整个平均期在未来。该选项为正向启动，本案例将在第二节中研究。4.1.（ii）T<T<T。即估值时间T进入平均期，资产价格的综合贡献包括确定性贡献和随机贡献ZtTSudu=ZtTSudu+ZtTSudu。（4.61）平均周期的一部分是确定的，可以吸收到支付中的一个常量中。这与所谓的“季节性亚洲期权”或广义亚洲期权相对应。本案例将在下文第节中处理。4.2.4.1远期起航走向亚洲期权在本节中，我们考虑t<t<t的远期起航走向亚洲期权，为简单起见，取t=0。设T=T>0，T=τT带τ∈ (0, 1). 这些期权的价格由风险中性指标cf（κ，T，τ）=e中的预期给出-rTE公司κST-(1 -τ）TZTτTStdt+,Pf（κ，T，τ）=e-rTE公司(1 -τ）TZTτTStdt-κST+.我们将假设标的资产价格St遵循本地波动率模型（2.6）和（2.7）。当κSe（r-q） T>A（τT，T），其中A（τT，T）=（r-q） （1）-τ） T（e（r-q） T型-e（r-q） τT），当κSe（r-q） T=A（τT，T）。在T→ 0限制我们有限制→0A（τT，T）=我们得到，对于κ<1，看涨期权没有钱，看跌期权有钱；当k=1时，看涨期权和看跌期权都是货币期权；当κ>1时，看涨期权在货币内，看跌期权在货币外。与固定行使亚洲期权的情况类似，到期日为→ 0时，无本金流动的远期履约亚洲期权的价格以指数形式快速下降至0，并且可以使用大偏差理论来捕捉该比率。

另一方面，货币期权的价格以√而速率可以通过高斯随机变量的线性近似得到。同样与之前一样，货币内流动的远期履约亚洲期权的价格估值很容易遵循看跌期权平价。在下面的定理中，我们详细研究了这些渐近估计。定理4.1。假设资产价格St遵循（2.6）和（2.7）中的局部波动模型。然后，我们得到了以下短期期限的渐近估计值，即远期开始亚洲期权的价格为T→ 0。（1）当κ<1时，我们有限制→0T对数Cf（κ，T，τ）=-如果（S，κ，τ），（4.62）和PF（κ，T，τ）=S（1-κ) - 装货单（r+q）- κq-（r）- q） τ+ O（T），（4.63），其中（S，κ，τ）=inf1-τRτeg（t）dt=κeg（1）g（0）=对数S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。（2） 当κ>1时，我们有cf（κ，T，τ）=S（κ-1） +ST（r+q）- κq-（r）- q） τ+ O（T），（4.64）和极限→0T对数Pf（κ，T，τ）=-If（S，κ，τ）。（4.65）（3）当κ=1时，我们有limt→0√TCf（κ，T，τ）=limT→0√TPf（κ，T，τ）=σ（S）S√6π√1.-τ . （4.66）证明。（1） 遵循引理2.1中的相同论点，我们立即得到thatlimT→0T对数Cf（κ，T，τ）=极限→0T日志PκST≥1.-τZτStTdt.然后通过应用样本路径P（St）的大偏差·∈ ·, t型∈ [0，1]）在L上∞[0，1]和合同原理，我们得到（4.62）。要查看（4.63），我们只需要使用put call parityCf（κ，T，τ）- Pf（κ，T，τ）=e-rT公司κE（ST）-(1 -τ）TZTτTE（St）dt= e-rTSκe（r-q） T型- e（r-q） τT1+（r- q） （1）- τ）T+O（T）= S（κ-1） +ST（r+q）- κq-（r）- q） τ+ O（T）。从（4.62）我们知道Cf（κ，T，τ）=O（e-当κ<1时，如果/T）=o（T），则（4.65）紧随其后。（2） 我们可以使用与（1）中相同的参数轻松获得（4.64）和（4.65）。（3） 遵循定理2.4中的类似论点，我们有Cf（κ，T，τ）- E“κ^ST-1.-τZτ^StTdt+#= O（T），其中^sti是由^St=S+σ（S）SWt给出的高斯过程。

