Volterra型分数阶随机变量的大偏差原理

2022-6-1 15:29:42

（5）在（4）和（5）中，函数χ{s<t}定义如下：χ{s<t}=（1，如果0≤ s<t<∞否则，当数字cH>0是由cH=vuut2HΓ给定的规范化常数时- HΓH类+Γ(2 -2H）。它来自（3）茅草（t，s）=ZTKH（t，u）KH（s，u）du。（6）（3）中的Volterra型表示被称为BH的Molˇcan Golosov表示（见[61]，第135页）。更多详细信息和解释见【16、63、25】。备注1。如果H=，则过程bh是标准布朗运动。更精确地说，B=B。在这种情况下，对于所有0，K（t，s）=1≤ s≤ t型≤ T、注意，公式（5）适用于h=。Riemann-Liouville分数布朗运动：对于0<H<1，Riemann-Liouville分数布朗运动定义为ht=Γ（H+）Zt（t-s） H类-dBs，t≥ 0。（7）该随机过程由L'evy在[52]中引入。（7）中的过程比分数布朗运动简单。然而，Riemann-Liouville分数布朗运动的增量缺乏平稳性。关于Rh过程的更多信息可以在[56，65]分数Ornstein-Uhlenbeck过程中找到：对于0<H<1且a>0，分数OrnsteinUhlenbeck过程由UHT=Zte给出-a（t-s）胸径，t≥ 0（8）（见[9，46]）。（8）中出现的随机积分可以使用分部积分公式和随机Fubini定理来定义。此给定值为BHt- 阿兹特-a（t-s） BHsds（例如，见【9】中的提案A.1）。因此，UHt=ZtbKH（t，s）dBs，0≤ t型≤ T、（9）其中bkh（T，s）=KH（T，s）- 阿兹策-a（t-u） KH（美国）du，0≤ s<t≤ T、（10）回想一下，我们用KH表示与分数布朗运动相关的核（参见（4）和（5））。公式（9）提供了过程UH的Volterra类型表示，而functionbKHin（10）是与UH相关的Volterra类型内核。我们的下一个目标是简要介绍分数随机波动率模型。

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2022-6-1 15:29:45

Comte和Renault的论文【13】中介绍了第一个具有随机波动性的连续时间分数模型。在文献[13]中，σ（x）=exandbB是分数OrnsteinUhlenbeck过程，具有Hurst参数H>（长时间的情况）。[10，11]中使用了相同的过程bb和更一般的函数σ。在文献[72]中，函数σ由σ（x）=eβ+kx给出，其中β和k是常数，而过程bb如下：bBt=δBHt公司- BHt公司-δ, t型≥ 在前面的等式中，常数δ>0被解释为观测时间标度，而过程b是分数噪声。文[1]介绍了一个分数阶模型，其中函数σ满足一定的有界性和可微性条件，而过程b是由Riemann-Liouville fBm驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程。[37]和[38]分别介绍了不相关高斯和高斯自相似模型。在这种模型中，σ（x）=x |，而b是一般高斯过程（[37]），或高斯自相似过程（[38]）。Gathereal、Jaisson和Rosenbaum在开创性的论文【31】中分析了波动性的高频时间序列。他们声称，波动率类似于fBm的指数，H大约等于0。1、在【5】中，引入了一个粗糙的Bergomi模型。这种模型的一个简单例子如下：σ（x）=exandbB等于0<H<的Riemann-Liouville fBm。研究该模型的其他论文有[43，44]。在[44]中使用的roughBergomi模型版本中，processbB是一个非中心的Riema nn-Liouville分馏布朗运动。本文只考虑中心Volterra型过程bb。

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2022-6-1 15:29:49

然而，在我们看来，对于具有非中心过程的分数模型bb，获得类似的结果应该是不困难的。在[26]中，函数σ满足全局H¨older条件，而B是0<H<的fBm。在[27]中，研究了一个粗糙模型，其中函数σ满足一定的光滑性和有界性条件，processbB是分馏布朗运动的Muravlev表示。[29，30]中考虑的粗糙模型使用光滑、有界且具有有界导数的函数σ，并使用缩放分数OrnsteinUlenbeck过程作为过程b。本文[6]讨论了粗糙随机波动模型，其中函数σ是光滑的，而可接受的过程bb是volterra型高斯过程。在一篇重要的论文[4]中，粗糙路径和正则结构被用来研究分数模型。[4]中使用的函数σ满足一定的光滑性条件，而过程bb是黎曼-刘维尔分数布朗运动。此外，本文[4]讨论了更复杂的分数模型。在[8]中，引入并研究了有趣的分数随机波动率模型。其中，对数波动率采用Cauchy p过程建模，即中心平稳高斯过程，自相关函数由a（t）给出=1+| t | 2α+1-β2α+1，t∈ R、在哪里-< α<和β>0。在某种意义上，参数α描述了波动率的粗糙度，更准确地说，模型的粗糙度指数由H=2α+1给出。此外，参数β表征了模型的记忆特性。必须强调的是，在上述volatilitymodel中，粗糙度和记忆是解耦的。在更标准的随机波动率模型中，依赖于赫斯特参数H，这种解耦效应是不存在的。

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2022-6-1 15:29:52

在这些模型中，波动率的粗糙度和记忆特性用相同的参数H表示。【8】的作者还研究了基于柯西过程或布朗半平稳过程的更复杂的非高斯波动率模型（更多信息可在【8】中找到）。通过参考所谓的分数赫斯顿模型，我们完成了分数随机波动率模型的不完整概述。在这种模型中，方差过程是CIR过程（平方根过程）的分数形式。部分赫斯顿模型可以追溯到孔德、科廷和雷诺（见[12]）。[12]中的方差过程是应用于CIR过程的Riemann-Liouville分数积分算子。[32]中使用了类似的方差过程，而[22，23]中使用了Riema nn-Liouville分馏积分算子来修改Heston模型中方差的随机微分方程。在[42]中，介绍并研究了Volterra H eston模型。在此模型中，Riemann-Liouville核被更一般的Volterra型核所取代。接下来，我们将对本文件所取得的成果进行评论。其中获得的主要结果（下面的定理13和18）证明了分数模型的小噪声和小时间大偏差原则，这是在Fordean和Zhang的论文[26]中建立的。Theorem13包含对数价格过程X=对数S的小噪声大偏差原则，而Theorem18处理的是小时间版本。与文献[26]中使用的限制相比，本文中对σ和bb施加的限制相当温和。我们假设函数σ是局部ω-连续的，其中ω是给定的连续模。我们还假设processbB是Volterra型高斯过程（见第2节定义3）。

