最大似然估计的渐近正态性及其运算

2022-5-8 22:12:07

小样本情况下的操作风险模型和渐近正态性。导言12。OpVaR，极大似然估计的渐近正态性和重尾分布32.1。MLE 32.2的渐近正态性。重尾分布53。OpVaR严重性分布的渐近正态性103.1。渐近正态性的图形检验113.2。渐近正态性的数值检验113.3。近似参数置信区间154。结论175。利益声明和确认18参考文献18摘要。操作风险模型通常采用最大似然估计（MLE）将损失数据拟合为重尾分布。然而，MLE的几个理想性质（如渐近正态性）通常仅适用于大样本量，这种情况在操作风险中很少遇到。在本文中，我们研究了在操作风险模型中，渐近正态性对公度分布的影响。然后，我们将这些结果应用于评估因围绕MLE确定的参数构造置信区间时的渐近正态性失效而导致的误差。1.简介最大似然估计（MLE）是一种——如果不是的话——在操作风险模型中拟合参数分布的标准方法[AMA Group，2013]。它的广泛使用在很大程度上是由于随着损失数据样本量的增加而保持不变的特性，即最大似然估计是一致的、渐近正态的、渐近有效的估计量。我们在这里关注第二个属性，极大似然估计的渐近正态性，以及这个属性如何与操作值矩阵（OpVaR）模型相关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:10

非正式地说，最大似然估计的渐近正态性意味着，随着样本量趋于一致，估计的参数将围绕真实参数正态分布，方差将变为零（更多细节将在第2节开始）。然而，在运营风险中，很难证明样本量接近真实值的假设是合理的，因为资本估计是由大型和罕见的损失事件驱动的，电子邮件地址：paul。larsen@maths.oxfordalumni.org.Date：2016年8月26日。2操作风险模型和渐近正态性我们将渐近正态性的渐近性质作为VaR模型关注的基础。[Embrechts et al.，1997]第318页总结了这种情况：“尽管我们有可靠的数值程序来确定MLE…，但我们对其性质不太确定，尤其是在小样本情况下。”由于开发独立OpVaR模型的压力，MLE估计的小样本量挑战更加严峻。一些地方监管机构没有计算给定银行所有法人实体的单一OpVaR，然后将该资本分配给法人实体，而是要求在给定法人实体（或一个国家的实体集群）的层面上计算OpVaR模型。因此，通过有效地将一家银行及其损失数据分割成更小的部分，将厚尾分布分配到一家银行中相对较少的高损失的问题变得更加严重。在这两篇论文的第一篇中，我们研究了OR建模常见的重尾分布的渐近正态性是如何成立的，以及这对OR建模意味着什么。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:15

具体而言，我们（1）进行正态性的图形和数字测试（第3.1节和第3.2节），（2）评估参数设定置信区间的正态近似值（第3.3节）。第二点是使用渐近正态性来确定参数估计的置信区间。这些置信区间用于拟合尾部分布时的拟合度测试。当然，只有当参数误差按渐近正态分布时，这些估计才可靠。在第二篇论文[Larsen，2016]中，我们研究了MLE误差如何转化为OpVaR模型的稳定性（或缺乏稳定性）。虽然本文主要关注操作风险，但估计重尾分布的最大似然拟合所产生的误差的问题要普遍得多。我们考虑的重尾分布（帕累托分布、威布尔分布、对数正态分布、对数逻辑分布和第二类广义贝塔分布）出现在除运营风险外的许多其他环境中，如数据网络、市场模型和保险[Resnick，2007]。实际上，这里所考虑的OpVaR模型通常被称为“精算方法”，其特点是分别对损失的频率和严重程度进行建模。将理论问题与实践联系起来需要有代表性的损失数据。我们使用了最近ORX协会OpVaR稳定性研究中的损失数据，在该研究中，参与者获得了12个计量单位（UOM）的损失数据集，包括来自成员银行的匿名损失数据。本文选择了四个计量单位，涵盖了一系列损失报告。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:18

出于空间考虑，此处仅给出了一个计量单位（UOM1）的分析结果，该计量单位和其他三个计量单位的完整结果在单独的附录中给出[Larsen，2015]。主要发现我们现在总结一下我们的主要发现在第2节中，我们介绍了帕累托分布、威布尔分布、对数正态分布、对数logistic分布和GB2分布的渐近正态性理论，并说明了渐近正态性的典型假设即使不是不可能，也很难验证这些严重性分布在第3.1节中，我们通过模拟MLE参数（参数自举）以图形方式测试小样本的渐近正态性。这些测试显示Weibull和GB2分布的结果较差，而操作风险模型和渐近正态性3帕累托分布、对数正态分布和对数对数对数逻辑分布似乎显示渐近正态性，即使样本量较小第3.2节研究了渐近正态性的数值试验，由此产生的p值表明对数正态分布是唯一一个未完全拒绝正态性假设的分布尽管从图形和数字上可以看出偏离正态性，但渐近正态性为帕累托分布、对数正态分布和对数logistic分布的置信区间提供了非常好的近似值（第3.3节）。威布尔分布和GB2分布的性能相当差。使用渐近正态性估计MLE误差在实践中很常见，在[Frachot et al.，2004，Cope et al.，2009]中也用于估计参数置信区间。[Piacenza和Sordi，2014]中提到了这种近似的可能缺点。在本节结束时，我们将提到几个技术要点。对于下面考虑的概率分布，不同的来源给出了不同的参数名称，有时分布函数本身因来源而异。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:22

