整数约束下的动态交易

2022-6-1 06:54:29

整数约束下的动态交易Stefan GERHOLD，PAUL KR–UHNERAbstract。在本文中，我们研究了整数约束下的离散时间交易，也就是说，我们假设所提供的商品或股票是以整数数量交易的，而不是通常的实际数量假设。对于不确定概率空间和理性资产价格，这对无套利定价理论的核心几乎没有影响。对于不局限于有理数的价格过程，出现了一种新的整数无套利定价和混合理论。我们建立了一个FTAP，涉及一组满足附加性质的绝对连续鞅测度。连续索赔的价格集不再是一个区间，而是在一个区间内为空或稠密。我们还讨论了集成portfoli os的支持。1、引言经典的无摩擦无套利理论[8，15]对金融市场做出了一些简化假设。特别是，头寸大小可能是任意的实数，这使得交易策略在实践中无法实施。即使经纪人能够接受部分股份，也将是可以买卖的最小部分。此外，由于额外的经纪费和小额头寸通常流动性差，交易员可能希望避免进行大量交易。在这种情况下，最小的交易单位将是由若干（如100）股组成的圆形地块。假设价格过程的整数量（St，…，Sdt）t∈t可以交易。本报告假设交易时间T的集合是有限的。为简单起见，我们将第i个（风险）的实价过程称为集合，尽管它可能具有实际实价的分数或整数解释。我们假设无风险资产中的金额可能会产生任意的实际价值。

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2022-6-1 06:54:32

一方面，这增加了可处理性；另一方面，这在经济上是有意义的，因为银行账户的最小可能修改通常比风险头寸小几个数量级。因此，在风险资产为d的模型中，我们的整数交易策略每次取R×Zdat的值。对于一些结果和证明，我们还考虑了R×Qd值的有理策略。通过明确分母，相应的套利自由度概念是等价的（见引理2.3）。据我们所知，关于交易约束下套利、定价和套期保值的现有文献[7、11、12]总是对可接受策略集施加s凸性假设，这与完整性约束无关。后者确实在计算金融文献中占有显著地位，例如在文献[3、5、6]中，这些文献采用混合整数非非线性程序来解决马科维茨投资组合选择问题。在文献中，其他关键词日期：2018年10月10日。2010数学学科分类。91G10、91G20、11K60.2 STEFAN GERHOLD、PAUL KR¨uhner（如最小批量限制、最小交易水平和整数交易单位）的含义与整数约束的含义相同。令人惊讶的是，从无套利理论的角度来看，这种限制似乎几乎没有受到关注。邓等人的一篇论文是一个例外。[10] ，他指出，在整数约束下确定单周期模型中套利的存在性是一个NP难问题。在我们的主要结果中，我们假设潜在可能性空间是有限的（第2节的假设（F））。这一假设是现实的，因为实际资产价格以滴答为单位变动，比如说，超过10的价格永远不会发生。

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2022-6-1 06:54:35

尽管如此，将我们的工作扩展到任意概率空间可能在数学上很有趣，但这将留给未来的工作。在第2节中，我们以简单的方式介绍了无整数套利（NIA）和无整数套利（NIFL）的概念。事实证明（定理2.5），后者的性质等价于经典的无套利条件NA，因此我们在本文的其余部分集中讨论NIA。我们的第一个主要结果是资产定价的基本定理（FTAP；定理2.11）描述NIA。它涉及一组满足加法性质的绝对连续鞅测度集。后者相当于在绝对连续鞅测度的支持之外显式避免整数任意性。因此，该理论没有经典的FTAP那么简洁，但对于建立我们随后的几个结果仍然有用。在第3节中，我们定义了权利要求C的NIA兼容价格集∏Z（C）。使用等价鞅测度集的经典表示的整数变量仅具有包含而不是等式（建议3.4），事实上∏Z（C）可能为空。即使它不是空的，也不必是间隔；然而，∏Z（C）则是一个（明确）区间内的常行道密集度，这是第4节的主要结果。正如Regards方法论一样，我们的许多论点只是使用Zd（和Qd）的可数性，或QdinRd的密度。尽管如此，在一些地方（如引理2.4、示例5.3和定理5.4），Weinvoke从数论中得出了非平凡的结果，收集于附录A。邀请主要对整数限制的实际后果感兴趣的读者阅读（除了基本定义之外）定理2.6、定理3.6和第5节。

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2022-6-1 06:54:38

简言之，对于实践中使用的离散时间模式ls（有限概率空间，波动点——即理性——资产价值），无套利理论的核心没有太大变化。一个例外是，与非整数仲裁年龄一致的索赔价格上限不必与s最小整数超边际价格一致（见第5节）。尽管如此，当对大量相同债权的投资组合进行增持时，这种资产的持有有限。也就是说，我们的工作绝不是动态交易中整合限制的实际后果的最后决定。在整数约束下，分位数套期保值、风险度量套期保值或凸约束套期保值等问题很值得研究。在第6节中，我们讨论了整数约束下方差最优套期保值的一个玩具示例，它导致了最近向量问题（CVP），这是一个著名的算法格问题。2、交易策略和无套利我们将使用概率空间(Ohm, A、 P）。我们的主要结果使用以下假设：整数约束下的动态交易3（F）Ohm 是有限的，A是Ohm, P[{ω}]>0表示任意ω∈ Ohm, 我们选择一个枚举ω，ωnof其元素。我们假设有一组有限的时间T：={0，…，T}，其中T∈ N、可能发生交易的地点，以及fix a fi filtration（Ft）t∈t此处英尺 A和F={, Ohm}.（确定性）无风险利率为r>-1，我们有d风险y资产，在时间t时，价格St=（St，…，Sdt）∈ T、假设STI为非负且Ft可测量。无风险资产的价格由St表示：=（1+r）t期货∈ T、我们用S表示市场价格过程：=（S，S）。我们对由therisky资产的整数位置组成的交易策略感兴趣。我们考虑的所有交易策略都是自我融资。定义2.1。

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2022-6-1 06:54:41

（i）整数（交易）策略是一个可预测的过程∈T \\{0}，值为R×zd，且T的|ΜT'St=|ΜT+1'St∈ T \\{0，T}。为方便起见，我们有时会使用符号“^1：=”“^1”。积分交易策略集用Z.（ii）表示。类似地，我们定义了所有（真实）交易策略集R和理性策略集Q，值为R×Qd。我们显然有Z Q R、对于任何交易策略∈ R我们表示其在时间t的值∈ T byVt（(R)Д）：=(R)T(R)St=dXj=0jtSjt，其贴现值乘以^Vt（(R)Д）：=Vt（(R)）/St。通常，使用贴现资产值或贴现收益很方便，用^St表示：=（St，…，Sdt）/St，^St：=^St-^St-1对于t∈ T响应。t型∈ T \\{0}。然后，贴现值过程等于（2.1）^Vt（(R)Д）=V（(R)Д）+tXk=1Дk^Sk，t∈ T、定义2.2。（i）整数a rbitrage是一种策略∈ Z，这是市场的一个障碍。（ii）如果模型允许无整数套利，则该模型满足无整数套利条件（N IA）。（iii）确定集合（Z模块）KZ：=nTXk=1хk^Sk：(R)∈ Zoof贴现整数策略可实现的净收益，CZ：=（KZ- L+）∩ L∞.假设（F），我们确定条件NIFL（无整数免费午餐）ascl（CZ）∩L+={0}。在识别L时，闭包被称为w.r.t.欧几里德拓扑∞使用Rn。STEFAN GERHOLD，PAUL Kruhner显然，NIA比经典的无套利资产NA或NIFL弱。结果表明，经典的无套利性质NA和NIFL是等价的（对于有限概率空间），见下面的定理m 2.5。以下简单性质将经常使用：引理2.3。

