随机短期利率的预期信息估值

nandehutu2022

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《Valuing the anticipative information on the stochastic short interest
rates》
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作者：
Bernardo D\'Auria and Jos\\\'e Antonio Salmer\\\'on
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
Portfolio optimization is an important financial tool in particular to price financial derivatives. However the standard techniques do not apply when it is needed to extend the model by including insight information and one has to recur to more sophisticated tools such as the enlargement of filtrations. We show how to apply this technique to value the anticipative information about the short interest rate. We model the short rates by an affine diffusion process and compute the optimal portfolio for a large class of insight information and different utility functions. We conclude with a more detailed analysis of the Vasicek model and with some numerical examples.
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中文摘要：
投资组合优化是一种重要的金融工具，尤其是对金融衍生品进行定价。然而，当需要通过包含洞察信息来扩展模型，并且必须使用更复杂的工具（如扩大过滤）时，标准技术并不适用。我们展示了如何应用这种技术来评估有关短期利率的预期信息。我们利用仿射扩散过程对短期利率进行建模，并针对一大类洞察信息和不同的效用函数计算最优投资组合。最后，我们对Vasicek模型进行了更详细的分析，并给出了一些数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Valuing_the_anticipative_information_on_the_stochastic_short_interest_rates.pdf
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nandehutu2022

2022-6-1 16:34:01

评估随机短期利率的预期信息Bernardo D\'Auria*Jos'e A.Salmer+2021年11月4日抽象投资组合优化是一种重要的金融工具，尤其是对金融衍生品进行定价。然而，当需要通过包含洞察信息来扩展模型，并且需要借助更复杂的工具（如扩大过滤）时，标准技术并不适用。我们展示了如何应用这种技术来评估有关短期利率的预期信息。我们通过一个有效的差分过程对短期利率进行建模，并计算一大类洞察信息和差分函数的最优投资组合。最后，我们对Vasicek模型进行了更详细的分析，并给出了一些数值例子。关键词-随机规划；最优投资组合；扩大过滤；瓦西塞克利率模型；信息的价值。1引言我们在不完全市场中的最优投资组合问题的框架内工作，其中投资代理人持有一些预期信息。在文献中，额外信息通常指的是一些交易资产的未来趋势，而在这项工作中，重点是在特殊情况下，当预期信息指的是短期利率的未来趋势。这种情况造成了市场的不对称，我们假设有两个代理，一个拥有额外的信息，另一个单独拥有USU。将最优投资组合问题扩展到预期信息的情况通常采用扩大过滤的技术，通过扩大过滤可以创建包含预期信息的新过滤。

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nandehutu2022

2022-6-1 16:34:04

为了确保在新过滤中，所有以前的鞅都至少保留为半鞅，假设新信息满足所谓的Jacod假设，请参见下面的假设2.2。第一种类型的扩大过滤——本文中讨论的一种——是所谓的初始扩大，即从一开始就向知情代理人披露额外信息。这个过程最初应用于[1]中的最优投资组合问题。*UC3M，统计部，28911，Legan\'es，Spain&UC3M-BS，Institute of Financial BigData，28903 Getafe，Spain（bernardo。dauria@uc3m.es).+UC3M，统计部，28911，Legan\'es，西班牙（joseantonio。salmeron@uc3m.es).1导言2他们假设预期信息由一个满足theJacod假设的随机变量建模，并在各种示例中明确求解最优投资策略。文献[2]表明，当用原子随机变量表示时，通过期望对数效用测量的附加信息的值等于其熵。他们还表明，每当这个随机变量不是纯原子时，附加增益总是无界的。在[3]中，最优投资组合问题是针对不同于对数（CRRA和指数）的效用函数求解的。信息价格是指投资者在开始获取额外信息时应支付的公平价格。在[4]中，通过Malliavin演算解决最优投资组合问题削弱了Jacod的假设，而在[5]中，讨论了拥有额外信息与套利金融机会之间的关系。

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nandehutu2022

2022-6-1 16:34:07

计算附加信息的价值是一个活跃的研究主题，如最近的结果所示，如[6]，其中作者在一般半鞅背景下量化了任意地理机会的价值，以及[7]，其中作者分析了与泊松过程跳跃相关的信息的价值。另一种类型的过滤放大，本研究中没有考虑到这一点，但我们之所以提到这一点，是因为它最近在文献中吸引了很多人的兴趣，这就是渐进式放大，其中的信息由一个随机时间表示，该时间在放大的过滤中是一个停止时间。我们请读者参阅[8]及其参考文献，以便进行最新调查。我们还提到了[9]，它通过随机过程引入了一种额外的放大类型，以及[10]，它展示了一种通过应用随机最大值原理来处理预期信息的替代技术。一般来说，上述所有参考文献都假设附加信息直接指向某些交易资产，而在本研究中，我们关注的是信息指向随机利率的情况。顺便提一下，这个问题在[1]中被描述为开放的。我们的目标是计算一个代理人在她知道一些有关利率未来价值的信息的情况下可以获得的预期效用收益。我们假设利率模型是一个一般的差异过程，因为这种结构非常灵活，在许多情况下可以得到非常明确的表达式。此外，作为特例，这一分类包括奥恩斯坦-乌伦贝克过程，该过程允许非常详细地分析著名的Vasicek模型，该模型在[11]中介绍。请注意，此利率过程可以以正概率达到负值。一些作者试图在几个方面修改这种情况，例如参见[12]。

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mingdashike22

2022-6-1 16:34:11

然而，为了简化涉及过程分布的计算，我们采用了通常的Vasicek模型。随机利率在市场中创造了完整性，正如在[13]中所发生的那样，尽管在该参考文献中，它是由于利率的突然跳跃，在本文中，它是由于其随机性的来源。我们计算了初始扩张条件下非贴现财富的最优效用，并给出了最优策略的显式方程。我们对不同类型的效用函数（对数、CRRA和指数）进行此操作，并假设信息为线性类型（见第4节）。除了对数效用，cfr。例3.12和3.13中，最优策略是以隐式形式给出的，因为经典的Merton参数并不像已经注意到的那样有效[14]。顺便提一下，我们还显式地计算了一些特殊随机变量的可预测表示性质，并解决了一些常规技术无法处理的随机积分。本文的组织结构如下。在第2节中，我们将更详细地介绍将利率过程建模为一个函数的通用模型，并说明数学符号。在第三节中，我们解决了不完全市场中的效用最大化问题。在第4节中，我们使用积分型随机变量分析了扩大过滤条件下的利率过程。我们显式地计算了非折扣价格的半鞅分解和最优效用期望。在第5节中，我们引入了一个较弱的2模型和D表示法3信息类型，首先假设利率的最终值有一个已知的下限，然后又有一个上限。