当κ=1时，自^ST起-1.-τRτ^StTdt是一个正态随机变量，平均值为零，方差σ（S）SE“WT公司-1.-τZτWtTdt#=(1 -τ）σ（S）ST。因此我们有“^ST-1.-τZτ^StTdt+#=√√1.-τσ（S）S√T E[ZZ>0]，其中Z是标准正态随机变量。然后我们得到（4.66）。在本节的其余部分，我们将进一步研究速率函数的变分问题。提案4.2。假设资产价格St遵循（2.6）和（2.7）中的局部波动模型。考虑一个现金流外的远期履约亚洲期权，letIf（S，κ，τ）是定理4.1中的利率函数。我们有if（S，κ，τ）=infc∈Rcτ+1-τISeF公司-1（cτ），κ, （4.67）式中，F（·）=R·dzσ（Sez）andI（x，κ）=infReД（u）du=κeД（1）Д（0）=0，Д∈AC【0,1】（ZД（u）σ（xeД（u））du）。（4.68）证明。RecallIf（S，κ，τ）=inf1-τRτeg（t）dt=κeg（1）g（0）=对数S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。如果我们考虑函数f∈ AC[0，1]，使得f（t）=g（t）- 然后我们可以重写if（S，κ，τ）asIf（S，κ，τ）=inf1-τRτef（t）dt=κef（1）f（0）=0，f∈交流[0,1]Zf（t）σ（Sef（t））dt。与命题2.5的证明类似，通过使用拉格朗日乘子，我们得到最优路径f（t）来自绝对连续路径{fc（t）}c族∈Rgiven byfc（t）=（F-1（ct）0<t<τF-1（cτ）+Дct型-τ1-ττ ≤ t<1，其中Дc（u），0<u<1是I的argminSeF公司-1（cτ），κ. 这里I（x，κ）如（4.68）所示。与每个fc（t）相关的能量由z给出fc（t）σ（Sefc（t））dt=cτ+1-τISeF公司-1（cτ），κ.因此，我们得到了速率函数if（S，κ，τ）=infc∈RIc=infc∈Rcτ+1-τISeF公司-1（cτ），κ.选择c来最小化Ic。在Black-Scholes模型下，上述结果可以显著简化。提案4.3。假设资产价格St遵循Black-Scholes模型，即（2.6）中的σ（·），常数σ>0。

然后，货币外浮动前锋亚洲期权的利率函数由i（BS）f（κ，τ，σ）=JBS（κ）（1）给出-τ）σ，（4.69），其中JBS（·）由（3.33）给出，并在引理3.4中明确给出。证据从命题4.2我们知道，当σ（·）=σ时，速率函数独立于由if（S，κ，τ）=infc给出的沙∈Rcτ+（1-τ）σinfД∈D（κ）Z^1（u）杜邦,其中D（κ）=φ ∈ AC[0，1]Д（0）=0，ReД（u）du=κeД（1）. 首先，我们声称∈D（κ）Z^1（u）杜邦= JBS（κ）。（4.70）证据见【35】。为了完整起见，我们在这里简单地画了一个草图。主要思想是使用拉格朗日乘子法。考虑辅助变分问题∧（ν）：=2σZ^1（t）dt+λZeИ（t）dt-κeД（1）,AC[0，1]中的所有函数均满足Д（0）=0。该问题已简化为求解Euler-Lagrange方程Д（t）=λσeД（t），边界条件Д（0）=0，Д（0）=0，Д（1）=λσκeД（1）。让h∈ AC[0，1]应确保H（t）=Д（1-t）- Д（1），因此Д（t）=h（1- t） +^1（1）。（4.70）的左侧由infeh（t）dt=κh（0）=0，h给出∈AC【0,1】Zh（u）杜邦,这就是JBS（κ）。因此，我们有（4.70），andI（BS）f（κ，τ，σ）=infc∈Rcτ+（1-τ）σJBS（κ）=(1 -τ）σJBS（κ）。备注4.4。注意，在Black-Scholes模型下，（4.67）中关于c的速率函数If（S，κ，τ）的优化是微不足道的。这是因为当σ（·）是常数函数时，（4.68）中的I（x，κ）与x无关。因此，当0<t<τ时，最佳路径保持不变，以获得最小能量。最后，值得研究Black-Scholes模型下的浮动行权和固定行权远期起始亚式期权的等价性，这是Henderson和Wojakowski在[27]中首次为常规亚式期权引入的。在下面的命题中，我们研究了远期亚洲期权的等价性。

