然后，MLEbbTof b是强一致且渐近正态的，即bbTa。s-→ b作为T→ ∞, 和√T（bbT- b） D-→ N0，σba作为T→ ∞.（5.2）随机缩放，σZTYsds公司1/2（bbT- b） D-→ N（0，1）为T→ ∞.证据根据命题4.2，对于所有T存在唯一的MLEbbTof b∈ R++，其形式如（4.3）所示。根据定理2.5的（i），（Yt）t∈R+具有唯一的定态d分布π，其中R∞yπ（dy）=ab∈ R++。根据定理2.5的（ii），我们得到了trtysdsa。s-→R∞yπ（dy）为T→ ∞,也意味着危险DSA。s-→ ∞ 作为T→ ∞. 平方可积鞅的二次变分过程Rt公司√YsdWs公司t型∈R+采用以下形式RtYsdst型∈R+，使用（5.1）和TheoremB。我们有BBTA。s-→ b作为T→ ∞. 此外，使用定理B.2和η：=R∞yπ（dy）1/2和Slutsky引理，我们有√T（bbT- b） =-σ√TRT公司√YsdWsTRTYsdsD-→ -σR∞yπ（dy）1/2N（0，1）R∞yπ（dy）=N0，σR∞yπ（dy）作为T→ ∞, 通过（2.16），我们得到（5.2）。此外，Slutsky引理产生σZTYsds公司1/2（bbT- b） =σTZTYsds公司1/2√T（bbT- b） D-→σZ∞yπ（dy）1/2N0，σR∞yπ（dy）= N（0，1）为T→ ∞. 6极大似然估计在临界情况下的一致性首先，我们描述了微分方程（3.1）ast的解ψu，vo的渐近行为→ ∞ 如果b=0，则使用所谓的分离器技术。注意，对于b，σ∈ R+，δ∈ R++和α∈ （1，2），函数R- x 7→eR（x）：=R(-x） =σx+Δαα(-x） α-bx是严格单调递减、连续、凸和limx→-∞eR（x）=+∞.实际上，eR′（x）=σx- δα(-x） α-1.- b<0，x∈ R--, andeR′（x）=σ+Δα（α- 1)(-x） α-2> 0，x∈ R--. 因此，对于所有v∈ R--, 方程式R(-x） =σx+Δαα(-x） α-bx=-v、 x个∈ R-, hasa唯一的负解，用cv表示∈ R--. 此外，如果x∈ （cv，0），然后是R(-x） <-v、 即R(-x） +v<0；如果x∈ (-∞, cv），然后R(-x） >-v、 即R(-x） +v>0.6.1命题。让a∈ R+，b=0，σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2).

那么对于所有u∈ R-和v∈ R--, 微分方程（3.1）的唯一局部有界解ψu，vo满足极限→∞ψu，v（t）=cv。此外，ψu，v（t）∈ （cv，0），t∈ R+如果cv<u 6 0；ψu，v（t）∈ (-∞, cv），t∈ 如果u<cv，则为R+；ψu，v（t）=cv，t∈ R+如果u=cv。证据让v∈ R--固定。根据定理3.1，ψu，v（t）∈ R--对于所有t∈ R++。设Q（x）：=R(-x） +v=σx+Δαα(-x） α+v，x∈ R-. 注意，Q在R上是连续可微的--.此外，Q（x）=0，x∈ R-, 当且仅当x=cv且x的Q（x）<0时保持∈ （cv，0）和Q（x）>0表示x∈ (-∞, cv）。如果ψu，v（0）=u=cv，则微分方程（3.1）的唯一局部有界解的形式为ψu，v（t）=cv，t∈ R+，因为在这种情况下ψ′u，v（t）=0，t∈ R+，和σ（ψu，v（t））+Δα(-ψu，v（t））α+v=σcv+Δα(-cv）α+v=Q（cv）=0，t∈ R+，因此（3.1）成立。如果ψu，v（0）=u>cv，则ψu，v（t）>所有t的cv∈ R+。事实上，相反，让我们假设存在∈ R++使得ψu，v（t）=cv（这可以假设为ψu，v的连续性）。那么ψu，v（t）=cv将保持所有t∈ R+，因为众所周知，如果自治普通微分方程的两个最大解（右手边有一个连续可微分函数）在某些点重合，那么它们的范围重合，如Arnol\'d[3，第118页的推论]，并且相同的cvfunction是（3.1）的解（没有初始值）。由于ψu，v（0）>cv，这就导致了一个矛盾。因此，by（3.1），ψ′u，v（t）=Q（ψu，v（t））<0，t∈ R+，得到ψu，vis单调递减。由于ψu下面有cv，因此存在一个ecv∈ R-使ecv>cvand limt→∞ψu，v（t）=ecv。需要检查ecv=cv。我们证明Q（ecv）=0，产生ecv=cv，因为cv是Q（x）=0，x的唯一根∈ R-. 相反，让我们假设Q（ecv）>0（Q（ecv）<0的情况可以类似地处理）。

由于Q在ecv处是连续的，因此存在κ>0，使得所有x的Q（x）>Q（ecv）∈ R-满足| x-ecv |<κ。自限制以来→∞ψu，v（t）=ecv，存在t>0，使得|ψu，v（t）-ecv |<κ表示t>t。因此ψ′u，v（t）=Q（ψu，v（t））>Q（ecv），t>t。对[t，t]积分，我们得到ψu，v（t）- ψu，v（T）>Q（ecv）（T-T），T>T。假设Q（ecv）>0，取极限T→ ∞, 我们受到限制→∞ψu，v（t）=∞, 使我们屈服于矛盾。ψu，v（0）=u<cv的情况可以简单地处理，命题的其他部分也可以处理。6.2定理。让a∈ R++，b=0，σ，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+。那么MLE ofb是强一致的，即bbTa。s-→ b作为T→ ∞.证据Sin ce公司RtYsdst型∈R+是单调递增的P-几乎可以肯定，存在一个[0，∞]-valuedrandom变量ξ使RTYSDSA。s-→ ξ为t→ ∞, 因此，根据支配收敛定理，limt→∞E经验值vRtYsds公司= E[evξ]对于任何v∈ R-. 根据定理3.1，b=0，我们有经验值vZtYsds= 经验值yψ0，v（t）+aZtψ0，v（s）ds, t型∈ R+，v∈ R-.首先我们检查（6.1）Ztψ0，v（s）ds=Zψ0，v（t）xσx+Δαα(-x） 所有t的α+Vdx∈ R++和v∈ R--, 其中函数ψ0，v:R+→ R-由（3.1）给出。回想一下，对于所有v∈ R--, 简历∈ R--表示方程σx+Δαα的唯一负解(-x） α+v=0，我们有σx+Δα(-x） 所有x的α+v<0∈ （cv，0），并根据命题6.1，ψ0，v（t）∈ （cv，0）对于所有t∈ R+。因此，通过（3.1），函数[0，t] s 7→ ψ0，v（s）∈ （cv，0）是严格递减且连续可差的，因此，对于所有t∈ R++，通过代换x=ψ0，v（s）得到ztψ0，v（s）ds=Zψ0，v（t）xψ′0，v（ψ-10，v（x））dx，因此（6.1），其中ψ-vdenotesψ0的倒数，v.By（6.1），我们有经验值vZtYsds= 经验值yψ0，v（t）+aZψ0，v（t）xσx+Δαα(-x） α+vdx对于t∈ R++和v∈ R--.