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mingdashike22

2022-6-1 16:34:14

最后，我们给出了一个例子，其中（NFLVR）保留在仅满足[0，T]中绝对连续性的Jacod假设和[0，T]中的等价性的扩大过滤中。在第6节中，我们给出了一些数值示例，最后在第7节中，我们以一些结论结束。2模型和符号作为一般设置，我们假设在概率空间中工作(Ohm, F、 F，P），其中F是eventsigma代数，F={Ft，t≥ 0}是由（BR，BS）=（（BRt，BSt），t≥ 0），这是一个二维过程，其分量具有常数相关性ρ6=0，并且每个分量都是F-布朗运动。有时，我们使用旋转FR（FRT）来表示由过程BR生成的过滤（西格玛代数）。Wealso fix一个交易者可以投资的有限期限时间T>0。为了简化我们的分析，我们考虑一个仅由两种资产组成的简单投资组合，一种是风险资产，S=（St，0≤ t型≤ T），另一个无风险，D=（Dt，0≤ t型≤ T），并且这两个过程在定义的概率空间中都是半鞅自适应的。特别是其动态由以下SDE确定，dDt=DtRtdt，D=1（2.1a）dSt=Stηtdt+ξtdBSt, S=S>0（2.1b），其中R=（Rt，0≤ t型≤ T）是瞬时利率，有时也称为短期利率。风险资产的漂移和波动率由过程η=（ηt，0）给出≤ t型≤ T）和ξ=（ξT，0≤ t型≤ T），假设可预测自然过滤F，并满足以下条件ηt- Rtξtdt#<+∞ .我们假设过程1/ξ是有界的。假设利率过程R为无差异，满足以下SDE，dRt=[a（t）Rt+a（t）]dt+b（t）dBRt，R=R>0，（2.2），其中确定性函数a、a非常平滑。

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2022-6-1 16:34:17

请注意，市场是不完整的，因为只有一个可交易资产，而有两个随机性来源（BR、BS）。这类过程包括作为特例的Ornstein-Uhlenbeck过程，在本文中用Y=（Yt，0≤ t型≤ T）。它满足众所周知的SDEdYt=k（u-Yt）dt+σdBYt，Y=Y>0，（2.3），k，u，σ给定参数满足某些条件。自[11]引入以来，它一直用于为其均值回复特性的利率建模。在上述假设下，我们假设投资者采用可接受的策略π=（πt，0≤ t型≤ T）目的是在最终时间T>0时优化给定的效用函数。定义2.1。我们定义了一组可接受的策略A（H），其中包含所有自我融资投资组合π=（πt，0≤ t型≤ T）这样，oπ就过滤H2模型和D表示法4oRTξTπtdt<+∞, P-几乎可以肯定，其中π是时间t时投资于风险资产的资本比例。表示为Xπ=（Xπt，0≤ t型≤ T）投资者投资组合的财富在可接受策略π下，我们可以将其动力学写成以下SDE的解，对于0≤ t型≤ T，dXπtXπT=（1- πt）dDtDt+πtdStSt，X=X>0。使用（2.1），它可以用以下形式表示dxπt=（1- πt）XπtRtdt+πtXπtηtdt+ξtdBSt, X=X.（2.4）通常假设策略π在每一时刻都对代理的所有信息进行了最佳利用，通常我们将假设代理的信息流由过滤H=（Ht，0≤ t型≤ T），可能大于filtrationf，即F H、我们确定了最佳投资组合πH=（πHt，0≤ t型≤ T）作为以下优化问题的解决方案，VHT：=supπ∈A（H）E[U（XπT）]=EhUXπHTi、（2.5）在给定信息流的情况下，VHT定义为时间T时投资组合的最佳价值。

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可人4

2022-6-1 16:34:21

函数U:R+→ R表示效用函数，假设它在其域中是连续的、递增的和凹的，并且满足U（x）=-∞ 对于x<0。此外，假设它是连续可微的，是严格递增且凹的初始域，并且满足INDA条件，U（0）：=limx→0+U（x）=+∞ （2.6a）U(+∞) := 林克斯→∞U（x）=0。（2.6b）为了分析放大的信息流，在下面的章节中，我们考虑了一些通过在西格玛代数FT中添加随机变量G来构建的初始放大的例子。我们定义了放大的过滤G={Gt，t≥ 0}如下所示，Gt=\\s>t（Fs∨ σ（G））。（2.7）简而言之，我们将G写为最小过滤，它是正确连续的，包含SF∨σ（G）。在我们的论文中，由于随机变量G的知识产生的不对称性，我们将假设存在一个从一开始就知道G的G-agent和一个与自然信息流F打交道的F-agent。我们的结果依赖于以下文献中通常称为Jacod\'shypothesis的假设。假设2.2（Jacod假设）。随机变量G的分布为σ-fite，而规则Ft条件分布验证了等效条件P（G∈ ·|英尺）P（G∈ ·), P-几乎可以肯定t∈ [0，T）。2模型和D表示法5该假设确保存在由pg=（pgt，0）表示的联合可测量F-适应过程≤ t<t），带g∈ Supp（G），且P（A | Ft）=RApgtP（G∈ dg）对于任何A∈ σ（G）。特别是，pgt=P（G∈ dg | Ft）P（G∈ dg），0≤ t<t。下面的命题允许计算任意F连续局部鞅的G-半鞅分解，它最初在[15，定理2.1]中阐述过。

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nandehutu2022

2022-6-1 16:34:28

过程pg，forany g∈ Supp（G）是一个F-鞅，参见[2，引理2.1]，因此hX，pgiF=（hX，pgiFt，0≤t<t）对于任何F-局部鞅X都有很好的定义。此外，我们定义了hX，pGiFs：=hX，p·iFso G提案2.3。设X=（Xt，0≤ t型≤ T）是一个F-连续的局部鞅，并设G为满足Jacod假设的可测随机变量。然后，进程bxt=Xt-ZtdhX，pGiFspGs-, 0≤ t<t（2.8）是G-局部鞅。当（2.8）中出现的过程X的补偿器相对于Lebesgue测度是绝对连续的时，其密度通常被称为信息漂移，它在我们的计算中起着至关重要的作用。我们将使用符号αG=（αGt，0≤ t<t）与过程BR相关的信息漂移，即ZtαGsds：=ZtdhBR，pGiFspGs-, 0≤ t<t，更多详情请参见提案4.4。虽然套利机会不是本文的中心问题，但我们提到了一个结果，该结果将αgw上的Novikov条件与G∈ 第一次。在[16]中可以找到一个简单的证明，我们参考[17]了解套利理论的一般背景。提案2.4。使用之前的设置，如果G∈ F了解过程αGsatis经验值ZT（αGt）dt< +∞ , （2.9）则G中的（NFLVR）条件成立。2.1附加符号给定两个随机变量X和Y，我们写X≈ Y表示它们具有相同的分布。符号N（u，σ）表示具有平均u和方差σ的高斯随机变量。Φ（z）表示标准高斯随机变量的累积分布。用fX（x）表示x在x处的密度函数，用fX | Y（x | Y）表示给定{Y=Y}的x处条件密度函数的值。P和V表示概率和方差运算符。E是指P下的期望算子，即E=EP。

