增长最大似然估计的渐近性质

2022-6-1 16:09:32

基于连续时间观测的稳定CIR过程增长率最大似然估计的渐近性质*,, 穆罕默德·本·阿拉亚**,艾哈迈德·凯拜尔***和丘疹脑回***** MTA-SZTE分析与随机研究小组，博莱研究所，塞格德大学，Aradiv'ertan'uk tere 1，H–6720 S zeged，匈牙利。**拉斐尔萨勒姆数学实验室，UMR 6085，卢昂大学，法国罗夫雷圣埃蒂安76801，马德里尔技术大学大道。***巴黎大学13号，巴黎索邦工业大学，拉加，法国北爱尔兰共和国（UMR 7539），法国维勒塔纽斯。***匈牙利塞格德H–6720 Szeged Aradi v'ertan'uk tere 1，塞格德大学Bolyai研究所。电子邮件：barczy@math.u-塞格德。胡（M.Barczy），穆罕默德。本-alaya@univ-鲁昂。fr（M.Ben Alaya），kebaier@math.univ-paris13.fr（A.Kebaier），papgy@math.u-塞格德。胡（G.Pap）。通讯作者。摘要我们考虑了一个由标准维纳过程驱动的稳定Cox-Ingersoll-Ross过程和一个严格正稳定的L'evy过程，并研究了基于连续时间观测的最大似然估计（MLE）增长率的渐近性质。我们区分这些案例：次临界、临界和超临界。在所有情况下，我们证明了所讨论的极大似然估计的强相合性，在亚临界情况下渐近正态性，以及在超临界情况下渐近混合正态性。

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2022-6-1 16:09:35

在临界情况下，有关MLE的交感行为的描述仍然悬而未决。1引言我们考虑了由标准维纳过程驱动的跳跃型Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程和由SDEdYt=（a- bYt）dt+σpYtdWt+ΔαpYt-dLt，t∈ [0, ∞),（1.1）2010年数学学科分类：60H10、91G70、60F05、62F12。关键词和短语：稳定的Cox-Ingersoll-Ross过程，极大似然估计。本研究由卓越实验室MME-DII支持，批准号ANR11-LBX-0023-01(http://labex-mme-dii.u-cergy.fr/). 2016年9月至2017年1月，M'aty'as Barczy获得了Tempus公共基金会资助的“Magyar'Allami E'otv'os'Oszt'ond'j 2016”第75141号赠款的支持，并于2017年9月获得了匈牙利科学院j'anos Bolyai研究奖学金的支持。Ahmed Kebaierbene得到了Risqu es金融家基金会主席的支持。几乎肯定是非负初值Y，其中a∈ [0, ∞), b∈ R、 σ∈ [0, ∞), δ ∈ (0, ∞),α ∈ （1，2），（重量）t∈[0,∞)是一维标准维纳过程，和（Lt）t∈[0,∞)是一个谱正α稳定的L'evy过程，使得L的特征函数的形式为（eiθL）=expZ∞（eiθz- 1.-iθz）Cαz-1.-αdz, θ ∈ R、（1.2）式中Cα：=（αΓ）(-α))-1和Γ表示伽马函数。事实上，（Lt）t∈[0,∞)是一个严格α稳定的L'evy过程，参见，例如，Sato【35，定理14.7第（vi）部分】。我们假设Y，（Wt）t∈[0,∞)和（Lt）t∈[0,∞)都是独立的。在给定条件下，与E（Y）<∞, SDE（1.1）和P（Yt）有一个（路径）独特的强大解决方案∈ [0, ∞) 对于所有t∈ [0, ∞)) = 1.

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2022-6-1 16:09:38

作为f法案的一部分，SDE（1.1）是福和李[15]中SDE（1.8）的特例（带有特殊选择z≡ 0），证明了路径唯一非负强解的存在性（见Fu和Li[15，推论6.3]）。最终，过程（Yt）t∈[0,∞)SDE（1.1）给出的是一个连续状态和连续时间的移民过程（CBI过程），见提案2.1（ii）。我们将Y称为α稳定的CIR过程（或αCIR过程），它是通常CIR过程（由SDE（1.1）给出，δ=0）的一般化。稳定CIR过程在随机建模中越来越流行，它本身也是一类有趣的CBI过程。Carr和Wu【9，方程式（31）】考虑了一个不连续过程，该过程允许一个与σ=0的α-稳定CIR过程的相应发生器重合的微型发生器，见命题2.1的（iv）。Li和Ma[26]证明了过程（Yt）t的指数遍历性∈[0,∞)前提是∈ (0, ∞)和b∈ (0, ∞), 有关更多详细信息，请参见定理2.5的（ii）。Li和Ma[26]还描述了由SDE（1.1）给出的σ=0的α稳定CIR过程的漂移参数（a，b）的条件最小二乘估计量（LSE）和加权条件LSE的渐近行为，基于亚临界情况下（即，当b∈ (0, ∞)). 在区域α中∈ (1,1+√), Li和Ma【26】表明，（a，b）的LSE的归一化因子为n（α-1） /α，这与√n-归一化对于亚临界模型非常常见。最重要的是，Li和Ma[26]还证明了（a，b）的加权LSE对应的归一化f因子是n（α-1） /整个区域α中的α（不同于（通常）L SE的α）∈ (1, 2).Jiao等人。

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2022-6-1 16:09:41

[19] 研究了α稳定CIR过程的若干性质，如积分表示、路径意义上的分支性质、严格正性的必要条件和充分条件，并对过程的跳跃进行了分析。此外，他们使用α-稳定循环过程进行利率建模和定价，指出这些过程可以描述主权债券市场上的一些近期现象，例如局部范围内的大波动以及通常的sm-all振荡，有关更多详细信息，请参阅Jiao et al.（19）的介绍。最近，Jiao等人【20】提出了具体的应用实例，并研究了电价的因子模型，其中α稳定的CIR过程可能会作为所讨论模型的因子出现。Peng【33】介绍并研究了一个所谓的具有重启的α-稳定CIR过程，即所讨论的过程表现为σ=0的SDE（1.1）给出的α-稳定CI R过程，它在[0]的边界0处终止，∞), 根据指数时钟，它跳到一个新的点[0，∞) 根据[0]上给定的概率分布，∞). 正如彭[33]所指出的那样，互联网拥塞中也会出现重启现象：每当一个网页需要花费太多时间才能出现时，按下重新加载按钮是很有用的，然后通常会立即出现网页。Yang[38]研究了具有小α稳定噪声的α稳定CIR过程，由SDEdYεt=（a- bYεt）dt+Δεqyεt-dLt，t∈ [0, ∞),（1.3）具有非负确定性初始值Yε=Y∈ [0, ∞), 其中q∈0,1-1/α和ε∈ (0, ∞). 基于n个规则间隔时间点skn，k的离散时间观测，描述了（a，b，δ）的近似极大似然估计（MLE）的渐近行为∈ {1，…，n}，在固定的时间间隔[0，1]。

