强劲的金融泡沫 - 外文文献专区

2022-5-10 19:41:38

强劲的金融泡沫Francesca Biagini*雅格布·曼辛*2018年8月25日摘要我们在一个市场模型中研究金融泡沫的概念，该市场模型具有一组概率测度s，通常是相互奇异的。在这个背景下，我们引入了鲁棒泡泡和鲁棒基本值的概念，在P={P}的情况下，以与现有文献一致的方式。在不确定性框架下，研究了非显性的概念。最后，我们提供了具体的例子来说明我们的结果。关键词：金融泡沫，模型不确定性。AMS分类：60G48、60G07、91G99。1简介近年来，气泡的数学模型化引起了越来越多的关注。尽管关于这一主题的文献很多，但对金融泡沫的描述通常基于两个主要因素：资产的市场价值和基本价格。由于第一种方法只是由代理人观察到的，因此内在价值的建模是不同方法之间差异产生的地方。在经典设置中，考虑了具有一个先验的模型，主要方法由气泡的马尔廷格尔理论给出（我们引用了[1]、[12]、[13]和[24]）。根据该理论，最终价值被定义为未来贴现付款的预期总和。最近[25]中提出了另一个定义，其中基础价值被假定为资产的超复制价格。所有这些模型的共同基础是开始选择过滤概率空间和使用一个先验。在本文中，我们旨在通过提出一个在不确定性条件下连续时间金融市场中泡沫形成的框架，为现有文献做出贡献。

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2022-5-10 19:41:41

通过这样做，我们可以让投资者考虑更广泛的模型集，并就所有模型所设想的情景做出稳健的决策。市场价值仍将是外生的，但基本价值仍将是外生的*德国慕尼黑路德维希马西米兰大学数学系金融和保险数学工作组，地址：特雷西恩斯特拉39号，邮编：80333。电子邮件：biagini@math.lmu.de,mancin@math.lmu.dea与古典文学有很大不同的解释，并产生意想不到的后果。我们假设代理人被赋予一系列局部鞅测度，每一个都指定了金融资产的可能动态。根据[19]中的结果，假设2.1中所述的先验集满足一些正则条件。在模型不确定性文献中的各种框架中（例如参见[3]、[22]、[27]和[29]），这种选择有几个原因。该模型保证了时间一致的次线性预期的存在，并已在许多近期的工作中用于研究随机金融中的一些经典问题，例如不存在套利和超复制价格（参见示例[2]、[17]、[18]和[20]）。此外，它还包括两个最有趣的波动率不确定性模型，即G-设定（见[22]）和随机G-设定（见[16]），同时考虑到停止时间的可处理性。在存在不确定性的情况下，泡沫的概念更容易定义。其中一个问题在于提供稳健的基本价值观的适定定义*= （S）*t） t≥给定金融资产的0 S=（St）t≥0:robust bubbleβ=（βt）t≥0将再次成为S和S之间的差异*. 当P={P}时，不仅基本值需要与现有文献一致，而且还必须排除一些琐碎的情况，例如：。

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2022-5-10 19:41:44

潜在P市场中的泡沫，决定是否存在泡沫。由于在这种情况下，我们没有线性定价系统，并且由于在当前模型中很难转换贴现未来薪酬的风险中性评估概念，因此我们选择通过超复制价格来描述稳健的基本价值，参见定义3.3，扩展了[25]的方法。在第3.2节中，我们准确地讨论了这个问题。我们方法的一个主要创新之处是，在每个P-市场下，气泡的P-局部子鞅行为，也就是说，当在一个代理人的视角下进行研究时，该代理人只拥有家族P中的一个先验P。这以一种自然的方式概括了文献中经典模型中显示的局部鞅动力学，并允许在静态模型中描述泡沫的诞生及其大小的增长，即不影响投资者对市场的看法。事实上，在[1]中对某些情况也描述了同样的子鞅行为主义，但它是从先验测度平稳转移到另一种测度的结果。据我们所知，这种对泡沫的描述是新的，因为它与[5]中概述的rob ust环境也有所不同，在[5]中，泡沫是由于在不同的环境中对可能的交易策略的限制而产生的。我们模型的另一个有趣的特点是，在潜在的P市场中，人们对强劲泡沫的看法是：事实上，泡沫可能不会被视为f或某些特定的先验因素。或者，对于某些P-鞅，产生强劲泡沫的资产可能是真P-鞅∈ P

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2022-5-10 19:41:48

在这方面，我们的结果代表了[25]设置的一个相关扩展，其中市场泡沫排除了真鞅测度的存在。最后，我们研究了无优势的概念，在模型不确定性框架中提出了其稳健的对手，并研究了其对不确定性概念的影响。论文的结构如下。在第2节中，我们概述了符号和财务模型。特别是，我们将回顾[19]中的结果，并构造一组满足假设2.1的新先验。在第3节中，在回顾现有文献后，我们讨论和研究了鲁棒泡沫和鲁棒无优势的概念，并通过具体例子说明了我们的结果。在第4节中，我们通过检查时间范围不受限制的情况得出结论。2.设置我们考虑的是一个金融市场，其概率测度通常为非显性Ohm = C（R+，Rd），连续路径空间ω=（ωs）s≥0，ω=0，具有局部一致收敛的拓扑结构。我们用F表示上的Borelσ场Ohm. 我们对次线性期望ξ7感兴趣→ E（ξ）：=supP∈PEP[ξ]，诱导时间一致的条件次线性期望。由于这个原因，必须对先验集合和随机变量施加一些条件。给定过滤F的停止时间τ：={Ft}t≥0由标准过程生成，主要的技术问题是保证eτ（ξ）=ess su pP′的∈P（τ，P）EP′[ξFτ]P-a、 s.为所有人P∈ P、（2.1）式中P（τ，P）={P′∈ P:P′=P在Fτ上，被定义为条件次线性期望算子。在文献中，这个问题是通过不同的方法解决的，通常是通过缩小先验集P或要求随机变量具有强正则性。