[43]讨论了具有离散时间平均的亚式期权的类似结果，参见[43]中的定理9。用Cf（S，κ，r，q，T，T）表示浮动行使买入期权的价格，浮动行使κ，远期开始时间T，到期日T，基础资产动态ST=Se（r-q-σ） t+σWt，t≥ 0，S>0，（4.71），其中wt是标准布朗运动。用Cx（S、K、r、q、T、T）表示固定的执行远期开始看涨期权的价格，执行价格K、远期开始时间T、到期日T和标的资产紧随其后（4.71）。类似地表示看跌期权的价格：Pf（S，κ，r，q，T，T）和Px（S，κ，r，q，T，T）。提案4.5。假设资产价格St遵循Black-Scholes模型，且具有恒定的可用性σ。然后我们得到cf（S，κ，r，q，τT，T）=Px（S，κS，q，r，0，（1- τ）T），（4.72）和PF（S，κ，r，q，τT，T）=Cx（S，κS，q，r，0，（1- τ）T）。（4.73）我们也有Cf（S，κ，r，q，0，（1- τ）T）=Px（S，κS，q，r，τT，T），（4.74）和pf（S，κ，r，q，0，（1- τ）T）=Cx（S，κS，q，r，τT，T）。（4.75）证明。我们证明（4.72）。SinceCf（S，κ，r，q，τT，T）=e-rTE“κST-(1 -τ）TZTτTStdt+#= e-rTE“Se（r-q） T型-σT+σWTκ -(1 -τ）TZTτTStSTdt+#= e-qTSE“e-σT+σWTκ -(1 -τ）TZTτTStSTdt+#.我们更改概率度量，使dp*dP=e-σT+σWT。根据Girsanov定理，我们知道W*t=重量- σt是概率测度P下的布朗运动。因此我们有cf（S，κ，r，q，τT，T）=e-qTSE公司*\"κ -(1 -τ）TZTτTStSTdt+#. （4.76）此外，注意stst=e（r-q+σ）（t-T）+σ（W*t型-W*T） D=e（r-q+σ）（t-T）+σ^WT-t、 其中，^W是P下的标准布朗运动*.

