幼稚和未承诺成熟的一般停止行为

2022-6-1 08:07:21

天真和非承诺复杂代理的一般停止行为及其在概率失真中的应用*+Yu Jui HuangAdrien Nguyen Huu§Xun Yu ZhouP2019年3月12日摘要我们认为，使用导致问题时间不一致的支付函数来停止分歧过程的问题。我们研究了在时间上不断优化的天真代理的停止决策，以及对未来自己的行为缺乏控制的成熟代理的平衡策略。当状态过程为一维且支付函数满足某些正则性条件时，我们证明了任何平衡都可以作为算子的固定点获得。该操作符表示考虑未来自我行为的战略推理。然后，我们将一般结果应用于代理扭曲概率，且扩散过程为几何布朗运动的情况。问题本质上是时间不一致的，因为同一事件的失真程度随时间而变化。我们展示了战略推理如何将一个天真的代理人变成一个复杂的代理人。此外，我们针对问题的各种参数规格推导了这两类代理的停止策略，说明了“永不停止”或“永不开始”等极端行为之外的丰富行为。JEL:G11，I12MSC（2010）：60G40，91B06关键词：最优停止，概率扭曲，时间不一致，天真和复杂的代理，平衡停止法则1简介最优停止是确定停止随机过程的最佳（随机）时间，以最大化过程停止状态产生的给定收益。此类竞价问题的应用非常广泛，包括股票交易（例如，出售股票的最佳时间）、期权*Y、 -J。

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2022-6-1 08:07:25

黄非常感谢国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）的资助。A、 Nguyen Huu得到了能源与繁荣主席、风险基金会和Labex Entreprendre的支持。周X.Y.感谢哥伦比亚大学和牛津大学Nie金融大数据实验室提供的创业资助。作者要感谢两位匿名推荐人，他们的仔细阅读和深思熟虑的建议大大提高了本文的质量科罗拉多大学应用数学系，科罗拉多州博尔德，邮编80309，美国，尤瑞。huang@colorado.edu§CEE-M，蒙彼利埃大学，CNRS，INRA，蒙彼利埃农业大学，蒙彼利埃，法国，阿德里安。阮-huu@umontpellier.frP美国纽约哥伦比亚大学工业工程与运营研究系，邮编：10027，xz2574@columbia.edupricing（例如，美式期权）和实物期权（例如，投资项目的最佳时机）。解决最优停止问题的两种主要经典方法是动态规划和鞅理论，它们都基于时间一致性的假设，即今天规划的任何最优停止规则明天仍然是最优的。时间一致性（也称为动态一致性）的假设植根于这样一个前提，即个人的偏好随着时间的推移是一致的，不会随着时间的推移或环境的演变而改变。然而，这一前提太脆弱，难以经受现实的考验。阿甘布勒最初可能计划在赚了1000美元后离开赌场，但在达到这个目标后，他决定继续赌博。

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2022-6-1 08:07:28

这是因为赌徒在赢了1000美元后，其风险偏好发生了变化；由于这次胜利，他变得更加冒险。事实上，大量的实证和实验研究都表明，时间不一致是规律，而不是例外。在缺乏时间一致性的情况下，此时得出的任何“最优”计划在下一时刻通常都不是最优的；因此，不存在像时间一致性模型那样适用于整个规划范围的“动态最优策略”概念。经济学家从Strotz（1955-1956）开始，描述了三种类型的个体在面对时间不一致的情况时的反应或行为。类型1，即天真的代理人，根据他当前的偏好选择似乎是最佳的，而不知道他的偏好会随着时间的推移而变化。类型2是预提交代理，它在初始时间只优化一次，然后在将来坚持最终的计划。第三类，精明的代理人，意识到他的“未来自我”将推翻他当前的计划（由于缺乏承诺），并选择当前最好的行动，以未来的不服从作为约束。由此产生的策略被称为（子博弈完美）均衡，代理人的任何干预都没有偏离的动机。在我们看来，时间不一致的模型在很大程度上是描述性的，而时间一致的模型主要是规定性的。

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2022-6-1 08:07:31

前者的目的是描述不同类型代理人的行为，而不是建议最佳行动方案。本文的第一个目标是研究一般时间不一致问题的1型（naive）和3型（复杂）代理的停止策略。naive停止定律是指在任何给定的时间和状态下，它与特定时间和状态下的最优停止定律相一致。另一方面，在连续时间环境中对均衡策略的定义更为微妙。从Ekeland和Lazrak（2006）开始，随后是Ekeland和Lazrak（2010）、Yong（2012）、Hu et al.（2012）、Bj¨ork et al.（2017）和Hu et al.（2017），控制问题的平衡被定义为一个控制过程，在控制的某些尖峰变化上满足Firstorder不等式条件。Ebert等人（2017年）通过将停车问题转化为控制问题，将此定义应用于停车问题。然而，在子博弈完美均衡的原始定义中，严格地建立一阶条件和零通条件之间的等价性仍然是一个问题。在本文中，我们遵循Huang和Nguyen Huu（2018）的公式定义了一个均衡停止定律（尽管其中考虑了一个具有非指数折扣因子的特殊停止问题，该贴现因子具有减少不耐烦的特性）。这个公式的思想是，对于任何给定的停止定律，成熟的代理通过选择未来自己的行为，通过一定程度的战略推理来改进它。

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mingdashike22

2022-6-1 08:07:34

然后，代理人进行了与经典论文Strotz（1955-56）、Kydland和Prescott（1977）中关于时间不一致性的详细讨论，以及Thaler（1981）、Loewenstein和Thaler（1989）中关于经验和实验证据的额外水平的类似的再研究。如果问题是时间一致的，那么这三类代理的策略是一致的。针对特定类别的问题，研究了预先承诺的策略（即类型2的策略），例如Xu和Zhou（2013）中涉及概率失真的策略。请参阅下面的讨论。直到他无法进一步改善，这是一种平衡。从数学上讲，平衡点是一个算子的固定点，代表了这种战略思维的一个层次。这尤其与子博弈完美均衡最初定义中的零阶条件相吻合。这种固定点的普遍存在在很大程度上是一个悬而未决的问题。本文的第一个贡献是证明，假设状态遵循一维扩散过程，并且支付函数满足一些（非常温和的）可测量和Fatou类型的条件，任何均衡策略都可以通过在初始停止定律上重复应用上述算子，然后取极限来获得。本文的第二个目标是将一般结果应用于概率扭曲的问题。实验证据支持概率扭曲（或加权）现象；尤其是人们对极为有利和极为不利事件发生的可能性很小感到不满。