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nandehutu2022

2022-6-1 15:29:57

在[26]中，函数σ满足全局H¨older条件，而过程b是分数布朗运动。对于一类特殊的粗糙波动率模型，在[4]中获得了与thosein[26]类似的大偏差原则。在[44]中，建立了粗糙Bergomi模型的大偏差原则。分数阶随机波动率模型的渐近分析已成为金融数学的一个热门研究领域。这种分析的一个重要部分是研究期权定价函数的小型到期行为和隐含波动率。在[26]中，Forde和Zhang获得了在混合小到期小对数货币制度下，看涨期权定价函数和隐含波动率的渐近公式。利用定理13和18中的大偏差原理，我们在更一般的情况下推导出类似的渐近公式（见第7节）。从上述文献中可以提取出关于分数模型理论中各种质量的小成熟度渐近的大量信息。本文的结构如下。在第二节中，我们研究了高斯过程，它具有Volterra型表示，核满足L中的H¨older条件。我们称这种过程为Volterra型高斯过程。我们的定义基于[40，41]中Volterra型过程的定义。请注意，在[40，41]中对Volterra型过程施加了额外限制（见下面备注4中的条件（c））。本文件中未使用此限制。在第2节中，我们还表明分馏布朗运动、黎曼-刘维尔分馏布朗运动和分馏朗斯坦-乌伦贝克过程都是Volterra型过程（见Lemma8）。在第三节中，我们讨论了分数随机波动率模型，并对资产价格过程的鞅性进行了评述。

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2022-6-1 15:30:01

在第4节中，我们给出了我们的主要结果（定理13和18）。Theorem13包含Volterra型随机波动率模型缩放版本的小噪声大偏差原理。该定理推广了[26]中的一个相应定理（见[26]附录B中的（4.16）和定理4.8的证明）。然而，在[26]中没有使用额外的缩放。虽然定理13的证明结构基本上与[26]中的相应断言相同，但在本文所考虑的案例中存在各种不同之处。第一个困难是过程B增量特性的平稳性损失（分数布朗运动具有此特性，而本文中使用的更一般的Volterra型高斯过程不具有此特性）。另一个困难是，由于我们对函数σ的限制是局部的，而且相当温和，因此在证明定理13时需要更明确地选择停止时间。在第4节中，我们还利用定理13导出了一个小时间大偏差原理。我们使用了另一个假设，即在这个推导过程中，processbB是自相似的（参见定理18）。第5节讨论了以下问题：如果我们去掉原木价格随机微分方程中的漂移项，大偏差原理是否仍然相同？我们在第5节中表明，对前面问题的回答是肯定的。第6节包含在T=1的情况下小噪声大偏差原理的证明（一般情况在第4节中公式化定理13后讨论）。最后，第7节提供了分数Volterra型随机波动率模型中二元期权、看涨期权和看跌期权定价函数以及隐含波动率的渐近公式。2.

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2022-6-1 15:30:05

VOLTERRA型高斯过程固定时间范围T>0，并且假设K是[0，T]上的Lebesgue可测函数，使得ztztk（T，s）dtds<∞（平方可积核）。对于这样的核，线性算子K:L[0，T]7→ 由Kh（T）=RTK（T，s）h（s）ds定义的L[0，T]是紧的。算子K称为希尔伯特·施密特积分算子。本文将假设∈[0，T]ZT | K（T，s）| ds<∞.SetM（h）=sup{t，t∈ [0，T]：| T-t型|≤h} ZT | K（t，s）-K（t，s）| ds，0≤ h类≤ T、（11）用C[0，T]表示区间[0，T]上连续函数的空间。函数f的范数∈ C【0，T】表示如下：| | f | | C=支持∈[0，T]| f（T）|。下一站是众所周知的。引理2。如果limh↓0M（h）=0，那么K是从L[0，T]到C[0，T]的压缩线性算子。设0<α≤ 1、函数f∈ 如果存在C>0以致| f（T），则称C[0，T]为指数α的H¨older连续- f（s）|≤ c | t- s |α表示所有t，s∈ [0，T]。所有函数的空间都是指数α连续的，用Cα[0，T]表示。该空间配有由| | | | |·| |α=| | f | | C+supt，s定义的标准| |·| |α∈[0，T]，t6=sf（T）- f（s）| t- s |α是一个Banach空间。不难证明，对于某些α∈ （0，2），M（h）=O（hα）灰分↓ 0，则算子K从L[0，T]连续到Cα[0，T]。对于某些α∈ （0，2），M（h）=o（hα）作为h↓ 0，然后K:L[0，T]7→ Cα[0，T]是一个紧线性算子。我们不会在本文件中使用前面的陈述。假设BB是以下形式的中心高斯过程：bBt=ZTK（t，s）dBs，0≤ t型≤ T、（12）其中K是平方可积核，B是标准的布朗运动。由{eFt}0删除注释≤t型≤t工艺B产生的过滤增强（见【48】，定义7.2）。

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2022-6-1 15:30:08

过滤{eFt}是右连续的（[48]，推论7.8），过程（Bt，{eFt}）仍然是布朗运动（[48]，定理7.9）。过程b的协方差函数由C（t，s）=RTK（t，u）K（s，u）d u，fort，s给出∈ [0，T]。定义3。如果核K满足以下条件，我们称（12）中的过程为Volterra型高斯过程：（a）K（0，s）=0≤ s≤ T、对于所有0，K（T，s）=0≤ t<s≤ T、（b）存在常数c>0和α>0，使得M（h）≤ 所有h的chα∈ [0，T]（M的定义见（11））。备注4。条件（a）是内核的典型Volterra类型条件。条件（b）包含在【40，41】中对体积高斯过程的定义中（见【40】中的定义5和【41】中的定义5.4）。请注意，[40，41]中的定义还包含对内核K的以下限制：（c）操作符K:L[0，T]7→ L[0，T]是内射的。本文件不使用条件（c）。备注5。关于Volterra型随机过程有大量文献。我们将只发表几篇论文。在【42】中，介绍并研究了AFFINE Vol te rra过程。此外，还考虑了以下形式的随机卷积：t 7→RtK（t- s） dMs，其中M是局部鞅，而核K满足定义3中的条件（b）（参见[42]中的（2.3）和（2.5））。在[62]中，在核K是光滑变化函数的条件下，研究了关于半鞅的Volterra型过程（见[62]，定义1.3）。[15]中的Volterr A过程有以下表示：t 7→RtK（t，s）usdBs，其中u是辅助弹性过程。Volterra型过程在金融中的应用在【24，42】中进行了讨论。定义中的Volterra型高斯过程3具有0<β<α的β-H–older连续修正。此外，这样的过程是经过调整的（参见[40，41]）。