根据第6.1条提案，限制→∞ψ0，v（t）=cv和hencelimt→∞Zψ0，v（t）xσx+Δαα(-x） α+vdx=Zcvxσx+Δα(-x） α+vdx=-∞.在这里，可以按如下方式检查最后一步。我们有Limx→cvσx+Δαα(-x） α+vx-cv=limx→cv（R(-x） +v）- （R）(-cv）+v）x-cv=-R′(-cv）=σcv-δα(-cv）α-1<0，因此存在x∈ （cv，0）使得σx+Δαα(-x） α+vx-cvσcv-δα(-cv）α-1对于所有x∈ （cv，x）。HenceZcvxσx+Δαα(-x） α+vdx 6Zcvxxσx+Δα(-x） α+vdx2xσcv- δα(-cv）α-1Zcvxx-cvdx=-∞,根据需要。因此，由于∈ R++，我们有限制→∞E经验值vZtYsds= exp{ycv+a(-∞)} = 0，v∈ R--,从而得出E（evξ）=0，v∈ R--. Sin ce，为所有v∈ R--,E（evξ）=E（evξ|ξ=∞) P（ξ=∞) + E（evξ|ξ<∞) P（ξ<∞)= 0·P（ξ=∞) + E（evξ|ξ<∞) P（ξ<∞),we h have 0=E（evξ|ξ<∞) P（ξ<∞), 得出P（ξ<∞) = 0，即P（ξ=∞) = 1、我们已经证明了RTYSDSA。s-→ ∞ 作为t→ ∞. 由于平方可积鞅的二次变分过程Rt公司√YsdWs公司t型∈R+采用以下形式RtYsdst型∈R+，使用（5.1）和TheoremB。我们有BBTA。s-→ b作为T→ ∞, 根据需要。在临界情况下，对所讨论的极大似然估计的渐近行为的描述仍然是开放的。7超临界情况下极大似然估计的渐近行为7.1定理。让a∈ R+，b∈ R--, σ ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2).

Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y=Y）=1且有一些Y的唯一强解∈ R+。（i） 然后存在一个随机变量V和P（V∈ R+=1 suc h thatebtYta。s-→ V和ebtZtYudua。s-→ -Vbas t→ ∞.（ii）此外，V的拉普拉斯变换采用公式E（euV）=expyψ*u+Z-ψ*uF（z）R（z）dz, u∈ R-,（7.1）其中函数F和R在命题2.1中给出，ψ*u： =限制→∞ψuebt，0（t），其中函数ψuebt，0:R+→ R-由（3.1）给出。（iii）进一步，ψ*= 0和ψ*u=-K-1(-u） 适用于所有u∈ R--, 其中K-1判定严格递增函数K的逆：（0，θ）→ R++由k（λ）给出：=λexpZλbR（z）-zdz公司, λ ∈ （0，θ），其中θ=inf{z∈ R++：R（z）∈ R+}∈ R++。（iv）此外，如果∈ R++，然后是P（V∈ R++）=1。在下一个备注中，我们将介绍ψ的更多性质*u、 u型∈ R--.7.2备注。（i） 对于所有λ，θ∈ （0，θ），我们有K（θ）K（λ）=θλexpZθλbR（z）-zdz公司=θλexpZθλbR（Z）dz-（对数（θ）-对数（λ））= 经验值ZθλbR（Z）dz,henceZθλbR（z）dz=对数K（θ）K（λ）.因此，对于所有λ∈ （0，θ）和u∈ R--, 我们得出结论-ψ*uλbR（z）dz=对数K级(-ψ*u） K（λ）= 日志K（K-1(-u） ）K（λ）= 日志-英国（λ）.（ii）利用反函数导数的公式，我们得到了dduψ*u=K′（K-1(-u） ）=K′(-ψ*u） =R(-ψ*u） 黑色(-ψ*u） ，u∈ R--.定理7.1的证明。首先，我们检查函数K是否定义良好并严格递增（0，θ）。观察R（z）=σz+Δαzα+bz∈ R--对于所有z∈ (0, θ). 此外，我们还有（7.2）bR（z）-z=-σz+Δαzα-1R（z）∈ R++，z∈ (0, θ).此外，limz↓0bR（z）-zz2型-α= -Δαbα∈ R++，因此存在z∈ （0，θ）使得bR（z）-zz2型-α6 -2Δαbα适用于所有z∈ （0，z）。亨塞尔茨bR（z）-zdz 6-2δαbαRzzα-2dz<∞. 函数（0，θ） z 7→bR（z）-z∈ R++是连续的，因此积分RλzbR（z）-zdz存在且对所有λ都是有限的∈ （0，θ），因此函数K定义得很好。

注意，积分rλ的存在性和唯一性bR（z）-zdz也遵循命题3.14及其在Li[25]中的证明，sinceR∞z log（z）m（dz）<∞, 其中，度量值m的形式为m（dz）=ΔαCαz-1.-αR++（z）dz。实际上，通过部分积分，（7.3）Z∞z log（z）m（dz）=ΔαCαz∞log（z）zαdz=δαCα1.- αlimz→∞对数（z）zα-1.-Z∞z-α1 -αdz=ΔαCα（1- α)< ∞.函数K在（0，θ）上严格递增，自br（z）起-z∈ R++适用于所有z∈ （0，θ），我们有limλ↓0K（λ）=0和limλ↑θK（λ）=+∞, 得出函数K的范围为R++，因此逆K-1定义于R++。的确，limz↑θR（z）z-θ=limz↑θR（z）-R（θ）z-θ=R′（θ）。我们有R′（θ）∈ R++，因为R（0）=0且R（θ）=0产生θ的存在∈ （0，θ），R′（θ）=0，函数R′在R+上严格递增。因此存在z∈ （0，θ）suchthatR（z）z-θ6 2R′（θ）对于所有z∈ （z，θ）。因此，对于所有λ∈ （z，θ），我们有zλbR（z）-zdz>-σz+Δαzα-12R′（θ）Zλzz- θdz→ +∞ asλ↑ θ.（i） 我们证明了一个适当的非负随机变量V的存在性。我们检查E（Yt | FYs）=E（Yt | Ys）=E-b（t-s） Ys+aebsZtse-BXDX适用于所有s、t∈ R+0 6 s 6 t，其中FYt：=σ（Ys，s∈ [0，t]），t∈ R+。第一个等式源自过程（Yt）t的马尔可夫性质∈R+。秒相等是马尔可夫过程Y的时间同质性和E（Yt | Ys=Y）=E（Yt）这一事实的结果-s | Y=Y）=e-b（t-s） y+aZt-东南方-bxdx，t∈ R+，y∈ R+，遵循命题2.3。ThenE（ebtYt | FYs）=ebsYs+aeb（s+t）Ztse-bxdx>ebsYsfor all s，t∈ R+与0 6 s 6 t，因此，过程（ebtYt）t∈R+是关于过滤（FYt）t的非负次鞅∈R+。

