[6] ，存在一个优化器（H*, φ*, ψ*) ∈ DcRL对于双重问题DcRL（u，ν），使得kH*k∞≤ 18L和Д*, ψ*∈∧19LR，即H*（x） （y）- x） +^1*（x） +ψ*（y）≥ cRL（x，y）表示所有（x，y）∈ RandDcRL（u，ν）=Z*du+Zψ*dν。对于每个ε≥ 0，从二元性PcRLε（u，ν）=DcRLε（u，ν）得出PcRLε（u，ν）- PcRL（u，ν）=DcRLε（u，ν）- DcRL（u，ν）=DcRLε（u，ν）-Z^1*du+Zψ*dν≤Zφ*+ εkH*k∞du+Zψ*dν-Z^1*du+Zψ*dν= εZkH*k∞du≤ 18εLR，imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题23的计算方法，其中第三个不等式为H*, φ*+ εkH*k∞, ψ*∈ DcRLε。此外，还有一个是byconstructioncL（x，y）- cRL（x，y）≤ 1(-∞,-R）∪（R，∞)（y） L|y |-R, 这意味着PcRLε（u，ν）- PcLε（u，ν）≤ LZ公司(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy）。因此，| Pcε（u，ν）- Pc（u，ν）|=| PcLε（u，ν）- PcL（u，ν）|≤PcLε（u，ν）- PcRLε（u，ν）+PcRLε（u，ν）- PcRL（u，ν）+PcRL（u，ν）- PcL（u，ν）≤ 18εL（R+1）+2LZ(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy），通过设置ε=2εn来完成证明。备注4.6。如果在某个闭子集E上支持ν R、 假设c是EAN和sup（x，y）上的Lipschitz，定理2.5仍然成立∈Eyyc（x，y）< ∞. 此外，值得一提的是，上述分析可以扩展到更一般的函数c。让c连续并具有线性增长，即| c（x，y）|≤ L（1+| x |+| y |），对于某些L>0。那就永远≥ 1，存在函数cR∈ C（R）使得sup（x，y）∈BR公司c（x，y）- cR（x，y）≤ 1/R，cR（x，y）=0（x，y）/∈ BR+1和kcRk∞≤ sup（x，y）∈BR | c（x，y）|≤ L（1+2R）。此外，onehasc（x，y）- cR（x，y）≤ 1/R+8升|x |+| y|/R、 这意味着Pcε（u，ν）- PcRε（u，ν）≤ 1/R+8升ZR | x |u（dx）+ZR | y |ν（dy）/R=：L/R，因此，我们使用相同的推理获得Pcε（u，ν）- Pc（u，ν）≤PcRε（u，ν）- PcR（u，ν）+2L/R.然后满足定理2.5的条件。

对于每个R≥ 1，利用定理2.5，我们推导出差分的一个界PcRε（u，ν）-PcR（u，ν）. 然后可以对结果进行优化≥ 在定理2.5的证明之后，我们在下面给出了映射P的稳定性结果(u, ν) 7→ P（u，ν）∈ R、 提案4.7。让P P是（u，ν）的子集，其中ν具有有限的二阶矩。如果c满足定理2.5的条件，则存在c>0，从而Pc（u，ν）-Pc（u，ν）≤ C infR>0λ（R）+LZRy公司ν（dy）-ν（dy）对于所有（u，ν），（u，ν）∈ P,式中∧：（0，∞) → R由∧（R）定义：=（R+1）W⊕(u, ν), (u, ν)+Z(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy）+ν（dy）.对于任何序列（un，νn）n≥1. P令人满意的limn→∞W⊕（un，νn），（u，ν）= 0，一个haslimn→∞Pc（un，νn）=Pc（u，ν），如果limn→∞Ryνn（dy）=Ryν（dy）。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：1924年4月8日MOT问题的计算方法Proof。与定理2.5相似，关键也是对偶性。首先，一个人有Pc（u，ν）-Pc（u，ν）≤PcL（u，ν）-PcL（u，ν）+LZRy公司ν（dy）-ν（dy）和PcL（u，ν）-PcL（u，ν）≤PcL（u，ν）-PcRL（u，ν）+PcRL（u，ν）-PcRL（u，ν）+PcRL（u，ν）-PcL（u，ν）, 其中cL、cRL:R→ R的定义与定理2.5的证明中的定义相同。重复定理2.5证明中的论点，它认为PcL（u，ν）-PcRL（u，ν）≤ LZ公司(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy），PcL（u，ν）- PcRL（u，ν）≤ LZ公司(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy）。还有待估计PcRL（u，ν）- PcRL（u，ν）.