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2022-6-1 08:07:37

等级相关效用等行为理论（RDU；Quiggin（1982）；Schmeidler（1989）和累积前景理论（CPT；Tversky和Kahneman（1992））将概率扭曲作为一个关键组成部分，并将其视为风险偏好的一部分。另一方面，与同一未来事件相关的概率失真水平会随着时间的推移而变化，因为该事件的条件概率是动态演化的，且失真是非线性的。因此，存在（非平凡的）概率失真时，时间不一致性是固有的。我们研究了一个几何布朗运动的停止问题和一个涉及概率扭曲的RDU型Payoff泛函，Xu和Zhou（2013）对其预先承诺的停止策略进行了深入的研究，在概念上和技术上对本文都很有用。除了描述naive和复杂分子的停止行为外，我们对三种试剂之间的联系和潜在转换特别感兴趣：naive试剂在每个状态和时间都会解决一个预先承诺的问题，有趣的是，如果他进行多个层次（有时只有一个层次）的战略推理，他可能会变成一个老练的人。在这方面，平衡策略的定点表征与一阶表征相比具有显著的优势，因为前者描述了将初始天真策略转变为成熟策略的“推理过程”。本文通过以效用最大化和实物期权估价为动机的实例，明确论证了这一变化。我们的定点表征的一个相关优势是，可以通过定点迭代轻松生成一大类平衡。

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2022-6-1 08:07:40

这与文献中的一阶特征形成对比，在文献中，发现多重平衡通常是一个挑战。Ebert和Strack（2015）表明，在导致“小偏态偏好”的假设下，CPT后的天真剂永远不会停止，“直到痛苦的结局”。这些假设从本质上确保了小概率的概率扭曲，大概率的收益大于损失；因此，在任何财富水平上，代理人总是倾向于一个小的右偏风险，而不是立即止损所产生的不确定性回报。Bert和Strack（2017）提出了这一结果的对立面：假设Small上存在任意强的概率扭曲，RDU和CPT之间的主要区别在于前者的结果效用函数是凹的，而后者是S形的。这种差异在经济解释中更为根本。在CPT中，财富有一个参考点，效用函数（CPT中称为价值函数）的输入是财富相对于参考点的偏差。S型价值函数捕捉到了人们的共同心理偏见，即人们对收益（当上述偏差为正时）厌恶风险，而对损失（当偏差为负时）寻求风险。这两种理论都以概率失真为特征，这是时间不一致的原因。因此，本文将同时对这两种理论进行一些讨论。由于时间不一致，动态规划原理或鞅方法不适用于推导预先承诺的策略。

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2022-6-1 08:07:44

Xu和Zhou（2013）开发了一种新方法，将所谓的分位数/分布公式与Skorokhod的嵌入理论相结合来解决该问题。大损失的可能性，并且只考虑两种阈值类型的策略，一个老练的人会立即停止，或者，相当于，“永远不会开始”。这是因为，当进程非常接近上限阈值时，双阈值策略下的停止状态会严重左偏，这对于具有典型逆S形畸变函数的CPT代理没有吸引力。知道接近上限的未来自我不会实施这一策略，在平衡状态下，每个当前自我都不会启动它。这两篇论文的作者承认，在CPT下，“永不停止”和“永不开始”的行为都是“极端的”，代表着“不切实际的预测”。在本文中，我们通过研究Ebert and Strack（2015）和Ebert and Strack（2017）的假设不成立的案例来补充他们的结果，并表明naiveand复杂代理的行为远比单纯的极端代理丰富。事实上，根据几何布朗运动和支付函数的参数，这两种类型的代理可能需要开始和结束，依赖于（一）阈值类型的停止策略。这表明，如果我们允许畸变函数呈现各种形状，同时考虑到代理偏好和他监控的过程特征之间的交织关系，RDU模型可能会提供更真实的预测。论文的其余部分组织如下。

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2022-6-1 08:07:47

在第2节中，我们提出了一个一般的时间不一致停止问题，定义了简单而复杂的平衡停止定律，并引入了代表复杂代理的战略推理的算子。第3节描述了当状态过程为一维时的一组平衡停止律。第4节，我们将一般结果应用于概率失真问题。我们证明了在这种情况下，时间不一致性是如何产生的，然后在时间不一致的情况下推导出复杂的均衡策略。具体而言，第4.3小节提供了一个详细的案例研究，说明如何在特定的模型规范下找到一大类平衡，并可能对其进行比较/排序；第4.2小节包含了一系列实际示例，其中支付函数是电力公司或欧洲期权支付函数，并获得了简单和复杂的策略。最后，附录收集了技术证据。2 Naive和Balanced Stopping Laws本节介绍一般最优停车问题的时间不一致性以及我们处理该问题的方法。考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持强马尔可夫过程X:R+×Ohm 7.→ X初始值X=X∈ 十、其中X是X的状态空间，是Rd的一个连通子集。我们将不断使用符号xxx来强调过程对初始值X的依赖性。我们用B（X）表示X的Borelσ-代数。设F={Ft}t≥0是X生成的自然过滤的P-增强，T是所有F-停止时间的集合，可能在正概率范围内。注意，T包括非马尔可夫停止时间。在任何给定状态x∈ 十、决策者（代理）需要决定何时停止processX。

