为了建立（4.21）中的第一个不等式，必须考虑φ（t）>0和ym（t）>0和{t≤ γ、 t<t}；否则，不等式可满足u>0。在这种情况下，根据（4.7）和（4.11）中a和m的定义，即m（t，ym（t），p）=1，且p>0，我们得到φ（t）κG（t）πmt=pσφ（t）κG（t）（u- φ（t）ym（t））=1- a（t，ym（t），p）=1- （1+ym（t））-p> 0，不等式如下。（4.21）中的第二个不等式源自ym的非负性。最后，在{t≤ γ、 t<t}，我们有πmt=pσ（u- φ（t）ym（t）），当且仅当φ（t）ym（t）=0时，这等于upσ。根据ymand（4.23）的非负性，这相当于φ（t）=0。（b） ：不等式（4.22）源自定理b.5（注意ym=y*对于p≤ 1 andym=y*对于p≥ 1). 如果G（T）=0。如果G（T）>0，推论B.4表明limt↑↑Tφ（T）（y*（t）- y*（t） ）=0，因此更严格限制↑↑Tφ（T）（ym（T）- ^y（t））=0*≤ ^y≤ y*通过定理B.5在[0，T]上进行证明。这就完成了证明。下面是几条注释。注释4.5。定理4.2表明，最优策略^π通常是根据积分方程（或常微分方程）的解给出的. 相比之下，为了找到最佳策略的短视需求，需要为每个t求解一个方程。备注4.6。我们对连续时间短视需求的解释表明，对冲需求在时间范围T应接近0，这在对G的非常温和的技术假设下是正确的。对冲需求行为的经济解释如下。泡沫破裂后，该模型的行为类似于Black-Scholes模型，具有瞬时预期回报u和瞬时连续方差σ。在坠机之前，瞬时预期回报率仍然为u，但由于单个跳跃分量MGφ，回报的总瞬时方差超过σ。

因此，任何厌恶风险的投资者都会青睐Black-Scholes市场，而不是我们的市场（事实上，下面定理4.7中我们市场交易的确定性等价物显示了Black-Scholes确定性等价物的合理性）。泡沫破裂得越晚，投资者投资布莱克-斯科尔斯市场的时间就越短。因此，如果泡沫提前破裂，对投资者有利；如果泡沫晚破裂或从不破裂，则对投资者不利。相对风险厌恶度高（p>1）的投资者利用非负对冲需求πh对冲泡沫的后期破裂。事实上，如果泡沫提前破裂，他们损失的钱比他们只是短视地进行投资，并且仅在短时间内从（非负的）崩溃前瞬时超额回报φ中获利要多。然而，在泡沫破裂较晚或从未破裂的不利情况下，他们通过投资超过短视的需求，显著受益于（非负的）崩溃前瞬时超额回报φ；这补偿了他们在无泡沫市场上仅剩的一小部分时间。相对风险厌恶度较低（p<1）的投资者会利用非正面对冲需求πm来推测泡沫的早期破裂。事实上，泡沫的早期破裂在两个方面对他们有利。首先，如上所述，他们可以在崩盘后的更长时间内投资于无泡沫市场。其次，在股市崩盘时，他们的损失（甚至在套期保值需求超过绝对价值的短视需求而产生空头头寸的情况下获得的收益）比他们只是短视投资的损失要少。

然而，如果泡沫破裂较晚或从未破裂，则适当的策略表现比短视的需求差，因为它们明显低于崩溃前的瞬时超额回报φ。在对数效用的极限情况下（p=1），投资者既不对冲也不推测崩溃的时间；他们的最佳策略等于短视的需求，反映了众所周知的事实，即原木投资者的行为短视。此外，方程m（t，y（t），1）=1简化为y（t）中的二次方程，其唯一解为y>-如果φ（t）=0，则由^y（t）=0得出1，并且^y（t）=2φ（t）u- φ（t）- σκ（t）φ（t）+su - φ（t）- σκ（t）φ（t）+ 4uφ（t）！如果φ（t）>0.4.5确定性当量，我们继续计算最优策略的确定性当量^π。定理4.7。如果p=1，则市场交易的确定性等价物为isU-1.EU（X^πT）= x扩展u2σT×经验值-ZTφ（u）^y（u）2σ（1- G（u））du×经验值-ZT公司对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du. （4.24）如果p 6=1，则市场交易的确定性等价于isU-1.EU（X^πT）= x扩展u2pσT×m（0，^y（0），p）-p1-p、 （4.25）（4.24）中的不同因素具有明确的经济解释。第一个是Black-Scholes模型中默顿比例|σ的确定等效性。下面的证明表明，第一个因子和第二个因子的乘积是Black-Scholes模型中策略^π的确定性等价物，因此，第二个因子单独描述了Black-Scholes模型中交易策略^π（而不是|σ）所导致的相对确定性等价物损失。

最后，第三个因子表示由于存在单跳跃分量mgφ而导致的确定性等效损失。在一般电力公司的情况下，（4.25）中的第一个因素再次是Black-Scholes模型中默顿比例upσ的确定性等价物，第二个因素描述了由于与Black-Scholes模型中的策略^π交易以及由于存在单跳跃分量MGφ而导致的组合相对确定性等价物损失。定理4.7的证明。首先，假设p=1。通过对财富过程的定义以及（ut+σWt）t∈[0，T]是连续半鞅，MGφ是纯间断鞅，XπT=xETZ·^πudRu= xET公司Z·^πud（uu+σWu）ET公司Z·^πudMGφuP-a.s.（4.26）我们首先计算（4.26）右侧第一个因子的对数的期望值；这正好对应于投资者通过采用标准Black-Scholes模型中的策略^π获得的效用。AsR·∑^πudwu是一个平方可积鞅，由（4.14）和（B.16）中的^π定义，给出了一个标准计算日志ET公司Z·^πud（uu+σWu）= E“2σZTu- φ（u）^y（u）{u≤γ、 u<T}du#=u2σT-ZTφ（u）^y（u）2σ（1- G（u））du。为了计算第二个因子的对数的期望值，我们首先注意到，根据MGφ的动力学，ZT^πudMGφu=Zγ′π（u）φ（u）du- π（γ）δ（γ）1{γ<T}P-a.s.，其中π（u）：=Pσu - φ（u）^y（u）1{u<T}, u∈ [0，T]。