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2022-6-1 16:34:34

如果我们在另一个度量下考虑期望，例如Q，我们将指定为等式。如果H是σ-代数，那么用E[·| H]和V[·| H]表示条件期望和3个优化问题6个条件方差算子。我们定义空间L(Ohm, H、 P），或仅当(Ohm, H）很明显，H-可测随机变量F与E[F]<+∞, i、 e.，L（P）={F:e[F]<+∞} .我们将L（J，H，dt×P，H）或简称L（J，dt×P，H）定义为所有H适应过程的空间，具有以下可积性条件，L（J，dt×P，H）=nX=（Xt，t∈ J）：ZJEXs型ds<+∞o、当J=[0，T]时，我们只写L（dt×P，H）。（fg）（x）有时用于表示产品f（x）g（x）。3优化问题结合方程（2.2）和（2.4），我们得到以下随机微分方程组，（dXπt=（1- πt）XπtRtdt+πtXπtηtdt+ξtdBStdRt=[a（t）Rt+a（t）]dt+b（t）dBRt（3.1），根据过滤F进行求解，得出利率过程和投资组合财富的演变，如F代理所见。为了分析适用于（2.7）中定义的扩大过滤的相同过程，我们采用了通过查找对的G-半鞅分解（BR，BS）来扩大过滤的标准技术。命题3.2中获得了新的代表性。假设函数a、a和bin（2.2）的可积性，通过应用it^o引理很容易看出，可以参考[18，示例1.5.4.8]，过程R允许以下显式解RT=ψtR+Zt（aψ-1）（x）dx+Zt（bψ-1）（x）dBRx, 0≤ t型≤ T，（3.2），其中ψT：=expRta（x）dx和ψs，t：=expRtsa（x）dx. 有时，我们会使用旋转ψ（t）：=ψtwhenψ-1涉及。当RisGaussian分布时，过程R是马尔可夫和高斯的。假设R是一个马尔可夫过程，我们首先研究0的（Rs | Ru）分布≤ u≤ s

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2022-6-1 16:34:37

我们可以通过方便地处理显式表达式（3.2）来计算它，如下面的引理所示。引理3.1。设R为（2.2）定义的过程。对于0≤ u≤ s、条件随机变量（Rs | Ru）具有以下分布（Rs | Ru）≈ Nψu，sRu+ψsZsuaψ-1.（x） dx，ψsZsubψ-1.（x） dx公司.证据利用方程（3.2），我们可以用以下方式表示Rsin在时间u的值，Rs=ψuψu，shR+Zuaψ-1.（x） dx+Zsuaψ-1.（x） dx+Zubψ-1.（x） dBRx+Zsubψ-1.（x） dBRxi=ψu，sRu+ψsZsu公司aψ-1.（x） dx+Zsubψ-1.（x） dBRx公司. （3.3）3优化问题7然后通过确定公式（3.3）的确定性和随机性部分得出结果，后者通过应用It^o等距给出方差。3.1最佳投资组合上述分析允许将SDE（3.1）改写为过滤F，再改写为过滤G，如下所示。提案3.2。在过滤G下，过程Xπ=（Xπt，0≤ t<t）和R=（Rt，0≤t型≤ T）满足以下SDE：dXπt=（1- πt）XπtRtdt+πtXπt（ηtdt+ξtdBSt）dRt=a（t）Rt+a（t）+b（t）αGtdt+b（t）dWRtdBSt=ραGtdt+ρdWRt+p1- ρdBt，0≤ t<t。（3.4）式中，WR=（WRt，0≤ t<t）和B=（Bt，0≤ t型≤ T）是e[WRtBt]=0的G-布朗运动。证据由于品牌Bs具有恒定的相关性ρ，我们可以写下Bst=ρBRt+p1- ρBt，（3.5），其中B=（Bt，0≤ t型≤ T）是独立于BR的F-布朗运动。注意Ft=σ（BRs、Bs）：0≤ s≤ t型and（BR，B）在F.Letg中具有可预测的表示属性∈ Supp（G），使用（4.5）计算HB，pgiFt=ZtpgxαgxdhB，BRiFx=0。然后我们得出结论，B是G-布朗运动。最后，E[WRtBt]=E快速公交-ZtαGxdx英国电信= E【BRtBt】-中兴通讯αGxBtdx=-中兴通讯EαGxBt | Gtdx=-中兴通讯αGxE[Bt | Gt]dx=0。注意，对于G代理，风险资产的动态由DSTST给出=ηt+ξtραGtdt+ξtρdWRt+ξtp1- ρdBt，其中（WR，B）是一个二维G-布朗运动。

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2022-6-1 16:34:40

财富过程的解xπ=（Xt，0≤ t<t）作为G-半鞅，由xπt=XDtexpnZtπx（ηx）给出- Rx+ρξxαGx-ξxπx）dx+ρZtξxπxdWRx+p1- ρZtξxπxdBxo，（3.6），其中D在（2.1a）中定义。考虑以下策略πGt：=ηt- Rtξt+ραGtξt，0≤ t<t，（3.7）3优化问题8在[0，t]中可接受。对于G-代理，我们将看到该信息在整个交易周期内通过对数效用实现有限的预期（见命题4.9）。很容易检查Ln x≤xγγ+γ-γ, γ ∈ （0，1），因此功能EhXπGtγ/γII与策略πG不同。由于当G-agent在地平线时间T附近投资时，效用问题不适定，我们将优化问题限制在区间[0，T]内。由于[2，引理2.1]，我们可以使用[19，推论2.10]，以确保空气（WR，B）具有强可预测表示性（PRP），即。，Mloc（P，G）=nζ+ZTbλxdWRx+ZTbγxdBx：ζ∈ σ（G），bλ，bγ∈ L（dt×P，G）o，其中Mloc（P，G）表示（P，G）-局部鞅集。设Z=（Zt，0≤ t型≤ T）是正的G-局部鞅，使得Z=1，那么，当前面的表示成立且Z为正时，我们可以重新定义过程λx=-λx/Zx，γx=-^γx/zx，并得到以下表示，其中我们在符号中强调对参数Zλ，γt的依赖：=exp-ZtλxdWRx-ZtγxdBx-Zt（λx+γx）dx, 0≤ t型≤ T在【20】之后的下一个引理中，我们将构造一系列指数局部鞅，通常称为deflicators，请参见【8，第1.4节】或【21，定义3.1】。为此，我们将需要定义卵泡过程θρ，Gt：=ηt- Rtρξt+αGt，0≤ t<t。（3.8）引理3.3。