我们在下一节中给出了精确的定义，并且通常遵循下面用于我们分析的R包中的参数命名约定。统计分析、图形和排版都是通过统计软件R完成的[R Core Team，2014]。基础设置中的R包之外的R包是FitDistripPlus[Delignette Muller等人，2013年]、GB2[Graf and Nedyalkova，2014年]、ggplot2[Wickham，2009年]、neldermead[Bihorel and Baudin，2014年]、VGAM[Yee，2014年]、MVN[Korkmaz等人，2014年]和Swave[Leisch，2002年，2003年]。OpVaR，极大似然估计的渐近正态性和重尾分布2。1.极大似然估计的渐近正态性。非正式地说，MLE的渐近正态性表明，拟合参数对数据的分布将是正态分布的，以真实参数为中心，具有一个取决于样本大小的规定协方差矩阵。设X=（X，…，xn）是概率密度函数（PDF）f（X |θ）的基础分布的数据*), θ在哪里*是真实的参数。然后，为了检验这种分布的渐近正态性是否成立，我们需要检验当n增加时，MLE是否产生正态分布的固定参数bθ。这个特性可以用参数自举法测试，也就是说，对于固定的n，我们从真实分布f（x |θ）中采样n个数据点*), 并应用最大似然估计得到bθ1，n。我们重复这个样本/拟合过程m次，以获得拟合参数（bθ1，n，…，bθm，n），即我们已经为样本大小为n的最大似然估计参数生成了统计数据。在给出最大似然估计的渐近正态性的精确陈述之前，我们先对其证明所需的正则性假设进行了计时。将分布的对数似然函数定义为`（x |θ）=对数f（x |θ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-8 22:12:25

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:28

如果进一步存在k∈ N使得E[Xk]6=E[X0k]，那么就可以得出存在非零测度的参数空间U的子集，使得对于所有x，f（x |θ）6=f（x |θ）∈ U、因此，分布家族是可识别的。进一步的要求是Fisher信息矩阵在θ的邻域中是非奇异的*. 由于费舍尔信息矩阵可以被解释为参数空间上的一个度量，因此对该条件何时失效的研究导致了统计学习理论和几何之间的重新关联。渡边淳雄和其他人的工作发展了一种理论，通过从代数几何中解析奇异性，在奇异Fisher信息矩阵的情况下重建了极大似然估计的许多理想性质[Watanabe，2009，渡边，2013]。保持渐近正态性的最终要求是，必须正确指定模型：如果将最大似然估计应用于一个参数分布，以拟合来自不同分布的数据，那么吸引“真实”参数的结果当然会受到怀疑。定理2.1（极大似然估计的渐近正态性）。在上述条件下，theMLEbθ是渐近正态的：√n（bθ）- θ*)D→ N（0，I（θ）*)-1），即分布上的趋同。操作风险模型和渐近正态性定理的5A证明可在[Wald，1943]中找到；草图证明更为丰富（参见[Cox and Hinkley，1979]）。我们主要关心的是这个结果的渐近性质。关于有限样本量可能出现的问题，考虑数据（x，…，xn）独立于正态分布N（u，σ）进行采样。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:31

然后MLE产生方差^σ=1/nPni（xi）的估计值- ^u），该定理给出了Fisher信息矩阵的自然解释，该矩阵非正式地编码了每个参数方向中包含的关于分布的多少信息。为了简单起见，假设Fisher信息是对角的。然后，在定理2.1中，Fisher信息矩阵中的大条目（高水平信息）对应于MLE参数估计的小变化。事实上，在数值求解中估计最大似然方差的标准方法是在最佳参数下计算Fisher信息矩阵，并将其转化为定理2.1。作为推论，这种方差估计通常仅在定理2.1适用的情况下有效，尤其是在大样本量的假设下。上述高阶正则性条件在实践中很难检验，并且缺乏明显的统计解释。定理2.1的条件可能不满足，但渐近正态性仍然成立[Le Cam，1970，Smith，1985]。此外，如果Fisher信息矩阵是奇异的（且与行列式0不相同），那么奇异的参数集在参数空间中至少是一个共维的（这是det I（θ）=0的解集）。因此，对于几乎所有的参数θ，Fisher信息矩阵都是非奇异的。因此，在将MLE应用于第二类广义贝塔分布（如下一节所述）时，需要特别小心，因为关于Fisher信息矩阵的假设很难验证。桥接理论和实践的另一个挑战是，对于除少数分布以外的所有分布，用于确定最佳参数的算法都是数值的，并且可能只产生对数似然函数的局部最大值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:35