根据随机指数公式，ETZ·^πudMGφu= expZT{u<γ}π（u）φ（u）du！1.- π（γ）δ（γ）1{γ<T}P-a.s.因此，使用（2.6）、（4.7）和（4.11）中δ、a和m的定义，’π的定义，以及m（t，^y（t），1）的事实≡ 1乘以（4.18）（因为^π=πmfor p=1乘以定理4.4（b）），对于v∈ [0，T），1- π（v）δ（v）=1- π（v）φ（v）κG（v）=a（v，^y（v），1）=m（v，^y（v），1）1+^y（v）=1+^y（v）。以上以及κGin（2.1）的定义和1.- π（γ）δ（γ）1{γ<T}=日志（1- π（γ）δ（γ））1{γ<T}给定日志ET公司Z·^πudMGφu=ZT'π（u）φ（u）（1- G（u））du+ZTlog1+^y（u）G（u）du=ZTπ（u）φ（u）κG（u）+对数1+^y（u）G（u）du=-ZT公司对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du。将所有内容放在一起建立（4.24）。其次，假设p 6=1。然后，最优性条件（OC1）和（OC2）以及（4.17）yieldE中的^z定义UX^πT=1.- 佩赫X^πT1.-pi=1- 体育课X^πTUX^πT=1.- pE“X^πT^zd^QdP#=^z1- pE^QX^πT= ^z1- px=x1-p1级- pexp(1 - p） u2pσTm（0，^y（0），p）-p、 4.6数值说明在本节中，我们使用数值说明来回答以下四个问题：（1）模型参数的变化如何影响最优策略及其短视和享乐需求？（2） 最佳策略是否会涉及卖空或投资超过默顿比例？（3） 最优策略是否从根本上区分了价格过程是否是对偶极小值^Q下的严格局部鞅？（4） 与Black-Scholes模型中的最优投资相比，我们模型中的交易福利损失有多大？福利损失如何取决于模型参数的变化？回想一下，泡沫破裂后，最好保持股票中财富upσ（默顿比例）的恒定比例。

因此，我们关注的是崩盘前的最优策略，所有交易策略图都显示了投资于股票的财富的最佳比例随时间的变化，因为泡沫尚未破裂。时间范围始终为T=1。对于问题（1）和（4），我们使用跳跃时间的切变指数分布（特别是在正概率情况下，泡沫不会发生burston[0，T]）和恒定的瞬时碰撞前超额收益φ（T）=α，用于α的不同选择∈ (0, 1); 参见表4.1、4.2和4.5的标题。为了显示与问题（2）和（3）相对应的效应，我们使用其他瞬时崩盘前超额收益和/或[0，T]上的均匀分布作为跳跃时间（在此情况下，泡沫几乎肯定会在[0，T]上破裂）；参见表4.3和4.4。（1） 近视和对冲需求的比较静态。定理4.4指出，对冲需求的符号πhis由投资者的相对风险厌恶度p决定。因此，我们提供了高风险厌恶度（p>1）和低风险厌恶度（p<1）的例子。对数效用的极限情形（p=1）总是导致套期保值需求消失，因此最优策略等于短视需求。结果表明，最优u=0.05、0.1、0.2、0.3σ=0.1、0.2、0.3、0.4α=0.1、0.2、0.4、0.8t∏ttt∏ttt的定性行为表4.1：高相对风险规避的最优策略（顶行）、近视需求（中行）和对冲需求（底行）（p=4）；线条强度对应于每列标题中给出的参数大小（虚线表示最小值等），默认参数为u=0.1、σ=0.2和α=0.2。

设置为T=1，G（T）=1- 经验值(-t） ，且φ（t）=α；特别是，相对跳跃大小为δ（t）≡ α.这种情况下的策略与p 6=1时最优策略的近视需求行为非常相似。因此，对于p=1的情况，我们省略了插图。表4.1和4.2描述了崩盘前的最佳策略，以及其分解为针对u、σ和α的各种选择的短视和对冲需求。回想一下，α是一个参数，分别用于描述高（p>1）和低（p<1）风险厌恶的股票价格过程S的相对跳跃大小。短视需求在瞬时预期收益率u上增加，在瞬时连续波动率σ和相对跳跃大小α上减少。注意，近视部分在表4.1和4.2中是恒定的。这是因为确定近视需求的方程式（4.18）与我们选择G和φ的时间t无关。一般来说，近视需求不必是恒定的（参见表4.3）。然而，对冲需求的定性行为在很大程度上取决于相对风险厌恶。在高风险厌恶（p>1）的情况下，套期保值需求总是非负的，并且具有与近视需求相同的单调性。在低风险厌恶（p<1）的情况下，套期保值需求是非正的，套期保值需求的单调性不再与近视需求的单调性一致。事实上，它以u为单位减小（绝对值增大），以σ为单位增大（绝对值减小），以α为单位呈“U形”。（2） 卖空和投资超过默顿比例。最优策略包括卖空，当且仅当投资者的相对风险厌恶p小于1且（非正）对冲需求在绝对值上超过（非负）近视需求时；参见定理4.4之后的讨论。

表4.2显示，空头交易被“良好”的后崩溃投资机会放大，即低σ和高u。对于高相对风险规避（p>1），近视u=0.05，0.1，0.2，0.3σ=0.1，0.2，0.3，0.4α=0.1，0.2，0.4，0.8t-5∏tt-5t-5∏tt-5t-5∏tt-5表4.2：与表4.1中的图相同，但相对风险规避较低（p=0.25）。套期保值需求总是非负的（根据定理4.4）；因此，最优策略从不涉及卖空。最优策略目光短浅的需求对冲需求dt∏t∏t∏表4.3：在极端情况下，崩盘前的最优策略（实心，左面板）可能位于默顿比例（虚线）之上。中间和右侧的面板分别显示了相应的近视和对冲需求。设置为T=1，G（T）=1-经验值(-t） ，φ（t）=0.2t。参数为u=0.3、σ=0.05和p=4。当p>1时，最优策略可能位于默顿比例之上（表4.3）。首先，这可能令人惊讶，因为由于存在额外的单跳分量，我们模型的瞬时方差高于相应的Black-Scholes模型。然而，仔细观察，这种影响可以解释为时间0时的高近视需求和接近时间0时有效增加的对冲需求的组合。最优策略近视需求对冲需求0.5∏t0.5∏t0.5∏表4.4：最优策略没有定性区分S是严格局部鞅还是对偶极小值^Q下的真鞅。设置为T=1，G（T）=T，φ（T）=α（1-t型-1); 特别是，相对跳跃大小为δ（t）=αt。实线对应于α=1，其中S是^Q下的严格局部鞅，虚线对应于α=0.7，其中S是^Q下的真鞅。虚线表示默顿比例。