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2022-6-1 08:07:50

如果他选择在τ停止∈ T，他收到了付款J（x；τ），其中J:x×T 7→ R是一个给定的目标函数。代理打算通过选择合适的停止策略来最大化其支付。使用两个阈值类型的策略，代理在状态过程达到a或b时停止，其中a<达到两个规定的阈值。Ebert和Strack（2017）考虑了纯马尔可夫策略，这是两种基本的阈值策略。非马尔可夫停止在实践中被广泛使用。例如，股票交易中的“尾随止损”是一条非马尔可夫卖出规则。He et al.（2017）认为，在CPT路径下的赌场赌博模式中，stoppin策略严格控制着马尔可夫策略。时间τ∈ T，即他渴望实现upτ∈TJ（x；τ）。（2.1）目标泛函的一个经过充分研究的例子是预期payoffj（x；τ）：=E[u（Xxτ）]，（2.2），其中u:x 7→ R、 Borel可测函数，即所谓的Payoff函数；也就是说，如果他决定立即停止，u（x）是他收到的报酬。另一个例子是一般非指数贴现的问题：J（x；τ）：=E[δ（τ）u（Xxτ）]，（2.3），其中δ：[0，∞) → [0，1]随着δ（0）=1而减小。也可以考虑均值-方差标准，其中j（x；τ）：=E[Xxτ]- γVar（Xxτ），（2.4），对于某些γ>0。在第4节中，我们将关注概率“扭曲”的目标函数，如下文（4.8）所述。作为{Xxt}t≥0随着时间的推移，可以在每一时刻重新检查并解决最佳停止问题（2.1）≥ 出现了一个自然的概念性问题：假设可以为每个x∈ 十、 ^τX和^τXxt，t>0，是否相互一致？这个问题中的“一致性”概念可以形式化如下：定义2.1（时间一致性）。假设最佳停止时间^τx∈ 所有x都存在问题（2.1）的T∈ 十、

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2022-6-1 08:07:53

我们说问题（2.1）是时间一致的，如果对于任何t>0和任何x∈ 十、 ^τX=t+^τXxta。s、关于{τx}≥ t} ；（2.5）否则问题（2.1）是时间不一致的。直觉上，时间不一致意味着此时规划的最优策略在下一时刻可能不再是最优的。众所周知，问题（2.1）与（2.2）中的预期收益是时间一致的。对于一般目标函数，问题（2.1）主要是时间不一致的-例如，当涉及概率失真或应用非指数贴现时。时间的不一致性使得“动态优化”的概念完全无效，因为如果一个人不能将未来的自己投入到他今天选择的最优策略中，那么今天的最优策略在动态环境中几乎没有用处。更具体地说，对于任何给定的状态x∈ X在t=0时，假设代理找到一个最佳的停止时间^τX。他实际上想要，并且确实假设，他未来的所有自我都将遵循^τX，因此最佳值supτ∈TJ（x；τ）=J（x；^τx）。然而，在时间t>0时，他的未来自我希望遵循自己的最佳停止时间^τXxt，这可能与^τxin（2.5）的意义不一致。如果代理在时间0时不能有效控制其未来的行为，则不会执行^τx，并且最优值supτ∈因此，无法获得t=0时初始计算的TJ（x；τ）。正如导言中所讨论的，文献中描述了存在时间不一致性的三种类型的代理。naive代理只需遵循最佳停止时间τXxtat everymoment t≥ 0，而不知道基本的时间不一致性。

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2022-6-1 08:07:57

作为一个拥有预期收益（2.2）的老练代理人，塔式法则认为：对于任何τ，e[u（Xxτ）]=e[u（Xxτ）| Ft]]∈ T和T≥ 这意味着在给定时间t的停止问题与初始时间的停止问题是一致的，只要问题尚未在t停止，就可以应用经典方法，如动态规划和鞅方法来解决它；例如，见Shiryaev（1978）和Karatzas and Shreve（1998）。相比之下，他意识到时间的不一致性，但缺乏承诺，他会制定一致的计划：他会考虑到未来自己的行为，并试图找到一种停止策略，一旦长期使用，未来的自己都不会有动机偏离它。最后，能够提交的经过身份验证的代理只需在t=0时解决一次问题，然后坚持相应的停止计划。最后一种类型的问题，即所谓的预承诺代理，实际上是一个静态（而非动态）问题，并已在各种情况下得到解决，例如Xu和Zhou（2013）中概率扭曲下的最优停止，Zhou和Li（2000）中的均值-方差组合选择，Miller（2017）中的非线性约束下的最优停止，Miller和Yang（2017）中的条件风险价值最优控制。本文的目的是研究前两类代理人的行为。事实证明，正如我们将要证明的那样，这两者的解决方案是相互关联的，并且都严重依赖于最后一种类型的解决方案。现在，我们提供了前两类代理（以下分别称为naive代理和Experience代理）停止策略的精确公式。我们首先介绍了停止法的概念，摘自Huang和Nguyen Huu（2018）的定义3.1。定义2.2（停止法则）。

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2022-6-1 08:08:00

Borel可测函数τ：X 7→ {0，1}被称为（马尔可夫）停止定律。我们用T（X）表示所有停止定律的集合。停止律的概念类似于控制理论中的反馈控制律。阿斯托普定律独立于任何状态过程；然而，对于任何给定的进程，这样的法则以以下方式诱导停止决策（响应于任何当前状态）。给定X=X的过程X，每个停止定律τ∈ T（X）控制代理何时停止sx：代理在τ（Xt）产生值0时第一次停止，即在时刻lτ（X）：=inf{T≥ 0：τ（Xxt）=0}。（2.6）换言之，Lτ（x）是当过程的当前状态为x时，由停止定律τ诱导的停止时间。我们首先定义了naive代理使用的停止定律。定义2.3（自然停止定律）。用{τx}x表示∈十、 T（2.1）的最佳停止时间集合，同时注意到对于某些x∈ 十、 D e fine^τ：X 7→ {0，1}by^τ（x）：=（0，如果^τx=0，1，如果^τx>0或^τxd不存在。（2.7）如果^τ是Borel可测的，我们说它是由{τx}x生成的na ve停止定律∈十、停止律^τ∈ 上文定义的T（X）描述了天然药物的行为。对于任何当前状态x>0，如果存在这样一个停止时间，则naive代理仅通过遵循最佳停止时间τx来决定停止或继续。如果^τx在某个x上不存在∈ 十、我们必须有SUPτ∈TJ（x；τ）>u（x）（否则，我们可以取^τx=0）。虽然最佳值supτ∈无法获得TJ（x；τ），naive代理可以选择一些τ∈ τ>0 a.s.的T，使得J（x；τ）非常接近supτ∈TJ（x；τ），导致J（x；τ）>u（x）。也就是说，一个天真的代理决定继续比停在x更好∈ 十、

