鞅最优运输问题的计算方法

2022-6-1 14:50:23

提交给鞅最优输运问题的应用概率计算方法年鉴*郭高跃和Jan Ob l'oj+牛津大学，联合王国我们开发了求解鞅最优运输（MOT）问题的计算方法，这是经典最优运输的一个版本，对运输动力学具有附加鞅约束。我们证明了一个一般的多步骤多维MOT问题可以通过一系列线性规划（linearprogramming，LP）问题来近似，这些问题是由边缘分布的离散化以及鞅条件的适当放松所导致的。我们进一步提供了两种离散概率分布的通用方法，分别适用于我们可以根据这些分布计算积分或从中采样的情况。这些使得我们的主要结果适用，并为解决vingmot问题提供了一个可实现的数值格式。最后，专门针对realline上的一步模型，我们提供了一个收敛速度估计值，据我们所知，这是文献中此类模型的首次。1、简介。最优运输（OT）问题涉及以优化给定标准的方式将质量从一个位置转移到另一个位置。从数学上重新表述，为了简单起见，考虑到一维情况，我们给出了R上的两个概率分布u和ν，并寻求最小化所有概率测度P（dx，dy），（1）中的zrc（x，y）P（dx，dy），（1），也被称为运输计划，例如E×R= u[E]和PR×E= ν[E]，对于所有E∈ B（R），（2），其中c:R→ R是一个可测量的成本函数。过去五年的理论进展描述了优化器在各种不同设置下的存在性、唯一性、表示性和平滑性，参见。

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2022-6-1 14:50:26

[39，43]，在包括生物医学、地理和数据科学在内的大多数应用科学中，应用非常广泛。因此，OT的数值技术非常重要，并已迅速发展成为应用数学的一个重要独立领域：1。在绝对连续的情况下，即u（dx）=ρ（x）dx和ν（dy）=σ（y）dy，Benamouand Brenier在[7]中提出了二次距离函数c（x，y）=（x）的数值格式- y）使用流体力学中的等效公式。*这项研究由欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号赠款协议支持。作者感谢纪尧姆·卡利尔、布鲁诺·列维、唐塞克·林、特里·莱昂斯和彼得罗·西尔帕斯的富有洞察力的讨论和评论。+第二作者还感谢牛津圣约翰学院的支持。MSC 2010学科分类：初级49M25，60H99；辅助90C08。关键词和短语：鞅最优运输，鞅松弛，鲁棒套期保值，对偶，测度离散化，线性规划imsart-aap-ver。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：1992年4月8日MOT问题计算方法2。在纯粹离散的情况下，即u（dx）=Pmi=1αiδxi（dx）和ν（dy）=Pnj=1βjδyj（dy），OT问题简化为线性规划（LP）问题，可以使用迭代Bregman投影进行计算，见Benamou等人【8】。3、在半离散情况下，即u（dx）=ρ（x）dx和ν（dy）=Pnj=1βjδyj（dy），L'evy【34】采用计算几何方法计算成本c（x，y）=（x- y）并通过拉盖尔的细分来解决OT问题。最近，又考虑了一个额外的约束，这导致了所谓的马尔丁格尔最优传输（MOT）问题。

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2022-6-1 14:50:31

这种优化问题是由所谓的数学金融中奇异期权的模型独立或稳健定价所推动和促成的，这一观点在金融危机后获得了显著的势头。更准确地说，两个给定的度量u和ν描述了股票价格的初始和最终分布，并且可以从交易买入/卖出期权的市场价格中恢复。因此，校准后的市场模型通过鞅与这些规定的边际进行识别，即运输计划P进一步满足u-a.e.x的RyPx（dy）=x∈ R、（3）式中（Px）x∈RDE注意到P相对于u的分解。MOT问题旨在最大化积分（1）总体P，仍然命名为运输计划，满足约束条件（2）和（3），并且它对应于选项c的模型独立价格。Beiglb¨ock等人提出了该方法。我们参考该方法进行更详细的讨论。同样值得一提的是，在霍布森（Hobson）[29]的一系列论文中，通过随机控制或Skorokhod嵌入技术，对特定支付的一些具体MOT问题进行了研究，参见[9、14、23、12、15、16、30、31、27]。鉴于对MOT问题的积极理论兴趣及其在数学金融中应用的重要性，开发这些问题的数值技术和计算方法变得越来越重要。一个简单但重要的观察结果给出了一个自然的起点，即对于上述纯离散情况，MOT问题等效于以下LP问题：max（pi，j）1≤我≤m、 1个≤j≤n∈Rmn+mXi=1nXj=1pi，jc（xi，yj）s.t.nXj=1pi，j=αi，对于i=1，m、 mXi=1pi，j=βj，对于j=1，n、 nXj=1pi，jyj=αixi，对于i=1，m、 Davis等人率先提出了这种LP配方。

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2022-6-1 14:50:34

[18] ，其中仅给出了有限数量的期望约束，而不是边际约束ν。对于凸奖励函数，这将导致优化器具有有限的支持。一般来说，为了适应这种方法，我们可以希望将（u，ν）的MOT问题与上述有限支持（un，νn）的LP问题近似，这些LP问题“接近”（u，ν）。不幸的是，这个天真的想法遇到了两个重要障碍。最大化公式更适合金融应用。我们将c称为奖励函数或Payoff，这在金融行话中被普遍接受。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法3首先，MOT问题没有作为其输入（u，ν）函数的一般连续性结果。据我们所知，唯一的例外是Juillet[33]，他证明了ifc（x，y）=Д（x）ψ（y）或c（x，y）=h（x- y），式中ψ，ψ，h:R→ 假设R满足[33]中备注2.10的条件，则存在优化器P*（u，ν）在Wasserstein型拓扑下是关于（u，ν）的Lipschitz。我们将他的结果扩展到命题4.7中更一般的Payoff c，但它仍然是一维结果。其次，即使（u，ν）允许鞅运输计划，在维度d>1时，可能很难构造离散近似值（un，νn），这也是如此，请参见下面的备注3.3。实际上，鞅条件似乎是无害的，它使得任何通常的OT技术都不可用，例如稳定性结果、PDE工具和计算几何。据我们所知，与OT相比，迄今为止，MOT问题的数值方法在理论和应用方面几乎不存在。本文填补了这一重要空白。

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2022-6-1 14:50:37

我们提供了一种系统求解N的近似方法-Rd上的周期MOT问题，N≥ 2和d≥ 我们对原始问题的近似依赖于边缘分布的离散化，再加上鞅约束的适当松弛，从而导致一系列LP问题。该序列收敛，并且专门化为N=2和d=1，我们得到了收敛速度。我们的调查涉及到许多新颖的结果和技术，我们相信这些结果和技术是独立的。特别是，我们明确计算了[22]中的常数，以使经验测度的收敛速度达到Glivenko-Cantelli定理中的极限。本文的组织结构如下。在本简介的其余部分中，我们将澄清我们工作所依据的框架和符号。第2节包含了所有主要的理论结果：我们引入了松弛鞅最优运输（松弛MOT），证明了近似LP问题对MOT问题的收敛性，并给出了一维收敛状态的一个界。在第3节中，我们考虑我们的方法的可能实现。这需要通过离散度量值unand来近似概率度量值u，并且能够计算或限制unandu之间的Wasserstein距离。我们开发了两种通用的方法来实现这一点，然后给出了几个数值例子来说明我们的方法，并提供了对优化器结构的启发性见解，包括一个猜想[37]。第4节包含所有相关的证明。第5节总结了本文，并指出了未来可能的工作。1.1. 预备工作。对于给定的集合E，我们用Ekits k表示-折叠产品。如果E是抛光的，则B（E）表示其Borelσ-字段和P（E）是E、 B（E）允许有一个有限的第一刻。