当我们在下面描述所考虑的严重性分布时，我们还将概述MLE中使用的算法及其潜在缺点。2.2. 重尾分布。OpVaR模型中使用的严重性分布通常是重尾分布。我们将重尾定义为次指数（定义见下文），但文献中存在其他几种定义。为了方便读者，我们还概述了其他常见的定义，并在可能的情况下将它们相互关联。定义2.2。设F是一个累积分布函数，其支持度为（0，∞).那么F是次指数的，如果，对于所有n≥ 2，limx→∞Fn*（x） F（x）=n，其中F（x）=1- F（x）是尾函数，或生存函数，极限中的分子是F（x）的n倍卷积。次指数分布展示了重尾分布在总损失水平上的一个一般特性，即最大值的尾部决定了总和的尾部。这里考虑的所有分布都是6个操作风险模型和渐近正态次指数分布（对于Weibull分布，当形状参数小于1时，这一点成立；见下文第2.2.2节）。次指数性意味着另一个有时被视为重尾函数定义的性质，即尾部的衰减速度比任何指数函数都慢。使用上面的符号，精确的公式是 > 0，limx→∞Ex\'F（x）=∞.参见[Embrechts et al.，1997]，引理1.3.5（b），了解次指数分布函数满足上述极限的证明。次指数分布的一个重要子类由规则变化的函数组成：定义2.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:40

（0，∞) 每小时都在变化∞ 指数α∈ R iflimx→∞f（tx）f（x）=所有t>0的tα。请注意，对数正态分布和威布尔分布不是规则变化的。对于尾指数α>0的规则变化F，高于α的相关随机变量的所有矩都是无界的；见[Embrechts等人，1997年]提案A.3.8（d）。因此，有规律的变化意味着重尾的一个最终特征。基于有限矩的存在，一些来源在重尾分布和“轻尾”分布之间存在差异[De Fontnouvelle等人，2007年]。在这种分类下，对数正态分布和威布尔分布是轻尾分布，因为所有矩都是有限的，而帕累托分布、对数逻辑分布和GB2分布都是有限矩，在这种用法中被认为是重尾分布。下面我们不考虑的严重性分布的一个子类来自极值理论，例如广义极值（GEV）分布。这些分布通常不通过MLE进行校准，而是使用极值理论中的方法进行校准，例如超过阈值的峰值（见[Embrechts et al.，1997]）。此外，在操作风险方面，共识似乎已转向反对EVT（参见[Mignola and Ugocconi，2005]了解EVT的稳定性问题）。因此，我们将分布限制为重尾分布，其中最大似然估计是一种重要的拟合方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:43

除了极值理论分布，我们还忽略了g和h分布，尽管最近文献中对其进行了关注，因为其PDF没有封闭形式，并且最自然地通过分位数匹配来拟合数据[Dutta和Perry，2007]（尽管存在极大似然拟合方法[Rayner和MacGillivray，2002]）。这里考虑的分布族的支持可能会有所不同，这在拟合损失数据时会出现问题，尤其是在我们研究的拼接分布的情况下。对于帕累托分布，其中一个参数定义了支持度，这与证明MLE渐近正态性所需的假设相矛盾。因此，我们将参数设置为拼接位置T，从而使Paretodistribution成为一个单参数族。对于第二类的对数正态分布、对数逻辑分布和广义贝塔分布，支持是正实数。为了拟合拼接分布，我们隐式地处理了广义帕累托分布（GPD），因为对于重尾分布，GPD降低为帕累托分布。操作风险模型和渐近正态性7有两种标准方法：用移位或截断版本替换分布，以确保支撑包含在拼接分布的尾部区域。截断分布可能会给MLE拟合带来困难[Opdyke和Cavallo，2012]，此外，生成的Fisherinformation矩阵的显式表达式更为复杂，尽管原则上可以获得[Escobar和Meeker，1998]。出于这些原因，我们只考虑这些发行版的移位版本。2.2.1. 帕累托分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:46

如上所述，帕累托分布通常被定义为一个2参数族，但由于其支持度取决于一个参数（通常称为尺度参数T），我们将其作为拼接平均分布的阈值（例如T=100000），并将帕累托分布视为取决于一个参数，即形状α，从而导致Pdf（x |α）=Tαxα+1，其中x≥ T，否则为0。为了X~ P areto（α），请注意，X的第一个动量当且仅当α>1时有界，方差仅当α>2时有界。很容易证明，对于α的所有值，帕累托分布都是可识别的，费希尔信息矩阵是标量I（θ）=I（α）=1/α，它是一个正定义矩阵（大小为1×1）。概率方程的唯一解` = 0 isbα=nPnlog（xi/T），因此不需要数值解算器来执行帕累托分布的最大似然估计。2.2.2. 威布尔分布。威布尔分布是指数分布的推广。对于形状和比例参数a，b>0，PDF isf（x | a，b）=（a/b）（x/b）a-1exp-xbA.在[Wei，2007]中，考虑了三参数Weibull分布，其中一个额外的位置参数u决定了支撑。如上所述，关于帕累托分布，最大似然估计的一个关键假设是，支撑独立于待估计的参数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:12:49