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2022-6-1 16:09:44

ε趋于0和n→ ∞ 在给定的速度下，对于某些受限参数集，Yang[38，Th eorem 2.4]证明了所讨论的近似极大似然估计的渐近正态性。在某些传感器中，它是超临界的，因为此受限参数集包含属于临界（b=0）和超临界（b）的参数∈ (-∞, 0）模型具有范数极限分布，对于临界模型，极限分布一般不为混合正态分布。Ma和Yang【31】研究了基于上述Yang【38】中所述离散时间观测的模型（1.3）（所有其他参数均应为已知n）a的LSE的渐近行为。他们描述了所讨论的LSE的渐近行为，并导出了它的大偏差和模偏差不等式，参见Ma和Yang【31，定理2.1，2.3–2.5】。在本文中，假设∈ [0, ∞), σ, δ ∈ (0, ∞) an dα∈ （1，2）是已知的n，我们研究了b的极大似然估计的渐近性质∈ R基于连续时间观测（Yt）t∈[0，T]带T∈ (0, ∞), 从某个已知的非随机初始值Y开始进程Y∈ [0, ∞).本文的组织结构如下。第2节专门讨论一些预备工作。首先，我们重新定义了稳定循环过程（Yt）t的一些有用性质∈[0,∞)由SDE（1.1）给出，如非负路径唯一强解的存在性、拉普拉斯变换的形式、微元生成器或过程或积分过程的三次正性条件，见命题2.1。我们推导了s-emimartin-gale（Yt）t的一个所谓的Grigelionis形式∈[0,∞),见提案2.2。基于Ytas t期望的渐近行为→ ∞, 我们根据b区分亚临界、临界或超临界情况∈ (0, ∞), b=0或b∈ (-∞, 0），见提案2.3和定义2.4。

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大多数88

2022-6-1 16:09:47

在命题2.3中，也可以将参数Bc解释为模型的增长率。我们回顾了一个关于过程（Yt）t存在唯一平稳d分布的结果∈[0,∞)在次临界和临界情况下，以及在次临界情况下的指数遍历性，由于Li【25】，Li和Ma【26】以及Jin等人【21】，参见定理2.5。我们提请注意，（Yt）t存在唯一的平稳分布∈[0,∞)在关键情况下也是如此。R emark 2.6致力于为Ytas t的弱收敛性提供另一种证明→ ∞ 在定理2.5中，对于σ∈ (0, ∞), 提供更多的洞察力。在备注2.7中，我们使用连续时间观测（Yt）t给出σ的统计∈[0，T]具有任意T∈ (0, ∞),由于这个结果，我们没有考虑参数σ的估计，它应该是已知的。在第3节中，我们给出了YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换公式，其中∈ [0, ∞), 使用Keller-Ressel【22】中的定理4.10，参见定理3.1。我们注意到，这种形式的联合拉普拉斯变换是Filipov i'c【13】中定理5.3的结果，也是Jiao等人【19】中命题3.3的特例，它用于描述所讨论的b在临界和超临界情况下的不对称行为。第4节致力于证明b的极大似然估计的存在性和唯一性（前提是σ∈ (0, ∞)) 推导其显式公式，参见命题4.2。在备注4.3中，以及附加假设a∈σ, ∞, 我们证明了lti是（Yu）u的可测函数∈[0，T]对于所有T∈ [0，T]与任何T∈ (0, ∞). 在第5节中，前提是∈ (0, ∞), 我们证明了在亚临界情况下，极大似然估计的强相合性和渐近正态性，见定理5.1。

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2022-6-1 16:09:50

所讨论的渐近正态性适用于通常的平方根正规化(√T），但通常，渐近方差也取决于未知参数b。为了解决这个问题，我们还替换了规范化√T由arandom一σRtYsds1/2（仅取决于观测值，而不取决于参数b），其优点是，具有这种随机标度的b的MLE是渐近标准正态的，因此可以给出未知参数b的渐近置信区间，这对于实际目的是可取的。第6节致力于证明临界情况下b的极大似然估计的强相合性，前提是a∈ (0, ∞), （见定理6.2）使用命题6.1中描述的微分方程（3.1）的唯一局部有界Ed解的极限Behavior。我们把注意力放在α稳定的CIR过程（Yt）上∈[0,∞), 临界情况（b=0）有些特殊（与b=0的原始CIR过程相比），因为（Yt）t仍然存在唯一的平稳分布∈[0,∞), 然而，除非a=0，否则其期望值是有限的（见定理2.5），令人惊讶的是，我们可以证明问题中的极大似然估计的强相合性，而不仅仅是临界模型通常证明的弱相合性。在临界情况下，极大似然估计的渐近行为的描述仍然是开放的。在第7节f中，对于超临界情况，前提是∈ (0, ∞), 证明了b的极大似然估计与确定性标度e的d渐近混合正态是强相合的-bT/2，它是具有随机标度σ的渐近标准正态分布RtYsds1/2，见定理7.4。

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2022-6-1 16:09:53

我们指出，所讨论的极限混合正态律具有某种复杂的特征，即在其描述中，正随机变量V起作用，其中拉普拉斯变换包含一个与CBI过程（Yt）t的分支机制有关的函数∈[0,∞), 见定理7.1。我们对V的拉普拉斯变换的推导给出了两个证明，第二个证明主要基于CBI过程的一般理论，对此我们将参考文献[25]。我们用三个悬而未决的问题来结束本文，其中我们回顾了半鞅诱导的概率测度绝对连续性的某些有效条件，以及Radon–Nikodym d e ivative的表示（附录a），连续局部鞅的一些极限定理（附录ix B）和在a-稳定CIR过程的情况下，我们给出了在次临界和临界情况下唯一平稳分布的Laplacetransform的一些显式公式∈ [0, ∞),在b的所有情况下∈ R、在超临界情况下，分别为V（附录C）。最后，总结了本文的创新之处。据我们所知，对于α-稳定循环过程（Yt）t，基于连续时间观测的m最大似然估计从未被研究过∈[0,∞), 由于这些过程在电价的金融数学和市场模型中越来越流行，估计其参数的问题也是一个重要的问题。

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2022-6-1 16:09:58

此外，在临界情况下，有些令人惊讶的是，我们可以证明b的MLE的强一致性，这可以被视为一种新现象，因为对于其他临界金融模型，如通常的CIR过程或Heston过程，在临界情况下只证明了弱一致性，参见Overbeck【32，定理2，第（iii）和（iv）部分】以及Barczy和Pap【6，Remark4.4】，分别地2个预备步骤let N，Z+，R，R+，R++，R-, R--和C分别表示正整数、非负整数、实数、非负实数、正实数、非正实数、负实数和复数的集合。对于x，y∈ R、我们将使用符号X∧y：=最小值（x，y）和x∨ y：=最大值（x，y）。实数x的整数p部分∈ R表示为x个. 通过kxk和kAk，我们表示向量x的欧氏范数∈ Rd与矩阵a的诱导m矩阵范数∈ 分别为Rd×d。用B（R+）表示R+上的Borelσ-代数。我们将表示概率收敛、分布收敛、几乎肯定收敛和几乎肯定相等-→,D-→,a、 s。-→ 安达。s、 =，分别。通过Cc（R+，R）和C∞c（R+，R），我们分别表示具有紧支撑的R+上的连续可微实值函数集和具有紧支撑的R+上的不可微实值函数集。允许Ohm, F、（Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间，即：(Ohm, F、 P）完成后，过滤（Ft）t∈R+是右连续体，F包含F中的所有P-null集，F=σSt公司∈R+英尺. Let（Wt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的标准维纳过程∈R+，和（Lt）t∈对于过滤（Ft）t，R+是一个光谱正的严格α稳定L'evy过程∈R+，使得Lis的特征函数由（1.2）给出。我们假设W和L是独立的。