参数为u=0.1、σ=0.2和p=4。（3） 严格局部鞅与真鞅。投资者的最优策略似乎没有明确区分双重极小值^Q下的严格局部鞅和真实鞅的资产价格。表4.4中的实线说明了在s是双重极小值^Q下的严格局部鞅的情况下，最优策略及其分解为短视和对冲需求（事实上，在通过定理3.4在附加条件（3.18）下获得的任何ELMM Q下）。对于α=1，表4.4的设置与示例3.7一致。然而，对于任何α∈ [0，1），股票价格过程S是^Q下的真鞅（根据定理3.6），表4.4中的虚线描述了最优策略及其分解为α=0.7的近视和对冲需求。图表表明，最优策略的定性行为非常相似。事实上，最优策略收敛（数值）为α↑ 1.（4）与布莱克-斯科尔斯模型相关的福利损失比较静态。根据定理4.7，在Black-Scholes模型中加入一个跳跃分量会减少市场交易的确定性等价物。我们旨在分析模型参数对这种福利损失的影响。比较不同市场的一个自然量是等效安全率。如果CE表示在初始资本为X且时间范围为T的市场中交易的确定性等价物，则等效安全率定义为唯一解r：=ESR，方程xerT=CE。换言之，投资者在这个市场交易和获得初始资本的安全年化回报率r之间没有差别。设CEBS=x expu2pσT表示在Black-Scholes市场交易的确定性等价物。

相应的等效安全率由ESRBS=Tlog给出CEBS/x=u2pσ。表示CE在（4.24）和（4.25）中给出的市场交易确定性等价物，在不同的设置下，[15]稍微不同地定义等效安全率：他们将“长期”等效安全率视为↑ ∞.p=0.25 p=1 p=4ΜrESRLΜrESRLΜrESRL∑rESRL∑rESRL表4.5：α=0.1（虚线）、α=0.2（虚线）、α=0.4（虚线）和α=0.8（实线）的相对等效安全率损失（rESRL）对u和σ的依赖性。设置为T=1，G（T）=1- 经验值(-t） ，且φ（t）=α。参数为σ=0.2（顶行）和u=0.1（底行）。相应的等效安全率由ESR=Tlog（CE/x）=ESRBS给出-（p1-pTlog m（0，^y（0），p），如果p 6=1，TRTφ（u）^y（u）2σκG（u）+对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du，如果p=1。（4.27）为了提高不同参数集的可比性，我们认为相对等效安全率损失rESRL=1-ESRBS以下；与在Black-Scholes市场交易相比，这是我们市场交易损失的相对衡量标准。由（4.27）可知，RESRL=2σu×p1-pTlog m（0，^y（0），p），如果p 6=1，TRTφ（u）^y（u）2σκG（u）+对数（1+^y（u））-^y（u）1+^y（u）G（u）du，如果p=1。表4.5说明了rESRL对模型参数u和σ以及描述股价过程S相对跳跃大小的参数α的依赖性。在p=4的情况下，rESRL在α中增加，在σ中减少，而在u中几乎保持不变。这是因为随着α的减小或σ的增大，差异部分相对于跳跃部分变得越来越占主导地位，因此我们的模型越来越像Black-Scholes模型。在p=0.25的情况下，依赖关系就不那么清楚了。一方面，如果u是su ficientlysmall和/或σ是su ficiently large，则rESRL在α中增加。

原因是，在这种情况下，如上所述（参见表4.2），最佳策略不涉及卖空。因此，α越高，泡沫破裂时的损失越大，因此投资者的跳跃幅度越小越好；这意味着rESRL在α中增加。另一方面，如果u足够高和/或σ足够低，因此最优策略涉及在相当长的时间内大量空头头寸，那么当泡沫破裂时，投资者的财富很可能会增加。在这种情况下，投资者倾向于更大的跳跃规模；换句话说，rESRL在α中减少。一个有趣的观察结果是，对于较小的σ，即当跳跃部分主导差异部分时，相对风险厌恶程度较低的投资者仅损失其ESR的一小部分，而不是投资于黑市-斯科尔斯市场。相反，相对风险厌恶程度高的投资者在其ESR中面临着巨大的损失，因为σ很小。这是由于相对风险厌恶程度较低的投资者有卖空机会；参见定理4.4之后的讨论。过滤的变化从第2节中可以看出，（原始）过滤FW=（FWt）t∈[0，T]，Fγ=（FγT）T∈[0，T]，F=（Ft）T∈[0，T]由FWt=σ（Wu：0）定义≤ u≤ t） ，Fγt=σ{γ≤u} ：0≤ u≤ t型, Ft=σFWt，Fγt, fw和Fγ在P下是独立的。以下技术结果的关键信息是，（局部）Fγ-鞅不仅在P下而且在某些等价测度Q下都是（局部）F-鞅≈ P下，fw和Fγ不再独立。引理A.1。设函数k:[0，T]→ 形式为k（t，v）=^k（t）+71k（t）1{t≤v、 t<t}，其中^k，^k∈ L[0，T]。