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2022-6-1 08:08:03

这就是当上述定义中不存在^τxd时，我们将^τ（x）=1的原因。关于最佳停车时间{τx}x是否为∈Xof（2.1）的选择应确保（2.7）中定义的^τ是Borel可测量的。根据标准预期支付公式（2.2），答案是肯定的。对于概率失真下的目标函数，我们将在第4节中看到，^τ在我们研究的所有示例中都是可测量的。对于非指数贴现下的具体问题，naive停止定律的制定首先出现在Huang和Nguyen Huu（2018）的备注3.3中。在这里，我们将这个概念扩展到一般设置，并允许不存在最佳停止时间的可能性。备注2.1。定义2.1中的时间一致性也可以表示为τx=Lτ（x）=inf{t≥ 0：τXxt=0}a.s。x个∈ 十、（2.8）注意，第二个等式直接来自（2.7）。（2.5）和（2.8）之间的等效性如下所示。假设（2.5）保持不变。对于任何x∈ X和a.e.ω∈ Ohm, 允许l := ^τx（ω）≥ 0.By（2.5），^τXxt（ω）=l - t， 0≤ t型≤ l. 这将产生L^τ（x）（ω）=l = τx（ω），因此（2.8）成立。相反，假设（2.8）为真。对于任何x∈ 集{τX上的X和t>0≥ t} 我们有inf{s≥ 0：τXxs=0}=Lτ（x）=τx≥ t、因此^τXxs6=0 f或0≤ 这意味着≥ 0：τXxs=0}=t+inf{s≥ 0：τXys=0}，其中y：=Xxt。这与（2.8）一起给出了τx=t+τXxton{τx≥ t} ，即证明了（2.5）。公式（2.8）意味着naive代理将停止的时刻，即L^τ（x），与最初预先承诺的最佳停止时间（该时间是在过程处于状态x时计划的时间0）和ττx规定的时间完全相同。现在，我们使用Huang和Nguyen Huu（2018）第3.1节中介绍的博弈论论证来描述一个复杂的代理人。

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2022-6-1 08:08:07

假设代理以初始停止定律τ开始∈ T（X）。在任何当前状态x下∈ 十、代理人进行以下博弈论推理：如果我未来的所有自我都会遵循τ∈ T（X），目前应对这一问题的最佳停止策略是什么？由于代理人目前只能选择停止或继续，他只需要比较这两种不同行为产生的报酬。如果代理在当前时间停止，他将立即获得付款u（x）。如果代理选择在当前时间继续，考虑到他未来的所有自我都将跟随τ∈ T（X），代理人最终会在*τ（x）：=inf{t>0：τ（Xxt）=0}，（2.9），导致支付*τ（x））。注意两次停车时间之间的细微差别，L*τ（x）和Lτ（x）：在任何时刻，一个人都可以在前者下继续，即使后者可能指示停止。然后可以得出一些结论：（i）如果u（x）>J（x；L，则代理应在当前时间停止*τ（x）），如果u（x）<J（x；L，则在当前时间继续*τ（x））。（ii）对于u（x）=J（x；L）的情况*τ（x）），代理在当前时间停止和继续之间是不同的；因此，现在没有激励代理偏离最初分配的停止策略τ（x）。这已经是目前最好的停止策略（或法则）（取决于τ之后的所有未来自我∈ T（X）），可总结为Θτ（X）：=0，如果x∈ Sτ，1，如果x∈ Cτ，τ（x），如果x∈ Iτ，（2.10），其中τ：={x∈ X:J（X；L）*τ（x））<u（x）}，Cτ：={x∈ X:J（X；L）*τ（x））>u（x）}，Iτ：={x∈ X:J（X；L）*τ（x））=u（x）}分别是停止区、连续区和差异区。备注2.2。Θin（2.10）和三个区域Sτ、Cτ和Iτ的定义是由Huang和Nguyen Huu（2018）的公式推动的。在这里，函数J的目标被限制为形式（2.3）。

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2022-6-1 08:08:10

本文考虑了一类更大的目标泛函，具体由下面的假设2.1规定。备注2.3（不存在最佳停车时间）。我们在定义2.1中制定时间一致性的方式遵循了经济学和数学金融学的一系列文献，取决于每个州（预先承诺的）最优控制/停止时间的e xi一致性。当最优策略不存在时，如何确定时间一致性还不清楚。最近，Karnam、Ma和Zhang（2017）指出了这一问题，并提出了一种可能的方法，通过反向随机微分方程（BSDE），在不参考最优策略的情况下，公式化时间一致性。然而，我们上面描述的博弈论方法（最终导致复杂的停止策略）并不依赖于最优策略的存在。给定任意给定的停止律τ∈ T（X），上述博弈论思想给出了一个替代的停止定律，Θτ，它至少与这个复杂的代理的τ一样好。自然，平衡停止定律可以定义为在这种博弈论推理下不变的定律。这推动了下文第2.4条的定义。然而，为了贯彻这一思想，我们需要确定目标函数j的条件，在此条件下，Θτ确实是一个满足定义2.2中可测量性要求的停止定律。为此，对于任何τ：X 7→ {0，1}，我们考虑τ的核，它是代理停止时的状态集合，由ker（τ）定义：={x∈ X：τ（X）=0}。备注2.4。对于任何τ∈ T（X）和X∈ 十、 Lτ（X）和L*τ（x）属于T。实际上，τ的可测性∈ T（X）impliesker（τ）∈ B（X）。

