约束随机线性二次控制的显式解

2022-6-1 08:49:21

LATEX CLASS FIL ES杂志，第XX卷，第X期，2015年8月1带乘法的约束随机线性二次控制的解析解IseWeiping Wu，IEEE学生成员，高建军，IEEE成员，段丽，IEEE高级成员，Yun Shi摘要本文研究了一类带乘性噪声的标量状态随机系统的约束线性二次型（LQ）最优控制问题，该问题在金融风险管理中有着广泛的应用。我们模型中考虑的控制变量和状态变量的线性约束破坏了传统LQ公式的优雅结构，并阻碍了文献中迄今为止明确控制策略的推导。本文利用从这类问题的结构中引入的状态分离性质，成功地导出了这类问题的解析控制策略。我们发现，最优控制策略是一个分段的状态函数，可以通过求解两个耦合的Riccati方程进行离线有效计算。在一些温和的条件下，我们还得到了有限时间范围内的平稳控制策略。我们通过一些示例演示了我们方法的实现，并展示了如何校准我们的模型以解决动态约束投资组合优化问题。索引项SW。P、 Wu在中国上海交通大学自动化系工作（电子邮件：godream@sjtu.edu.cn).J、 J.Gao就职于中国上海财经大学信息管理与工程学院（电子邮件：Gao）。jianjun@shufe.edu.cn).D、 Li在香港中文大学系统工程与工程管理系工作（电子邮件：dli@se.cuhk.edu.hk).Y

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2022-6-1 08:49:24

Shi现就读于中国上海大学管理学院，（电子邮件：yshi@shu.edu.cn).这项研究工作得到了中国国家自然科学基金会61573244和香港研究资助委员会14213716的部分资助。2018年11月7日《乳胶类薄膜DRAFTJOURNAL》，第XX卷，第X期，2015年8月2日，训练线a r二次控制、随机控制、动态均值方差投资组合选择。一、本文研究了带乘性噪声的离散时间随机标量状态系统的约束线性二次型（LQ）控制问题。过去几年，由于其在不同领域有着广阔的应用前景，包括动态港口管理、金融衍生品定价、模型推广和核传热（参见，例如，[1][2][3]），这一主题受到了越来越多的关注。文献中存在着关于乘性噪声系统的估计和控制问题的各种研究[4][5]。对于具有多重噪声的LQ型随机最优控制问题，研究的重点是LQ公式，该公式对连续时间和离散时间模型的控制和状态变量具有不确定性（参见，例如，[6][7][8][9][10]）。一个有趣的发现是，即使状态和控制的惩罚矩阵都是不确定的，这种带有乘性噪声的模型在某些条件下仍然是适定性的。这类模型的一个重要应用是动态均值方差（MV）投资组合分析[11][12]，它概括了马科维茨在静态投资组合选择方面的经典工作[13]。

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2022-6-1 08:49:28

例如，请参见[1][14]，了解有关这一主题的一些详细调查，近年来，这一主题已显著增长。LQ型最优控制模型的一个突出优点是其显式控制策略，可通过求解相应的Riccati方程得出。然而，在实际应用中，由于一些物理限制、风险考虑或经济监管限制，必须考虑对控制变量的一些约束。不幸的是，当涉及一些控制约束时，除了少数特殊情况外，约束LQ最优控制模型几乎不存在闭式控制策略。对于确定性LQ控制问题，Gao等人[15]研究了带有基数约束的LQ模型，并得出了半解析解。Bemporad等人[16]提出了一种使用参数编程方法计算显式控制策略的方法，用于状态和控制非等质量约束的模型。然而，当问题的规模增大时，这种方法可能会承受沉重的计算负担。当问题只涉及控制的正约束时，一些学术著作[17][18]提供了描述最优控制策略的最优条件和一些数值方法。2018年11月7日《乳胶类薄膜DRAFTJOURNAL》，第二十卷，第十期，2015年8月3由于在描述显式最优控制方面存在困难，因此更容易通过使用模型预测控制（MPC）方法来制定近似控制策略【19】【20】。MPC背后的主要思想是为开环控制策略在每个时间段解决具有有限水平的子问题，并以滚动水平的方式实现这种控制。

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2022-6-1 08:49:31

由于每一步只需求解一个静态优化问题，这种模型可以处理一般的凸约束。对于带有乘性噪声的随机ic MPC问题，Primbs等人[3]提出了一种使用半有限规划的方法，并为系统稳定性提供了条件。Bernardini和Bemporad[21]研究了一个具有不同随机场景的类似问题，并通过离线求解二次约束二次规划问题，提出了一些有效的计算方法。Patrinos等人【22】进一步扩展了这种方法，以解决Markovain跳跃问题。读者可以参考[23][24]了解随机系统的MPC的更完整调查。当前文献在获得约束随机LQ型最优控制问题的显式解方面缺乏进展。然而，对于动态MV投资组合选择这类特殊的问题，最近出现了一些有希望的结果。Li等人[25]通过使用偏微分方程的粘性解来描述连续时间MV投资组合选择问题的解析解，而不存在卖空。Huand Zhou[26]的工作使用倒向随机微分方程（BSDE）方法解决了具有标度状态的锥约束连续时间LQ控制问题。Cui等人[27][28]分别在没有短路约束和CONEConstraint的情况下解决了这类问题的离散时间版本。请注意，[27][28]中研究的模型只是本文所研究模型的一些特例。Gao等人[1]推导了带有基数约束的动态投资组合优化模型的解。本文研究了带乘性噪声的标量状态随机系统的约束LQ最优imal控制。

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2022-6-1 08:49:34

我们工作的贡献包括几个方面。首先，我们推导了这类具有一般线性约束的问题的解析控制律，这超出了[26][28]中研究的锥常数。这种广义约束还包括正约束和负约束，状态相关的上下边界约束作为其特例。我们证明了控制策略是关于状态变量的分段函数，其特征是求解两个具有两个未知量的耦合Driccati方程。其次，我们将这些结果推广到有限范围内的问题。我们提供了对应于2018年11月7日DRAFTJOURNAL of LATEX CLASS FIL ES，VOL.XX，NO.X，2015年8月4代数Riccati方程的解存在的条件，并表明闭环系统在平稳最优控制下渐近稳定。除了理论研究之外，我们还举例说明了如何使用这种模型来解决约束动态均值-方差投资组合优化问题。论文组织如下。第二节提供了随机LQ控制问题的公式，以及有限层和无限层的控制约束。第III节和第IV节分别为这两个问题制定了明确的解决方案。第五节说明了如何应用我们的方法来解决受约束的动态均值-方差组合选择问题。第六节给出了一些数值例子来证明所提出的解决方案的有效性。最后，第七节对本文进行了总结，并提出了一些可能的进一步扩展。符号0n×mand分别表示n×m零矩阵和n×n恒等矩阵，R 0（R 0）表示正半定义（正定义）矩阵，R（R+）表示实（非负实）n个数的集合。

