，在[0，θ]上凸，[θ]上凹，∞) 对于一些θ>0）和w，如命题4.2所述。假设最优分位数G*xof（4.15），如Xu和Zhou（2013）第6节所述，存在于所有x>0的情况下。那么，命题4.2—（i）和（ii）在当前设置下仍然成立。命题4.3的证明被归入附录C。现在我们给出几个例子。示例4.2。设U（x）=xγ，对于某些0<γ<1，w是与w′（0+）=∞.在这种情况下，u（x）=u（x1/β）=xγ/β情况一：0<γ/β≤ 由于u是凹的，我们从命题4.2得出结论，对于所有x>0的x，^τ（x）=1，并且^τ*（x） =0，对于所有x>0的情况情况二：γ/β>1。由于u是凸的，如例4.1所述，最佳值supτ∈对于所有x>0的情况，TJ（x；τ）可计算为（4.10）。如果w由（4.9）给出，0<α<1，γ>0。观察所有x>0的最佳值：supτ∈TJ（x；τ）=limλ↓0w（λ）uxλ= limλ↓0exp(-γ(- 对数（λ））α）ληxη=石灰→∞e-γyαe-ηyxη=∞, （4.16）其中最后一个等式从α<1开始。如果存在最佳停止时间^τx，我们必须使^τx>0，因为立即停止不会达到最佳值（如u（x）<∞). 因此，Naive停止定律将永远持续（即，对于所有x>0的情况，^τ（x）=1），相应的复杂行为将立即停止（即，^τ*（x） =0表示所有x>0）。如果我们将w取为（4.12）或（4.13），类似的计算再次得出supτ∈TJ（x；τ）=limλ↓0w（λ）uxλ= ∞. 因此，对于所有x>0和^τ，我们得出了相同的结论，即^τ（x）=1*（x） =0表示所有x>0。示例4.3。设U（x）=（x-K） +对于某些K>0，且w为倒S形，w′（0+）=∞.在这种情况下，u（x）=u（x1/β）=（x1/β- K） +.o案例一：0<β≤ 1、由于u是凸的，最优值supτ∈对于所有x>0的情况，TJ（x；τ）可计算为（4.10）。Ifw由（4.9）给出，0<α<1，γ>0。

与（4.16）类似，最佳值为所有x>0的单位：supτ∈TJ（x；τ）=limλ↓0w（λ）uxλ= limλ↓0exp(-γ(- 对数（λ））α）xλ1/β- K= 石灰→∞e-γyαe-（1/β）yx1/β- e-γyαK= ∞,其中，最后一个等式从α<1开始。因此，如例4.2的情况II所述，naive停止定律是永久持续的（即，对于所有x>0，^τ（x）=1），相应的复杂行为是立即停止（即，^τ*（x） =0表示所有x>0）。如果我们将w取为（4.12）或（4.13），类似的计算再次得出supτ∈TJ（x；τ）=limλ↓0w（λ）uxλ= ∞. 因此，对于所有x>0和^τ，我们得出了相同的结论，即^τ（x）=1*（x） =0表示所有x>0。o情况二：β>1。因为u首先始终为零，然后是凹的，所以它是S形的。然后，我们从命题4.3得出结论，对于所有x>0的x，^τ（x）=1，并且^τ*（x） =0表示所有x>0。在以上两个例子中，天真的代理总是想永远继续下去，这会促使成熟的代理立即停止（如命题4.1所示）。问一个天真的代理人是否会在不同的模型参数规格下选择停止，这是很自然的。当他有一个凸w所规定的更悲观的观点时，答案是肯定的。凸w表示代理降低了“非常好”情景的可能性，并降低了“非常坏”情景的可能性。这与以倒S形w表示的“非常好”情景的乐观观点形成了对比。对于凸w，以下示例表明，天真的代理人可能会选择立即停止，这取决于相对于代理人风险承受能力和资产质量的概率权重的强度。示例4.4。对于某些0<γ<1，设U（x）=xγ，对于某些η>1，设w（x）=xη。

那么，u（x）=u（x1/β）=xγ/β情况一：0<γ/β≤ 1、由于u是凹的，w是凸的，Xu和Zhou（2013）的推论4.3表明，对于所有x>0的情况，最佳停止时间是^τx=0。问题是时间一致的，所有三种类型的代理（naive、pre-committed和Professional）都会立即停止。注意，这里的u是凹的，因为β>0不够小，即资产不够好。有了这样的资产，凸w的悲观观点会导致代理立即清算资产。这一结果的寓意是“如果你悲观，就不要碰坏股票”情况二：γ/β>1。由于u是凸的，我们可以使用（4.10）找到最佳停止时间，现在使用formsupλ∈(0,1]λη-γ/βxγ/β。如果η≥ γ/β, λ*= 1是最大值，因此^τx=inf{t≥ 0:Xxt≥x} =0是最佳停止时间。因此，当η≥ γ/β，三种药剂立即停止。有趣的情况是η<γ/β，其中supλ∈(0,1]λη-γ/βxγ/β=∞, 任何λ都无法实现∈ （0，1）。在这种情况下，对于所有x>0的情况，最优停止时间^τxfail存在。因此，对于所有x>0的情况，naivestopping定律为^τ（x）=1。这导致平衡^τ*（x） =Θ^τ（x）=0，对于所有x>0，得益于命题4.1。在上述示例中，η≡ w′（1）衡量非常不利事件的概率加权强度，1- γ是代理相对风险规避的Arrow-Pratt度量，β度量资产的优缺点（β越大，资产越差；回顾下面的解释（4.3））。当代理人充分反映出与其风险承受能力和资产质量相关的不良情景的概率时（即η≥ γ/β），他立即清算资产，无论他是哪种类型的代理人。