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2022-6-1 16:10:01

回想一下，L’evy It^o对L的表示形式为lt=Z（0，t）Z（0，∞)z euL（ds，dz）=γt+z（0，t]z（0,1]z euL（ds，dz）+z（0，t]z（1，∞)zuL（ds，dz）（2.1）用于t∈ R+，其中uL（ds，dz）：=Pu∈R+{Lu6=0}ε（u，Lu）（ds，dz）是与跳跃相关的R++上的整值泊松随机测度Lu：=Lu- Lu公司-, u∈ R++，L:=0，表示p过程L，ε（u，x）表示点（u，x）处的狄拉克测度∈ R+，euL（ds，dz）：=uL（ds，dz）- ds m（dz），其中m（dz）：=Cαz-1.-α(0,∞)（z） dz和γ：=-R（1，∞)z ds m（dz）=-CαR∞z-αdz=Cα1-α. 度量m只是L的L'evy度量。我们还注意到（Lt）t∈R+是鞅，因此E（Lt）=0，t∈ R+。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在性和唯一性，还指出Y是一个具有明确给定分支和迁移机制的CBI过程，我们还收集了基于Dawson和Li【10】、Fu和Li【15】、Li【25】和Jiao等人【19】的Y的其他有用性质。2.1提议。设η为与（Wt）t无关的随机变量∈R+和（Lt）t∈R+满意P（η∈ R+=1和E（η）<∞. 让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2).

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2022-6-1 16:10:04

然后，以下陈述成立。（i）存在一个路径唯一强解（Yt）t∈SDE（1.1）的R+，使得P（Y=η）=1和P（Yt∈ R+表示所有t∈ R+=1。（ii）工艺（Yt）t∈R+是一个具有分支机制的CBI过程R（z）=σz+Δαzα+bz，z∈ R+，移民机制F（z）=az，z∈ R+。（iii）对于所有t∈ R+和y∈ R+，yt的拉普拉斯变换采用形式e（e-λYt | Y=Y）=exp-yvt（λ）-ZtF（vs（λ））ds（2.2）对于所有λ∈ R+，其中R+ t 7→ vt（λ）∈ R+是（2.3）的唯一局部有界解tvt（λ）=-R（vt（λ）），v（λ）=λ。如果t∈ R+，y∈ R+和λ∈ R++\\{θ}，θ：=inf{z∈ R++：R（z）∈ R+}∈ R+，然后我们有（2.4）E（E-λYt | Y=Y）=exp(-yvt（λ）+Zvt（λ）λF（z）R（z）dz）。尤其是，（2.4）适用于所有λ∈ R++每当b∈ R+。（iv）Y的最小生成元的形式为（Af）（Y）=（a- by）f′（y）+σyf′（y）+ΔαyZ∞f（y+z）- f（y）- zf′（y）Cαz-1.-αdz，（2.5），其中y∈ R+，f∈ Cc（R+，R），f′和f′表示f.（v）的一阶和二阶偏导数，此外，如果P（η∈ R++）=1或a∈ R++，然后是PRtYsds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。（vi）此外，如果σ∈ R++和a>σ，然后P年初至今∈ R++适用于所有t∈ R++= 1.（vii）此外，如果P（η∈ R++）=1，a=0，b∈ R+，然后P（τ<∞) = 1，其中τ：=inf{s∈ R+：Ys=0}，且P（对于所有t>τ，Yt=0）=1。证据

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2022-6-1 16:10:07

满足P（Y=η）=1和P（Yt）的路径唯一非负强解的存在性∈ R+表示所有t∈ R+=1，见Fu和Li【15，推论6.3】，得出（i）。此外，Dawson和Li【10】中的定理6.2以及Z∞（z）∧ z） Cαz-1.-αdz=CαZz1-αdz+CαZ∞z-αdz=Cα2.-α+α - 1.< ∞andZ公司∞（e）-zx公司- 1+zx）Cαx-1.-αdx=α（α- 1)Γ(2 -α） Z∞（e）-zx公司- 1+zx）x-1.-αdx=zαα（2.6）表示z∈ R+（例如，参见Li[25，示例1.9]）意味着Y是一个CBI进程，具有（ii）中给出的分支和迁移机制。对于公式（2.2）和，对于b∈ R+，公式（2.4）见Li【25，公式（3.29）和第67页】。接下来我们检查一下（2.7）-ZtF（vs（λ））ds=所有t的Zvt（λ）λF（z）R（z）dz∈ R+和λ∈ R++\\{θ}。如果y是连续可微函数（0，t），就足够了 s 7→ vs（λ）对于所有λ都是严格单调的∈ R++{θ}，从那时起，通过替代z=vs（λ），我们得到-ZtF（vs（λ））ds=-Zvt（λ）λF（z）svs（evz（λ））dz=Zvt（λ）λF（z）R（vs（evz（λ）））dz，因此为（2.7），其中（v（λ）∧ vt（λ），v（λ）∨ vt（λ）） z 7→ evz（λ）表示（0，t）的逆s 7→ vs（λ）。根据Li【25，命题3.1】，函数R+ λ 7→ vs（λ）∈ R+对于所有s严格递增∈ R+。对于所有s，我们有vs（θ）=θ∈ R+，因为R（θ）=0，所以该恒常函数是具有初始值θ的微分方程（2.3）的唯一局部有界解。如果b∈ R+，然后θ=0，因此λ∈ 对于所有s，R++意味着vs（λ）>vs（0）=0∈ R+。在这种情况下，使用微分方程（2.3）和不等式R（z）>0表示所有z∈ R++，我们得到svs（λ）=-对于所有s，R（vs（λ））<0∈ R+，因此函数（0，t） s 7→ vs（λ）是严格递减的，因此我们得出b的（2.7）∈ R+。如果b∈ R--, 然后θ∈ R++。因此，在b的情况下∈ R--和λ∈ （0，θ）对于所有s，我们有vs（λ）<vs（θ）=θ∈ R+。