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2022-6-1 08:49:37

我们用1A表示指示符函数，如果条件A成立，1A=1，否则1A=0。设Et[·]为条件期望E[·| Ft]，Ft为时间t的过滤（信息集）。对于任何问题（P），我们使用v（P）表示其最佳目标值。二、问题公式a。在这项工作中，我们考虑以下标量状态离散线性随机动态系统，xt+1=Atxt+Btut，t=0，1，···，t- 1，（1）其中T是一个有限的正整数，xt∈ R是给定xB的状态，ut∈ Rn是控制向量{At∈ R} | T-1t=0和{Bt∈ R1×n}| T-1t=0是随机系统参数。在上述系统模型中，所有随机性都由一个完全过滤的概率空间建模{Ohm, {Ft}| Tt=0，P}，其中Ohm 是事件集，fti是可用时间t的信息过滤，F={, Ohm}, P是概率测度。更具体地说，随时t∈ {1，···，T}，过滤fti是由{Ak}T的实现生成的最小西格玛代数-1k=0和{Bk}| t-1k=0。也就是说，在我们的模型中，随机参数At和Btarenover2018年12月7日《乳胶类薄膜学报》，第XX卷，第X期，2015年8月5英尺+1可测量任何t=0，···，t- 1、为了简化符号，我们使用Et[·]表示过滤Ft的条件期望。为了保证模型的适定性，我们假设所有At和Bt都是平方可积的，即Et[| At |]<∞ 和Et[kBtk]<∞ 对于所有t=0，···，t- 1、请注意，上述随机动态系统模型非常通用。

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2022-6-1 08:49:40

例如，它用标量状态空间和乘性噪声覆盖了传统的随机不确定系统。它还包括{At，Bt}| T-1t=0是连续相关的随机过程，如马尔可夫链模型[10][30]或传统的时间序列模型，在财务决策中有重要应用[1][31]。至于控制变量{ut}| T-1t=0，则要求它们是Ft可测的，即控制utat时间t仅取决于时间t之前可用的信息。此外，出于一些实际应用的动机，我们考虑以下一般控制约束集Ut（xt）={Ut | utis Ft可测，Htut≤ dt | xt |}，（2）对于t=0，···，t- 1，其中Ht∈ Rm×nand dt∈ r是确定性矩阵和向量。注意，集合（2）使我们能够对各种控制约束进行建模，如下所示：o无负性（或非正性）约束情况，ut≥ 0n×1（或ut≤ 0n×1）通过设置HT=-In（或Ht=In）和dt=0n×1in（2）；o具有状态相关上下界的约束情形，dt | xt |≤ 美国犹他州≤dt | xt |对于某些dt∈Rnanddt∈Rnby设置Ht=在里面-在里面和dt=dt公司-dt公司;o 一般圆锥约束情况，Htut≥ 0m×1，对于某些Ht；o无约束情况，ut∈ Rn，通过设置Ht=0m×nand和dt=0m×1。为了对成本函数进行建模，我们引入以下决定参数{Rt∈ Rn×n | Rt0}T-1t=0，{St∈ Rn}| T-1t=0和{qt≥ 0}| Tt=0，可以进一步以更紧凑的形式书写，本文采用的随机结构在金融工程领域中得到了广泛的应用【29】。

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2022-6-1 08:49:43

这类模型非常通用，因为它不需要指定A和B所遵循的特定随机过程。在[3]和许多相关文献中，随机动力系统被建模为xt+1=Axk+Buk+Pqj=1[Cjxk+Djuk]ωjk，其中ωjk是不同k的i.i.d随机变量，k的均值为零，E[（ωjk）]=1，E[ωikωjk]=0，如果i 6=j。由于对于所有t>0，xt和uta都是随机变量（x除外），所以（2）中给出的不等式应几乎确定，即。，对于具有非零概率测度的情形，这些不等式成立。为了简化符号，我们在本文中没有明确写出“几乎肯定”一词。2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月6Ct：=RtStS的tqt对于t=0，···，t-1和CT：=n×nn×11×nqT. 总的来说，我们感兴趣的是以下一类不等式约束随机LQ控制问题（ICLQ），（PTLQ）min{ut}| T-1t=0ETXt=0utxt公司′计算机断层扫描utxt公司（3）对于t=0，···，t，s.t.{xt，ut}满意度（1）和（2）- 为了解决问题（PTLQ），我们需要以下假设。假设1。计算机断层扫描 0表示t=0、··、t和Covt【Bt】 0表示所有t=0，···，t- 假设1保证了问题（PTLQ）的凸性。假设1可以被视为均值-方差投资组合选择中广泛使用的假设的推广，该假设要求 0（有关详细讨论，请参见，例如，[1]）。此外，假设n 1比[32]中使用的假设宽松，这需要随机矩阵的路径位置。并非如此，因为Covt【Bt】：=Et【B′tBt】- Et[B′t]Et[Bt]，假设1意味着Et[B′tBt]0表示t=0，···，t- 1.B.现场时间范围内的问题我们还对具有现场时间范围的问题变体（PTLQ）感兴趣。

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2022-6-1 08:49:46

更具体地说，我们希望研究实时范围内的静态控制策略和长期性能。在这样一个有限的时间范围内，我们假设所有随机参数{Ak}|∞k=0和{Bk}|∞k=0，在不同时间段内独立且均匀分布（i.i.d）。因此，我们降低了时间指数，并简单地使用随机变量A和随机向量B来表示随机参数，从而得出以下简化版的动力学系统（1），xt+1=Axt+But，t=0，1，···，t- 1，（4）其中s系统参数A和B是具有已知j点分布的随机m w。对于约束（2），我们还假设所有的Ht和Dt分别固定在H和d，这导致了以下约束（2）的简化版本，Ut（xt）={Ut | Ut∈ Rn，小屋≤ d | xt |}，（5）2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月7日，t=0，1，···，∞. 为了保证约束的可行性，我们施加以下假设。假设2。集合Ut（0）={u∈ Rn |胡≤ 0m×1}为非空。注意，Ut（0）独立于xt，假设2意味着可行集Ut（xt）对于任何| xt |>0都是非空的。我们还设置了所有惩罚矩阵Ct，t=0，·····，∞, 在C：=R SS′q. 我们现在考虑以下有限时间范围内的ICLQ问题（P∞LQ）最小值{ut}|∞t=0E∞Xt=0utxt公司′Cutxt公司s、 t.{xt，ut}满足（4）和（5），对于t=0，···，∞.注意p问题（p∞LQ）是一个无条件的期望，因为{A，B}随时间而独立。对于问题（P∞LQ），我们需要通过要求C为正定义来加强假设1，如下假设3。C 0和Cov[B]=E[B′B]- E[B′]E[B] 0III。问题解决方案（PTLQ）在这方面，我们首先揭示了模型状态分离的一个重要结果，然后开发了问题解决方案（PTLQ）。A.