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mingdashike22

2022-6-1 16:34:44

（3.4）中定义的金融市场允许指数局部鞅族{Zν}，因此D-1ZνS是[0，T]中的P-局部鞅，其中zνT=Et-Z·θρ，Gx-p1级- ρρνxdWRx！Et公司-Z·νxdBx, 0≤ t<t，（3.9），其中Et（·）表示Dol\'eans Dade指数和ν∈ L（dt×P，G）。证据通过It^o演算，我们得到zλ，γtD-1tSt=SexpnZtηx- 接收-ξx+ρξxαGx-（λx+γx）dx+Zt（ξxρ- λx）dWRx+Ztξxp1- ρ- γxdBxo，然后我们在其^o意义上进行微分，d（Zλ，γtD-1tSt）Zλ，γtD-1测试=ηt- Rt公司-ξt+ρξtαGt-（λt+γt）+（ξtρ- λt）dt公司+ξtp1- ρ- γtdt+（ξtρ- λt）dWRt+ξtp1- ρ- γtdBt=ξtηt- Rtξt+ραGt- （ρλt+p1- ργt）dt+（ξtρ- λt）dWRt+ξtp1- ρ- γtdBt。3优化问题9通过在前面的表达式中施加漂移部分为零，我们得到γt=νtand条件λt=ηt- Rtρξt+αGt- νtrρ- 1.请注意，表达式（3.9）可以使用以下约尔公式（M·）Et（N·）=Et进行缩减M·+N·+hM，NiG·, M、 N个∈ Mloc（P，G）。我们还可以给出财富过程Xπ的显式解，其动力学由（2.4）给出。此表达式在以下计算中很有用。可以将其视为【20】中方程式（8.6）的公式。提案3.4。对于每个π∈ A（G）和ν∈ L（dt×P，G），财富过程的显式解Xπ=（Xπt，0≤ t<t）由Xπt=xDt（Zνt）给出-1cZνt（π），0≤ t<t，（3.10），其中czνt（π）定义为ascZνt（π）：=EtZ·ξxρπx- θρ，G+p1- ρρνx！dWRx！Et公司Z·ξxp1- ρπx- νxdBx公司, 0≤ t<t。（3.11）证明。紧接着是（3.6）和（3.9）。我们陈述了[22，引理4.5]中给出的以下结果。推论3.5。贴现过程D-1ZνXπ是每个π的正（P，G）-局部鞅∈ A（G）。由效用函数U满足的INDA条件（2.6）确保uh是一个逆函数，用I表示，因此I（0+）=∞ 而我(∞) = 0

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nandehutu2022

2022-6-1 16:34:48

我们定义了UaseU（y）的极函数：=maxx>0{U（x）- xy}=U（I（y））- yI（y），0<y<+∞ ,并提出了一些类似于[20]的假设（另见[23]）。第一个排除了对数效用，但在示例3.11中，我们将看到它可以显式求解。假设3.6.oU（0）：=limx→0+U（x）>-∞.o 函数h（x）：=xU（x）在R+上不递减存在α∈ （0，1）和β∈ (1, +∞), 使得αU（x）≥ U（βx），每x∈ R+.o存在ν=（νt，0≤ t<t）∈ L（dt×P，G）使得E[eU（yD-1tZνt）]<+∞ 预测t<t和y∈ R+。3优化问题10So，（2.5）的对偶问题表示为如下ev（t，y）：=infνE[eU（yD-1tZνt）]。（3.12）最后，我们引入以下随机变量族ξνt（x）：=IYνt（x）D-1tZνt, 0≤ t<t，ν∈ L（dt×P，G），（3.13），其中Yνt（x）是满足G-可测函数D-1tZνtIYνt（x）D-1tZνt|G= x、（3.14）【20】中证明的以下结果表明，存在一个可对冲或有目标（3.13）且预期得以保持的偏差。提案3.7。在假设3.6下，存在一个过程λ，使得对于任何νEhD-1tZνtξλt（x）i≤ x=EhD-1tZλtξλt（x）i，0≤ t<t。（3.15）此外，随机变量ξλt（x）是可对冲的，λ是带参数（t，Yλt（x））的问题（3.12）的解。证据这是[20]中定理8.5、定理9.4和定理12.3的结果。定理3.8。最优投资组合问题的解是ss-supπ∈A（G）E[U（Xπt）| G]=E[U（ξλt（X））| G]，0≤ t<t，（3.16），其中Xπ=（Xπt，0≤ t<t）满意度（3.4）。最优投资组合由策略πG获得∈ A（G）对冲随机变量ξλt（x）=I（Yλt（x）D-1tZλt）和xπGs=ED-1tZλtD-1sZλsξλt（x）| Gs, 0≤ s≤ t<t，（3.17），其中Zλ和λ在命题3.7中定义。证据

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mingdashike22

2022-6-1 16:34:51

利用命题3.7，我们知道存在πG∈ A（G）使得XπGt=ξλt（X）P-几乎可以肯定（仅在时间t），然后过程D-1·Zλ·XπG·是真（P，G）-鞅，（3.17）如下。由于效用函数是凸函数，它满足以下不等式u（b）≥ U（a）+U（b）（b）- a），对于任何a、b∈ R+。因此，用X^πt表示某些策略的财富过程∈ A（G），我们得到了XπGt≥ U（X^πt）+Yλt（X）D-1tZλtXπGt- X^πt.取两边的条件期望E[·| G]，EhUXπGt|Gi公司≥ E[U（X^πt）| G]+EhYλt（X）D-1tZλtXπGt- X^πt|Gi公司≥ E[U（X^πt）| G]+Yλt（X）x个- E【D】-1tZλtX^πt | G]≥ E[U（X^πt）| G]，其中，在最后一步中，我们使用了-1·Zλ·XπG·和D-1·Zλ·X^π·分别是区间0内的a（P，G）-鞅和a（P，G）-超鞅≤ t<t。3优化问题11推论3.9。在之前的设置中，如果过程αG∈ L（[0，T]，dt×P），然后WR=（WRt，0≤ t型≤ T）是[0，T]中的G-布朗运动，最优投资组合问题的解是ss-supπ∈A（G）E[U（XπT）| G]=E[U（ξλT（X））| G]。（3.18）证明。第一部分接着应用【24，定理3.2】。然后，我们可以通过包含地平线时间T来扩展引理3.3中的微分器族，参见[2，命题3.4（2）]，以获得关于完全市场情况的参考。利用定理3.8的证明，结果如下。备注3.10。如果过程αgS满足Novikov条件，则（NFLVR）成立，并且定义了一系列等效局部鞅测度（ELMM），见【21，命题3.2】。即使最优策略πGdepends也使用效用函数U来简化符号，我们也只明确指定对G的依赖。示例3.11。由于对数效用不能验证假设3.6，因此我们在这里展示了如何使用过程ln（Xπt）的显式表达式来解决最优投资组合问题。