因此，我们考虑Weibull的移位分布，这相当于设置位置参数tou=T。Weibull分布的Fisher信息矩阵为（2.2）I（θ）=I（a，b）=A.ψ(1) + ψ(2)-b（1+ψ（1））-b（1+ψ（1））ab，;参见[Gupta and Kundu，2006]，但请注意参数化：一些来源将尺度参数定义为此处给出的倒数。[Smith，1985，Woodroof，1972，Akahira，1975]研究了Weibull分布的最大似然估计（MLE）特性，尽管这些工作考虑了三参数Weibull分布，其中最大似然估计（MLE）尤其有问题。结果表明，如果a≤ 1.对于1<a<2，MLE不是渐近正态的，而如果a=2，MLE是渐近正态的，但与定理2.1的方差矩阵不同。如果a>2，则渐近正态性成立（以及渐近有效性）。注意，Weibull分布是重尾分布（即次指数分布），当且仅当a<1时（[Embrechts等人，1997]，例如8操作风险模型和if语句的渐近正态性1.4.3），而当≥ 1）因此，次指数威布尔分布的极大似然估计会导致不一致估计。威布尔分布的似然方程可以显式求解。如第3节（和[Larsen，2015]）所示，对于我们应用最大似然估计的所有四个损失数据集，α的“真”值都小于一，从而形成无界Fisher信息矩阵。这体现在FitDistripPlus算法中，警告消息表明生成的系统是奇异的。在极大似然估计不收敛的情况下，我们放弃了参数估计。2.2.3. 对数正态分布。对数正态分布logn（u，σ）有PDFf（x |u，σ）=√2πσxexp-（日志x）- u)2σ注意，我们选择第二个参数为σ，而不是σ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 22:12:53

这种惯例在计算Fisher信息矩阵时存在差异，即（2.3）I（θ）=I（u，σ）=1/σ0 2/σ.对数正态分布的Fisher信息矩阵是非奇异的，sincea随机变量X是对数正态的当且仅当存在一个X=exp（Y）的正态分布随机变量Y，且函数exp:R→ (0, ∞) 是一个反同构（因此，松散地说，所有涉及导数和积分的属性，对于正态分布变量都适用于对数正态分布，反之亦然）。对数正态分布也适用于所有允许值（u，σ），因为正态分布也是如此。Fisher信息矩阵是正定义的，因为它是一个带有正项的对角矩阵。与帕累托分布一样，对数正态分布的似然方程可以方便地求解，因此（bu，bσ）的确定在计算上没有问题。2.2.4. 记录物流配送。与对数正态分布一样，当且仅当存在逻辑随机变量Y，使得X=exp（Y）时，随机变量X遵循对数逻辑分布。对数逻辑分布LL（a，s）有PDF（2.4）f（x | a，s）=axsax（1+（x/s）a）用于x≥ 0，否则为零。参数a和s都必须为正。与帕累托分布一样，对数逻辑分布可以有一个无界的第一时刻，即≤ 一段时间≤ 2.方差也是无界的。X的Fisher信息矩阵~ LL（a，s）是（[Shoukri等人，1988]）（2.5）I（θ）=I（a，s）=3+π9a像!,这是正定义，因为a，s>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 22:12:56

此外，对数逻辑分布对于a>1是可识别的，这遵循上述一般策略，因为其中值为s，模式为sA.-1a+11/a，在a中严格递增，ishence内射。操作风险模型和渐近正态性9为了拟合对数逻辑分布，我们使用FitDistripPlus，它使用Nelder-Mead算法进行优化。对于初始参数值，我们采用（参见[J¨ohnemark，2012]）sinit=Median（x，…，xn）ainit=log（n- 1）对数（最大（x，…，xn）/sinit）2.2.5。第二类广义贝塔分布。GB2分布（也称为变换贝塔分布）嵌套在更一般的贝勒-帕累托分布F P（u，σ，γ，γ，γ）中，其本身嵌套了威布尔分布、对数正态分布和对数逻辑分布（以及广义帕累托分布和逆伯尔分布[Brazauskas，2002]），因此，在建模或丢失数据时，GB2分布可以对通用性（GB2）和简约性（威布尔、对数正态和对数逻辑）之间的权衡进行评估。GB2发行版有PDF（2.6）f（x）=a（x/b）ap-1bB（p，q）（1+（x/b）a）p+q，其中b（p，q）是β函数（或欧拉积分），定义为p，q>0为（2.7）b（p，q）=Ztp-1(1 -t） q- 1dt，X的第m个力矩~ GB2（a，b，p，q）是BMB（p+h/a，q-h/a）B（p，q），并且没有时刻超过aqth one[Bookstaber and McDonald，1987]。GB2分布的Fisher信息矩阵可以从Feller-Pareto分布的信息矩阵中推导出来[Brazauskas，2002]。具体来说，由于GB2（a，b，p，q）=fp（0，b，1/a，q，p），我们使用变量公式JIF PJ>的变化，其中J是坐标变化的雅可比矩阵→ 0, σ → b、 γ→ 1/a，γ→ q、 γ→ P