集合Y：=ER·k（u，γ）dWu设Zbe为Z=1的正Fγ-鞅。（a） 设Ybe为Fγ适应的cádlág过程。（i） 以下是等价的：Yis是Fγ鞅；Yis是F-鞅；yy是F-鞅。（ii）如果yi是局部Fγ-鞅，那么Yand和yy是局部F-鞅。（b） 定义Qγ，Q≈ FTbydQγdP=Zt和Dqdp=YTZT上的P。设X2，qa为FγT可测随机变量，Y2，qa为Fγ适应的cádlág过程。（i） X2，Qis Q-可积当且仅当它是Qγ-可积的，在这种情况下，EQX2，QFs公司= 等式γX2，QFγsP-a.s.，s∈ [0，T]。（A.1）（ii）Y2，Qis A（平方可积）（Qγ，Fγ）-鞅当且仅当它是A（平方可积）（Q，F）-鞅。（iii）如果Y2，Qis是局部（Qγ，Fγ）-鞅，那么它也是局部（Q，F）-鞅。证据首先，我们证明了FγT-可测随机变量Xis可积的充要条件是YTXis是so，在这种情况下，EYTX公司Fs公司= YsE公司十、FγsP-a.s.，s∈ [0，T]。（A.2）通过线性，我们可以假设Xis为非负。然后，对于s=0，第一个断言来自（A.2）。建立（A.2），FIX s∈ [0，T]并设置Cs：={C=CW∩{γ ≤ u} ：CW∈ FWs，u≤ s} 。然后Csi是Fs的交闭生成元，通过（A.2）两侧的Fs可测性、Ys的正性和单调类参数，可以证明YTYsXC公司= EE十、FγsC对于所有C∈ 铯∪ {Ohm}. （A.3）建立（A.3），用于固定v∈ [0，T]，设置Y1，v=ER·k（u，v）dWu. 根据k和Novikov条件的假设，每个Y1都是Y1，v=1的正F鞅，因此满足“Y1，vTY1，vsA#=E[1A]，s∈ [0，T]，A∈ Fs。（A.4）注意，Y：=zs的（A）（i）表明YZ是YZ=1的正F-鞅。此外，通过FγT=σ（γ）和W的独立性，单调类变元和（a.4），EYTYs公司FγT= E“Y1，vTY1，vs#v=γ=1 P-a.s.，s∈ [0，T]。

（A.5）现在，（A.3）对于C=Ohm 根据Xand（A.5）viaE的FγT可测性YTYsX公司= EEYTYs公司FγT十、= E十、= EE十、Fγs.如果C=CW∩ {γ ≤ u} ，其中CW∈ FWS和u≤ s、 然后YT/Ys=Y1,0T/Y1,0son C，因为t>v时，k（t，v）=^k（t）=k（t，0）。此外，Y1,0T/Y1,0scw是可测量的，X{γ≤u} 和E十、Fγt{γ≤u} FγT可测量。这就是fw和FγT的独立性，以及（A.4）forA=CWyieldEYTYsXC公司= E“Y1,0TY1,0sXC#=E”Y1,0TY1,0sCW#EX{γ≤u}= E【1CW】EE十、Fγs{γ≤u}= EE十、FγsCW{γ≤u}= EE十、FγsC.其次，我们建立（a）。根据证明的第一部分，X：=YTis可积当且仅当是，在这种情况下，E年初至今Fs公司= YsE公司年初至今FγsP-a.s.，s∈ [0，T]。（A.6）当Ys>0 P-A.s.，（A.6）表明yi是Fγ鞅当且仅当yy是F-鞅，并且对于Y≡ 1（即，对于k≡ 0），这意味着yi是Fγ鞅当且仅当它是F鞅。所以我们有（i）。为了建立（ii），让τ是一个[0，T]值的Fγ-（和一个更大的F-）停止时间。然后根据Y的F-鞅性质（遵循Novikov条件和k上的假设）和（A.2），对于X=| Yτ|和s=0，EYτ| Yτ|= EE年初至今Fτ|Yτ|= EEYT | Yτ|Fτ= EYT | Yτ|= E|Yτ|.这意味着YτYτ是可积的当且仅当Yτ是可积的。现在，如果停止的过程（Y）τ是Fγ-鞅，则根据Y的F-鞅性质，Fγ-鞅性质为（Y）τ，并且（A.2）对于X：=（Y）τT，对于s∈ [0，T]，EYτYτ{τ>s}Fs公司= EE年初至今Fτ∨sYτ{τ>s}Fs公司= EEYTYτ{τ>s}Fτ∨sFs公司= EYT（Y）τTFs公司{τ>s}=YsE（Y） τTFγs{τ>s}=（Y）τs（Y）τs{τ>s}P-a.s。因此，（Y）τ（Y）τ是F-鞅，因为（Y） τT（Y）τTFs公司= YτYτ{τ≤s} +EYτYτ{τ>s}Fs公司= （Y） τs（Y）τsP-a.s.Y≡ 1（即，对于k≡ 0），这也意味着（Y）τ是F-鞅。所以如果（τn）n∈Yin Fγ的Nis定位序列，也是Yand YYin F和wehave（ii）的定位序列。最后，我们建立（b）。对于（i），设置X=ZTX2，Q。

然后根据Bayes定理（A.2），对于s=0，再次使用Bayes定理，公式|X2，Q|= EP公司YTZT | X2，Q|= EP公司YT | X|= EP公司|X个|= EP公司ZT | X2，Q|= 等式γ|X2，Q|,这表明X2，Qis是Q可积的当且仅当它是Qγ可积的。现在，相同的参数使用（A.2）生成（A.1）一般的s∈ [0，T]。对于（ii）和（iii），集Y=ZY2，Q。然后根据贝叶斯定理，Y2，Qis a（局部）（Qγ，Fγ）鞅当且仅当Yis a（局部）（P，Fγ）-鞅。同样，根据贝叶斯定理，Y2，Qis a（局部）（Q，F）-鞅当且仅当yy是a（局部）（P，F）-鞅。现在，（ii）和（iii）根据（a）（i）和（ii）使用（Y2，QT）是Q可积的当且仅当它是Qγ可积的；这是从（A.1）中得出的，对于s=0和X2，Q=（Y2，QT），使用了一个事实，即一个时间范围上的鞅是平方可积的，当且仅当它在最后时刻是平方可积的。B分析结果本节的主要目的是说明积分方程（4.13）解的存在性和唯一性。我们首先需要几个准备结果。ODE的存在结果。让y∈ C[0，T）和U：{（T，y）∈ [0，T）×R:y>y（T）}。Letf:U→ R是一个连续函数，在其第二个变量中局部为Lipschitz。我们考虑了普通微分方程（ODE）y（t）=f（t，y（t）），t∈ [0，T）。（B.1）A函数y∈ y>y的C[0，T）称为（B.1）ify（T）的后向上（下）解≤ (≥) f（t，y（t）），t∈ [0，T）。如果函数y同时是后向上解和后向下解，则称其为（B.1）的解。备注B.1。我们定义了后向上解和后向下解，无需初始条件。此外，请注意，我们称之为后向上解和后向下解的解在[42]中称为左上下解。此外，在[42]中，考虑了严格（而非弱）不等式。