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2022-5-10 19:41:53

我们引用[3]、[18]、[19]、[23]和[27]来提及关于这个主题的一些论文。我们选择将自己置于[19]的背景下，因为它概括了G-期望和随机G-期望的框架，并提供了一些关于停止时间的可操作性，这在G-设置中仍然是一个悬而未决的问题。为了完整起见，我们总结了我们对setP实施的假设，如[19]所述，以及由此引入的符号。让P(Ohm) 是所有概率测度的集合(Ohm, F）具有弱收敛的拓扑结构。对于任何停止时间τ，ω，＠ω的串联∈ Ohm atτ是路径（ωτω）u:=ωu[0，τ（ω））（u）+（ωτ（ω）+ωu-τ(ω))1[τ(ω),∞)（u），u≥ 0.给定一个函数ξonOhm ω∈ Ohm, 我们定义了上的函数ξτ，ωOhm 通过ξτ，ω（＠ω）：=ξ（ω）τ~ω), ~ω ∈ Ohm.对于任何概率测度P∈ P(Ohm) 存在一个正则的条件概率分布{Pωτ}∈Ohm给定Fτ。这就是Pωτ∈ P(Ohm) 对于每个ω，而ω7→ Pωτ（A）isFτ-对任何A可测量∈ F andEPωτ[ξ]=EP[ξ| Fτ]（ω）表示P- a、 e.ω∈ Ohm,只要ξ是F-可测且有界的。此外，Pωτ可以选择集中在与ω到时间τ（ω），Pωτ{ω′重合的路径集上∈ Ohm : ω′=ω在[0，τ（ω）]}=1上表示所有ω∈ Ohm.我们定义了概率测度Pτ，ω∈ P(Ohm) byPτ，ω（A）：=Pωτ（ω）τA），A∈ F、当eωτA:={ωτ~ω : ~ω ∈ A} 。然后我们得到P的恒等式EPτ，ω[ξτ，ω]=EPωτ[ξ]=EP[ξ| Fτ]（ω）- a、 e.ω∈ Ohm.我们接下来回顾[19]中解析集理论的一些基础知识。如果波兰空间的子集是另一个波兰空间的Borel子集在Borel可测映射下的图像，则称其为分析空间。特别是任何Borel集都是解析的。解析集的集合在可数交和并下是稳定的，但在互补下一般不稳定。

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2022-5-10 19:41:56

而且每≥ 0 FTI的普遍完备性是σ-场F*t=∩PFPt，其中P表示fta上的所有概率测度，F表示P下fta的完成。我们用F表示*过滤{F*t} t≥0.对于每个（s，ω）∈ R+×Ohm 我们定义了一个集合P（s，ω） P(Ohm). 假设P（s，ω）=P（s，ω），如果ω|[0，s]=|ω|[0，s]。然后，我们陈述了[19]中的假设2.1。假设2.1。设（s，’ω）∈ R+×Ohm, 设τ为停止时间，使τ≥ s和P∈ P（s，\'ω）。集合θ：=τs，\'ω- s、（i）可测性：g图{（P′，ω）：ω∈ Ohm, P′∈ P（τ，ω）} P(Ohm) × Ohm 是分析型的。（ii）不变性：我们有Pθ，ω∈ P（τ，ω）sω）对于P-a.eω∈ Ohm.（iii）粘贴下的稳定性：如果ν：Ohm → P(Ohm) 是Fθ-可测核和ν（ω）∈P（τ，ω）sω）对于P-a.eω∈ Ohm, 然后由‘P（A）=Z（1A）θ，ω（ω′）ν（dω′；ω）P（dω），A∈ F（2.2）是P（s，\'）ω的一个元素。利用前面的条件，[19]中的定理2.3证明了以下g.定理2.2。让σ≤ τbe停止时间和ξ：Ohm →R是一个上半解析函数。在假设2.1下，函数τ（ξ）（ω）：=supP∈P（τ，ω）EP[ξτ，ω]，ω∈ Ohm是F吗*τ-可测和上半解析。对于所有ω，moreoverσ（ξ）（ω）=Eσ（Eτ（ξ））（ω）∈ Ohm. （2.3）此外，Eτ（ξ）=ess su pP′∈P（τ，P）EP′[ξFτ]P- a、 s.为所有人P∈ P、（2.4）式中P（τ，P）={P′∈ P:P′=P在Fτ上，特别是σ（ξ）=ess supP′∈P（σ，P）EP′[Eτ（ξ）|Fσ]P-a、 s.为所有人P∈ P.（2.5）我们最终称为P-鞅，一种适应的随机过程M=（Ms）s≥0使得E（Mt）对于每个t是有限的，而Mt=Et（Mt）对于任何t是有限的≥ t、 w的特殊P-鞅-M是P-鞅，称为P-对称鞅。[19]的一个重要结果是，G-期望框架可以纳入上述模型。

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2022-5-10 19:41:59

更准确地说，考虑鞅测度集m={P∈ P(Ohm) : B是一个局部P-鞅}，其中B={Bu（ω）}表示正则过程，其子集tma={P∈ M:hBiPis绝对连续P-a.s.}，其中hBiPis是P下B的Rd×d值二次变化过程，绝对连续性指的是勒贝格测度。我们在此报告[19]中的命题3.1。提议2.3。setPD={P∈ Ma:dhBiPt/dt∈ dp×dt- a、其中D是Rd×D的非空、凸和紧子集，满足假设2.1。众所周知，次线性期望（ξ）：=supP∈PDEP[ξ]给出了LG中拟连续函数空间上的G-期望。在下一个命题中，我们证明了集PD，const PDof恒定波动率情景符合假设2.1。这个结果对第3节的例子起着关键作用。提议2.4。setPD，const={P∈ PD:Dhbit/dt对于所有Tp都是常数- a、其中D是Rd×D的非空、凸和紧子集，满足假设2.1。证据我们按照定理4.3中的步骤，将证明分为三步。在[19]中，dus使用相同的符号。第一步：引理4.4。在[19]中，通过证明Mais Borel是可测量的=P∈ M:hBit=Zt~nsds P- a、为所有人服务∈ Q+,式中，φ为Borel可测量值，对应于相对于Lebesgue测量值的hBi绝对连续部分的密度。类似地，它可以表示Pd，const=P∈ M:hBit=Zt~nsds=ct P- a、为所有人服务∈ Q+，c∈ D.因此PD是可测量的，这足以保证假设2.1中要求的可测量性。第2步：现在τ是一个停止时间，P∈ 文科硕士对于P-a.e.ω∈ Ohm, 我们有pτ，ω∈ Ma，如引理4.7所示。在[19]中。但是如果Q∈ PD，const，我们有Qτ，ω∈PD，const，因为对于所有tqτ，ω-a.s，dhBiQt/dt都是常数。