通过更改积分变量t→ T- 我们得到cf（S，κ，r，q，τt，t）=e-qTE公司*“κS-(1 -τ）TZ（1-τ） TSe（q-r-σ） t+σ^Wtdt！+#。（4.77）然后我们通过实现上述方程的右侧精确地得到（4.72）px（S，κS，q，r，0，（1- τ）T）。类似地，对于浮动式远期开始亚洲看跌期权，我们有pf（S，κ，r，q，τT，T）=e-rTE“(1 -τ）TZTτTStdt-κST+#= e-qTSE“e-σT+σWT(1 -τ）TZTτTStSTdt-κ+#= e-qTE公司*\"(1 -τ）TZ（1-τ） TSe（q-r-σ） t+σ^Wtdt-κS！+#。这确实是（4.73）。其余对称关系（4.74），（4.75）以类似的方式证明。4.2广义亚式期权我们在这里考虑一种更为一般的亚式期权，具有payoff Call：（κST- AT+K）+，（4.78）输入：（AT- κST- K） +，（4.79），其中资产价格平均值定义为时间段[0，T]。尽管这些期权不是前瞻性的，但在为所谓的季节性浮动罢工亚洲期权定价时，它们会自然而然地出现。这些期权最初是提前开始的，但其评估需要在估值日期进入平均期时研究这些支付。我们将其称为广义亚洲期权，紧随莱因茨基（Linetsky）[32]。这些期权的价格由风险中性度量中的预期给出。例如cGen（S，κ，K，T）=e-rTE“κST-TZTStdt+K+#. （4.80）如果κ>1，广义亚洲看涨期权是货币期权- K/S，（4.81），如果κ=1，则为货币- 否则就把钱拿出来。我们在这里研究短期成熟度T→ 0局部波动模型中广义亚洲期权的渐近性。这是由[35]中命题21的推广给出的。定理4.6。假设ST遵循本地波动率模型（2.6）和（2.7）。

然后，短成熟度渐近T→ OTM广义亚洲期权的价格为0，如下所示。（1） 当κ<1时- 好的，我们有限制→0T对数Cgen（S，κ，K，T）=-Ig（S，κ，K），（4.82），其中Ig（S，κ，K）=infReg（t）dt=κeg（1）+Kg（0）=log S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。（2） 当κ>1时- 好的，我们有限制→0T对数Pgen（S，κ，K，T）=-Ig（S，κ，K）。（4.83）（3）当κ=1时- 好的，我们有限制→0√TCgen（κ，K，T）=极限→0√TPgen（κ，K，T）=σ（S）S√2πrκ- κ +. （4.84）在Black-Scholes模型中，我们可以对广义亚式期权的利率函数给出更明确的结果。0.2 0.4 0.6 0.811.21.40.20.40.60.811.21.4ABAAK/Sκ00图6：广义Asianoption速率函数的（K/S，κ）平面区域。蓝线上的点对应于ATM广义亚式期权K/S+κ=1。速率函数Jg（κ，K/S）沿这条线消失。提案4.7。Black-Scholesmodel中广义亚式期权的利率函数具有以下形式。（1） 在（K/S，κ）平面的区域A（图6中蓝线K/S+κ=1上方），我们得到了OTM调用的速率函数jg（κ，K/S）=σIg（κ，K/S）=β- 2βγ+1eβ- 1eβ+γ，（4.85），其中γ=eβκβ+p1+κβ，（4.86），β是方程γ+1γ+eβeβ的解- 1β=κeβγ+1γ+eβ+堪萨斯州。（4.87）（2）在（K/S，κ）平面的区域B（图6中蓝线K/S+κ=1下方），我们有OTM putJg（κ，K/S）=σIg（κ，K/S）=2ξ（tan（ξ+η）的速率函数- tanη- ξ） ，（4.88），其中η是方程2ξsin（2（ξ+η））=κ的解。（4.89）这将η确定为离散模糊度η=(-ξ+弧心（2ξκ）+nπ-ξ -弧蛋白（2ξκ）+（n+）π，n∈ N、 （4.90）最后，ξ由方程ξcosη（tan（ξ+η）的解给出- tanη）=κcosηcos（ξ+η）+KS。（4.91）证明。