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2022-6-1 08:08:13

（2.11）由于过滤F的正确连续性，Lτ（x）=inf{t≥ 0:Xxt∈ ker（τ）}和L*τ（x）=inf{t>0:Xxt∈ ker（τ）}（2.12）是F-停止时间。现在，我们介绍确保Θτ可测量性的假设。假设2.1。目标函数J：（X，T）7→ 任何D的R满意度（i）∈ B（X），地图X 7→ J（x；TxD）是Borel可测的，其中TxD：=inf{t>0:Xxt∈ D} 。（2.13）（ii）对于任何序列{Dn}n∈Nin B（X）使Dn Dn+1适用于所有n∈ N、 lim信息→∞J（x；TxDn）≤ J（x；TxD），其中D：=∪n∈NDn。备注2.5。假设2.1非常温和，符合经典公式（2.2），并在非指数贴现（2.3）和平均方差标准（2.4）下停止。由于第（i）部分很容易在这些应用程序中进行验证，因此讨论重点放在第（ii）部分。在（2.2）项下，为了确保问题（2.1）得到很好的定义，施加了一个标准条件isEsup0≤t型≤∞u（Xxt）< ∞, 其中u（Xx∞) := lim支持→∞u（Xxt）。然后可以将支配收敛定理应用于getlimn→∞J（x；TxDn）=J（x；TxD）（2.14）（对于{Dn}） B（X），Dn Dn+1，D：=∪n∈NDn。同样，根据（2.3）（分别为（2.4）），为确保（2.1）定义明确，施加的标准条件为sup0≤t型≤∞δ（t）u（Xxt）< ∞ （分别为sup0≤t型≤∞（Xxt）< ∞). 然后，支配收敛定理可以应用于ge t（2.14）。对于（2.14），假设2.1-（ii）基本满足。命题2.1。假设假设假设2.1（i）成立。然后Θτ∈ T（X）每当τ∈ T（X）。证据鉴于（2.12），L*τ（x）就是Txker（τ）。因此，根据假设2.1（i），x 7→ J（x；L）*τ（x））是Borel可测的，其中Sτ、Cτ和Iτ都在B（x）中。通过（2.10）和（2.11），ker（Θτ）=Sτ∪ （Iτ∩ ker（τ））∈ B（X），这意味着Θτ：X 7→ {0，1}是Borel可测的。定义2.4（平衡（复杂）停止定律）。停止律τ∈ 如果所有X的ττ（X）=τ（X），则T（X）称为平衡∈ 十、

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可人4

2022-6-1 08:08:16

我们用E（X）表示所有平衡停止定律的集合。备注2.6（平凡平衡）。与几乎所有的纳什型均衡一样，存在性和唯一性是重要的问题。在我们的环境中，一个停止定律τ∈ T（X）定义为τ（X）=0，对于所有X∈ X是一个平凡的平衡。实际上，对于任何x∈ 十、 L*τ（x）=0，因此J（x；L*τ（x））=u（x）。这意味着Iτ=X。通过（2.10），我们得出所有X的Θτ（X）=τ（X）∈ 十、为了寻找平衡停止定律，一般（和自然）的想法是对算子Θ执行定点迭代：从任何τ开始∈ T（X），取τ*（x）：=limn→∞Θnτ（x）x∈ 十、（2.15）上述程序有明确的经济解释。首先，（复杂的）代理是一个初始停止定律τ。一旦他开始进行前面提到的博弈论推理，他就会意识到，考虑到所有未来的自我都会遵循τ，对他来说，最好的停止策略就是Θτ。因此，他从τ切换到Θτ。同样的博弈论推理意味着，考虑到所有未来的自我都将遵循Θτ，他最好的停止策略是Θτ。agentthus再次从Θτ切换到Θτ。这个过程一直持续到药剂最终达到平衡τ*, 他无法通过上述程序进一步改进的固定点和策略。从经济学的角度来看，Θ的每一个应用都对应于额外的战略推理水平。从数学上讲，我们需要证明（2.15）中的限值定义得很好，属于T（X）和satisΘτ*= τ*. 总的来说，这样的结果不容易确定，而且在很大程度上仍然是一个公开的问题。然而，当X是一个一维扩散过程时，我们将能够以一种相当完整和明确的方式推导出naive和复杂代理的停止策略。

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mingdashike22

2022-6-1 08:08:19

这对于具有预期效用和非指数贴现的停止问题，Huang和Nguyen Huu（2018）表明，在贴现函数和初始停止定律τ的适当条件下，定点迭代确实收敛到均衡∈ T（X）；见其中定理3.1和推论3.1。这不仅是因为，在一维情况下，Xu和Zhou（2013）已经完全获得了预先承诺的停止定律，而naive策略依赖于这些定律，而且还因为定点迭代（2.15）更易于管理，并且确实会收敛到非平衡状态，这是因为关键的技术结果（引理a.1）只适用于一维过程。3平衡停止L aws：一维CaseLet X是R中的开放区间，即X=(l, r）对一些人来说-∞ ≤ l < r≤ ∞. 考虑钻孔可测量a、b:X 7→ R、 a（·）>0，这样对于任何x∈ 十、随机微分方程dxt=b（Xt）dt+a（Xt）dBt，X=X，其中b表示标准的一维布朗运动，具有唯一定律的弱解，且未达到X a.s.的边界，即P（Xxt∈ (l, r）t型≥ 0) = 1.定义θ（·）：=b（·）/a（·），并假设pZtθ（Xs）ds<∞= 1.t型≥ 0。（3.1）引入processZt：=exp-Ztθ（Xs）dBs-Ztθ（Xs）ds对于t≥ 0，（3.2），定义为非负局部鞅。请注意，（3.1）是一个标准条件，确保RTθ（Xs）dbs对于所有t≥ 0 a.s.提案3.1。假设X是R中的开放区间，假设2.1成立，而（3.2）中定义的Z是鞅。那么，对于任何τ∈ T（X），ker（τ） Iτ，ker（Θnτ）=SΘn-1τ∪ 克尔（Θn-1τ), n∈ N、（3.3）因此，τ*在（2.15）中定义得很好，其中ker（τ*) =序号∈Nker（Θnτ）。命题3.1的证明被归入附录A定理3.1。假设X是R中的开放区间，假设2.1成立，而（3.2）中定义的Z是鞅。