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2022-5-10 19:42:03

是Q的正则条件概率分布，这确保了假设2.1的条件（ii）。第3步：为了证明条件（iii）的有效性，我们需要引入更多的符号。让我们∈ R+，τ≥ 让我们停下来，然后‘ω∈ Ohm 和P∈ PD，常数（s，\'ω）。此外，设θ：=τs，\'ω- s、让我们：Ohm 7.→ P(Ohm) 是一个Fθ-可测核，使得ν（ω）∈PD，常数（τ，ω）对于P-a.s.ω∈ Ohm 并将“P”定义为（2.2）。最后，用^a表示（ω）处的“Rd×d值过程”：=lim supn→∞n[hBit（ω）- hBit-n（ω）]，t>0。（2.6）我们需要证明∈ PD，常数（s，\'ω）。为此，我们注意到，因为外稃4。9.在[19]中，我们唯一需要证明的是（dr×ν（ω））（r，ω′）∈ Jθ（ω），∞J:^ar（ω′）/∈ D、 ^a·（ω′）不是常数= 0，对于P-a.e.ω∈ Ohm, 但这是由（dr×ν（ω））这一事实所保证的（r，ω′）∈ Jθ（ω），∞J:^ar（ω′）/∈ D= 0，如[19]所示。2.1市场模型我们假设我们的市场模型由(Ohm, F）如上文所述，被赋予一组LMM Q满足假设2.1。我们考虑一个贴现的风险资产，由一个Rd值F*-自适应右连续过程S=（St）t≥0使其路径是Q-Q.s.连续的。设τ>0 q.s.为描述风险资产到期的停止时间，Xτ为τ时的最终支付或清算价值。假设银行账户为常数，等于1。财富过程W=（Wt）t≥拥有资产产生的0由wt:=St{τ>t}+Xτ{τ给出≤t} 。在关于泡沫的标准文献中，通常假定无自由发射的消失风险条件（NFLVR）成立。在多优先级模型的环境中工作时，情况变得更加复杂。事实上，NFLVR还不存在一个健壮的对应物。在[2]中介绍的不确定性条件下的连续时间环境中，实际上只有一个经过充分研究的套利概念（第一类套利（NA））。

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2022-5-10 19:42:06

然而，在[2]中，绝对连续鞅测度的存在需要引入一个停止时间ζ，该时间ζ导致跳到一个cemeterystate，这在所有P下都是不可见的∈ P，但在某些Q下可能是有限的∈ Q、其中Q是一组适当的局部鞅测度。因此，尽管有可能从一系列物理测量开始，但[2]的结果需要特别注意ζ的可处理性。这就是为什么在概述的设置中工作时，为了简单起见，我们将假设以下内容的原因之一。假设2.5。我们假设财富过程是每个Q的Q-局部鞅∈ Q.因此，集合Q由LM M构成，在所有Q市场下执行NFLVR。通过这样做，我们同时保证W在所有概率情况下都是经济合理的。此外，在经典设置中，NFLVR意味着NA，并且在不确定性框架中包含的所有先验条件下，稳健的NAI（见[2]），因此有理由预期NFLVR的rob ust版本也将意味着相应的稳健的NA。这个问题本身既有趣又复杂，超出了本文的目的。接下来，我们将介绍市场上允许的交易策略。asin[17]，L（S，Q）表示所有Rd值、F-可预测过程的集合，这些过程对于所有Q都是S-可积的∈ Q.进一步的nq是所有Q的（F，Q）-null集的集合∈ Q.表示G=（Gt）t≥0，其中gt:=F*T∨ NQ。定义2.6。然后我们说G-可预测过程H∈ 如果H·S是每个Q的Q-超鞅，则L（S，Q）是可容许的∈ Q、我们将所有这样的过程的集合表示为H。3.强劲的泡沫文献中的一个重要部分将泡沫定义为资产的市场价值大于其基本价值的情况*.

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2022-5-10 19:42:09

换句话说，如果βt:=St，则在时间t出现气泡- s*t> 0。为了更好地理解在模型不确定性下资产基础价值的正确概念，我们首先对金融泡沫的经典文献中如何对这一概念进行建模进行了简短的调查。为了简单起见，我们将从考虑有限的时间范围开始。那就让我们∈ R+b等于τ≤ T我们注意到，在这种情况下，每t的Wt=stt∈ [0，T]，如果Xτ=Sτ，将在本节中假设。3.1经典基本价值模型当存在唯一的先验P时，我们可以识别两种确定金融资产基本价值的主要方法。在一种情况下，参考[1]、[12]和[13]，这被定义为风险中性测量下资产的贴现未来收益。这意味着如果Q∈ Mloc（S），其中Mloc（S）d表示S的所有等价鞅测度集，即基本值S*= （S）*t） t∈[0，T]由s给出*t=每t的等式[ST | Ft]∈ [0，T]，其中T是固定的时间范围。气泡的概念取决于以下区别：LOC（S）=MUI（S）∪ MNU I（S），其中MUI（S）是度量Q的类别≈ P使得S是Q和MNU I（S）=Mloc（S）\\MUI（S）下的一致可积函数。因此，市场泡沫是建立在投资者的观点之上的：如果她按照a Q行事∈ 梅（W）然后她会看到n o泡泡；相反，如果R∈ MNU I（W）被认为是正确的市场观点，认为会出现资产泡沫。从这个意义上讲，泡沫的概念是动态的：泡沫的产生或破灭取决于投资者如何改变对市场的看法。如果市场是完整的，情况就简单了。由于Mloc由一个独特的元素组成（如果通常的NFLVR条件成立，它必须存在），要么从一开始就有气泡，要么根本没有气泡。

