增长最大似然估计的渐近性质

2022-5-25 16:38:25

与临界情况相比，这是一种新现象，在临界情况下，扩散型临界过程发挥了作用。1简介移民的连续状态和连续时间分支过程，尤其是考克斯-英格索尔-罗斯（Cox-Ingersoll-Ross，CIR）过程（由Feller[15]和Cox等人[10]介绍）及其变体，在2010年的数学学科分类中扮演着重要角色：60H10、91G70、60F05、62F12。关键词和短语：跳跃型Cox–Ingersoll–Ross（CIR）过程，基本跳跃差异（BAJD），隶属度，最大似然估计。本研究由卓越实验室MME-DII支持，批准号ANR11-LBX-0023-01(http://labex-mme-dii.u-cergy.fr/)。M'aty'as Barczy得到了Tempus公共基金会资助的“Magyar'Allami E'otv'os'Oszt'ond'j 2016”第75141号赠款的支持。艾哈迈德·凯拜尔（AhmedKebaier）得益于主席金融家、Risque基金会（Fondation du Risque）的支持。这些过程在生物学和金融数学中也有广泛的应用。在著名的Heston模型（即大众金融）的框架内，CIR过程可以解释为资产aprice过程的随机波动率（或瞬时方差）。在本文中，我们考虑了一个由标准维纳过程和从属函数dyt=（a）驱动的跳跃型CIR过程-bYt）dt+σpYtdWt+dJt，t∈ [0，∞),（1.1）具有几乎肯定为非负的初始值Y，其中a∈ [0，∞), b∈ R、 σ∈ （0，∞), （重量）t∈[0，∞)是一维标准维纳过程，和（Jt）t∈[0，∞)是一个具有零漂移且L'evy测度m集中于（0，∞) 这样的话∞z m（dz）∈ [0，∞),（1.2）即，（1.3）E（euJt）=exptZ公司∞（欧盟）-1） m（dz）对于任何t∈ [0，∞) 对于任何复数u和Re（u）∈ (-∞, 0），参见例如Sato【44，定理24.11的证明】。

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2022-5-25 16:38:28

我们假设Y，（Wt）t∈[0，∞)和（Jt）t∈[0，∞)是独立的。注意力矩条件（1.2）意味着m是一个L'evy度量（因为最小值（1，z）6 z表示z∈ （0，∞)).此外，几乎可以肯定的是，从属函数J在每个紧凑的时间间隔上都有有有界变化的样本路径，如Sato【44，定理21.9】。我们指出，这些假设保证了具有P（Yt）的SDE（1.1）的（路径）唯一强解∈ [0，∞) 对于所有t∈ [0，∞)) = 1（请参阅位置2.1）。事实上，（Yt）t∈[0，∞)是一种特殊的连续状态和连续时间移民分支过程（CBI过程），见命题2.1。在本文中，我们主要研究跳跃型CIR过程（1.1）在临界和s超临界情况下（b=0和b∈ (-∞, 0），这在之前的研究中尚未解决。我们还研究了次临界情况（b∈ （0，∞)) 我们在几个方面推广了Mai[40，定理4.3.1]的结果：我们不假设过程的可逆性，我们在定理5.2中明确了极限律中Y的唯一平稳分布的期望。然而，我们注意到，关于似然比（Mai【40，公式（3.10）】的表达式和b∈ R（Mai【40，公式（4.23）】），分别见我们在第4.1和4.2点的结果。假设a∈ [0，∞), σ∈ （0，∞) 在已知测度的情况下，我们研究了b的极大似然估计的渐近性质∈ R基于连续时间观测（Yt）t∈[0，T]带T∈ （0，∞), 从某个已知的非随机初始值Y开始进程Y∈ [0，∞). 结果表明，对于b的MLE的计算，不需要知道参数σ和度量m的值，参见（4.3）。

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2022-5-25 16:38:31

我们限制了我们自己在假设a已知的情况下研究b的最大似然估计，因为为了描述假设b已知的最大似然估计的渐近行为或（a，b）的联合最大似然估计，我们必须找到，因为在立场上，Tysds的极限行为是→ ∞, 这似乎是一项艰巨的任务，即使在次贷案件中也是如此。一般来说，我们需要一个明确的公式来表示tysds，t的拉普拉斯变换∈ R+，据我们所知，这是未知的。这可能是进一步研究的主题。研究CIR过程及其变量漂移参数的各种估计量的渐近性质有着悠久的历史，但现有的大多数结果都涉及原始（扩散型）C-IR过程。Overbeck【41】研究了基于连续时间观测的原始Alcir过程漂移参数的MLE，随后，Ben Alaya和Keb aier【6】，【7】完成了Overbeck【41】的结果，给出了所讨论的MLE建筑b锁的联合拉普拉斯变换的显式形式。还研究了另一种类型的估计量，即所谓的条件最小二乘估计量（LSE），用于原始CIR过程的漂移参数f，参见Overbeck和Ryd'en【42】。对于原始CIR过程的推广，即对于由稳定噪声驱动的CIR模型，而不是标准维纳过程（也称为稳定的维纳模型），Li和Ma【35】描述了该模型漂移参数（加权）条件LSE的渐近行为，基于次临界情况下离散观测的低频数据集。对于CBI过程，作为（稳定）CIR过程的推广，Huang et al。

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2022-5-25 16:38:35

[19] 在二阶矩假设和CBI过程的迁移机制下，研究了基于低频离散时间观测的b模型漂移参数加权条件LSE的不对称性。注意，我们有E（Jt）=tR∞z m（dz）∈ [0，∞), 和E（Yt）∈ [0，∞) （见提案2.2）。此外，（Jt）t∈[0，∞)是复合泊松过程当且仅当m（R）=m（（0，∞)) ∈ [0，∞),例如，参见佐藤【44，示例8.5】。如果m（（0，∞)) = ∞, 那么它的跳跃强度是完整的，也就是说，几乎可以肯定的是，跳跃时间是非常多的，可以计数的，并且密集在[0，∞), 如果m（（0，∞)) ∈ （0，∞),那么，几乎可以肯定的是，在每个紧凑的间隔上都有很多跳跃时间，产生跳跃时间非常多，并且可以按递增顺序计数，跳跃强度ism（（0，∞)), i、例如，第一跳时间具有指数分布，平均值为1/m（（0，∞)), 跳跃大小的分布是m（dz）/m（（0，∞)) （例如，参见佐藤【44，定理21.3】）。案例（（0，∞)) = 0对应于通常的CIR进程。我们即将得出的结果将涵盖这两种情况（（0，∞)) ∈ [0，∞) 和m（（0，∞)) = ∞.如果是b∈ （0，∞), Yt在法律上收敛为t→ ∞ 其唯一的平稳分布π（见定理2.4）。这遵循了一个关于CBI过程的一般结果，该结果在Pinsky[43]中已宣布，没有证明，并且在Li[33，定理3.20和推论3.21之后的段落中给出了证明，另请参见Keller Ressel和Steiner[29]，Keller Ressel[27]，Keller Ressel和Mijatovi\'c[28，定理2.6]。