Black-Scholes模型中的速率函数由变分问题的解（κ，K）=inff2σZ[f（t）]dt（4.92）给出，其中，满足f（0）=0和zef（t）dt=κef（1）+KS的所有函数f（t）取最小值。（4.93）证明与道具的证明密切相关。[35]中的23，将省略。我们注意到广义亚式期权的利率函数的一些性质。提案4.8。black-Scholes模型中广义亚式期权的利率函数Jg（κ，K/S）具有以下性质。（i） 速率函数沿ATM线K+K/S=1消失。（ii）它在参数交换下是对称的sjg（κ，K/S）=Jg（K/S，κ）。（4.94）证明。（i） 很容易看出，f（t）=0满足积分约束（4.93），前提是κ+KS=1。因此，沿着这条线的最佳路径是f（t）=0，并且速率函数消失。事实上，很容易看出，这也适用于更一般的局部波动性模型，而不是Black-Scholes模型。（ii）Jg（κ，K/S）的积分约束（4.93）可以等效地写在函数h（t）中，函数h（t）由f（t）=h（1）定义- t） +f（1）asef（1）Zeh（t）dt=κef（1）+KS。（4.95）注意h（0）=0，h（1）=-f（1），这可以进一步表示为zeh（t）dt=κ+KSeh（1），（4.96），这正是Jg（K/S，κ）的积分约束。当用h（t）表示时，速率函数具有相同的形式，注意f（t）=-h（1- t） 。因此，Jf（K/S，K/S）的最优路径通过变量的这种变化映射到Jg（K/S，K）的最优路径，并且两种情况下的速率函数取相同的值。结果的证明到此结束。4.3远期行使亚洲期权的数值测试我们在此考虑远期行使亚洲期权的定价。按照与[36]中相同的方法，我们将其视为基础B上的买入/卖出期权[τT，T]：=κST- A[τT，T]。

对于κ≥ 0 B[τT，T]的支撑是整个实轴。因此，对于该随机变量的分布，非正态近似比对数正态近似更合适。B[τT，T]资产的远期价格为：iff（τT，T）：=E[B[τT，T]]=SκE（r-q） T型-e（r-q） T型- e（r-q） τT（r- q） （1）- τ）T！。（4.97）我们提出了价格近似值，表示为Bachelier公式CF（κ，τ）=e-rT公司Ff（τT，T）N（d）-√2π∑N√T e公司-d, （4.98），d=Ff（τT，T）∑N√T、 这对应于基础B[τT，T]上的零敲打看涨期权，这是所考虑期权的支付（B[τT，T]）+。如果需要与短期期权定价渐近式达成一致，则正常等价波动率∑N（K，T）的短期渐近式如下所示。提案4.9。假设r=q=0。（1） 短期到期限额T→ BS模型islimT中anOTM远期起航走向亚洲期权的正常（Bachelier）等效波动率的0→0∑N（κ，T）=σ（K- S） 2JBS（κ）（1-τ ) . （4.99）（2）短期到期限额T→ 在BS模型islimT中，anATMκ=1远期起始流动走向亚洲期权的正常（Bachelier）等效波动率的0→0∑N（1，T）=σS√√1.-τ . （4.100）证明。这个证明类似于道具的证明。[36]中的17，将省略。我们考虑了三种基准情况，对应于κ=1且支付为装货单- A[τT，T]+到期日T=1年。平均周期如下案例一：（1）- τ）T=60天，τ=1-=; （4.101）案例二：（1）- τ） T=100天，τ=1-=; （4.102）案例三：（1）- τ） T=182天，τ=1-=. （4.103）它们对应于[42]表II、III和IV中考虑的基准案例。初始资产价格为S=100，利率为r=10%，股息率为q=0。三种情况下的正向Ff（τT，T）为Ff（τT，T）=0.9034，1.5，2.71，这是正的。因此，选择权在金钱上。

然而，在短期到期期限内→ 0这些选项将是ATM，因为κ=1。因此，我们将在下面的数值估计中使用ATM正常隐含波动率（4.100）。在表3中，我们显示了[42]表II、III、IV中考虑的基准案例的结果。将[42]的解析近似结果和MC模拟结果与公式（4.98）的短期成熟度渐近结果进行比较。交感结果低于MC模拟结果。渐近结果通过远期利率Ff（τT，T）对利率r敏感。与精确结果的偏差随着r的增加而增加，如【35】中的数值试验所示。对于此处考虑的情况，利率r=10%相当大，这解释了与基准结果相比的较大差异。然而，我们注意到与基准Cenarios的定性一致，因为与MC模拟的差异在相对值上始终低于10%。表3：与[42]中的基准测试结果相比，对远期起航走向亚洲期权的数值测试。Cf（1，τ）给出了短期成熟度渐近近似的结果（4.98）。