回想一下，鉴于[6]的备注2.6，DcRL（u，ν）可通过（H，ν，ψ）获得∈ DcRL，其中ψ，ψ∈ ∧19LR，LR=L（R+1）。因此，PcRL（u，ν）- PcRL（u，ν）=DcRL（u，ν）- DcRL（u，ν）≤Zνdu+Zψdν-Zνdu+Zψdν=Zхdu-Zхdu+Zψdν-Zψdν≤ 19LRW⊕(u, ν), (u, ν).交换（u，ν）和（u，ν）并再次使用上述推理，我们得到了| PcRL（u，ν）-PcRL（u，ν）|≤ 19LRW⊕(u, ν), (u, ν), 这就是证明。我们现在考虑Dolinsky和Soner提出的一种特殊离散化方法[21]。我们定义了（k/n）k上支持的度量序列∈Zas如下：unk/n=Z[（k-1） /n，（k+1）/n）1.-|nx公司- k级|u（dx），νnk/n=Z[（k-1） /n，（k+1）/n）1.-|纽约州- k级|ν（dy）。（19） 在Chacon[13]的潜在理论术语中，un可以定义为（k/n）k上支持的唯一度量∈z，其势函数在这些点上与u的势函数一致，即ZRk/n-x个u（dx）=ZRk/n-x个un（dx），对于所有k∈ Z、 然后我们得到以下结果。提案4.8。（i） 用（19）表示，一个有（un，νn），（u，un），（ν，νn）∈ P和W⊕（un，νn），（u，ν）≤ 所有n为2/n≥ 让定理2.5的条件成立。然后存在C>0，这样Pc（un，νn）-Pc（u，ν）≤ C inf>0|λn（R），其中|λn：（0，∞) → R由∧n（R）给出：=R+1n+Z(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy）。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题计算方法25证明。（i） 对于任何连续f:R→ R、 定义f（n）：R→ R byf（n）（x）：=1+bnxc- nx公司fbnxc/n+nx公司-bnxc公司f（1+bnxc）/n,然后通过简单的计算得出rfdun=Rf（n）du和rfdνn=Rf（n）dν。取f≡ 1，然后是f（n）≡ 1，以及进一步明确的概率测量。此外，取f（x）=x，很明显，f（n）=f，thusRfdun=Rf（n）du<∞ andRfdνn=Rf（n）dν<∞. 证明（un，νn），（u，un），（ν，νn）∈ P, 需要测试f（x）=（x- K） +。