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2022-6-1 08:49:49

统计分离理论为了推导问题的有效解（PTLQ），我们首先引入与控制约束集Ut（xt），Kt相关的以下集合：={K∈Rn | HtK≤dt}，对于t=0，···，t- 对于问题（PTLQ），我们进一步介绍了t=0，1，···，t的三个辅助优化问题（Pt），（^Pt）和（(R)Pt）- 1如下，（Pt）分钟∈Utgt（u，x，y，z），（6）（^Pt）水貂∈Kt^gt（K，y，z），（(R)Pt）水貂∈Kt'gt（K，y，z），用于模型（P∞LQ），因为{A，B}随时间而独立，我们只需将符号E[·]简化为E[·]。2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月8日，其中X∈ R是Ft可测随机变量，y∈ R+和z∈ R+是Ft+1-可测随机变量，gt（u，x，y，z）：Rn×R×R+×R+→ R、 ^gt（K，y，z）：Rn×R+×R+→R和'gt（K，y，z）：Rn×R+×R+→ R、分别定义为GT（u、x、y、z）：=Eth用户体验′计算机断层扫描用户体验+ （Atx+Btu）×y1{Atx+Btu≥0}+z1{Atx+Btu<0}i、（7）^gt（K，y，z）：=EthK′计算机断层扫描K+ （At+BtK）×y1{At+BtK≥0}+z1{At+BtK<0}i、（8）(R)gt（K，y，z）：=Eth-K′计算机断层扫描-K+ （位于- BtK）×y1{在-BtK公司≤0}+z1{在-BtK>0}i、（9）自Ct以来 0，gt（u，x，y，z）始终成立≥ 0，^g（K，y，z）≥ 0和g（K、y、z）≥ 在给出主要结果之前，我们先给出以下引理。引理1。函数gt（u，x，y，z）是关于u的凸函数，而^gt（K，y，z）和^gt（K，y，z）都是关于K的凸函数。检查函数gt（u，x，y，z）相对于ugives上升的梯度和Hessian矩阵ugt（u，x，y，z）=第2个（Rtu+Stx）+B′tAtx+Btu×y1{Atx+Btu≥0}+z1{Atx+Btu<0}i（10）在下一部分中，我们需要计算函数Et[f（u）]相对于u的偏导数。在某些mildconditions下，我们总是可以通过在期望值内取f（u）的导数来计算导数。

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2022-6-1 08:49:52

[33]的定理1.21中给出了保证微分和期望可交换性的技术条件。2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月9日和ugt（u，x，y，z）=第2个Rt+yB′tBt{Atx+Btu≥0}+Rt+zB′tBt{Atx+Btu<0}i=EthRt+y1{y≤z} +y1{y>z}B′tBt{Atx+Btu≥0}+z1{y≤z} +z1{y>z}B′tBt{Atx+Btu<0}i.（11）注意以下两个不等式始终成立，y1{y>z}>z1{y>z}，z1{y≤z}≥ y1{y≤z} 。（12）利用上述不等式，并注意到y>0和z>0，我们可以重新排列（11）的项，得出以下结论：ugt（u、x、y、z） Et公司Mt公司, 其中MT=Rt+y1{y≤z} +z1{y>z}B′tBt。（13）假设1意味着Et【B′tBt】 0和Rt 0、此外y1{y≤z} +z1{y>z}是正随机变量。这些条件保证Et【Mt】 0，这进一步意味着ugt（u、x、y、z）也就是说，gt（u，x，y，z）是u的三重凸函数。当我们也可以对^gt（K，y，z）和'gt（K，y，z）应用相同的过程来证明它们相对于K的凸性时，我们省略了这里的详细证明。引理1的一个直接含义是，所有（Pt）、（^Pt）和（(R)Pt）都是凸优化问题，因为它们的目标函数是凸的，并且它们的约束ts与决策变量是线性的。我们可以看到，问题（Pt）依赖于随机状态xt，而问题（^Pt）和（(R)Pt）则不依赖于随机状态xt。也就是说，一旦给出{At，Bt}T随机过程的具体描述，问题（^Pt）和（(R)Pt）就可以离线解决-1t=0。此外，现有的现代数值方法可以有效地解决这两个凸优化问题。下面的结果说明了问题（Pt）、（^Pt）和（(R)Pt）之间的关系，这在开发问题的显式解（PTLQ）中起着重要作用。定理1。

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2022-6-1 08:49:55

对于任何x∈ R、问题的最优解（Pt）isu*（十）=^Kx如果x≥ 0，\'Kx如果x<0，（14）2018年11月7日《乳胶类纤维学报》，第XX卷，第x期，2015年8月10日，其中^K和\'K分别定义为^K=arg minK∈Kt^gt（K，y，z），\'K=arg貂∈Kt'gt（K，y，z），最佳目标值为v（Pt）=x^gt（^K，y，z）1{x≥0}+(R)gt（(R)K，y，z）1{x<0}. （15）证明：由于问题（Pt）是凸的，一阶opti-mality条件足以确定最优解（例如，参见[34]中的定理27.4]）。如果u*是最佳解决方案，应满足ugt（u*, x、 y，z）′（u- u*) ≥ 0，用于 u∈ Ut，（16）其中ugt（u、x、y、z）在（10）中给出。请注意，条件（16）取决于状态x。因此，我们考虑以下三种不同的情况。（i）我们首先考虑x>0的情况。设^K为问题的最优解（^Pt），满足以下一阶最优性条件，K^gt（K，y，z）′（K-^K）≥ 0，用于 K∈ Kt，（17）其中K^gt（K）定义为K^gt（K，y，z）=第2个（Rt^K+St）+B′t（At+Bt^K）×y1{At+Bt^K≥0}+z1{At+Bt^K<0}i、（18）如果我们让你*= 好的，不难验证*满足约束u*∈ u和（Pt）的一阶优化条件*返回（16）并使用条件（17）。也就是说，u*解决x>0时的问题（Pt）。替换u*返回到（7）给出了（Pt）的最佳目标值为gt（u*, x、 y，z）=x^gt（^K，y，z）。（ii）对于x<0的情况，我们考虑问题的一阶最优性条件（(R)gt），K'gt（'K，y，z）'（Kt-\'Kt）≥ 0，用于千吨级∈ Kt，其中K'gt（'K，y，z）定义为：，K'gt（'K，y，z）=第2个（Rt'K+St）+B′t（At- 英国电信（K）×y1{在-B’t’K≤0}+z1{在-Bt'K>0}i、 2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月11日同样，让我们*= -好的。我们可以验证*满足约束u*∈ u和问题（Pt）的最优性条件（16）。