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2022-6-1 16:10:10

在这种情况下，对于所有z，使用微分方程（2.3）和不等式R（z）<0∈ （0，θ），我们得到svs（λ）=-对于所有s，R（vs（λ））>0∈ R+，因此函数（0，t） s 7→ vs（λ）严格增加，因此我们得出b的（2.7）∈ R--和λ∈ (0, θ). 以类似的方式，在b的情况下∈ R--和λ∈ (θ, ∞) 对于所有s，我们有vs（λ）>vs（θ）=θ∈ R+。在这种情况下，使用微分方程（2.3）和所有z的低质量R（z）>0∈ (θ, ∞), 我们获得svs（λ）=-对于所有s，R（vs（λ））<0∈ R+，因此函数（0，t） s 7→ vs（λ）是严格递减的，因此我们得出b的（2.7）∈ R--和λ∈ (θ, ∞) 也微型生成器（2.5）的形式可以类似于Barczy等人[4]的定理2.1的证明进行检查，这意味着（iv）。对于（v），让我们定义t∈ R++和putAt：=ω ∈ Ohm : [0，t] s 7→ Ys（ω）是c\'adl\'ag，Ys（ω）∈ R+适用于所有s∈ [0，t].然后，通过（i），P（At）=1，对于所有ω∈ At，RtYs（ω）ds=0当且仅当Ys（ω）=0表示ALL∈ [0，t）.乘以（1.1），Ys=Y+as-bZsYudu+σZspYudWu+δZsαpYu-dLu，s∈ R+，几乎可以肯定地保持P。右侧的随机积分可以近似为assups∈[0，t]ns系列Xi=1qYi-1n（赢- Wi公司-1n）-ZspYudWuP-→ 0作为n→ ∞,sups公司∈[0，t]ns系列Xi=1αqYi-1n-（林- 锂-1n）-ZsαpYu-dLuP-→ 0作为n→ ∞,参见Jacod和Shiryaev【18，定理I.4.44】。因此存在序列（nk）k∈没有这样的积极参与者∈[0，t]nks公司Xi=1qYi-1nk（眨眼- Wi公司-1nk）-ZspYudWu→ 0作为k→ ∞,sups公司∈[0，t]nks公司Xi=1αqYi-1nk-（链接- 锂-1nk）-ZsαpYu-dLu→ 0作为k→ ∞保持P-几乎可以肯定。让我们用▄att表示上述两个P-几乎必然收敛所发生的事件。

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2022-6-1 16:10:13

因此，在以下情况下，使用符号=ω ∈ Ohm :ZtYs（ω）ds=0,我们在∩在∩ 在在∩ω ∈ Ohm :ZspYudWu(ω) = 0,ZsαpYu-dLu（ω） =所有s为0∈ [0，t）在∩ω ∈ Ohm : Ys（ω）=Y（ω）+对于所有s∈ [0，t）在∩ω ∈ Ohm :Zs（Y（ω）+au）du=0，对于所有s∈ [0，t）在∩nω∈ Ohm : 对于所有s，Y（ω）s+as=0∈ [0，t）o在∩nω∈ Ohm : Y（ω）=-对于所有s∈ [0，t）o，其中最后一个事件的概率为0，表示PRtYs（ω）ds=0= 0.因此PRtYs（ω）ds∈R++= 0，因此我们有（v）。（vi）见Jiao等人【19】中的命题3.7。最后，我们证明了第（七）部分。首先注意，如果a=0，（Yt）t∈R+是一个连续的时间分支过程（没有移民）。如果b∈ R+，然后根据Li[25]中的推论3.9，P（τ<∞|Y=Y）=1表示所有Y∈ R++，因为Li[25]中的条件3.6适用于所有θ>0的toR∞θR（z）dz 6R∞θσzdz<∞. 最后一句话是根据以下事实得出的：在a=0且p（Y=0）=1的情况下，SDE（1.1）的路径唯一非负强解对于所有T∈ R+。注意，根据命题2.1，过程（Yt）t∈R+是一个半鞅，参见，例如，Jacod和Shiryaev【18，I.4.33】。现在，我们推导出半鞅（Yt）t的所谓Grigelionis形式∈R+，参见，例如，Jacod和Shiryaev【18，III.2.23】或Jacod和Protter【17，定理2.1.2】。2.2提议。设η为与（Wt）t无关的随机变量∈R+和（Lt）t∈R+满意P（η∈ R+=1和E（η）<∞. 对于∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ （1，2），let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y=η）=1的唯一强解。那么格里高利奥尼就是（Yt）t的形式∈R+的形式为（2.8）Yt=Y+Zt（a-bYu+γδαpYu）du+ZtZR（h（zδαpYu）-ΔαpYuh（z））m（dzdu+σZtpYudWu+ZtZRh（zδαpYu-) euL（du，dz）+ZtZR（zδαpYu-- h（zδαpYu-)) 对于t，uL（du，dz）∈ R+，其中h:R→ [-1，1]，h（z）：=z[-1,1]（z），z∈ R、证明。

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2022-6-1 16:10:16

使用（2.1）和命题II。1.30在Jacod和Sh iryaev【18】中，我们得出Y=Y+Zt（a-bYu）du+ZtσpYudWu+δZtαpYu-dLu=Y+Zt（a-bYu）du+ZtσpYudWu+γδZtαpYu-du+δZtZRαpYu-h（z）euL（du，dz）+δZtZRαpYu-（z）- h（z））uL（du，dz）用于t∈ R+。为了证明这一说法，只需显示δZtZRαpYu即可-h（z）uL（du，dz）- du m（dz）= 我- 一、（2.9）δZtZRαpYu-（z）- h（z））uL（du，dz）=I+I，（2.10），其中I：=ZtZRh（zδαpYu-)uL（du，dz）- du m（dz）,一： =ZtZR（h（zδαpYu-) - ΔαpYu-h（z））uL（du，dz）-du m（dz）,一： =ZtZR（zδαpYu-- h（zδαpYu-)) uL（du，dz），I：=ZtZR（h（zδαpYu-) - ΔαpYu-h（z））uL（du，dz），等式（2.11）I-I=I，I=ZtZR（h（zδαpYu）-ΔαpYuh（z））m（dz杜。对于方程（2.9）、（2.10）和（2.11），需要检查I、I和I的存在性。首先注意，对于每个∈ (0, ∞) 我们有（sz）- sh（z）=sz{1<z | 6s}如果s∈ （0，1），z∈ R、如果s=1，z，则为0∈ R-sz{s<z | 61}如果s∈ (1, ∞), z∈ R、（2.12）I的存在将是I=I2,1的结果- I2,2- I2,3带I2,1：=ZtZRδαpYu-z{1<| z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}uL（du，dz），I2,2：=ZtZRδαpYu-z{1<| z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}du m（dz），I2,3：=ZtZRδαpYu-z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}uL（du，dz）-du m（dz）,从片场开始{Yu-= 0}，被积函数h（zδα√于-) - δα√于-h（z）在Itakes值0中。这里有| I2,1 | 6ZtZR |ΔαpYu-z |{1<z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}uL（du，dz）6ZtZR{1<z}uL（du，dz）<∞P-几乎可以肯定，参见例如Sato[35，引理20.1]。此外，| I2,2 | 6ZtZR |ΔαpYu-z |{1<|z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}du m（dz）ZtZR{1<z}du m（dz）=tm（{z∈ R：| z |>1}）<∞.此外，功能Ohm ×R+×R （ω，t，z）7→ h（z）属于Glo c（uL），见Jacod和Shiryaev【18，定义II.1.27，定理II.2.34】。我们有| z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}| 6 | h（z）|，因此，通过定义Glo c（uL），函数Ohm ×R+×R （ω，t，z）7→ z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}也属于Glo c（uL）。