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2022-5-10 19:42:12

这一结果与金融泡沫的第二种主要方法（见[25]和其中的参考文献）一致，其中的基本价值与价格一致。用L+（Ft）表示可测量的随机变量集，取[0]中的P-a.s.值，∞), 超级复制价格由πt（S）给出：=ess inf{v∈ L+（英尺）： θ ∈ Θtwith v+（θ·S）T≥ STP- a、 s.}代表t∈ [0，T]和一类适当定义的投资策略，仅在区间[T，T]上与0不同。给定对偶性（见[14]）πt（S）=supQ∈Mloc（S）EQ[ST | Ft]，（3.1）如果完整市场中存在泡沫，则超级复制价格必须低于市场中观察到的资产的实际价格。这两种方法之间的差异出现在不完全市场的背景下。考虑到超级应用二元性（3.1），只要MUI（S）6= 那么就没有泡沫了。泡沫本身和泡沫诞生的概念发生了变化。在t=0时，超级复制价格和市场价格可能相等，但在t>0时，它们可能会不同（见[25]中的示例3.7）：在t是泡沫产生的时候。在这里，资产的“泡沫价格”是由这样一个事实给出的，即我们最终可以获得相同的财富，但利用一种初始价格较低的投资策略。尽管如此，考虑到一系列可接受的策略，我们仍然无法从中获利：我们需要在资产上做空，在超级复制策略上做多，以在终端时间产生确定的利润，但这样做会降低（0，t）中无限损失的风险。

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能者818

2022-5-10 19:42:15

在这种情况下，如果存在泡沫，那么任何投资者都会感觉到泡沫，这取决于特定的Q∈ Mloc选择托普里斯或有索赔。最后，我们给出了一个有趣的结果，它将上述两种设置联系起来。我们证明了如果没有Q∈ Mloc排除了[1]或[13]意义上的bubble，那么在基本价值由超级复制价格给出的情况下，也存在泡沫。提议3.1。设S=（St）t∈[0，T]是在满足通常条件的过滤概率空间中的连续适应过程。如果Mloc（S）=MNU I（S），则在∈ [0，T）这样就可以了∈Mloc（S）均衡器[ST | Ft]。证据我们用矛盾来争论。如果我们假设st=supQ∈每t的Mloc（S）等式[ST | Ft]∈ [0，T]，在（3.1）中定义的过程π（S）是eachQ的Q-局部鞅∈ Mloc（S）。这意味着，根据[14]中的定理3.1，最小规模的超级复制投资组合是自我融资的，因此存在“Q”∈ Mloc（S）∩与假设相矛盾。备注3.2。在占支配地位的情况下，也有可能得到相同的结果，即当考虑Mloc时，我们看Q={Q∈ P(Ohm) | Q<< P、 S是Q-局部鞅}。在这种情况下，如果Q是m-稳定的，则可以确定资产的基本价值*t=ess supQ∈QEQ[ST | Ft]，适用于任何t∈ [0，T]（关于这个结果和m-稳定性的定义，我们参考[6]）。然而，由于Q中的测度s相当于P在Q中是稠密的（再次参见[6]），因此它保持不变*t=ess supQ∈QEQ[ST | Ft]=supQ∈Mloc（S）EQ[ST | Ft]，因此，命题3.1也适用于这种情况。3.2稳健的基本价值我们从一些考虑因素开始本节，这些是我们对泡沫稳健模型的要求。

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2022-5-10 19:42:19

它们如下：（i）当Q归结为一个单子时，模型必须崩溃为上一节提到的两种方法之一。这已经告诉我们，robus t的基本价值应该根据一些条件期望来定义。（ii）如果在1 Q以下检测到气泡∈ Q、这并不意味着泡沫必然存在。所需的第一步是为基本价值引入一个稳健的概念，该概念可以在我们的环境中有意义地使用。与套利类似，第一次尝试是在存在Q的情况下定义资产泡沫∈ Q的基本价值低于市场价值，而在所有其他前提下（低于或）相等。这种幼稚的第一定义并不恰当，因为任何经典的泡沫都将转变为强劲的泡沫。为了克服这个问题，我们可以决定在每一个问题下定义一个“Q-基本值”。为了与现有文献保持一致，并恢复[13]的传统设置，当Q仅由一个概率度量组成时，我们可以定义*,Qt=EQ[ST | Ft]是Q下的基本值∈ Q.这类Q-基本值实际上是不可聚合的（G-设置已经是这种情况，见[26]）。直觉建议定义一个问题所在的情况*,Qt<St）>0每Q∈ Q和一些t>0。或者说，如果资产S永远是Q泡沫，我们会说它是aQ泡沫∈ 问：在这里与套利的概念进行类比是很自然的。在[29]中，稳健套利被定义为一种交易策略，要求初始财富为零，但不包括准绝对损失（即所有Q-a.s.）∈ Q）并在至少一个Q值上以正概率提供正增益∈ Q

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2022-5-10 19:42:22

通过进一步要求robus t套利应产生对所有Q都具有正概率的收益，可以加强这一定义∈ Q、但这太强烈了。这正是我们对强劲泡沫的首次定义中隐藏的问题。还有一个更深层次的问题，这是我们框架的本质所特有的。在一个本质上不完整的市场模型中，由于缺乏线性定价系统，“预期未来收益”的概念不能立即从经典设置转换为不确定性下的建模。我们在上文中提出的对Robust基本价值的最天真的定义实际上与这个概念有关，因为它与[13]的方法一致，即当Q降为单态时。这种对超级大米基本价值的定义提供了清晰的财务解释，更适合这种情况。定义3.3。我们称稳健的基本价值为过程S*= （S）*t） t∈[0，T]在哪里*t=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]，Q- a、 s.（3.2）每Q∈ Q、其中Q（t，Q）={Q′∈ Q:Q′=Q在Ft}上。如果存在一个停止时间τ，使得q（Sτ>S），则存在一个鲁棒气泡*τ） >0表示一个Q∈ Q.我们用β=（βt）t表示强健的气泡∈[0，T]，其中βT:=St-s*t、（3.3）与之前的定义相反，并非所有情况下都需要泡沫才能产生强劲的泡沫。与稳健套利概念的相似之处现在变得显而易见。由于S是一个正的Q-局部鞅，因此是一个Q-超鞅，我们有≥ s*t、 Q- a、永远的s·y·t∈ [0，T]和Q∈ Q.如果存在一种情况（概率度量Q），那么现在市场在一个惊人的时间τ存在一个强劲的泡沫∈ Q）这样一来，目标价值小于具有正概率的市场价值，并且所有与“Q on Fτ”一致的概率都同意这一观点。