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大多数88

2022-6-1 06:54:44

（i）如果（F）成立，则在定义整数套利时，条件为∈ Z可替换为“^1”∈ Q、（ii）在定义整数套利时，条件V（(R)Д）≤ 0可由V（(R)Д）=0替换。（iii）NIA相当于（2.2）^VT（°Д）-^V（℃）≥ 0=>^VT（(R)Д）=任何^ν的^V（(R)Д）∈ Z（或，在（F）下，对于任何∈ Q）。证据（ii）和（iii）的证明与经典情况下的证明完全相同。第（i）部分：很明显，Z中的任何套利策略也在Q中。现在假设存在套利？，即（Дt，…，Дdt）∈ 任何t的QD∈ T、定义：=inf{n∈ N:NИ∈ Zd·T}。然后是Nхt∈ ZD适用于任何t∈ T、 “和”是一种套利。根据（2.1），含义（2.2）可以写成asTXk=1хk^Sk≥ 0=>TXk=1хk^Sk=0。虽然我们的主要结果假设（F），但我们提到（F）在引理2.3的（i）和（iii）部分中实际上不是必需的。这很容易从多期模型中的套利现象得出结论，即存在允许套利的期。在经典设置中，这是[12]中的命题5.11；这个证明也适用于整数和有理数策略。在完整性条件（F）下Ohm, 我们可以证明，任何真正的交易策略都可以用一个具有一定比率的整数交易策略来近似。证明基于Dir-ichlet近似定理（定理A.1）。引理2.4。（i）如果S受到限制，则对于任何策略∈ 如果R和任何>0，我们可以找到一个策略ψ∈ Q这样的支持∈Tess sup | Vt（(R)Д）-Vt（(R)ψ）|<和V（(R)Д）=V（(R)ψ）。（ii）假设（F）并让∈ R和>0。然后是q∈ N和策略ψ∈ Z使得V（(R)Д）=V（(R)ψ）/q和SUPT∈T、 j=1，。。。d、 l=1，。。。，n |ψjt（ωl）-qИjt（ωl）|<q-1/（nd（T+1））<。特别是对于任何策略∈ R我们可以找到策略\'ψ∈ Q、 (R)η∈ 赞德q∈ N如此支持∈Tess sup | Vt（(R)Д）-Vt（(R)ψ）|<，支持∈Tess sup | qVt（(R)Д）-Vt（(R)η）|<和V（(R)Д）=V（(R)ψ）=V（(R)η）/q。整数约束下的动态交易5Proof。

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2022-6-1 06:54:47

第一部分很简单，因为任何实数都可以用有理数近似。我们发现了一系列策略（(R)ψ（k））k∈Nin Q使得ψ（k）→ 对于k，均匀地以ω表示→ ∞. 这和S的有界性意味着值在任何时间t的收敛性∈ T如果初始值被固定为相等。为了显示第（ii）部分，设Rt：={Иjt（ωl）：j=1，…，d，l=1，…，n}。对于anyt∈ 不让…发生，aKttbe是Rt元素的枚举。我们有Kt≤ DNT适用于任何t∈ T和thusPt∈TKt公司≤ nd（1+T）。通过Dirichlet近似定理（定理A.1），我们发现q∈ N带q-1/（nd（1+T））<和pkt∈ Z带| pkt- qakt |<q-1/（nd（1+T））对于任何T∈ T、 k=1，千吨级。对于t∈ T我们定义ψjt（ωl）：=pktwhere k∈ {1，…，Kt}是这样的：Дjt（ωl）=akt。然后{ψjt=pkt}[米∈Ak{Иjt=amt}，其中Ak={m=1，…，Kt:pmt=pkt}。因此ψ是可测的w.r.t.到由ψtand生成的σ代数，因此，Ft-1-可测量。因此，ψ是一个可预测的zd值过程。ψ和Д的均匀距离小于q-1/（nd（1+T））施工。利用前面的引理，我们可以证明在完整性条件下，经典无套利等价于NIFL。定理2.5。Assu me（F）。那么下面的陈述是等价的：（i）有一个等价的鞅测度Q≈ P，（ii）模型满足经典无套利性质NA，（iii）模型满足NIFL。此外，如果风险资产的数量为d=1，则以下陈述也相当：（iv）满足模型。证据（i）和（ii）的等价性是经典的FTAP，参见【12，定理5.16】。此外，NA相当于我们设置中的ic类al无免费午餐条件（见[8，16]），这产生了含义（ii）=>（iii）。现在我们假设（iii）并显示（ii）。Let(R)∈ R，使V（(R)Д）=0和VT（(R)Д）≥0

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2022-6-1 06:54:50

根据引理2.4的第（ii）部分，我们发现qN∈ N与策略ψ（N）∈ Z此类tha t（2.3）ess sup | qNVT（(R)Д）- VT（(R)ψ（N））|≤N、 W.l.o.g.，序列QN增加。我们得到（2.4）VT（(R)ψ（N））≥ qNVT（(R)Д）-N≥ -N、定义：=（1 VT（|ψ（N））>1，VT（|ψ（N））VT（|ψ（N））≤ 1=VT（(R)ψ（N））-（VT（(R)ψ（N））-1） 1{VT（(R)ψ（N））>1}∈ CZ，N∈ N、自ZN起∈ L∞, 有一个收敛的子序列，w.l.o.g.zn本身收敛到so me Z∈ cl（CZ）。通过（2.4），我们得到了Z≥ 那么，NIFL意味着Z=0,6 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERand，因此VT（(R)ψ（N））→ 0、自q起-1NVT（°ψ（N））→ 通过（2.3）（回想一下，qn增加了），我们得出结论，VT（(R)Д）=0。现在假设d=1。（二）=>（iv）是显而易见的。我们假设（ii）没有任何作用。[12]中的命题5.11产生了一个单期套利的存在，即无轨套利和t∈ T，使得任意T的φT=0∈ T \\{T}。由于“Д”是一种套利，我们必须将“Дt6”设为0。定义ψjt：=|tj/| |t |，t∈ T、 j=0，1。那么ψ也是一种套利。此外，ψt∈ {-1, 0, 1} Z表示任意t∈ T、因此ψ∈ Z、因此，（iv）不成立。在实践中，模式l规范中出现的所有值都是浮点数。以下结果表明，在这种情况下，任意地理机会的存在不受完整性约束的影响。定理2.6。假设（F），利率r和所有资产价值都是合理的：r∈ Q、和St∈ Qdfor t∈ T、那么NIA等于NA。证据NA总是意味着NIA。现在假设我们有一个真正的套利机会。根据引理2.3的第（iii）部分，有一个可预测的过程ω ∈ Ohm :TXk=1хk（ω）^Sk（ω）≥ 0,ω ∈ Ohm :TXk=1хk（ω）^Sk（ω）>0。现在的断言来自下面的引理2.7。注意，结果有理过程的可预测性很容易得到保证，通过为所有k，j引入一个单一变量，表示ωs属于Fk的同一个原子的Дjk（ω）-1.