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2022-6-1 15:30:12

在后半部分中，我们将始终假设Volterra型过程对于所有的β都有β-H-older连续路径a，其中0<β<α。在本节的其余部分，我们将讨论Volterra型过程的各种示例。让我们首先考虑标准布朗运动B和Ornstein-Uhlenbeckprocess Z（a）t=Rte-a（t-s） dBs，0≤ t型≤ T、 a>0。与这些过程相关的Volterra型核由K（t，s）=χ{s<t}和K（a）（t，s）=e给出-a（t-s） χ{s<t}，分别为。很容易看出，过程B和Z（a）t满足定义3中的条件，可以在该定义的（B）部分取α=1。因此，布朗运动和Ornstein-Uhlenbeck过程都是Volterra型过程。之前的事实是在【40，41】中确定的。备注6。Remark4中的标准布朗运动满足条件（c）（见[40，41]）。的确，假设一个函数f∈ L[0，T]是这样的：对于所有T，rtf（s）ds=0∈ [0，T]。n，区分之前的e质量，我们得到f（t）=0 a.e。Ornstein n-Uhlenbeck核也满足条件（c）。这可以如下所示：假设f∈ L[0，T]s atis公司-a（t-s）对于al lt，f（s）ds=0∈ [0，T]。然后，微分前面的等式，我们得到f（t）- 阿尔特-a（t-s） f（s）ds=0a。s、最后，根据前两个等式，f（t）=0 a.e.备注7。[40，41]中指出，Lebesgue的条件K（t，s）>0几乎都是0≤ s<t≤ T表示备注4中的条件（c）。我们认为，文献[40]第6页给出的先前状态的证明包含错误。更准确地说，通过微分[40]第6页最后显示的公式得出的公式中应该有加号而不是减号。我们不确定【40】和【41】中的p屋顶是否可以纠正。经典分式过程是Volterra型的。之前的断言是在[40，41]中陈述的。

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能者818

2022-6-1 15:30:15

然而，在[40，41]中未包含条件（b）对这些过程有效性的证明，也未提供关于常数α可接受值的信息。我们接下来将讨论上述声明。证明RiemannLiouville分数布朗运动是Volterra型过程非常简单。对于分数布朗运动，定义3中α=2H的条件（b）的简单简短证明见【74】第4节。为了完整性起见，我们在下面的引理8的证明中包含了[74]中的上述证明。在nextlemma中还将显示，相同的陈述对于分数Ornstein-Uhlenbeck过程有效。引理8。Riemann-Liouville分数布朗运动RH、分数布朗运动BH和分数Ornstein-Uhlenbeck过程都是典型的过程。对于所有这些过程，定义3中的常数α由α=2H给出。证据我们将首先证明RH的引理8。回想一下，过程Rhi的内核由ekh（t，s）=Γ定义H类+（t-s） H类-χ{s<t}。因此，定义3中的条件（a）已满足。接下来将显示条件（b）也成立。假设t+h≤ T、那么我们有dh（h）：=ZTeKH（t+h，s）-eKH（t，s）ds=ΓH类+Zt公司（t+h- s） H类-- （t- s） H类-ds+Zt+ht（t+h- s） 2小时-1ds≤ΓH类+ZT公司（u+h）h--嗯-du+2h2h≤h2HΓH类+Z∞（v+1）小时--vH公司-dv+2H. （13）使用中值定理不难证明（13）中的最后一个积分是有限的。这表明该工艺符合定义3中的条件（b），α=2H。我们的下一个目标是为BH证明Lemma8。以下证据包含在【74】中。（4）和（5）中给出了与BH有关的内核。

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2022-6-1 15:30:20

由于HSaties（2）和（6）的协方差函数，我们得到了zt（KH（t，s）- KH（t′，s））ds=CH（t，t）-2C（t，t′）+CH（t′，t′）=t2H-t2H+（t′）2H- |t型- t′| 2H+ （t′）2H=| t- t′| 2H，对于所有t，t′∈ [0，T]。这为BH建立了Lemma8。最后，我们将注意力转向过程呃。使用BH的公式（10）和引理8可以看出，为了证明定义3中条件（b）中的估计值，对于DH（t，s）=Ztse定义的Volterratype核，α=2H的条件是成立的-a（t-u） KH（u，s）duχ{s<t}。We ha veDH（t+h，s）-DH（t，s）=（e-啊-1）中兴通讯-a（t-u） KH（美国）du+e-ahZt+hte-a（t-u） KH（美国）du。因此，对于较小的h>0，ZT | DH（t+h，s）- DH（t，s）| ds≤ chZTds公司中兴通讯-a（t-u） KH（美国）du+ cZTds公司Zt+hte-a（t-u） KH（美国）du. （14）假设0<H<。然后，将Cauchy-Schwarz不等式应用于最后一个积分（14），我们得到了zt | DH（t+h，s）- DH（t，s）| ds≤ chZTZTKH（美国）哑弹+c hZTZTKH（美国）哑弹≤ 中国。（15）从（15）可以看出，α=1的条件（b）适用于内核DH。因此，α=2H时，同样的条件成立。接下来，假设<H<1。然后，使用公式（4），我们可以看到KH（t，s）≤ 反恐精英-H全部0≤ s≤ t型≤ T、其中，c>0是一个常数。接下来就是ZTDZt+hte-a（t-u） KH（美国）du≤ c>0时的Ch。先前的估计和（14）表明定义3中的条件（b）适用于α=2H的核DH。这就完成了Lemma8.3的证明。分数随机波动率模型在本文的其余部分中，我们假设（1）所描述的随机模型中的过程BB是一个连续的Volterra型高斯过程（见（12）和定义3）。很明显，processbB适用于过滤{Ft}0≤t型≤T、因为函数σ在R上是连续的，过程bb是连续的，所以我们有ztσbBsds<∞ （16） P-a.s.开启Ohm.