但由于我们要求f在其第二个变量中是局部Lipschitz连续的，所有结果也适用于弱不等式（见[42，推论VIII.9]）。下面的结果通过反向上下解的存在性给出了ODE（B.1）解的存在性。U=[0，∞) ×R可以在[42，定理和备注XIII.9]中找到，并且可以很容易地检查参数是否继续到我们的设置中。引理B.2。让y*, y*∈ C[0，T）带y*≤ y*. 假设y*是向后较低的安迪*（B.1）的后向上解。然后存在一个解y∈ C[0，T）至（B.1），带Y*≤ y≤ y*.辅助函数的属性。我们收集了（4.7）、（4.10）、（4.11）和（4.12）中定义的辅助函数a、b、m和n的一些分析性质。若并没有冲突的危险，我们就不再依赖于符号中的p。很容易检查a、b、m、n∈C（[0，T）×[-1.∞) ×(0, ∞)) ∩C1,2,1（[0，T）×(-1.∞) ×(0, ∞)). 为了进一步的参考，我们注意到了StraightForward恒等式ya（t，y）=pσφ（t）κG（t）≥ 0，（B.2）ym（t，y）=（1+y）ppa（t，y，p）1+y+ya（t，y，p）≥pm（t，y，p）1+y，（B.3）yn（t，y）=κG（t）pa（t，y，p）+（1+y）ya（t，y，p）≥pκG（t）a（t，y，p），（B.4）n（t，y）=-1.- p2pσu+1- p2pσ（φ（t）y- u）+pκG（t）（b（t，y，1）-1). （B.5）根据积分方程（4.13），我们对函数不正的区域感兴趣。为此，定义函数y：[0，T）→ [-1.∞) byy（t）：=(-如果φ（t）=0，最大值为1-1，uφ（t）- pσκG（t）φ（t）如果φ（t）>0。（B.6）利用κGis连续且在[0，T]上为正，不难检查y∈ C[0，T）.SetU={（T，y）∈ [0，T）×R:y>y（T）}。（B.7）然后通过定义y，（B.3）和（B.4），a（T，y），m（T，y），ym（t，y），yn（t，y）>0，（t，y）∈ U、 （B.8）隐式函数结果。以下反函数类型结果是后续分析的基础。

特别是，它在定理B.5中用于构造ODE（B.1）的后向上和后向下解。回顾（B.6）中y的定义。引理B.3。修复p∈ (0, ∞). 让f∈ f（T）>0，T时的C[0，T]∈ [0，T）。然后存在唯一函数y∈ C[0，T），y>y，使得m（T，y（T））=f（T）。（B.9）此外，如果limt↑↑Tf（t）=1，则存在常数 ∈ （0、1）和C≥ 1以便 ≤ 1+y（t）≤ C+Cφ（t）{κG（t）<Cφ（t）}，t∈ [0，T）。（B.10）在这种情况下，如果加上RT |φ（u）y（u）| du<∞, THNZT公司{G（T）>0}κG（u）（1+y（u））du<∞. （B.11）证明。首先，对于固定t∈ [0，T），by（4.11）和（B.3），y 7→ m（t，y）是连续的且在y（t）上递增，∞) m（t，y（t））=0且limy→∞m（t，y）=+∞. 因此，存在一个独特的函数：[0，T）→ 满足y>y的R（B.9）。此外，y∈ C（0，T）的隐函数定理。第二，对于固定t∈ [0，T），我们声称≤ （2f（t））pifφ（t）≤pσ2uκG（t），（B.12）y（t）≤ 最大值f（t）p，uφ（t）如果φ（t）>0。（B.13）事实上∈ [0，T）.如果φ（T）≤pσ2uκG（t），然后a（t，0）=1-upσφ（t）κG（t）≥. 寻找一个矛盾，假设y（t）>（2f（t））p>0。然后根据m和y（t）的定义以及第二个变量中a的单调性，f（t）=m（t，y（t））=（1+y（t））pa（t，y（t））>（y（t））pa（t，0）≥ f（t），这是荒谬的。如果φ（t）>0，则at、 uφ（t）= 1和（B.13）源自类似的论点。我们强调，我们严格使用“增加”、“减少”、“积极”、“消极”等限定词；相应的广义概念是“不减”、“不增”、“非负”、“非正”。第三，通过隐函数定理和（B.3），对于t∈ （0，T），| y（T）|=f（t）-tm（t，y（t））ym（t，y（t））≤ p（1+y（t））f（t）-tm（t，y（t））m（t，y（t））=p（1+y（t））f（t）-tm（t，y（t））f（t）。现在，fix t∈ （0，T），并设C>0，使得y（T）≤ C代表所有t∈ [0，t]。

（这可能是因为（B.12），（B.13）以及f是连续的，而κGis是连续的和正的）。然后，f在[0，t]中的正性和连续性，fin在[0，t]中的连续性，以及[0，t]×中的tm（t，y）[-1，C]以及以下事实：-1.≤ y（t）≤ C代表t∈ [0，t]证明了i在（0，t）中一致有界。此外，根据微积分的基本定理和y∈ C（0，T），y（T）=y（T）-Ztty（u）du，t∈ （0，t）。因此，通过支配收敛，limt↓↓R中存在0y（t）。f和m的连续性和（B.9）givem（0，y（0））=f（0）=limt↓↓0f（t）=极限↓↓0m（t，y（t））=m（0，limt↓↓0y（t）），因此通过y在[0，t]上的唯一性，limt↓↓0y（t）=y（0）>y（0）≥ -1、这一点以及ym和[0，T）×上的tm(-1.∞), fon[0，T]的连续性和恒等式yy（T）=f（t）-tm（t，y（t））/ym（t，y（t））表示t∈ （0，T）（通过隐函数定理）表明极限极限↓↓0y（t）存在于R中。So y∈ C[0，T）。第四，假设极限↑↑Tf（t）=1。SetC：=1+最大支持∈[0，T）（2f（T））p，u，2upσ！（B.14），然后1≤ C<∞. 修复t∈ [0，T）.如果κG（T）≥ Cφ（t），然后φ（t）≤CκG（t）≤pσ2uκG（t）和so1+y（t）≤ C由（B.12）和C的定义。否则，如果κG（t）<Cφ（t），则φ（t）>0，so 1+y（t）≤ C+Cφ（t）乘以（B.13）和C的定义。对于（B.10）中的左不等式，通过y在[0，t]中的连续性和y>y的事实≥ -1在[0，T]上，必须显示lim影响↑↑Ty（t）>-1、寻找一个矛盾，假设有一个序列（tn）n∈N [0，T）增加到T，使limn→∞y（tn）=-必要时传递给子序列，我们可以假设y（tn）≤ 0表示所有n∈ N、 Asφ≥ 0乘以（2.5），则（4.7）中a的定义为a（tn，y（tn））≤ 1代表所有n∈ N