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2022-5-10 19:42:26

特别是要求（ii）变得更加明显：wh enQ*t<St）>0，则对任何Q′都适用∈ Q（t，Q）。我们对强劲泡沫的定义将基本价格由超级复制价格给出的方法扩展到了不确定性下的框架。在这一点上必须格外注意。由于[17]中的结果*如果Q族饱和，即如果每个Q∈ 等价于Q的Q allsigma鞅测度包含在Q中*= inf{x∈ R: H∈ H带x+（H·S）T≥ STQ- a、为所有人服务∈ Q} 我们在下面的命题中可以看出，它与具有独特先验的文献之间的联系是显而易见的。提议3.4。设P={P}，则鲁棒基本值（3.2）与经典的超复制价格，即ess supQ一致∈QEQ[ST|Ft]=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]a.s.（3.4）证明。注意，如果P={P}，那么Q={Q|Q≈ P、 Q ELMM}是由相互等价的度量组成的。我们同意这一点∈Q（t，Q）EQ[ST|Ft]=ess supQ\'∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]a.s.（3.5）对于每个Q，Q∈ Q通过一个类似于[6]中命题9.1的度量粘贴论证。这有助于总结asess supQ∈QEQ[ST | Ft]≥ ess supQ\'∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]，但（3.5）也保证了supQ∈QEQ[ST | Ft]≤ ess supQ∈Q（ess supQ′）∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]）=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]。假设Q∈ Q\\Q（t，Q），否则这个声明是微不足道的。我们注意到，对于每个Q，dqdp | Ft=dQidP | Ft:=Zit∈ Q（t，Qi），i=1，2。这一点很清楚，因为∈ Ft，它必须保持EP[ZitA]=EQi[1A]=Qi（A）=Q（A）=EQ[1A]=EPdQdP | FtA.定义n owZs:=Zs{s≤t} +ztztzt{t<s}，这是ELMM的Radon-Nykodim导数，如[6]中的命题9.1所证明。

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2022-5-10 19:42:29

与（Zs）s有关的测度Q′∈[0，T]因此属于Q（T，Q）且满足Q′[ST|Ft]=EP[STZT|Ft]Zt=ephstztzt|FtiZt=EP[STZT|Ft]Zt=EQ[ST|Ft]。这就是为什么每个Q∈ Q（t，Q）存在一个Q′∈ Q（t，Q）使得EQ′[ST|Ft]=EQ[ST|Ft]。这足以建立（3.5）。备注3.5。请注意，在命题3.4中，我们可以考虑几乎确定的等式asP={P}，我们正在处理一组等价于P的鞅测度。饱和是一个条件，我们不在我们的模型上强制执行，但如果每个Q-市场都是完整的，它会自动生效。在所有其他情况下，泡沫的产生可能是因为市场价格和超级复制价格之间的差异，也可能是由于质量差距∈QEQ[ST]≤ inf{x∈ R: H∈ H带x+（H·S）T≥ STQ- a、为所有人服务∈ Q} 。第二种情况正是[5]中考虑的一种情况，目的是检测一个稳健的泡沫。这意味着*在投资者考虑的模型中，至少可以被视为最差的模型价格。3.3属性和示例MMA 3.6。鲁棒泡β是每个Q的正Q-局部子鞅∈ Q、这样，βT=0q.s。此外，如果存在气泡，s不是Q-鞅。证据这紧跟在fr-om定义3.3之后，因为β是aQ局部鞅和Q-超鞅之间的差异。局部次partin gale的特征一点也不矛盾，因为它似乎是第一眼看到的。事实上，与局部超鞅相反，局部子鞅并不一定是真正的子鞅。有很多非标准行为的局部su BMARTINGALES的例子，如[8]和[21]中所示的均值递减。

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2022-5-10 19:42:32

举一个明显的例子，必须考虑正局部鞅的类：这类过程是正局部子鞅，也是su置换鞅。通过将[4]中的一个结果与G-期望的上下文相适应，我们可以展示机器人泡沫的第一个例子。备注3.7。我们强调在例3.9、例3.10和例3.11中，资产价格S是每个Q的Q-局部鞅f∈ Q在完成的过滤下fq={FQt}t≥0.然而，作为一个适应F的积极过程* FQ，S也是关于F的aQ局部鞅*, 由于[28]的一个结果，我们在[9]的定理10的公式中引用了这个结果。定理3.8。设X是G的正局部鞅，并假设X与子滤波F相适应。那么X也是F的局部鞅。例3.9。假设位置2.3中的Q=pda，其中e=D=[σ，σ] R+\\{0}。L etS=s>0且ST=s+ZtSu√T- 乌德布，t∈ [0，T）。（3.6）我们通过证明S是每个Q的正EQ局部鞅来证明S是一个具有鲁棒泡沫的价格过程∈ Q、终端值等于零。为此，让我们先确定一个Q。我们有一个ST=seRt~nSDB-Rt~nsdhB为，t∈ [0，T）.随机积分r·1/√T- SDBS是[0，T]上的Q-局部鞅，因此二次协变量是Z·1/√T- sdBs，Z·1/√T- SDBU≥ -σlnh1-使用[12]中引理5中的相同参数，我们可以证明Limu→TSu=0 Q- a、 s.（3.7）因此我们设置ST=0，使得s在[0，T]上是准连续的。以下是集合{ω∈Ohm : 利木→TSu6=0}是极性的：Q的存在∈ Q使得Q（limu）→TSu6=0）>0实际上与（3.7）相矛盾。