此外，E（ebtYt）=y+aebtZte-bxdx=y+aZtebxdx 6 y+aZ∞ebxdx=y-ab<∞, t型∈ 因此，根据次鞅收敛定理，存在一个非负随机变量Vsuch thatebtYta。s-→ V作为t→ ∞.（7.4）此外，如果ω∈ Ohm 使得ebtYt（ω）→ V（ω）为t→ ∞ , 然后，通过积分Toeplitz引理（seeK¨uchler and Sorensen[24，引理B.3.2]），我们得到了-buduZtYu（ω）dω=Rte-布杜兹特-bu（ebuYu（ω））du→ V（ω）为t→ ∞.HereRte公司-budu=e-英国电信-1.-b、 t型∈ R+，因此我们得出结论Btztyudu=1- ebt公司-bRtYuduRte公司-布杜阿。s-→ -Vbas t→ ∞.（7.5）第（ii）、（iii）和（iv）项的首次证明。对于u=0，我们很容易得到（7.1），因为微分方程（3.1）的唯一局部有界解是ψ0,0（t）=0，t∈ R+，表示ψ*= 0、收敛性ebtYta。s-→ V作为t→ ∞ 暗示ebtYtD-→ V作为t→ ∞, 因此，根据连续性理论，limt→∞E（exp{uebtYt}）=所有u的E（euV）∈ R-. 根据定理3.1，我们得到（7.6）E（exp{uebtYt}）=expyψuebt，0（t）+aZtψuebt，0（s）ds, t型∈ R+，因此限制→∞经验值yψuebt，0（t）+aZtψuebt，0（s）ds= E（euV）∈ （0，1）存在。注意函数ψuebt，0，u∈ R-, 不要依赖于a和y的值。因此，a=0和一些y∈ R++，我们得到极限limt→∞经验值ψuebt，0（t）存在，因此限制→∞ψuebt，0（t）=ψ*uexists也是。

使用（2.7）和ψu，0（s）=-vs公司(-u） 对于所有s∈ R+和u∈ R-（见备注3.2第（i）部分），我们得到AZTψuebt，0（s）ds=Z-ψuebt，0（t）-uebtF（z）R（z）DZ适用于所有t∈ R+和u∈ R--令人满意的-uebt∈ （0，θ），与（7.6）一起，得出（7.1）。如果t∈ R+和u∈ R--令人满意的-uebt∈ （0，θ），然后根据命题2.1第（iii）部分的证明，-ψuebt，0（t）∈ （0，θ），因此，根据Li[25]中的命题3.3，Z-ψuebt，0（t）-uebtR（z）dz=-t、 它得到（7.7）Z-ψuebt，0（t）-uebtbR（z）-zdz=-英国电信-Z-ψuebt，0（t）-uebtzdz。（7.7）的右侧为（7.8）-英国电信-Z-ψuebt，0（t）-uebtzdz=-英国电信- （日志(-ψuebt，0（t））- 日志(-uebt））=日志(- u）- 日志(-ψuebt，0（t））。我们已经证明了这一点-ψuebt，0（s）∈ （0，θ）对于所有s∈ R+屈服-ψ*u∈ [0, θ]. 莱廷特→ ∞ 在（7.7）中，我们得出结论-ψ*u∈ (0, θ). 的确，ψ*u=0是不可能的，因为（7.7）的左侧将趋向于0，（7.7）的右侧将趋向于+∞ （见（7.8））。此外，ψ*u=-θ不可能，因为（7.7）的左侧会倾向于toRθbR（z）-zdz=+∞（参见证明的开头），并且（7.7）的右侧将倾向于记录(-u）- 对数（θ）（见（7.8））。因此-ψ*u∈ （0，θ），并让t→ ∞ 在（7.7）中，我们得到-ψ*ubR（z）-zdz=对数(-u）- 日志(- ψ*u） 适用于所有u∈ R--. 可以用公式u=ψ表示*uexpZ-ψ*ubR（z）-zdz公司.因此，u=-K级(-ψ*u） 适用于所有u∈ R--. 函数K在（0，θ）上三次增加，见证明的开头，因此我们得出ψ*u=-K-1(-u） 适用于所有u∈ R--.接下来，我们检查∈ R++，然后是P（V∈ R++）=1。单调收敛定理产生E（euV）↓ E（{V=0}）=P（V=0）作为u→ -∞. 我们哈维利姆→-∞ψ*u=-利木→-∞K-1(-u） =-θ、 自limλ↑θK（λ）=+∞, 请参见标题的开头。因此，通过（7.1），我们得到了Limu→-∞E（euV）=经验值- yθ+ZθF（Z）R（Z）dz= 0，因此P（V∈ R++）=1，正弦θF（z）R（z）dz=- ∞ .

事实上，在证明的开始，存在z∈ （0，θ）使得r（z）z-θ6 2R′（θ）对于所有z∈ （z，θ）带R′（θ）∈ R++，henceRθF（z）R（z）dz 6RθzF（z）R（z）dz 6az2R′（θ）Rθzz-θdz=-∞.第二次证明（ii）、（iii）和（iv）。这一证明的思想是为了证明错误。首先，我们需要介绍一些基于Li的符号[25]。对于所有t∈ R+，letvt：=limλ→∞vt（λ），存在于（0，∞], 参见Li【25，定理3.5】，其中vt（λ），t，λ∈ 命题2.1的（iii）中给出了R+。Letv：=限制→∞存在于R+中的vt，已知v是方程R（z）=0，z的最大根∈ R+，见Li【25，定理3.8】。实际上，在我们的情况下，Li[25]中的条件3.6成立，sinceR（z）>bz+Δαzα>Δα2αzα>0表示z>-2bαδαα-1=：eθ>0，andZ∞eθR（z）dz<2αδαz∞eθz-αdz=2αeθ1-αδα(α - 1)< ∞.此外，Li【25，第63页】，v=θ和θ-2bαδαα-1、由于R′（0）=b<0，R′（z）=σ+Δα（α- 1） zα-2> 0，z∈ R++，和limz→∞R（z）=∞, 我们得到了R的正根，产生V=θ>0。对于所有t∈ R+，let[0，vt） 问题7→ ηt（q）是r的逆函数+ λ 7→ vt（λ），由于R+ λ 7→ vt（λ）是严格单调递增的，见Li【25，命题3.1】。根据李【25，提案3.14】，我们有限制→∞ηt（λ）ebt=K（λ）∈ R++，λ∈ (0, θ).（7.9）事实上，b∈ R--, 和（7.3），R∞z log（z）m（dz）<∞, 其中，度量值m取形式m（dz）=ΔαCαz-1.-αR++（z）dz。极限K（λ）isK（λ）=λexp的形式ZλbR（z）-zdz公司, λ ∈ （0，θ），然后是L i[25]中命题3.14的证明。