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2022-6-1 06:54:53

在证明上述结果时，我们应用了以下简单引理。利用Ehrhart关于扩张多面体中晶格点的理论[4，21]，肯定可以沿着这些线陈述更一般的结果。因此，我们并没有宣称引理2.7是独创的，但给出了一个简短的自足证明，证明了读者的对流性。引理2.7。Let（aij）1≤我≤r、 1个≤j≤sbe一个具有有理项的矩阵∈ Q、假设有一个实向量（x，…，xs），使得（2.5）sXj=1aijxj≥ 0，i=1，r、至少有一个不等式是严格的。然后有一个有理向量满足（2.5）。我们感谢曼努埃尔·考尔斯指出这一点。整数约束下的动态交易7Proof。在可能对矩阵（aij）的行进行重新排序之后，我们可以假设有u∈ {1，…，r}这样sxj=1aijxj>0，1≤ 我≤ u、 sXj=1aijxj=0，u<i≤ r、定义yi：=Psj=1AIJXJ1≤ 我≤ u、我们得到向量（x，…，xs，y，…，yu）解出系统sxj=1aijxj- yi=0，1≤ 我≤ u、（2.6）sXj=1aijxj=0，u<i≤ r、（2.7）y，yu>0。（2.8）方程（2.6）和（2.7）构成了一个具有有理系数的齐次线性方程组，其基础为B Qs+uof有理解向量，通过高斯消元。向量（x，…，xs，y，…，yu）可以写为B中向量的线性组合。通过用有理数近似该线性组合的（实）系数，我们得到一个向量（▄x，…，xs，▄y，▄yu）∈ Qs+使用（2.6）–（2.8）。然后（▄x，▄xs）是所需的有理向量。定理2.6的断言不适用于有限概率空间，如下面的示例插图所示。示例2.8。允许Ohm = {ω, ω, . . . } 可数，A=2Ohm, 和fix任意概率测度P，对于所有i，P[{ωi}]>0∈ N、我们选择d=2，T=1，andr=0。

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2022-6-1 06:54:56

资产价格由S=（1，1）和（ωi）=（（1+pi，1+qi）i偶数，（1- ^pi，1- ^qi）i奇数，其中pi，qi，^pi，^qiare满足（2.9）piqiπ和^piqiπ的自然数，i→ ∞.因此，增量为S（ωi）=（（pi，qi）i偶数(-^pi，-^qi）我很奇怪。向量（Д，Д）∈ Ryields套利当且仅当ifpiqiД+Д≥ 0，i偶数，（2.10）^pi^qiИ+Д≤ 0，i奇数，（2.11），至少有一个不等式是严格的。通过（2.9），向量（Д，Д）=（1，-π）满足了这一点，因此NA不成立。通过让我倾向于完整性，我们可以看到STEFAN GERHOLD、PAUL KR¨UHNERis没有满足（2.10）-（2.11）的整数向量，这表明模型是令人满意的。我们的下一个目标是描述NIA，而不限制资产价格或全国数字。正如我们将看到的，对于d>1，NIA并不等价于等价鞅测度的存在，而是等价于具有附加性质的绝对连续鞅测度的存在。我们首先介绍了一组不包含任何净利润定义2.9的战略。（i）设Q是上的概率测度(Ohm, A），并用R表示初始值为零的交易策略集：={^1∈ R:V（(R)Д）=0}。我们表示初始资本为零且Q-a.s.收益为零的所有整数值（分别为有理值和实值）交易策略的集合：={^1∈ R∩ Z:VT（(R)Д）=0 Q-a.s.}，QQ：={(R)Д∈ R∩ Q：VT（(R)Д）=0 Q-a.s.}，RQ：={(R)Д∈ R： VT（(R)Д）=0 Q-a.s.}。（ii）如果我们假设（F），那么我们为鞅m测度sq的集合写qMaxzf<< P使φ ∈ QQ：（VT（(R)Д）≥ 0=> VT（(R)Д）=0）和φ ∈ RQ:VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}={ω∈ Ohm : Q[{ω}]=0}。（iii）QZdenotes鞅测度集Q<< P使φ ∈ ZQ：（VT（℃）≥ 0=> VT（(R)Д）=0）。显然，我们有Q QmaxZ公司 QZ，其中Q表示等价鞅测度s的集合。

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2022-6-1 06:54:59

（对于第一个包含项，(R)Д=0满足（ii）中的存在状态。）在给出整数平移的FTAP之前，我们展示了QmaxZ中度量的进一步性质。提案2。10、假设（F）和QmaxZ6=. 然后是一组a（Ohm这样QmaxZis就是鞅测度集，其支持度为Ohm \\ A、此外，还有∈ R带VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}=A。现在，让Q∈ QmaxZand让Q′∈ QZ。然后Q′<< Q、此外，QmaxZis densein qz相对于总变化距离。证据选择Q∈ QmaxZand出租∈ RQ满足定义2.9（ii）中的存在声明。定义A：={VT（(R)Д）>0}。n’Д是所需的交易策略。设Q′是支持度等于的鞅测度Ohm \\ A、然后，满足定义2.9中（ii）的存在声明。Let？ψ∈ QQ′带VT（(R)ψ）≥ 0。然后VT（(R)ψ）=0 Q′-a.s.，即VT（(R)ψ）=0开Ohm \\ A、因此，(R)ψ∈ QQ。（ii）定义2.9得出VT（(R)ψ）=0。因此，Q′∈ QmaxZ。我们需要证明qMaxzi中的任何度量都是有支撑的鞅度量Ohm \\ A、然而，这如下所示，因为我们已经证明了Q′<< 任意Q′的Q∈ QZ。设Q′∈ QZ。观察VT（(R)Д）=0 Q′-a.s，因为Q′是鞅测度。因此，A={VT（(R)）>0}是一个Q′-空的s e t。我们找到Q′<< Q、这确保定义2.9第（ii）部分中出现的集合{ω}是可测量的。整数约束下的动态交易最后，我们必须证明Q′可以用qMaxzintall变差中的元素来近似。定义Qα：=αQ′+（1-α）任意α的Q∈ [0, 1]. 那么Q′=Q← Qαasα→ 然而，对于α6=1，Qα是一个与Q具有相同支持度的马氏测度，因此，它在QmaxZby中是我们迄今为止所展示的。我们现在可以为整数交易制定FTAP。定理2.11。假设（F）。那么以下语句是等效的：（i）QmaxZ6=（ii）QZ6=（iii）市场满意度。含义（二）=>（iii）不需要假设（F）。证据