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2022-5-10 19:42:37

因此S不是任何Q的Q-鞅∈ qaseq[ST]=0<EQ[S]，尤其是它不是一个鲁棒鞅。另一个例子来自将贝塞尔过程的概念应用到第2.4条提案中。例3.10。我们考虑Q=PD，const，其中D R3×3由矩阵（ai，j）i，j=1,2,3组成，因此ai，j=0表示所有的I6=j，a1,1=a2,2=a3,3∈ [1,2]以确定某些值。我们考虑由f（B）=（f（Bt））t给出的过程≥其中f（x，y，z）=（x+y+z）-.由于f是Borel可测的，我们可以计算任意T的s公共线性期望E（f（Bt））≥ 0，根据定理2.2。众所周知，f（B）是所有Q的Q-局部鞅∈ 警察，警官。为了证明价格过程有一个鲁棒b-鞅，需要证明f（b）不是一个PD，常数鞅。这可以使用标准参数来完成，因为我们第一次计算f（英国电信）= supQ∈警察，康斯特克f（英国电信）= 苏帕∈[1,2]（2πat）3/2ZRx+x+xexp-x+x+x2atDX≤ Ct，一些C∈ R+。AsEQf（英国电信）≥ 等式[f（Bt）]，对于任何Q∈ 警察∈警察，康斯特克f（英国电信）≥ supQ∈警察，康斯特克[f（Bt）]，我们有0≤ E[f（Bt）]≤ Ef（英国电信）→ 0，作为t→ ∞. 这防止了E（f（Bt））是常数，因此f（B）不是PD，常数鞅。在例3.9和例3.10中，风险资产都是严格的Q-局部鞅∈ 问：这意味着在这些情况下，泡沫是在模型中所有可能的先验条件下被接受的。通过稍微修改示例3.10的框架，我们可以得到一个泡泡，它是一个“Q-鞅f”或一个特殊的“Q”∈ 问：因此，尽管泡沫是强劲的，但一个只拥有优先“Q”的投资者不会发现它。这是我们模型的主要新颖之处之一：当泡沫出现时，它将由一个代理识别，该代理的签名集是在任何Q下具有正概率的∈ Q另外，该代理只考虑极性集，即。

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2022-5-10 19:42:42

那些是∈ F使得Q（A）=0代表所有的Q∈ 问：然而，一个目光短浅的投资者，如果只忽略“Q-nu llsets”，就不会发现泡沫。例3.11。在例3.10中，我们考虑Q=PD，constas，但现在我们选择D，以考虑退化情况，其中存在“Q”∈ Q，这样正则过程总是等于0。我们通过考虑与E x ample3中相同的设置来实现这一点。10，但cho osin g a1,1=a2,2=a3,3∈ [0, 2]. 与例3.10完全一样，f（B）是每个Q的aQ局部鞅∈ Q.然而，在“退化周期”Q下，与波动率始终等于0相关，每个过程都变成了确定性。这特别意味着f（B）是一个真的Q-鞅，而对于所有Q是一个严格的Q-局部鞅∈ Q\\{Q}。关于金融泡沫的例子通常是通过显示具有严格局部鞅行为的特定资产动力学来获得的。这里我们给出了一个鲁棒性泡沫的例子，我们将注意力集中在不确定性框架中概率度量的选择上。例3.12。我们在此采用【18】中介绍的财务模型。关于第2节中的设置，主要区别在于我们考虑lawsQα的设置：o（Xα）-其中Xαt:=Ztα1/2sdBs，t∈ [0，T]。（3.8）在（3.8）中，Qdenotes是维纳测度，而α在所有F-渐进可测量过程中的范围，其值为S+dsatisfyingRT |αS | ds<∞ Q-a.s.这里是s+d Rd×Dre表示所有严格正有限矩阵的集合，（3.8）中的随机积分是Q下的It^o积分。根据以下定义，集合Q在粘贴时要求稳定。定义3.13。

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2022-5-10 19:42:45

对于所有的Q，在F粘贴条件下，集合Q是稳定的∈ Q、 σ停止时间取整多个值∧∈ Fσ和Q，Q∈ Q（σ，Q），由Q（A）定义的度量值Q:=EQ[Q（A | Fσ）1∧+Q（A | Fσ）1∧c]，A∈ FT（3.9）同样是Q的一个元素。除此之外，我们保留前面章节中所述的所有其他定义。然后假设一个风险资产S存在一个Qα∈ 资产的qs是一个严格的Qα-局部鞅。例如，我们可以将S作为示例3.9中描述的流程。然后，我们研究这一事实如何产生强大的泡沫。为此，我们考虑一个子集Q qs由Qα给出∈ 其中αs=~αsfor s的qs∈ （t，t]Q-a、一些t∈ （0，T）。根据定义3.13，在这种要求下，由于[18]中引理3.3的相同证明，集合Q在粘贴时是稳定的。换句话说，我们考虑的是qs的一个子集，其中在时间t之后没有不确定性，并且（t，t）上的演化性意味着在至少一个先验条件下的严格局部鞅∈Q（s，Q |α）EQ[ST | Fs]=EQ |α[ST | Fs]<Ss，这意味着存在一个强大的气泡。现在我们研究robus t和经典Bubbles之间的另一个有趣关系。第3.2节中的论点阐明了Q的存在∈ Q和t∈ [0，T）如此之多∈Q（t，Q）EQ′[ST|Ft]意味着所有具有Q′的Q′市场都存在经典意义上的泡沫∈Q（t，Q）。这至少在两种情况下是显而易见的：当每个Q市场都承认aunique ELMM时，或者当基本面价格被描述为未来贴现收益的预期值时。在这两种情况下，我们证明了单一的经典泡沫不能产生一个强大的泡沫，这与直觉相对应。我们通过展示这组先验知识Q来做到这一点∈ 对于S是严格局部鞅的Q，不能是单态。