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能者818

2022-6-1 15:30:23

由此可知，（1）中的方程是一个线性随机微分方程，它与局部鞅mt=Ztσ（bBs）d（(R)ρWs+ρBs），0≤ t型≤ T、（1）中方程的唯一解是Dol'eans-Dade指数st=sexp-Ztσ（bBs）ds+(R)ρZtσ（bBs）dWs+ρZtσ（bBs）dBs, 0≤ t型≤ T、（17）因此，对数价格过程Xt=对数满足度Xt=x-Ztσ（bBs）ds+。因此，E【St】≤ 对于所有t∈ [0，T]。（19）（19）中的i nequality表示∈ [0，T]，资产价格确定的一阶矩。然而，对于某些Volterra型高斯模型，资产价格的高阶矩可能是有限的（矩爆炸特性）。对于每t>0，我们设置p（m）t=supp>0:E标准贯入试验< ∞. 由（19）可知，p（m）t≥ 1、力矩爆炸特性是指p（m）t<∞ 对于所有t∈ （0，T）。例如，在不相关的Stein-Stein模型中，其中σ（u）=u |，波动过程bb是theOrnstein-Uhlenbeck过程（见[70]），矩会爆炸（见[35]，或[36]中的定理6.17）。对于σ（u）=u的相关Stein-Stein模型的类似结果，请参见[19]。在一般不相关高斯随机波动率模型的情况下，也存在动量爆炸（见[37]中的定理9）。模型爆炸特征的一个极端例子是σ（u）=euandbB等于标准布朗运动的不相关赫尔-怀特模型。那么对于所有t，p（m）t=1∈ [0，T]（见[33，34]或[36]，定理6.22）。通过考虑（19），我们看到资产价格过程S是鞅当且仅当E[St]=所有t∈ [0，T]。在这种情况下，P是风险中性度量。

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2022-6-1 15:30:26

有许多条件保证Dol\'eans Dade指数S是鞅，例如Novikov条件、Kazamaki条件、Krylov条件和Bene条件（参见，例如[49、47、51、59、66、67、7 1]）。有趣的是，即使对于指数增长函数σ，资产定价过程也可能是鞅（见[45，53，69]）。例如，在[45]中建立了Scott模型（见[68]），其中σ（x）=exandbB是Ornstein-Uhlenbeck过程，过程S是鞅当且仅当-1 < ρ ≤ 由于初始条件和长期平均值均为零的Ornstein-Uhlenbeck过程是Volterra型高斯过程，因此前面的陈述表明Volterra型高斯模型中的资产价格过程可以是严格的局部鞅。[2、7、39、53、57、69]研究了随机波动率模型中鞅性质的损失。下一个引理表明，如果（17）中的函数σ增长缓慢，则S是鞅。引理9。LetbB是一个连续高斯过程，适用于过滤Ft，0≤ t型≤ T、用C和m分别表示过程b的协方差函数和平均函数。假设以下非退化条件适用于进程bb:C（t，t）>0适用于所有t∈ （0，T）.设σ是R上的正连续函数，满足线性增长条件：σ（x）≤ c+cx，对于某些c>0、c>0和所有x∈ R、（17）定义的stoch散度指数是{Ft}鞅。证据由于processbB是连续的，因此函数C和m分别在[0，T]和[0，T]上是连续的。有必要证明存在δ>0，使得l=：sup0<t≤TE[exp{ΔσbBt公司} ] < ∞ （20）（参见，例如，【36】，推论2.11）。如果δ<2cmax0≤t型≤TC（t，t）-1.（21）设δ>0如（21）中所示。

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mingdashike22

2022-6-1 15:30:29

那么，我们有≤ ecδsup0<t≤TE[exp{cδbBt}]=ecδ√2πsup0<t≤TpC（t，t）ZREPcδy-2C（t，t）（y-m（t））dy.（22）设置α（t）=2C（t，t）- cδ和β（t）=m（t）c（t，t）。然后，变换（22）右侧的表达式，我们看到≤ecδ√2πsup0<t≤TpC（t，t）试验β（t）4α（t）-m（t）2C（t，t）ZRexpn公司-α（t）yody=ecδ√sup0<t≤TpC（t，t）α（t）expβ（t）4α（t）-m（t）2C（t，t）= ecδsup0<t≤Tp1-2cδC（t，t）expcδm（t）1- 2cδC（t，t）≤ecδp1- 2cδ最大值0≤t型≤TC（t，t）膨胀cδm（t）1- 2cδ最大值0≤t型≤TC（t，t）.因为me-an函数m是连续的，所以我们有| m（t）|≤ M代表所有0≤ t型≤ T、最后，利用（21）和前面的不等式，我们得到（20）。这就完成了引理9的证明。备注10。假设Lemma9中使用的s tochastic指数s是一个严格的局部鞅。由于S是一个连续的自适应过程，因此它是局部有界的。根据[17]中的推论1.2，满足了无氮午餐的条件，风险消失（必要定义和更多细节见[17]）。4、小噪声和小时间大偏差原则为每个ε固定一个参数H>0，和∈ （0，1），考虑（1）中随机微分方程的以下标度形式：dSε，Ht=√εSε，Htσ（εHbBt）d（(R)ρWt+ρBt），Sε，H=S.（23），对于每个β∈ （0，1），我们没有σβbBsds<∞ P-a.s.开启Ohm. 此外，过程xε，Ht=对数Sε，Ht，0≤ t型≤ T、 Xε，H=X=对数ε，Ht=X-εZtσ（εHbBs）ds+√ε′ρZtσ（εHbBs）dWs+√ερZtσ（εHbBs）dBs。（24）我们需要以下定义。定义11。设ω为[0]上的递增连续模，∞), 也就是ω：R+7→ R+是一个递增函数，使得ω（0）=0和lims↓0ω（s）=0。如果每个δ>0存在L（δ）>0，则称为局部ω-连续的函数σ，例如σ（x）- σ（y）|≤ L（δ）ω（| x- y |）对于所有x，y∈ [-δ, δ].连续模的一个特殊例子是ω（s）=sα和α∈ (0, 1). 在这种情况下，我们得到了一个局部α-H¨older条件。