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kedemingshi

2022-6-1 16:34:54

使用（3.6）我们得到了自然对数Xπtx= Dt+中兴通讯πx（ηx- Rx+ρξxαGx-ξxπx）dx。按照专论[25]中定理16.54的行，我们对每个固定值（s，ω）进行最大化∈[0，t]×Ohm 泛函j（π）：=πηs- Rs+ρξsαGs-ξsπ.然后，J满足度的驻点0=J（π）=ηs- Rs+ρξsαGs- ξsπ，我们得到候选πGt=ηt- Rtξt+ραGtξt∈ A（G），0≤ t<t。（3.19）由于J是凹的，因此策略πGis是优化问题的最大值。示例3.12。对于CRRA实用程序，U（x）=xγ/γ，带γ∈ （0，1），我们计算I（y）=y1/（γ-1）设λ为对偶问题的解。那么，x=EhD-1tZλtI（Y（x）D-1tZλt）| Gi=EhD-1tZλt（Y（x）D-1tZλt）1/（γ-1） | Gi=Y（x）1/（γ）-1） Eh（D-1tZλt）γ/（γ-1） | Gi，我们得到，Y（x）=xγ-1EhD-1tZλtγ/(γ-1） | Giγ-1.4线性类型信息12根据（3.16），我们可以计算最佳预期CRRA值，如下所示SUPπ∈A（G）E（Xπt）γγ| G= Eh（Y（x）D-1tZλt）γ/（γ-1） | Gi=xγγED-1tZλtγ/(γ-1） | G1.-γ.我们还通过方程xπGt=I（Y（x）D得到了CRRA效用下最优策略的隐式方程-1tZλt）和（3.6）。最后，优化策略πG∈ A（G）由满足以下表达式czλt（πG）的过程给出=D-1tZλtγ/(γ-1）呃D-1tZλtγ/(γ-1） | Gi。示例3.13。对于指数效用，U（x）=-经验值(-γx）带γ∈ （0，1），我们计算（y）=-（1/γ）ln（y/γ），设λ为对偶问题的解。

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可人4

2022-6-1 16:34:59

那么，x=E[D-1tZλtI（Y（x）D-1tZλt）| G]=-lny（x）γE[D-1tZλt | G]-γE[D-1tZλtlnD-1tZλtγ|G] 我们可以计算Y（x）asln Y（x）的显式表达式=-γx- ED-1tZλtlnD-1tZλt|G+ lnγED-1tZλt | G.最后，使用U（I（y））=-y/γ，我们计算最优效用如下supπE[U（Xπt）| G]=-E“D-1tZλtexp-γx- ED-1tZλtln D-1tZλt | G+ lnλE[D-1tZλt]|G#=-经验值(-γx）E“D-1tZλtexp-ED-1tZλtln D-1tZλt | G- lnλE[D-1tZλt]|G#。最优策略πG∈ A（G）由满足以下表达式的过程给出D-1tZλt-1cZλt（πG）=x+γE[D-1tZλtlnD-1tZλt|G] E【D】-1tZλt | G]-γlnD-1tZλt,其中，右侧是I（Y（x）D的显式表达式-1tZλt）。在接下来的章节中，我们将展示一些不同性质的初始放大的特定示例，对于每种情况，我们将分析投资组合优化是否可以进行到时间t或仅进行到时间t<t。4线性类型信息在本节中，我们展示了如何计算二维过程（BR，BS）=（（BRt，BSt），0≤ t型≤ T）在过滤G中，只要随机变量G4线性类型信息13是FRT可测量的随机变量。特别地，我们从一个随机变量开始，该随机变量可以用以下积分形式表示：g=ZTД（x）dBRx，（4.1），其中Д：[0，T]-→ R是验证以下假设的确定函数。假设4.1。函数Д在L（[0，T]，dt）范围内，且满足k{[T，T]}Дk：=ZTtД（x）dx>0，t<t。通过采用（4.1）中所有随机变量的线性组合，我们得到以下集合<BRt:0≤ t型≤ T>=nZT（x）dBRx:Д∈ L（[0，T]）o，其中<·>表示线性跨度的L（FRT，P）-闭合。它由一组高斯随机变量G，FRT可测量，因此E[G | FRT]仍然是高斯的[26，引理3.1]。假设ν（t）存在于t的邻域中，并且当t→ T-.备注4.2。

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能者818

2022-6-1 16:35:03

非高斯随机变量（如BRT）不属于上述集合，因为它们的表示依赖于非确定性被积函数。例如，（BRT）=T+2ZTBRtdBRt。一般来说，给定一个随机变量G，不容易计算其分解。在下一节中，我们将给出一些明确的例子，说明如何在某些特定情况下计算它。备注4.3。请注意，根据构造，参见（4.1），E[克|英尺]=E[克|英尺]。下面我们将使用第二种表示法。在下一个命题中，我们明确计算了命题2.3中定义的信息漂移。这个问题已经在[15]的第二章：“Grossissement Gaussien dela filtration Browninne”中进行了研究。类似的结果也出现在[27，推论3.3]中，其中使用了更复杂的发展，涉及Hida Malliavin微积分和Donsker deltafunctionals。[8，示例4.16]处理案例T=∞.提案4.4。设G如（4.1）所示，过程αG=（αGt，0≤ t<t）由αGt=Д（t）RTtД（x）dBRxRTtД（x）dx=Д（t）G给出- E[克|英尺]V[克|英尺]。（4.2）是指WR·：=BR·-R·αGxdx是G-布朗运动。此外，放大过滤G中R的动力学由dRt给出=a（t）Rt+a（t）+b（t）αGtdt+b（t）dWRt，0≤ t<t。（4.3）证明。根据（4.1），我们得到了G≈ N0，RTД（t）dt通过应用以下关系式[h（G）| Ft]=ZRh（G）P（G∈ dg | Ft），4线性类型信息14我们得出结论P（G∈ dg | Ft）是N的密度RtД（x）dBRx，RTtД（x）dx. 我们计算过程pg=（pgt，0≤ t<t），g∈ Supp（G），如下Pgt=P（G∈ dg | Ft）P（G∈ dg）=VuuttД（x）dxRTtД（x）dxexpgRTД（x）dx-g级-RtИ（x）dBRxRTtД（x）dx, （4.4）定义明确（见假设4.1），t为非零∈ [0，T）。因此，随机变量g满足Jacod的假设。将其应用于（4.4）微积分，我们得到dpgt=pgtД（T）g-RtД（x）dBRxRTtД（x）dxdBRt。

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可人4

2022-6-1 16:35:07

（4.5）然后将信息漂移计算为ZTDHBR、pGiFspGs-=ZtД（s）G-RsД（x）dBRxRTsД（x）dxds。由于保留了可预测的二次变化，我们得出结论，WRI实际上是一个G-布朗运动，结果如下。示例4.5。通过取φ（t）=1，得出G=BRT，我们得到了布朗桥的表达式，dBRt=BRT- BRtT公司- tdt+dWRt。示例4.6。取ψ（t）=ψt（bψ-1）（t），知情代理知道RTin（3.2）的随机部分，然后σ（G）=σ（RT）。我们得出结论，G=F∨ σ（RT）。在这种情况下，αRTt=bψ-1.（t） RTt（bψ-1）（x）dBRxRTt（bψ-1）（x）dx。如果利率由Ornstein-Uhlenbeck过程建模，如（2.3）所述，我们得到以下过程，αYTt=k/σsinh（k（T- t）（）(u - Yt）e-k（T-t）- (u - YT）. （4.6）4.1线性信息的对数价格在本小节中，我们计算G代理在对数效用下从（4.1）中定义的随机变量G的附加信息中获得的收益，即我们计算G在市场中产生的不对称值。我们仅针对对数效用和初始放大重新定义公式（2.5）。VHt：=supπ∈A（H）E[ln（Xπt）]=EhlnXπHti、 0个≤ t<t，H∈ {F，G}。（4.7）这允许确定G携带的额外信息的优势，即相对于仅使用F.4线性类型信息15定义4.7中可访问的信息构建的最优投资组合的预期价值的增量。