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2022-5-10 19:42:48

为了显示这个结果，我们考虑了例3.12中概述的设置。这一选择同时可以简化计算，并推断出关于第2节中概述的框架的一些结论，因为两种模型都可以描述G设置。提案3.14。以例3.12中介绍的财务模型为例。如果“Q”是在停止时间σ和∧粘贴Q、qa和qa∈ Fσ，如（3.9）中所示，对于任何正FT可测量的随机变量Y和停止时间τ，它保持Q[Y | Fτ]=EQ[y1∧Fσ]| Fτ]+EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]（3.10），使得τ（ω）≤每ω的σ（ω）∈ Ohm.证据我们遵循类似于[10]中Lemm a 6.40的程序来证明（3.10）。设τ是一个正的FT可测随机变量。通过（3.9），我们得到了e\'Q[Y]=EQ[EQ[Y|Fσ]1∧+EQ[Y|Fσ]1∧c]，因此，对于任何Y正Fτ-可测随机变量，我们都可以研究e\'Q[Y|1{τ≤σ}]. （3.11）然后可以将（3.11）中的期望写为\'Q[Y~n1{τ≤σ}]=EQ等式[Yа1{τ≤σ} |Fσ]1∧+EQ[Y~n1{τ≤σ} |Fσ]1∧c= 情商等式[Yа1{τ≤σ} ∧| Fσ]+EQ[Y~n1{τ≤σ} ∧c | Fσ]= EQhEQ[EQ[y1∧| Fσ]| Fτ]~n1{τ≤σ}+EQ[EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]~n1{τ≤σ} i（3.12）=E\'QhEQ[EQ[y1∧| Fσ]| Fτ]|1{τ≤σ}+EQ[EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]~n1{τ≤σ} i=E\'Q（EQ[EQ[y1∧| Fσ]| Fτ]+EQ[EQ[y1∧c | Fσ]| Fτ]）ν1{τ≤σ }.因此我们可以得出结论，如果τ≤ σ等式（3.10）成立。推论3.15。考虑通过粘贴Q、qa和qa，在停止时间σ和∧处给出的¨Q∈ Fσ，如（3.9）所示。如果S是严格Q-局部鞅，那么它也是严格Q-局部鞅。证据

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能者818

2022-5-10 19:42:52

作为命题3.14的结果，如果S是一个严格的Q-lo-cal鞅，且σ等于EQ[ST | Fσ]<Sσ，则它保持Q[ST | Fτ]=EQ[EQ[ST∧Fσ]| Fτ]+EQ[EQ[ST∧c | Fσ]| Fτ]=EQ[EQ[ST | Fσ]1∧c | Fσ]+EQ[FτS]≤ Sτ，所以S也是一个严格的Q-局部鞅。3.4不占主导地位在本节中，我们研究了不占主导地位对我们的市场模型的影响。这是一个首次出现在【15】中的概念，我们在定义2.2中所述的严格数学形式中报告了这一概念。[11]对于存在一个u nique priorQ的经典情形。定义3.16。假设金融市场在过滤概率空间中有d种证券（S，…，Sd）(Ohm, F、 F={Ft}t∈[0，T]，P）。如果H是一个F-可预测的S-可积过程，则H是一个可容许策略≥ -a、一段时间∈ R+。如果没有可容许的策略使得Si+（H·S）T≥ SiTQ- a、 s.和Q（Si+（H·s）T>SiT）>0。如果每一个Si，i∈ {1，…，d}，在[0，T]上是不确定的。很自然，我们会把这个概念带着不确定性转移到我们的环境中，就像我们在下面的定义中所做的那样。定义3.17。考虑一个在一组先验条件下的市场模型。如果没有可容许的策略H，则第i个secu-ritysis在[0，T]上不确定∈ 使si+（H·S）T≥ SiTQ-q、存在一个q∈ Q使得Q（Si+（H·S）T>SiT）>0。一个市场在每一个Si，i的[0，T]i上满足稳健的非支配地位（RND）∈ {1，…，d}，在[0，T]上不确定。备注3.18。重要的是要注意，与经典情况一样，如果Si在[0，T]上不确定，它也在[0，T′]上不确定，因为T′<T。设Hibe为byHi=（0，…，0，1，0，…，0），1位于位置i。交易策略Hi是可容许的，对于每个Q是一个Q-局部鞅∈ Q

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2022-5-10 19:42:56

如果[0，T′上有一个支配策略H，则应用策略K=H1{T≤T′}+Hi{T>T′}，我们将得到Si+（K·S）T=SiT+Si+（H·S）T′-坐着≥ SiTq。s、，再加上a Q的e xi恶臭∈ Q使得Q（Si+（K·S）T>SiT）>0。ND假设在经典泡沫文学中起着关键作用。我们只是提到两个结果，提醒大家，如果强制执行，这个概念排除了[12]所描述的完整市场模型中的气泡；此外，ND正是在[25]的设置中排除气泡所需的IngCredit，其中基本值是用超级复制价格建模的。在现有的框架中也可以获得类似的结果。引理3.19。假设每个Q∈ Q市场模型已经完成。如果没有优势，那么就不存在强大的泡沫。证据注意，如果每个Q市场都是完整的，[17]的结果保证了质量SUPQ∈QEQ[ST]=inf{x∈ R: H∈ H带x+（H·S）T≥ STQ- a、为所有人服务∈ Q} 。（3.13）在存在泡沫的情况下，超级复制策略将主导S，与RND相矛盾。因此，在一般情况下，在R ND下，任何气泡都是对偶gapin（3.13）的结果，这是[5]中考虑的情况。我们注意到，一般而言，RND并不意味着每个Q市场的NFLVR∈ 问：事实上，众所周知，在单一的先验设置中，ND比NFLVR更强，但对于每个Q市场，RND暗示ND是先验的，这是不必要的。4有限时间范围我们在这里研究有限时间范围的情况。设τ>0 q.s.为描述风险资产到期的停止时间。反映在{τ=∞} 在这里，我们通过设置来概括（3.2）中建立的鲁棒基本值*t=ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[Sτ{τ<∞}|[英国《金融时报》！{t<τ}，Q- a、 s.（4.1）每t≥ 0和Q∈ Q