现在，使用（4.11）中m的定义，我们得出了矛盾1=limn→∞f（tn）=limn→∞m（tn，y（tn））≤ lim支持→∞（1+y（tn））p=0。最后，假设G（T）>0，rt |φ（u）y（u）| du<∞. 然后通过（2.1），ZTκG（u）du=-日志(G（T））<∞.如（B.14）所示定义C，并设置A：={u∈ [0，T）：φ（u）≤pσ2μκG（u）}。然后y（u）≤ C代表u∈ A乘以（B.12），k G（u）<2upσφ（u）表示u∈ Ac.这与上述结果一起产生（B.11）viaZT（1+y（u））κG（u）du=ZTκG（u）+1A（u）y（u）κG（u）+1Ac（u）y（u）κG（u）杜邦≤ZT公司（1+C）κG（u）+2upσφ（u）| y（u）|du<∞.推论B.4。修复p∈ (0, ∞). 设f，g∈ C[0，T）使得g（T）>f（T）>0，T∈ [0，T），和极限↑↑Tg（t）=极限↑↑Tf（t）=1。让yf，yg∈ C[0，T），yg，yf>y是引理B.3中满足m（T，yf（T））=f（T）和m（T，yg（T））=g（T）的唯一函数。假设G（T）>0和LIM支持↑↑TG（t）<∞. Thenlimt公司↑↑Tφ（T）（yg（T）- yf（t））=0。证据引理B.3中有常数Cg，f> 0，使1+yg（t）≤ Cg+Cgφ（t）{φ（t）>0}和1+yf（t）≥ f、 t型∈ [0，T）.AsG（T）>0和lim supt↑↑TG（t）<∞, 存在常数κ>0，使得κG（t）=1-G（t）G（t）≥ Cκ，t∈ [0，T）.下一个，作为f∈ C[0，T），f>0（在[0，T）上）和Limt↑↑Tf（t）=1，存在一个常数Cf>0，使得f（t）≥ Cf，t∈ [0，T）。最后，setC=最小值Cf2Cg(f） pCκσ> 0、固定t∈ [0，T）。然后是yg（T）≥ yf（t）由第二个变量中m的单调性决定。

依次使用（B.9）、中值定理（B.3）、（4.11）和（B.2）、第二个变量m的单调性（B.9）和Cg的选择，f、 和Cκ，即CF的选择，最后是C的选择（区分φ（t）的情况）≥ 1和φ（t）<1）产量∈ [yf（t），yg（t）]，g（t）- f（t）=m（t，yg（t））- m（t，yf（t））=（yg（t）- yf（t））ym（t，~y）=（yg（t）- yf（t））（1+~y）ppa（t，~y）1+~y+ya（t，~y）=p（yg（t）- yf（t））m（t，~y）1+~y+σ（1+~y）pφ（t）κG（t）≥p（yg（t）- yf（t））m（t，yf（t））1+yg（t）+σ（1+yf（t））pφ（t）κG（t）≥p（yg（t）- yf（t））f（t）Cg+Cgφ（t）{φ（t）>0}+(f） pCκσφ（t）！≥pφ（t）（yg（t）- yf（t））CfCgφ（t）+Cg+(f） pCκσφ（t）！≥Cpφ（t）（yg（t）- yf（t））。现在，声明如下↑↑ T积分方程解的存在唯一性。我们现在可以证明积分方程（4.13）的主要存在唯一性结果。回顾（B.6）中y的定义。定理B.5。修复p∈ (0, ∞). 然后存在唯一的解决方案^y∈ C[0，T），其中^y>y到积分方程m（T，y（T），p）=exp-ZTtn（u，y（u），p）du！，t型∈ [0，T），（B.15）满足（B.10）和（B.11）（y替换为^y）以及zt | n（u，^y（u），p）| du<∞ andZT（φ（u）^y（u））du<∞. （B.16）此外，y*≤ ^y≤ y*在[0，T]上，其中y*, y*∈ C[0，T）是引理B.3满足y的唯一函数*, y*> y和M（t，y*（t） ，p）=（exp1.-p2pσu（T- t）如果p<1,1如果p≥ 1，（B.17）m（t，y*（t） ，p）=（1如果p<1，exp1.-p2pσu（T- t）如果p≥ 1.（B.18）注意，（B.10）和（B.11）（y替换为^y）以及（B.16）特别意味着（3.12）和（3.18）（y替换为^y）已满。证据首先，我们将积分方程（B.15）转换为ODE。取（B.15）两侧的对数并进行微分，结果表明∈ C[0，T）到（4.13）solvesddtlog（m（T，y（T）），p）=n（T，y（T），p）。

（B.19）使用（4.11）和（B.3）的简单计算给出了SDDTlog（m（t，y（t），p））=y（t）pa（t，y（t），p）1+y（t）+ya（t，y（t），p）+ta（t，y（t），p）a（t，y（t），p）。重新排列这些项表明y解出了ODEy（t）=f（t，y（t），p），t∈ [0，T），（B.20），其中函数f:U×（0，∞) → (0, ∞) 由f（t，y，p）=a（t，y，p）n（t，y，p）给出-ta（t，y，p）pa（t，y，p）1+y+ya（t，y，p）和U在（B.7）中定义。很明显，f∈ C0,1,1（U×（0，∞)). 注意，Denominator的正性由U×（0，∞) （B.8）和（B.2）。此外，（B.15）给出了隐含的“终端条件”限制↑↑Tm（t，y（t），p）=1。其次，我们建立了^y的唯一性。假设^y，^y∈ C[0，T）是（B.15）的两个解。然后，^y，^y>y，这两个函数都是ODE（B.20）的解。在不丧失一般性的情况下，假设^y（0）≥ ^y（0）。由于f在U上的第二个变量中是局部Lipschitz，它遵循了标准的常微分方程局部存在唯一性定理，即^y=^yor^y>^y。为了寻找矛盾，假设第二种情况。然后根据第二个变量中mand n的严格单调性（由（B.8））和^yand^yare解为（4.13），m（0，^y（0））>m（0，^y（0））=exp-ZTn（u，^y（u））du> 经验值-ZTn（u，^y（u））du= m（0，^y（0）），这是荒谬的。所以^y=^y。第三，我们使用引理B.2来证明（B.20）的解的存在性。为此，我们展示*和y*分别是后向上解和后向下解。函数y的存在唯一性*和y*满足（B.17）和（B.18）来自引理B.3。