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2022-6-1 15:30:32

如果α=1，则定义11中的条件为局部Lipschitz条件。备注12。在不损失一般性的情况下，我们可以假设δ7→ L（δ）是[0]上的一个偶数严格递增的连续函数，∞) L（0）>0且limδ→∞L（δ）=∞. 然后，逆函数L-1在[L（0）上定义并连续，∞). 此外，limγ→ ∞L-1(γ) = ∞. 在本文中，我们假设函数满足上述条件。让f∈ H[0，T]，其中符号H[0，T]代表Cameron-Martin空间，由绝对连续函数f组成，f（0）=0和˙f∈L[0，T]。序列中将使用以下符号：bf（s）=ZsK（s，u）˙f（u）du。（25）接下来，我们将回顾R上利率函数的定义（更多详细信息请参见[18]）。一个扩展的实函数I:R 7→ [0, ∞] 如果不相同，则称为速率函数∞ 并且是下半连续的。I的后一个性质意味着，对于每个δ>0，子级集Γδ={x∈ R:I（x）≤ δ} 是R的一个闭子集。如果对于每个δ>0，集合Γδ是R的一个紧子集，那么I称为好速率函数。下一个断言是本论文的主要结果之一。它概括了[26]中建立的大偏差原则。定理13。假设σ是R上的正函数，对于某些连续模ω，σ是局部ω-连续的。设H>0，Letb为Volterra型高斯过程。SetIT（x）=inff∈H【0，T】x个- ρRTσ（bf（s））˙f（s）dsρRTσ（bf（s））ds+ZT˙f（s）ds. （26）那么这个函数就是一个好的速率函数。此外，速度ε为s的小噪声大偏差原则-2（26）给出的手动速率函数适用于过程ε7→ εH-Xε，HT- x个,0 < ε ≤ 1，其中Xε，Ht由（24）定义。

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2022-6-1 15:30:35

更准确地说，对于每个Borel可测子集A ofR，以下估计值适用：- infx公司∈A.oIT（x）≤ lim infε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ - infx公司∈(R)AIT（x）。（27）符号Ao和'A在之前的估计中分别代表f或集合A的内部和闭合。备注14。第节给出了函数Iis是一个好的速率函数这一事实的证明（见备注25）。对于T 6=1的函数it，可以得到相同的陈述，使用说明如何证明T 6=1的定理13的原因，假设它保持f或T=1（参见定义前的讨论17）。在下一个断言中，我们将讨论函数IT的各种属性。引理15。速率函数IT:R 7→ [0, ∞) （26）中的定义在R上是连续的。此外，函数在(-∞, 0]，在[0]上不递减，∞), 它（0）=0。备注16。下面给出的速率函数单调性的证明是对克里斯·蒂安·拜尔（Chris ti an Bayer，2017年12月）在一个非常不同的环境中证明类似语句的简单证明。我们感谢Christian分享他的证据。引理15的证明。ITis continuous这一事实相当标准（例如，参见[26]中的推论4.6）。为了完整起见，我们加入了它的证明。因为它是一个速率函数，所以它是下半连续的。另一方面，函数等于一系列连续函数的数量，因此它是上半连续的。因此，这是一个连续函数。很明显，函数处处都是非负的。接下来，使用函数f=0，我们看到它（0）=0。还有待于证明引理15中的单音性陈述。我们将仅证明Iis是（0，∞).

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能者818

2022-6-1 15:30:44

赔偿案件中的证据是相似的。下面公式（76）和（42）中的函数Igiven的表示将在证明中受益。我们将用矛盾来推理。Le t x<x，假设I（x）<I（x）。固定τ>0，其中I（x）+τ<I（x）。那么，从（76）和（42）可以看出，存在y∈ R和f∈ H[0，1]，依赖于τ，且Φ（y，f，^f）=xandI（x）≤y+Z˙f（s）ds<Z+Z˙g（s）ds，（28）对于所有Z∈ R和g∈ H[0，1]，满足条件Φ（z，g，^g）=x。对于任何0≤ t型≤ 1，x∈ R和f∈ H【0，1】，设置Φt（x，f，bf）=ρZtσ（bf（s））dsx+ρZtσ（bf（s））˙f（s）ds。功能t 7→ Φty、 f，^f是连续的。此外，Φy、 f，^f= 0和Φy、 f，^f= Φ（y，f，^f）=x。接下来，利用假设0<x<x和中值定理，我们看到存在r∈ （0，1），取决于ε，且Φr（y，f，^f）=x。定义函数h如下：h（s）=f（s），表示0≤ s≤ r和h（s）=r的f（r）≤ s≤ 1、然后h∈ H[0，1]，Φ（y，H，^H）=Φr（y，f，^f）=x，a n dR˙H（s）ds≤R˙f（s）ds。最后，取（28）中的z=y和g=h，我们得出一个矛盾。这就完成了Lemma15的证明。在T=1的特殊情况下，定理13的证明包含在第6节中。它演示了定理4的小噪声模拟的证明。5英寸[26]。然而，正如引言中已经提到的那样，我们必须克服两大困难。在[26]中，假设函数σ满足全局H¨older条件，而我们对σ正则性的限制是局部的，相当弱。此外，文献[26]中的过程b是分数布朗运动，这使得文献[26]的作者可以利用分数布朗运动的增量是平稳的这一事实。

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2022-6-1 15:30:48

在本文中，过程B是一个一般的连续Volterra型高斯过程，在这类过程中，只有分数布朗运动具有平稳增量。我们的下一个目标是解释如何在一般情况下证明定理13，假设它适用于T=1。定理13中的Volterra核K定义在集合[0，T]上。SeteKT（r，u）=T-HK（Tr，Tu），0≤ r、 u型≤ 1.（29）TheneKTis是[0，1]上的Volterra型核。考虑过程ε7→eXε，H，0<ε≤ 1，与kerneleKT关联。然后预测ε∈ （0，1），我们有εH-XεT，HT=εH-eXε，H（30）（我们将前面的等式留给感兴趣的读者练习）。将T=1的ore m13应用于（30）右侧的过程，我们可以看到，对于每个borel集合D R- infy公司∈Do钻头（y）≤ lim infε↓0ε2Hlog PεH-XεT，HT- x个∈ D≤ lim supε↓0ε2Hlog PεH-XεT，HT- x个∈ D≤ - infy公司∈(R)DbIT（y），其中位（y）=infh∈H【0,1】y- ρRσReKT（s，u）˙h（u）du˙h（s）dsρRσReKT（s，u）˙h（u）duds+Z˙h（s）ds. （31）假设A是R中的一个Borel集。然后，用Tε替换ε，用TH替换D-A、我们获得- infx公司∈A.oT-2HbIT（第-x）≤ lim infε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ - infx公司∈\'\'AT-2HbIT（第-x）.还有一点需要说明的是，对于每x∈ R、 T型-2HbIT（第-x） =IT（x）。（32）让f∈ H[0，T]，并设置H（u）=TH-f（Tu），0≤ u≤ 1、然后f<-> h是h[0，T]和h[0，1]之间的一对一对应关系。使用（29）和（31）中的先前注释，并简化得到的表达式，我们得到位（y）=inff∈H[0，T]J（y，f），（33）其中J（y，f）=hy- ρTH-RTσRzK（z，y）˙f（y）dy˙f（z）dzi'ρT-1RTσRzK（z，y）˙f（y）dydz+T2HZT˙f（y）dy.（34）现在，很明显，（32）跟在（33）、（34）和（26）后面。前面的推理说明了如何从T=1的情况下导出一般情况下的定理13。接下来，我们将假设processbB是自相似的。