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2022-5-10 19:43:00

基本值（4.1）体现了现场时间范围案例（3.2），我们声称其定义良好，如以下命题所示。提议4.1。基本值（4.1）已明确定义。此外，圣∧对于t，τ收敛到Sτq.S→ ∞.证据固定Q∈ Q、我们知道W是一个Q-超鞅，然后它收敛于t的sτ→ ∞, 因为经典的超鞅收敛定理（见[7]，V.28和VI.6）。因此Wt=St∧τ→ 由于示例3.9中使用了相同的论证，Sτq.S，并且Sτ是Borel可测量的。因此Sτ{τ<∞}是一个Borel可测随机变量，我们可以计算它的次线性条件期望。此外，由于W是一个鲁棒超鞅，通过Fatou引理我们得到（sτ）=Elim inft→∞圣∧τ= supQ∈量化宽松lim inft→∞圣∧τ≤ supQ∈Qlim inft→∞情商（St）∧τ） =supQ∈Qlim inft→∞均衡器（Wt）≤ supQ∈QEQ（W）<∞,这保证了E（Sτ{τ<∞}) < ∞.通过定义过程，我们还引入了稳健基本财富的概念*= （W）*t） t≥0，其中*t:=S*t+Sτ{τ≤t} =ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[Sτ{τ<∞}|[英国《金融时报》！{t<τ}+Sτ{τ≤t} =ess supQ′∈Q（t，Q）EQ′[Sτ{τ<∞}|Ft]，Q- a、 s.（4.2）适用于所有Q∈ 问：在有限的时间范围内定义了一个稳健的泡沫，即βt=St- s*t=Wt- W*t、每一个t≥ 因此，情况τ=∞ q、这意味着存在一个强大的泡沫。如[12]所述，在这种情况下出现的泡沫类似于金融货币，是在∞. 我们在此报告[12]中的示例2，以阐明这一点。例4.2。设St=1表示所有t∈ R+擅长赚钱。由于货币永远不会到期，我们有τ=∞, Sτ=1和S*t=0 q.s.适用于所有t≥ 0.Asβt=St- s*t=1 q.s。这意味着资产的全部价值来自泡沫。我们在下面的命题中总结这些结果。提案4.3。

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2022-5-10 19:43:03

它认为：（i）在存在“Q”的情况下∈ Q和t≥ 0表示\'Q\'（τ=∞) = 1 f或所有“Q”∈ Q（t，`Q），存在一个强大的泡沫。（ii）bubbleβ是每个Q的Q-局部子鞅∈ Q.（iii）财富过程W也可以是存在abubble的Q对称鞅。证据（i）的证明来自（4.2），注意到*t=0\'Q- a、如hy pothesisτ{τ<∞}= 0\'Q\'- a、 s.为所有人“Q”∈ Q（t，\'Q）。局部次鞅性质源自定义和假设2.5。财富过程可以是Q对称鞅，如例4.2所示。参考文献[1]F.Biagini、H.F¨ollmer和S.Nedelcu。Sh if tin g鞅测度和作为子鞅的泡的慢生。《金融与随机》，18（2）：297–326，2014年。[2] S.比亚基尼、B.布查德、C.卡达拉斯和M.努茨。连续过程的稳健基本理论。将于2016年发表在《数学金融》杂志上。[3] 科恩。一般空间中次线性期望的拟确定分析、聚集和对偶表示。《概率论电子期刊》，17（62）：2012年1月至15日。[4] A.M.G.考克斯和D.G.霍布森。局部鞅、泡沫和期权价格。《金融与随机》，9（4）：477-4922005。[5] A.M.G.考克斯，Z.侯和J.奥布洛。交易限制和局部鞅模型的出现下的稳健定价和套期保值。http://arxiv.org/abs/1406.0551, 2015.[6] 德尔班。m-稳定集的结构，尤其是风险中性度量集，数学课堂讲稿1874卷。，第215-258页。Sp ringer BerlinHeidelberg，2006年。[7] C.Dellacherie和P.Meyer。概率和潜力B.北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，1982年。[8] K.D.埃尔沃西、李克明和约尔。严格局部鞅的重要性；径向Ornstein–Uhlenbeck工艺的应用。115(3):325–355, 1999.[9] 霍尔默和普罗特。

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能者818

2022-5-10 19:43:07

局部鞅和过滤收缩。ESAIM：《概率与统计》，15:S25–S38，2011年。[10] 霍尔默和席德。随机金融：离散时间导论。DeGruyter研究生，第三版，2010年。[11] R.A.贾罗和M.拉尔森。市场效率的含义。《数学金融》，22（1）：2012年1月1日至30日。[12] R·A·贾罗、P·普罗特和K·S·希姆博。完整市场中的资产价格泡沫，第97-121页。数学金融方面的进展。伯赫-奥斯波士顿，2007年。[13] R.A.Jarrow、P.Protter和K.Shimbo。不完全市场中的资产价格泡沫。数学金融，20（2）：145–185，2010年。[14] D·O·克拉姆科夫。不完全证券市场中超级鞅的可选分解和对冲未定权益。概率论及相关领域，105（4）：459–479，1996。[15] R.C.默顿。理性期权理论。贝尔经济与管理科学杂志，4（1）：141-1831973。[16] 纳茨先生。R是一个dom G-expections。《应用概率年鉴》，23（5）：1755–1777，2013年。[17] 纳茨先生。带跳跃和扩散随机过程的鲁棒超边缘及其应用，125（12）：4543–4555，12 2015。[18] 纳茨和索纳。波动不确定性下的超边际和动态风险度量。暹罗控制与优化杂志，50（4）：2065-20892012。[19] M·纳茨和R·范·汉德尔。在路径空间上构造次线性期望。《随机过程及其应用》，123（8）：3100–31212013。[20] M.Nu tz和J.Zhang。逆非线性期望和相关对策下的最优停止。2015年第2503-2534页。[21]S。帕尔和P·普罗特。通过H变换分析连续严格局部鞅。随机过程及其应用，120（8）：1424–1443，2010。[22]S。彭。G-期望，G-布朗运动和相关的随机演算。《随机分析与应用》，2:541–567，2007。[23]S。

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