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2022-6-1 08:08:22

那么，对于任何τ∈ T（X），τ*（2.15）中的定义属于E（X）。因此，E（X）={τ*∈ T（X）：τ*= 画→∞Θnτ，对于某些τ∈ T（X）}=[τ∈T（X）{limn→∞Θnτ}。（3.4）证明。根据命题3.1，τ*∈ T（X）定义良好，ker（τ*) =序号∈Nker（Θnτ）。As ker（τ*) Iτ*（再次根据命题3.1），Θτ*（x） =τ*（x）对于所有x∈ ker（τ*). 对于x/∈ ker（τ*), 我们有/∈ 对于所有n，ker（Θnτ），即Θnτ（x）=1∈ N、鉴于（2.10），这给出了J（x；L*Θn-1τ（x））≥这是由a和b上的适当条件保证的。具体地说，a（·）>0和| b（·）|/a（·）的局部可积性意味着弱解X在定律中的存在和唯一性。另一方面，当er X达到X的有界ariesof X时，完全由Feller的爆炸测试表征。我们参考第5.5节。B、 5.5。Karatzas和Shreve（1991）的C进行了详细的阐述。所有n的u（x）∈ N、根据（2.12），这可以写成J（x；Txker（ΘN-1τ)) ≥ 所有n的u（x）∈ N、由于提案3.1，{ker（ΘN-1τ）}n∈Nis是Borel集和ker（τ）的一个非减量序列*) =序号∈Nker（Θn-1τ). 然后根据假设2.1（ii）得出thatJ（x；Txker（τ*)) ≥ lim信息→∞J（x；Txker（n-1τ)) ≥ u（x）。这意味着x∈ Cτ*∪ Iτ*. 如果x∈ Iτ*, 然后Θτ*（x） =τ*（x）；如果x∈ Cτ*, 然后Θτ*（x） =1=τ*（x），澳大利亚证券交易所/∈ ker（τ*). 因此，我们得出结论，Θτ*（x） =τ*（x）对于所有x∈ 十、即τ*∈ E（X）。对于（3.4）中的第一个等式” 这种关系是上述结果的直接结果。请注意“” 关系也是正确的，因为对于每个τ*∈ E（X），可以简单地取τ∈ 右侧的T（X）为τ*它本身（3.4）中的最后一组只是第二组的重新表述。该定理表明，在其假设下，通过定点迭代可以找到每个平衡点。此外，它还规定了一种判断给定停止定律是否非平衡的方法。

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可人4

2022-6-1 08:08:26

任何可以通过迭代严格改进的初始策略（即博弈论推理）都不是均衡策略。另一方面，即使代理的初始策略碰巧已经是一个平衡，他也可能没有意识到这一点。只有在应用了迭代并发现自己得到了相同的策略后，他才会这样做。任何给定的停止定律τ都将产生平衡τ*根据（3.4）；所以总的来说，我们不可能有一个唯一的平衡。在本文中，我们对平衡^τ特别感兴趣*∈ 由naive停止定律^τ生成的E（X）∈ 由{τX}X诱导的T（X）∈Xin（2.7）；即^τ*（x） =limn→∞Θn^τ（x）x∈ 十、（3.5）选择这种均衡的经济意义在于，它明确说明了如果一个（非理性）天真的代理人被教育进行有效的战略推理，他可能会变成一个（完全理性的）复杂的代理人。4概率扭曲问题的应用在本节中，我们将前几节中建立的一般设置和结果应用于目标函数涉及概率扭曲（加权）且基础过程是几何布朗运动的情况。设S={St}t≥0是几何布朗运动，满足dst=uStdt+σStdBt，S=S>0，对于t≥ 0，（4.1），其中u∈ R和σ>0是常数和{Bt}t≥0是标准布朗运动。请注意，进程S采用R+：=（0，∞) 几乎可以肯定。在本文的大多数讨论中，Sis被解释为资产的价格过程，尽管它可以代表其他过程，如项目的价值过程，也可以进行类似的讨论。考虑一个非减量连续函数U:R+7→ U（0）=0的R+和严格递增的连续函数w：[0，1]7→ [0，1]，其中w（0）=0，w（1）=1。

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2022-6-1 08:08:29

这里，U是代理人的效用函数或资产的支付函数，w是概率扭曲函数。代理人的目标是，对于任何给定的初始状态s，最大化其“扭曲”的预期支付F最大化I（s；τ）：=Z∞通过选择适当的停止时间τ，w（P[U（Ssτ）>y）]dy，（4.2）∈ T因此，代理人打算在概率扭曲的情况下，通过在适当的时刻停止价格过程，使其预期效用（或报酬）最大化。这个公式是由几个金融应用程序驱动的，例如清算金融头寸、实物期权和赌场赌博。注意，当w（p）=p时，我们检索标准期望值。在本节的整个分析中，我们考虑参数β：=1- 2u/σ. （4.3）β的价值与资产S的“良好”程度是相互关联的。Shiryaev、Xu和Zhou（2008）将|σ作为资产的“优度指数”，包含在（4.3）中。该指数越大，相对于其波动性，资产的预期回报率越高。在本节的其余部分，我们将重点讨论β>0的情况，其中（4.2）真正出现了时间不一致性。4.1β>0的情况：我们认为时间不一致，如Xu和Zhou（2013）第2.2节所述，过程Xt：=Sβt，t≥ 也就是说，X是{βσBt}t的Dol'eans Dade指数≥0:dXxt=βσXxtdBt，Xx=x>0，（4.4），其中x=sβ>0。作为一个无漂移的几何布朗运动，Xxis是一个P-鞅和limt→∞Xxt=0 a.s.（4.5），这得益于重对数定律。正如我们随后将看到的那样，这一事实在决定复杂代理的行为方面起着重要作用——从长远来看，底层流程的价值会减少。此外，对于任何b>x，P[Txb<∞] =xb<1，其中Txb：=inf{t>0：Xxt=b}。