使用（7.4）和（7.9），我们得到了所有λ∈ （0，θ），ηt（λ）Yta。s-→ K（λ）V=：Uλ为t→ ∞.（7.10）使用与Li[25]中定理3.13和3.15的证明相同的思想，我们证明了E（euUλ）=exp-yf公司(-u、 λ）+Zf(-u、 λ）F（z）R（z）dz, u∈ R-, λ ∈ （0，θ），（7.11），其中f(-u、 λ）：=极限→∞vt公司(-uηt（λ））∈ [0，θ）和，如果是u∈ R--, f级(-u、 λ）∈ （0，θ）及其atis fieszf(-u、 λ）λR（z）dz=对数(-u） b.（7.12）情况u=0是微不足道的，因为在这种情况下f(-u、 λ）=f（0，λ）=limt→∞vt（0）=0，因为vt（0）=0，t∈ R+表示u=0。所以我们可以假设u∈ R--.请注意，integralRf(-u、 λ）F（z）R（z）dz定义良好。首先我们检查（7.13）ZλR（Z）dz=+∞,ZθλR（Z）dz=-∞, λ ∈ (0, θ).事实上，我们有limz↓0R（z）z=b∈ R--, 因此存在z∈ （0，λ）使得r（z）zb表示所有z∈ （0，z）。HenceRλR（z）dz>Rzbzdz=+∞. 此外，在证明开始时，存在z∈ （λ，θ）这样的th atR（z）z-θ6 2R′（θ）对于所有z∈ （z，θ）带R′（θ）∈ R++。HenceRθλR（z）dz 62R′（θ）Rθzz-θdz=-∞. 因此，f(-u、 λ）不能是方程r（z）=0，z的根∈ R+，即f(-u、 λ）/∈ {0，θ}，否则，由（7.13）可知，（7.12）的左侧为±∞, 但（7.12）的右侧是一个实数。因此，使用与（2.7）证明中相同的论证，我们得到了f(-u、 λ）∈ (0, θ). 被积函数在[0，f]上继续(-u、 λ）]，因为在a=0的情况下，被积函数为零，而在a的情况下∈ R++，根据θ的定义，我们所有z的R（z）<0∈ （0，θ），因此对于所有（0，f(-u、 λ）]，和limz↓0F（z）R（z）=ab∈ R--.接下来，通过（7.10），我们得到ηt（λ）YtD-→ Uλ为t→ ∞ 对于所有λ∈ （0，θ）和（2.4），对于所有u∈ R-和λ∈ （0，θ），我们得到（euUλ）=limt→∞E（exp{uηt（λ）Yt}）=limt→∞经验值- yvt公司(-uηt（λ）+Zvt(-uηt（λ））-uηt（λ）F（z）R（z）dz,（7.14）自ηt（λ）起↓ 0作为t→ ∞ （见Li【25，命题3.14的证明】），因此对于所有u∈ R--, 我们有- uηt（λ）∈ （0，v）=（0，θ）对于足够大的t。

回想一下，根据Li【25】中的公式（3.23），如果ηt（λ）和-uηt（λ）属于（0，θ）=（0，v），其中λ∈ （0，v），然后ZVT(-uηt（λ））λR（z）dz=z-uηt（λ）ηt（λ）R（z）dz。自ηt（λ）↓ 0作为t→ ∞, 适用于所有u∈ R--, 我们有ηt（λ），- uηt（λ）∈ （0，v）表示足够大，表示所有u∈ R--,限制→∞零电压互感器(-uηt（λ））λR（z）dz=limt→∞Z-uηt（λ）ηt（λ）R（z）dz=limt→∞Z-uηt（λ）ηt（λ）bzdz=limt→∞日志(-u） b=对数(-u） b，我们用limz的地方↓0R（z）bz=1。函数（0，v） x 7→RxλR（z）dz=：G（x）是连续且严格递减的，而其逆也是连续且急剧递减的，这意味着对于所有∈ R--和λ∈ （0，v），极限F(-u、 λ）=极限→∞vt公司(-uηt（λ））=极限→∞G-1（G）（vt(-uηt（λ））=G-1.日志(-u） b类存在并满足（7.12），其中G-1取G的倒数，因为（7.13）是Gis R的范围。因此，利用积分上限函数的连续性，ηt（λ）↓ 0as t→ ∞, 和（7.14），我们有（7.11），根据需要。使用该K（λ）∈ R++和V=Uλ/K（λ），我们有E（euV）=E（euUλ/K（λ）），U∈ R-, 然后是（7.11）收益率（7.1）。我们指出，在（7.1）的第二个证明中，我们无法直接使用（7.4），这就是为什么在上述论证中使用ηt（λ）对我们来说是真正必要的。接下来，我们检查∈ R++，然后是P（V∈ R++）=1。根据总概率定律，E（euUλ）=1·P（E-Uλ=1）+E（euUλ| E-Uλ6=1）P（e-Uλ6=1），U∈ R-, 因此，根据支配收敛定理和（7.11），P（e-Uλ=1）=limu→-∞E（euUλ）=limu→-∞经验值- yf公司(-u、 λ）+Zf(-u、 λ）F（z）R（z）dz= 经验值- yθ+ZθF（Z）R（Z）dz,我们使用的是（7.13），limu→-∞f级(-u、 λ）=limu→-∞G-1.日志(-u） b类= 石灰→-∞G-1（y）=θ=v（另见Li[25，定理3.15的证明]）。如果是∈ R++，我们有RθF（z）R（z）dz=-∞（见（iv）第一个证明的末尾），因此P（e-Uλ=1）=0。

这就产生了，在∈ R++，P（Uλ=0）=0，且自K（λ）∈ R++，我们有P（V=0）=0，即P（V∈ R++）=1。在下一条备注中，我们将定理7.1专门化为σ=0.7.3备注的情况。在定理7.1的条件下，在σ=0的情况下，利用定理7.1的第（ii）部分，我们推导了V的拉普拉斯变换，得到了一个显式表达式。调用函数ψuebt处的th，0:R+→ R-是微分方程ψ′uebt的唯一局部有界解，0（s）=Δαα(-ψuebt，0（s））α- bψuebt，0（s），s∈ R+，ψuebt，0（0）=uebt。（7.15）我们必须确定极限→∞ψuebt，0（t）。如果u=0，则微分方程（7.15）的唯一局部有界解为ψuebt，0（s）=0，s∈ R+，因此在这种情况下→∞ψuebt，0（t）=0。下面，让我们假设∈ R--. 微分方程（7.15）（可转化为伯努利微分方程）的唯一解为ψuebt，0（s）=-(-uebt）1-α+Δαbαeb（α-1） s-Δαbα1.-α、 s∈ R+，因此，根据定理7.1第（ii）部分，ψ*u=极限→∞ψuebt，0（t）=-(-u） 1个-α-Δαbα1.-α、 u型∈ R--,和henceE（euV）=exp-y(-u） 1个-α-Δαbα1.-α+aZ(-u） 1个-α-Δαbα1.-αδαzα-1+bdz, u∈ R--.我们可以导出ψ的上述公式*u、 u型∈ R--, 同样使用定理7.1的第（iii）部分。我们有θ=-bαδαα-1和，乘以（7.2），ZλbR（z）-zdz=-ZλΔαZα-2Δααzα-1+bdz=-α - 1.日志δααλα-1+b- 日志（b）= 日志δααλα-1+bb-α-1.对于所有λ∈ (0, θ). 因此，K（λ）=λΔαbαλα-1+ 1-α-1=Δαbα+λ1-α1.-α, λ ∈ （0，θ），因此ψ*u=-K-1(-u） =-(-u） 1个-α-Δαbα1.-α、 u型∈ R--.7.4定理。让a∈ R++，b∈ R--, σ, δ ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+。