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2022-6-1 14:50:41

在研究OT时，我们通常将我们的问题表述在正则空间上，这在分析中起着重要作用。允许Ohm := Rd及其元素由x=（x，…，xd）和P表示：=P(Ohm). 自始至终，我们赋予RDS“范数|·|，即| x |：=Pdi=1 | xi |”。定义∧为Rdand上Lipschitz函数的空间，给定f∈ ∧，用Lip（f）表示其在Rd上的Lipschitz常数。对于每个L>0，设∧L 带Lip（f）的函数f的∧bethe子空间≤ 五十、我们考虑坐标过程（Sk）1≤k≤N、即Sk（x，…，xN）：=所有（x，…，xN）的xk∈ OhmN、及其自然过滤（Fk）1≤k≤N、即Fk：=σ（S，…，Sk）。从财务角度来看，OhmNModel收集d股价格演变的所有可能的主要因素，其中N是交易日期数。给定概率度量向量u=（uk）1≤k≤N∈ 请注意，请定义transportimsart aap版本集。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：1994年4月8日边际分布为u，…，的MOT问题的计算方法，uNbyP（u）：=nP∈ POhmN: PoS-1k=uk，对于k=1，否，其中Po S-1K表示P通过map Sk向前推：OhmN→ Ohm. 特别是u和ν之间的塞尔斯坦距离（1阶）∈ P由w（u，ν）给出：=infP∈P（u，ν）EPS- S= supf公司∈ΛZRdf（x）u（dx）-ZRdf（x）ν（dx）,（4）其中第二个等式紧随着坎托洛维奇的二重性。我们记得，配备了度量值W的P是一个波兰空格。此外，对于任何（un）n≥1. P和u∈ P、 W（un，u）→ 0当且仅当unL时有效-→ u和ZrD | x |un（dx）-→ZRd | x |u（dx），其中L表示概率测度的弱收敛性，有关详细信息，请参阅拉契夫和R¨uschendorf的专著【39】。为了便于我们在续集中进行分析，我们将PNW与产品指标W⊕由W定义⊕（u，ν）：=PNk=1W（uk，νk），对于所有u，ν∈ 请注意。因此，PNis对W进行抛光⊕.

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kedemingshi

2022-6-1 14:50:44

我们通过列出下面使用的一些符号来结束本文的介绍。标记。o0 := (0, . . . , 0), 1 := (1, . . . , 1) ∈ 为了强调一维情况，我们写下≡ x和Sk≡ 对于d=1，请参见第3.3节L(OhmkRd）是来自Ohmkto路用L表示∞(OhmkRd）L(OhmkRd）（一致）有界函数的子集，以及Cb(OhmkRd） L∞(OhmkRd）连续有界函数的子集。o为了简单起见，只要上下文清楚，我们就采用以下缩写：Zfdu≡ZRdf（x）u（dx），（pi，…，iN）≡ （pi，…，iN）i∈我在里面∈年，Xi，。。。，在里面≡xi∈我在里面∈在中。2、主要结果。我们的计算方法依赖于OREM 2.2中所述的收敛结果。为了引入结果，我们需要ε的概念-近似鞅测度。定义2.1。对于任何ε≥ 0，概率测度P∈ POhmN被称为ε-近似鞅测度，如果每个k=1，N- 1英里/小时EP公司Sk+1Fk公司- Sk公司我≤ ε、（5）或等效地，根据单调类定理，EPh（S，…，Sk）·（Sk+1- Sk）≤ εkhk∞, 对于所有h∈ Cb公司(OhmkRd），（6）其中khk∞:= 最大值kh（1）k∞, . . . , kh（d）k∞和kh（i）k∞:= sup（x，…，xk）∈Ohmkh（i）（x，…，xk）对于i=1，d、 imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法5Givenε≥ 0，设Mε（u） P（u）是包含所有ε的子集-近似鞅测度。那么Mε（u）是凸的，并且相对于弱拓扑闭合（6），并且是紧致的。对于可测量函数c：OhmN→ R、松弛的MOT问题由pε（u）：=supP定义∈Mε（u）EPc（S，…，SN）,（7）其中，我们根据约定Pε（u）：=-∞ 每当Mε（u）=. 用P进一步表示ε Pn测量值u的集合，使得Mε（u）6=. 我们注意到∈ M（u）是阿马丁格尔度量，即。

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2022-6-1 14:50:47

（Sk）1≤k≤Nis是P下的鞅，P（u）是MOT问题。在本文的其余部分，为了简单起见，我们在ε=0时删除下标ε，例如P≡ P,M（u）≡ M（u），P（u）≡ P（u）等。如前所述，一旦边缘uk单位支持k=1，…，P（u）将减少为LP问题，N、现在，我们将这一观察结果与适当放松马丁格尔约束相结合，以获得计算P（u）的统一框架。定理2.2。固定u∈ P. Let（un）n≥1. PNbe在W下收敛到u的序列⊕.那么，对于所有n≥ 1，un∈ Prn带rn：=W⊕（un，u）。假设进一步的c是Lipschitz。（i）对于任意序列（εn）n≥1接近于零，使得εn≥ RN适用于所有n≥ 1，一个haslimn→∞Pεn（un）=P（u）。（ii）对于每个n≥ 1，Pεn（un）允许优化器Pn∈ Mεn（un），即Pεn（un）=EPn【c】。序列（Pn）n≥1很紧，每个极限点都必须是P（u）的优化器。特别是，（Pn）n≥只要P（u）有唯一的优化器，1就会弱收敛。备注2.3。（i）根据Strassen定理【42】，u∈ P当且仅当uk uk+1工作=1，N- 1，即Rfduk≤Rfduk+1适用于所有凸函数f∈ ∧和k=1，N- 1、此外，定义如下：ε PNis凸闭Dunder W⊕, 和M（u） Mε（u）表示所有ε≥ 0.（ii）如前所述，一个自然的想法是尝试用P（u）乘以P（un），并使用完全支持的度量值un，unn因为后者相当于LP问题。对于classicalOT，优化问题对u的连续依赖性可以从原始问题或其对偶公式中推导出来。然而，附加的鞅约束意味着通常的OT参数不再有效。u7的连续性→ P（u）通常是一个悬而未决的问题。对于d=1，部分结果如【33】所示，我们将其扩展到下面的位置4.7。