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2022-5-25 16:38:38

吝啬鬼∞yπ（dy）∈ [0，∞) 唯一平稳分布的s o称为长期方差（长期平均价格方差，即e（Yt）的极限为t→ ∞,参见（2.6）和（2.7）），b是E（Yt）回复toR的速率∞yπ（dy）为t→ ∞ （调整速度，因为E（Yt）=R∞yπ（dy）+e-英国电信E（Y）-R∞yπ（dy）对于所有t∈ [0，∞), 见（2.5）和（2.7））。在a下∈ （0，∞), 力矩条件（1.2）和额外力矩条件（1.4）Zz日志zm（dz）<∞,Jin等人[25]建立了（Yt）t跃迁密度的显式正下界∈[0，∞), 基于这个结果，他们证明了Foster–Lyapunov函数的存在性，并导出了（Yt）t的指数遍历性∈[0，∞)（见定理2.4）。比较力矩条件（1.2）和（1.4），注意z log的可积性z在间隔（0，e）上-1）在相同的间隔上产生z的值。如果b=0，如果a+R∞z m（dz）∈ （0，∞), 然后限制→∞E（Yt）=∞ 这样的限制→∞t型-1E（Yt）∈ （0，∞), 如果是b∈ (-∞, 0），如果E（Y）∈ （0，∞) 或a+R∞z m（dz）∈ （0，∞)（这排除了Y等于零的情况），然后limt→∞E（Yt）=∞ 这样的限制→∞ebtE（Yt）∈ （0，∞), 因此，参数b始终可以解释为增长率，见命题2.2。（1.1）中的跳变过程包括所谓的基本跳变差离子（BAJD）作为特例，其中漂移的形式为κ（θ- Yt）带有一些κ∈ （0，∞) 和θ∈ [0，∞),和列维过程（Jt）t∈[0，∞)是一个具有指数分布跳跃大小的复合泊松过程，即m（dz）=cλe-λz（0，∞)（z） dz（1.5）和一些常数c∈ [0，∞) 和λ∈ （0，∞). 注意，（1.5）给出的度量m满足（1.2）和（1.4），对于所讨论的复合泊松过程，初始跳跃时间与参数c呈指数分布，跳跃大小与参数λ呈指数分布。

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2022-5-25 16:38:42

需要，在这种特殊情况下∞z m（dz）=cZ∞zλe-λzdz=cλ∈ [0，∞),andZz日志zm（dz）6 cλZz对数zdz=cλZ∞ue公司-2udu=cλ∈ [0，∞).为了描述违约强度的动力学，Duffee和G^arleanu引入了BAJD【13】。菲利波夫·伊奇（Filipov i\'c）[16]和凯勒·雷塞尔（Keller Ressel）以及施泰纳（Steiner）[29]将BAJD用作短期利率模型。本文的组织结构如下。在第2节中，我们证明了SDE（1.1）有一个路径唯一强解（在某些适当的条件下），见命题2.1。我们描述了（Yt）t的一阶矩的渐近行为∈[0，∞), 在此基础上，我们介绍了SDE（1.1）给出的跳跃式CIR过程的分类，参见命题2.2和定义2.3。也就是说，我们称之为（Yt）t∈[0，∞)如果b为亚临界、临界或超临界∈ （0，∞), b=0，或b∈ (-∞, 分别为0）。我们回顾了一个关于过程（Yt）t存在唯一平稳分布和指数遍历性的结果∈[0，∞)由方程（1.1）给出，见定理2.4。在备注2.5中，我们导出了过程（Yt）t的Grigelionis表示f∈[0，∞). 此外，我们解释了为什么我们不估计参数σ，见备注2.6。下一步，我们驱动的拉普拉斯变换的显式公式Yt，RtYsds第3节，以及BAJD流程的一些示例。这里我们使用的是Yt，RtYsdst型∈[0，∞)是一个二维CBI过程，也遵循Keller-Ressel【26，定理4.10】或Filipovi\'c等人【17，定理4.3之前的段落】。为了完整性，我们注意到Keller Restel【26，定理4.10】推导了正则过程及其集成过程的联合拉普拉斯变换公式，其中包含Riccati型微分方程的解，Jiao等人【24，命题4.3】推导了一般CBI过程及其集成过程的联合拉普拉斯变换公式。

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2022-5-25 16:38:45

我们指出，定理3.1的技术证明不同于Keller-Ressel[26，定理4.10]和Jiao等人[24，命题4.3]，并且我们在（Yt）t∈[0，∞). 第4节是基于观测（Yt）t研究MLEbbTof b的存在性和唯一性∈[0，T]带T∈ （0，∞).我们推导出了BBTAS井的显式公式，见（4.3）。第5、6和7节分别研究了亚临界、临界和超临界跳跃型CIR模型b的极大似然估计的符号行为。在第5节中，我们证明了在亚临界情况下，b的MLE是渐近正态的，具有通常的平方根标度T1/2（尤其是弱一致性），但遗憾的是，协方差也取决于未知的n p参数a和m。为了解决这个问题，我们还将确定性缩放T1/2替换为ran dom缩放σRTYsds1/2的优点是，具有这种标度的b的MLE是渐近标准正态的。在外矩条件（1.4）下，我们也证明了强相合性。在第6节中，我们描述了在具有确定性标度t和随机标度σ的临界情况下b的极大似然估计的（非正态）渐近行为RTYsds1/2。

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2022-5-25 16:38:48

在第7节中，对于超临界情况，我们证明了b的极大似然估计是强相合的，并且它是与确定性标度e渐近混合的正态-bT/2，它是具有随机标度σ的渐近标准正态分布RTYsds1/2。我们用附录来结束这篇文章，在这里我们证明了ju mp过程J中SDE（1.1）的一个比较定理，我们回顾了半鞅诱导的概率测度绝对连续性的某些充分条件，以及Radon–Nikodym导数的表示（附录ix B）和连续局部鞅的一些极限定理（附录Ap pendix C）。最后，总结了本文的创新之处。我们指出，跳变型CIR过程的参数估计可用的结果很少，见Mai【40，第4.3节】（亚临界情况下的最大似然估计），Huang，Ma和Zhu【19】and Li和Ma【35】（条件LSE）。关于次临界情况下的极大似然估计的渐近性质，我们使用了TysDS的拉普拉斯变换的一个显式公式来证明TrysDS的随机收敛性为t→ ∞, 我们证明了渐近正态性和避免正态性，见第5.2节。此外，在超临界情况下，我们在定理7.3中给出的极限混合正态分布的定理7.1中推导出一个随机表示，其中发挥了适当规模跳跃型超临界CIR过程的几乎确定极限。与第6.3条中的临界情况相比，这是一种新现象，其中扩散型临界循环过程发挥了作用。我们注意到∈ R、 σRTYsds1/2（bbT-b）在分布asT中聚合→ ∞ , 对于非临界情况，极限分布是标准正态分布，而对于临界情况，极限分布是非正态分布（在定理6.3中明确给出）。