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:13:00

写I=（Ii，j）=（Ij，I），10个操作风险模型的Fisher信息矩阵和渐近正态YGB2（a，b，p，q）分布的中心为1,1=a+apqp+q+1I1,2=-pq（ψ（p）- ψ（q））+q- pb（p+q）- 1） I1,3=q（ψ（p）- ψ（q））- 1a（p+q）I1,4=p（ψ（q）- ψ（p））-1a（p+q）I2,2=apqb（p+q+1）I2,3=aqb（p+q）I2,4=-apb（p+q）I3,3=ψ（p）-ψ（p+q）I3,4=-ψ（p+q）I4,4=ψ（q）- ψ（p+q），其中ψ（x）=Γ（x）/Γ（x）是digamma函数，其导数ψ（x）是trigamma函数。我们为GB2发行版实施自己的MLE，如下所示。我们通过隐式惩罚将p，q上的线性边界纳入似然函数，并使用NelderMead软件包最小化负对数似然函数[Bihorel and Baudin，2014]。为了获得初始参数值，我们使用了软件包GB2的伪函数[Graf and Nedyalkova，2014]。由于NelderMead通常只返回一个局部最小值，我们在另外两个参数开始值处运行最小化，通过扰动损耗数据（一个损耗上移，另一个损耗下移）并对扰动的损耗数据应用伪MLE获得。如果三个起始参数中至少有一个导致收敛解，我们取对应于最低负似然值的校准参数。在讨论结果之前，请注意定理2.1假设我们能够找到似然函数的全局最大值。对于对数逻辑分布和GB2分布，无法保证找到全局最大值。我们希望上述方法的描述将有助于使用对数逻辑分布或GB2分布的从业者判断其优化算法的效果。3.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-8 22:13:03

OpVaR严重性分布的渐近正态性在本节中，我们首先在分别适用于第3.1节和第3.2节中的中等严重损失数据时，以图形和数字方式评估上述严重性分布的渐近正态性。在第3.3节中，我们将研究这对用渐近正态性近似参数置信区间有何影响。其他三组损失数据的相应结果见[Larsen，2015]。操作风险模型和渐近正态性11为了设置阶段，我们详细描述了固定损失数据集损失的模拟程序（参数boostapping）和样本量，以{pareto，Weibull，lognormal，log logistic，GB2}为单位，CDF F（x |θ）（1）用MLE将损失与distn拟合，以获得真实参数θ*（2）对于{1，…，m}（我们取m=40000）（a）中的i，从真实分布F（x |θ）中抽取n个样本*) 为了获得bootstrapped loss lossesi（b）Fit distn to lossesiw with MLE获得bootstrapped parameters bθi，对于每个分布族和每个样本大小n，我们因此获得了参数估计的统计量。然后我们比较boostrappedparametersbθ1，n，bθm，nto定理2.1的预测。例如，对于对数正态分布，eachbθi，n将是一个包含两个分量的向量，bθi，n=（ui，n，σi，n），对于这些分量中的每一个，我们绘制相应的核密度估计（本质上是一个智能直方图；参见例如[Hastee et al.，2009]，第6章），以对抗定理2.1中该分量的正态分布。继续这个例子，对应于自举ui，n的正态分布将具有方差1/（σ）*). （为了便于阅读，在下面的图中，我们将预测的正态分布集中在真实值而不是0，并移动√n到极限的右侧）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 22:13:07

请注意，对定理2适用性的全面研究。1需要的不仅仅是我们给出的曲线图和置信区间，它只关注估计参数的边际分布。在下面的例子中，基础损失数据集由损失组成，其中19%高于10万欧元的拼接阈值。数据并不特别沉重，平均值为131560，中位数为39018，且没有超过30欧元的损失。较重损失数据的结果见[Larsen，2015]。3.1。渐近正态性的图形检验。图1-7的正态性图形测试显示了边缘参数分布的正态性是如何变化的。在“正态”方面，即使帕累托分布（图1）和对数正态分布（图4）的样本量小到100，自举参数也表现在定理2.1中。然而，对于帕累托分布，p值说明了不同的情况（见下文），对于对数正态分布，可以看到对数正态分布σ的MLE估计的小样本偏差）。在剩余的威布尔分布、对数logistic分布和GB2分布中，每种分布都显示出不同程度的偏态；分别见图3、图5、图6和图7。威布尔分布的偏度并不像其他分布那样，随着样本量的增加而减小。然而，这种行为并不奇怪，因为真正的形状参数是0。对于56，这是不一致的。图6所示的100尾损失的GB2分布给出了到目前为止的渐近正态性。3.2. 渐近正态性的数值检验。上述图形测试只考虑了边际增强参数分布（即，每个拟合参数是否如理论预测的那样独立正态分布？）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:13:10