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2022-6-1 08:49:58

因此，u*解决x<0的问题（Pt），最佳目标值为gt（u*) = x'gt（'K）。（iii）当x=0时，（Pt）的目标函数（7）变为（u，0，y，z）=Ethu′Rtu+u′B′tBtuy1{Btu≥0}+z1{Btu<0}i、（19）根据（12）中的不等式，我们没有+yB′tBt{Btu≥0}+zB′tBt{Btu<0} Mt，其中Mt在（13）中定义。注意，（19）从下方以bygt（u，x，y，z）| x=0为界≥ u’Et【Mt】u≥ 如我们所示，Et【Mt】 0，gt（u*, 0，y，z）=仅当u*= 0n×1。很明显，u*= 0n×1也满足约束Ut。也就是说，u*= 当x=0时，0n×1解决问题（Pt）。综上所述，p问题（Pt）的最优解可以表示为（14），最优目标值可以表示为（15）。B、问题的显式解（PTLQ）借助定理1，我们可以得到问题的显式解（PTLQ）。我们首先产生以下两个随机序列，^G，^G，···，^GTand‘‘G，’G，·····，’GT，其向后递归定义如下：=minKt∈Kt^gt（Kt，^gt+1，’gt+1），（20）’gt：=minKt∈Kt'gt（Kt，^gt+1，'gt+1），（21），其中，对于t=t，在（8）和（9）中分别定义了^gt（···）和'gt（···）- 1，··，0，边界条件为^GT=(R)GT=qT。显然，^Gtand'gtft是可测量的随机变量。定理2。时间t的最优控制策略（PTLQ）是一个线性反馈策略*t（xt）=^K*txtif xt≥ 0,-\'\'K*txtif xt<0，（22）2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月12日，其中^K*tand'K*皮重定义为，K*t=arg minKt∈Kt^gt（Kt，^gt+1，\'gt+1），\'K*t=arg minKt∈Kt'gt（Kt，^gt+1，'gt+1），其中{gt}'Tt=0和{gt}'Tt=0分别在（20）和（21）中给出，对于t=0，··，t，则'gt>0和'gt>0- 1、F u r更重要的是，问题的最优目标值（PTLQ）为v（PTLQ）=x^G{x≥0}+(R)G{x<0}. （23）证明：我们通过调用动态规划来证明这个定理。

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2022-6-1 08:50:01

在任何时间t=0，···，t，问题的值函数（PTLQ）定义为vt（xt）：=分钟，ut+1，··，ut-1台TXk=tukxk公司′Ck公司ukxk公司,s、 t.{xk，英国}对于k=t，···，t，满足度（1）和（2）- 1、根据Bellmen最优原则，价值函数Vt（xt）满足回归，Vt（xt）=分钟∈美国犹他州utxt公司′计算机断层扫描utxt公司+ Et[Vt+1（xt+1）]。（24）通过使用数学归纳法，我们证明以下权利要求是正确的，Vt（xt）=xt（^Gt{xt≥0}+(R)Gt{xt<0}）（25）对于t=t，t- 1，···，1，其中^gt和'gt分别满足（20）和（21）中的递归。显然，在时间t=t时，值函数是vt（xT）=qTxT。正如我们定义的^GT=(R)GT=qT，索赔（25）是真实的。现在，我们假设权利要求（25）在时间t+1时为真，Vt+1（xt+1）=xt+1（^Gt+1{xt+1≥0}+(R)Gt+1{xt+1<0}）。根据（24）和时间t时gtin（7）的定义，我们得到vt（xt）=分钟∈Utgt（ut，xt，^Gt+1，’Gt+1），2018年11月7日，《乳胶类纤维学报》，第XX卷，第X期，2015年8月13日，这只是（6）中给出的sam e问题，分别用^Gt+1和‘Gt+1替换y和z。通过定义^Gt=^Gt（^K），我们得到了（22）中的结果，并且（25）中的声明在时间t时为真*t、 ^Gt+1，\'Gt+1）和\'Gt=\'Gt（\'K*t、上述定理表明，方程组（20）和（21）与经典LQG优化问题的Riccati方程起着相同的作用。在接下来的部分中，我们将（20）和（21）的空气命名为扩展的Riccati方程。此外，当没有控制约束时，这两个方程将合并为（26）中的一个方程，后面在第III-C节中介绍*求解（20）和（21）的^K*tand'K*t、分别针对每个t=t- 1, · · · , 0 .

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mingdashike22

2022-6-1 08:50:04

一般来说，一旦{At}| T的随机过程-1t=0和{Bt}| T-1t=0是特定的，我们可以使用以下程序来计算K*tand^K公司*t：算法1^K最佳增益的计算*tand'K*t1：Let^GT← qT，(R)GT← qT。2：对于k← T- 1，T- 2，···，0 do3：解决^K的问题ems（20）和（21）*坎特郡*k4：计算^Gk← ^gk（^Kk，^gk+1，\'gk+1）(R)gk← \'\'gk（\'Kk，^gk+1，\'gk+1）5：结束注意，如果{At}| T-1t=0和{Bt}| T-1t=0在时间上是统计上独立的，则^gt（···）和'gt（···）中的所有条件期望将退化为无条件期望，从而生成{gt，'gt}和{K的确定性对*t、 \'\'K*t} 。但是，如果{At}| T-1t=0或{Bt}| T-1t=0随时间连续相关，所有条件期望Et[·]取决于过滤Ft，或者换句话说，所有这些对也是随机变量。在这种情况下，通常需要数值方法来离散样本空间，并解决每个样本路径的（20）和（21）两个问题。2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月14C。无控制约束的问题解决方案（PTLQ）如果（PTLQ）中没有控制常数t，即Ht=0，则可将定理2简化为：对于所有t=t- 1、··、0，解决问题（^Pt）和（(R)Pt）产生^Gt=(R)Gtand^K*t型=-\'\'K*t、分别为。让K*t： =^K*tand Gt=^Gt，对于t=t- 1, · · · , 0. 因此，我们有以下明确的控制策略。提案1。当问题（PTLQ）中没有控制约束时，最优控制变为*t=-Rt+Et【Gt+1B′tBt】-1（Et[Gt+1AtB′t]+St）xt，对于t=t- 1，···，0，其中Gt定义为Gt=qt+Et[Gt+1At]- （St+Et[Gt+1AtB′t]））\'×（Rt+Et[Gt+1B′tBt]）-1（St+Et[Gt+1AtB′t]），（26）Gt=qT。命题1是文献[1]中推论5的推广，它解决了收益相关的动态均值-方差组合控制问题。四、