否则（即η<γ/β），如果他是天真的，他总是打算继续，如果他是老练的，他会立即停止。事实上，凸概率失真函数w可以生成比前面大多数示例中描述的两个极端“从不停止”和“立即停止”更丰富的行为。下一个示例显示，天真和老练的代理实际上可能会同意阈值类型策略，如下面的（4.18）所示。示例4.5。设U（x）=（x- K） +对于某些K>0和w（x）=（x+x）。那么，u（x）=u（x1/β）=（x1/β- K） +。我们假设β≥ 1，这在下面的计算中至关重要。对于任何x>0，定义τab：=inf{t≥ 0:Xxt/∈ （a，b）}对于a<b。首先，我们声明，对于每个x>0，supτ∈TJ（x；τ）=sup0≤一≤x个≤b类<∞J（x；τab）=sup0≤一≤Kβ∧x、 Kβ∨x个≤b类<∞J（x；τab）。（4.17）Xu和Zhou（2013）的定理4.2确立了第一个等式。现在我们证明第二个等式。对于x≤ Kβ，观察如果a≤ x个≤ b≤ Kβ，则J（x；τab）=0，因为u（a）=u（b）=0。这已经暗示（4.17）是正确的。对于x≤ Kβ，通过w的凸性和u在Kβ上的凹性，∞), Xu和Zhou（2013）推论4.3中的相同论点表明SUPKβ≤一≤x个≤b类<∞J（x；τab）≤ u（x）。因此（4.17）成立。现在，对于任何a≤ Kβ∧ x和b≥ Kβ∨ x、 f（a，b）：=J（x；τab）=u（a）+wx个- ab公司- 一（u（b）- u（a））=”x个- ab公司- 一+x个- ab公司- a#（b1/β- K） ，其中第二个等式来自引理B.1，第三个等式是由于u（a）=0≤ Kβ。对于任何固定b≥ Kβ∨ x、 观察f（0，b）≥ f（a，b）表示所有0<a≤ x、 然后直接计算得出f（0，b）b=x2bh（b），其中h（b）：=β- 1.bβ+1-β- 2.xbβ+Kb+2xK。我们从h′（b）=-β1.-βbβ-1.β+ 1-2.-βxb公司在（0，∞), h开始是凸的，随着b的增加，凸度变小，最终变成凹形。这与h（0）=2xK>0和h一起(∞) = -∞, 显示存在唯一的*（x） >0，使得h（b*) = 0

因此，h（x）>0当且仅当x<b*（x） 。因为h（x）=xβ- 3.xβ+3K我们得出结论，x<b*（x） 当且仅当x<x时：=3K3-2/ββ. 因此，^τx：=τ0b*= inf{t≥ 0:Xxt≥ b*（x） }=（>0如果0<x<x，=0如果x≥ ？xis是（2.1）的最佳停车时间，J（x；τ）在（4.8）中有规定。时间不一致性作为停止阈值b出现*（x） 取决于当前状态x。对于所有x>0的情况，naive停止定律为^τ（x）=1（0，\'x）（x）。（4.18）值得注意的是，这已经是一个平衡停止定律。要看到这个，对于x≥ \'\'x，L*^τ（x）=0和thusJ（x；L*^τ（x））=u（x），其产生[(R)x，∞)  I^τ。对于x<x，L*^τ（x）=τ0？x=inf{t≥ 0:Xxt≥ \'\'x}。ThenJ（x；L）*^τ（x））=wx'xu（(R)x）=x'x+x'x（(R)xβ- K） +，其中第一个等式由引理B.1得出。如果x≤ Kβ，J（x；L*^τ（x））>0=u（x），这意味着（0，Kβ） C^τ。现在，观察曲线=g（x）：=x'x+x'x（(R)xβ- K） =u（'x）2'xx+(R)x-u（(R)x）是一个凸二次函数，它与凹函数y=κ（x）：=x1/β相交- K在x=\'x。此外，可以检查g′（\'x）=κ′（\'x），这意味着x=\'x是这些曲线和g（x）>κ（x）在（0，\'x）上的唯一交点。如果x∈ （Kβ，(R)x），观察J（x；L*^τ（x））=g（x）>κ（x）=u（x），这表明（Kβ，(R)x） C^τ。因此，我们得出结论，C^τ=（0，\'x）和I^τ=[\'x，∞). 由此得出，Θτ（x）=1（0，\'x）+^τ（x）1[\'x，∞)= ^τ（x）对于所有x>0。即^τ∈ E（R+），因此^τ*= ^τ.备注4.3。上述示例与命题4.4一致。实际上，当β=1时，我们在上述示例中得到了'x=3K。这与命题4.4中的阈值η+1ηK=3K一致，当我们在其中取η=1/2时。4.3案例研究：发现和比较均衡停止法则在本小节中，我们重点关注U（x）=（x）的情况- K） +和w（x）=ηx+（1- η） x，（4.19）对于某些K>0和η∈ (0, 1).