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2022-6-1 16:10:20

通过Jacod和Shiryaev【18，命题II.1.30】，我们得出以下结论：Ohm ×R+×R （ω，t，z）7→ δα√于-z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}也属于Glo c（uL），因此积分I2,3存在，因此我们得到了I的存在，从而得到了I的存在。接下来观察过程ζt：=δRtα√于-dLu，t∈ R+，我们有ζt=Δα√年初至今-Lt，t∈ R+，来自（2.1）和Jacod和Shiryaev【18，定义II.1.27】。因此，I=ZtZRzδαpYu-{| zδα√于-|>1} uL（du，dz）=Xu∈[0，t]LuδαpYu-{|Luδα√于-|>1} =徐∈[0，t]ζu{|ζu |>1}是一个有限的和，因为过程（ζt）t∈[0,∞)允许c\'adl\'ag轨迹，因此u最多可以有很多点∈ [0，t]绝对值|跳跃大小的ζu |ζuexceeds 1，参见例如Billingsley【7，第122页】。因此我们得到了I的存在，也得到了I的存在。最后，我们得到了| I | 6ZtZR |ΔαpYuz |{1<| z | 6Δα√Yu}{Δα√于∈（0,1）}m（dz）du+ZtZR |ΔαpYuz |{Δα√Yu<| z | 61}{Δα√于∈(1,∞)}m（dz）杜兹特ZR{1<z}m（dz）du+ZtZR |ΔαpYuz |{| z | 61}m（dz）du=tm（{z∈ R：| z |>1}）+ZtδYαuduZ-1 | z | m（dz）<∞,sinceR公司-1 | z | m（dz）=RzCαz-1.-αdz=Cα2-α∈ R++，从而得出I的存在。接下来，我们将给出一个关于（Yt）t的初始时刻的结果∈R+。2.3提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞. 乙烯（Yt）=e-英国电信E（Y）-ab公司+abif b6=0，E（Y）+如果b=0，t∈ R+。（2.13）因此，如果b∈ R++，然后（2.14）极限→∞E（Yt）=ab，如果b=0，则限制→∞t型-1E（Yt）=a，如果b∈ R--, thenlimt公司→∞ebtE（Yt）=E（Y）-ab.证明。根据提案2.1，（Yt）t∈R+是CBI过程，具有（2.5）中给出的微型发生器。根据Barczy等人[5]的注释，该CBI过程具有参数（d、c、β、B、ν、u），其中d=1，c=σ，β=a，B=-b-R∞（z）- 1） +u（dz），ν=0，u=Δαm。

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2022-6-1 16:10:23

自E（Y）<∞ 力矩条件rr{0}| z{| z |>1}ν（dz）<∞ 我们可以应用Barczy等人[27]中的公式（3.1.11）或引理3.4和（2.14），其中eb=B+R∞（z）- 1） +u（dz）=-b和β=β+RR \\{0}zν（dz）=a产生thatE（Yt）=eteBE（Y）+ZteueBdu公司eβ。这意味着（2.13）和断言的其他部分。基于期望E（Yt）作为t的渐近行为→ ∞, 我们介绍了SDE（1.1）给出的稳定CIR模型的分类。2.4定义。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞. 我们称之为（Yt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--, 恭敬地。下面的结果表明，过程（Yt）t存在唯一的平稳分布∈次临界和临界情况下的R+，次临界情况下的指数遍历性。2.5定理。让a∈ R+，b∈ R+，σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞.（i）然后（Yt）t∈通过拉普拉斯变换（2.15）Z，R+在定律上收敛到其唯一的平稳分布π∞e-λyπ（dy）=exp-ZλF（x）R（x）dx= 经验值-Zλaxσx+Δαxα+bxdx对于λ∈ R+。特别是，在b=0和σ=0的情况下，π是严格的（2- α） -稳定分布，无负跳跃。此外，π的期望值是gi-venbyz∞yπ（dy）=如果a=0且b=0，则为0，ab∈ R+如果b∈ R+++∞ 如果a∈ R++和b=0。（2.16）（ii）此外，如果∈ R++和b∈ R++，然后进程（Yt）t∈R+是指数e rgodic，即存在常数C∈ R++和D∈ R++使得kpyt | Y=Y-πkTV6 C（y+1）e-Dt，t∈ R+，y∈ R+，其中kukTV表示由kukTV定义的R+上有符号度量值u的总变化范数：=supA∈B（R+）|u（A）|，PYt | Y=Y是Y相对于条件Y=Y的条件分布。

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大多数88

2022-6-1 16:10:26

因此，对于所有Borel可测函数f:R+→ RwithR公司∞|f（y）|π（dy）<∞, 我们有（2.17）TZTf（Ys）dsa。s-→Z∞f（y）π（dy）as T→ ∞.证据yt向πas t的弱收敛性→ ∞, π是（Yt）t的平稳分布∈R+紧随Li【25，定理3.20和推论3.21后面的段落】，因为R（z）=σz+Δαzα+bz∈ R++，z∈ Li[25]中的R++，和条件（3.30）是满足的。事实上，对于所有λ∈ R++，ZλF（Z）R（Z）dz=ZλazσZ+δαZα+bzdz 6aαδαZλz1-αdz=aαλ2-αδα(2 - α)< ∞.我们注意到，在b的情况下，Li和Ma【26，命题2.2】包含上述考虑∈ R++。（i）中平稳分布的唯一性来源于Keller Ressel[23]第80页。也就是说，假设（Yt）t存在另一个平稳分布π′∈R+，并让（Y′t）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解∈ R+，b∈ R+，σ∈ R+，和δ∈ 满足L（Y′）=π′的R++，其中L（Y′）表示Y′定律。然后，根据建议2.1的第（iii）部分，对于所有λ∈ R+，极限→∞E（E-λY′t）=极限→∞E（E（E-λY′t | Y′）=极限→∞Eexp(-Y′vt（λ）+Zvt（λ）λF（z）R（z）dz）！=E经验值-ZλF（Z）R（Z）dz= 经验值-ZλF（Z）R（Z）dz,其中最后一步是支配收敛定理和极限→∞vt（λ）=0，λ∈ R+（例如，参见Li【25】中定理3.20的证明）。因为L（Y′t）=π′，t∈ R+，我们有∞e-λzπ′（dz）=exp-RλF（z）R（z）dz, λ ∈ R+，产生该R∞e-λzπ′（dz）=R∞e-λzπ（dz），λ∈ R+。通过拉普拉斯变换的唯一性，我们得到了所需的π=π′。此外，在b=0和σ=0的情况下，通过（2.15），我们有z∞e-λyπ（dy）=exp(-ZλaxΔαxαdx）=exp-aα（2- α)δαλ2-α, λ ∈ R+，所以π是严格的（2- α） -稳定分布，无负跳。最后，再乘以（2.15），Z∞yπ（dy）=limλ↓0aλσλ+Δαλα+bλ=如果a=0且b=0，则为0，ab∈ R+如果b∈ R+++∞ 如果a∈ R++和b=0。对于第（ii）部分，我们可以使用Li和Ma[26]中的定理2.5。