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2022-6-1 08:50:07

问题的最优解（P∞LQ）在本节中，我们为（P∞LQ）。主要的id ea是通过将时间范围扩展到有限范围来研究相应有限范围问题的解的渐近行为。更具体地说，我们考虑了以下有关单位HORIZON，（AT）min{ut}| T的问题-1t=0ET-1Xt=0utxt公司′Cutxt公司s、 t.{xt，ut}满足（4）和（5），对于t=0，···，t- 1，其中xis给定。显然，（AT）变成（P∞LQ）当T变为单位时。当我们假设{AT，Bt}为i.i.d，qT=0时，问题（AT）可以被视为第三节研究的p-ro-b-lem（PTLQ）的特例。因此，定理2可以应用于s olve（AT）。为了研究不同时间范围T的（AT），我们使用符号{GT，GT，···，GTT}和{GT，'GT，····，'GTT}表示递归的输出（20）和（21），分别与2018年11月7日的《乳胶类纤维学报》（DRAFTJOURNAL of LATEX CLASS FIL），第二十卷，第十期，2015年8月15日条件'GTT='GTT=0。根据定理2，p问题（AT）的最优值可以表示为v（AT）=x^GT{x≥0}+(R)GT{x<0}. （27）正如xis所知，最佳值v（AT）为x^GT或x'GT。输出序列{GTt}| Tt=0和{GTt}| Tt=0具有以下属性。引理2。考虑一些k的问题（AT）和（AT+k）∈ {1, 2, · · · }. 如果{GT、··、GTT}、{GT、··、·GTT}和{GT+k、··、GT+kT+k}、{GT+k、·GT+k、·GT+kT+k}分别是这两个问题的递归（20）和（21）的输出，那么对于所有t，GTT=GT+kT+k、·GTT=·GT+kT+k=0，1，···，t- 引理2的证明很简单，分别将定理2应用于问题（AT）和（AT+k），并注意到递归（20）和（21）的相同边界条件^GTT=^GT+kT+k=0和'GTT='GT+kT+k=0。

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2022-6-1 08:50:10

引理2基本上表明，解序列{GTt}| Tt=0和{GTt}| Tt=0是TIME-齐次的，即这两个序列的值不依赖于精确的时间t，而是依赖于（20）和（21）中的总递归数。设K：={K∈Rn |香港≤d} 。现在我们给出了问题（P∞LQ）。定理3。对于问题（AT），如果存在一些M>0，使得任何T的^GT<M和'GT<M，则以下方程组包含一对解，^G*> 0和'G*> 0，^G*:= 水貂∈K^g（K，^g*,\'\'G*), （28）克*:= 水貂∈K'g（K，^g*,\'\'G*), （29）式中^g（K，y，z）：Rm×R+×R+→ R+和'g（K，y，z）：Rm×R+×R+→ R+定义为^g（K，y，z）=EhK′CK+ （A+BK）×y1{A+BK≥0}+z1{A+BK<0}i、（30）’g（K，y，z）=Eh-K′C-K+ （A）- 黑色）×y1{A-黑色≤0}+z1{在-BtK>0}i、（31）2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月16日和政策*t=^K*xt{xt≥0}+(R)K*xt{xt<0}，（32）t=0，····，∞, 解决问题（P∞LQ），其中^K*= arg水貂∈K^g（K，^g*,\'\'G*), （33）千*= arg水貂∈K'g（K，^g*,\'\'G*). （34）此外，在最优控制u*t闭环系统，xt+1=xtA+B（^K*{xt≥0}+(R)K*{xt<0}）, 是L-渐近稳定的，即limt→∞E[（x*t） ]=0。证明：我们首先证明，当t增加时，问题的最优值（AT）是不变的。假设最优控制策略{ut}| Tt=0解决了问题em（AT+1）。很明显，v（AT+1）=ETXt=0utxt′Cutxt≥ ET-1Xt=0utxt′Cutxt≥ v（AT）。（35）同时应用（35）和（27）会产生^GT+1≥^GTand^GT+1≥(R)GT。因此，^gt和'gt是关于T的非减量序列。如果存在M，使得任何T的^GT<M和'GT<M，则存在^GT和'GT的两个极限。我们表示^G∞:= 限制→∞^GTand？G∞:= 限制→∞(R)GT。现在，我们分别推导出^GT和^GT+1之间的关系，以及^GT和^GT+1之间的关系。

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2022-6-1 08:50:15

问题（AT+1）的值函数V（x）由（25）得出，V（x）=x^GT+1{x≥0}+(R)GT+1{x<0}= x个^GT{x≥0}+(R)GT{x<0}），（36），其中最后一个等式来自引理2。然后在时间t=0时，递归（24）表示v（x）=min∈U（x）Eutxt公司′Cutxt公司+ V（x）. （37）替换g（36）至（37）将（37）的目标函数改写为（7）中定义的gt（u，x，^gt，(R)gt）。因此，应用定理1得到问题（37）的最优值asV（x）=x（^GT+1{x≥2018年11月7日，胶乳类薄膜DRAFTJOURNAL，第XX卷，第x期，2015年8月17日，其中，^GT+1和^GT+1由^GT+1=minK给出∈K^g（K，^GT，'GT），（38）'GT+1=貂∈K'g（K，^GT，'GT）。（39）当T转到∞, 如果^gt和^gt的极限都存在，则方程（38）和（39）将分别转化为方程（28）和（29）。在这种情况下，平稳最优策略（32）变为最优，其中对应的^K*和“K”*分别是（28）和（29）的最小值。接下来我们展示了在最优控制下*t、闭loo-p系统（3）是渐近稳定的。在任何时候，我们首先假设x*t型≥ 0。那么，x*t+1=（A+B^K*)x个*t以下等式成立，E（十）*t+1）（^G*{x*t+1≥0}+(R)G*{x*t+1<0}）- （十）*t） ^G*= E（十）*t）（A+B^K*)^G*{A+B^K*≥0}+(R)G*{A+B^K*<0}- （十）*t） ^G*= -（十）*t）^K*′C^K*, （40）最后一个等式来自（28）。当xt<0时，我们可以导出类似的等式E[（x*t+1）（^G*{x*t+1≥0}+(R)G*{x*t+1<0}）]- （十）*t） \'\'G*= -（十）*t）-\'\'K*′C-\'\'K*. （41）将（40）和（41）组合在一起可提高脚趾（十）*t+1）（^G*{x*t+1≥0}+(R)G*{x*t+1<0}）- （十）*t）（^G*{x*t型≥0}+(R)G*{x*t<0}）=-（十）*t）^J1{x*t型≥0}+(R)J1{x*t<0}, （42）其中^J=^K*′C^K*,\'\'J=-\'\'K*′C-\'\'K*.2018年11月7日《乳胶类滤材绘图杂志》，第XX卷，第。