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2022-6-1 14:50:50

此外，必须考虑合适的近似值，见第4.2节，以确保M（un）非空。这将涉及到d>1。定理2.2表明，进一步放松鞅约束可以避免这两个问题，并建立所需的收敛结果。我们还注意到，距离Rn不接受闭式表达式，其数值估计可能代价高昂。由于Theorem2.2，我们可以在实践中使用任何上界εn≥ RN收敛到零。（iii）最后，我们指出Lipschitz假设可以稍微削弱。让E Rdbea闭合子集，以便supp（unk） E代表所有n≥ 1和k=1，N、然后在定理2.2中假设c，限制为EN，是Lipschitz。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：20196年4月8日MOT问题的计算方法现在表明Pεn（un）等价于LP问题。因此，由于语言的轻微滥用，我们总是将Pεn（un）称为P（u）的近似LP问题。推论2.4。设un=（unk）1≤k≤Nbe的选择应确保每个unk都有有限的支持，即unk（dx）=Xik∈Ikαkikδxkik（dx），其中Ik=1.n（k）标记支撑支撑unk. 用p表示=圆周率，。。。，在里面我∈我在里面∈在D：=πNk=1n（k）的RD+元素中，则Pεn（un）可以重写为LP问题。证据假设每个元素P∈ Mεn（un）可以通过一些p∈ RD+。因此，Pεn（un）变成了maxp下面的优化问题∈RD+Xi，。。。，iNpi，。。。，股份有限公司xixNiN公司s、 t.Xi，。。。，ik-1，ik+1，。。。，iNpi，。。。，iN=αkik，用于ik∈ Ikand k=1，N、（8）Xi，。。。，ikXik+1，。。。，iNpi，。。。，在里面xk+1ik+1- xkik公司≤ εn，对于k=1，N- 1.（8）不是LP公式，但是，通过添加松弛变量δki，。。。，ik，j我∈我ik∈Ik，j∈J∈RDk+带J：=1.

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何人来此

2022-6-1 14:50:53

dDk：=d∏kr=1n（r），（8）等价于以下LP问题：maxp∈RD+，δ∈RD+。。。，δN-1.∈RDN公司-1+Xi，。。。，iNpi，。。。，股份有限公司xixNiN公司s、 t.Xi，。。。，ik-1，ik+1，。。。，iNpi，。。。，iN=αkik，用于ik∈ Ikand k=1，N- δki，。。。，ik，j≤Xik+1，。。。，iNpi，。。。，在里面xk+1ik+1，j- xkik，j≤ δki，。。。，ik，j，用于ik∈ Ik，j∈ J和k=1，N、 Xi，。。。，ik，jδki，。。。，ik，j≤ εn，对于k=1，N- 1，我们回忆xkik的地方=xkik，1，xkik，d.在获得了一般的收敛结果之后，我们接下来讨论Pεn（un）的收敛速度问题。我们给出了实线上单步模型收敛速度的估计。据我们所知，下面的误差界是文献中的第一个。定理2.5。设N=2，d=1，或等效地，u=（u，ν）和c:R→ R、除了定理2.2的条件外，我们假设sup（x，y）∈Ryyc（x，y）< ∞ ν有一个有限的秒矩。然后存在C>0，这样Pεn（un，νn）-P（u，ν）≤ C inf>0λn（R），对于所有n≥ 1，imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法7其中λn：（0，∞) → R由λn（R）给出：=（R+1）εn+Z(-∞,-R）∪（R，∞)|y |-Rν（dy）。特别是，收敛速度与εnif supp（ν）有界成正比。我们将定理2.2和2.5的证明推迟到第4节，并在本节结束时讨论如何将定理2.2应用于解决金融中出现的其他约束OT问题。备注2.6。一般来说，分布u，un当d≥ 2、对于k=1，N、让Sk：=S（1）k，S（d）k, 式中，S（i）k代表时间k时ithstock的价格。那么，实际上，只有看涨期权的价格S（i）k- K+, orput选项K-S（i）k+, 对于一组有限的罢工，K在市场上流动可用。

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mingdashike22

2022-6-1 14:50:56

即使对所有可能的罢工K引用看涨期权，也只能得到分布uK，iofS（i）K。因此，这导致了一个改进的优化问题。表示~uk：=（uk，1，…，uk，d）和~u：=（~uk）1≤k≤N、设Mε（~u）为ε的集合-拟鞅测度psating PoS（i）k-1=uk，i，对于k=1，N和i=1，d、然后，我们用pε（~u）：=supP定义优化问题∈Mε（~u）EPc（S，…，SN）.（9） ε=0的问题（9）首先由Lim提出，并在[36]中被称为多重鞅最优运输。虽然本文重点讨论P（u）的数值计算，但我们强调定理2.2允许立即扩展到近似P（~u）。P（u）的数值格式：概率离散化。受定理2.2和推论2.4的启发，我们接下来开发了一种基于边缘分布的可测离散化计算P（u）的数值格式。关键是选择合适的序列（un）n≥1当k=1时，N，（a）uNK在有限集上受支持xkik：ik∈ Ik,（b）重量unk{xkik}可以显式计算，也可以用先验已知的精度近似计算，（c）W的上界unk，uk很容易获得。如上所述，该问题与概率度量的最佳量化密切相关，其目标是最佳逼近给定的概率度量u∈ P通过具有给定数量支撑点的离散度量。对于给定u，其nd-量化un与（xi）1相关≤我≤nd公司 Rdand（Ei）1≤我≤ndis由un（dx）定义：=Pndi=1u[Ei]δxi（dx），其中（Ei）1≤我≤ndis au-分区，即u工程安装∩Ej= 0表示所有i 6=j和u∪1.≤我≤ndEi公司= 因此，nd-u的最佳量化是inf的解决方案ndXi=1ZEix个- xiu（dx）,（10） inf接管所有（xi）1≤我≤ndandu-隔板（Ei）1≤我≤nd。

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2022-6-1 14:50:59

我们陈述了Graf和Luschgy【25】的收敛结果，另见【26，20】。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：1998年4月8日MOT问题计算方法第3.1条（Graf和Luschgy）。对于每个n≥ 1，（10）中的inf可以通过nd实现-最佳量化器（x*i） 1个≤我≤ndand（E*i） 1个≤我≤nd。Letun*成为相应的优化器，然后limn→∞nW（un*, u）存在且不确定。以下为u：=limn→∞nW（un*, u）存在nu≥ 1使W（un*, u) ≤ （Au+1）/n，对于所有n≥ nu。尽管它们在理论上很有吸引力，但在实践中，使用最佳量化器是有问题的，因为上面的关键量，例如Au和nu，通常是未知的。类似地，通常情况下，数量un*{x*i}很难精确计算或以规定的精度近似计算。为了克服这些困难，我们采用了两种不同的离散化方法，这两种方法都可以在实践中实现。我们的第一种方法，我们称之为确定性离散化，适用于给定边缘u，u在能够计算出针对它们的积分的意义上。情况就是这样，例如，当u，un已知密度函数。第二种方法称为随机离散化，适用于我们能够从边缘取样的情况。在整个第3节中，我们需要以下可积条件，它对应于电力期权的市场价格是有限的。假设3.2（θth-力矩）。存在θ>1和Mθ<∞ 因此Zrd | x |θuN（dx）≤ Mθ。注意，根据Jensen不等式，上述条件表示RRD | x |θuk（dx）≤ Mθfork=1，N、此外，每当我们考虑以下通用度量u时，我们还将假设满足假设3.2.3.1。确定性离散化。我们设计了一种简单的离散化方法，当supp（u）有界时，该方法具有与最优量化相同的渐近效率。