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2022-6-1 16:10:29

我们只需要检查Liand Ma[26]的条件2.1，即我们必须证明某个常数θ的存在∈ R++使R（z）∈ z>θandR时的R++∞θR（z）dz<∞. 此处R（z）∈ R++适用于所有z∈ R++（由于b∈ R++），以及，例如，θ=1，Z∞R（z）dz 6αδαz∞zαdz=α（α- 1)δα< ∞.当σ=0时，（Yt）t的指数遍历性∈R+也遵循Jin等人[21]的定理6.1。收敛（2.17）如下，例如，从Bhattacharya【8】中命题2.5之后的讨论中得出。2.6备注。在以下情况下，如果σ∈ R++，我们对YtD的收敛性给出了另一个（更详细的）证明-→ πas t→ ∞ 在定理2.5中，也给出了更多的见解。考虑P（Y=Y）=1和一些Y的情况就足够了∈ R+。使用（2.2），我们有（e-λYt）=exp- yvt（λ）- aZtvs（λ）ds对于t∈ R+和λ∈ R+，其中函数R+ λ 7→ vt（λ）∈ R+由（2.3）给出。首先，weshow that limt→∞vt（λ）=0。该证明基于以下版本的比较定理（例如，参见Filipovi\'C等人[14]中的引理C.3或Am an n[1，引理16.4]）：如果S:R+×R→ R是一个连续函数，其第二个变量是局部Lipschitz连续的，p，q:R+→ 满足p′（s）6 s（s，p（s）），s∈ R+，q′（s）=s（s，q（s）），s∈ R+，p（0）6 q（0），然后p（s）6 q（s）表示所有s∈ R+。通过选择S：R+×R→ R、 S（S，x）：=-σx，（s，x）∈ R+×R，比较定理得出0 6 vs（λ）6 f（s），s∈ R+，（2.18），其中f:R+→ R+是微分方程f′（s）=s（s，f（s））=s的唯一局部有界解-σf（s），s∈ R+，f（0）=λ。该可分离微分方程的解采用以下形式：f（s）=λ1+σλs，s∈ R+。（2.19）因此，使用σ∈ R++，我们很容易受到限制→∞f（t）=0，由（2.18）得出thatlimt→∞对于所有λ，vt（λ）=0∈ R+，根据需要。

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2022-6-1 16:10:32

此外，通过（2.4），我们得到了limt→∞Ztvs（λ）ds=- 限制→∞Zvt（λ）λzσz+Δαzα+bzdz，λ∈ R+。然后，通过积分上限函数的连续性，我们得到了→∞Ztvs（λ）ds=ZλZσZ+ΔαZα+bzdz，λ∈ R+，其中右侧的积分定义良好，因为zλzσz+δαzα+bzdz 6Zλzδαzαdz=αδαzλzα-1dz=αλ2-αδα(2 -α)< ∞.因此，根据连续性定理，对于σ，我们有（2.15）∈ R++。接下来，我们使用连续时间观测（Yt）t给出σ的统计∈[0，T]具有任意T∈ R++。由于这个结果，我们不考虑参数σ的估计，它应该是已知的。参数σ是与W相关的扩散部分的一个参数，通常，可以使用对基础过程的极短（连续时间）观测（至少在理论上）来估计这类参数，这就是为什么作者认为这是已知的。在接下来的备注2.7中，我们证明了这也适用于我们的模型。2.7备注。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞. （2.8）中给出的格里高利奥尼表示意味着Y的连续鞅部分Ycontof Y是ycontt=σRt√YudWu，t∈ R+，见Jacod和Shiryaev【18，III.2.28备注，第1部分）】。因此，Ycontis hYcontit的（可预测的）二次变化过程=σRtYudu，t∈ R+。假设我们有P（Y∈ R++）=1或a∈ R++。对于所有T∈ R++，我们有σ=hYcontiTRTYudu=：bσT，因为，命题2.1的due到（v），PRTYudu公司∈ R++= 1.

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mingdashike22

2022-6-1 16:10:36

我们注意到bσ是一个统计量，即存在一个可测函数：D（[0，T]，R）→ R使得bσT=Ξ（（Yu）u∈[0，T]），其中d（[0，T]，R）表示在[0，T]上定义的实值c\'adl\'ag函数的空间，因为（2.20）nPnT公司i=1Yi-1nnT公司Xi=1尹-易-1n-徐∈[0，T](Yu）！P-→ bσTas n→ ∞,如果（2.20）中的收敛几乎可以确定沿着一个合适的子序列保持P，那么（2.20）中的序列的成员是（Yu）u的可测函数∈[0，T]，可以使用Dudley[11]中的定理4.2.2和4.2.8。接下来我们证明（2.20）。根据Jacod和Shiryaev【18】中的定理I.4.47 a），nT公司Xi=1尹- 易-1nP-→ [是]Tas n→ ∞, T∈ R+，其中（[Y]t）t∈R+表示半鞅Y的二次变分过程。通过TheoremI。4.52在Jacod和Shiryaev【18】中，【Y】T=hYcontiT+Xu∈[0，T](Yu），T∈ R+。因此，对于所有T∈ R+，我们有nT公司Xi=1尹- 易-1n-徐∈[0，T](Yu）P-→ hYcontiTas n公司→ ∞.此外，对于所有T∈ R+，我们避风港nT公司Xi=1Yi-1nP-→ZTYudu组件n→ ∞,见Jacod和Shiryaev【18】中的命题I.4.44。因此（2.20）的结论是，概率收敛在乘法下是闭合的。最后，我们注意到，T在上面是固定的，因此不需要知道任何观测（Yt）T∈[0，T]进行上述计算，其中T>0可以是任意值。3 YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换利用Keller Ressel[22]中的定理4.10，我们推导出了YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换公式，其中t∈ R+。我们注意到，这种形式的联合拉普拉斯变换是菲利波维奇[13]中定理5.3的结果，也是焦等人[19]中命题3.3的特例。3.1定理。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y=Y）=1且有一些Y的唯一强解∈ R+。