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kedemingshi

2022-6-1 06:55:02

（一）=>（ii）是琐事l.（ii）=>（iii）：我们确定了一个度量值Q∈ QZ。Let(R)∈ R∩ Z带VT（(R)Д）≥ 0.由于Q是鞅度量，我们有^VT（(R)ν）=0 Q-a.s.因此，VT（(R)Д）=0 Q-a.s.因此∈ ZQ。根据定义2.9的第（iii）部分，我们得出VT（(R)Д）=0。因此，我们有天堂。（三）=>（i）：LetA：={ω∈ Ohm : φ ∈ R： VT（(R)Д）≥ 0∧ VT（°И）（ω）>0}。对于每个ω∈ A选择一个相应的策略(R)Д（ω）∈ R带VT（(R)Д（ω））≥ 0和Vt（(R)Д（ω））（ω）>0。定义：=Xω∈A'Д（ω）。然后(R)∈ R、 VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}=A。我们声称，对于任何(R)ψ∈ R带VT（(R)ψ）1Ohm\\A.≥ 0我们有VT（(R)ψ）1Ohm\\A=0。Let？ψ∈ R带VT（(R)ψ）1Ohm\\A.≥ 0.如果VT（(R)ψ）≥ A上的0，然后是VT（(R)ψ）≥ 0，因此，VT（(R)ψ）1Ohm\\通过A的构造，A=0。因此，对于某些ω，我们可以假设VT（(R)ψ）（ω）<0∈ A、 Thenc：=-min{VT（(R)ψ）（ω）：ω∈ A} 最小值{VT（(R)Д）（ω）：ω∈ A} >0。策略“ψ+c”采用Rand Saties VT（“ψ+c”Д）≥ 0。因此，VT（(R)ψ+c'Д）=0在A外部。因此，VT（(R)ψ）=0在A外部，即VT（(R)ψ）1Ohm\\A=0。假设A=Ohm. 然后VT（(R)Д）>0。定义：=最小值{VT（(R)）（ω）：ω∈ Ohm} > 引理2。4产量q∈ N和ψ∈ Z使得| VT（(R)ψ）- VT（q'Д）|<e。因此，VT（'ψ）>qVT（'Д）- e≥ 0 . 因此，ψ是一个整数套利。矛盾。因此，A（Ohm. 我们已经证明，市场是没有套利的Ohm \\ A、经典基本理论给出了一个鞅测度Ohm \\ A表示S。我们表示其对上概率测度的扩展Ohm 通过Q，即Q[M]=任何M的Q[M\\A] Ohm. 然后Q<< P和Q是{ω}的鞅测度∈ Ohm : Q[{ω}]=0}=A。由于{VT（(R)Д）>0}=A，我们在定义2.9的第（ii）部分中有存在性陈述。现在让\'ψ∈ QQwith^VT（(R)ψ）≥ 设q为{ψjt（ωl）:t的公分母∈ T、 j=1，d、 l=1，n} 。然后q′ψ∈ ZQ。由于我们有NIA，我们得到了VT（(R)ψ）=qVT（qPψ）=0，如所述。

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2022-6-1 06:55:04

一个直接的结果是，以下是构建无整数套利市场的有效标准。10 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨uhnercorolution 2.12。让Q<< P是鞅测度，并假设ZQ={0}。然后市场就满足了。下面的例子是上述推论的简单应用。示例2.13。假设d=2，n≥ 2，T=1，r=0，选择（S，S）=（1，π）和（S，S）（ωj）：=（（3/2，3π/2）j=1，（1/2，π/2）j=2。定义Q[{ωj}]=1{j=1,2}/2，对于j=1，n、然后Q<< P是鞅测度，RQ={（0，-πφ, φ) : φ∈ R} 。因此，我们有ZQ={0}。因此，推论2.12的收益率表明市场不允许整数套利。观察到无论j的（S，S）（ωj）的规格如何，这都是成立的≥ 另一个直接的缺点是绝对连续鞅测度的存在。推论2.14。假设模型满足NIA和assum e（F）。然后有一个绝对连续的鞅测度。证据定理2.11（iii）中的立即数=>（i）。下面的例子表明，绝对连续鞅测度a lone的存在不足以排除整数套利。示例2.15。允许Ohm = {ω，ω}，S=1=S，S=1，S（ωi）=i，对于i=1，2（即T=1，d=1，n=2）。那么Q：=Δω是一个鞅测度，它相对于P：=（Δω+Δω）/2是绝对连续的，其中Δωjdenotes t heDirac测度在ωj上。策略(R)Д：=(-1，1）是整数套利。最后，我们提供将在第4节中使用的技术声明。引理2.16。假设（F），设Q∈ QmaxZand假设对于任何B∈ Fwehave Q[B]∈ {0, 1}. 那么F=F.Proof。让A∈ Q[A]=0时的Fbe最大值。然后B：=Ohm \\ A是一个原子，它在Fis中唯一的严格子集是空集。如果A=, 然后，这个谎言就无足轻重了。假设6=.

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2022-6-1 06:55:07

我们声称该模型仅限于一个仍然令人满意的国家。为此，让∈ Q、 t=1。带(R)的T=。^1t-1=0和^Vt（(R)Д）=···=^Vt（(R)Д）≥ A上的0。（由于无轨的存在意味着单期套利的存在，因此必须避免这种策略。）情况1：t=1。由于^S=EQ[^S]=^S（B），我们发现^V（(R)Д）（B）=V（(R)Д）=0，因此，V（(R)Д）≥ 0无处不在。由于（S，…，Sd）满足NIA，我们得到V（(R)Д）=0，因此，对于任何S∈ T、案例2：T≥ 定义？ψ：=1A？Д。自A∈ Fand(R)ν=0，我们发现t(R)ψ∈ Qwith？ψ=。ψt-1=0且^Vt（(R)ψ）=···=^Vt（(R)ψ）≥ 0.自上的模型Ohm 通过假设，我们发现0=Vt（(R)ψ）=1AVt（(R)Д），因此，A上的Vt（(R)Д）=0。因此（S，…，Sd）仅限于满足。根据定理2.11，存在Q′∈qMaxZ对于限制为A的模型（S，…，Sd）。我们表示其扩展为Ohm byQ′，即Q′[C]=Q′[C∩ A] 对于任何C∈ A、定义Q：=Q/2+Q′/2，并观察Q∈ QZ。然而，问题6≈Q bec因为Q′对Q有disjo int支持。整数约束下的动态交易11但命题2.10意味着Q≈~Q，产生矛盾。因此A=因此，F=F。3、索赔和整数交易定义3.1。修正一个令人满意的模型。（i）索赔是一个随机变量C≥ 0、实数p≥ 如果存在自适应非负随机过程（Xt）t，则0是C的无整数轨道价格∈t X=p，XT=C，使市场（S，…，Sd，X）满足NIA。整数无套利价格集用∏Z（C）表示。（ii）C的整数超边缘是一种交易策略∈ Z，使VT（(R)Д）≥C、如果满足VT（(R)Д）=C，则为整数复制策略。

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kedemingshi

2022-6-1 06:55:10

Wewrite（3.1）σZ（C）=inf{V（(R)Д）：(R)∈ Z、 VT（°~n）≥ C} 对于C的整数超复制策略的价格上限，类似于∏Z（C），我们为满足NA的经典套利价格模型集编写了∏（C）。我们回顾了经典的超边缘定理（文献[12]中的推论7.15和7.18）：定理3.2。假设NA成立，让C是sup∏（C）<∞.然后有一个策略∈ R带V（°Д）=sup∏（C）和VT（°Д）≥ C、此外，sup∏（C）是具有此性质的最小数。在较弱的假设NIA下，我们找到与上述定理类似的陈述。下面的提案3.8指出，NIA支持存在一个真正最便宜的超级边缘，其价格是所有合理超级边缘价格的上限。此外，下面的定理4.3暗示，要么索赔的NIA兼容价格集为空，要么其上确界等于最便宜的超边际价格。没有必要定义整数完备性的概念，因为没有具有这一性质的有趣模型：命题3.3。以下语句是等价的：（i）每个声明都可以通过整数策略复制，（ii）概率空间(Ohm, A、 P）由单个原子组成。证据如果（ii）成立，且C为索赔，则存在常数C∈ [0, ∞) 这样，C=C a.s.然后C由整数策略y|||||||||||Μ=（Д，0）复制，其中Дt=C/（1+r）t-t、 t型∈ T、现在我们假设每个cla im都是整数可复制的。特别是，在经典意义上，每个目标都是可复制的。众所周知，这意味着Ohm被分成无数个原子。（当然，这一结果通常在满足NA的模型框架内得到证明。但是，从[12]中orem 5.37的证明可以看出，假设NA不是必需的。）如果Ohm 不由单个原子组成，那么我们可以固定两个不同的原子a和B。