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kedemingshi

2022-6-1 14:51:03

我们假设u是已知的，因为概率u【E】对于所有E都是已知的∈B（Rd）。我们从这个理想的设置开始，然后考虑已知密度的情况，这允许以一定的精度计算uE。步骤1：截断。对于R>0，让BR rD表示由br定义的方框：=nx=（x，…，xd）：| xi |≤ R、对于i=1，做然后一个有x个∈ Rd：| x |≤ R BR公司x个∈ Rd：| x |≤ 博士. 取R，使u【BR】>0，并将u截断为概率度量uR（dx）：=1BR（x）u（dx）+u【BcR】δ（dx），其中BcR：=Rd\\BR。显然，BR支持uRis。考虑从u中提取的随机变量X，观察1BR（X）X是根据uR分布的。通过定义巴斯斯坦距离，我们得到了W（uR，u）≤ EBR（X）X- 十、=ZBcR | x |u（dx）≤ Mθ/Rθ-1，（11）产生limR→∞W（uR，u）=0。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法9步骤2：离散化。表示为Ohmn Rd由所有q=（q，…，qd）的元素SQ/n组成的可数子空间∈ Zd。对于每个q∈ Zd，我们用V（q/n）表示 Rd x=（x，…，xd）的子集，使得bnxc=q，即对于i=1，…，bnxic=qi，d、 a的位置∈ R、美国银行∈ Z是小于或等于a的最大整数。我们构造了一个概率度量u（n），其支持度包含在Ohmnbyu（n）{q/n}:= uV（q/n）. 然后u（n）∈ 所有f的P满意度∈ ∧，Zfdu（n）=Xq∈Zdf（q/n）u（n）{q/n}=Zf（n）du，（12），其中f（n）：Rd→ R由f（n）（x）定义：=fbnxc/n. 这意味着鉴于（4）Wu（n），u= supf公司∈ΛZfdu（n）-Zfdu≤ supf公司∈∧Zf（n）- fdu≤ d/n，其中第二个不等式为（12）。请注意，如果supp（u）是有界的，那么supp也是有界的u（n）,距离Wu（n），u为1/n级，与W（un）相同*, u).步骤3：选择参数。

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2022-6-1 14:51:06

将u替换为uRin步骤2，一个hasWu（n）R，u≤ Wu（n）R，uR+ W（uR，u）≤ d/n+Mθ/Rθ-1、根据杨氏不等式得出| a |γ+| b |θ≥ γ1/γθ1/θ| ab |对于所有a、b∈ R、其中γ>1是θ的共轭数，即1/θ+1/γ=1。分别设置a=（d/n）1/γ和b=Mθ/Rθ-1.1/θ，它认为d/n+Mθ/Rθ-1.≥ （γd）1/γ（θMθ）1/θ/（Rn）1/γ，Rθ可以达到质量-1=θMθn/γd.自supp基数u（n）R是比例（Rn）D，它决定了相应LP问题中的变量数量，设置r=Rn：=θMθn/γd1/(θ-1）得出固定计算复杂度的最佳上界，即Wu（n）Rn，u≤ γd/n。分别用ukF替换u，k=1，N，我们获得uN=（unk）1≤k≤n按照上述步骤，unk：=u（n）k，Rn。那么定理2.2 yieldslimn→∞PNγd/n（un）=P（u）。备注3.3。通常，un可能不再属于P, 即使u∈ P. 当d=1时，第4.2节给出了一个保持递增凸阶的显式离散化。在最近的平行研究中，Alfonsi等人【1】研究了构建un的方法∈ P.通过上述分析，我们可以构建近似的度量值u，并将这些值uV（q/n）已知所有q/n∈ Ohmn、这可能是可能的，例如，当u是原子时，但总的来说，我们需要讨论如何很好地近似这些值。我们这样做是为了测量密度函数，即u（dx）=ρ（x）dx。在这种情况下，对于某些xq，一个简单的点估计ρ（xq）/nd∈ V（q/n），提供接近u（n）的自然候选值{q/n}. 然而，使用定理2.2，我们需要以显式和非渐进的方式限制结果度量和u（n）之间的Wasserstein距离。如前所述，为了简单起见，我们将u截断，将R设置为整数m。

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2022-6-1 14:51:10

在上支持u（n）和▄u（n）mbeOhmn∩ b定义如下：如果0 6=q/n∈ Bm，然后是u（n）m{q/n}:=ZV（q/n）ρ（x）dx和￠u（n）m{q/n}:= ρ（xq）/nd，imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201910年4月8日MOT问题的计算方法∈ V（q/n）任意选择，u（n）m{0}:= 1.-Xq/n6=0u（n）m{q/n}和￠u（n）m{0}:= 1.-Xq/n6=0u（n）m{q/n},其中，上述总和确实为u（n）m{q/n}= u（n）m{q/n}= 0表示q/n/∈ Bm。A以上，Wu（n）m，u≤ d/n+Mθ/Mθ-1以下给出了W的上限u（n）m，u（n）m.提案3.4。假设3.2成立。假设ρ是连续的，或者说，对于每个R>0，存在κR:[0，∞) → 非递减的R，使得κR（0）=0和ρ（x）-ρ（y）≤ κR（| x- y |），对于所有x，y∈ BR。（i）如果u具有有界支撑，即supp（u） br对于某些R>0，则为新u（n）m，u≤ εn：=d/n+2dd（R+1）d+1κR+1（d/n），对于所有m≥ bRc+1。（13）（ii）如果ρ是一致连续的，即存在一个一致的κ=κrf，对于所有R>0，则u（n）m，u≤ εm，n：=d/n+mθ/mθ-1+2ddmd+1κ（d/n）。（14）（iii）如果{xq}06=q/n∈b满足度ρ（xq）≤ ρ（x）表示所有x∈ V（q/n），然后新u（n）m，u≤ τm，n：=d/n+mθ/mθ-1+inf1≤j≤mnddjd+1κj（d/n）+4Mθ/jθ-1o。（15）证明。在条件（i）下，一个具有u=umas m≥ bRc+1，因此Wu（n）m，u=Wu（n）m，um≤ d/n.注释也支持u（n）m, 支持u（n）m BbRc+1定义。对于任何f∈ ∧，它适用于m≥ bRc+1Zfd？u（n）m-Zfdu（n）m=X06=q/n∈BbRc+1f（q/n）ZV（q/n）ρ（x）-ρ（xq）dx公司≤X06=q/n∈BbRc+1 | q/n | ZV（q/n）κR+1（d/n）dx≤ 2dd（R+1）d+1κR+1（d/n），产生Wu（n）m，u（n）m≤ 2dd（R+1）d+1κR+1（d/n），进一步（13）。至于（ii），我们推断u（n）m，u（n）m≤ 2ddmd+1κ（d/n），使用相同的Bm参数，从而获得（14）。或者，假设第三个条件成立。