我们的目标是演示如何使用定理4.1中的定点迭代来发现一大类平衡停止定律。我们还将讨论如何比较这些不同的平衡。本小节中的所有证明都归入附录D。我们首先确定（预先承诺的）最佳停止时间和相应的纳维斯托普定律。提案4.4。假设u和w由（4.19）给出。对于x>1.-ηη∧ 1.K、 （2.1）的最佳停止时间为^τx：=（inf{t≥ 0:Xxt≥ x} =0，如果x>η+1ηK，inf{t≥ 0:Xxt≥2ηKxη（x+K）-K} >0，如果1.-ηη∧ 1.K<x≤η+1ηK.对于x≤1.-ηη∧ 1.K、 不存在最佳停止时间。因此，naive停止定律为athreshold型策略^τ（x）=10，η+1ηK（x） ，对于所有x>0。（4.20）备注4.4。我们观察到位置4.4中的时间不一致性：停止阈值2ηKxη（x+K）-Kin^τxdepends on current state x，当1.-ηη∧ 1.K<x≤η+1ηK。对于（4.20），有趣的是，即使是天真的代理人也会停止，这似乎与Ebert和Strack（2015）相矛盾。然而，实际上并不存在矛盾——w的凸性违反了ofEbert和Strack（2015）的假设2。从经济学的角度来看，凸畸变会加重非常糟糕事件的小概率，而低估非常好事件的小概率；所以，一个小的、向右倾斜的、像彩票一样的球对经纪人来说没有吸引力。因此，他决定一旦过程达到阈值η+1ηK，他将停止。这也表明，如果我们允许对不同类型的偏好和基础过程的不同特征进行建模，RDU/CPT以及本文得出的结果确实可以提供更现实的预测。假设naive停止定律是（4.20）中的阈值类型策略，下一个结果将寻找相同形式的平衡停止定律。提案4.5。假设u和w由（4.19）给出。对于任何b>0，考虑τ：=1（0，b）∈T（R+）。

如果b≤η+1ηK，然后τ∈ E（R+）。如果b>η+1ηK，则τ/∈ E（R+）但Θτ∈ E（R+）；具体而言，存在b′∈ （Kη，η+1ηK），使得τ*（x） =limn→∞Θnτ（x）=Θτ（x）=1（0，b′）（x），x>0。因此，1（0，b）∈ E（R+）当且仅当0<b≤η+1ηK。备注4.5。值得注意的是，从命题4.4和4.5可以看出，（4.20）中的naive停止定律^τ已经是一个平衡，即^τ*= ^τ.根据命题4.5和备注2.6，我们发现了一组不可数的阈值类型E′（R+）的平衡超越定律：=（0，b）：0≤ b≤η + 1ηK,其中1（0,0）表示备注2.6中规定的平凡平衡。人们很自然地会问，如何比较这些不同的平衡，以及是否存在任何合理意义上的最佳平衡。一种可能性是在时间0从代理的角度调查选择。假设代理在时间0打算选择τ∈ E′（R+）最大化预期贴现支付，即supτ∈E′（R+）J（x；Lτ（x））=supb∈0，η+1ηKJ（x；Tx[b，∞)), 使用Tx[b，∞)定义见（2.13）。（4.21）提案4.6。假设u和w是b y（4.19）。对于0<x<η+1ηK、 （4.20）中的^τ是（4.21）中唯一的最大值。对于x≥η+1ηK、 τ7→ J（x；Lτ（x））是E′（R+）上的常数函数。命题4.6的一个有趣的含义是，不仅时间为0的代理人，而且他未来的所有人都希望使用（4.20）中的平衡^τ，因为在每个statex>0的情况下，（4.21）是最优的。这与Huang和Zhou（2019）提出的最优均衡概念相对应：这是一种比everystate的任何其他均衡都能产生更大价值的均衡，即普遍主导的均衡。对于非指数贴现下的停止问题，Huang和Zhou（2019）和（2017）在贴现函数的适当条件下建立了最优均衡的存在性。