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2022-6-1 15:30:51

这个额外的限制将允许我们推导出过程t 7的小时间大偏差原则→ tH公司-（Xt）- x），0<t≤ T、从理论13中建立的小噪声大偏差原理出发。定义17。对于0<H<1，进程bbt，0≤ t型≤ T、对于每个ε，称为H-自相似if∈ （0，1），bBεt=εHbBt，0≤ t型≤ T、在法律上。通常情况下，在某些自相似假设下，可以将小噪声LDP传递到相应的小时间LDP。在我们的例子中，如果过程bb是H-自相似的，那么使用（18），（24）和布朗运动的自相似性，不难看出Xε，HT=XεT，0<ε≤ 1.（35）从（35）可以看出，过程ε7→ εH-Xε，HT- x个, 0 < ε ≤ 1，理论上可以用过程ε7代替→ εH-（XεT- x），0<ε≤ 在结果定理中，Le t us set t=εt。然后t∈ [0，T]，而不是速率函数IT，我们得到一个由x 7给出的新速率函数→ T2HITT-Hx公司, x个∈ R、从（32）可以看出，新的费率函数与（31）中定义的函数位一致。接下来，总结一下saidabove的观点，我们看到以下小时间大偏差原理成立：定理18。假设σ是R上的正函数，对于某些连续模ω，σ是局部ω-连续的。还假设thatbB是一个H-自相似Volterra型高斯过程，其中0<H<1。然后是一个小时间LDP和sp eed t-2（31）给出的手动完好率函数Bit对过程t 7有效→ tH公司-（Xt）- x），0<t≤ T、其中X由（18）定义。更准确地说，对于每个Borel可测集 R- infx公司∈A.o位（x）≤ lim信息↓0t2Hlog PtH公司-（Xt）- x）∈ A.≤ lim支持↓0t2Hlog PtH公司-（Xt）- x）∈ A.≤ - infx公司∈？AbIT（x）。备注19。在这句话中，我们表明在某种意义上，functionBit不依赖于T。让0<T≤ T

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nandehutu2022

2022-6-1 15:30:54

然后，最初在[0，T]上定义的核K可以限制为[0，T]，因此过程T 7→BBT可以在间隔[0，T]上确定。接下来，我们将展示如果过程t 7→bBt，0≤ t型≤ T、是H-自相似，则位（x）=所有x的位（x）∈ R、实际上，B的自相似性意味着K（t，s）=ε-HK（εt，εs）表示所有0≤ s≤ t型≤ T和0<ε≤ 1、因此，T-HK（Tr，Tu）=T-HK（Tr，Tu）f或所有0≤ u≤ r≤ 1，且henceeKT（r，u）=所有0的eKT（r，u）≤ u≤ r≤ 1，其中（29）中定义了。接下来，我们看到（31）表示所有x的位（x）=位（x）∈ R、 5。如果去除漂移项，则小噪声LDP不会改变假设BB是如（12）中所述的高斯过程。还假设σ是R上的一个正连续函数。不难证明R上存在一个连续的正函数η，满足以下条件：η在[0]上严格递增，∞);利木→∞η（u）=∞; 和σ（u）≤ η（u）表示所有u∈ R、我们将用η表示-1函数η（x），x的反函数∈ [0, ∞). 函数η-1定义于[η（0），∞) 并将上一组映射到[0，∞).将（24）中的SDE与以下SDE进行比较：dbXε，Ht=√εσ（εHbBt）d（(R)ρWt+ρBt），Xε，H=X。上一个方程的解由bxε，Ht=X给出+√ε′ρZtσ（εHbBs）dWs+√ερZtσ（εHbBs）dBs，然后是xε，HT-bXε，HT=-εZTσ（εHbBs）ds。因此，对于每个δ>0，PεH-Xε，HT- εH-bXε，HT> δ= PεH+ZTσ（εHbBs）ds>δ≤ PηεHsupt∈[0，T]bBt公司!> 2δε-（H+）T-1!= Psupt公司∈[0，T]bBt公司> ε-Hη-1.2δε-（H+）T-1.!.利用高斯过程最大值的大偏差原理（例如，参见[55]中的（8.5）），我们可以证明存在常数C>0和y>0，使得PSUPT∈[0，T]| bBt |>y！≤ e-Cy（36）对于所有y>y。不难证明limε↓0ε-Hη-1.2δε-（H+）T-1.= ∞.因此，存在ε>0，因此对于ε<ε，我们有εH-Xε，HT- εH-bXε，HT> δ≤ 经验值-Cε-2Hη-1.2δε-（H+）T-1..

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mingdashike22

2022-6-1 15:30:57

（37）现在，可以使用（37）thatlim supε↓0hε2Hlog PεH-Xε，HT- εH-bXε，HT> δi=-∞.因此，过程ε7→ εH-Xε，HT- x个和ε7→ εH-bXε，HT- x个指数等效（见[18]中的定义4.2.10）。因此，如果速度ε的大偏差原理-2手动速率函数I适用于后一个过程，也适用于前一个过程（见[18]中的定理4.2.13）。小噪声大偏差原理的证明让我们假设ρ6=0。ρ=0的证明使用了相同的思想，并且更加简单。在本节中，我们将在T=1的情况下证明定理13。对于每个ε∈ （0，1），我们有εH-bXε，H- x个= εHρZσ（εHbBs）dWs+ρZσ（εHbBs）dBs定律=εH〃ρZσ（εHbBs）dsW+ρZσ（εHbBs）dBs#。（38）（38）中的随机积分存在，而（16）中的L条件几乎肯定存在普通积分。为了证明（38）中的等式，我们证明了（38）中第二个表达式和第三个表达式的分布函数是一致的。这可以通过调节过程s 7的路径来实现→ σ（εHbBs）和随机变量σ（εHbBs）dBs的值，并考虑过程B和W的独立性。使用与[26]中引理B-1的证明相同的思想，不难证明二维过程t 7→ （Bt，bBt）是高斯分布。在[26]中，引理B-1涉及过程t 7→ （Bt，BHt），其中BHis fBm带有Hurst参数H。然而，过程BHis的自相似特性从未用于证明[26]中的引理B-1。让我们考虑由G=（B，bB）给出的空间E=C[0，1]中的中心d高斯向量G。