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2022-6-1 08:50:18

十、 2015年8月18日，申请（42）次成功，并取得预期的雅思成绩，E[（X*t+1）（^G*{x*t+1≥0}+(R)G*{x*t+1<0}）]=x（^G*{x≥0}+(R)G*{x<0}）-tXk=0Eh（x*k）^J1{x*k≥0}+(R)J1{x*k<0}i、（43）自^G起*≥ 0和'G*≥ 0，则（43）的左侧对于所有t都是非负的。因此，limt→∞Eh（x*t）^J1{x*t型≥0}+(R)J1{x*t<0}i=0。（44）根据假设3，我们知道^J>0和'J>0。因此，（44）意味着限制→∞E[（x*t） ]=0。虽然定理3描述了（P∞（28）和（29）的解的存在条件不容易检验。受[35]中命题4.1和7的启发，我们可以采用以下算法来检查（28）和（29）在实际应用中是否存在解。算法2迭代解满足（28）和（29）的方法要求：A和B的分布信息、阈值d参数>0和最大迭代次数Imax。确保：1：让我← 0，^Gi← 0和“Gi”← 0.2：计算^Gi+1← 水貂∈K^g（K，^Gi，\'Gi），（45）\'Gi+1← 水貂∈K'g（K，^Gi，'Gi）。（46）3：如果| Gi+1-^Gi |≤ 和Gi+1-\'Gi |≤ ，转至步骤6；4：如果i>Imax，则转至步骤7；5：让我← i+1并转至步骤2；6：返回^G*←^Gi+1，(R)G*←？Gi+1和^K*和“K”*分别按（33）和（34）计算；7：方程（28）和（29）没有解。2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月19日，针对问题（P∞LQ），由于控制约束，我们需要在算法2中使用迭代过程来检查（28）和（29）是否允许溶液。然而，可以导出一些充分条件来保证解的存在。在我们给出我们的结果之前，值得一提的是一些经典的结果。对于经典的LQG问题，众所周知，系统的能控性和能观性都保证了相应代数Riccati方程解的存在性。

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2022-6-1 08:50:21

然而，当系统矩阵A和B中存在不确定性时，众所周知，可控性和可观测性无法确保相应的代数Riccati方程的解的存在（例如，见[36][37]）。Athans等人[36]提出了称为不确定性阈值原理的条件，该条件保证了由具有标量状态和标量控制的简单不确定系统产生的代数Riccati方程的解的存在。粗略地说，如果由系统参数计算出的阈值小于或等于1，则相应的代数RiccatieEquation允许一个解。[37]中给出的结果进一步将这样的结果推广到具有向量状态和向量控制的系统。但是，由于（P∞LQ），不确定性的结果与保留原则不适用于我们的问题。让我们用下面的反例来解释。示例1。我们考虑一个问题（P∞LQ）n=1，q=1，R=1，S=0.1。假设不确定系统矩阵采用以下5种情况，id诱惑概率=0.2，（A，B）∈ { (-0.8 , -0.7), (-0.4, -0.6), (0.2 , 0.4), (0.6, 0.8), ( 0.9, 1)}. 不难计算[36]中给出的阈值，因为阈值=E[A]-（E[A]E[B]）E[B]=0.4014<1。根据Athans等人[36]的结果，相应的代数Riccati方程具有唯一的解。但是，如果我们将控制约束设置为3 |xt |≤ 美国犹他州≤ 4 | xt |对于所有T=0，···，T- 1，应用算法2得出t^G*和'G*随着迭代次数的增加，进入单元（参见图1中的子图（b））。

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2022-6-1 08:50:24

图1中的子图（a）绘制了输出^G*和'G*由算法2为2 | xt生成|≤美国犹他州≤3 | xt |，表示^G的收敛*和'G*.在经典的LQG模型中，噪声在状态方程中是加性的，并且没有控制约束。这种不确定系统也称为带乘性噪声的系统。2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月20（a）5 10 15 20 25 30^G*\'\'G*（b） 5 10 15 20 25 30^G*\'\'G*迭代迭代图。1、^G的输出*和'G*来自算法2的迭代，例如示例1。控制约束为2 | xt|≤美国犹他州≤ 3 | xt |在子图（a）和3 | xt中|≤ 美国犹他州≤ 4 | xt |在子图（b）中。从前面的例子中，我们知道，保证（28）和（29）可接受性的条件非常复杂，因为它们取决于多个参数A、B、C、H和d。幸运的是，我们能够推导出以下易于检查的充分条件。定理4。对于问题（P∞LQ），如果E[A]+ηKmax<1，其中η是E[B′B]和Kmax的最大特征值<∞ 是kKk的有限上界，使得Kmax=ma x{kKk | HK≤ d} ，然后（28）和（29）接受解决方案。证明：我们考虑（45）和（46）中给出的算法m 2的一个迭代周期。我们首先检查（45）中的优化问题。引入拉格朗日多重数λ∈ Rm+产生以下拉格朗日函数，L（K，λ）：=^g（K，^Gi，\'Gi）+λ′（HK- d）。根据凸对偶理论，最优解可以表示为^K*:= arg水貂∈RnL（K，λ*) （47）2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月21日，带λ*作为对偶问题的最优解，λ*=arg最大λ≥0{水貂∈RnL（K，λ）}。问题（47）的一阶最优性条件如下所示KL（K，λ）=E2R^K*+ 2S+2B′（A+B^K*)×（^Gi{A+B^K*≥0}+(R)Gi{A+B^K*<0})+ H′λ=0n×1。

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mingdashike22

2022-6-1 08:50:27

（48）替代g^K*into（45）产生^G*i+1=E（^K*)′R^K*+ 2S′^K*+ q+A+2AB^K*+ （^K*)′B′B^K*^Gi{A+B^K*≥0}+(R)Gi{A+B^K*<0}. （49）注意，互补松弛条件为λ′（HK- d） =0。现在，将（48）与（49）组合得到^Gi+1=E[（A- （^K*)′B′B^K*)（^Gi{A+B^K*≥0+(R)Gi{A+B^K*<0}）]+q- （^K*)′R^K*- d′λ*.注意，在我们的假设下，最后三项以某个常数L为界。因此，^Gi+1≤E【A】- （^K*)′B′B^K*]最大{Gi，\'Gi}+L≤ （E[A]+ηKmax）max{Gi，\'Gi}+L.（50）类似地，对于\'Gi+1，我们可以导出以下不等式，\'Gi+1≤ （E[A]+ηKmax）max{Gi，\'Gi}+L.（51）显然，条件（E[A]+ηKmax）<1保证当i→ ∞. 由于^Giand^Giare非减量序列（参见第3项的证明），我们可以得出结论，^Giand^gi都收敛于某个有限数。五、在动态MV投资组合选择中的应用在本节中，我们将说明如何应用第三节中的导出结果来解决动态MV投资组合选择问题。我们使用[1]中给出的模拟符号。投资者以初始财富X进入市场，同时投资n项风险资产和一项无风险资产。假设投资期限为t个周期，投资者在t=0，1，···，t时决定其适应性投资政策- 1、将确定性无风险利率表示为rt，并将2018年11月7日《乳胶类金融杂志》第XX卷第X期2015年8月22日t期风险资产的随机回报向量表示为et（et，et，··，ent）。所有的随机性都是由一个标准的概率空间建模的{Ohm, {Ft}| Tt=0，P}，其中Ohm 是事件集，fti是时间t可用事件的σ-代数，P是概率度量。我们使用旋转Et[·]表示条件期望E[·| Ft]。