在当前的概率失真设置下，很自然地会问，命题4.6中的结果是否可以推广到一般的u和w。在这些函数上找到存在最优平衡的有经济意义的条件是未来研究的一个有趣方向。我们可以进一步量化不遵循（4.20）中最优平衡^τ的成本。具体而言，当代理处于给定状态x>0时，如果他遵循平衡τb：=1（0，b）∈ E′（R+），b<1+ηηK，成本c≥ 0定义为将次均衡τbt的值提高到最优均衡τ的值所需的额外现金。也就是说，c≥ 0是toZ的解决方案∞wP[u（XxLτb（x）+c）>y]dy=Z∞wP[u（XxL^τ（x））>y]dy=J（x，L^τ（x））。（4.22）注意，c=c（x，b）取决于状态x>0和阈值b≥ 0、提案4.7。假设u和w由（4.19）给出，并设b*:=η+1ηK、 给定0<x<b*,成本c=c（x，b）接受公式c（x，b）=K- （b）∨ x） +Kηw（x/b*)w（（x/b）∧ 1)> 0，对于所有0≤ b<b*.给定x≥ b*, 对于所有0，c（x，b）=0≤ b<b*.与上述严格的“一致最优性”不同，文献中广泛使用帕累托最优性来比较不同的平衡。它可以在当前上下文中表述如下。定义4.1。对于任意τ，τ∈ 如果J（x，Lτ（x）），我们说τ支配τ≥ J（x，Lτ（x））对于所有x>0。Fu rthermore，我们说τ∈ A. 如果τ不能被任何其他τ′所支配，则E（R+）在A中是帕累托最优的∈ A、 提案4.8。假设u和w由（4.19）给出。对于任何1（0，b），1（0，b′）∈ E′（R+），1（0，b）支配1（0，b′）当且仅当b≥ b′。因此，（4.20）中的^τ是唯一的帕累托最优平衡。5结论在本文中，我们对多次不一致停止问题建立了平衡停止律的定点特征。

这为通过定点迭代搜索平衡线提供了一种新的、方便的方法。此外，它还阐明了如何将naive停止定律^τ（definedin（3.5））转化为平衡定律^τ*.我们的框架足够通用，可以覆盖许多众所周知的时间不一致停止问题。特别地，我们将我们的理论结果应用于agent扭曲概率和基本状态过程是几何布朗运动的情况。从我们研究的所有例子中，包括第4.2小节和第4.3小节中的案例研究，我们观察到，在β>0（存在时间不一致性）的情况下，每当迭代从naive定律开始时，我们都会陷入以下两种情况之一：（a）naive定律将永远持续，而相应的平衡定律将持续*立即停止，且（b）^τ与^τ对齐*, 它们都是阈值型策略。这是否是一个可以在理论上建立的一般性结果，是未来研究的一个有趣课题。命题3.1的证明为了证明命题3.1，我们需要首先分析第3节中介绍的一维微分X的某些交叉概率。为此，我们考虑运行的最大和最小进程分别由xxt定义：=最大∈[0，t]xxs和Xxt：=分钟∈[0，t]Xxs，t≥ 此外，我们考虑初始值x：tx：=inf{t>0：Xxt=x}的首次重访时间∈ T（A.1）引理A.1。假设（3.1）成立，且（3.2）中定义的Z是鞅。那么，对于任何x∈ 十、 对于所有t>0，P[Xxt>X]=P[Xxt<X]=1。因此，Txx=0 a.s.证明。首先，回顾Karatzas和Shreve（1991）第94页的问题7.18，如果W是概率空间上定义的标准布朗运动(Ohm′, F′，P′），然后P′[Wt>0]=P′[Wt<0]=1，对于所有t>0，（A.2），其中Wt：=最大值∈[0，t]Wsand Wt：=分钟∈[0，t]Ws。修复T>0。

如果（3.2）中的Z是鞅，我们可以定义概率Q≈ P bydQdP=ZT。注意，我们有Q≈ P、 而不仅仅是Q<< P、 因为ZT>0 P-a.s.低于（3.1）。然后，Girsanov定理暗示，在Q下，dXt=t的a（Xt）债务∈ [0，T]，其中ebt：=B（T）+Rtθ（Xs）ds，T∈ [0，T]是一个Q-布朗运动。由于X是Q下的连续局部鞅，它可以表示为一个时变布朗运动，即Xt=X+W[X]tt∈ [0，T]，对于一些标准布朗运动{Wt}T≥0在Q下。因此，Q[XT≥ x+η]=Q[Xs≥ x+η，约0≤ s≤ T]=Q【W【X】s≥ η、 对于某些0≤ s≤ T]=Q[Ws≥ η、 对于某些0≤ s≤ [十] T）]。这意味着q[XxT>x]=limη↓0Q[XxT≥ x+η]=直线度η↓0EQ{Ws≥η、 对于某些0≤s≤[十] T}. （A.3）鉴于（A.2），对于所有t>0，我们有Q[Wt>0]=1。这意味着我们可以找到一些Ohm*∈ F带Q(Ohm*) = 1使得对于每个ω∈ Ohm*, 存在一个具有tn（ω）的实数序列{tn（ω）}↓ 0和WTN（ω）（ω）>0。对于每个ω∈ Ohm*,{Ws≥η、 对于某些0≤s≤[十] T}（ω）=1，因为η足够小。因此，我们从（A.3）中得出结论，Q[XxT>x]=1。类似地，我们有q[XxT<x]=limη↓0Q[文本≤ x个- η] =limη↓0EQ{Ws≤-η、 对于某些0≤s≤[十] T}= 1，（A.4）其中，对于所有t>0，最后一个等式从Q【Wt<0】=1开始，如（A.2）所示。带Q≈ P、 我们得出结论，P[XxT>x]=Q[XxT>x]=1和P[XxT<x]=Q[XxT<x]=1。请注意，对于所有T>0，结果“P[XxT>x]=P[XxT<x]=1”意味着对于任何T=1/n，n∈ N、 在时间间隔（0，1/N）P-a.s期间，过程XX将穿过x级水平线。因此，对于所有N∈ N、 因此Txx=0 P-a.s。现在，我们准备好证明命题3.1。命题3.1的证明。对于任何x∈ ker（τ），有三种可能的情况：1。x是ker（τ）的内点：然后是L*定义τ（x）=0，因此J（x；L*τ（x））=u（x），即x∈ Iτ。2.