注意y∈ y>y的C[0，T）是（B.20）的后向上（下）解，当且仅当ifddtlog（m（T，y（T），p））≤ (≥) n（t，y（t），p），t∈ [0，T）；（B.21）这源自于使用thatpa1+y从（B.19）到（B.20）的相同重排+Ya和a在U×（0，∞) （B.8）和（B.2）。我们只考虑p<1的情况；案例p≥ 1来自一个类似的论点，基本上覆盖了所有不等式。伯努利不等式，（4.10）和（4.11）yieldb（t，y，p）≤ m（t，y，p）≤ b（t，y，1）1/p，（t，y）∈ U、 （B.22）确定y*是后向上解，请注意（B.17）中的m（t，y*（t） ，p）≥ 1个堡垒∈ [0，T）。因此，b（T，y*（t） ，1）≥ t为1∈ [0，T）乘以（B.22），因此n（T，y*（t） ，p）≥ -1.-p2pσufort∈ [0，T）乘以（B.5）。现在，取（B.17）中的对数并进行差分，可以得出y*完整填充（B.21），带“≤”, 所以y*是后向上解。确定y*是一个后向下解，请注意（B.18）中的m（t，y*（t） ，p）=1表示t∈ [0，T），因此b（T，y*（t） ，p）≤ t为1∈ [0，T）乘以（B.22）。因此，n（T，y*（t） ，p）≤ 0乘以（4.12），通过取对数sin（B.18）和微分，上述声明如下。很明显，y*≤ y*通过第二个变量中m in的单调性，以及limt↑↑Tm（t，y*（t） ，p）=极限↑↑Tm（t，y*（t） ，p）=1。因此，通过引理B.2，存在一个解^y∈ （B.20）的C[0，T）与y*≤ ^y≤ y*.第四，^y>y，因为^y≥ y*> y按结构。第二变量m的单调性与limt↑↑Tm（t，y*（t） ，p）=1=极限↑↑Tm（t，y）*（t） ，p）通过（B.17）和（B.18）屈服极限↑↑Tm（t，^y（t），p）=1。此外，正如^y满足（B.19），计算的基本定理表明，存在一个常数c>0，使得^y满足积分方程m（t，^y（t），p）=c expZtn（u，^y（u），p）du, t型∈ （B.23）现在，我们必须区分p<1和p≥ 1.

我们只考虑第一个；第二个是类似的论点，基本上颠倒了所有的不等式。所以让p∈ (0, 1). Thenm（t，^y（t），p）≥ m（t，y*（t） ，p）=1，由第二个变量和（B.18）中m的单调性决定。因此，（B.22）给出B（t，^y（t），1）≥ 1，因此n（t，^y（t），p）≥ -1.-p2pσuby（B.5）。取极限t↑↑ T在（B.23）中，通过单调收敛和limt↑↑Tm（t，^y（t），p）=1，我们推导出C=exp-ZTn（u，^y（u），p）du！。（B.24）将其插入（B.23）表明^y是（B.15）的解决方案。此外，由于n（t，^y（t），p）是从下方起界的，且c>0，（B.24）意味着满足（B.16）中的第一个条件。这与（B.5）和B（t，^y（t），1）中的n表示一起≥ 1（从上面），然后在（B.16）中建立第二个条件。最后，在（B.15）的右侧定义^f（t）（y替换为^y）。那么^y是m（t，^y（t））=^f（t），t的平凡解∈ [0，T），和极限↑↑T^f（T）=1。因此，引理B.3给出了^y的（B.10）和（B.11）（注意，条件RT |φ（u）^y（u）| du<∞ （B.16）中的后续内容。验证在此，我们收集定理4.2证明步骤2和3的技术部分。第一个结果确定了与策略^π相对应的财富过程，并表明其仍然为正。第二和第三个结果验证了候选三联体（^π，^Q，^z）的（OC1）和（OC2）。引理C.1。设（^π，^Q，^z）为定理4.2（证明）中定义的三元组。用定理3.4给出的W^Qthe^Q-布朗运动表示（y=^y），并设^H为γ在^Q.定义ξ下的分布函数∈ C[0，T）乘以^ξ（T）=expZtφ（u）pσ（u- φ（u）^y（u））（1+^y（u））du（C.1）并设置^X：=EσR·^πtdW^QtM^H^ξ。那么X^π=X^X是对应于策略^π和初始资本X的财富过程。此外，M^H^ξ和^X是正的，因此^π是允许的。证据