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2022-5-25 16:38:53

因此，我们有一个统一的理论。2个预备步骤let N，Z+，R，R+，R++，R-, R--C分别表示正整数、非负整数、实数、非负实数、正实数、非正实数、负实数和复数的集合。对于x，y∈ R、我们将使用符号X∧ y：=最小值（x，y）和x∨ y：=最大值（x，y）。实数x的整数部分∈ R表示为x个. 通过kxk和kAk，我们得到了向量x的E-uclidean范数∈ Rd与矩阵a的诱导矩阵范数∈ 分别为Rd×d。通过B（R+），我们将Borelσ-代数推广到R+。我们将表示概率收敛、分布收敛和几乎肯定收敛，以及等式不分布收敛和几乎肯定收敛-→,D-→,a、 s。-→,D=安达。s、 =，分别。允许Ohm, F、 P是一个概率空间。通过Cc（R+，R）和C∞c（R+，R），我们分别表示具有紧支撑的R+上的连续可微实值函数集和具有紧支撑的R+上的不可微实值函数集。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在性和唯一性，也就是说Y是一个CBI过程。2.1提议。设η为独立于（Wt）t的随机变量∈R+和（Jt）t∈R+满意P（η∈ R+=1和E（η）<∞. 那么对于所有a∈ R+，b∈ R、 σ∈ 满足（1.2），有一个路径唯一强解（Yt）t∈SDE（1.1）的R+，例如P（Y=η）=1和P（Yt∈ R+表示所有t∈ R+=1。

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2022-5-25 16:38:57

此外，（Yt）t∈R+是一个具有分支机制的CBI进程R（u）=σu- bu，u∈ C，Re（u）6 0，移民机制f（u）=au+Z∞（欧盟）-1） m（dz），u∈ C带Re（u）6 0。此外，Y的微小基因的形式为（Af）（Y）=（a- by）f′（y）+yσf′（y）+Z∞（f（y+z）- f（y））m（dz），（2.1），其中y∈ R+，f∈ Cc（R+，R），f′和f′表示f的一阶和二阶偏导数。此外，如果P（η∈ R++）=1或a∈ R++，然后是PRtYsds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。证据Levy–It^o代表J的形式为jt=ZtZ∞zuJ（ds，dz），t∈ R+，（2.2），其中uJ（ds，dz）：=Pu∈R+{Ju6=0}ε（u，Ju）（ds，dz）是与跳跃相关的整值泊松随机测度R++Ju：=Ju- Ju公司-, u∈ R++，J： =0，表示过程J，ε（u，x）表示点（u，x）处的狄拉克测度∈ R+，参见例如Sato【44，定理19.2】。因此，SDE（1.1）可以改写为Y=Y+Zt（a- bYs）ds+ZtσpYsdWs+Jt=Y+Zt（a- bYs）ds+ZtσpYsdWs+ZtZ∞zuJ（ds，dz），t∈ R+。（2.3）方程（2.3）是Dawson和Li[11]中方程（6.6）的特例，d定理6.2 inDawson和Li[11]暗示f或任何初始值η与P（η∈ R+=1和E（η）<∞, 存在满足P（Y=η）=1和P（Yt）的路径唯一非负强解∈ R+表示所有t∈ R+=1。L et（Y′t）t∈R＋是SDEdY′t=（a）的一个路径非唯一非负强解- bY′t）dt+σqY′tdWt，t∈ R+，使得P（Y′=η）=1。应用比较定理A.1，我们得到了所有t∈ R+=1。（2.4）如果P（η∈ R++）=1或a∈ R++，然后是PRtY’sds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。的确，如果ω∈ Ohm 即[0，t] u 7→ Y′u（ω）是连续的，Y′v（ω）∈ R+适用于所有v∈ R+，则wehaveRtY（ω）ds=0当且仅当所有s的Y′s（ω）=0∈ [0，t]。利用Barczy等人[3]中的3.1项的方法，我们得到了PRtY′sds=0= 0，t∈ R+，根据需要。

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2022-5-25 16:39:01

自（Ys）s起∈[0，t]有c\'adl\'ag，因此几乎可以肯定有界样本路径（参见Billingsley[8，（12.5）]），使用（2.4），我们得出RtYsds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。在Dawson和Li【11】中，微型生成器（2.1）的形式后面紧跟着（6.5）。此外，Dawson和Li[11]中的定理6.2还暗示，Y是一个连续状态和连续时间的分支过程，移民具有分支和移民机制，在该命题中给出。接下来，我们将给出一个关于（Yt）t的初始时刻的结果∈R+。2.2提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞. 乙烯（Yt）=e-btE（Y）+a+R∞z m（dz）1.-e-btbif b 6=0，E（Y）+a+R∞z m（dz）t如果b=0，t∈ R+。（2.5）因此，如果b∈ R++，然后（2.6）极限→∞E（Yt）=a+Z∞z m（dz）b、如果b=0，则限制→∞t型-1E（Yt）=a+Z∞z m（dz），如果b∈ R--, thenlimt公司→∞ebtE（Yt）=E（Y）-a+Z∞z m（dz）b、证明。按比例2.1，（Yt）t∈R+是CBI过程，具有（2.1）中给出的微型发生器。根据Barczy等人[5]的注释，该CBI过程具有参数（d、c、β、B、ν、u），其中d=1，c=σ，β=a，B=-b、 ν=m，u=0。自E（Y）<∞ 力矩条件rr \\{0}| z{| z |>1}ν（dz）=R∞z m（dz）<∞ 保持不变（由于（1.2）），我们可以应用Li[34]中的公式（3.1.11）或Barczy et al[5]中的引理3.4，选项EB=B=-b和β=β+ZR \\{0}zν（dz）=β+z∞z m（dz）∈ R+，产生thatE（Yt）=eteBE（Y）+ZteueBdu公司eβ。这意味着（2.5）和断言的其他部分。基于期望E（Yt）作为t的渐近行为→ ∞, 我们介绍了由SDE（1.1）给出的隶属函数驱动的ju mp型CIR模型的分类。2.3定义。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。

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2022-5-25 16:39:04

Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞. 我们称之为（Yt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--,分别地在亚临界情况下，以下结果说明了唯一平稳分布的存在性和过程（Yt）t的指数遍历性∈R+，见Pinsky【43】、L i【33，定理3.20和推论3.21之后的段落】、Keller Ressel和Steiner【29】、Keller Ressel【27】、Keller Resseland Mijatovi'c【28，定理2.6】和Jin等人【25，定理1】。因此，根据Bhattacharya[9]中命题2.5之后的讨论，我们还得到了（Yt）t的强大数定律∈R+。2.4定理。让a∈ R+，b∈ R++，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞.（i）然后（Yt）t∈R+在律上收敛于z给出的唯一平稳分布π∞euyπ（dy）=expZuF（v）R（v）dv= 经验值Zuav+R∞（evz- 1） m（dz）σv- bvdv公司对于u∈ R-. 此外，π具有z给出的有限期望∞yπ（dy）=a+Z∞z m（dz）b∈ R+。（2.7）（ii）此外，如果∈ R++和额外力矩条件（1.4）保持不变，然后过程（Yt）t∈R+是指数遍历的，即存在常数β∈ （0、1）和C∈ R++使得kpyt | Y=Y-πkTV6 C（y+1）βt，t∈ R+，y∈ R+，其中kukTV表示由kukTV定义的R+上有符号度量值u的总变化范数：=supA∈B（R+）|u（A）|，PYt | Y=Y是Y相对于条件Y=Y的条件分布。此外，对于所有Borel可测函数f:R+→ R带R∞|f（y）|π（dy）<∞, 我们有（2.8）TZTf（Ys）dsa。s-→Z∞f（y）π（dy）as T→ ∞.2.5备注。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞.