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kedemingshi

2022-6-1 16:35:10

过滤信息的对数价格G 时间t处的F，由下式给出VGt：=VGt- VFt。其中右侧的数量在（4.7）中定义。根据（3.19），使用由扩大过滤G建模的附加信息，我们得出对数效用下的最优策略为πGt=ηt- Rtξt+ρξtαGt，0≤ t<t。本节的结果令人惊讶地表明，G所携带的信息非常强大，即使它是指唯一的利率过程，也意味着一个不确定的价值。我们可以使用方程（3.10）和（3.16）计算最佳期望对数值。下面是SUPπ∈A（G）ElnXπtX=中兴通讯Rx+（ξxπGx）dx=supπ∈A（F）ElnXπtX+ρZtEhαGxidx，我们在那里使用了tower属性和factEαGt | Ft= E“Д（t）RTtД（x）dBRxRTtД（x）dx | Ft#=Д（t）RTtД（x）dxEZTtД（x）dBRx | Ft= 0 . （4.8）因此VGt=ρZtEhαGxidx。（4.9）提案4.8。如果ρ6=0，则VGt<+∞ 对于0≤ t<t。证据利用方程（4.9），我们只需要计算过程α是否在L（[0，t]，P×dt）之内。中兴通讯[（αGs）]ds=中兴通讯^1（s）RTsД（x）dxRTs^1（x）dBxRTsИ（x）dxds=ZtД（s）RTsД（x）dxds≤ZtД（s）RTtД（x）dxds=RTtД（x）dxZtД（s）ds<+∞ ,我们使用假设4.1。通过将时间T的对数价格定义为极限T→ T-, 我们得到VGT：=ρZTEhαGtidt。（4.10）提案4.9。如果ρ6=0，则VGT=+∞.5非线性类型信息16证明。使用命题4.8的行，中兴通讯[（αGt）]dt=ZTД（t）RTtД（x）dxdt=+∞ ,其中，我们通过将比较标准与散度函数1/（T）相结合，得到最后一步- t）如下所示，limt→T+Д（T）/RTtД（x）dx1/（T）- t） =限制→T+Д（T）（T- t） RTtД（x）dx=1- 2极限→T+（T- t） Д（t）Д（t）=1。在最后一步中，当t→ T-.备注4.10。前面的结果告诉我们，优化在时间T不是适定的，因此我们只能在T<T之前应用定理3.8。

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何人来此

2022-6-1 16:35:14

尤其是Gholds中的（FLVR）条件为true。5非线性类型信息在本节中，G-agent不像以前那样知道精确的信息，我们假设她只知道利率的最终值是否在某个设定值内。第4节开头所做的开发（为了给出过程αG的显式表达式）现在无效，因为此类信息与过程br不是线性的。让G：(Ohm, FRT）-→ （R，B（R））是L（FRT，P）内的一个FRT可测实随机变量，不一定是gaussian，其中B（R）表示Borelσ-代数。然后存在一个过程∈ L（dt×dP，F），使得可预测表示性质（PRP）成立，G=E[G]+ZTДt（ω）dBRt。我们在ω中规定了可能的相关性∈ Ohm. 让B∈ B（R）是一个子集，考虑以下PRP，{G∈B} =P（G∈ B） +ZTДt（B）dBRt，（5.1），其中通过可预测过程Д（B）=（Дt（B）：0≤ t型≤ T）我们表示Hilbert空间L（dt×P，F）中唯一的一个满足（5.1）的P（G）的任何固定b∈ B） >0。在下面的引理5.2中，我们证明了Д（·）是一个向量测度，关于向量测度理论的细节和一般背景，我们参考了[28]。我们将作出以下假设，以便将支配收敛定理应用于Д（·）。可以证明，在我们的示例中，这一假设成立。假设5.1。工艺φ：[0，T]×B（R）-→ L（dt×P，F）几乎肯定是有界的P。引理5.2。设置功能B-→ ^1（B），带B∈ B（R），是一个可数相加的L（dt×P，F）-值向量测度。证据

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可人4

2022-6-1 16:35:16

设{Bi}∞i=1 B（R）是满足B：=∪∞i=1Bi， = ∩∞i=1Bi。5非线性类型信息17通过【28，示例3】我们知道{G∈B} =P∞i=1{G∈Bi}在L（dt×P，F）中几乎肯定保持P。然后，{G∈B}=∞Xi=1{G∈Bi}=P（G∈ （B）+∞Xi=1ZTДt（Bi）dBRt=ZT∞Xi=1хt（Bi）dBRt。通过表示的唯一性、概率测度的可加性、It^o积分的线性性和支配收敛定理，我们推导出：Д（B）=P∞i=1Д（Bi），结果如下。注意，从（5.1）我们得到了p（G∈ B）（1）- P（G∈ B））=Eh{G∈B}- P（G∈ （B）i=E“ZTИt（B）dBRt#= EZTДt（B）dt= kД（B）k。我们应假设向量测度Д是有界变化的，即|Д（R）|<+∞ 根据【28，定义4】。在引理5.3中，我们陈述了HilbertValue随机测度ν的Radon-Nikodym导数。接下来，我们用PG表示由G引起的度量，即PG（·）=P（G∈ ·) 关于σ（G）。引理5.3。在之前的设置中，存在一个过程ψg=（ψgt，0≤ t型≤ T）带G∈ Supp（G）且在L（dt×PG）范围内，使得ψt（B）=ZBψgtPG（dg），B∈ B（R）。（5.2）证明。如果B∈ B（R）满足PG（B）=0，则随机变量{G∈B} P-几乎可以肯定等于零，通过PRP的唯一性，我们知道φ（B）=0，我们得出φ PGonσ（G）。我们通过应用[29，命题2.1]得到结果。We fix g公司∈ Supp（G），还不需要二进制。通过引理5.2和5.3，我们知道存在一个过程ψgsuch，{G∈dg}=PG（dg）+ZTψgsPG（dg）dBRs。（5.3）当G是纯原子时，PRP（5.3）被还原为{G=G}=P（G=G）+ZTψgsP（G=G）dBRs。（5.4）引理5.4。让G∈ L（FRT，P）是FRT可测的随机变量，过程αG=（αGt，0≤ t<t）由αGt给出：=ψGtpGt，（5.5）是这样的BR·-R·αGsds是G-布朗运动。证据

