f（N）），N→ ∞.可以看出，对于任何趋于完整的f，O（f（N））的量是O（1）。由于f是任意的，下面的语句如下。（ii）同样，让“Д”成为C w的经典超边缘策略，价格支持∏（C）。根据Dirichlet近似定理（定理A.1），有≤ q（N）≤ N和P（N，t，j，l）∈ Z使得|Дjt（ωl）q（N）- p（N，t，j，l）|<N-1/（nd（1+T）），1≤ l≤ n、 t型∈ T、 1个≤ j≤ d、 N个∈ N、 我们定义ψ（N），jt（ωl）：=p（N，t，j，l）q（N），1≤ l≤ n、 t型∈ T、 1个≤ j≤ d、 N个∈ N、 产生|Дjt（ωl）-ψ（N），jt（ωl）|<N-1/（nd（1+T）），1≤ l≤ n、 t型∈ T、 1个≤ j≤ d、 N个∈ N、 对初始银行账户头寸ψ（N）进行筛选后，0：=Д+N-1/（nd（1+T））对数N，N∈ N、 策略ψ（N）∈ Q为每个N定义。根据定义，V（(R)ψ（N））=Д+N-1/（nd（1+T））对数N+ψ（N）S=Д+N-1/（nd（1+T））对数N+ДS+ON-1/（nd（1+T））= sup∏（C）+ON-1/（nd（1+T））对数N, N→ ∞.整数约束下的动态交易27仍需证明对于大N而言，ψ（N）是C的超边。这是由^VT（ψ（N））=V（ψ（N））+TXk=1ψ（N）k得出的^Sk=V（°Д）+N-1/（nd（1+T））对数N+TXk=1хk^Sk+ON-1/（nd（1+T））≥C（1+r）T+N-1/（nd（1+T））对数N+ON-1/（nd（1+T））≥C（1+r）T，N大。对于最后一个不等式不成立的有限多个N，我们可以简单地添加足够数量的初始资本以获得超边缘；这不会改变收敛速度。从（ii）的证明中可以清楚地看出，log N可以被趋向于完整性的任意函数替换。6、单期方差最优套期保值我们考虑一个满足（F）和NA的单期模型。此外，我们假设≤ n

我们的目标是对给定的（不可复制的）索赔C进行近似对冲。对于可跟踪性，通过L（P*), 其中P*是一家公司；在本节中，我们用k·k表示该范数。在经典情况下，这会导致优化问题（6.1）inf∈RdinfV公司∈RkC/（1+r）- 五、- φSk=inf^1∈RdkC- φSk，其中▄C：=（C- E*[C] ）/（1+r）。请注意，infV∈Ris达到atV=E*[C/（1+r）- φS] =E*[C] /（1+r）。问题（6.1）然后通过向空间{ν）投影▄C o正交来解决S： ^1∈ Rd}，由[9]中的定理6.4.2闭合。有关方差最优套期保值（尤其是多期问题）的更多详细信息，请参阅[12]第10章和其中给出的参考文献。现在，我们继续设置，并将ict^1限制为Zd。最小化w.r.t.Vis如（6.1）中所述，因此我们必须计算（6.2）infД∈ZdkC- φSk公司。我们有KC- φSk=nXl=1P*[ωl]C（ωl）-φS（ωl）=nXl=1C（ωl）P*[ωl]1/2- φS（ωl）P*[ωl]1/2.28 STEFAN GERHOLD，PAUL Kruhner问题（6.2）因此相当于计算晶格元素（6.3）φS（ω）P*[ω]1/2...S（ωn）P*[ωn]1/2+ ··· + ^1dSd（ω）P*[ω]1/2...Sd（ωn）P*[ωn]1/2: φ ∈ Zd公司 RN最接近矢量（6.4）C（ω）P*[ω]1/2...~C（ωn）P*[ωn]1/2∈ Rnw。r、 欧几里德范数。这是最近向量问题（CVP）的一个例子，CVP是一个众所周知的计算问题，在密码术、通信理论和其他领域都有应用。调查文件【14】提供了关于这一主题的易懂介绍，并附有许多参考文献。根据勾股定理，closestlattice点是最接近（6.4）到晶格生成的子空间的投影的晶格点。计算（希望如此）闭合格点的一种廉价方法是将该投影点的系数四舍五入到最接近的整数。