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2022-6-1 06:55:13

对于随机变量X，我们可以在a（分别为B）上找到其本质值，并用δa（X）（分别为δB（X））表示。自筹整型交易策略独特的定义是，其首字母为12 STEFAN GERHOLD、PAUL Kruhnerwealth V（(R)Д）和可预测的Zd值过程Д=（Дt）t=1，。。。，T、因此有一个双射映射：R×Zc→ Zc其中Zc：={（Д，…，Дd）：(R)∈ Z} 可计数，V（Γ（V，Д））=V表示任意V∈ R、特别是v 7→ VT（Γ（v，Д））是一个函数。我们有（a、b）∈ [0, ∞): a1A+B1b可以是整数复制(3.2)δA（VT（(R)Д）），δB（VT（(R)Д））: φ ∈ Z=[φ∈Zc公司δA（VT（v，Д））、δB（VT（v，Д）））: v∈ R.（3.3）对于每个∈ Zc，集合δA（VT（v，Д））、δB（VT（v，Д）））: v∈ R是二维Lebesgue测度的空集，因为它是R中的一维a ffinespace。我们得出结论，（3.3）的Lebesgue测度为零，因此（3.2）也是空集。这与我们的假设相矛盾。回想一下，在经典情况下（假设（F），因此可积性成立），无套利价格集的表示形式为∏（C）=nEQhC（1+r）Ti:Q∈ Qo，其中Q是等价鞅测度集。相应的forNIA结果如下：命题3.4。假设（F），模型满足。设C为索赔。然后∏Z（C）nEQhC（1+r）Ti:Q∈ QZo。证据假设p∈ ∏Z（C）。然后有一个适应的过程X，使得X=p，XT=C和（S，…，Sd，X）满足NIA。让我们来看看满足该市场定义2.9第（iii）部分的绝对连续美国市场衡量标准s。根据定理2.11，有Q∈^QZ QZ。那么p=等式[C（1+r）T]。下面的例子表明，命题3 c中的包含可以是严格的。事实上，在这个例子中，我们有∏Z（C）=.示例3.5。允许Ohm = {ω，ω，ω}，r=0，d=2，T=1，对于任何j=1，2，3，P[{ωj}]=1/3。那么无风险资产为常数1，即t的St=1∈ {0, 1}.

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2022-6-1 06:55:16

Wechoose（S，S）=（π，1）和（S，S）（ωj）=（2π，2）j=1，（π，）j=2，（π，2）j=3。一个简短的计算表明，Q[{ωj}]：=1{j6=3}j/3是唯一的鞅测度。显然，我们有Q<< P，并且初始财富和Q-a.s为零的唯一整数策略。最终财富为零的策略等于零。因此，Q满足定理2.11中的（ii），因此，我们有NIA。因为Q是唯一的鞅测度，所以我们有QZ={Q}=QmaxZ。现在，我们考虑索赔C：=1{ω}。命题3得出∏Z（C）等式[C]= {0}.整数约束下的动态交易13定义扩展模型（S，S，S，X），其中X：=0，X：=C。由于（0，0，0，1）是扩展模型的整数套利，因此0/∈ πZ（C），so∏Z（C）= （{0}=nERhC（1+r）Ti:r∈ QZo。如果模型满足NA（而不仅仅是NIA），那么我们可以比较经典响应集。整数无套利价格。众所周知，∏（C）是一个区间，对于不可复制的C是开放的，如果C是可复制的，它由一个点组成。结果表明，在NA下，集合∏Z（C）也是一个区间，它可能仅在端点处与∏（C）不同。特别是，如果NA保持不变，则∏Z（C）不能为空。定理3.6。假设（F），模型满足NA，并设C为索赔。然后∏（C） ∏Z（C） cl（∏（C））。此外，如果sup（πZ（C））∈ πZ（C），那么要么C在Qor中有复制策略，要么C在Q证明中没有最便宜的经典超边缘st策略。第一个包含的内容微不足道。命题2.10结合NA yieldsthat QmaxZis是等价于P的鞅测度集，并且该集在QZ中是稠密的。因此，命题3.4意味着∏Z（C）nEQhC（1+r）Ti:Q∈ QZo公司 clnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo=cl（π（C））。为了显示第二个断言，假设s：=sup（πZ（C））∈ πZ（C），有一种最便宜的经典超边缘策略∈ Q

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2022-6-1 06:55:19

这就是说，(R)hasprice V（(R)Д）=s和payoff VT（(R)Д）≥ C、自s起∈ πZ（C），当以s价格交易时，模型有一个无整数轨道的扩展。考虑策略（°Д，-1）在扩展模型中。其成本为零，其支付额为VT（(R)Д）-C≥通过引理2.3的第（i）部分，我们得出C=VT（(R)ν），a和so∈ Q是C的复制策略。或者，夹杂物∏Z（C） cl（π（C））可以用引理2证明。引理2.4（i）和定理3.2。在前面的定理中，区间边界可以包含在∏Z（C）中，也可以不包含在∏Z（C）中，如下例所示。第（ii）-（iv）a部分所需的计算与第（i）部分相似，我们省略了细节。示例3。7、让Ohm = {ω，ω，ω}，r=0，T=1，并假设风险资产的数量为d=1。设S=2 AND（ωj）=1 j=1,3 j=2,3 j=3。等价鞅测度由（3.4）Qα：=Δω+αΔω+(- α)δω, α ∈ （0，），因此模型满足NA。14 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNER（i）定义索赔（ωj）=√2 j=1,0 j=2，√2 j=3。利用（3.4），我们发现经典的无套利价格∏（C）={EQα[C]：α∈ (0,)} = (√2, 3√2).现在，我们使用Lemma 2.3的第（iii）部分检查整数套利的边界点。由C扩展的市场中的整数套利，价格pthus为∈ Zsuch thatД(S、 C类-p）≥ 0和Д(S、 C类-p） 6=0。对于p=√2，我们得到了不等式-1.√1.-√1 3√φφ≥ 解集{（ν，ν）/√2) : φ∈ [0, ∞)} 与Z有平凡的交集，依此类推√2是C的整数无套利价格。类似地，我们得到√2.∈ 我们得出结论，区间∏Z（C）包含两个端点：∏Z（C）=[√2, 3√2].根据定理3.6的第二个断言，我们现在验证了Q中没有最便宜的经典超边。