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2022-6-1 08:08:32

（4.6）注意，（4.6）从标准布朗运动的击中时间概率到线性二元；例如，见Karatzas和Shreve（1991）。设u由u（x）定义：=u（x1/β），x∈ (0, ∞). （4.7）当β>0时，变换后的函数u在u（0）=u（0）=0的情况下是不减损的。u的形状可以是凸形、凹形或S形（即先凸后凹），取决于u的形状和系数β。同样，我们定义j（x；τ）：=I（x1/β；τ）≡Z∞对于x>0，τ，w（P[u（Xxτ）>y]）dy∈ T（4.8）在文献中，扭曲的预期支付公式为I（s；τ）=R∞U（y）d[1- w（1- F（y））]，其中F是Ssτ的分布函数。该表达式与（4.2）等价于Fubini定理。的确，R∞U（y）d[1-w（1- F（y））]=R∞RU（y）dxd[1- w（1- F（y））]=R∞R∞U-1（x）d[1- w（1- F（y））]dx=R∞w1.- F（U-1（x））dx=R∞w（P[U（Ssτ）>x]）dx，其中U-1是U的左（或右）逆≤ 0，在e上，可以从Xu和Zhou（2013）推断出问题（4.2）是时间一致的。实际上，当β=0时，Xu和Zhou（2013），第255页，证明了^τs：=inf{t≥ 0：Sst≥ x个*} = inf{t≥ 0：Bt≥ σ-1日志（x*/s） }是（预提交的）最佳停止时间（4.2），其中x*:= inf公司x>0：U（x）=supy>0U（y）. 状态进程Ssis的停止阈值始终为x*, 与当前状态无关。那么就没有时间不一致了。Wh enβ<0，Xu和Zhou（2013）中的定理2.1表明≡ ∞, 暗示“永不停止”，是（预先承诺的）最佳停止时间。

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2022-6-1 08:08:36

同样，此处不存在时间不一致性，即^τs≡ ∞ 不依赖于当前状态s。这里，我们允许τ∈ T取值+∞ 正概率：在集合{τ=∞}, 考虑到（4.5），我们建议取Xτ=0。在目标函数（4.8）下，Xu和Zhou（2013）描述了问题（2.1）预先承诺的最佳停止时间，指出问题可能是时间不一致的，因为β>0。下一个示例明确演示了这一次的不一致性。示例4.1。取u（x）=xη和η≥ 1，并考虑Prelec（1998）提出的概率加权函数：w（x）=exp(-γ(- 对数x）α）对于某些α，γ>0。（4.9）由于u是凸的，Xu和Zhou（2013）的定理4.5表明，问题（2.1），J（x；τ）如（4.8）所示，可以简化为优化问题SUPλ∈（0,1）w（λ）uxλ. （4.10）为了解决我们案例中的这个问题，对于每个x>0，设置f（λ）：=w（λ）uxλ. 通过直接计算，f′（λ）=w（λ）λxλη[αγ(- 对数λ）α-1.- η].观察f′（λ）=0有唯一的解λ*= e-ηαγ1/(α-1）关于（0，1）。此外，f′（λ*) = -αγ(α - 1)ηαγα-2α-1w（λ*)(λ*)xλ*η.假设α>1，在这种情况下，w为S形（即，先凸后凹）。Thenf′（λ*) < 0; 此外，对于λ<λ，f′（λ）>0*, 对于λ>λ，f′（λ）<0*. 这意味着λ*是（4.10）的唯一最大值。通过Xu和Zhou（2013）中推论4.6的讨论，我们得出结论：^τx：=inf{t≥ 0:Xxt≥ x/λ*} = inf（t≥ 0:Xxt≥ eηαγ1/(α-1） x）∈ 当当前状态为x时，T（4.11）是预先承诺的最佳停止时间（2.1）。移动停止阈值会导致时间不一致：对于任何T>0，τx6=T+τXxton{τx>T}，除非Xxt≡ x；因此，（2.5）通常被违反。更具体地说，随着X随时间的推移而变化，代理会不断更新（2.1）中的初始值X，使其当前状态y：=Xt，从而更改原始阈值X/λ*至y/λ*在时间t。

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2022-6-1 08:08:40

虽然是状态x下（2.1）的最优解，但^τx不会实现，因为未来的自我会忽略它。这里一个重要的观察结果是，时间的不一致导致天真的代理人完全推迟停止。As 1/λ*> 1，对于所有x>0，我们有^τx>0，因此，naive代理永远不会在任何给定时刻停止，因此永远不会停止。备注4.1。示例4.1让人想起Ebert和Strack（2015），其中显示，在CPTsetting下，天真的代理人可能会在所谓的“小偏差偏好”条件下，不确定地推迟其停止决策（因此违反最初预先承诺的最佳停止时间），这取决于其中的假设1和2。实际上，在示例4.1中，我们有ζ：=supx>0u′l（x） /u′r（x）=1，w′（0+）=∞,其中u′l和u′rd分别记下u的左导数和右导数。这表明，Ebert和Strack（2015）中的假设1和2都得到了满足：前者要求ζ<∞, 而当w′（0+）>ζ时，latteris full（latteris fill）（见其中的（3））。在存在时间不一致性的情况下，通过应用一般结果定理3.1，研究一个复杂的代理缺乏承诺的情况是很有意义的。具体而言，在当前概率失真的背景下，如何应用定理3.1中的定点迭代来找到平衡停止定律。从技术上讲，为了应用定理3.1，我们需要首先检查其假设的有效性。引理4.1。假设β>0。目标函数（4.8）满足假设2.1。引理4.1的证明被归入附录B定理4.1。假设β>0，目标函数由（4.8）给出。对于任何τ∈ T（R+），τ*（2.15）中定义的be长于E（R+），因此（3.4）保持X=R+。尤其是^τ*定义（3.5）属于E（R+）。证据