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2022-5-25 16:39:08

根据（1.1），过程（Yt）t∈R+是一个半鞅，参见，例如，Jacod和Shiryaev【23，I.4.34】。通过（1.3），我们得到（eiθJt）=expitθZz m（dz）+tZ∞eiθz- 1.- iθzh（z）m（dz）对于θ∈ R和t∈ R+，其中h（z）：=z[-1,1]（z），z∈ R.再次使用（1.1）和J的L’evy–It^o’srepresentation（2.2），我们可以写出过程（Yt）t∈R+形式为（2.9）Yt=Y+Zt（a- bYu）du+tZz m（dz）+σZtpYudWu+ZtZRh（z）euJ（du，dz）+ZtZR（z- h（z））uJ（du，dz），t∈ R+，其中euJ（ds，dz）：=uJ（ds，dz）- d s m（dz）。事实上，（2.9）是所谓的格里高利奥尼形式，表示esemimartingale（Yt）t∈R+，参见，例如，Jacod和Shiryaev【23，III.2.23】或Jacod和Protter【22，定理2.1.2】。接下来，我们使用连续时间观测（Yt）t给出σ的统计∈[0，T]有些T>0。由于这个结果，我们不考虑参数σ的估计，它应该是已知的。2.6备注。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1，E（Y）<∞. （2.9）中给出的Grigelionis表示意味着Y的连续鞅partYcontof是Ycontt=σRt√YudWu，t∈ R+，见Jacod和Shiryaev【23，III.2.28备注，第1部分）】。因此，Ycontis hYcontit的（可预测的）二次变化过程=σRtYudu，t∈ R+。假设我们有P（Y∈ R++）=1或a∈ R++。那么对于所有T∈ R++，我们有σ=hYcontiTRTYudu=：bσT，因为，由于命题2.1，PRTYudu公司∈ R++= 1.

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2022-5-25 16:39:11

我们注意到bσ是一个统计量，即存在一个可测函数：D（[0，T]，R）→ R使得bσT=Ξ（（Yu）u∈[0，T]），其中D（[0，T]，R）表示在[0，T]上定义的实值c\'adl\'ag函数的空间，因为（2.10）nPnT公司i=1Yi-1nnT公司Xi=1尹-易-1n-徐∈[0，T](Yu）！P-→ bσTas n→ ∞,如果（2.10）中的收敛几乎肯定沿着一个合适的序列，那么（2.10）中的序列的成员是（Yu）u的可测函数∈[0，T]，可以使用Dudley[12]中的定理4.2.2和4.2.8。下一步，我们通过（2.10）。根据Jacod和Shiryaev【23】中的定理I.4.47 a），新界Xi=1尹- 易-1n2个P-→ [是]Tas n→ ∞, T∈ R+，其中（[Y]t）t∈R+表示半鞅Y的二次变分过程。通过TheoremI。4.52在Jacod和Shiryaev[23]中，[Y]T=hYcontiT+Xu∈[0，T](Yu），T∈ R+。因此，对于所有T∈ R+，我们有nT公司Xi=1尹- 易-1n-徐∈[0，T](Yu）P-→ hYcontiTas n公司→ ∞.此外，对于所有T∈ R+，我们避风港nT公司Xi=1Yi-1nP-→ZTYudu组件n→ ∞,见Jacod和Shiryaev【23】中的命题I.4.44。因此（2.10）遵循的事实是，概率收敛在乘法下是闭合的。3 YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换我们研究YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换，因为它在推导（4.3）中给出的b的极大似然估计的渐近行为中起着至关重要的作用。我们在定理3.1中给出的j点拉普拉斯变换公式与Keller Restel[26，定理4.10]中在正则过程中得到的相应公式一致，与Jiao等人[24，命题4.3]中在一般CBI过程中得到的相应公式一致。在这里，我们的贡献是为这种jointLaplace变换提供了一个新的证明，并给出了Keller-Ressel【26，定理4.10】和Jiao等人公式中出现的Riccati型微分方程的解。

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2022-5-25 16:39:16

[24，命题4.3]在（Yt）t的情况下明确∈R+，这对我们即将进行的统计研究至关重要。对于所有b∈ R和V∈ R-, 让我们介绍符号γv：=√b- 2σv.3.1定理。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。然后f或所有u，v∈ R-,E经验值uYt+vZtYsds= 经验值ψu，v（t）y+Ztaψu，v（s）+Z∞ezψu，v（s）- 1.m（dz）ds公司对于t∈ R+，其中函数ψu，v:R+→ R-形式为ψu，v（t）=uγvcosh（γvt）+(-ub+2v）正弦（γvt）γvcosh（γvt）+(-σu+b）sinh（γvt）如果v∈ R--或b 6=0（即，如果γv∈ R++），u1-σutif v=0和b=0（即，如果γv=0），t∈ R+。（3.1）3.2备注。（i）如果v∈ R--, 然后γv＞b，因此γvcoshγvt+ (-σu+b）sinhγvt> （γv+b）sinhγvt∈ R++，t∈ R+。如果v=0且b 6=0，则γv=| b |∈ R++，因此γvcoshγvt+ (-σu+b）sinhγvt> |b类|cosh公司γvt+b | b |新罕布什尔州γvt∈ R++，t∈ R+。因此，如果γv∈ R++，然后是γvcoshγvt+ (-σu+b）sinhγvt∈ R++，t∈ R+，因此函数ψu，vin（3.1）定义得很好。（ii）在定理3.1中，我们有ztψu，v（s）ds=（bσt-σ对数cosh公司γvt+-σu+bγvsinhγvt, 如果v∈ R--或b 6=0，-σ对数1.-σut, 如果v=0且b=0，则对于所有t∈ R+，参见例如Lamberton和Lapeyre【32，第6章，建议2.5】。定理3.1的证明。工艺介绍Zt：=RtYsds，t∈ R+，首先，我们表明（Yt，Zt）t∈R+是一个二维CBI过程。使用SDE（1.1）和（2.2），该过程满足Barczy等人给出的形式。