然后，B的极大似然估计是强相合和渐近混合正态的，即bbTa。s-→ b作为T→ ∞, 安第斯山脉-英国电信/2（bbT- b） D-→ σZ-Vb-1/2为T→ ∞,其中，V是具有（7.1）中给出的拉普拉斯变换的正随机变量，Z是标准正态分布随机变量，与V无关。通过随机缩放，我们得到σZTYsds公司1/2（bbT- b） D-→ N（0，1）为T→ ∞.证据根据命题4.2，对于所有T存在唯一的MLEbbTof b∈ 采用（4.3）中给出的形式的R++。根据定理7.1，ebtRtYsdsa。s-→ -Vbas t→ ∞, 其中P（V∈ R++）=1，Henceztysds=e-btebtZtYsdsa。s-→ ∞ ·-Vb= ∞ 作为t→ ∞.自平方可积鞅的q值变分过程Rt公司√YsdWs公司t型∈R+采用以下形式RtYsdst型∈R+，使用（5.1）和T heorem B.1，我们得到了BBTA。s-→ b作为T→ ∞. 此外，根据（5.1），e-英国电信/2（bbT- b） =-σebT/2RT√YsdWsebTRTYsds，T∈ R++。同样，根据定理7.1，ebTRTYsdsa。s-→ -Vbas T→ ∞, 使用定理B.2和η：=-Vb1/2和v=-Vbwe有ebT/2ZTpYsdWs，-VbD-→-Vb1/2Z，-Vb！作为T→ ∞.（7.16）因此，根据连续映射定理，e-英国电信/2（bbT- b） D-→ -σZ-Vb-1/2为T→ ∞,产生第一个断言。再次应用（7.16）和连续映射定理，我们得到σZTYsds公司1/2（bbT-b） =-ebTZTYsds公司-1/2ebT/2ZTpYsdWsD-→ --Vb-1/2-Vb1/2Z=-ZD=N（0，1）作为T→ ∞,根据需要。7.5备注。在定理7.1的条件下∈ R++，-日志年初至今+年初至今, t型∈ R++，和-YtRtYsds，t∈ R++，也是b的强相合估计量。

实际上，根据定理7.1，使用P（V∈ R++）=1和P（RtYsds∈ R++）=1，t∈ R++（见命题2.1（v）），若为∈ R++，-日志年初至今+年初至今= -loge公司-beb（t+1）Yt+1ebtYt！a、 s。-→ -日志e-bVV公司= b作为t→ ∞,和-YtRtYsds=-ebtYtebtRtYsdsa。s-→ -五、-Vb=b作为t→ ∞.附录a似然比过程基于Jacod和Shiryaev【18】，参见Jacod和M’emin【16】、Sorensen【36】和Luschgy【30】，我们回顾了由半鞅诱导的概率测度绝对连续性的某些有效条件，以及相应的Radon–Nikodym导数的表示（似然比过程）。设D（R+，Rd）表示定义在R+上的Rd值c\'adl\'ag函数的空间。Let（ηt）t∈R+表示正则过程ηt（ω）：=ω（t），ω∈ D（R+，Rd），t∈ R+。放置Fηt：=σ（ηs，s∈ [0，t]），t∈ R+，和dt（R+，Rd）：=\\ε∈R++Fηt+ε，t∈ R+，D（R+，Rd）：=σ[t∈R+Fηt！。Letψ Rk是任意非空集，设Pψ，ψ∈ ψ是规范空间上的概率测度（D（R+，Rd），D（R+，Rd））。假设对于每个ψ∈ ψ，在Pψ下，正则过程（ηt）t∈R+是一个半鞅，其半鞅特征（B（ψ），C，ν（ψ））与固定的Borel可测截断函数h:Rd相关联→ Rd、s ee Jacod和Shiryaev【18，定义I.2.6和备注II.2.8】。

即Ct：=h（ηcont）（ψ）it，t∈ R+，其中（h（ηcont）（ψ）it）t∈R+表示η在Pψ下的连续鞅部分（ηcont）（ψ）的（可预测的）二次变化过程（Rd×d），ν（ψ）是整值随机测度μηonR+×Rd的补偿器，与μη（ω，dt，dx）给出的η在Pψ下的跳跃相关：=Xs∈R+{ηs（ω）6=0}ε（s，ηs（ω））（dt，dx），ω∈ D（R+，Rd），其中ε（t，x）表示点（t，x）处的狄拉克测度∈ R+×Rd，和ηt：=ηt-ηt-, t型∈ R++，η： =0，B（ψ）是可预测的过程（其值在每个有限区间内具有有限的变化[0，t]，t∈ R+）出现在正则分解ηt=η+M（ψ）t+B（ψ）t，t∈ 特殊半鞅（eηt）t的R+∈在Pψ下的R+由ηt给出：=ηt-Xs型∈[0，t]（ηs- h类(ηs）），t∈ R+，其中（M（ψ）t）t∈R+是M（ψ）=0的局部鞅。我们提请注意，通过假设，过程C=h（ηcont）（ψ）i并不依赖于ψ，尽管（ηcont）（ψ）可能依赖于ψ。此外，对于每个ψ，假设Pψ（ν（ψ）（{t}×Rd）=0）=1∈ ψ，t∈ R+，和pψ（η=x）=1，带s ome x∈ Rdfor everyψ∈ Ψ. 注意，我们有半鞅表示ηt=x+B（ψ）t+（ηcont）（ψ）t+ZtZRdh（x）（uη- ν（ψ））（ds，dx）+ZtZRd（x-h（x））uη（ds，dx），t∈ R+，η在Pψ下，见Jacod和Shiryaev【18，定理II.2.34】。此外，对于每个ψ∈ ψ，让我们选择一个非减量、连续、自适应的过程（F（ψ）t）t∈R+，F（ψ）=0，可预测过程（c（ψ）t）t∈所有对称正半定d×d矩阵集合中的值为R＋，对于每t∈ R+。由于假设Pψ（ν（ψ）（{t}×Rd）=0）=1∈ ψ，t∈ R+，这样的选择（F（ψ）t）t∈R+和（c（ψ）t）t∈R+是可能的，见Jacod和Shiryaev[18，命题II.2.9和推论II.1.19]。设P表示可预测的σ-代数onD（R+，Rd）×R+。