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2022-6-1 15:31:00

协方差算子K:E*7.→ 与G相关的E如下所示：K（α，α）（s）=（K（s），K（s）），0≤ s≤ 1，其中k（s）=Z（t∧s） dα（t）+Zdα（t）Zt∧sK（t，u）duandk（s）=Zdα（t）Zt∧sK（s，u）du+Zdα（t）Zt∧sK（t，u）K（s，u）d u.这里（α，α）∈ E*是区间[0，1]上有界变差的一对有符号Borel测度。我们的下一个目标是将众所周知的高斯测量大偏差结果（见[20]中的定理m 3.4.12，或[3]中的定理2.2.3）应用于上述向量G。我们将首先定义对应于G的抽象维纳空间W（参见[3]中的定义2.2.2）。我们设置W=（W，H，j，u），其中H=L[0，1]；j（f）（t）=Rtf（u）du，RtK（t，u）f（u）du对于0≤ t型≤ 1.W=j（H），其中闭合在空间C[0，1]中进行；u是过程t 7诱导的（W，B（W））上的高斯测度→英国电信、英国电信. 不难看出，空间W是可分的Banach空间，空间H是可分的Hilbert空间，j:h7→ W为连续线性注入（j的第一个分量为注入）。我发誓要证明ZWEXP{ihw*, wi}u（dw）=exp{-||j*w*||H} ，（39）其中H，i表示W之间的对偶性*W和j*: W*7.→ H*= H是j的伴随变换。空间W*是E的子空间A在[0，1]上的边界变化的有符号B-orel测度对的商空间*湮灭W。湮灭条件如下：（β，β）∈ A.<==>Zudβ（t）+ZuK（t，u）dβ（t）=0，不难证明j*（α+β，α+β）（t）=Ztdα（s）+ZtK（s，t）dα（s），0≤ t型≤ 1，其中（α，α）∈ E*和（β，β）∈ A、接下来，使用高斯测度的特征函数的已知表达式，我们得到zwexp{ihw*, wi}u（dw）=exp{-w*（Cw*)} （40）其中C:W*7.→ W是协方差运算符。现在，很明显，为了证明（39）中的质量，有必要证明| | j*w*||H=w*（Cw*). （41）让w*= (α+ β, α+ β).

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2022-6-1 15:31:03

然后| | j*w*||H=ZZtd（α+β）（s）+ZtK（u，t）d（α+β）（u）dt=ZdtZtd（α+β）（s）Ztd（α+β）（r）+2ZdtZtd（α+β）（s）ZtK（u，t）d（α+β）（u）+ZDTZK（u，t）d（α+β）（u）ZtK（v，t）d（α+β）（v）=ZZ（s∧r） d（α+β）（s）d（α+β）（r）+2ZZd（α+β）（s）d（α+β）（u）Zs∧uK（u，t）dt+ZZd（α+β）（u）d（α+β）（v）Zu∧vK（u，t）K（v，t）dt。此外，w*（Cw*) = E“ZBsd（α+β）（s）+ZbBud（α+β）（u）#=ZZd（α+β）（s）d（α+β）（r）E[BsBr]+2ZZd（α+β）（s）d（α+β）（u）EhBsbBui+ZZd（α+β）（u）d（α+β）（v）EhbBubBvi。接下来，使用等式E[BsBr]=s∧ rEhBsbBui=卢比∧英国（u，t）dt；EhbBubBvi=Ru∧vK（u，t）K（v，t）dt，我们得到（41）。因此，W是一个抽象的维纳空间。根据[20]中的定理3.4.12和引理3.4.2（另请参见[3]中的定理2.3），过程ε7→εHB，εHbB状态空间C[0，1]满足速度ε的大偏差原理-2我在空间C[0，1]上定义了手动良好速率函数，如下所示。回想一下f∈ H[0，1]，我们通过（25）定义了函数bf。考虑空气（f、bf）∈ C[0，1]表示所有f∈ H[0，1]，并用H表示这类对的空间。If（f，g）∈ H、我们把I（f，g）=R˙f（s）ds，而if（f，g）∈ C[0，1]\\H，我们计算i（f，g）=∞.备注20。可以在[20]的第3.4节（见[20]中的引理3.4.2）中找到上述因子I是一个好的速率函数的证明。由于过程W a和B是独立的，因此过程ε7→εHW，εHB，εHbB状态空间R×C[0，1]满足速度ε的大偏差原理-2手动速率函数I（y，f，g）=y+I（f，g）。我们的下一个目标是使用前面的陈述和扩展收缩原理（Theore m 4.2.23 in[18]）。设Φ是空间M=R×C[0，1]上的一个泛函，由Φ（y，f，bf）=ρ给出Zσ（bf（s））dsy+ρZσ（bf（s））˙f（s）ds，（42）if（f，bf）∈ H、由Φ（y，f，g）=0，if（f，g）∈ C[0，1]\\H（与[26]中引理B.3的证明中的公式进行比较）。