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mingdashike22

2022-6-1 08:08:43

由于X是一个零漂移的几何布朗运动，所以（3.2）中的过程Z是常数1，因此是鞅。由于目标函数（4.8）满足假设2.1（byLemma 4.1），因此结果现在是定理3.1的直接结果。定理4.1中的定点迭代具有有趣的含义。下一个结果表明，当一个天真的代理人只应用一次定点迭代时，行为就会发生剧烈的变化：一个永远不会停止的天真代理人（“直到痛苦的结局”Ebert and Strack（2015））将自己转变为一个会立即停止的老练的代理人。提案4.1。设β>0，假设u（x）>0x>0。那么对于τ∈ T（R+）由τ（x）=1给出x>0，τ*（x） =limn→∞Θnτ（x）=Θτ（x）=0x>0。证据首先，β>0意味着u是不递减的，u（0）=0。通过定义τ，L*τ（x）=∞x>0。这与（4.5）一起意味着J（x；L*τ） =R∞w（P[u（0）>y）]dy=0<u（x）x>0。由此得出Sτ=R+，其中Θτ（x）=0x>0。示例4.1（续）。我们已经证明，当α>1时，naive代理会延迟停止，即当所有x>0时，^τ（x）=1。根据命题4.1，相应的平衡停止律^τ*= 画→∞Θn^τ=Θ^τ是备注2.6中描述的平凡平衡，即立即停止。天真的人，曾经像个老于世故的人一样思考，决定立即停止。命题4.1证明背后的经济理由如下。在任何时候，假设所有未来的自我都将执行天真、永不停歇的策略。考虑到这一点，问题是现在该怎么办。只有两种选择。如果他要遵循最初的策略，即现在继续，那么根据（4.5），基本过程（未停止）的价值几乎肯定会减少到零，因此支付为零。

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2022-6-1 08:08:47

如果他现在停止，那么他可以得到一些正的回报，因为当x>0时，假设u（x）>0。这个简单的比较将促使他立即停止。定理4.1的使用将在接下来的两小节中进一步演示。在第4.2小节中，我们研究了基于效用最大化和实物期权估价的实例。我们特别感兴趣的是找到平衡停止定律*∈ 如（3.5）所述，由纳夫停止定律产生的E（R+）。通过这种平衡的构建，我们将能够看到一个天真的代理人和一个老练的代理人之间有趣的联系，特别是前者如何通过引发战略推理将自己变成后者。在第4.3小节中，我们展示了如何使用定理4.1中的定点迭代，在特定选择变换函数u和畸变函数w的情况下，找到一大类平衡停止定律。我们还将讨论如何可能比较这些平衡。4.2示例：效用最大化和实物期权估价在本小节中，我们将研究几个由效用最大化和实物期权估价驱动的示例。在所有示例中，我们将取函数U为U（x）=xγ，对于某些0<γ<1的情况，为标准等弹性效用函数，或U（x）=（x- K） +对于某些K>0的情况，这是实物期权的公共支付函数。我们的重点是比较（2.7）中的naive停止定律与相应的平衡停止定律*在（3.5）中。我们首先假设w是倒S形（即[0，1]上的凹面- q] 和[1]上的凸- q、 1]对于某些q∈ （0，1）），这表明代理夸大了“非常好”和“非常坏”场景的概率。这种类型的w已被广泛研究，因为它与人类决策的经验数据一致。

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何人来此

2022-6-1 08:08:50

关于逆S形w的文献，包括Tversky和Kahneman（1992）、Lattimore等人（1992）、Camerer和Ho（1994）、Wu和Gonzalez（1996）、Birnbaum和McIntosh（1996）以及Prelec（1998）等，提出了w的三个主要模型：1）单参数模型w（x）=xγ（xγ+（1- x） γ）1/γ带γ*≤ γ<1，（4.12），其中γ*≈ 0.279是γ的最小值，使得w不减；2）双参数模型lw（x）=αxγαxγ+（1- x） γ，α>0，0<γ<1；（4.13）和3）双参数模型（4.9），0<α<1，γ>0。为了便于后续示例中的讨论，让我们给出thenaive law^τ的等效表达式。假设最佳停止时间{τx}x∈R+存在。对于每个x>0，让F^τxbe为Xx^τx的累积分布函数，G^τx：=F-1^τxb是Xx^τx的分位数函数。然后，naive停止定律∈ （2.7）中的T（R+）可以用Fτxor Gτx：ττ（x）：=（0，如果τx=0,1，否则=（0，如果Fτx（·）=1[x，∞)（·），1，如果另有规定=（0，如果G^τx（·）≡ x、 1，如果另有规定。（4.14）一个有趣的结果是，为了确定naive停止定律^τ，无需详细说明什么是^τ轴：鉴于（4.14），一旦分位数函数G^τ轴已知，就可以很好地定义^τ。如Xu和Zhou（2013）所示，G^τxis是SUPG的最优解∈QxZu（G（y））w′（1）- y） dy，（4.15），其中Qx：={G:[0，1）7→ 对于某些τ，R+| G是Xxτ的分位数函数∈ T}；此外，（4.15）可以通过某些数学程序求解。Xu和Zhou（2013）提出的这种方法用于解决预先承诺的最优停止，被称为“分位数公式”，可用于下一个结果。他和周（2016）将倒S形w与决策中的hop e（对“非常好”情景的希望）和恐惧（对“非常坏”情景的恐惧）的情绪联系起来。提案4.2。假设u为凹形，w为倒S形，w′（0+）=∞.

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