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2022-6-1 08:50:30

设Uit为t期间投资于第i项风险资产的美元金额，i=1，···，n，xt为t期间的财富水平。然后，财富的动态根据以下精确差分方程演化，xt+1=rtxt+Ptut，t=0，··，t- 1，（52）式中，ut，（ut，ut，···，unt）′和Pt，（Pt，Pt，···，Pnt）=（et- rt，et- 耳鼻喉科- rt）i s超额回报向量。表示γt：=QT-1k=t=0时的trk，···t- 1和γT=1作为时间T的贴现因子。然后投资者采用以下均值-方差公式来指导其投资，（MV）：min{ut}| T-1t=0Var[xT]+T-1Xt=0E[u′tRtut]（53）s.t.E[xT]=xd，xT+1=rtxt+Ptut，t=0，···，t- 1，ut≥ 0，t=0，···，t- 1，（54）其中xd是预先给定的目标wealt h水平，Var[xT]：=E[xT]-E[xT]是终端财富的方差，约束（54）意味着没有卖空。objectivefunction（53）中的第二个术语是对风险资产投资的惩罚，例如，投资者希望控制其暴露于风险资产的财富。假设4。我们假设xd>γx。假设4强制要求目标财富水平xd大于将全部初始财富投资于无风险资产所产生的最终财富水平。与【27】和【28】中研究的模型相比，我们的模型允许随时间变化的相关收益，无符号约束，并且为了控制风险敞口，还包括惩罚术语u′trtut。如果Sit是时间t时i-资产的价格，则eit=Sit+1/Sit。在时间t，t=1，···，t时，过滤fti是通过实现e，e，···，et生成的最小sigma al gebra-1、在【27】中，假设E【Pt】>0对于推导解至关重要。2018年11月7日《乳胶类滤材绘图杂志》，第XX卷，第。

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mingdashike22

2022-6-1 08:50:34

十、 2015年8月23日为了解决问题（MV），我们首先将其重新表述为模型的特例（PTLQ）。由于方差在动态规划意义上是不可分离的，我们采用了文献[11]中首次提出的嵌入方法。更具体地说，引入拉格朗日乘数λ∈ R forE[xT]=xd产生以下拉格朗日函数，Var[xT]+2λ（E[xT]- xd）+T-1Xt=0E[u′tRtut]=E[（xT- xd）+2λ（xT- xd）]+T-1Xt=0E[u′tRtut]，这进一步导致以下辅助问题，（dMV（λ））：min{ut}| T-1t=0Eh（xT- （xd- λ））i+T-1Xt=0E[u′tRtut]- λs.t.xt+1=rtxt+Ptut，t=0，···，t- 1，ut≥ 0，t=0，···，t- 将状态变量xtin（dMV（λ））替换为xt=wt+（xd- λ） /γT生成以下等价问题，（MV（λ））：min{ut}| T-1t=0EwT公司+T-1Xt=0E[u′tRtut]s.t.重量+1=rtwt+Ptut，t=0，···，t- 1，ut≥ 0，t=0，···，t- 不难看出，问题（MV（λ））只是问题（PTLQ）的一个特例，t=rt，Bt=Pt，qt=0，St=0n×1，t=0，···，t- 1和qT=1。此外，我们还介绍了以下两种映射：^gMVt（K，y，z）：Rn×R+×R+→ R和'gMVt（K，y，z）：Rn×R+×R+→ R、 ^gMVt（K，y，z）：=EthK′RtK+（rt+PtK）×y1{rt+PtK≥0}+z1{rt+PtK<0}i、（55）(R)gMVt（K，y，z）：=EthK′RtK+（rt- PtK）×y1{rt-PtK公司≤0}+z1{rt-PtK>0}i、（56）2018年11月7日《乳胶类纤维学报》（DRAFTJOURNAL OF LATEX CLASS FIL），第XX卷，第X期，2015年8月24日，与问题（PTLQ）相同，我们进一步粗略定义了以下两个随机变量，即^GMVt=minK≥0^gMVt（K，^gMVt+1，\'gMVt+1），（57）\'gMVt=貂≥0'gMVt（K，^gMVt+1，'gMVt+1），（58），边界条件为'gMVt=1和'gMVt=1。对于序列{GMVk}| Tk=0和{GMVk}| Tk=0，我们有以下属性。引理3。

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2022-6-1 08:50:38

对于任何t=0，1，···，t- 1，^GMVt≤ rtEt公司^GMVt+1{^GMVt+1≥\'GMVt+1}+\'GMVt+1{GMVt+1<\'GMVt+1},(R)GMVt≤ rtEt公司^GMVt+1{^GMVt+1≥\'GMVt+1}+\'GMVt+1{GMVt+1<\'GMVt+1}.此外，^GMV<γ和'GMV<γ。我们省略了引理3的证明，因为我们可以使用拉格朗日对偶理论以类似于定理4的证明的方式来证明它。以下定理描述了F问题（MV）的解。定理5。以下策略解决了问题（MV），u*t型=xt公司-除息的- λ*γt^KMVtif xt-除息的- λ*γt≥ 0,-xt公司-除息的- λ*γt(R)KMVtif xt-除息的- λ*γt<0，（59），其中^KMVt和'KMVt由^KMVt=arg minKt计算≥0^gMVt（Kt，^gMVt+1，\'gMVt+1），\'KMVt=arg minKt≥0'gMVt（Kt，^gMVt+1，'gMVt+1），分别从（57）和（58）计算{gMVt}'Tt=0和{gMVt}'Tt=0。最优拉格朗日乘子λ*为λ*=(R)GMV（xd- γx）(R)GMV- γ. （60）证明：对于任何fixλ，应用定理2为（MV（λ）），u生成以下最优策略*t（λ）=wt（^KMVt{wt≥0}-(R)KMVt{wt<0}）。（61）2018年11月7日《乳胶类薄膜DRAFTJOURNAL》，第二十卷，第十期，2015年8月25日剩余的任务是找到最佳拉格朗日乘数λ，它可以通过解决对偶问题λ来确定*= 最大λ∈Rnv（dMV（λ））。应用定理2，在替换wby x时，得到γv（dMV（λ））=（γx- xd+λ）^GMV{λ≥除息的-xγ}+(R)GMV{λ<xd-xγ}- γλ=λ（^GMV- γ） +2^GMVλ（γx- xd）+^GMV（γx- xd）如果λ≥ 除息的- xγ，λ（(R)GMV- γ） +2’GMVλ（γx- xd）+GMV（γx- xd）如果λ<xd- xγ。从引理3我们知道^GMV≤ γ和？GMV≤ γ、这意味着v（dMV（λ））是λ的分段凹函数。不难找到最佳λ*如（60）所示。然后用λ替换xtin（61）的值*收益率（59）。对于均值-方差有效前沿，包含λ*返回到v（dMV（λ））会产生Var[x*T] =v（dMV（λ*) -T-1Xk=0E[（u*t） ′Rtu*t] =(R)GMV（E[x*T]- xγ）γ-(R)GMV-T-1Xk=0E[（u*t） ′Rtu*t] 。注意，在上述表达式中，第二项没有解析表达式。