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2022-6-1 06:55:22

（注意，C是不可复制的，因为∏（C）|>1；在第八部分中，没有复制策略，如果∈ Ris是最便宜的超边缘，则Д必须满足Д=maxω∈Ohm（C（ω）- ДS（ω））。该策略的成本则为isV（(R)Д）=最大ω∈OhmC（ω）- ДS（ω）+ ДS=最大ω∈OhmC（ω）- φS（ω）.我们的最佳策略是(R)Д=（3√2.√2) /∈ Q、因为这个问题∈Rmaxω∈OhmC（ω）- φS（ω）= inf^1∈Rmax{2√2 + φ, -φ, 4√2.- ^1}具有唯一的解决方案=√2、同样，我们得出最昂贵的经典次边不在Q中，这与定理3.6第二个断言的（明显的）次边变体一致。（ii）IfC（ωj）=√2 j=1,0 j=2，√2 j=3，则∏Z（C）=[√2, 2√2). 最便宜的经典超边缘在Q中，而最昂贵的经典次边缘不在Q中。（iii）IfC（ωj）=0 j=1,0 j=2，√2 j=3，则∏Z（C）=（0，√2]. 最便宜的经典超边缘不在Q中，而最昂贵的经典次边缘在Q中。整数约束下的动态交易15（iv）IfC（ωj）=0 j=1,0 j=2,2 j=3，然后∏Z（C）=（0，1）。最便宜的经典SuperEdge和最昂贵的经典SubEdge都在Q中。将注意力限制在索赔中的静态交易策略上可能是有意义的，例如，作为一种简单的方法来建模衍生品的典型减少流动性，与它们的基础相比。这意味着该债权最初可以买入或卖出，但在到期之前不得交易。在经典情况下，超边缘理论（定理3.2）很容易得出这样定义的静态套利电子自由索赔价格集∏stat（C）满足∏stat（C）=∏（C）。现在假设我们的模型只满足NIA。与（3.1）类似，定义σZ（C）=sup{V（(R)Д）：(R)∈ Z、 VT（°~n）≤ C} 。对于p/∈ [σZ（C），σZ（C）]，我们显然有p/∈ πstatZ（C），因为，使用适当的整数子响应。

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2022-6-1 06:55:25

因此，可以很容易地为扩展模型构造一个静态整数套利。因此，我们得到∏Z（C） ∏statZ（C） [σZ（C），σZ（C）]。现在，我们开始确定Q中“最便宜”的超边的值。与经典情况的唯一区别是，最便宜的超边不是nec e ssarilyin Q，而是可以用Q中的超边任意逼近（即使onlyNIA成立）。有关Z中“廉价”超边缘的结果，请参见第5节。提案3。8、假设（F），模型s为IA，C为索赔。然后是最便宜的SuperEdge∈ R其中满足度（(R)Д）=supnEQhC（1+R）Ti:Q∈ QZo=supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。此外，对于任何>0的情况，都有一个超边\'ξ∈ 对于C s，Q等于V（¨ξ）≤V（℃）+。证据命题2.10 Yieldsupneqhc（1+r）Ti:Q∈ QZo=supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。让Q∈ QmaxZand定义：={ω∈ Ohm : Q[{ω}]=0}。然后，限制为Ohm \\ 因为Q是鞅测度，所以满足NA。由（F）可知，在这个市场上C有一个最便宜的超边缘，我们用“η”表示∈ R、满足VT（(R)η）≥ C Q-a.s.自Q起∈ qMaxz此处为？ψ∈ Rsuchthat VT（(R)ψ）≥ 0和{VT（(R)ψ）>0}=A。AsOhm 是否确定有∈ R使得VT（a？ψ+？η）=aVT（？ψ）+VT（？η）≥ C、根据命题2.10和定理3.2，我们发现“Д：=a”ψ+“η”是C的超边，初始价格V（？）=V（？）=supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。16 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERNow letγ∈ R是C的任何超边缘。然后是VT（(R)γ）≥ C Q-a.s.适用于任何Q∈ QmaxZand，因此，V（(R)γ）=EQhVT（(R)γ）（1+r）Ti≥ supnEQhC（1+r）Ti:Q∈ QmaxZo。因此，(R)对于C来说是最便宜的超边缘。第二个部分很容易从引理2.4的（i）部分得到。整数无套利价格集的结构本节的主要结果是NIA相容类的集∏Z（C）在区间内总是稠密的（定理4.3）。

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大多数88

2022-6-1 06:55:28

首先，我们给出了一些表示∏Z（C）等于区间的有效条件。提案4。1、如表（F）所示，模型满足要求。如果以下任何陈述成立，则∏Z（C）为区间：（i）只有一个交易期（T=1），且∏Z（C）不为空，（ii）只有一个风险资产（d=1），或（iii）模型满足NA。证据如果（ii）成立，则定理2.5得出（iii）成立。如果我们假设（iii），则定理3.6给出了该主张。现在假设（i）成立。命题3.4意味着∏Z（C）nEQhC（1+r）Ti:Q∈ QZo：=J。如果J是一个单态，那么我们在假设中有等式，因此，该要求如下。因此，我们可以假设J至少包含两个点。集合J是一个区间。让p∈ int（J）和define X：=p，X：=C。假设模型（S，…，Sd，X）存在整数套利（(R)，Дd+1），这是矛盾的。根据引理2.3的第（ii）部分，我们可以假设V（(R)Д，Дd+1）=0。我们有φd+16=0，因为从另一个角度来看，φ是（S，…，Sd）的整数套利，V（(R)φ）=0。情况1：Дd+1<0。然后是C≤ -（1/Дd+1）Pdj=0ДjSj。因此，ψj：=-νj k d+1，j=0，d、是C的一个辅助边。我们有V（|ψ）=p。命题3.8得出p=V（|ψ）≥sup（J）>p.矛盾。情况2：Дd+1>0；相似的因此，p∈ πZ（C）产生int（J） ∏Z（C） J，因此，∏Z（C）isan区间。我们现在给出一个整数套利兼容价格集不是区间的例子。更准确地说，我们展示了一个满足NIA的模型和一个索赔，其中NIA一致性的集合由∏Z（C）=[0，1/2]\\（Q+Qπ）给出。示例4.2。允许Ohm := {ω，ω，ω，ω}，d=2，T=2，r=0。我们使用过滤F：={, Ohm}, F： =σ（{ω}，{ω，ω}，{ω}）和F：=2Ohm.