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2022-6-1 15:31:06

自f起∈ H[0，1]，我们有BF∈ C[0，1]，函数Φ在M上是有限的。对于每个整数M≥ 1，通过ΦM（y，h，l）=ρ定义M上的函数Zσ（l（s））dsy+ρm-1.∑k=0σl公里数h类k+1米- h类公里数. （43）很明显≥ 1，Φm:m 7→ R是一个连续函数。我们将首先确定【18】中公式（4.2.24）中条件的有效性。引理21。对于每个α>0，lim supm→∞supnf公司∈H： y+R˙f（s）ds≤αo |Φ（y，f，bf）-Φm（y，f，bf）|=0。（44）证明。表示Dβ={f∈ H： R˙f（s）ds<β}。不难看出，要证明（44），有必要证明对于所有β>0，lim supm→∞“supf∈Dβ| Jm（f）|#=0，（45），其中Jm（f）=Zσ（bf（s））˙f（s）ds-m级-1.∑k=0σ高炉煤气公里数fk+1米- f公里数.Sethm（s）=m-1.∑k=0σ高炉煤气公里数χ{km≤s≤k+1m}。那么Jm（f）=R[σ（bf（s））- hm（s）]˙f（s）ds和hencesupf∈Dβ| Jm（f）|≤pβsupf∈Dβ支持∈[0,1]|σ（bf（t））- hm（t）|。（46）由于引理2成立，集合Eβ={bf:f∈ Dβ}在C[0，1]中是预紧的。根据Arzel\'a-Ascoli定理，集合Eβ是一致有界且等连续的[0，1]。因此，β=supf∈Dβ| | bf | | C[0,1]<∞ （47）和ωβ（δ）=supf∈Dβsupt，t∈ [0,1]：| t-t型|≤δ| bf（t）-bf（t）|→ 0（48）asδ↓ 接下来，使用σ的局部ω-连续性条件，（46）中的估计以及（47）和（48）中的定义，我们得到了supf∈Dβ| Jm（f）|≤pβLrβωωβm级. （49）现在，从（47）、（48）和（49）中可以清楚地看出，（45）成立。这建立了[18]中公式（4.2.24）中的近似条件。Lemma21的证明就这样完成了。接下来我们将证明过程ε7→ ΦmεHW，εHB，εHbB是一个指数良好近似值，如m→ ∞ 至工艺ε7→ Vε=εH〃ρZσ（εHbBs）dsW+ρZσ（εHbBs）dBs#（50）（有关指数良好近似的更多详细信息，请参见[18]中的定义4.2.14）。引理22。对于每δ>0，limm→∞lim supε↓0ε2Hlog PVε- ΦmεHW，εHB，εHbB> δ= -∞. （51）证明。

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2022-6-1 15:31:09

使用（43），我们可以看到，为了证明（51），有必要显示LIMM→∞lim supε↓0ε2Hlog PεH |ρ|Zσ（m）tdBt> δ= -∞, （52）式中σ（m）t=σεHbBt- σεHbB【mt】m, 对于所有0≤ t型≤ 在前面的等式中，符号【a】代表数字a的整数部分∈ R.在续集中，我们借鉴了[26]附录B.2中的证明。然而，我们将该证明改编为我们的环境，并且还需要更改[26]中证明的某些部分，因为在[26]中对函数σ和过程bb施加了stron-ger限制，而不是在本文中。我们将建立以下比（52）中更强的条件：limm→∞lim supε↓0ε2Hlog PεH |ρ| supt∈[0,1]Ztσ（m）sdBs> δ!= -∞. （53）不难看出存在一个正函数q（η），其中η∈ （0，η），其中q（η）↑ ∞, L（q（η））↑ ∞, 和L（q（η））ω（η）↓ 0（54）为η↓ 0。这里L是定义11中出现的函数。例如，我们可以取q（η）=L-1（eω（η）），η=eω-1（L（0）），其中eω是（0）上的严格递减正连续函数，∞) 使得eω（η）↑ ∞ andeω（η）ω（η）↓ 0为η↓ 0、固定整数m≥ 1和一个0<η<η的数η，并定义一个随机变量ξ（m）η=inft型∈ [0，1]：εHηq（η）| bBt |+bBt公司-bB[公吨]米> η.ω的If∈ Ohm, 前面定义中的集合为空，那么我们将ξ（m）η（ω）=1。不难看出ξ（m）η是{eFt}停止时间。这里我们使用过滤{eFt}是右连续的这一事实。假设0<t<ξ（m）η。然后[mt]m<ξ（m）η，因此εHmax|bBt |，bB[公吨]米≤ q（η）（55）和εHbBt公司-bB[公吨]米≤ η. （56）接下来，使用（55），（56）和σ的局部ω-连续性条件，我们可以看到|σ（m）t |≤ L（q（η））ω（η），对于所有t∈h0，ξ（m）ηi.（57），每m≥ 1，过程M（t）=Rtσ（M）sdzs是[0，1]上的局部鞅。接下来我们将证明停止的进程t 7→Zt公司∧ξ（m）ησ（m）sdZs（58）是鞅。

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2022-6-1 15:31:13

证据相当标准，但为了完整起见，我们决定将其包括在内。Letτn↑ T、 n个→ ∞, 是进程M的停止时间的局部序列。然后，对于每个n≥ 1、工艺t 7→ M（t∧ τn）是鞅，因此过程mn（t）=M（t∧τn∧ξ（m）η）也是一个鞅（见[66]中的推论3.6）。因此，对于所有0≤ s≤ t型≤ T、 E[锰（T）| Fs]=锰（s）。（59）通过过程M的采样路径的连续性，（59）右侧的表达式趋向于M（s∧ξ（m）η）a s n→ ∞. 我们的下一个目标是以n的形式达到极限→ ∞在（59）中等式左侧的期望符号下。要做到这一点，必须证明“支持”的不平等性≥1 | Mn（t）|#<∞, （60）然后使用支配收敛定理。用[Mn]表示过程Mn的二次变化。利用Doob的最大不等式、二次变差的定义和（57），我们得到了“sup0≤u≤tMn（u）#≤ 4EhMn（t）i=4E[[锰]（t）]≤ 4E“Zξ（m）ησ（m）sds公司#≤ 4L（q（η）ω（η）。根据前面的估计和单调收敛定理，E“sup0≤u≤tM（u∧ξ（m）η）#<∞.因此“支持”≥1 | Mn（t）|#≤ E“sup0≤u≤t | M（u∧ ξ（m）η）|#<∞.这建立了（60）并完成了（58）中的过程是鞅这一事实的证明。让我们xλ>0。然后，对于0<ε<ε，随机指数t=exp（λεHZt∧ξ（m）ησ（m）sdZs-λε2HZt∧ξ（m）ησ（m）sds）是鞅（使用（57）和Novikov条件）。在其余的证明中，我们将假设0<ε<ε。根据（57）和上述马丁性条件，e“exp（λεHZt∧ξ（m）ησ（m）sdZs）#=E“Etexp（λε2HZt∧ξ（m）ησ（m）sds）#≤ 经验值λε2HL（q（η））ω（η）< ∞, （61）对于所有t∈ [0, 1]. 将t=1插入（61），我们得到“exp（λεHZξ（m）ησ（m）sdZs）”#≤ 经验值λε2HL（q（η））ω（η）.

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