还假设对于每个ψ，eψ∈ ψ，存在一个PB（Rd）-可测函数v（eψ，ψ）：D（R+，Rd）×R+×Rd→ R++和满足ν（ψ）（dt，dx）=V（eψ，ψ）（t，x）ν（eψ）（dt，dx），（a.1）ZtZRd的可预测Rd值过程β（eψ，ψ）qV（eψ，ψ）（s，x）- 1.ν（eψ）（ds，dx）<∞,（A.2）B（ψ）t=B（eψ）t+Ztc（ψ）sβ（eψ，ψ）sdF（ψ）s+ZtZRd（V（eψ，ψ）（s，x）- 1） h（x）ν（eψ）（ds，dx），（A.3）Zt（β（eψ，ψ）s）c（ψ）sβ（eψ，ψ）sdF（ψ）s<∞,（A.4）Pψ——几乎可以肯定每t∈ R+。此外，假设对于每个ψ∈ ψ，局部唯一性适用于正则空间上的鞅问题，该空间对应于三元组（B（ψ），C，ν（ψ）），初始值为给定的x，Pψ为其唯一解。然后对于每个T∈ R+，Pψ，对于Peψ，T是绝对连续的，其中Pψ，T：=Pψ| DT（R+，Rd）表示PψtoDT（R+，Rd）的限制（类似于f或Peψ，T），在Peψ，T下，相应的似然比过程采用形式d Pψ，Td Pe）=ψ，T（η）ZT（β（eψ，ψ）s）d（ηcont）（eψ）s-ZT（β（eψ，ψ）s）c（ψ）sβ（eψ，ψ）sdF（ψ）s+ZTZRd（V（eψ，ψ）（s，x）- 1) (uη- ν（eψ））（ds，dx）+ZTZRd（log（V（eψ，ψ）（s，x））- V（eψ，ψ）（s，x）+1）uη（ds，dx）（A.5），对于所有T∈ R++，见Jacod和Shiryaev【18，定理III.5.34】。使用Jaco d和Shiryaev[18]对（A.5）进行的详细证明可在Barczy等人[2，附录A]中找到。B连续局部鞅的极限定理下面我们回顾一些连续局部鞅的极限定理。我们使用这些极限定理来研究b的极大似然估计的渐近性质。首先，我们回顾了连续局部鞅的一个强大的largenumbers定律。B、 1定理。（Liptser和Shiryaev【28，引理17.4】）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。Let（Mt）t∈R+be a squ是关于过滤（Ft）t的可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。

Let（ξt）t∈R+是一个可测量的过程，这样PZtξudhMiu<∞= 1，t∈ R+，和ZTξudhMiua。s-→ ∞ 作为t→ ∞,（B.1）其中（hMit）t∈R+表示M.thenntξudMuRtξudhMiua的二次变化过程。s-→ 0作为t→ ∞.（B.2）如果（Mt）t∈R+是一个标准的维纳过程，（ξt）t的渐进可测性∈R+可以被重新定义为可测量性和对过滤（Ft）t的适应性∈R+。下一个定理是关于连续多元局部鞅的渐近行为，参见van Zanten【37，定理4.1】。B、 2定理。（van Zanten【37，定理4.1】）Le tOhm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。Let（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的d维平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。假设存在一个函数Q:[t，∞) → Rd×D，带一些t∈ 使得Q（t）是所有t的可逆（非随机）矩阵∈ [t，∞), 限制→∞kQ（t）k=0和q（t）hM itQ（t）P-→ ηη作为t→ ∞,其中η是d×d随机矩阵。然后，对于定义的每个Rk值随机向量v(Ohm, F、 P），我们有（Q（t）Mt，v）D-→ （ηZ，v）为t→ ∞,其中Z是与（η，v）无关的d维标准正态分布随机向量。C在α=的情况下的一些显式公式首先，在α=的特殊情况下，我们通过计算其表达式中的积分，在定理2.5中给出的亚临界和临界情况下显式表示平稳分布的拉普拉斯变换。C.1示例。在α=的情况下，我们计算了orem 2.5中给出的唯一平稳分布π的拉普拉斯变换。让u∈ R--. 根据定理2.5，Z∞euyπ（dy）=exp-亚利桑那州-uσx+2δx+bdx.通过替换x=y，Z-uσx+2δx+bdx=Z(-u） 2yσy+2δy+bdy。首先我们考虑b的情况∈ R++和σ∈ R++。

我们可以写2yσy+2δy+b=σ·2y+4δ3σy+4δ3σy+2bσ-8δ3σ·y+4δ3σy+2bσ。我们有(-u） 2y+4δ3σy+4δ3σy+2bσdy=“对数y+4δ3σy+2bσ#y型=(-u） y=0=对数σ2b(-u） +2δ3b(-u） +1个.此外，使用y+4δ3σy+2bσ=y+2δ3σ+2bσ-4δ9σ，我们得到zy+4δ3σy+2bσdy=q2bσ-4δ9σ弧长+2δ3σq2bσ-4δ9σ!+ C如果b∈2δ9σ, ∞,-y+2δ3σ+C，如果b=2δ9σ，q4δ9σ-2bσ对数y+2δ3σ-q4δ9σ-2bσy+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ!+ C如果b∈0,2δ9σ,其中C∈ R、 如果b∈2δ9σ, ∞和σ∈ R++然后，应用公式arctan（u）- arctan（v）=arctanu-v1+uv, u、 五∈ R+，我们得到(-u） y+4δ3σy+2bσdy=q2bσ-4δ9σ阿尔茨坦(-u） +2δ3σq2bσ-4δ9σ!- arctan2δ3σq2bσ-4δ9σ!=q2bσ-4δ9σarctanq2bσ-4δ9σ2bσ(-u）-+2δ3σ,和henceZ∞euyπ（dy）=σ2b(-u） +2δ3b(-u） +1个-2aσexp8aδ3σq2bσ-4δ9σarctanq2bσ-4δ9σ2bσ(-u）-+2δ3σ.如果b=2δ9σ和σ∈ R++，然后是Z(-u） y+4δ3σy+2bσdy=-(-u） +2δ3σ+2δ3σ=(-u）(-u） +2δ3σ=1+2δ3σ(-u）-,和henceZ∞euyπ（dy）=9σ4δ(-u） +3σδ(-u） +1个-2aσexp（8aδ3σ1+2δ3σ(-u）-).如果b∈0,2δ9σ和σ∈ R++，然后是Z(-u） y+4δ3σy+2bσdy=q4δ9σ-2bσ日志(-u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ- 日志2δ3σ-q4δ9σ-2bσ2δ3σ+q4δ9σ-2bσ=q4δ9σ-2bσ对数(-u）2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσ(-u）2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ,和henceZ∞euyπ（dy）=σ2b(-u） +2δ3b(-u） +1个-2aσ(-u）2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσ(-u）2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ8aδ3σr4δ9σ-2bσ。接下来我们考虑b的情况∈ R++和σ=0。然后我们可以写2y2δy+b=δ-9b2δy+3b2δ，thusZ(-u） 2y2δy+bdy=δ(-u）-9b2δ日志(-u） +3b2δ- 日志3b2δ=δ(-u）-9b2δ测井2δ3b(-u） +1个,和henceZ∞euyπ（dy）=exp-3aδ(-u）1+2δ3b(-u）9ba2δ。接下来我们考虑b=0和σ的情况∈ R++。让u∈ R-. 根据定理2.5，Z∞euyπ（dy）=exp-亚利桑那州-uσx+2δxdx.通过替换x=y，Z-uσx+2δxdx=Z(-u） 2yσy+2δydy=Z(-u） σy+2δdy。因此，Z(-u） σy+2δdy=“σlogy+4δ3σ#y型=(-u） y=0=σlog(-u） +4δ3σ-σ对数4δ3σ=σ对数3σ4δ(-u） +1个,亨塞兹∞euyπ（dy）=3σ4δ(-u） +1个-4aσ。最后，通过定理2.5的证明，如果b=0，σ=0，α=，则r∞euyπ（dy）=exp{-3aδ3/2(-u） 1/2}，u∈ R-.