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2022-5-25 16:39:20

[5，第5节]，即“YtZt#=”Y#+Zt“a#+”-b 01 0#“YsZs#！ds+ZtpσYs”#”#“dWsdfWs#+Ztp0·Zs”#”#“dWsdfWs#+ZtZR+\\{0}r M（ds，dr），t∈ R+，其中（Wt）t∈R+和（fWt）t∈R+是独立的标准维纳过程，M是R+×（R+\\{0}）上的泊松随机测度，强度测度dsν（dr），其中测度νonR+\\{0}由ν（B）给出：=R∞B（z，0）m（dz），B∈ B（R+\\{0}），henceRR+\\{0}（1∧krk）ν（dr）6R∞z m（dz）<∞. Putc：=“cc#：=”σ#∈ R+，β：=“a#∈ R+，B：“-b 01 0，u：=（u，u）：=（0，0）。那么B本质上是一个非负矩阵（即，它的反对角线项是非负的），并且由于（1.2），ZR+\\{0}krk{krk>1}ν（dr）6ZR+\\{0}krkν（dr）=Z∞z m（dz）<∞Barczy等人[5]得出的条件（2.7）是满足的。因此，Barczy等人的定理4.6。[5] ，（Yt，Zt）t∈R+是一个CBI过程，参数为（2，c，β，B，ν，u）。我们注意到，f的作用是（Yt，Zt）t∈R+是一个二维CBI过程，也是Filipovi\'c等人[17，定理4.3之前的一段]提出的，其中该性质适用于一般的a ffene过程，并有证明。（Yt，Zt）t的锚固机理∈R+是R（u，v）=（R（u，v），R（u，v）），u，v∈ R-, r（u，v）=cu+*B“#，”uv+=σu-bu+v，R（u，v）=cv+*B“#，”uv#+=0，以及（Yt，Zt）t的移民机制∈R+isF（u，v）=*β，“uv#+-ZR+\\{0}exp（*“uv，r+）- 1.ν（dr）=au+Z∞（欧盟）- 1） m（dz），参见Barczy等人[5]中的定理2.4。注意R（u，v）=（R（u）+v，0），u，v∈ R-, andF（u，v）=F（u），u，v∈ R-, 其中R（u），u∈ R-, 和F（u），u∈ R-, 在命题2.1中给出，符合Keller-Ressel【26】中的定理4.10。因此，根据Duffee等人的定理2.7【14】（另见Barczy等人。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:39:25

[5，定理2.4]），我们有（3.3）E经验值uYt+vZtYsds= 经验值ψu，v（t）y+ZtF（ψu，v（s），Дu，v（s））ds对于t∈ R+，其中函数（ψu，v，Дu，v）：R+→ R-是微分方程组的唯一局部有界解（ψ′u，v（t）=R（ψu，v（t），Дu，v（t））=σψu，v（t）- bψu，v（t）+Дu，v（t），t∈ R+，Д′u，v（t）=R（ψu，v（t），Дu，v（t））=0，t∈ R+，初始值ψu，v（0）=u，Дu，v（0）=v。显然，Дu，v（t）=v，t∈ R+，因此我们得到ψ′u，v（t）=σψu，v（t）- bψu，v（t）+v，t∈ R+，ψu，v（0）=u。该微分方程的解为（3.1）。实际上，在γv>0的情况下，我们可以参考Lamberton和Lapeyr e[32，第6章，命题2.5]，在γv=0的情况下，这是一个简单的可分离常微分方程，形式为ψ′u，0（t）=σψu，0（t），t∈ R+，初始条件为ψu，0（0）=u。因此，通过（3.3），我们得到了这个陈述。3.3示例。现在，我们在临界情况下（b=0），假设L'evy测度m采用（1.5）中给出的形式，即在临界BAJD过程的情况下，给出了定理3.1的一个特例。对于所有u、v∈ R-, 让我们介绍符号α（1）u，v：=uγv+2v，α（2）u，v：=uγv- 2v，β（1）u，v：=λ(-σu+γv）- α（1）u，v，β（2）u，v：=λ（σu+γv）- α（2）u，v，其中γv=√-2σv（从现在起b=0）。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+，b=0，m是满足（1.5）的R++的L'evy度量。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:39:28

然后我们检查所有u，v∈ R-,E经验值uYt+vZtYsds= 经验值ψu，v（t）y+φu，v（t）, t型∈ R+，（3.4），其中函数ψu，v:R+→ R-由（3.1）和γv给出=√-2σv（sin ce现在b=0）和ifv∈ R--（即，如果γv∈ R++）和v/∈ {-σu，-σλ}（即，如果β（2）u，v6=0），则φu，v（t）=-2aσ测井cosh公司γvt-σuγvsinhγvt+ cα（2）u，vβ（2）u，vt+γvα（1）u，vβ（1）u，v-α（2）u，vβ（2）u，v！logβ（1）u，veγvt+β（2）u，vβ（1）u，v+β（2）u，v！！，t型∈ R+，（3.5）和如果v∈ {-σu，-σλ}和v∈ R--（即，如果v∈ R--和β（2）u，v=0），然后φu，v（t）=-2aσ测井cosh公司γvt-σuγvsinhγvt+cβ（1）u，vα（1）u，vt+α（2）u，vγv（1- e-γvt）！，t型∈ R+，（3.6），如果v=0（即，如果γv=0），则φu，v（t）=-2aσ测井1.-σut-2cσλ对数1.-σλu2（λ- u） t型, t型∈ R+。（3.7）尤其是对于所有美国∈ R-,E（euYt）=exp（uy1-σut）1.-σut-2aσ1.-σλu2（λ- u） t型-2cσλ，t∈ R+。首先，我们检查函数φu，vin（3.5）是否定义良好。如果γv∈ R++，然后是β（1）u，v∈ R++（由于α（1）u，v∈ R-). 如果γv=0，则α（1）u，v=α（2）u，v=0，β（1）u，v=-σλu和β（2）u，v=σλu。此外，β（1）u，veγvt+β（2）u，v>β（1）u，v+β（2）u，v∈ R+，和β（1）u，v+β（2）u，v=0当且仅当γv=0（即v=0）时成立。实际上，由于β（1）u，v∈ R+，我们有β（1）u，veγvt+β（2）u，v>β（1）u，v+β（2）u，v=2γv（λ- u）∈ R+，和β（1）u，v+β（2）u，v=0当且仅当γv=0时成立（自λ-u∈ λ引起的R++∈ R++和u∈ R-).因此，如果γv∈ R++，然后是β（1）u，v∈ R++和β（1）u，v+β（2）u，v∈ R++，得出函数φu，vin（3.5）定义良好。接下来，我们检查一下，假设v∈ R--（即γv∈ R++），我们有β（2）u，v=0，当且仅当ifv∈ {-σu，-σλ}。实际上，β（2）u，v=0成立当且仅当λ（σu+γv）=γvu- 2v，即通过一些代数变换，当且仅当(√-2v）+σ（u- λ）√-2伏-λσu=0。求解关于√-2v，我们得到√-2伏∈ {-σu，σλ}，产生thatv∈ {-σu，-σλ}，根据需要。最后，我们检查（3.4）。使用定理3.1和备注3.2的第（ii）部分，仍需计算R∞（ezψu，v（s）- 1） m（dz）ds f或u、v∈ R-.