为了验证定理2.1，我们转向正态性的数值测试。正态分布数据的假设检验作为建模工具有其优缺点，但它仍然是监管统计12操作风险模型和渐近正态分布图的一个特征。当前基于模拟数据评估定理2.1有效性的任务与拥有真实数据的通常情况截然不同。01230.75 1.00 1.25 1.50 1.75形状密度图理论（核密度）理论自举形状：N（1.12,0.113）与理论N（1.11,0.111）图1。UOM1:AN代表帕累托：真θ=（1.11），样本量1000.02.55.07.510.00.4 0.5 0.6 0.7 0.8形状密度图精神（核密度）理论自举形状：N（0.569，0.045）与理论N（0.56，0.0415）0.0e+002.5e-065.0e-067.5e-061.0e-051e+052e+053e+054e+05scaledensityDensity plotsEmpirical（内核密度）理论自举量表：N（21775141073）与理论N（21230337902）图2。UOM1:AN代表威布尔：真θ=（0.56212303.18），样本量1000020340500.54 0.560.58 0.60形状密度图理论（核密度）理论自举形状：N（0.561，0.00856）与理论N（0.56，0.0083）0e+002e-054e-05200000 225000 250000标度密度图精神（核密度）理论自举标度：N（214799547）与理论N（2123037580）图3。UOM1:AN对于Weibull:trueθ=（0.56212303.18）、样本量2500操作风险模型和渐近正态性13，在现实世界中，可以安全地假设没有大型数据集是真正正态分布的，从而降低了大型样本的正态性测试值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-8 22:13:15

在目前的情况下，我们也知道我们的40000个自举参数不是正态分布的，但如果定理2.1成立，那么增加样本量（即假设损失数据的大小）将减少对正态性假设的拒绝，或者，等效地，更大的p值。对于帕累托分布，我们使用了在nortest[Gross and Ligges，2015]中实现的安德森-达林测试。与Shapiro-Wilk测试不同，该测试具有适用于所有样本大小的优势。除2500个样本外，所有p值均与0（即小于10）无法区分-12). 对于2500个样本量，p值为2.28e- 09.对于剩余的多变量分布，我们使用MVN中实施的Mardia测试[Mardia，1970][Korkmaz等人，2014]。与Anderson-Darling检验不同，Mardia检验分别检查偏度和峰度。唯一的偏p值大于10的分布-15是对数正态分布。其p值如表1所示，其中，我们发现典型的5%显著水平不会拒绝样本大小1500和2500.0.00.51.01.52.010.5 11.0 11.5 12.0平均密度图理论自举平均对数：N（11.3,0.18）与理论自举平均对数：N（11.3,0.18）01231.50 1.75 2.25平均密度图理论自举平均数：N（1.78,0.128）对理论N（1.8,0.127）图4。UOM1:AN表示对数正态分布：真θ=（11.3,1.8），样本量1000123450.75 1.00 1.25 1.50形状密度图精神（核密度）理论自举形状：N（1.01,0.0867）与理论N（1,0.0837）0e+001e-052e-0560000 90000 120000 150000标度密度图精神（核密度）理论自举标度：N（8538814958）与理论N（8400014531）图5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:13:19

UOM1:AN对数逻辑：真θ=（184000），样本量10014操作风险模型和渐近正态性峰度检验导致GB2分布的p值基本为0。其他分布的峰度p值如表2所示。5%的显著性水平将无法拒绝对数正态分布的正态假设，以及1000和1500样本量的对数逻辑分布。0.000.250.500.750 1 2形状密度密度图理论（核密度）理论自举形状1:N（2.13,6.58）与理论N（0.837,0.593）0e+002e-064e-066e-060e+00 1e+05 2e+05 3e+05 4e+05标度密度图理论自举比例：N（9.13e+10，1.2e+13）vs理论N（11751789101）0.00.20.40.60 1 2 3 4形状密度图理论自举形状2：N（2.08，8.34）vs理论N（1.18，1.23）0.20.40.50 2 4形状密度图plotsEmpirical（内核密度）理论自举形状3:N（25250232661）与理论N（1.45,1.65）图6。UOM1:AN代表GB2:trueθ=（0.837，117516.887，1.184，1.454），样本量10001230.6 0.9 1.2 1.5形状密度图理论（核密度）理论自举形状1:N（0.869，0.13）与理论N（0.837，0.119）0.0e+005.0e-061.0e-051.5e-052.0e-051e+052e+053e+05scaledensity Density plotsEmpirical（内核密度）理论自举量表：N（11880919350）与理论N（11751717820）0.00.51.01.51 2形状密度plotsEmpirical（内核密度）理论自举形状2:N（1.17,0.268）与理论N（1.18,0.247）0.00.51.02形状密度plotsEmpirical（内核密度）理论自举形状3:N（1.44,0.363）对理论N（1.45,0.33）图7。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:13:22

UOM1:AN对于GB2:trueθ=（0.837，117516.887，1.184，1.454），样本量2500操作风险模型和渐近正态性15威布尔分布是最明显不符合Reom 2.1假设的分布，因此峰度p值不单调增加也就不足为奇了。对于对数正态分布，峰度p值随样本数增加而单调增加的预期并不明显。这种行为可能是由于这样大的数据集的数值不稳定造成的。表1。每个样本大小的Mardia斜p值100 200 300 500 1000 1500 2500对数正态分布0.01 0.03 0.03 0.17 0.32 0.26表2。每个样本大小的马迪亚峰度p值100 200 300 500 1000 1500 2500威布尔0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00对数正态0.70 0.44 0.88 0.36 0.81 0.70 0.57对数逻辑0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.55 0.36 0.00与本节中给出的p值相比，下一节将讨论定理2.1是否适用于研究常用的正态近似估计参数置信区间的有效性。3.3. 近似参数置信区间。现在，我们来看看导言中的问题2，关于使用定理2.1来近似参数置信区间。有几种方法可用于评估损失数据严重性分布的优度。我们在这里关注的一个直接来自渐近正态性。假设定理2.1成立，则MLE拟合参数正态分布在“真”（即拟合）参数附近，协方差矩阵由Fisher信息矩阵确定（见第2.1节）。然而，正如我们已经看到的，对于小样本的操作风险数据，这种正常假设是有问题的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:13:26