x是ker（τ）的边界点：根据引理a.1，对于所有t>0，P[Xxt>x]=P[Xxt<x]=1。这意味着L*τ（x）=inf{t>0:Xxt∈ k（τ）}<1/n（对于所有n∈ N a.s.，因此L*τ（x）=0a。s、 因此J（x；L*τ（x））=u（x），即x∈ Iτ。3.x是ker（τ）的一个孤立点，即：。， ε>0，使得（x- ε、 x+ε）∩ ker（τ）={x}：Txx=0a。s、 （引理A.1），L*τ（x）=0 a.s。这给出了J（x；L*τ（x））=u（x），即x∈ Iτ。因此，ker（τ） Iτ。这与（2.10）一起表明，ker（Θτ）=Sτ∪ （Iτ∩ ker（τ））=Sτ∪ ker（τ）。通过对每个n>1重复上述相同参数，我们得到（3.3）。As{ker（Θnτ）}n∈Nis是Borel集的一个非减量序列，如果x∈序号∈Nker（Θnτ），则存在n>0，使得所有n的Θnτ（x）=0≥ N如果x/∈序号∈Nker（Θnτ），则Θnτ（x）=1对于所有n∈ N、 这已经意味着（2.15）中的限值已经很好地确定，而ker（τ*) =序号∈Nker（Θnτ）。B引理4.1的证明为了证明引理4.1，我们需要以下技术结果。引理B.1。假设β>0。对于任何0≤ a<x<b，表示τab：=inf{t≥ 0:Xxt/∈ （a，b）}∈ T（i） 如果a=0且b=∞, 那么J（x；τab）=0；（ii）如果a>0且b=∞, 那么J（x；τab）=u（a）；（iii）如果≥ 0和b<∞, thenJ（x；τab）=u（a）+wx个- ab公司- 一（u（b）- u（a））。（B.1）证据。首先要注意的是，这个引理的一部分是在Xu和Zhou（2013）中推导出来的，而P[τab=∞] > 0未在此处处理。这包括“a=0和b=∞” 和“a=0和B<∞”. 为了完整性和读者的方便，我们提供了0的所有可能情况的证明≤ a<b≤ ∞.回想一下，τab=Txa∧ Txb，TXA和Txb定义如（4.6）所示，当β>0时，u不减少，u（0）=0。（i） 观察τab=∞ a、 s.乘以（4.5），J（x；τab）=R∞w（P[u（0）>y）]dy=0。（ii）由于（4.5），u（Xxτab）=u（a）a.s。因此J（x；τab）=R∞w（P[u（a）>y]）dy=u（a）。（iii）我们首先处理“a>0和b<∞”.