很容易得出f（n）是凸的，f（n）≥ f通过计算。这意味着（un，νn），（u，un），（ν，νn）∈ P. 最后，我们注意到| Rfdun-Rfdu|≤R | f（n）- f | du≤ 1/n，产生W（un，u）≤ 1/n by（4）。（ii）必须应用命题4.7，其中u：=u和ν：=νn。使用νn的构造，一个hasZ(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rνn（dy）≤Z(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy）+n，ZRy公司νn（dy）-ν（dy）≤4n，这是证明的结论。总结和可能的扩展。我们相信，我们的论文对MOT问题的计算方法做出了重要和开创性的贡献。我们的第一个主要结果，定理2.2，通过离散边缘分布和放松鞅条件，建立了一般MOT问题P（u）viaLP问题的近似结果。此外，我们引入了两种近似：确定性近似un和随机近似un⊕un，u和EW⊕un，u这样就可以计算合适的LP问题Pεn（un）和Pεm（unm）。此外，我们还提供了一些数值例子进行说明。我们的第二个主要结果，定理2.5，给出了一维情形下收敛速度的估计。这一结果尤其允许我们推导出一个完整的模式，以计算P（u，ν）达到给定精度。作为我们设置的一个相对直接但实际相关的扩展，对于（9）中定义的P（~u）的计算，可以很容易地扩展定理2.2以显示limn→∞Pεn（~un）=P（~u），其中序列（εn）n≥1趋于零并满足εn≥NXk=1dXi=1Wunk，i，uk，i, 适用于所有n≥ 1、对这一具有实际意义的设置进行进一步调查是一项正在进行的工作。最后，但并非最不重要的是，我们指出，有效地解决LP问题Pεn（un）和Pεm（unm）也是一个有趣的研究途径，可能会吸引从业者的注意。

我们注意到，Pεn（un）和Pεm（u^nm）实际上是具有特定结构的LP问题，即约束由稀疏矩阵给出，并且一些现有算法可以扩展到它们的设置：o如果n=2和d=1，则可以使用[8]中的迭代Bregman投影来求解Pεn（un，νn），并进行额外的熵正则化。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201926年4月8日MOT问题的计算方法o如果N=2，则随机平均梯度法，见Genevay等人【24】，可通过对偶处理PεN（uN，νN）=DεN（uN，νN）。我们认为，将上述算法扩展到多个步骤和更高维度是一个重要且具有挑战性的问题。附录A：定理4.1的补充证明。P的存在性*是Mε（u）紧实度的结果。至于二元性，我们证明了一个稍强的结果。让H H是H=（Hk）1的子集≤k≤N-1香港∈ Cb公司(OhmkRd）对于k=1，N- 定义最小化问题：Dε（u）：=inf（H，ψ）∈Dε“NXk=1ZRdψk（x）uk（dx）#，其中Dε：=Dε∩H×λN.然后，通过定义，Pε（u）≤ Dε（u）≤ Dε（u）。定义函数Φ：P（u）×H→ R乘以Φ（P，H）：=EP“c（S，…，SN）-N-1Xk=1Hk（S，…，Sk）·（Sk+1- Sk）#+εN-1Xk=1HKK∞.因为Φ（·，H）对于所有H是连续的和凹的∈ H和Φ（P，·）对于所有P是连续和凸的∈ P（u），则它保持supP∈P（u）infH∈HΦ（P，H）=infH∈HsupP公司∈P（u）Φ（P，H）鉴于P（u）是凸的和紧的，所以P（u）Φ（P，H）是极小极大定理的一部分。因此，Dε（u）=infH∈Hinfψ∈∧N:PNk=1ψ（xk）≥c（x，…，xN）-PN编号-1k=1香港（x，…xk）·（xk+1）-xk）-εkHkk∞NXk=1ZRdψk（x）uk（dx）=infH∈HsupP公司∈P（u）Φ（P，H）=供应∈P（u）infH∈HΦ（P，H）=供应∈Mε（u）infH∈HΦ（P，H）≤ 支持∈Mε（u）EPc（S，…，SN）= Pε（u），其中第二个等式来自Kantorovich的经典对偶，第四个等式是由∈HΦ（P，H）=-∞ 一次P/∈ Mε（u）。命题3.6的证明。