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2022-6-1 14:51:24

对于每个整数1≤ j≤ m、一个有Zfd？u（n）m-Zfdu（n）m≤X06=q/n∈Bj | q/n | ZV（q/n）ρ（x）-ρ（xq）dx公司+Xq/n∈Bm\\Bj | q/n | ZV（q/n）ρ（x）-ρ（xq）dx公司≤ 2ddjd+1κj（d/n）+2ZBcjd+| x|ρ（x）dx≤ 2ddjd+1κj（d/n）+4Mθ/jθ-1、因此Wu（n）m，u（n）m≤ inf1≤j≤m级ddjd+1κj（d/n）+4Mθ/jθ-1.导出了和（15）。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法11通过简单的计算，一个具有limm→∞画→∞εm，n=limm→∞画→∞τm，n=0。因此，存在合适的序列（mn）n≥1和（nm）m≥1，这样Limn→∞εmn，n=limn→∞τmn，n=0和limm→∞εm，nm=limm→∞τm，nm=0。请注意，前面的选项mn：=bRnc可能不会产生limn→∞εbRnc，n=limn→∞τbRnc，n=0，这些序列必须根据ρ计算。然而，如果ρ为L-Lipschitz，则有εm，n=d/n+mθ/mθ-1+2dmdmd+1L/n，我们推断取（mn）n是必要的≥1或（nm）m≥1如此限制→∞md+1n/n=0或limm→∞md+1/nm=0。将所有内容放在一起，分别取ukin代替u，表示k=1，N、上述程序产生一个测量向量|u（N）m=u（n）k，m1.≤k≤N、在命题3.4的条件下，我们有limn→∞PNεmn，nu（n）mn= 画→∞PNτmn，nu（n）mn= P（u）或limm→∞PNεm，nmu（nm）m= limm公司→∞PNτm，nmu（nm）m= P（u）。3.2. 随机离散化。我们现在考虑一种不同的离散化程序，该程序适用于有一个黑箱根据u生成独立随机变量的情况。提供i.i.d.u序列-分布随机变量（Xn）n≥1，定义经验测量值μnbyμn（dx）：=nXi=1nδXi（dx）。定义^u是一个随机度量，并遵循Glivenko-Cantelli定理，参见Fournier和Guillin[22]，limn→∞W（un，u）=0几乎可以肯定，limn→∞EW（un，u）=0.通过将u替换为ukF，构建随机度量值^unk，对于k=1，N并设置^uN：=（^unk）1≤k≤N

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2022-6-1 14:51:29

与定理2.2相比，我们现在得到了一个随机收敛结果。提案3.5。让定理2.2的条件成立。给定序列（εm）m≥1.(0, ∞) 收敛到零，一个有limm→∞画→∞Pεm（un）=P（u）几乎可以肯定。此外，对于任何子序列（^nm）m≥1这样的下午≥1E级W⊕（μm，u）/εm<∞, 几乎可以肯定→∞Pεm（uunm）=P（u）。证据对于每个固定的εm>0，一个具有以下推论4.3的不等式Pεm（μun）-P（u）≤ Lip（c）εm+P2εm（u）-P（u）每当W⊕（un，u）≤ εm，（16）其中，我们记得Lip（c）是c的Lipschitz常数。应用Glivenko-Cantelli定理，可以得到limn→∞Pεm（μun）-P（u）≤ Lip（c）εm+P2εm（u）-P（u）=：δ最大值。利用命题4.4，我们得到了limm→∞P2εm（u）=P（u），第一个断言的ConvergencerResult如下。对于任何δ>0，存在mδ，使得εm≤ 所有m的δ≥ mδ。在语句中使用^nma，我们有xm≥mδPhPεm（^u^nm）-P（u）> δi≤Xm公司≥mδPhW⊕^^nm，u> εmi≤Xm公司≥mδEW⊕（μm，u）/εm，根据Borel-Cantelli引理，意味着limm→∞Pεm（^unm）=P（u）几乎可以肯定。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201912年4月8日。MOT问题的计算方法。确切地说，如果εm>0，则必须关注LP问题Pεm（μun），以便⊕（un，u）≤ εmoccurs具有高概率。为此，为了选择合适的序列（εm）m≥1和（^nm）m≥1，我们需要量化EW⊕（un，u）. 幸运的是，文献[22]中的定理1在假设3.2下提供了这样的估计，尽管省略了一些情况，例如d=1、2和θ=2。为了完整性，我们将所有情况都考虑在内，将此结果表述为引理3.6。引理3.6（[22]）。假设3.2成立。

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2022-6-1 14:51:32

存在C（θ，d）>0，使得EW⊕un，u≤χ（n）表示所有n≥ 1，式中χ（n）：=NC（θ，d）n1/θ-1如果d=1且1<θ<2，（1+对数n）n-1/2如果d=1，θ=2，n-1/2如果d=1且θ>2，n1/θ-1如果d=2且1<θ<2，1+（对数n）n-1/2如果d=2，θ=2，（1+对数n）n-1/2如果d=2且θ>2，n1/θ-1如果d≥ 3和1<θ<d/（d- 1），（1+对数n）n-1/dif d≥ 3和θ=d/（d- 1），n-1/dif d≥ 3和θ>d/（d-1).因此，一个人有PW⊕un，u> εm≤ χ（n）/εm。我们注意到，常数C（θ，d）在[22]中没有明确规定。为了实现我们的方案，我们需要确定^nmand，为此，我们必须显式地计算C（θ，d）。这是可能的，主要遵循了[22]中的论点，但冗长乏味，推迟到附录A。3.3. 数值示例。我们现在讨论一些具体的MOT问题，以说明定理2.2以及我们的离散化方案是如何应用的。我们的大多数示例都提供了一个封闭形式的优化器或其分析特性，这允许我们验证数值结果。我们记得，对于d=1，我们只写x=x和Sk=Sk。示例3.7。Beiglb¨ock和Juillet在[5]一个特殊问题中研究了N=2，d=1，c（x，y）=h（x- y），其中h:R→ R有一个严格的凸导数。Let（u，ν）∈ P. [5]的定理1.7表明，如果u有密度ρ，则存在两个可测函数ξ±：R→ 使唯一优化器P*∈ ξ±上支持P（u，ν）的M（u，ν），即P*（dx，dy）=u（dx）x个-ξ-（x） ξ+（x）-ξ-（x） Δξ+（x）（dy）+ξ+（x）-xξ+（x）-ξ-（x） Δξ-（x）（dy）,式中ξ-（十）≤ x个≤ ξ+（x），ξ+（x）<ξ+（x）和ξ-（十）/∈ξ-（x），ξ+（x）对于所有x，x∈ R，x<x。我们想用数值说明上述结果。设ρ是由ρ（x）定义的截断伽玛函数：=1[0,1]（x）x3/2e-x/C，其中C：=Zx3/2e-xdx>1/5。imsart aap版本。