在本节中，我们将量化结果置信区间误差。下表显示了使用该近似值相对于增强参数分位数获得的“真实”95%置信区间的误差百分比，即我们比较了40000个自举参数的97.5%分位数和2.5%分位数与定理2.1规定的正态分布的相同分位数差异。表3中的结果反映了从图中可以看到的情况：对于帕累托分布、对数正态分布和对数逻辑分布，通常近似的95%密度区间在真实值的几%以内，而威布尔分布和GB2分布的近似值相对较差。对于GB2，正常近似置信区间在给定足够数据（2500损失）的真实置信区间的10%以内。随着样本量的增加，威布尔分布的近似值变得更糟，这一现象也可以从图2和3.16操作风险模型以及渐近正态性表3中看出。由样本大小的渐近正态性得出的95%置信区间的误差百分比100 200 300 500 1000 1500 2500帕累托形状2%1%0%0%1%0%-1%威布尔形状8%7%7%6%6%5%6%威布尔尺度9%8%9%10%13%16%22%对数正态平均值0%1%0%0%0%0%0%0%0%0%-1%0%对数逻辑形状3%1%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%0%-1%对数逻辑尺度2%1%1%1%0%1%1%1%GB3121%15%11%8%7%GB2量表79%78%73%61%31%17%7%GB2形状2 43%50%50%45%26%15%6%GB2形状3 43%55%58%53%30%17%7%操作风险模型和渐近正态性174。结论这里考虑的唯一渐近正态分布是对数正态分布，即使对于典型的运营损失数据样本量也是如此。回想一下，它的最大似然估计，以及帕累托分布，可以通过分析（即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:13:29

解一个简单的方程）。更一般地说，定理2.1的所有关键假设都可以有效地验证对数正态分布。渐近正态性也为MLE参数置信区间提供了非常好的近似值，所有样本大小的误差不超过1%。帕累托分布和对数逻辑分布的表现类似，通常近似的置信区间导致误差不超过3%。然而，与对数正态分布相反，Paretosape参数的Anderson-Darling p值表明所有样本量的正态假设均被拒绝。第二类广义贝塔分布（GB2）的渐近正态性检验最差。当涉及理想的MLE特性和置信区间时，仅应非常谨慎地使用此分布。更有趣的“表现不佳”是威布尔分布。在第二节中，我们证明了当威布尔分布不一致时，它是次指数分布。渐近正态性的图形和数值测试证实了这个问题。随着尺度参数样本量的增加，MLE置信区间的正态近似误差甚至变得更糟。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-8 22:13:33

尽管这些分析给出了有关Weibull和操作风险严重度分布的MLE特性的明确警告信号，但我们将在[Larsen，2016]中显示，与其他分布相比，其作为样本大小函数的稳定性特性是好的。使用渐近正态性来近似参数置信区间的总体积极结果也应在更广泛的操作风险建模背景下考虑，尤其要详细说明我们的模拟研究所做的假设，以及这与实际损失数据的关系。参数自举的定义与MLE的一个关键假设相兼容，即数据是独立且相同分布的，因为自举的数据样本是独立于单个“真实”分布的。这些假设对实际损失数据的适用性受到质疑，而对MLE上不独立且分布相同的损失数据产生的影响是[Opdyke and Cavallo，2012]关注的焦点。运营风险文献在这个问题上并不一致，但ORX lossdata财团的定期评估为这一假设提供了普遍支持[Cope and Antonini，2008，Analytics，2012]。除了大样本量的假设外，我们还调查了关于分布的假设。然而，众所周知，即使在不满足理论假设的情况下，MLE也可以显示渐近正态性（参见[Smith，1985]）。笼统地说，这些假设是证明结果所必需的，但不一定能使结果成立。对于其中三种分布（帕累托分布、对数正态分布和对数逻辑分布），我们发现理论和模拟之间的一致性很高，即使样本量很小。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-8 22:13:37