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2022-5-25 16:39:33

对于所有u、v∈ R-, 我们有∞（ezψu，v（s）- 1） m（dz）=Z∞（ezψu，v（s）- 1） cλe-λzdz=cλZ∞e（ψu，v（s）-λ） zdz公司- c=cλψu，v（s）- λ林茨→∞e（ψu，v（s）-λ） z- 1.- c=-cψu，v（s）ψu，v（s）- λ、 s∈ R+，（3.8），其中我们使用ψu，v（s）- λ∈ R--, s∈ R+，从λ开始∈ R++和ψu，v（s）∈ R-,s∈ R+。通过一些代数变换，cψu，v（t）λ- ψu，v（t）=cuγv（1+eγvt）+2v（eγvt- （1）-λσu（eγvt- 1） +λγv+λγveγvt-uγv（1+eγvt）- 2v（eγvt- 1） =cα（1）u，veγvt+α（2）u，vβ（1）u，veγvt+β（2）u，v，t∈ R+。正如我们所看到的，如果v∈ R--（即，如果γv∈ R++），然后是β（1）u，v∈ R++，和β（2）u，v=0，当且仅当ifv∈ {-σu，-σλ}。Hencecψu，v（t）λ- ψu，v（t）=cα（2）u，vβ（2）u，v+α（1）u，v-β（1）u，vα（2）u，vβ（2）u，veγvtβ（1）u，veγvt+β（2）u，v如果v∈ R--, 五/∈ {-σu，-σλ}，cβ（1）u，v（α（1）u，v+α（2）u，ve-γvt）如果v∈ {-σu，-σλ}，v∈ R--,2cu2（λ-u）-λuσtif v=0，对于t∈ R+。通过积分，我们得到（3.5），（3.6）和（3.7）。接下来，我们给出了定理3.1的两个推论，给出了YtandRtYsds的拉普拉斯变换，t∈ R+，单独。3.4推论。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。然后f或所有u∈ R-,E尤伊特= 经验值ψu，0（t）y+Ztaψu，0（s）+Z∞ezψu，0（s）- 1.m（dz）ds公司, t型∈ R+，其中函数ψu，0:R+→ R-采用ψu，0（t）的形式=2润滑油-btσu（e-英国电信-1） +2如果b 6=0，u1-σutif b=0，t∈ R+。（3.9）证明。我们必须在（3.1）中替换v=0。b=0的情况很简单。当b 6=0时，我们有γv=γ=| b |，因此ψu，0（t）=u | b | cosh|b | t-ub新罕布什尔州|b | t|b | cosh|b | t+ (-σu+b）sinh|b | t, t型∈ R+，屈服（3.9）。3.5示例。现在，我们在超临界情况下（b）给出推论3.4的一个特例∈ R--)假设L'evy度量采用（1.5）中给出的形式，即在超临界Bajd过程的情况下。

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可人4

2022-5-25 16:39:37

Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+，带b∈ R--m是R++满足（1.5）的L'evy测度。然后针对所有u∈ R-,E（euYt）=表达式ψu，0（t）y+φu，0（t）o，t∈ R+，（3.10），其中函数ψu，0:R+→ R-由（3.9）给出，如果u 6=2bσ，则φu，0（t）=-2aσ测井1+σu2b（e-英国电信- （1）+2c-σλ+2blog(-σλ+2b）ue-bt+（σu- 2b）λ2b（u- λ）（3.11）对于t∈ R+，如果u=2bσ，那么φu，0（t）=2b（2ab- cσ-aσλ）σ(-σλ+2b）t，t∈ R+。（3.12）为了检查（3.10），使用推论3.4，它仍然需要计算aψu，0（s）+R∞ezψu，0（s）-m（dz）ds。这里，by（3.9），Ztψu，0（s）ds=-σ对数1+σu2b（e-英国电信-（1）, t型∈ R+。与（3.8）类似，对于所有u∈ R-,Z∞（ezψu，0（s）- 1） m（dz）=-cψu，0（s）ψu，0（s）- λ、 s∈ R+，（3.13）通过一些代数变换，-cψu，0（s）ψu，0（s）- λ=-2bcue公司-英国电信(-σλ+2b）ue-bt+（σu- 2b）λ，t∈ R+，其中(-σλ+2b）ue-bt+σλu-2bλ>(-σλ+2b）u+σλu-2bλ=2b（u-λ） >0，自-由于b<0和λ>0，σλ+2b<0。如果u=2bσ（即，如果σu- 2b=0），然后-Ztcψu，0（s）ψu，0（s）- λds=-2个基点-σλ+2bt，t∈ R+，因此φu，0（t）=-σ对数1+σu2b（e-英国电信- （1）-2个基点-σλ+2bt=2abσt-2个基点-σλ+2bt=2b（2ab- cσ-aσλ）σ(-σλ+2b）t，t∈ R+，屈服（3.12）。如果u 6=2bσ（即，如果σu- 2b 6=0），然后-Ztcψu，0（s）ψu，0（s）- λds=2c-σλ+2blog(-σλ+2b）ue-bt+（σu- 2b）λ2b（u- λ）, t型∈ R+，屈服（3.11）。将（3.1）中的u=0代入，我们得到以下推论。3.6推论。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。

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2022-5-25 16:39:40

然后f或所有v∈ R-,E经验值vZtYsds= 经验值ψ0，v（t）y+Ztaψ0，v（s）+Z∞ezψ0，v（s）- 1.m（dz）ds公司其中函数ψ0，v:R+→ R-形式为ψ0，v（t）=2v sinh（γvt）γvcosh（γvt）+b sinh（γvt），如果v∈ R--如果v=0且b=0，t，则b 6=0,0∈ R+。（3.14）4 MLE的存在性和唯一性在本节中，我们将考虑跳跃型CIR模型（1.1），已知∈ R+，σ∈ R++，L'evymeasure m满足（1.2），已知确定性初始值Y=Y∈ R+，我们将考虑b∈ R作为未知参数。设pB表示由（Yt）t诱导的p概率测度∈可测空间（D（R+，R），D（R+，R））上的R+，具有自然过滤（Dt（R+，R））t∈R+，见附录B。进一步，所有T∈ R++，设Pb，T：=Pb | DT（R+，R）是Pb对DT（R+，R）的限制。下一个命题是关于R ad的形式–Nikodym衍生Pb、Td Peb、Tfor b、eb∈ R、我们将把Peb、Tas视为固定的参考度量，并根据观测值（Yt）t推导参数b的最大似然估计∈[0，T]。4.1提议。Let b，eb∈ R、那么对于所有T∈ R++，概率度量Pb，Tand Peb，皮重彼此绝对连续，在P下，logd Pb、Td Peb、T（eY）= -b-ebσ（eYT- y- 在- JT）-b-eb2σZTeYsds，（4.1），其中ey是与参数b相对应的过程。证据在下文中，我们将应用Jacod和Shiryaev【23】中的定理III.5.34（另见附录B）。我们将研究正则空间（D（R+，R），D（R+，R））。Let（ηt）t∈R+表示正则过程ηt（ω）：=ω（t），ω∈ D（R+，R），t∈ R+。跳转类型的CIR进程（1.1）可以以（2.9）的形式写入。

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2022-5-25 16:39:44

根据位置2.1，S DE（1.1）具有路径唯一的强解（具有给定的确定初始值y∈ 因此，根据Jacod和Shiryaev【23】中的定理III.2.26，在概率测度Pb下，正则过程（ηt）t∈R+是一个半鞅，其半鞅特征（B（B），C，ν）与截断函数h相关，其中B（B）t=Zt一- bηu+Zz m（dz）du，t∈ R+，Ct=Zt（σ√ηu）du=σZtηudu，t∈ R+，ν（dt，dy）=K（ηt，dy）dt=dt m（d y），其中Borel变换核K从R+×R到R由K（y，R）给出：=ZRR \\{0}（z）m（dz）=m（R）表示y∈ R+和R∈ B（R）。以下讨论的目的是检查附录ixB中提出的一组有效条件（将使用符号），以便有权应用Jacod和Shiryaev[23]中的定理III.5.34。首先注意（Ct）t∈R+和ν（dt，dy）不依赖于未知参数b，因此V（eb，b）等于1，然后（b.1）和（b.2）很容易保持不变。我们也有PBν（{t}×R）=0= Pb（0·m（R）=0）=1，t∈ R+，b∈ R、因为m（R）=m（R+）∈ R+由于（1.2）。进一步，（Ct）t∈R+可表示为Ct=RtcudFu，t∈ R+，其中随机过程（ct）t∈R+和（Ft）t∈R+由ct给出：=σηt，t∈ R+，Ft=t，t∈ R+。