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2022-6-1 14:51:35

2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法13下一步构造ν（dx）=σ（y）dy byσ（y）：=ρ（y/2）/6+4ρ（2y）/3=1[0,2]（y）（y/2）3/2e-y/2/C+1[0,1/2]（y）（2y）3/2e-2年/年。根据结构，一个具有（u，ν）∈ P, supp（u）=[0，1]和supp（ν）=[0，2]。此外，可以验证ρ和σ是L-L=7的supp（u）和supp（ν）上的Lipschitz。将第3.1节的分解应用于u和ν，我们得到了|u（n）和|ν（n），支持识别号：0≤ i<n和电话：0≤ j<2n, 定义为u（n）识别号（i/n）:=(1 -Pn编号-1k=1ρ（xk）/n如果i=0，ρ（xi）/n如果1≤ i<n，￠ν（n）日本/日本:=(1 -P2n-1k=1σ（yk）/n如果j=0，σ（yj）/n如果1≤ j<2n，其中xi∈识别号，（识别号+1）/识别号和yj∈j/n，（j+1）/n对于i=1，n-1和j=1，2n个-1、根据命题3.4，W⊕（|u（n），|ν（n）），（u，ν）≤ （3L+2）/n=：εn。那么相应的LP问题如下：max（pi，j）∈R2n+n-1Xi=02n-1Xj=0pi，jh（一）-j） /不适用s、 t.2n-1Xj=0pi，j=αni，对于i=0，n- 1，n-1Xi=0pi，j=βnj，对于j=0，2n个-1，n-1Xi=02n个-1Xj=0pi，jj/n-αnii/n≤ εn，式中αni：=u（n）识别号（i/n）和βnj：=￠ν（n）日本/日本. 以h（x）：=ex为例，我们使用Gurobi solver解决了LP问题，结果如图1所示。左侧窗格显示值图1。计算，例如3.7。第一个窗格显示10的值Pεn（|u（n），|ν（n））≤ n≤ 第二个窗格绘制n=100时优化器的热图。Pεn（|u（n），|ν（n））10≤ n≤ 200，这在数值上显示了Pεn（|u（n），|ν（n））的收敛性。右侧窗格显示优化器的热图（p*i、 j）对于n=100。我们看到theimsart aap版本。

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2022-6-1 14:51:38

2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201914年4月8日MOT问题的计算方法严格正权重p*i、 jare集中在满足上述ξ±条件的两条曲线周围。为了进行比较，我们现在采用第3.2节中开发的随机离散化。Wesample，使用接受-拒绝算法，两个i.i.d.随机变量序列（Xi）1≤我≤nand（Yj）1≤j≤nfromu和ν。设X和Y是两个集合，分别包含xind Yj取的所有值，我们用X重新标记X和Y：=十、 X，···，X#X安迪：=Y、 Y，···，Y#Y, 其中#X，#Y≤ n表示X和Y的基数。进一步定义un（dx）：=P#Xi=1^αniδXi（dx）和νn（dy）：=P#Yj=1^βniδYj（dy），其中^αni：=#xin对于i=1#X和^βnj：=#yjn对于j=1#Y、 Xi：=Xk公司∈ X:Xk=Xi和Yj：=Xk公司∈ Y：Xk=Yj. LP问题Pεm（μun，μνn）由max（pi，j）给出∈R#X#Y+#XXi=1#YXj=1pi，jh（Xi- Yj）s.t.#YXj=1pi，j=αni，对于i=1#十、 #XXi=1pi，j=βnj，对于j=1#Y、 #XXi=1#YXj=1pi，jYj- α-尼克西≤ εm。注意，ν允许一个有限θth-力矩θ>1。θ=3时，χ（n）=2C（3，1）n-其中C（3，1）在命题3.6中定义。我们设置^nm：=bmrc，以便PM≥1χ（^nm）/εm<∞ 当r>4时，因此limm→∞Pεm（^u^nm，^ν^nm）=P（u，ν）最稳定。取r=4.1，计算Pεm（^u^nm，^ν^nm），结果如图2所示。左窗格中的蓝线显示Pεm（^u^nm，^ν^nm）在m中的收敛，而红色图2。计算，例如3.7。第一个窗格显示10的值Pεm（^u^nm，^ν^nm）（虚线）≤m级≤ 第二个窗格绘制m=100时优化器的热图。线条再现了图1第一个窗格中Pεm（|u（m），|ν（m））的收敛性。而随机离散化对于小m显示出一些不稳定性，对于m≥ 50我们发现这两条线非常接近。

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2022-6-1 14:51:42

我们注意到，对于相同的εm，Pεm（|u（m），|ν（m））的变量数为。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法15与Mw成正比，而其顺序为m2r m对于Pεm（^u^nm，^ν^nm）。在右侧窗格中，绘制了m=100的优化器的热图，并与图1的热图非常匹配。示例3.8。受模型独立定价的激励，我们考虑了一个有三个交易日期的股票，即N=3和d=1。我们采用Black-Scholes模型，即uk（dx）=ρk（x）dx，ρk（x）：=1（0，∞)（x）经验值- （对数（x）+2k-4)k-2.x个√k-2π，对于k=1，2，3，考虑回溯和亚式选项，即c（x，y，z）：=max（x，y，z）- z和c（x，y，z）：=（x+y+z）/3-λz+带λ≥ 注意，所有ρkare L-L=12的R上的Lipschitz，且具有有限θ-Zr | x |θρk（x）dx时所有θ>1的力矩≤ZR | x |θρ（x）dx=eθ（θ-1） =：Mθ。由于所有ukhave无界支持，我们采用第3.1节中的完整近似程序。设￠u（n）k，上支持mbe识别号：0≤ i<mn, 定义为u（n）k，m识别号（i/n）:=(1 -Pmn公司-1j=1ρk（xk，j）/n如果i=0，ρk（xk，i）/n如果1≤ i<mn，其中xk，i：=argminx∈[i/n，（i+1）/n]ρk（x），对于i=1，明尼苏达州- 1、命题3.4意味着W⊕（▄u（n）1，m，▄u（n）2，m，▄u（n）3，m），（u，u，u）≤ 3.1/n+Mθ/Mθ-1+inf1≤j≤mn2jL/n+4Mθ/jθ-1个.取j=m=mn：=bn（θ- 1） Mθ/升1/（θ+1）c，设定unk：=°u（n）k，mn，一个hasW⊕（un，un，un），（u，u，u）≤ 3.1/n+Mθ/Mθ-1n+2mnL/n+4Mθ/mθ-1n:= εn，其中limn→∞εn=0。图3给出了与上述离散化相对应的回望和亚式期权（λ=2）LP问题的数值解。在图4中，我们展示了n=100时分别在（S，S）和（S，S）上投影的优化器的热图。上面的两个窗格用于Lookback选项，其中S上的条件涉及两个值，而S上的条件涉及最多四个值。

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2022-6-1 14:51:45

以下两个窗格用于亚洲选项。似乎（S，S）集中在水侧多边形的边界上，而（S，S）集中在两个不相交的四边形的边界上。示例3.9。最近，研究了一般维度上MOT问题的几何结构，参见[37，38，19]。我们在这里提供了二维数值证据，这使我们对[37]中的猜想2产生了怀疑。取N=d=2和c（x，y）：=-p（x- y） +（x- y）对于所有x=（x，x），y=（y，y）∈ R、给定（u，ν）∈ P, 假设如下：如果u在R上允许密度，那么P的支持度*对于u-a.e.x，x最多包含三个点∈ R、其中P*∈ M（u，ν）是P（u，ν）和（P）的优化器*x） x个∈Ris为常规条件。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201916年4月8日MOT问题的计算方法图3。计算，例如3.8。这两个窗格显示10的值Pεn（un，un，un）≤ n≤ 左窗格代表回溯选项，右窗格代表亚洲选项。P的分解*关于u。设u（dx）=ρ（x）dx和ν（dy）=σ（y）dy由ρ（x）：=1确定[-1,1]（x）/4和σ（y）：=2-y[1,2]×[-1,1]（y）+2+y[-2.-1]×[-1,1]（y）+2-y型[-1,1]×[1,2]（y）+2+y[-1,1]×[-2.-1] （y）。注意，u，ν具有有界支撑，可以显式计算第3.1节的确定性离散化u（n）和ν（n）。我们得到，u（n）（识别号，j/n）= 1/4Nsi，j=-nn-1，对于i，j=-2n，2n个-1，ν（n）（识别号，j/n）=（4n+2i+1）/8nif- 2n个≤ 我≤ -n- 1.- n≤ j≤ n- 1，（4n+2j+1）/8nif- n≤ 我≤ n- 1.- 2n个≤ j≤ -n- 1，（4n-2j- 1） /8nif- n≤ 我≤ n- 1，n≤ j≤ 2n个- 1，（4n-2i- 1） /8nif n≤ 我≤ 2n个- 1.- n≤ j≤ n- 否则为1,0。εn：=4/n≥ W⊕（u（n），ν（n）），（u，ν）, 我们得到了LP问题Pεn（u（n），ν（n））。为了进行比较，我们还考虑了基于随机离散化的近似。