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2022-6-1 06:55:31

我们选择（S，S）：=（1，π）和（ωj）：=S（ωj）给出的市场模型：=（3/2，3π/2）j=1，（1/2，π/2）j=2，3，（1，1+π）j=4。整数约束下的动态交易17该市场允许静态套利ηt：=（0，-π、 1）这是自融资，满足V（(R)η）=0和V（(R)η）=1{ω}。因此，任何鞅测度qm都必须满足Q[{ω}]=0。通过Qα[{ωj}]定义度量Qα：=1/2 j=1，α/2 j=2，（1- α） /2 j=3,0 j=4。对于任何α∈ [0, 1]. 那么Qα是鞅测度，ZQα={0}。特别是，定理2.11得出NIA成立的结论。此外，QZ={Qα：α∈ [0, 1]}.现在我们选择索赔C：=1{ω}。命题3.4收益率∏Z（C） {EQ[C]：Q∈ QZ}=[0，1/2]。让p∈ [0, 1/2] ∩（Q+Qπ），p6=0，为矛盾假设p∈ ∏Z（C）。然后有一个适应的过程（X，X，X），使得X=p，X=C，模型（S，S，S，X）满足。定义α：=2p，并设u，v∈ Q等于α=u+vπ。确定策略（(R)Дt，Дt）t=1,2∈ Q byД：=sgn（（2-π）五- u）∈ {-1，1}和（(R)Д，Д）：=(-αД，uД，vД，Д），（(R)，Д）（ωj）：=（0 j=1，2，3，|(2 - π）五- u |，0，0，0j=4。该策略满足V（°Д，Д）=0和V（°Д，Д）=V（°Д，Д）=|（2- π）五-u |·1{ω}。因此，（(R)Д，Д）是一种理性套利。矛盾。设p=0，并假设p∈ ∏Z（C）。然后有一个适应的过程（X，X，X），使得X=0，X=C，模型（S，S，S，X）满足NIA。定义静态策略（(R)，Д）：=（0，0，0，1）。我们有V（(R)，Д）=0和V（(R)，Д）=1{ω}。因此，（(R)Д，Д）是一种整数套利。矛盾。到目前为止，我们已经证明了∏Z（C） [0，1/2]\\（Q+Qπ）。相反，让我们现在∈ [0，1/2]\\（Q+Qπ）。我们证明p∈ ∏Z（C）。定义α：=2p和Xα：=α/2，Xα：=α1{ω，ω}，Xα：=C。为了确保模型（S，S，S，Xα）满足，假设存在整数套利。然后是一个单期套利（(R)Д，Д）。

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2022-6-1 06:55:34

显然，在第二阶段不存在套利可能性，因此我们可以假设（Д，Д）=0（即，在第二阶段没有风险头寸）。因此，V（°Д，Д）=V（°Д，Д）≥ 0.由于Qα是扩展模型的鞅度量，我们得到V（(R)Д，Д）=0 Qα-a.s。特别是，V（(R)Д，Д）（ω）=0，加上V（(R)Д，Д）=0（见引理2.3（ii）），这意味着- αφ= 0.作为满足NIA的原始模型，我们必须有Д6=0，这导致合同2p=α=Д+πД∈ Q+Qπ。18 STEFAN GERHOLD，PAUL Kruhnerthus，不存在整数套利，即模型满足NIA，因此，p∈∏Z（C）。在本节的其余部分中，我们将始终假设（F），NIA和ft=A。同时，让C为索赔。下面的定理是我们在一般情况下关于∏Z（C）结构的主要结果。定理4.3。集合∏Z（C）在中为空或密集inf公司均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司, 啜饮均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司.定理m将遵循下面的引理4.8和4.9。请注意，由于命题2的最后一个assertion，qmaxzc可以替换为QZ。10、为了证明定理4。假设∏Z（C）为非空，并选择p*∈ ∏Z（C）。根据定义，有一个经过调整的过程（X*t） t型∈Tsuch该X*= p、 X个*T=C，模型（S，…，Sd，X*) 满足感。我们还定义：={ω∈ Ohm : φ ∈ R： VT（(R)Д）≥ 0，VT（°Д）（ω）>0，°Д，对于任何t，(R)t=0}∈ T \\{T}。根据与T heorem 2.11证明中相同的论证，存在∈ Rwith'Д，^1t=0，VT（(R)Д）≥ 0和{VT（(R)Д）>0}=At。从定义来看，我们认为在-1和At-1\\At∈ 对于任何t∈ T \\{0}。定义4.4。我们为度量集Q写qt，使得（^Su）u=t，。。。Tisa Q-鞅，Ohm \\ ATI支持Q，对于任何非空setB，Q[B]>0∈ 英尺。

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2022-6-1 06:55:37

现在我们定义了两个集合序列：KT：={C}，KT：=nEQD1+r英尺: Q∈ Qt，D∈ Kt+1o，CT：={C}，CT：=（等式D1+r英尺: Q∈ Qt，D∈ Ct+1，B∈ 英尺ξ ∈ Qd公司s∈ {-1，1}：Bξ^St+1≥ s1B级D（1+r）t+1- EQhD（1+r）t+1Fti公司=> 1Bξ^St+1=s1BD（1+r）t+1- EQhD（1+r）t+1Fti公司)对于任何t∈ T \\{T}。下面的引理4.6与QmaxZ=q的凸性一起表示thatK=inf公司均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司, 啜饮均衡器C（1+r）T: Q∈ QmaxZ公司,下面的引理4.9产生了一个可数异常集F，使得C=K\\F。最后，引理4.8指出，NIA compatibleprices集合∏Z（C）中包含Cis，从而建立了定理m 4.3。出于技术原因，我们首先分析这些集合Qt，我们需要下面引理4.7中给出的kt的随机凸性。引理4.5。让t∈ T、然后qt为n，为空。如果t 6=0，则对于任何Q∈ Qt-1这里是Q′∈ qt使得EQ′[X | Fs]=EQ[X | Fs]Q-a.s.在整数约束19下，对于任何s=t，…，动态交易，T和任意随机变量X：Ohm → R、证明。设I：={t∈ T：该声明适用于T}。我们有0个∈ I根据定理2.11（I）。让t∈ T使得T- 1.∈ 一、我们展示t∈ I，意味着I=T，因此，声明。我们直接产生具有给定额外性质的测度。为此，让Q∈ Qt-1、让B，Bmbe是FTA和定义k的最小非空元素的枚举：=|{Bl：l=1，…，m，Bl 在-1\\At}|。我们可以假设B，黑色在-1\\At。自从Ohm \\ 在-对于任何l=k+1，…，我们有Q[Bl]>0的支持，m、自\\At开始-1我们的数据是可测量的-1\\At=Skl=1Bl。定义Bl上的概率度量Pl：=PP【Bl】。因为模型（^Su）u=t，。。。，Tsatis fies NIA我们从定理2.11（i）中得到一个鞅测度Ql<< Plon Bl.定义概率度量Q′[D]：=Q[D]+kXl=1Ql[D∩ Bl]/（1+k），D∈ A、显然，Q′的支持是Ohm\\对于任何D，A和Q′[D]>0∈ 英尺（^Su）u=t，。。。，这是一个Q′-鞅。

