以下断言是等效的：（1）HP→ G（2） 对于所有有界H∞-可测随机变量H和所有有界Gt可测和om变量Gt，我们有EP[HGt | Ht]=EP[H | Ht]EP[Gt | Ht]。（3） 对于所有有界H∞可测随机变量H，EP【H | Gt】=EP【H | Ht】。只有通过概率测度的某些变化，才能保持浸入特性。一个这样的例子是以下：命题B.5（Jeulin Yor[38]）。我们假设HP→ G、 设Q是与G上的P等价的概率测度∞. 如果dQ/dP为H∞-可测量，然后HQ→ G、 浸没特性的一个优点是，可以很容易地计算一些G a适应过程的可选投影。我们回顾了在推导主要结果时有用的投影公式。提案B.6（Br'emaud Yor【8】）。假设HP→ G、 （i）设M是H局部鞅e，G是G适应的有界过程。然后是过程的H可选投影RGdM当M是G平方可积鞅且H是H适应有界过程时，G.（ii）的可选投影。然后是过程的H可选投影RHdM公司是gi-ven-byRHdoM，其中om是M的H可选投影。在框架中，使用上一小节的符号，我们得到了：引理B.7（Coculescu等人[10]）。假设ρ避免了所有H停止时间和HP→ Hρ保持不变。设H为G-可预测过程，且设Nt=1{ρ≤t}- Γt∧ρ是G鞅。IfEP[| Hρ|]<∞, 然后是过程的H可选投影RHdN公司为空。附录C。关于与马尔可夫方法的联系，我们考虑第3节的模型。

通过施加以下条件，可以获得与第2节中所述模型相似的马尔可夫模型：假设：所有停止时间τ（i），i∈ N避免F停止时间。这相当于对于所有T，取pt（i）=P（τ（i）=T（i）| Ft）=0≥ 0和所有i∈ N，即：τB（i）=∞ a、 s.和τ（i）=τa（i）a.s。因此，在测量pn下，现在只有直接传染，如BN（i）≡ 0; 默认时间对环境没有任何影响。我们现在假设情况就是这样。然后，在参考概率pn和条件F下∞, Y是一个n维时间非齐次马尔可夫链，状态空间i：={0，1}n，条件是从Y=0开始。让我们展示如何从Kolmogorov正演方程中获得SD E（4.5）。为了有简单的符号（特别是避免引入Y状态的排序），我们表示，对于D N：pDt：=PN（Yt（i）=0，我∈ N- DYt（j）=1，j∈ D | F∞),实际上，在第3节中，我们设置了Γ=（0，…，0），即Y=（0，…，0）PN-a.s。；Markovchain属性的证明是微不足道的。i、 e.D是时间t的违约债务人集合的概率，条件是F∞. 我们不需要更复杂的假设，因为我们在这里只分析概率条件∞Y=0。同样，为了简化符号，我们用D={i；x（i）=1}表示：cDt（k）：=qt（x，xk），因此cDt（k）是债务人k在t时的转移率，假设D是t时的违约实体集。如果违约实体集是D，则在Y的一次转移后，违约实体集必然成为D∪ {k} ，对于一些k∈ N- D、 相应的瞬时转变率为：cDt（k）=λt（k）+φAt（k，D）。

（C.1）Kolmogorov正向方程（利用一次只能发生一次违约且违约为吸收状态的事实）为所有D N：ddtpDt=-pDtcDt（N- D） +Xk∈DpD-ktcD公司-kt（k）（C.2），其中我们使用符号cDt（N- D） =主键∈N-DcDt（k）。引理C.1。我们固定了一组C N并表示S：=N- C、 此外，我们表示：lSt：=P（Yt（i）=0，我∈ C | F∞)然后l信息：dlSt=- lStcSt（C）dt+Xj∈SlS-jtφAt（C，j）dt。（C.3）备注。动力学（C.3）与（4.5）相同，因为cSt（C）=λt（C）+φas（C，S），如（C.1）所定义。证据我们注意到lSt：=PD:DSpDt，因此，使用（C.2）：滴滴涕lSt=-XD：DSpDtcDt（N- D） +XD:DSXj公司∈DpD-jtcD公司-jt（j）。我们固定了一组D S、 我们表示S=卡片（S），n=卡片（D）。概率PdtaPearsin精确为s- 上述总和中的n+1项，即：-pDtcDt（N- D） 而且，对于所有j∈ S- D、 术语pDtcDt（j）。因此，表达式可以写成：ddtlSt=XD:DS-pDtcDt（N- D） +Xj∈S-DpDtcDt（j）！=-XD：DSpDtcSt（N- S） +XD:DSpDtφAt（N- S、 S- D） =-lStcSt（N- S） +XD:DSXj公司∈S-DpDtφAt（N- S、 j）=-lStcSt（N- S） +Xj∈SXDS-{j} pDtφAt（N- S、 j）=-lStcSt（N- S） +Xj∈S除息的S-{j} pDt公司φAt（N- S、 j）=-lStcSt（N- S） +Xj∈SlS公司-jφAt（N- S、 j）。参考s【1】A。Aksamit，Choulli，T.和Jeanblanc，M.《随机时间的分解及其分类》，arxiv:1605.03905（2014）。[2] J.Az'ema（1972年）：《工艺的一般应用》，发明。数学18, 293–336.[3] L.B o和A.Capponi（2016）：传染风险下信用衍生品组合的最优投资，数学金融，26（4），785–834。[4] T.B iel ecki，A.Counse，S.Cr'epey和A.Herbertsso n（2014）：马尔可夫Copula模型中投资组合风险的动态对冲，优化理论与应用杂志，161（1），90–102。[5] T.R.Bielecki、S.Cr'epey和M.Jeanblanc（2010年）：《信贷风险的上升和下降》，QuantitativeFinance 10（10）1137–1151。[6] R.Bielecki，S.Cr'epey，M。

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