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2022-6-1 14:51:48

在例3.7中，我们表示相应的经验测度和lp问题的Pεm（μn，μνn）。因为ν有一个有界支撑，其中C（3，2）在命题3.6中定义，单相W⊕（un，νn），（u，ν）≤ 2C（3，2）（1+对数n）n-1/2=：χ（n）。设置^nm：=bmrc，r=4.1，一个hasPm≥1χ（^nm）/εm<∞ 和limm→∞Pεm（u，νnm）=P（u，ν）。通过求解Pεn（u（n），ν（n））和Pεm（^^nm，^νnm），将这些值绘制在图5中，其中说明了收敛性。注意，Pεm（uunm，νnm）的复杂度为m2r阶，与实施例3.7中相同，然而Pεn（u（n），ν（n））的复杂度为nw阶，其为一维情况下的平方。在图6中，我们绘制了在S（1）、S（2）、S（1）, 我们回忆起S=S（1），S（2）和S=S（1），S（2）. Asu和ν由映射R3（x，y）7保持不变→ （y，x）∈ R、 imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法17图4。计算，例如3.8。这四个窗格显示了n=100时优化器在（S，S）和（S，S）上投影的热图。前两个对应于回溯选项，下两个对应于亚式选项。S（1）、S（2）、S（1）和S（2）、S（1）、S（2）在优化器下在法律上无法区分。红色突出显示的区域对应于转换为三个以上点的值。这些显然具有正质量，与[37]中的猜想2i不一致。示例3.10。为了证明我们方法的普遍性，我们在最后一个例子中考虑了R中的一个MOT问题，即N=2，d=3。设c（x，y）：=Pi=1λi | xi- 彝族|- K+对于所有x=（x，x，x），y=（y，y，y）∈ R、其中K>0，λi≥ 0和pi=1λi=1。这里，Cre给出了一个篮子期权的支付，该篮子期权写在三个具有K点的远期启动期权上。我们构造了（u，ν）∈ P按以下方式。

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2022-6-1 14:51:51

设ρ：R→ [0, ∞) 成为L-具有有限θ的Lipschitz密度函数-一些θ>1的力矩，表示u（dx）=ρ（x）dx。我们将下一个ν定义为u与标准正态分布的卷积，即ν（dy）=σ（y）dy，其中σ（y）：=ZRρ（y- x）（2π）3/2exp-x+x+x！dx。那么σ是L-Lipschitz和νincludes finiteθ-片刻我们现在处于与示例3.8相同的条件下。取λ=1/2，λ=1/3，λ=1/6，K=1，ρ（x）：=1[-1,1]（x）| x |+| xx | C（1+x+2x+3x），其中C：=Z[-1,1]| x |+| xx | 1+x+2x+3xdx，imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201918年4月8日MOT问题的计算方法图5。计算，例如3.9。左窗格显示10的Pεn（u（n），ν（n））值≤ n≤ 200，右窗格显示10的值Pεm（^u^nm，^ν^nm）（虚线）≤ m级≤ 200图6。计算，例如3.9。左侧窗格显示优化器的热图S（1）、S（2）、S（1）对于n=100，右窗格显示预测的优化器的热图S（1）、S（2）、S（1）对于m=100。其中一个具有L=7/C和进一步的Zr | y |σ（y）dy≤C+√2π:= Mandχ（n）：=2C（2，3）n-其中C（2，3）在命题3.6中给出。我们执行与示例3.8相同的离散化程序，确定性的离散化程序和随机的离散化程序与示例3.7和3.9相同，并解决相应的LP问题。结果值函数如图7.4所示。校样。第4节致力于定理2.2和2.5的证明。与通常的MOT类似，松弛问题Pε（u）允许byDε（u）给出的对偶公式：=inf（H，ψ）∈Dε“NXk=1Zψkduk#），（17），其中H是F的集合-适应过程H=（Hk）1≤k≤N-1以Rd计算价值，即Hk∈L∞(OhmkRd）对于k=1，N- 1和Dε H×λndentes成对的集合H=imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题的计算方法19图7。计算，例如3.10。

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2022-6-1 14:51:55

左窗格显示10的值Pεn（un，νn）≤ n≤ 220，右窗格显示10的值Pεm（^u^nm，^ν^nm）（虚线）≤ m级≤ 220.（香港）1≤k≤N-1，ψ=（ψk）1≤k≤N对于（x，…，xN）∈ OhmNN型-1Xk=1Xk（x，…，xk）·（xk+1- xk）-εN-1Xk=1HKK∞+NXk=1ψk（xk）≥ c（x，…，xN）。（18）回想一下，Mε（u） P（u）是凸面且紧凑的。最小-最大理论的应用允许在下面的定理4.1中建立（7）和（17）之间的Kantorovich对偶。该公式在很大程度上重复了[4]中的推理，其中结果显示为ε=0，但它仍包含在附录A中。定理4.1。Letu∈ Pε. 如果c是线性增长的上半连续的，则存在一个优化因子P*对于Pε（u），即P*∈ Mε（u）和Pε（u）=EP*[c] 。此外，存在节点间隙，即Pε（u）=Dε（u）。对于ε=0，（18）的左侧表示通过在基础资产中动态交易和在一系列普通期权中静态交易来实现支付的超级复制。更准确地说，Hk（S，…，Sk）表示交易员在k时持有的股份数量。Vanilla期权允许持有人在k时收到等于ψk（Sk）的现金流，k=1，N、其市场价格为ψk相对于uk的积分，其中u，un呈现S、…、的市场隐含分布，序号：。当d=1时，正如Breedenand Litzenberger[10]所观察到的那样，ukare是根据观察到的所有可能罢工的认购/卖出期权价格唯一确定的。因此，（17）右侧括号中的表达式表示采用超边缘策略的成本（H，ψ），D（u）等于c.4.1中的最小超边缘价格。松弛MOT问题的收敛性。定理2.2表明，P（u）可以通过考虑一系列放松的MOT问题来近似，这为我们提出的解决MOT问题的方案提供了主要见解。