第二类广义贝塔分布的渐近正态性假设很难验证。我们还隐式假设了标准MLE要求，即我们知道“真实”的基础分布。拟合方法对误判的18个操作风险模型和渐近正态模型（即选择错误的“真实”分布）的鲁棒性本身就是一个研究主题；西。g、 [Ergashev，2008，Opdyke和Cavallo，2012].5。利益声明和确认本文中表达的观点是作者的观点，并不反映安联SE或德意志银行股份有限公司的观点。只有作者对论文的内容和写作负责。这项研究是在我受雇于德意志银行时进行的。很高兴感谢Michael Kalkbrener，感谢他对本项目的支持和对整个项目的投入。我想对法比奥·皮亚琴扎表示感谢，他为我提供了许多见解和有益的改进建议。我还要感谢J¨org Fritscher、海德尔·海德尔、蔡仁林和格里戈里·廷琴科提供的有用的对话和建议。感谢您允许我使用运营风险数据交换协会（ORX）提供的损失数据，并感谢ORX的卢克·卡里克对我的支持和反馈。参考文献[Akahira，1975]Akahira，M.（1975）。非正则情形下位置估计的渐近理论，I：一致估计的收敛阶。统计应用研究报告，日本科学家和工程师联合会，22（1）：8-26。[AMA集团，2013]AMA集团，R.M.A.（2013）。AMA量化挑战：关于“棘手的LDA主题”的大量实践和观察。技术报告，运营风险顾问。[Analytics，2012]Analytics，O.（2012）。相关性分析。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-8 22:13:41

技术报告，ORX联合体。[Bihorel and Baudin，2014]Bihorel，S.and Baudin，M.（2014）。neldermead:Scilabneldermead模块的R端口。R软件包版本1.0-9。[Bookstaber and McDonald，1987]Bookstaber，R.M.and McDonald，J.B.（1987）。描述证券价格回报的一般分布。《商业杂志》，第401-424页。[Brazauskas，2002]Brazauskas，V.（2002）。费舍尔信息矩阵-帕累托分布。《统计与概率通讯》，59（2）：159-167。[Cope and Antonini，2008]Cope，E.and Antonini，G.（2008）。在ORX财团数据库中观察到运营损失之间的相关性和依赖性。操作风险杂志，3（4）：47-74。[Cope等人，2009]Cope，E.W.，Mignola，G.，Antonini，G.，和Ugoccioni，R.（2009）。从损失数据中衡量运营风险的挑战和陷阱。操作风险杂志，4（4）：3-27。[Cox and Hinkley，1979]Cox，D.R.and Hinkley，D.V.（1979）。理论统计。华润出版社。[De Fontnouvelle等人，2007]De Fontnouvelle，P.，Rosengren，E.，和Jordan，J.（2007）。其他操作风险建模技术的影响。《金融机构的风险》，第475-512页。芝加哥大学出版社。[Delignette Muller等人，2013]Delignette Muller，M.L.，R.Pouillot，J.-B.丹尼斯和C.杜唐（2013）。fi tdistrplus：帮助将参数分布定义为非审查或审查数据。R软件包版本1.0-1。[Dutta and Perry，2007]Dutta，K.and Perry，J.（2007）。《尾巴的故事：估计操作风险资本的损失分布模型的实证分析》。技术报告，波士顿工作文件FRB。可在https://www.bostonfed.org/economic/wp/wp2006/wp0613.htm.[Embrechts等人，1997]Embrechts，P.，吉隆坡，C.，和Mikosch，T.（1997）。《保险和金融极端事件建模》，第33卷。斯普林格。[Ergashev，2008]Ergashev，B。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-8 22:13:46

(2008). 风险经理在量化操作风险时是否应该依赖最大似然估计方法？可通过SSRN 1075249获得。[Escobar and Meeker，1998]Escobar，L.A.and Meeker，W.Q.（1998）。具有截尾、截断和解释变量的Fisher信息矩阵。中国统计局，8（1）：221-237。[Frachot等人，2004]Frachot，A.，Moudoulaud，O.，和Roncali，T.（2004）。实践中的损失分配方法。《巴塞尔手册：金融从业人员指南》，第527-554页。操作风险模型和渐近正态性19[Graf和Nedyalkova，2014]Graf，M.和Nedyalkova，D.（2014）。GB2，第二类广义贝塔分布：性质，可能性，估计。R软件包版本2.1。[Greene，2011]Greene，W.（2011）。经济计量分析。培生教育。[Gross and Ligges，2015]Gross，J.and Ligges，U.（2015）。MVN：用于评估多元正态性的R包。，1.0-4版。[Gupta和Kundu，2006]Gupta，R.D.和Kundu，D.（2006）。关于Weibull分布和GE分布信息的比较。《统计规划与推理杂志》，136（9）：3130–3144。[Hastine et al.，2009]Hastine，T.，Tibshirani，R.，和Friedman，J.（2009）。统计学习的要素，第2卷。斯普林格。[J–ohnemark，2012]J–ohnemark，A.（2012）。运营风险建模。硕士论文，KTH。[Korkmaz等人，2014]Korkmaz，S.，Goksuluk，D.，和Zararsiz，G.（2014）。Mvn：用于评估多元正态性的r包。R期刊，6（2）：151-162。[Larsen，2015]Larsen，P.（2015）。“小样本操作风险模型和最大似然估计误差”附录。可在https://pavellarsen.wordpress.com/publications/.[Larsen，2016]Larsen，P.（2016）。小样本操作风险模型的稳定性和最大似然估计。预印本。[Le Cam，1970]Le Cam，L.（1970）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