C、 2示例。现在我们给出了定理3.1的一个特例，给出了α=。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且s ome Y∈ R+，带∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，δ∈ R++和α=。然后，根据定理3.1，对于所有u∈ R-,E（euYt）=经验值ψu，0（t）y+aZtψu，0（s）ds, t型∈ R+，（C.1），其中函数ψu，0:R+→ R-是微分方程ψ′u，0（t）=σψu，0（t）+2δ的唯一局部有界解(-ψu，0（t））- bψu，0（t），t∈ R+，ψu，0（0）=u.（C.2）当u=0时，（C.2）的唯一局部有界解为ψ0,0（t）=0，t∈ R+。让我们考虑函数gu（t）：=(-ψu，0（t））∈ R++，t∈ R+。那么我们有ψu，0（t）=-gu（t），ψu，0（t）=gu（t）(-ψu，0（t））=gu（t）和ψ′u，0（t）=-所有t的2gu（t）g′u（t）∈ R+和u∈ R--,因此（C.2）yieldsg′u（t）=-σgu（t）-δgu（t）-bgu（t），t∈ R+，gu（0）=(-u） 。（C.3）如果是b∈ R+，（C.3）有一个常数解当且仅当u=0，然后g（t）=ψ0,0（t）=0，对于所有t∈ R+。如果是b∈ R--, （C.3）有一个常数解，当且仅当u=0或u=u：=--2δ3σ+r4δ9σ-2bσ,然后g（t）=ψ0，0（t）=0，对于所有t∈ R+或gu（t）=(-u） ，因此ψu，0（t）=所有t的uf∈ R+。在续集中，我们假设∈ R--, 如果是b∈ R--, 此外，我们假设u 6=u。Th en，通过分离变量，我们得到gu+4δ3σgu+2bσ古德古=-σdt。如果b 6=0，则gu+4δ3σgu+2bσgu=σ2bgu-σ2bgu+2δ3bgu+4δ3σgu+2bσ=σ2bgu-σ2bgu+δ3bgu+4δ3σgu+2bσ-δ3bgu+4δ3σgu+2bσ，我们有zσ2bgu-σ2bgu+δ3bgu+4δ3σgu+2bσdgu=σ2blog（| gu |）-σ4博客gu+4δ3σgu+2bσ+ C=-σ4博客1+4δ3σgu+2bσgu+ C、 其中C∈ R

此外，u singgu+4δ3σgu+2bσ=gu+2δ3σ+2bσ-4δ9σ，我们得到zδ3bgu+4δ3σgu+2bσdgu=δ3bq2bσ-4δ9σarctangu+2δ3σq2bσ-4δ9σ!+ C如果b>2δ9σ，-如果b=2δ9σ，δ3bgu+2δ3σ+C，δ3bq4δ9σ-2bσ对数gu+2δ3σ-q4δ9σ-2bσgu+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ!+ C如果b<2δ9σ。（C.4）因此，如果b>2δ9σ，则-σ4博客1+4δ3σgu（t）+2bσgu（t）-δ3bq2bσ-4δ9σarctangu（t）+2δ3σq2bσ-4δ9σ= -σt+C，t∈ R+，带有一些C∈ R+。使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到C=-σ4博客1 +4δ3σ(-u）-2bσu-δ3bq2bσ-4δ9σarctan(-u） +2δ3σq2bσ-4δ9σ,因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出σ4blog1 +4δ3σ(-ψu，0（t））-2bσψu，0（t）1+4δ3σ(-u）-2bσu+δ3bq2bσ-4δ9σ阿尔茨坦(-ψu，0（t））+2δ3σq2bσ-4δ9σ- 阿尔茨坦(-u） +2δ3σq2bσ-4δ9σ=σt。类似地，如果b=2δ9σ，则-σ4博客1+4δ3σgu（t）+2bσgu（t）+δ3bgu（t）+2δ3σ=-σt+C，t∈ R+，带有一些C∈ R+。使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到C=-σ4博客1 +4δ3σ(-u）-2bσu+δ3b(-u） +2δ3σ，因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出σ4blog1 +4δ3σ(-ψu，0（t））-2bσψu，0（t）1+4δ3σ(-u）-2bσu-δ3b(-ψu，0（t））+2δ3σ+δ3b(-u） +2δ3σ=σt。此外，如果b 6=0且b<2δ9σ，则σ2blog（gu（t））-σ4博客gu（t）+4δ3σgu（t）+2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数gu（t）+2δ3σ-q4δ9σ-2bσgu（t）+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ= -σt+C，t∈ R+，（C.5）和一些C∈ R

使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到c=σ2blog((-u） （）-σ4博客-u+4δ3σ(-u） +2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ,因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出结论（C.6）-σ2blog((-ψu，0（t））+σ4blog-ψu，0（t）+4δ3σ(-ψu，0（t））+2bσ+σ2blog((-u） （）-σ4博客-u+4δ3σ(-u） +2bσ+δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-ψu，0（t））+2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψu，0（t））+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ=σt。最后，如果b=0，那么通过分离变量，我们得到gu+4δ3σ古德古=-σdt，其中gu+4δ3σgu=9σ16δgu+4δ3σ-9σ16δgu+3σ4δgu，henceZgu+4δ3σgudgu=9σ16δloggu+4δ3σ-9σ16δlog（gu）-3σ4δgu+C=9σ16δlog1+4δ3σgu-3σ4δgu+C，屈服9σ16δlog1+4δ3σgu（t）-3σ4δgu（t）=-σt+C，t∈ R+，带有一些C∈ R、 使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到c=9σ16δlog1 +4δ3σ(-u）-3σ4δ(-u） 因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出9σ16δlog1 +4δ3σ(-ψu，0（t））1+4δ3σ(-u）-3σ4δ(-ψu，0（t））-(-u） ！=-σt.C.3示例。在α=的情况下，我们导出了定理7.1中给出的V的拉普拉斯变换的显式公式f。事实上，我们给出了两个详细的计算，第一个是基于ψ的表示*ugiven在定理7.1的第（iii）部分，第二个基于定理7.1的第（ii）部分。基于定理7.1第（iii）部分的计算。We have（euV）=exp（yψ*u+aZ-ψ*uσx+2δx+bdx），u∈ R-,带ψ*= 0和ψ*u=-K-1(-u） 对于u∈ R--, 其中K-1是严格递增函数K的逆函数：（0，θ）→ R++由k（λ）=λexp给出(-Zλσ+2δx-σx+2δx+bdx），λ∈ （0，θ），其中我们使用（7.2）和θ=infx个∈ R++：σx+2δx+bx∈ R+=-2δ3σ+r4δ9σ-2bσ.通过替换x=y，对于所有λ∈ （0，θ），我们有zλσ+2δx-σx+2δx+bdx=Zλσy+4δσy+2δy+bdy。首先我们考虑σ的情况∈ R++。