As W⊕un，u=PNk=1Wunk，uk在每个uk满足假设3.2的情况下，必须处理W（un，u）。为了符号的简单性，我们写^un≡ u与u≡ u. 在其余的证明中，我们参考了[22]。将引理5和6与定理1的证明结合起来，它认为W（un，u）≤ 24（Mθ+1）d（1-θ） /2θXi≥0iXj≥0-杰敏εi，2dj/2（εi/n）1/2, εi：=2-θi.对于每个ε∈ （0，1），然后是一个简单的计算≥0-杰敏ε、 2dj/2（ε/n）1/2≤2日志2最小值ε、 （ε/n）1/2如果d=1，最小值ε、 （ε/n）1/2log（2+εn）如果d=2，最小值ε、 ε（εn）-1/天如果d>2。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法27接下来，我们用εi代替ε，并区分不同的d。如果d=1，则≥0英寸εi，（εi/n）1/2≤√2n1/θ-1.(21-θ/2- 1)(1 - 21-θ)如果θ<2,4（1+对数n）n-1/2如果θ=2，n-1/21.-21-θ/2如果θ>2。如果d=2，则Xi≥0英寸εi，（εi/n）1/2log（2+εin）≤7n1/θ-1.(21-θ/2- 1） 如果θ<2，1+（对数n）n-1/2如果θ=2，（1+对数n）n-1/21.-21-θ/2如果θ>2。如果d>2，则Xi≥0英寸εi，εi（εin）-1/天≤3n1/θ-1.(21-θ(1-1/d）- 1)(1 - 21-θ)如果θ<d/（d-1） ，6（1+对数n）n-1/difθ=d/（d）- 1） ，n-1/天1.-21-θ(1-1/d）如果θ>d/（d）-1).证明以C（θ，d）为相应系数的乘积完成。引理A.1。在命题4.2相同的条件和符号下，存在可测函数f，fN：Ohm→ Rd使Qo（Xk，Yk）-1=Pk，其中，对于k=1，…，Yk：=fk（Xk，Zk），N证据在不丧失一般性的情况下，我们只证明了k=1。此外，我们删除了下标，没有任何混淆的危险，即X≡ 十、 Z≡ Z、 u≡ u，P≡ P、 等。崩解关于u，其中P（dx，dy）=u（dx）λx（dy），其中λx（dy）x个∈Rd表示正则条件概率分布（r.c.p.d.）。因此，上述主张等同于可测函数f的存在：Ohm→ Rd满足，对于u-a.e。

x个∈ RdQ公司f（x，Z）∈ A.X=X= λx（A），对于所有A∈ B（Rd），即f（x，·）将Z定律转换为λxf或u-a.e.x∈ Rd.我们首先在d=1，即x=x的情况下证明该索赔，然后在一般情况下得出结论。（i） 设F和Gxbe分别为Z和λx的累积分布函数，并用G定义右连续逆-1x（t）：=infy∈ R:Gx（y）>t. 进一步确定f:R→ Rby f（x，y）：=G-1台oF（y），则F可通过r.c.p.d.的定义进行测量。此外，Villani[43]，第19-20页，对于u-a.e.x∈ R一有QY∈ A.X=X= λx（A）表示ALA∈ B（R），这是证明的结论。（ii）现在让我们来处理一般情况。回想一下，x=（x，…，xd），y=（y，…，yd）和z=（z，…，zd）。我们的工作如下。步骤1：在第一个坐标系上取Z和λx的边缘分布，用f（Z）dz和λx（dy）表示，其中我们注意到Z在Rd上允许密度函数。然后重复（i）的过程，构建可测映射f（x，·），它可以将法律f（Z）dz转移到另一个λx（dy）。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201928年4月8日MOT问题的计算方法步骤2：接下来取Z和λx、F（Z，Z）dzdz和λx（dy，dy）的前两个坐标上的边距，并相对于第一个分解它们。该屈服强度SF（z，z）dzdz：=F（z）dz Fz，2（z）dz和λx（dy，dy）：=λx（dy）λx，y（dy）。对于每个z，设置y=f（x，z），并根据（i）定义f1,2（x，z，·），将thusFz，2（z）dz转换为λx，f（x，z）（dy）。步骤3：我们通过依次添加坐标并定义f1,2,3（x，z，z，·）等重复步骤2的构造。在N步之后，这将生成所需的映射f（x，z），将z定律转换为λx。参考文献[1]A.Alfonsi，J.Corbetta和B。

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