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何人来此

2022-6-1 16:35:21

与前面一样，我们计算过程pgt，其中g∈ Supp（G），pgt=P（G∈ dg | Ft）PG（dg）=E[{G∈dg}Ft]PG（dg）=PG（dg）+RtψgsPG（dg）dBRsPG（dg）=1+RtψgsPG（dg）dBRsPG（dg）。5非线性类型信息18从It^o意义上区分，我们得到dpgt=ψgtdBRtand最终得到thbr，pGiFspGs-=ZtψGspGs-ds。定理5.5。在前面的上下文中，如果G是二元随机变量，则αGt=ДtG- E[克|英尺]V[克|英尺]证明。请注意，G={G=1}，然后是Дt=Дt。利用{G=0}+{G=1}=1，我们得出结论，Дt=-^1t.使用thatE[克|英尺]=P（克=1 |英尺），V[克|英尺]=P（克=1 |英尺）（1- P（G=1 | Ft）），结果如下。5.1半有界间隔我们首先假设G-agent知道Rt是否小于或大于给定值C∈ R、为此，我们引入了随机变量A={RT≤ c} ，以及以下过滤EG=F∨σ（A）。该示例在[1]中提出，与风险资产相关。提案5.6。设A={RT≤ c} ，则αat=(-1） aψT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）P（A=A | Ft），A∈ {0,1}，t<t，（5.6），其中通过fRT | Rt（c | Rt）我们表示高斯密度，其参数在引理3.1中给出。证据利用（3.2）中给出的过程R的显式解，我们可以重写A给出的关于布朗运动BR的信息。注意{RT≤ c} =nZT（bψ-1）（t）dBRt≤ co，其中▄c=cψT- R-ZT（aψ-1）（t）dt。因此，过程αA=（αAt，0≤ t<t）满足以下关系：pAt=pAtαAtdBRt，pAt=P（A=A | Ft）P（A=A），A∈ {0, 1} .为{A=1}计算的A的条件概率质量函数可表示为高斯分布ΦasP（A=1 | Ft）=Φc-Rt（bψ-1）（x）dBRxqRTt（bψ-1）（x）dx.5非线性类型信息19通过It^o引理，我们可以计算其导数dP（A=1 | Ft）=-（bψ）-1）（t）qRTt（bψ-1）（x）dxΦc-Rt（bψ-1）（x）dBRxqRTt（bψ-1）（x）dxdBRt=-ψT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt，最终，dptpt=-ψT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）P（A=A | Ft）dBRt，我们得到了结果。

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大多数88

2022-6-1 16:35:25

大小写{A=0}在同一行上。备注5.7。设A={YT≤ c} ，Y在（2.3）中定义，则α在=(-1） aσe-k（T-t） fYT | Yt（c | Yt）P（A=A | Ft），A∈ {0，1}，t<t。推论5.8。随机变量{RT≤ c} 允许以下可预测表示{RT≤ c} =P（RT≤ c）-ψTZT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt。证据我们需要应用定理5.5和（5.3）给出的表示。示例5.9。如果c=E【RT | R】，则随机积分ψTZT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）DBRTI是一个纯原子分布，具有两个等概率的可能结果：-1/2和1/2。备注5.10。如果我们将同样的推理直接应用于随机变量{BRT≤ c} ，我们将得到以下表达式{BRT≤ c} =P（BRT≤ c）-ZTp2π（T- t）经验值-（c）- BRt）2（T- t）dBRt。应用命题2.3，我们得出结论，存在aeG布朗运动WRsuchthatdRt=a（t）Rt+a（t）+b（t）αdt+b（t）dWRt，t<t。上述表达式和第3.1小节的参数允许以命题3.2中出现的相同方式在信息流下写出投资组合的动态，但我们省略了这个结果。我们现在准备好陈述随机变量A的有限值。我们宁愿给出一个自包含的证明，而不是参考[2]中的结果。定理5.11。信息的价值V▄GTis有限公司。证据对于二元随机变量，利用定理5.5，我们得到了αG | Ft= 0且第4.1小节中的计算结果仍然有效，V▄GT=ρZTEhαGxidx。5非线性类型信息20那么，我们只需要计算过程αAis是否在L（dt×P，G）之内。通过重写αAti=EhαtP（A=0 | Ft）+αtP（A=1 | Ft）i，来自（5.6），并使用以下定义u（z，t）：=ψt（bψ-1）（t）V【RT | RT】Φ(-z） +(R)Φ（z）Φ(-z)z（r）：=（E[RT | RT=r]- c） /pV【RT | RT=r】（5.7）我们有EhαAti=E[u（z（Rt），t）]和E[u（z（Rt），t）]=pV[Rt | R]z∞-∞u（z（r），t）Φr- E【Rt | R】pV【Rt | R】！博士请注意，Φ（z）=1- Φ（z）。

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nandehutu2022

2022-6-1 16:35:28

用r（z）应用（5.7）中的变量变化=c- ψTZTt（aψ-1）（x）dxΨ-1t，T+zpV【RT | RT】ψ-1t，Ta（z）=r（z）- E[Rt | R]pV[Rt | R]，我们有E[u（z，t）]=ψt（bψ-1）（t）pV【Rt | R】V【Rt | Rt】Z∞-∞Φ（z）+Φ(-z）Φ(-z） Φ（a（z））dz≤√2πψT（bψ-1）（t）pV【Rt | R】V【Rt | Rt】Z∞-∞Φ（z）+Φ(-z）Φ(-z） dz公司=√2πψ（t）i这里我们用Φ（z）≤ 1/√2π，我们使用了以下定义，ψ（t）：=ψt（bψ-1）（t）pV【Rt | R】pV【Rt | Rt】（5.8a）bI：=Z∞-∞Φ（z）+Φ(-z）Φ(-z）dz。（5.8b）根据附录中引理A.1和引理A.2，bI以常数为界，函数ψ（t）可在[0，t]中积分。ThereforeZTEh公司αAtidt=中兴通讯[u（z（Rt），t]dt<∞信息的价值是有限的。备注5.12。在这种情况下，αA∈ L（dt×P，G），所以我们可以进行优化，直到问题适定。然而，使用[16，命题4.10和推论4.12]中的行，可以验证信息漂移α在G.5非线性类型信息215.2有界区间内产生（FLVR）条件。在本小节中，我们假设交易者知道RTI是否在某个有界区间内，即我们使用过滤G=F∨ σ（L）和L={c≤ RT公司≤ c} 。提案5.13。设L={c≤ RT公司≤ c} ，则αlt=(-1） lψT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）- fRT | Rt（c | Rt）P（L=L | Ft），L∈ {0，1}，t<t。备注5.14。设L={c≤ 年初至今≤ c} ，在（2.3）中定义Y，然后αlt=(-1） lσe-k（T-t） fYT | Yt（c | Yt）- fYT | Yt（c | Yt）P（L=L | Ft），L∈ {0，1}，t<t。（5.9）证明。证明遵循命题5.6中与之前相同的行。推论5.15。随机变量{c≤ RT公司≤ c} 接受以下表示{c≤ RT公司≤ c} =P（c≤ RT公司≤ c）- ψTZT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt+ψTZT（bψ-1）（t）fRT | Rt（c | Rt）dBRt。最后，我们得出以下结论。定理5.16。信息的价值VGTis文件。证据在类似的框架中，可以参考[16，定理4.9]中的证明。