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2022-6-1 08:50:41

然而，一旦我们计算出所有的“KMVt”和“KMVt”，就可以用蒙特卡罗模拟方法对其进行评估。六、示例和应用在本节中，我们首先提供几个示例来说明我们的求解程序（PTLQ）和（P∞LQ）。然后，我们考虑（PTLQ）的一个实际应用来解决动态PortfolioOptimization问题。A、 LQ模型示例示例2。我们首先考虑一个简单的（PTLQ）示例，其中n=3，T=5。成本矩阵areRt=1.2 0.3 0.40.3 1.4 -0.30.4 -0.3 1.9, St公司=-0.20.6-0.52018年11月7日《乳胶类薄膜DRAFTJOURNAL》，第XX卷，第X期，2015年8月26日，对于t=0，1，···，4，q=1，qt=1.1。我们考虑了两类不确定系统参数，即独立同分布情形和相关马尔可夫酶。案例1：在第一种情况下，我们假设Atand Bt，t=0、1、2、3、4，遵循相同的离散分布，五种情况如下：∈ {-0.7, - 0.6、0.9、1、1.1}，（62）Bt∈n0.18-0.05-0.14,0.03-0.12-0.03,-0.050.050.05-0.010.050.01,-0.050.010.06o、（63）每个都具有相同的概率0.2。我们还考虑以下控制约束，dt | xt |≤ 美国犹他州≤dt | xt |带dt=0.10.10.1,dt公司=0.50.50.5. 利用定理2，我们可以将问题的最优控制（PTLQ）识别为u*t（xt）=^Ktxt{xt≥0}-\'Ktxt{xt<0}，t=0，···，4，其中^kt和\'kt规定如下，^K=0.2160.1000.158,^K=0.2010.1000.169,^K=0.1790.1000.183,^K=0.1490.1000.203,^K=0.1080.1000.231,\'\'K=0.1000.50.100,“K”=0.1000.5000.100,\'\'K=0.1000.4960.100,\'\'K=0.1000.4800.100,\'\'K=0.1000.4580.100,2018年11月7日《乳胶类滤材绘图杂志》，第XX卷，第。

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2022-6-1 08:50:46

十、 2015年8月27日，^G=3.474，^G=3.240，^G=2.920，^G=2.482，^G=1.881，^G=1和'G=3.250，'G=3.030，'G=2.729，'G=2.319，'G=1.760，'G=1。此外，最优成本isV（x）=3.474x{x≥0}+3.250x{x<0}。然后，我们将控制范围扩展到T=∞ 并考虑问题（P∞LQ）。根据算法2和定理3，我们可以计算^G*= 4.111和'G*= 3.856，用于求解扩展的Riccati方程（30）和（31）。响应最优稳态控制智能开关单元∞t（xt）=^K*xt{xt≥0}-\'\'K*xt{xt<0}，对于所有t=0，····，∞, 其中^K*=0.2590.1000.130,\'\'K*=0.1000.5000.100.在图2中，子图（a）绘制了^G的输出*和'G*关于迭代算法2和子图（b），通过实施静态控制u，绘制100条样本路径的状态轨迹∞t（xt）。我们可以观察到x*t很快收敛到0，相应的闭环系统渐近稳定。情况2：在前一种情况下，随机矩阵At和Bt随时间独立。现在，我们考虑一个简单的情况，即At和Bt在连续时段之间相关。虽然仍然假设和Bt取（62）和（63）中给出的5种情况下的值，但场景之间按照一步概率的马尔可夫链传递，P=0.1 0.2 0.4 0.2 0.10.4 0.1 0.3 0.1 0.10.2 0.2 0.1 0.2 0.30.1 0.4 0.1 0.1 0.30.1 0.2 0.1 0.5 0.1. （64）注意，在这种情况下，当我们通过（20）和（21）计算出{Gt}| Tt=0和{Gt}| Tt=0时，我们实际上需要计算不同场景的条件预期（参见（8）和（9）中的定义）。因此，我们使用符号^Gt（j）和'Gt（j）来表示场景j的（20）和（21）的输出∈ {1, 2, 3 , 4, 5}.

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2022-6-1 08:50:49

表I提供了所有t=0、1、2、3和j=1、2、3、4、5的f^Gt（j）和'Gt（j）值（我们不列出^G（j）和'G（j），因为所有j的'G（j）=G（j）=qf）。2018年11月7日《乳胶类薄膜绘图杂志》，第XX卷，第X期，2015年8月28日第10 20 30 40 50^G次*\'\'G*t0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-10-5（a）（b）图2。子图（a）绘制了输出^G*和'G*来自算法2。子图（b）通过实施静态最优控制u，绘制了100个模拟样本的状态轨迹*例如2j^G（j），\'G（j）^G（j），\'G（j）^G（j），\'G（j）^G（j），(R)G（j）j=1（3.236，3.010）（2.915，2.711）（2.473，2.302）（1.873，1.747）j=2（3.029，2.842）（2.742，2.568）（2.348，2.193）（1.805，1.684）j=3（3.353，3.155）（3.017，2.835）（2.556，2.400）（1.921，1.802）j=4（3.147，2.928）（2.840，2.643）（2.422，2.254）（1.844，1.720）j=5（3.339，3.113）（3.005，2.803）（2.548，2.379）（1.927，1.803）table ITHE当处理At和Bt遵循示例2B中的MARKOVCHAIN。动态均值-方差投资组合选择的应用示例3。我们考虑了[27]中给出的类似市场设置，其中有一个无风险资产和三个风险资产，并且市场不允许做空。初始财富为x=100，投资期限为T=4。对于t=0、1、2、3，无风险资产的回报率为rt=1。access return（访问返回）按钮执行（63）中给出的5种状态之一。与[27]中给出的设置不同，该设置假定独立{Pt}| T-1t=0随着时间的推移，我们假设{Pt}| T-1t=0根据2018年12月7日《乳胶类薄膜DRAFTJOURNAL》，第XX卷，第X期，2015年8月29a马尔可夫链演化，其中一步转移概率矩阵如（64）所示。

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