我们可以写出σx+4δσx+2δx+b=2x+4δ3σx+4δ3σx+2bσ+4δ3σ·x+4δ3σx+2bσ。如例C.1所示，我们有zλ2x+4δ3σx+4δ3σx+2bσdx=logσ2bλ+2δ3bλ+1andZλx+4δ3σx+2bσdx=q4δ9σ-2bσ对数λ2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσλ2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ,henceK（λ）=λσ2bλ+2δ3bλ+1λ2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσλ2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ-4δ3σr4δ9σ-2bσ=δ3b+rδ9b-σ2b+λ--1.-4δ3σr4δ9σ-2bσδ3b-rδ9b-σ2b+λ--1+4δ3σr4δ9σ-2bσ。注意，K的显式公式-1不可用。接下来我们考虑σ=0的情况。通过标记7.3，我们得到θ=9b4δ，K（λ）=2δ3b+λ--2, λ ∈0,9b4δ,因此ψ*u=-K-1(-u） =-(-u）--2δ3b-2，且henceE（euV）=exp(-y(-u）--2δ3b-2+aZ(-u）--2δ3b-22δx+bdx），u∈ R--.通过替换x=y，表示所有u∈ R--, 我们有(-u）--2δ3b-22δx+bdx=Z(-u）--2δ3b-12y2δy+bdy。如示例C.1中所示，我们可以写2y2δy+b=δ-9b2δy+3b2δ，thusZ(-u）--2δ3b-12y2δy+bdy=δ(-u）--2δ3b-1.-9b2δ日志(-u）--2δ3b-1+3b2δ- 日志3b2δ=δ(-u）--2δ3b-1+9b2δ测井1.-2δ3b(-u）,和henceE（euV）=exp-y(-u）--2δ3b-2.经验值3aδ(-u）--2δ3b-1.1.-2δ3b(-u）u为9ba2δ∈ R--.基于定理7.1第（ii）部分的计算。通过（7.1），知道ψ就足够了*对V的拉普拉斯变换有一个明确的公式。我们仅在σ的情况下进行此计算∈ R++。

根据（C.6），对于所有t∈ R+和u∈ R--当uebt6=u时，我们得到-σ2blog((-ψuebt，0（t））+σ4blog-ψuebt，0（t）+4δ3σ(-ψuebt，0（t））+2bσ+σ2blog((-uebt））-σ4博客-uebt+4δ3σ(-uebt）+2bσ+δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-ψuebt，0（t））+2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψuebt，0（t））+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-uebt）+2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-uebt）+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ=σt.使用σ2blog((-uebt））=σ4blog(-u） +σt，我们得出的结论是ψ*usatis方程（C.7）-σ对数(-ψ*u） +σlog-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ+σ对数(-u）-σ对数-2bσ+δq4δ9σ-2bσ日志(-ψ*u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψ*u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ- 日志q4δ9σ-2bσ-2δ3σq4δ9σ-2bσ+2δ3σ= 根据定理7.1，R(-ψ*u） <0。我们有R(-ψ*u） =σ-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ(-ψ*u） ，此处为w-ψ*u∈ （0，θ），因此-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ<0。此外-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ=(-ψ*u） +2δ3σ-r4δ9σ-2bσ(-ψ*u） +2δ3σ+r4δ9σ-2bσ,在哪里(-ψ*u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ>0，因此(-ψ*u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ<0。因此，ψ*usatis方程（C.8）-σ对数(-ψ*u） +σlogψ*u-4δ3σ(-ψ*u）-2bσ+σ对数(-u）-σ对数-2bσ+δq4δ9σ-2bσ日志q4δ9σ-2bσ- (-ψ*u）-2δ3σq4δ9σ-2bσ+(-ψ*u） +2δ3σ- 日志q4δ9σ-2bσ-2δ3σq4δ9σ-2bσ+2δ3σ= 注意，根据定理7.1，（C.8）等价于K(-ψ*u） =-u、 我们展示了推导这个方程的另一种方法。

根据定理7.1，对于所有足够小的λ∈ R++，（C.9）Z-ψ*uλσz+2δz+bzdz=Zf-uK（λ），λλR（z）dz=博客-英国（λ）=博客(-u）-blog（K（λ））=blog(-u）-博客（λ）-bZλbR（z）-zdz。通过替换z=y，并使用（C.5），z-ψ*uλσz+2δz+bzdz=z(-ψ*u）√λσy+2δy+bydy=博客（| y |）-博客y+4δ3σy+2bσ-4δ3σbq4δ9σ-2bσ对数y+2δ3σ-q4δ9σ-2bσy+2δ3σ+q4δ9σ-2bσy型=(-ψ*u） y型=√λ=博客(-ψ*u）-博客（λ）-博客-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ+博客λ +4δ3σ√λ+2bσ-4δ3σbq4δ9σ-2bσ日志(-ψ*u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψ*u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ- 日志√λ +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ√λ+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ.此外，ZλbR（z）-zdz=Zλbσz+2δz+bz-zdz=-Zλσ+2δZ-σz+2δz+bdz。通过替换z=y，zλσ+2δz-σz+2δz+bdz=z√λσy+4δσy+2δy+bdy。我们可以写出σy+4δσy+2δy+b=σy+2δσy+2δy+b+2δσy+2δy+b，因此，通过（C.4），ZλbR（z）-zdz=-Z√λσy+4δσy+2δy+bdy=-日志σy+2δy+b+4δ3σq4δ9σ-2bσ对数y+2δ3σ-q4δ9σ-2bσy+2δ3σ+q4δ9σ-2bσy型=√λy=0=-日志σλ +2δ√λ+b+ 日志(-（b）-4δ3σq4δ9σ-2bσ日志√λ +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ√λ+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ-日志q4δ9σ-2bσ-2δ3σq4δ9σ-2bσ+2δ3σ.因此，（C.9）再次得出ψ*usatis fies方程（C.7），因此，方程（C.8）。致谢我们感谢Cl'ement Foucart为我们提供了如何推导（7.1）定理7.1中V的平面变换公式的想法。我们要感谢Hatem Zaag解释了可用于描述普通微分方程（3.1）渐近行为的几种方法。我们要感谢裁判的评论，这些评论帮助我们改进了报纸。参考文献【1】Amann，H.（1990）。普通微分方程。非线性分析导论。Walter de Gruyter，柏林，纽约。[2] Barczy，M.、Ben Alaya，M.、Keb aier，A.和Pap，G.（2019年）。

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