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2022-6-1 14:51:59

定理2.2的证明分为推论4.3、命题4.4和引理4.5的证明。提案4.2。Letu∈ Pε. 那么对于任何ν∈ PN，一个有ν∈ Pε+r，r=W⊕(u, ν). 如果我们另外假设c是Lipschitz，Lipschitz常数为Lip（c），那么pε（u）≤ Pε+r（ν）+Lip（c）r.imsart-aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：201920年4月8日MOT问题的计算方法Proof。设置rk：=W（uk，νk），对于k=1，N其中一个定义为r=PNk=1rk。取任意P∈ Mε（u）。从斯科罗霍德（Skorokhod）[41]的定理1可以看出，存在一个放大的概率空间（E，E，Q），它支持随机变量xk和k=1，…，在rdk中的zktakingvalue，N这样Qo（X，…，XN）-1=P，Z，ZNand（X，…，XN）相互独立，QoZ-1k是Rd上的标准正态分布，对于k=1，N、对于k=1，N、设Pk为实现ukandνk之间的Wasserstein距离的最优运输计划，即Pk∈ P（uk，νk）和rk=EPkS-S. 引理A.1中存在可测量函数fk：Ohm→ Rd使Qo （Xk，Yk）-1=pk，Yk：=fk（Xk，Zk），对于k=1，N、尤其是Qo Y-1k=νk。此外，一个人拥有所有∈ Cb公司Ohmk研发部均衡器h（Y，…，Yk）·（Yk+1- Yk）= 均衡器h（Y，…，Yk）·（Yk+1- Xk+1）+ 均衡器h（Y，…，Yk）·（Xk+1- Xk）+均衡器h（Y，…，Yk）·（Xk）- Yk）≤ （rk+rk+1）khk∞+ EQhhf（X，Z），fk（Xk，Zk）·Xk+1- Xk公司i=（rk+rk+1）khk∞+ZOhmkEP公司h类f（S，x），fk（Sk，xk）· （Sk+1- Sk）Nk（dx，…，dxk）≤ （ε+r）khk∞,式中，Nk表示Z的联合分布，Zk。因此，EPh（S，…，Sk）·（Sk+1-Sk）≤ （ε+r）khk∞保持所有h∈ Cb公司Ohmk研发部, 其中P：=Qo （Y，…，YN）-根据单调类定理，这等价于phEP公司Sk+1Fk公司- Sk公司我≤ ε+r。因此，P∈ Mε+r（ν）和ν∈ Pε+r。要总结证明，请注意EPc（S，…）。

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2022-6-1 14:52:02

，序号）- Pε+r（ν）≤ EP公司c（S，…，SN）- EP公司c（S，…，SN）= 均衡器c（X，…，XN）-c（Y，…，YN）≤ 唇（c）NXk=1EQXk公司- Yk公司= Lip（c）r，产生Pε（u）≤ Pε+r（ν）+Lip（c）r，因为P∈ Mε（u）是任意的。因此，下面的推论立即出现。推论4.3。Let（un）n≥1和（εn）n≥1be定理2.2中的序列。THNP（u）≤ Pεn（un）+Lip（c）εn≤ P2εn（u）+2Lip（c）εn，对于所有n≥ 1.证明。取ε=0，ν=u，r=rn，则有P（u）≤ Prn（un）+Lip（c）rn≤Pεn（un）+Lip（c）εn，其中Prn（un）≤ Pεn（un）后接定义。第二个不等式具有相同的参数，但交换u和un.imsart-aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：2019年4月8日MOT问题21的计算方法为了完成定理2.2的证明，仍然需要显示P2εn（u）→ P（u）为n→ ∞.提案4.4。让c成为Lipschitz。（i）对于每个固定ε≥ 0，地图Pε3 u 7→ Pε（u）∈ R在W下为上半连续⊕.（ii）对于每个固定u∈ P, 地图[0，∞) 3 ε 7→ Pε（u）∈ R是非递减的、连续的和凹的。在证明命题4.4之前，让我们注意到，它与推论4.3和引理4.5一起，立即证明了我们的主要结果：定理2.2的证明。（i）我们有Mεn（un）6= 来自提案4.2。推论4.3产量-Lip（c）εn≤ Pεn（un）- P（u）≤P2εn（u）- P（u）+ 所有n的边缘（c）ε≥ 1，命题4.4给出了limn→∞Pεn（un）=P（u）。（ii）根据定理4.1，我们知道所有n的优化器pn的存在性≥ 1、作为Pn∈ Mεn（un）P（un），引理4.5得出，（Pn）n≥1很紧，每个极限点必须小于P（u）。取任意收敛子序列（Pnk）k≥1带极限P，然后是P∈ P（u）。重复命题4.4（i）的证明，可以推断P∈ 因此，M（u）和P是P（u）的最佳值。

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kedemingshi

2022-6-1 14:52:06

如果P（u）有唯一的优化器，则（Pn）n的每个收敛子序列≥1具有相同的限值，表明（Pn）n≥1弱收敛为P(OhmN）是波兰人。命题4.4的证明。（i）我们建立了一个稍微强大的财产。取两个序列（εn）n≥1. [0, ∞) 和（un）n≥1. Pεn，限值为ε和u。让Pn∈ Mεn（un）满足lim supn→∞Pεn（un）=lim supn→∞EPn公司c（S，…，SN）. 在传递到子序列之前，我们可以假设lim supn→∞EPn【c】=limn→∞EPn[c]，并进一步通过引理4.5得出（Pn）n≥1在瓦瑟斯坦意义上收敛到某个极限P∈ P（u）。对于每k=1，N- 1和h∈ Cb公司(Ohmk一个有EPnh（S，…，Sk）·（Sk+1-Sk）≤ εnkhk∞适用于所有n≥ 1和此后的限制措施，这意味着P∈ Mε（u）。同样，c的Lipschitz连续性给出了Slim-supn→∞Pεn（un）=limn→∞EPn公司c（S，…，SN）= EP公司c（S，…，SN）≤ Pε（u）。（ii）我们首先证明凹度。给定ε，ε≥ 0和α∈ [0，1]，仍需显示（1-α） Pε（u）+αPε（u）≤ Pεα（u），其中εα：=（1- α)ε + αε. 这确实源于以下事实（1- α） P+αP∈ Mεα（u）表示所有P∈ Mε（u）和P∈ Mε（u）。特别是，映射限制为（0，∞) 是连续的。最后，根据上面（i）中的推理，un=u，εn→ 0，给出limn→∞Pεn（u）=P（u），这与明显的反向不等式相结合，在ε=0时产生正确的连续性。引理4.5。Let（un）n≥1. PNbe收敛到u的序列∈ PNW以下⊕, 和PN∈ 所有n的P（un）≥ 1、则存在子序列（Pnk）k≥1在P上的Wassersteinmetric中进行连接(OhmN）其极限P为P（u）。证据使用compact ER：=（x，…，xN）∈ OhmN： | xk |≤ R、对于k=1，N. OnehasPn[电子病历]≤NXk=1ZRd[R，∞)（| x |）unk（dx）≤Rsupn≥1（NXk=1ZRd | x |unk（dx））。imsart aap版本。2014年10月16日文件：数字MOT\\U修订版。tex日期：1922年4月8日MOT问题的计算方法Further，W下的收敛性⊕暗示Limn→∞ZRd | x |unk（dx）=ZRd | x |uk（dx），对于k=1。

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