Xxτabis F（y）=p的CDF*[a，b）（y）+[b，∞)（y） 对于y∈ [0，1]，其中p*:= P【Xxτab=a】=b-xb公司-根据可选采样定理。请注意，使用可选采样定理来查找p*需要P[Txa<∞] = 1或P[Txb<∞] = 1、由于a>0和（4.5），前者在这里是正确的。根据分布公式（（3.1）inXu和Zhou（2013）），J（x；τab）=Zaw（1）u′（y）dy+Zbaw1.-b- xb公司- 一u′（y）dy+Z∞bw（0）u′（y）dy，生成所需结果，即w（0）=0，w（1）=1。对于“a=0和b<∞”, 由于Xx未达到a=0 a.s.和（4.5），Xxτab=b1{Txb<∞}a、 这与u（0）=0一起，给出u（Xxτab）=u（b）1{Txb<∞}a、 s.以下是j（x；τab）=Z∞wP[u（b）1{Txb<∞}> y]dy=Zu（b）wP[u（b）1{Txb<∞}> y]dy=Zu（b）w（P[Txb<∞])dy=w（P[Txb<∞])u（b）=wxb公司u（b），其中最后一个等式来自（4.6）。因此，公式（B.1）仍然适用于a=0。现在，我们准备证明引理4.1。引理4.1的证明。修复a D∈ B（R+）。对于任何x>0，定义（x）：=sup{a<x:a∈ D} ，b（x）：=inf{b>x:b∈ D} 。（B.2）如果a（x）=x或B（x）=x，则TxD=0 a.s.，因此J（x；TxD）=u（x）。如果a（x）<x<b（x），则txd=inf{t≥ 0:Xxt/∈ （a（x），b（x））}。然后我们从引理B.1推导出thatJ（x；TxD）=u（x），如果a（x）=x或b（x）=x，u（a（x））+wx个-a（x）b（x）-a（x）（u（b（x））- u（a（x）），如果a（x）<x<b（x）<∞,u（a（x）），如果0<a（x）<x<b（x）=∞,如果0=a（x）<x<b（x）=∞.（B.3）现在，请注意，对于DQ：={q∈ 问：a≤ q≤ b对于一些a，b∈ D} ，a（x）=sup{q<x:q∈ DQ}=supq∈DQq1（q，∞)（x） ，b（x）=inf{q>x:q∈ DQ}=infq∈DQq1（0，q）（x）。因此x 7→ a（x）和b 7→ b（x）都是Borel可测量的。然后我们得出表（B.3）x 7→ J（x；TxD）是Borel可测量的，即满足假设2.1（i）。固定序列{Dn}n∈Nin B（R+）使Dn Dn+1适用于所有n∈ N、 对于任何x>0，考虑（b.2）中的a（x）和b（x），D：=Sn∈NDn。

此外，我们定义（x）：=sup{a<x:a∈ Dn}，bn（x）：=inf{b>x:b∈ Dn}，对于所有n∈ N、 作为Dn Dn+1适用于所有n∈ N、 我们有一个（x）↑ a（x）和bn（x）↓ b（x）为n→ ∞. 对于每个n∈ N、 根据上述（B.3）的相同参数，J（x；TxDn）=u（x），如果an（x）=x或bn（x）=x，u（an（x））+wx个-an（x）bn（x）-an（x）（u（bn（x））- u（an（x）），如果an（x）<x<bn（x）<∞,u（an（x）），如果0<an（x）<x<bn（x）=∞,0，如果0=an（x）<x<bn（x）=∞.从上面的公式和（B.3）中，我们可以从u和w的连续性和收敛性an（x）推导出↑ a（x）和bn（x）↓ b（x）thatlimn→∞J（x；TxDn）=J（x；TxD）。（B.4）事实上，唯一的非平凡情况是“a（x）=B（x）=x，而对于所有n∈ N“。在这种情况下，limn→∞J（x；TxDn）=limn→∞u（an（x））+wx个- an（x）bn（x）- an（x）（u（bn（x））- u（an（x）））= u（x）+limn→∞wx个- an（x）bn（x）- an（x）（u（bn（x））- u（an（x）））= u（x）=J（x；TxD），其中第三个等式来自a（x）=b（x）=x，w是有界函数。然后（B.4）特别意味着假设2.1（ii）满足。C证明了命题4.2的第4.2小节。由于（4.14），对于每个x>0，^τ（x）=0当且仅当G*x（·）≡ x、 （i）带y*< ∞, 我们从w′（0+）=∞ 对于任何λ≥ 0，术语（u′）-1.lλw′（1-y）Xu和Zhou（2013）的（5.6）增加至y*作为y↑ 1.那么，对于任何x>0，Xu和Zhou（2013）的（5.7）表示G*x（·）≡ 仅当a*= x个≥ y*. 这已经表明，对于所有x<y，^τ（x）=1*. 现在，对于x≥ y*, 观察a=x时，Xu和Zhou（2013）的（5.6）中的约束变成了sxq+Zqx∨ （u′）-1.lλw′（1- y）dy=xq+Zqxdy=x。也就是说，约束满足任何λ≥ 类似地，a=x和任何λ≥ 0，Xu和Zhou（2013）的（5.6）中的objectivefunction的值为（1- w（1- q） u（x）+Zqu（x）w′（1）- y） dy=u（x）=supy>0u（y）。徐和周（2013年）的数据已经达到最大值（5.6）。