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2022-5-25 16:39:47

因此，对于所有b，eb∈ R、 B（B）t- B（eb）t=- （b）-eb）Ztηudu=Ztcuβ（eb，b）udFuPb几乎可以肯定为每t∈ R+，其中随机过程（β（eb，b）t）t∈R+由β（eb，b）t=-b-ebσ，t∈ R+，产生（B.3）。接下来我们检查（B.4），即PbZt公司β（eb，b）ucudFu<∞= 1，t∈ R+。（4.2）我们有ZTβ（eb，b）ucudFu=（b-eb）σZtηudu，t∈ R+。因为对于每个ω∈ D（R+，R），轨迹[0，t] u 7→ ηu（ω）是c\'adl\'ag，因此有界（参见Billingsley[8，（12.5）]），我们有ηu（ω）du<∞, 因此我们得到（4.2）。接下来，我们检验了在概率测度Pb下，正则空间上的鞅问题的局部唯一性，该鞅问题对应于三元组（B（B），C，ν），初始值为给定值，Pb为其唯一解。根据命题2.1，SDE（1.1）有一个路径唯一的s强解（具有给定的确定性初值y∈ R+，因此Jacodand Shiryaev[23]中的定理III.2.26得出，正则空间上对应于（B（B），C，ν）的鞅问题的所有解集仅在e元素（Pb）上，从而产生所需的局部唯一性。我们还提到，Jacod和Shiryaev[23]中的定理III.4.29暗示，在概率测度Pb下，所有局部鞅都具有相对于η的积分表示性质。根据Jacod和Shiryaev[23]中的定理III.5.34（另见附录B），Pb，Tand Peb，tareeeequivalent（可以改变B和B的角色），在概率测度Peb下，我们得到了Pb，Td Peb，T（η）=expZTβ（eb，b）ud（ηcont）（eb）u-ZT公司β（eb，b）u库杜, T∈ R++，其中（（ηcont）（eb）t）t∈R+表示（ηt）t的连续（局部）鞅部分∈Peb下的R+。

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2022-5-25 16:39:51

使用Jacod和Shiryaev【23】中备注III.2.28的第1部分和（2.9），连续（局部）鞅部分（eYcontt）t∈（eYt）t的R+∈R+的形式为：contt=σRtqeYudWu，t∈ R+，通过（1.1），wehavedeycont=deYt- （a）-ebeYt）dt- dJt，t∈ R+。因此，under P，logd Pb、Td Peb、T（eY）=ZT公司-b-ebσ（德玉）- dJu）-ZT公司-b-ebσ（a）-ebeYu）du-ZT公司-b-ebσσeYudu=-b-ebσZT（德宇-dJu）+b-ebσZTa du-b-eb2σZTeYudu，它生成语句。接下来，利用命题4.1，通过将Peb、Tas视为固定参考度量，我们基于观测值（Yt）t推导出参数b的最大似然估计∈[0，T]。我们推导最大似然估计的方法是文献中已知的方法之一，结果表明，这些方法得到了相同的估计量Bbt，见备注4.3。让我们用∧T（b，eb）替换Y来表示（4.1）的右侧。通过基于观测值（Yt）t的参数b的MLEbbTof∈[0，T]，我们的意思是bbt：=arg maxb∈R∧T（b，eb），它将被证明不是依赖的。接下来，我们构造了一个关于所有T的MLEbbTof b的唯一存在性的引理∈ R++。4.2提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，y∈ R+，设m是R++满足（1.2）条件下的L'evy测度。如果a∈ R++或y∈ R++，然后对于每个T∈ R++，存在唯一的MLEbbTof b，几乎可以肯定其形式为（4.3）bbT=-年初至今- y- 在- JTRTYsds，前提是RTYSDS∈ R++（由于命题2.1，几乎可以肯定这一点）。证据根据提案2.1，PRTYsds∈ R++= 所有T均为1∈ R++，因此（4.3）的右侧几乎可以确定。下面讨论的目的是说明（4.3）的右侧是（Yu）u的可测函数∈[0，T]（即统计数据）。由Jt，t的L’evy–It^o’s演示（2.2）∈ R+，我们得到（4.4）Jt=Xs∈[0，t]Js，t∈ R+，正弦-1 | z | m（dz）=Rz m（dz）<∞, 例如，见佐藤【44，定理19.3】。

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2022-5-25 16:39:54

使用SDE（1.1），我们拥有Jt=Yt，t∈ R+，然后通过（4.4），我们得到jt=Xs∈[0，t]Ys，t∈ R+。因此，对于所有t∈ [0，T]，jt是（Yu）u的可测函数∈[0，T]，得出（4.3）的右侧是（Yu）u的可测函数（即，统计量）∈[0，T]，根据需要。根据命题4.1，对于所有b、eb∈ R、我们有b∧T（b，eb）=-σ（YT- y- 在- JT）-bσZTYsds，b∧T（b，eb）=-σZTYsds。因此，基于样本（Ys）的MLEbbTof b∈[0，T]几乎肯定存在，它的形式为（4.3），前提是RTYSDS∈ R++。事实上，在计算b的极大似然估计时，不需要知道参数σ的值∈ R++或度量m.4.3备注。文献中还有另一种推导MLE的方法。Sorensen【45】将ψ的anMLE定义为方程∧T（ψ）=0的解，其中∧T（ψ）是Sorensen【45】中公式（3.3）给出的所谓得分向量。Luschgy【37】，【38】将此方程称为估算方程。根据命题4.1的证明符号，考虑到β（eb，b）的形式以及V（eb，b）等于1的事实，我们得到∧T（b）：=ZT-σdYcontu=-σZT（dYu- （a）- bYu）du- dJu）=-σ年初至今- y- aT+bZTYudu- JT公司对于b∈ R和T∈ （0，∞). 估计方程∧T（b）=0，b∈ R、具有唯一的解决方案-年初至今-y-在-JTRTYUDU提出，RTYUDU是绝对积极的，几乎可以肯定。回想一下，这种独特的解决方案与BBT一致，请参见（4.3）。5次临界情况下MLE的渐近行为5.1定理。让a∈ R+，b∈ R++，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。ThentZtYsdsP-→ba+Z∞z m（dz）∈ R+作为t→ ∞.（5.1）证明。