TCL显示了[42]的解析近似值，MC显示了蒙特卡罗模拟的结果。στCf（1，τ）TCL MC0.2 305/365 2.13005 2.304166 2.2646160.3 305/365 2.96462 3.223310 3.1714570.4 305/365 3.80438 4.142445 4.0845900.5 305/365 4.64622 5.058229 4.9999820.6 305/365 5.48911 5.969642 5.9086690.2 265/365 2.92733 3.147266 3.1054130.3 265/365 3.99604 4 4 4 4.2686040.4 265/365 5.07577 5.493439 5.4934390.5 265/365 6.15994 6.660697 6.6207610.6 265/365 7.24634 7.821191 7.7904360.2183/365 4.33054 4.609475 4.5547390.3 183/365 5.74906 6.152161 6.0960580.4 183/365 7.19388 7.696422 7.6615320.5 183/365 8.64938 9.231254 9.2284350.6 183/365 10.1102 10.76042 10.798441A注释我们在此总结正文中使用的速率函数的注释。oI（S，K，τ）是亚洲期权的利率函数，在局部波动率模型中，平均值从时间零点开始Ifwd（S，K，τ）是局部波动模型中远期启动亚式期权的利率函数。这在很大程度上取决于S，KI（BS）fwd（K/S，σ，τ）=σJ（BS）fwd（K/S，τ）是Black-Scholes模型中向前启动亚洲期权的速率函数。这仅取决于比率K/S。oIBS（K/S，σ）=σJBS（K/S）是BlackScholes模型中亚洲期权的利率函数，平均值从时间0开始。

这对应于τ=0，并与前面定义的正向启动速率函数有关，即IBS（K/S，σ）=I（BS）fwd（K/S，σ，0）和JBS（K/S）=J（BS）fwd（K/S，0）。oIf（S，κ，τ）是本地波动率模型中远期起始浮动亚洲期权的利率函数I（BS）f（κ，τ，σ）是Black-Scholes模型中的远期起航亚式期权的利率函数Ig（S，κ，K）是广义亚式期权的利率函数Jg（κ，K／S）是Black-scholes模型中广义亚式期权的利率函数。确认Lingjiong Zhu获得了NSF拨款DMS-1613164的部分支持。参考文献【1】Arguin，L.P.，N-L.Liu和T-H.Wang。（2017）本地波动率模型下亚洲期权定价的最可能路径，arXiv:1706.02408。[2] Avellaneda，M.，D.Boyer Olson，J.Busca和P.Friz。(2002). 重建波动性。风险912002年10月。[3] Berestycki，H.、Busca，J.和I.Florent。(2002). 局部波动率模型的渐近性和校准。量化金融。2, 61-69.[4] Baldi，P.和L.Caramellino。(2011). Freidlin-Wentzell将军大偏差和正差异。统计问题。信件。81, 1218-1229.[5] Bergomi，L.（2004）《微笑动力学I.风险》，2004年9月；《微笑动力学II》，风险，2005年3月；微笑动力III，《风险》，2008年3月；微笑动力IV，《风险》，2009年12月。[6] Bliss，G.A.（1946）关于变分法的讲座。芝加哥大学出版社。[7] Bouaziz，L.、E.Briys和M.Crouhy（1994年）。远期启动亚洲期权的定价。银行与金融杂志。18, 823-839.[8] Boyle，P.和Potachik（2008年）。亚洲期权的价格和敏感性：一项调查。保险：数学和经济学。42, 189-211.[9] Buehler，H.（2006年）。一致的方差曲线模型。金融与随机10178-203。[10] 张、庄昌、廖子祥和蔡觉勇（2011）。

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