实际上，其中的最大化可以简化为asmaxa，λ≥0(1 - w（1- q） ）u（a）+Zqu一∨ （u′）-1.lλw′（1- y）w′（1）- y） dy公司= 马克萨≥y*(1 - w（1- q） ）u（a）+Zqu（a）w′（1）- y） dy公司= 马克萨≥y*u（a）=supy>0u（y）。因此，我们得出以下结论：*= x和任意λ≥ 0构成Xu和Zhou（2013）的（5.6）的解，得出G*x（·）≡ x、 因此，对于所有x，^τ（x）=0≥ y*. 因此，我们得到^τ（x）=1（0，y*)（x） 对于所有x>0。最后，对于任何x≥ y*, L*^τ（x）=0，因此J（x；L*^τ（x））=u（x），这意味着Θτ（x）=^τ（x）=0。对于任何x<y*, L*^τ（x）是xxx到值y的第一次击中时间*. 因此，J（x；L*^τ（x））=R∞w（P[u（y*) > y] ）dy=u（y）*) ≥ u（x）。因此，Θτ（x）=1=^τ（x）。因此，^τ*（x） =Θ^τ（x）=所有x>0时的^τ（x）。（ii）如果λ*= 0，然后（u′）-1.lλ*w′（1）-y）= （u′）-1.l(0) = ∞ 在徐和周（2013）的（5.6）中，为ally∈ （q，1），因为未达到supy>0u（y）。这意味着Xu和Zhou（2013）在（5.6）中的约束无法得到满足，这是一个矛盾。假设λ*> 0。因为w′（0+）=∞,λ*w′（1）-y）→ 0as y↑ 1、u的凹度和supy>0u（y）未达到的事实意味着（u′）-1.lλ*w′（1）-y）→ ∞ 作为y↑ 1，表示G*x（·）6≡ x、 因此，对于所有x>0，^τ（x）=1。ByProposition 4.1，^τ*（x） =0表示所有x>0。命题4.3的证明。在Xu和Zhou（2013）中*xin第6节（对于S形u）比定理5.2（对于凹u）更复杂，我们注意到在条件G下*x（·）≡ 它们实际上是重合的。因此，可以使用命题4.2证明中的相同论点来确定期望的结果。D第4.3小节第4.4条命题的证明。由于u是凸的，（2.1）相当于（4.10），由supλ给出∈（0,1）f（λ），其中f（λ）：=（ηλ+（1- η)λ)xλ- K+. 对于x>K，f′（λ）=ηx- (1 - η） K级- 2ηKλ。

定义λ：=η（x+K）- K2ηK。如果x>η+1ηK，f′（λ）>（η+1）K- (1 - η） K级- 对于所有λ，2ηK=0∈ （0，1），这意味着λ*= 1是最大化者。如果K<x≤η+1ηK，然后λ*=λ ≤ 1是最大值。对于x≤ K、 观察thatf（λ）=(-ηKλ -λ+ (1 - η） 如果0<λ，则x+ηK'λ≤xK，0，ifxK<λ≤ 1.（D.1）如果η≤ 1/2，然后是|λ≤x个-K4ηK≤ 0。这与（D.1）一起意味着supλ∈（0,1]f（λ）无最大化子。如果η>1/2，那么对于x>1-ηηK，可以检查∈ （0，xK），这意味着λ*=(R)λ是最大值（再次感谢（D.1））；对于x≤1.-ηηK，我们有'λ≤ 0和thussupλ∈（0,1）f（λ）不允许最大化子。总结这些情况，得出^τx公式。Thena¨305; ve停止定律直接遵循^τx公式。命题4.5的证明。对于b≤ K、 J（x；L）*τ（x））=所有x>0的u（x），因此Iτ=R+。这意味着对于所有x>0的x，τ（x）=1（0，b）（x）=τ（x），即τ∈ E（R+）。在剩下的证明中，我们假设x的b>K≥ b、 L*τ（x）=0，因此J（x；L*τ（x））=u（x），这意味着[b，∞)  Iτ。对于0<x≤ K、 J（x；L）*τ（x））>0=u（x），因此（0，K] Cτ。对于K<x<b，引理b.1-（iii）给出了j（x；L*τ（x））- u（x）=ηxb+（1- η） xb公司（b）- K）- （十）- K） =η（b- K） b类x个-b+Kbη（b- K）x+Kbη（b- K）=η（b- K） b（x- （b）x个- b′, 式中，b′：=Kbη（b- K） >Kη。（D.2）对于b>η+1ηK，观察b′<η+1ηK.（D.3）实际上，b′/（η+1ηK）=b（η+1）（b-k） <1当且仅当0<η（b-K）-K、 这相当于b>η+1ηK。因为（D.3）特别意味着b′<b，我们从（D.2）推导出J（x；L*τ（x））- u（x）>0叉<x<b′，J（x；L*τ（x））- 对于b′<x<b和J（x；L），u（x）<0*τ（b′）- u（b′）=0。因此，我们预测Sτ=（b′，b），Cτ=（0，b′），Iτ={b′}∪ [b，∞), 这意味着对于所有x>0的x，τ：=Θτ（x）=1（0，b′）（x）。通过上述（D.2）的相同论证，我们得到了[b′，∞)  Iτ，（0，K] Cτ，当K<x<b′，J（x；L*τ（x））- u（x）=η（b′- K） （b′）（x- b′）x个- b′\', b′时：=Kb′η（b′）- K） 。As（D.3）yieldsKη（b′）-K） >1，我们有b′>b′。