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2022-6-1 16:10:40

那么对于所有u，v∈ R-,E经验值uYt+vZtYsds= 经验值yψu，v（t）+aZtψu，v（s）ds, t型∈ R+，其中函数ψu，v:R+→ R-是微分方程ψ′u，v（t）=σψu，v（t）+Δαα的唯一局部有界解(-ψu，v（t））α- bψu，v（t）+v，t∈ R+，ψu，v（0）=u.（3.1），如果（u，v）6=（0，0），则ψu，v（t）∈ R--, t型∈ R++，如果（u，v）=（0，0），则ψu，v（t）=0，t∈ R+。证据根据Keller-Ressel【22】中的定理4.10，Yt，RtYsdst型∈R+是一个具有分支机制的二维CBI进程eR（z，z）=（eR（z，z），eR（z，z）），z，z∈ R+，威瑟尔（z，z）=R（z）-z、 eR（z，z）=0，z，z∈ R+，且具有移民机制F（z，z）=F（z），z，z∈ R+，其中R和F在位置2.1中给出。因此，根据Du ffe等人[12]的定理2.7（另见Barczy等人[5，定理2.4]），我们得到经验值uYt+vZtYsds= 经验值yψu，v（t）-ZteF公司(-ψu，v（s），-^1u，v（s））ds= 经验值yψu，v（t）+aZtψu，v（s）ds, t型∈ R+，其中函数（ψu，v，Дu，v）：R+→ R-是微分方程组的唯一局部有界解（ψ′u，v（t）=eR(-ψu，v（t），-νu，v（t））=σψu，v（t）+Δα(-ψu，v（t））α- bψu，v（t）+Дu，v（t），t∈ R+，Д′u，v（t）=eR(-ψu，v（t），-νu，v（t））=0，t∈ R+，初始值ψu，v（0）=u，Дu，v（0）=v。显然，Дu，v（t）=v，t∈ R+，因此我们得到ψ′u，v（t）=σψu，v（t）+Δα(-ψu，v（t））α- bψu，v（t）+v，t∈ R+，ψu，v（0）=u，根据需要。如果（u，v）=（0，0），那么，由于同零函数是（3.1）的（局部有界）解，通过该解的唯一性，我们得到ψ0，0（t）=0，t∈ R+。如果（u，v）6=（0，0），那么相反，让我们假设存在一个t∈ R++使得ψu，v（t）=0。利特*:= inf{t∈ R++：ψu，v（t）=0}。然后t*< ∞, ψu，v（t）<0表示所有t∈ [0，t*), 和ψu，v（t*) = 0、如果t*= 0，则0=ψu，v（t*) = ψu，v（0）=u，因此v∈ R--.

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2022-6-1 16:10:44

此外，存在序列（tn）n∈确认tn∈ R++，n∈ N、田纳西州↓ 0=t*作为n→ ∞, ψ0，v（tn）=0，n∈ N、因此，利用（3.1）的局部有界解是唯一的，ψ0，v（ktn）=ψ0，v（0）=0，k，N∈ N、自tn起↓ 0作为n→ ∞, 对于所有t∈ R++，存在一个序列（kn）n∈Nsuch thatkn公司∈ N、 N个∈ N、和kntn→ t作为n→ ∞ （可以选择kn：=ttn公司, n∈ N）。由于ψ0是粘连续的，我们有ψ0，v（t）=0，t∈ R+，使我们面临冲突（由于v∈ R--). S o，ift*= 0，然后根据需要，ψu，v（t）<0，t>0。在续集中，让我们假设*> 一方面，ψ′u，v（t*) > 0，自ψ′u，v（t*) = 林氏↑0ψu，v（t*+ h）-ψu，v（t*)h=limh↑0hψu，v（t*+ h），其中h<0和ψu，v（t*+ h） <0屈服强度ψu，v（t*+ h） >0。另一方面，by（3.1），ψ′u，v（t*) = v 6 0，得出v=0。因此，如果t*> 0，则（3.1）的形式为ψ′u，v（t）=σψu，v（t）+Δα(-ψu，v（t））α- bψu，v（t），t∈ R+，其中ψu，v（0）=u和ψu，v（t*) = 0.通过（3.1）局部有界解的唯一性，ψu，v（t）=0表示所有t>t*, 因此ψu，v（t）=0，对于所有t>0。的确，leteψu，v（τ）：=ψu，v(-τ），τ6 0和τ*:= -t型*. Th eneψ′u，v（τ）=-σeψu，v（τ）-δαα(-eψu，v（τ））α+beψu，v（τ），τ6 0，其中eψu，v（0）=u，eψu，v（τ*) = 0，并且通过上述微分方程的局部有界解的唯一性，eψu，v（τ）=0表示τ∈ [τ*, 0]，即ψu，v(-τ） =0表示τ∈ [-t型*, 0]，即ψu，v（t）=0表示t∈ [0，t*]. 考虑到t的定义，这就产生了一个矛盾*事实上*> 03.2备注。

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2022-6-1 16:10:47

（i）根据命题2.1的（iii），ψu，0（t）=-vt公司(-u）对于所有t∈ R+和u∈ R-.（ii）微分方程（3.1）是Polyanin和Zaitsev的特例【34，第1.5.1-2/（27）节】。4极大似然估计的存在性和唯一性在本节中，我们将考虑具有已知∈ R+、σ、δ∈ R++，α∈ （1，2），已知的确定性初始值Y=Y∈ R+，我们将考虑b∈ R作为未知参数。设pB表示（Yt）t诱导的概率测度∈可测空间（D（R+，R），D（R+，R））上的R+，具有自然过滤（Dt（R+，R））t∈R+，见附录A。进一步，所有T∈ R++，设Pb，T：=Pb | DT（R+，R）是Pb对DT（R+，R）的限制。下一个结果是关于氡-Nikodym衍生Pb、Td-Peb、Tf或b、eb的形式∈ R、我们将把Peb、Tas视为固定参考测量值，并将根据观测值（Yt）t推导参数b的最大似然估计∈[0，T]。4.1提议。让a∈ R+、b、eb∈ R、 σ，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). 那么对于所有T∈ R++，概率度量Pb、Tand和Peb，皮重相对彼此绝对连续，以及对数d Pb、Td Peb、T（eY）= -b-ebσeYT公司- y- 在- δZTαqeYu-dLu-b-eb2σZTeYudu（4.1）几乎可以肯定地认为P，其中ey是与参数b相对应的α稳定CIR过程。证据在下文中，我们将应用Jacod和Sh iryaev【18】中的定理III.5.34（另见附录A）。我们将研究正则空间（D（R+，R），D（R+，R））。Let（ηt）t∈R+表示正则过程ηt（ω）：=ω（t），ω∈ D（R+，R），t∈ R+。回想一下，稳定的CIR进程（1.1）可以以（2.8）的形式写入。

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2022-6-1 16:10:51

根据位置2.1，S DE（1.1）具有路径唯一的强解（具有给定的确定初始值y∈ 因此，根据Jacod和Shiryaev[18]中的定理III.2.26，在概率测度Pb下，正则过程（ηt）t∈R+是一个半鞅，具有与截断函数h（在第2.2节中引入）相关联的半鞅特征（B（B），C，ν），其中B（B）t=Zt一-bηu+γδα√ηu+ZR（h（zδα√ηu）- h（z）Δα√ηu）m（dz）du，t∈ R+，Ct=Zt（σ√ηu）du=σZtηudu，t∈ R+，ν（dt，dy）=K（ηt，dy）dt，由K（y，R）给出的Borel变换核K从R+×R到R：=ZRR \\{0}（zδα√y） m（dz）表示y∈ R+和R∈ B（R），m（d z）=Cαz-1.-α(0,∞)（z） dz。以下讨论的目的是检查附录A中给出的一组有效条件（将使用符号），以便有权应用Jacod和Shiryaev[18]中的定理III.5.34。首先注意（Ct）t∈R+和ν（dt，dy）不依赖于未知参数b，因此V（eb，b）等于1，然后（A.1）和（A.2）很容易保持不变。我们也有PBν（{t}×R）=0= PbZ{t}K（ηs，R）ds=0！=1，t∈ R+，b∈ R、进一步，（Ct）t∈R+可表示为Ct=RtcudFu，t∈ R+，其中随机过程（ct）t∈R+和（Ft）t∈R+由ct给出：=σηt，t∈ R+，Ft=t，t∈ R+。因此，对于所有b、eb∈ R、 B（B）t- B（eb）t=-（b）-eb）Ztηudu=Ztcuβ（eb，b）udFuPb几乎可以肯定为每t∈ R+，wher er e the随机过程（β（eb，b）t）t∈R+由β（eb，b）t=-b-ebσ，t∈ R+，产生（A.3）。