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大多数88

2022-6-1 16:35:32

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何人来此

2022-6-1 16:35:35

LetbG如（5.10）所示，然后是αgt=(-1） g级√T- t P（bG=g | BRt）+∞Xk公司=-∞Φ2公里- 快速公交√T- t型- Φ2公里- 1.- 快速公交√T- t型!,使用0≤ t<t，g∈ {0，1}和更明确的αgt=√T- tP+∞k级=-∞Φ2公里-快速公交√T-t型- Φ2公里-1.-快速公交√T-t型P+∞k级=-∞Φ-2公里-快速公交√T-t型+ Φ2公里-1.-快速公交√T-t型当g=0时，√T- tP+∞k级=-∞Φ2公里-1.-快速公交√T-t型- Φ2公里-快速公交√T-t型P+∞k级=-∞Φ2公里-快速公交√T-t型- Φ2公里-1.-快速公交√T-t型当g=1时。（5.11）其中Φ表示标准高斯随机变量的分布。最后，我们得出以下结论，与前面的例子相反，在这种情况下，不存在套利的可能性。定理5.19。信息的价值VbGTis定义和（NFLVR）条件保持不变。证据an（ELMM）的存在性遵循[16，定理4.16]。在同一声明中，证明αbG验证了Novikov的条件，尤其是αbG∈ L（dt×P，G）。备注5.20。该示例的重要性在于，它构成了过滤的扩大，保持了（NFLVR）inbG的性质，仅满足[0，T]中绝对连续性的Jacod假设和[0，T]中的等价性。有关第一类套利的类似讨论，请参见[30]。6个数值例子236个数值例子为了澄清之前的计算，我们给出了一些数值例子。我们确定时间范围T=1，为了模拟随机过程，我们将时间间隔离散化为100步，称为交易周期。对于资产的动态，我们将市场系数设置如下，dDt=DtYtdt，dSt=St0.05 dt+0.3 dBSt,其中，对于所有0，我们施加了值ηt=0.05和ξt=0.3≤ t型≤ 1、进程B=（BSt，0≤ t型≤ 1）是标准的布朗运动。

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mingdashike22

2022-6-1 16:35:38

关于利率，我们假设Y=（Yt，0≤ t型≤ 1）是由以下SDE驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程，dYt=0.1（0.125- Yt）dt+0.3 dBYt，Y=0.005，其中我们选择了参数，k=0.1，u=0.125，σ=0.3。进程BY=（BYt，0≤ t型≤ 1）标准布朗运动满足E吗BStBYt公司= ρ、其中，常数ρ暂时未指定。我们的模拟中考虑了三个信息不对称的不同交易者。第一位投资者是自然投资者，她利用自然过滤F={Ft，0≤ t型≤ 1} 生成人（BS，by）。第二个是部分知情的，她用随机变量L={c放大过滤≤ Y≤ c} ，即过滤G=F∨ σ（{Y∈ （c，c）}）。第三个有关于时间范围内利率值的精确信息，她用G=F∨σ（Y）。在本节中，我们只使用对数效用，U（x）=ln x。我们要提醒的是，优化问题的公式是vh=supπ∈A（H）E[ln Xπ]，X=1，H∈ {F，G，G}。根据前面几节中提出的论点，我们知道解决前面优化问题的最佳组合如下，πFt=0.05- Yt0.3πGt=0.05- Yt0.3+ρ0.3αLtπGt=0.05- Yt0.3+ρ0.3αYt，其中α定义于（5.9）和αYin（4.6）。我们模拟了资产（D，S）的100条轨迹，并用（D（k），S（k））表示，其中k∈ {1, 2..., 100}. 我们用k计算每个信息水平πHt（k）的最优策略∈ {1，2…，100}和H∈ {F，G，G}以及根据（3.10）计算的相应效用增益lnxπH（k）。表1显示了一个结果摘要，其中使用过滤F、G和G的代理分别表示为自然、间隔和精确。

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大多数88

2022-6-1 16:35:41

行增益指100模拟的平均增益，即增益（H）=Xk=1ln XπH（k）。为了量化代理在每一级信息中接受的风险，我们计算^πt（H）=maxk{πHt（k）}-水貂{πHt（k）}，0≤ t型≤ 16个数值例子24，我们给出了四分位数和^π（H）的范围。为了说明相关性在我们的设置中的重要性，我们在表1中比较了不同ρ值的最优投资组合和效用∈ {0.75, 0.25, -0.75}. 自然因素只出现一次，因为她的结果不依赖于ρ的值。对于区间代理，我们假设区间（c，c）等于（0.3* Y、 1.7* Y）或者，换句话说，投资者不知道利率的正确最终值，但总是知道利率周围的一个区间，而该区间的边界是利率值的±70%。ρ = 0.75 ρ = 0.25 ρ = -0.75自然层段精细层段精细层段精度0.13 1.88 4.07 0.47 0.77 1.95 4.30Q（πG）9.03 15.06 21.05 11.04 11.11 12.25 20.68Q（πG）11.16 20.18 22.66 14.04 13.59 14.61 24.23Q（πG）16.66 23.81 29.10 18.11 18.56 19.53 29.84范围（πG）21.92 73.11 101.80 27.42 37.43 105.85 127.28表1：具有差异的结果ρ相关的不同值。对于表1中出现的数据，我们在图1中绘制了maxk{πHt（k）}和mink{πHt（k）}的值。在图2中，我们绘制了每次效用增益的平均值，ln XπHt=Xk=1ln XπH（k）。注意增益（H）=\\lnxπH。我们只显示ρ=0.75和ρ=0.25的情况，因为与ρ=-0.75与ρ=0.75非常相似。图1：自然交易者为黑色，区间1为中间灰色，精确区间为浅灰色。我们绘制了maxk{πHt（k）}和maxk{πHt（k）}。模拟结果表明，如果布朗运动与BY强相关，则对数效用增益更大。

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kedemingshi

2022-6-1 16:35:44

如果相关性为负，代理可以获得相同的收益，因为允许对风险资产进行投资。研究还表明，如果投资者拥有更准确的信息，她会通过进行风险更高的投资获得更多收益。7结论25图2：自然交易者为黑色，区间1为中间灰色，精确区间为浅灰色。我们比较了ρ=0.75（左）和ρ=0.25（右）的对数增益平均值。在表2中，我们确定ρ=0.75，并研究了过滤G的区间信息。我们假设该区间始终为以下形式（c，c）=（（1- v） Y，（1+v）Y），0<v<1。每当v接近0时，区间代理的行为与精确代理的行为更相似，因为herinformation更精确，而当v接近1时，she播放与自然代理相似，因为她的信息更不精确。我们再次省略ρ=-0.75.ρ=0.75v=0.1 v=0.25 v=0.5 v=0.75 v=2获得4.65 3.55 2.47 2.03 3.14Q（πG）24.18 20.29 17.83 16.63 12.79Q（πG）26.27 25.24 24 24 24.51 20.63 16.41Q（πG）34.49 38.61 28.89 29.35 21.90范围（πG）139.72 107.97 70.33 65.98 41.54表2：区间信息不同值的结果。7结论在本文中，我们展示了如何在投资组合中包含随机利率过程的预期信息，以及如何确定修改后的最优策略。为利率选择的模型是一个通用的差异，一个允许进行完整分析的类，尤其包含Vasicek模型中使用的Ornstein-Uhlenbeck过程。附加信息的模型是在线性类型信息类中选择的。在这些假设下，根据不同类型的公用事业计算最优投资组合，即：对数、CRRA和指数。

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