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2022-5-25 16:39:57

使用推论3.6，我们得到经验值vtZtYsds= 经验值ψ0，vt（t）y+Ztaψ0，vt（s）+Z∞ezψ0，vt（s）- 1.m（dz）ds公司对于t∈ R++和v∈ R-, 其中f函数ψ0，v:R+→ R-见（3.14）。我们检查一下经验值vtZtYsds→ 经验值vba+Z∞z m（dz）作为t→ ∞对于所有v∈ R-. v=0的情况很简单，因此我们可以并且确实假设v∈ R--. 那么我们有ψ0，vt（t）=t2v（1-e-tγvt）γvt（1+e-tγvt）+b（1- e-tγvt）→ 0作为t→ ∞,因为γvt=qb-2σvt→ b∈ R++作为t→ ∞. 此外，根据支配收敛定理，Ztψ0，vt（s）ds=tZt2v（1- e-sγvt）γvt（1+e-sγvt）+b（1- e-sγvt）ds=Z2v（1- e-xtγvt）γvt（1+e-xtγvt）+b（1- e-xtγvt）dx→vbas t→ ∞.实际上，最后一个积分中的被积函数由2 | v | b支配。最后，通过支配收敛定理，我们得到了ztZ∞ezψ0，vt（s）-1.m（dz）ds=ZtZ∞经验值zt·2v（1- e-sγvt）γvt（1+e-sγvt）+b（1- e-sγvt）- 1.m（dz）ds=ZZ∞t型经验值zt·2v（1- e-xtγvt）γvt（1+e-xtγvt）+b（1- e-xtγvt）- 1.m（dz）dx公司→ZZ∞zvbm（dz）dx=vbZ∞z m（dz）作为t→ ∞ 对于所有z∈ R+。实际上，在（z，x）：=z·2v（1- e-xtγvt）γvt（1+e-xtγvt）+b（1- e-xtγvt）→ zvbas t→ ∞,其中（z，x）∈ R-对于所有t∈ R++，z∈ R+和x∈ [0，1]。因此t（eAt（z，x）t- （1）→ 兹夫巴斯特→ ∞ 对于所有z∈ R+和x∈ [0，1]和| t（eAt（z，x）t-1） | 6 | At（z，x）| 62z | v | B用于t∈ R++，z∈ R+和x∈ [0，1]，其中2z | v | bis可积于R++×[0，1]上的测度m（dz）dx。通过连续性定理，我们得到了ztysdsd-→ba+Z∞z m（dz）∈ R+作为t→ ∞,这意味着（5.1）。如果a∈ R++或y∈ 然后，使用（4.3）和SDE（1.1），我们得到BBT-b=-年初至今- y- 在- JT+bRTYsdsRTYsds=-σRT√YsdWsRTYsds（5.2）规定RTYSDS∈ R++，由于命题2.1，几乎可以肯定这一点。注意σRT√YsdWs=YcontT，T∈ R+，见备注2.6。尽管Mai[40]中的公式（4.23）对MLEbbTof b有错误，但Mai[40，Theorem4.3.1]给出了Btas T的右渐近行为→ ∞, 即过程Y的渐近正态性。

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2022-5-25 16:40:02

我们给出了这个结果的正确证明，事实上，我们也扩展了它，因为我们不假设Y的er上帝性。5.2定理。让a∈ R++，b∈ R++，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。那么MLEbbTof b是渐近正态的，即。，√T（bbT- b） D-→ N0，σba+R∞z m（dz）= N0，σR∞yπ（dy）作为T→ ∞,（5.3）其中π表示（Yt）t的唯一平稳分布∈R+（见定理2.4第（i）部分）。特别是，bbTis弱一致，即bbTP-→ b作为T→ ∞. 随机缩放，σZTYsds公司1/2（bbT- b） D-→ N（0，1）为T→ ∞.在附加力矩条件（1.4）下，bbTis强烈一致，即bbTa。s-→ b作为T→ ∞.证据根据位置4.2，所有T都存在唯一的MLEbbTof b∈ R++，其形式如（4.3）所示。根据定理2.4的（i），（Yt）t∈R+具有唯一的平稳分布π，其中R∞yπ（dy）=a+R∞z m（dz）b∈ R++。根据定理5.1，我们得到了trtysdsp-→R∞yπ（dy）为T→ ∞. 因此，由于s q uare可积鞅的二次变分过程Rt公司√YsdWs公司t型∈R+采用以下形式RtYsdst型∈R+，根据定理C.2和η：=R∞yπ（dy）1/2和Slutsky引理，我们有√T（bbT- b） =-σ√TRT公司√YsdWsTRTYsdsD-→ -σR∞yπ（dy）1/2N（0，1）R∞yπ（dy）=N0，σR∞yπ（dy）作为T→ ∞, 因此我们得到（5.3）。此外，Slutsky引理产生σZTYsds公司1/2（bbT- b） =σTZTYsds公司1/2√T（bbT- b） D-→σZ∞yπ（dy）1/2N0，σR∞yπ（dy）= N（0，1）为T→ ∞.在附加力矩条件（1.4）下，根据定理2.4的（ii），我们得到了trtysdsa。s-→R∞yπ（dy）为T→ ∞, 也意味着危险DSA。s-→ ∞ 作为T→ ∞. 利用（5.2）和定理C.1，我们得到了BBTA。s-→ b作为T→ ∞.

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2022-5-25 16:40:07

我们注意到，力矩条件（1.4）通常不影响力矩条件（1.2），并且，由于我们已经需要力矩条件（1.2）来存在SDE（1.1）的路径唯一强解（见命题2.1），为了得到我们在定理5.2中的强一致性结果，我们需要假设（1.2）和（1.4）。6临界情况下极大似然估计的渐近行为6.1定理。让a∈ R+，b=0，σ∈ R++，并设m是满足R++（1.2）的L'evy测度。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1，且有一些Y∈ R+。然后Ytt，tZtYsdsD-→Y、 ZYsds公司作为t→ ∞,（6.1）式中（Yt）t∈R+是临界（扩散型）CIR模型DYT的唯一强解=a+Z∞z m（dz）dt+σpYtdWt，t∈ R+，（6.2），初始条件Y=0，其中（Wt）t∈R+是一维标准维纳过程。此外，（Y，RYsds）的拉普拉斯变换采用euY+vRYsds=cosh公司γv-σuγvsinhγv-σ（a+R∞z m（dz））如果v∈ R--,1.-σu-σ（a+R∞z m（dz））如果v=0，（6.3）对于所有u，v∈ R-, 式中γv=√-2σv，v∈ R-（从现在起，b=0）。6.2备注。在定理6.1的条件下，在m=0的特殊情况下，即在DiffusionCase中，我们在Ben Alaya和Kebaier[7]中得到了定理1的第1部分。定理6.1的证明。利用定理3.1，我们得到经验值uYtt+vtZtYsds= 经验值ψut，vt（t）y+Ztaψut，vt（s）+Z∞ezψut，vt（s）- 1.m（dz）ds公司对于t∈ R+和u，v∈ R-, 其中函数ψu，v:R+→ R-见（3.1）。根据OREM 3.1，我们必须区分两种情况：v<0（情况I）和v=0（情况II）。情况一：如果v<0，则ψut，vt（t）=tuγvcoshγv+ 2v sinhγvγvcoshγv- σu sinhγv→ 0作为t→ ∞,对于每个t∈ R+，Ztψut，vt（s）ds=tZtuγvcoshγvs2t+ 2v sinhγvs2tγvcoshγvs2t-σu sinhγvs2tds=Zuγvcoshγvx+ 2v sinhγvxγvcoshγvx- σu sinhγvxdx=Zψu，v（x）dx=-σ对数cosh公司γv-σuγvsinhγv=: 一、（6.4）我们使用的地方（3.2）。

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