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2022-6-1 16:10:55

接下来我们检查（A.4），即PbZt公司β（eb，b）ucudFu<∞= 1，t∈ R+。（4.2）我们有ZTβ（eb，b）ucudFu=（b-eb）σZtηudu，t∈ R+。因为对于每个ω∈ D（R+，R），轨迹[0，t] u 7→ ηu（ω）是c\'adl\'ag，因此有界（参见Billingsley[7，（12.5）]），我们有ηu（ω）du<∞, 因此我们得到（4.2）。接下来，我们检查在概率测度Pb下，在给定初值的三元组（B（B），C，ν）对应的正则空间上，以Pb作为其唯一解的鞅问题的局部唯一性是否成立（有关局部唯一性的定义，请参见Jacod和Shiryaev[18]中的定义II.2.27）。根据命题2.1，SDE（1.1）有一个路径唯一的强解（具有给定的确定性初始值y∈ R+，因此Jacodand Shiryaev[18]中的定理III.2.26得出，正则空间上对应于（B（B），C，ν）的鞅问题的所有解集只有一个元素（Pb）产生期望的局部唯一性。我们还提到，Jacod和Shiryaev[18]中的定理III.4.29暗示，在概率测度Pb下，所有局部鞅都具有相对于η的积分表示性质。根据Jacod和Shiryaev【18】（另见附录A）中的定理III.5.34，Pb，Tand Peb，tareeeequivalent（可以改变b和b的角色），我们得到了Pb，Td Peb，T（η）=expZTβ（eb，b）ud（ηcont）（eb）u-ZT公司β（eb，b）u库杜, T∈ R++几乎可以肯定地持有Peb，其中（（ηcont）（eb）t）t∈R+表示（ηt）t的连续（局部）martin gale部分∈Peb下的R+。

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可人4

2022-6-1 16:10:58

使用Jacod和Shiryaev【18】中的备注III.2.28和（2.8），连续（局部）鞅部分（eYcontt）t∈（eYt）t的R+∈R+的形式为：contt=σRtqeYudWu，t∈ R+，通过（1.1），我们得到deycontt=deYt- （a）-ebeYt）dt- ΔαqeYt-dLt，t∈ R+。亨塞洛d Pb、Td Peb、T（eY）=ZT公司-b-ebσ德玉- ΔαqeYu-dLu-ZT公司-b-ebσ（a）-ebeYu）du-ZT公司-b-ebσσeYudu=-b-ebσZT（德宇- ΔαqeYu-dLu）+b-ebσZTa du-b-eb2σZTeYuduholds P-几乎可以肯定，这就产生了这种说法。接下来，利用命题4.1，通过将Peb、Tas视为固定参考度量，我们基于观测值（Yt）t推导出参数b的最大似然估计∈[0，T]。让我们用∧T（b，eb）替换Y来表示（4.1）的右侧。通过基于观测值（Yt）t的参数b的MLEbbTof∈[0，T]，我们的意思是bbt：=arg maxb∈R∧T（b，eb），这将证明不是依赖于oneb。我们推导最大似然估计的方法是文献中已知的方法之一，并且可以证明这些方法会导致相同的估计量Bbt，参见备注4.4。接下来，我们给出了关于所有T的MLEbbTof b的唯一存在性的一个结果∈ R++。4.2提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ，δ∈ R++，α∈ （1、2）和y∈ R+。如果a∈ R++理论∈ R++，然后对于每个T∈ R++，存在唯一的MLEbbTof b P-几乎可以肯定的是，形式为（4.3）bbT=-年初至今- y- 在- δRTα√于-Dlutysds，前提是Rtysds∈ R++（由于命题2.1中的（v），几乎可以肯定的是，R++会保持P不变）。证据由于提案2.1的（v），PRTYsds∈ R++= 所有T均为1∈ R++，因此（4.3）的右侧几乎肯定是定义良好的P。以下讨论的目的是说明（4.3）的右侧是（Yu）u的可测量函数∈[0，T]（即统计数据）。

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mingdashike22

2022-6-1 16:11:01

BY提案4.1，适用于所有b、eb∈ R和T∈ R++，概率度量Peb，Tand Pb，Tareabesolutely continuous to there，and logd Peb、Td Pb、T（Y）= -电子商务-bσ年初至今- y- 在- δZTαpYu-dLu-电子商务-b2σztyudu几乎可以肯定地保持P。上述等式的左侧相对于（Yt）t是可测量的∈[0，T]（参见，例如，Jacodand Shiryaev[18，T heorem III.3.4]），因此其右侧也是可测量的，这产生了Tα的可测量性√于-Dlu与（Yt）t有关∈[0，T]以及随后的Bt。根据提案4.1，对于所有b、eb∈ R、我们有blog（λT（b，eb））=-σ年初至今- y- 在- δZTαpYu-dLu-bσZTYudu，blog（λT（b，eb））=-σZTYudu。因此，基于连续时间观测（Ys）的MLEbbTof b∈[0，T]几乎可以肯定存在P，并且它的形式为（4.3），前提是rtysds∈ R++。4.3备注。接下来，在命题4.2的假设和附加假设a>σ的情况下，我们证明了LTI是（Yu）u的可测函数∈[0，T]对于所有T∈ [0，T]，其中T∈ R++，它（在特殊情况下a>σ）为（4.3）的右侧是一个统计量这一事实提供了另一个证明。回顾符号ζt=δRtα√于-dLu，t∈ R+，我们有 ζt=Δα√年初至今-Lt，t∈ R+（根据（2.1）和Jacod和Shiryaev[18，定义II.1.27]），并使用SDE（1.1），我们得到Yt= ζt=Δα√年初至今-中尉，t∈ R+。因此Lt公司=Ytδα√年初至今-, t型∈ R++，自，由（iv）的第2.1项，P年初至今∈ R++适用于所有t∈ R++= 1、对于所有t∈ [0，T]和ε∈ （0，1），Z（0，t）Z{ε<Z | 61}Z euL（du，dz）=Xu∈[0，t]{ε<|Lu | 61}Lu公司-Z（0，t）Z{ε<Z | 61}Z du m（dz）=Xu∈[0，t]ε<|Yu |Δα√于-Yuδα√于-- tZ{ε<z | 61}z m（dz），是（Yt）t的可测函数∈[0，T]。同样，对于所有t∈ [0，T]，Z（0，T）Z{| Z |>1}ZuL（du，dz）=Xu∈[0，t]{|Lu |>1}Lu=Xu∈[0，t]|Yu |Δα√于->1.Yuδα√于-,这是（Yu）u的可测函数∈[0，T]也是。

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