因此J（x；L*τ（x））- 对于所有k<x<b′，u（x）>0。因此，我们得出结论，Cτ=（0，b′）和Iτ=[b′，∞), 这表明对于所有x>0的x，Θτ（x）=1（0，b′）（x）=τ（x）。也就是说，Θτ=τ∈ E（R+）和τ*（x） =limn→∞对于所有x>0的x，Θnτ（x）=Θτ（x）=1（0，b′）（x）。最后，对于b∈ （K，η+1ηK），我们有b′≥η+1ηK，采用下面相同的参数（D.3）。带B′≥ b、 我们从（D.2）中推断出Cτ=（0，b）和Iτ=[b，∞). 因此，对于所有x>0，Θτ（x）=1（0，b）（x）=τ（x），即τ∈ E（R+）。命题4.6的证明。对于任何x<η+1ηK、 我们从引理B.1（iii）推导出∈[0，η+1ηK]J（x；Tx[b，∞)) = supb公司∈[x，η+1ηK]ηxb+（1- η） xb公司（b）- K） =supb∈[x，η+1ηK]xg（1/b）+（1- η） x，其中g（y）：=-ηKxy+[η（x+K）- K] y.二次函数g（y）在R上的^y=η（x+K）处达到唯一的全局最大值-K2ηKx。如果x≤1.-ηηK、 那么^y≤ 0。这意味着b 7→ g（1/b）在[x，η+1ηK]上严格增加，在b处达到最大值*=η+1ηK.如果x>1.-ηηK、 然后^y>0。可以检查x<η+1ηK当且仅当1/y>η+1ηK、 这再次表明b 7→ g（1/b）在[x，η+1ηK]上严格增加，在b处达到最大值*=η+1ηK.对于任何x≥η+1ηK、 我们只有J（x；Tx[b，∞)) = 所有b的u（x）∈0，η+1ηK.命题4.7的证明。固定0<x<b*. 通过命题4.6（见上文）的证明，我们得到j（x，L^τ（x））=wxb公司*Kη。给定0≤ b<b*, 设τb：=1（0，b）∈ E′（R+）。如果b≤ x、 那么Lτb（x）=0。因此，（4.22）的左侧变为∞w（P[（x+c- K） +>y]）dy=（x+c- K） +。求解（4.22），然后yieldsc=K- x+wxb公司*Kη。（D.4）注意c>0。如果x≤ K、 定义c>0。如果x>K，我们再次从Lτb（x）=0推导出- K=Z∞wP[u（XxLτb（x））>y]dy=J（x，Lτb（x））<J（x，L^τ（x））=wxb公司*Kη，其中不等式来自命题4.6。这表明c>0。它仍然需要处理b>x的情况。

首先，我们观察到Wxb公司*Kη- wxb公司b类=ηxb公司*+ (1 - η） xb公司*Kη-ηxb公司+ (1 - η） xb公司b=ηxb公司*Kη-xb公司b+ (1 - η)xb公司*Kη+x= ηx（1+η）b*-b-η(1 - η） x1+η<0，（D.5），其中第三个等式从b开始*=η+1ηK，不等式是由于x>0，η∈ （0，1）和0<b<b*. 现在，因为b>x意味着Lτb（x）=Txb和u（XxTxb+c）=u（c）1{Txb=∞}+ u（b+c）1{Txb<∞}, 引理B.1证明的最后一个等式中的参数（见附录B）给出了∞wP[u（XxLτb（x）+c）>y]dy=Zu（c）w（1）dy+Zu（b+c）u（c）w（P[Txb<∞]) dy=u（c）+wxb公司（u（b+c）- u（b））=（c- K） ++wxb公司（（b+c- K）+- （c）- K） +）。（D.6）我们声称c<K。事实上，如果c≥ K、 借助（D.6）求解（4.22），得出c=K+wxb公司*Kη- wxb公司b、 根据（D.5），这意味着c<K，这是一个矛盾。知道c<K，（D.6）yieldsR∞wP[u（XxLτb（x）+c）>y]dy=wxb公司（b+c- K） +。求解（4.22），从而得出C=K- b+Kηw（x/b*)w（x/b）。（D.7）注意，c<K可以很容易地验证：通过（D.5），[w（x/b*) K/η]/[w（x/b）b]<1，这意味着c=K- b1.- [带（x/b*) K/η]/[w（x/b）b]< K、 此外，c为正：如果b≤ K、 然后定义c>0；如果b>K，则w（x/b）（b- K） =J（x，Lτb（x））<J（x，L^τ（x））=w（x/b*) K/η，其中第一个等式来自引理B.1（iii），不等式来自命题4.6。这表明c>0。将（D.4）和（D.7）相结合，然后得出所需的结果。给定x≥ b*, 因为τ7→ J（x；Lτ（x））是E′（R+）（命题4.6）上的常数函数，对于所有0<b<b，c（x，b）=0*.命题4.8的证明。命题4.6的证明表明b 7→ J（x；Tx[b，∞)) 对于任何x>0的情况，在非减量n[0，η+1ηK]中。这直接意味着第一个断言。因此，只有当b取最大可能值η+1ηK时，1（0，b）才能在E′（R+）中是帕累托最优的。

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