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2022-6-1 06:55:40

因此，我们有Q′∈ Qt。现在，让X：Ohm → R是随机变量，s∈ {t，…，t}。我们证明了eq′[X | Fs]是Q下X的Fs条件期望的一个版本∈ Fsand定义D′：=D\\At-那么D′是Q′-本质上Fs-可测的，因为Atis是Q′-空s e t，At-1英尺 Fs可测量。我们有EQ公式′[X | Fs]1D= 均衡器公式′[X | Fs]1D′= 均衡器等式′[X1D′Fs]= 均衡器公式[X1D′Fs]= 公式[X1D′）=公式[X1D]。因此，t∈ 我引理4.6。对于任何t∈ 我们有Kt=nEQhC（1+r）T-t型Fti:Q∈ Qto。证据定义：=t型∈ T:Kt=均衡器C（1+r）T-t型英尺: Q∈ Qt.显然，T∈ 一、 Le t t t∈ I \\{0}。我们证明t- 1.∈ I，意味着I=Tand，因此，主张。为此，让Xt-1.∈ 千吨级-1、然后是Q∈ Qt-1和Xt∈ Ktsuchthat Xt-1=等式[Xt1+r | Ft-1]. 自Xt起∈ KT有R∈ qt使得Xt=ER[C（1+r）T-t | Ft]。定义measureQ′[B]：=等式R【B | Ft】, B∈ A、自R起∈ qt对于任何非空集B，R[B]>0∈ 英尺Let B∈ 英尺-1.Ftbe非空。然后R[B | Ft]=1带，因此Q′[B]=Q[B]>0。Als o，（^Su）u=t-1.这是一个Q′-鞅。自年月日起在-1和At-1\\At∈ Ftwe getR[在-1 | Ft]=1 AT-1英尺+1英尺。20 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨uhner然而，Atis是一个n R空集，因此R[在| Ft]=0 R-a.s。由于Fthas no nempty R空集，我们有R[在| Ft]=0。我们在-1 | Ft]=1 AT-1\\At，whichyields Q′[At-1] =Q[在-1\\At]=0。L etω∈ Ohm \\ 在-1、然后R[{ω}| Ft]≥ 0 andR[{ω}| Ft]（ω）>0。由于Q[{ω}]>0，我们得到Q′[{ω}]>0。因此，Q′的支持是Ohm \\在-1，产生Q′∈ Qt-我们有eq′hC（1+r）T-（t-1)英尺-1i=EQ“ERhC（1+r）T-t型Fti/（1+r）英尺-1#=等式hxt1+r英尺-1i=Xt-因此，Xt-1.∈nEQhC（1+r）T-t型英尺-1i:Q∈ Qt-1o。现在，让Xt-1.∈nEQ[C（1+r）T-（t-1） |英尺-1] ：Q∈ Qt-1o；我们必须显示tXt-1.∈ 千吨级-1、有Q∈ Qt-1如此Xt-1=等式[C（1+r）T-（t-1） |英尺-1]. ByLemma 4.5我们发现Q′∈ qt使得对于任意随机变量Y，等式[Y | Fs]=等式′[Y | Fs]Q-a.s：Ohm → R和任何s=t，T

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2022-6-1 06:55:43

定义Xt：=等式′[C（1+r）T-t | Ft]∈ KT因为t∈ 一、我们发现-1. EQhXt1+r英尺-1i=EQ“EQ′hC（1+r）T-t+1Fti公司英尺-1#=等式HC（1+r）T-（t-1)英尺-1i=Xt-1、因此，t- 1.∈ 我引理4.7。对于任何t∈ T和任意Ft可测随机变量α，其值为sin[0，1]和任意X，Y∈ Ktwe有αX+（1-α） Y型∈ 千吨级。证据引理4.6产量测度Q，R∈ qt使得X=等式[C（1+r）T-t | Ft]，Y=ER[C（1+r）t-t | Ft]。定义measureQ′[B]：=等式αQ[B | Ft]+（1- α） R【B | Ft】.很明显，Q和Q′在Ft上一致，很容易验证Q′∈ Qt。让B∈ 英尺ThenEQ′hBC（1+r）T-ti=EQhαEQhBC（1+r）T-t型Fti+（1- α） ERhBC（1+r）T-t型Ftii=等式[α1BX+（1-α） 1BY]=等式′[α1BX+（1-α） 1年]。我们发现 EQ′hC（1+r）T-t型Fti=αX+（1-α） Y.整数约束下的动态交易21引理4.8。我们有C ∏Z（C）。证据让p∈ C、定义X：=p。我们可以递归地查找Xt+1∈ Ct+1和QT∈ qt使得对于t，Xt=EQt[Xt+1/（1+r）| Ft]∈ T \\{T}。自XT起∈ CT={C}我们有XT=C。假设模型（S，…，Sd，X）存在整数套利，这是自相矛盾的。然后是一个单周期整数套利（(R)Д，Дd+1），即∈ 对于任何T，T的值（ДT，Дd+1t）=0∈ T \\{0，T}。然后有一个极小集B∈ 英尺-1\\ {} 这样1B（(R)Д，Дd+1）仍然是套利。定义（η，ηd+1）：=（Дt，Дd+1t）（ω）∈ Zd+1对于某些ω∈ B、 ThenY：=1Bη^St+ηd+1Xt（1+r）t-Xt公司-1（1+r）t-1.≥ 0和P[Y>0]>0。由于模型（S，…，Sd）满足NIA，我们得到ηd+16=0，并且可以定义ξj：=ηj/ηd+1。We ge tY/ηd+1=1Bξ^St+Xt（1+r）t-Xt公司-1（1+r）t-1..因此，Xt-1/∈ 计算机断层扫描-矛盾。不难看出，实际上C=πZ（C），但我们不会使用这个事实。引理4.9。让t∈ T、让Xt∈ K和定义Xαt：=αXt+（1- α） X个*t任何α∈ [0, 1]. 然后有一个可数集F （0，1）使得Xαt∈ 任何α的Ct∈ [0，1]\\F。特别是，CTI密度为Kt。证据定义：={t∈ T：该声明适用于此T}。显然，T∈ 我

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2022-6-1 06:55:45

Le t t t∈ I \\{0}。我们证明t- 1.∈ I，意味着I=Tand，因此，主张。为此，让Xt-1.∈ 千吨级-1、然后是Xt∈ K和Q∈ Qt-1如此Xt-1=等式[Xt/（1+r）| Ft-1]. 我们定义αt-1： =αXt-1+ (1 - α） X个*t型-1，Xαt：=αXt+（1- α） X个*t对于任何α∈ [0, 1]. 这是Ft （0，1）可数，使得Xαt∈ 任何α的Ct∈ [0，1]\\Ft.对于任何α∈ [0，1]\\t我们递归查找Xαs+1∈ Cs+1和Qαs∈ qs使得Xαs=EQαs[Xαs+1/（1+r）| Fs]，对于s≥ t、我们将证明（Su，…，Sdu，Xαu）u=t-1.Tsatis fies NIA适用于所有但可数的α选择∈ [0, 1]. 由于整数套利的存在意味着存在一个周期a的套利，且市场（Su，…，Sdu，Xαu）u=t，。。。，t不允许套利，我们知道这种套利必须在t- 1至t.自Ft-1是由无数个原子产生的，需要对其中一个原子进行调节。因此，我们可以简单地假设t=1。我们定义：={α∈ (0, 1] : α ∈ 对于Xα/∈ C} ，我们将证明Fis是可数的。为此，我们定义了集合D：={Y∈ L((Ohm, F、 P），R）：Y=ξ^SQ-a.s.，ξ∈ Rd}，DQ：={Y∈ L((Ohm, F、 P），R）：Y=ξ^SQ-a.s.，ξ∈ Qd}和^Xα：=Xα1+r- Xα表示α∈ [0, 1].22 STEFAN GERHOLD，PAUL KR¨UHNERCase 1：^X/∈ Dor公司^X*/∈ D、我们定义F：={α∈ [0, 1] : Xα∈ D} 。由于Dis是一个向量空间，我们发现F最多包含一个元素。我们声称（0，1）\\（F∪\'F）不包含任何F元素。为此，让α∈ （0，1）\\（F∪F）并假设第一阶段存在整数轨道。因此，存在ξ∈ Zd+1，ξd+16=0，且ξ^S+ξd+1^Xα≥ 由于Q是鞅测度，我们得到ξ^S+ξd+1^Xα=0Q-a.s.，并在求解^Xα我们发现^Xα∈ D、矛盾。案例2：^X，^X*∈ 有一个具有正Q-测度的集合^X6=^X*. 自DQ限制至Ohm \\ 我们发现有很多元素^Xα∈ DQat最常见。

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