然而，众所周知，得出的结果可能远远不是最优的。以下示例中会发生这种情况。我们考虑一个d=2的玩具示例|Ohm| = 4，r=0，如表1所示。这些数字没有根据任何市场数据进行校准，但选择这些数字是为了说明整数近似套期保值（如上所述）的天真方法可能会导致重大错误。在现实模型中，对多个时期的整数方差最优套期保值的详细研究将留给未来的工作。i 1 2 3 4P*[ωi]0.37 0.18 0.4 0.05S（ωi）-9-9 0 99S（ωi）10 1 4-109.6C（ωi）0 7 1 8表1。模型参数、风险中性度量和索赔。我们希望大约对冲N份索赔，即索赔NC，forN∈ N、 首先，我们计算了经典变量最优对冲φ（N）=Nφ（1）∈ Rby投影（见（6.1））。相对L（P*)-错误KNC- ^1（N）SkkNCk=kC- φ(1)表2第二行显示了SkkCk，它当然不依赖于N。表2第三行包含标的资产中的最大头寸大小maxi=1,2 |Д（N），i |=N maxi=1,2 |Д（1），i |。然后，我们使用文献[1]中描述的基于Schnorr-Euchner算法的闭点算法精确地解决了整数方差最优套期保值问题（6.2）。CVP被认为是一个计算困难的问题，最快的算法在维度上具有指数复杂性。因为我们的维度|Ohm| = 4，在这个玩具示例中，这不是anissue。在更复杂的例子中，使用整数约束下的动态交易29LLL算法进行预处理可能会简化计算最近向量的任务。表2显示了相对L（P*)-错误KNC- ^1（N）CVPSkkNCK和最大位置尺寸。

最后，我们使用p oor-man的方法近似求解（6.2），通过简化将经典对冲φ（N）的位置四舍五入到最接近的整数。从表2可以看出，这对大N有效，但给出的结果比求解小N的CVP的结果要差得多。请注意，在本例中，整数对冲的头寸规模远小于经典对冲的头寸规模。最后，我们提到，计算晶格（6.3）的所谓覆盖率（coveringradius）[14]，可以得出任何索赔的对冲误差的上界。N 1 5 10 20 30 40 50经典：rMSE 0.405 0.405 0.405 0.405 0.405 0.405 0.405经典：位置大小1.688 8.438 16.876 33.752 50.627 67.503 84.379CVP：rMSE 0.901 0.4 31 0.419 0.416 0.415 0.415 CVP：位置大小1 3 5 11 16 25舍入：rMSE 8.352 1.636 0.419 0.419 0.419 0.419 0.412舍入位置大小：1 3 5 10 15 20 26表2。方差最优套期保值的误差和头寸大小。附录A。数论工具s在本附录中，我们收集了本文中使用的经典数论定理。Dirichlet和Kronecker的定理是丢番图近似（即实数与有理数的近似）的基本结果。定理A.1（Dirichlet近似theo-rem；定理1B，第二章[19]）。给定α，αn∈ R和一个N>1的整数，有q，x，xn公司∈ Z带1≤ q≤ N和|αiq- xi-1/n，1≤ 我≤ n、 定理A.2（克罗内克近似定理；文献[2]中的定理7.7]）。如果θ∈ Ris是无理数，然后序列（nθmod 1）n∈[0，1]中的Nis密度。这里我们还提到以下经典定理【13】：定理A.3（Minkowski）。让K Rdbe闭、凸、零对称和有界。

如果K sat的体积为体积（K）≥ 2d，则K包含零点上的n和积分坐标。在本文的其余部分，我们没有应用定理A.3，但暗示了一个可能的应用。考虑以下具有最大损失约束的单期投资组合优化问题，其中c>0，U是一些效用函数：E[U（νS） ]→ 最大值！φ ∈ Zd，^1S≥ -c、 30 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERThen，定理A.3 ea通常会产生一个有效的标准，以确保可容许集包含非零投资组合。定理A.3的结果给出了几个早期的独立投资组合。参考文献[1]E.Agrell、T.Eriksson、A.Vardy和K.Zeger，《格中的最近点搜索》，IEEETrans。知会《理论》，48（2002），第2201-2214页。[2] T.M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，数学研究生教材第41卷，Springer Verlag，纽约，第二版，1990年。[3] P.Baumann和N.Trautmann，《小投资者投资组合优化模型》，数学。方法操作。第77号决议（2013年），第345-356页。[4] M.Beck和S.Robins，《计算数学中的连续离散本科生文本》，斯普林格，纽约，第二版，2015年。[5] D.Bienstock，一系列混合整数二次规划问题的计算研究，数学。《编程》，74（1996），第121-140页。[6] P.Bonami和M.A.Lejeune，《随机和整数约束下港口优化问题的精确解方法》，Oper。R es。，57（2009），第650-670页。[7] L.Carassus、H.Pham和N.Touzi，《投资组合约束下的离散时间无套利》，M ath。《金融》，11（2001），第315-329页。[8] R.C.Dalang、A.Morton和W.Willinger，《随机证券市场模型中的等价鞅测度和无轨性》，《随机统计学杂志》，29（1990），第185-201页。[9] F.Delbaen和W。

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