对于第一项索赔，必须证明^X满足初始条件^X=1的SDE（4.1）。设置M：=EσR·^πtdW^QtN：=M^H^ξ表示简洁，并从（4.14）中注意到^πt=(R)π（t，γ），t∈ [0，T]，其中'π（T，v）：=pσu - φ（t）^y（t）1{t≤v、 t<t}, （t，v）∈ [0，T]。（C.2）使用此符号，通过定义^ξ，我们得到^ξ（t）=^ξ（t）φ（t）’π（t，t）（1+^y（t）），t∈ [0，T）。（C.3）固定T∈ [0，T]。通过依次使用M是连续的，N是纯不连续的M^H^ξγ=-根据M^H^ξ（cf.（2.2））和A^H^ξ（cf.（2.3）），（C.3）的定义，^ξ（s）=Ns-和'π（s，s）=π（s，γ）=πson{s≤ γ} ，以及（3.16）（fory=^y等），^Xt中的S动力学- 1=MtNt- MN=ZtNs-dMs+ZtMs-dNs=σZtNs-太太-^πsdW^Qs+ZtMs-dM^H^ξs=σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-^ξ（s）ds+Mγ-M^H^ξγ{γ≤t} =σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-^ξds- Mγ-^ξ（γ）κ^H（γ）{γ≤t、 γ<t}=σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-^ξ（s）(R)π（s，s）φ（s）（1+^y（s））ds- Mγ-^ξ（γ）(R)π（γ，γ）φ（γ）（1+^y（γ））κ^H（γ）{γ≤t、 γ<t}=σZt^Xs-^πsdW^Qs+Zt∧γMs-Ns系列-^πsφ（s）（1+^y（s））ds+Mγ-Nγ-^πγM^HZ·φ（u）（1+y（u））duγ{γ≤t} =Zt^πs^Xs-σdW^Qs+dM^HZ·φ（u）（1+y（u））dus=Zt^πs^Xs-DSSS-P-a.s.对于第二种说法，由于M和^ξ是正的，因此有必要证明a^H^ξ也是正的。事实上，使用A^H^ξ的定义（参见（2.3）），（C.3），（3.6），A（v，^y（v），p）=1-φ（v）κG（v）’π（v，v），通过定义（C.2）和（4.7）中的π和a，以及（B.8），a^H^ξ（v）=ξ（v）-^ξ（v）κ^H（v）=^ξ（v）1.- π（v，v）φ（v）κG（v）=^ξ（v）a（v，^y（v），p）>0，v∈ （0，T）。（C.4）引理C.2。定理4.2证明中定义的三元组（^π，^Q，^z）满足U（X^πT）=^zd^QdP。证据引理C.1和U（x）=x的事实-p、 U（X^πT）=X-p^X-pT=x-宠物σZ·^πtdW^Qt-pM^HT^ξ-p、 （C.5）首先，标准计算给定集σZ·^πtdW^Qt-p=ET-pσZ·^πtdWtexp（1- p） pσZT^πtdt！。

（C.6）为了计算第二个因子，我们声称对于v∈ [0，T），^ξ（v）m（v，^y（v），p）=x-1^z-pexp（1- p） σZT′π（u，v）du！^ζ（v）-p、 （C.7）其中（C.2）中定义了“π”，而（3.13）中给出了^ζ（y替换为^y）。此外，在这种情况下G（T）>0，我们声称^ξ（T-) = x个-1^z-pexp（1- p） σZT′π（u，u）du！^ζ（T-)-p、 （C.8）然后，通过（C.4），定义（4.11）、（C.7）和（3.4）中的m，关于{γ<T}，M^HT^ξ-p=A^H^ξ（γ）-p=^ξ（γ）-pa（γ，^y（γ），p）-p=^ξ（γ）m（γ，^y（γ），p）-p（1+^y（γ））=xp^z exp（1- p） σZT^πtdt！-p^ζ（γ）（1+^y（γ））=xp^z exp-(1 - p） pσZT^πtdt！AG^ζ（γ）。（C.9）如果G（T）>0，则A^H^ξ（γ）=^ξ（T-) 和AG^ζ（γ）=^ζ（T-) 在{γ=T}上。这与（C.8）一起表明（C.9）也适用于{γ=T}。最后，通过定义（4.14）中的^π和D^qdpin定理3.4（参见（3.15）），将（C.6）和（C.9）插入（C.5）得到U（X^πT）=zET-pσZ·^πtdWtAG^ζ（γ）=^zET-pσZ·^πtdWtMGT^ζ=^zET-Z·σu - φ（t）^y（t）1{t≤γ、 t<t}载重吨MGT^ζ=^zd^QdP。仍需显示（C.7）和（C.8）。首先，使用（C.2）和（4.12）中的^π和n的定义进行简单但繁琐的计算，结果表明∈ [0，T），φ（u）(R)π（u，u）（1+^y（u））+n（u，^y（u），p）=1- p2pσφ（u）^y（u）（φ（u）^y（u）- 2u）+pκG（u）^y（u）。（C.10）下一步，fix v∈ [0，T）。首先使用^y是积分方程（4.13）的解，以及（C.1）中^ξ和（C.2）中^π的定义，然后使用（C.10），最后再次使用（3.13）中^ξ和^ζ的定义（y替换y），^ξ（v）m（v，y（v），p）m（0，y（0），p）=expZv（φ（u）(R)π（u，u）（1+^y（u））+n（u，^y（u，p））du= 经验值零电压1.- p2pσφ（u）^y（u）（φ（u）^y（u）- 2u）+pκG（u）^y（u）杜邦= 经验值-1.- p2pσuT+（1- p） σZT′π（u，v）du！^ζ（v）-p、 使用（4.17）中的^z定义得出（C.7）。最后，假设G（T）>0。然后也是^H（T）>0，自^Q起≈ P此外，根据定理3.4，MG^ζ为正，根据引理C.1，M^H^ξ为正。

这与命题2.2（a）和（b）（i）一起意味着极限^ζ（T-) 和^ξ（T-) 存在于R中。此外，limv↑↑Tm（v，^y（v），p）=1乘以（4.13）（回想一下定理B.5表明^y是积分方程的解），因此（C.8）从取极限v得出↑↑ T-in（C.7）；右侧极限和积分的交换通过使用|π（u，v）|估计值的支配收敛进行调整≤pσ（u+|φ（u）^y（u）|）和（B.16）；还请注意，对于u∈ [0，T），limv↑↑T'π（u，v）=pσ（u- φ（u）^y（u））=π（u，u）。引理C.3。定理4.2证明中定义的三元组（^π，^Q，^z）满足E^QX^πT= x、 证明。必须证明X^π是一个^Q-鞅。引理C.1表明X^π的形式为（3.17）。因此，通过推论3.5，可以证明RT | A^H^ξ（u）| H（u）du<∞ m^H^ξ是一个^Q-鞅。第一个断言直接来自命题2.2（a），指出M^H^ξ通过引理C.1是正的。对于第二个断言，我们注意到引理A.1（b）（ii），证明M^H^ξ是A（Qγ，Fγ）-鞅是不够的。为此，根据命题2.2（a）和（b），我们可以假设G（T）=0（使用该^Q≈ P）并且必须检查限制↑↑T^ξ（T）（1-^H（t））=0。我们区分了两种情况。首先，让p≥ 1和fix t∈ [0，T）。然后为1-^H（t）≤ 1,0 ≤^ξ（t）（1）-^H（t））≤^ξ（t）（1）-^H（t））1/t并证明右侧收敛为0，即t↑↑ T首先使用（C.1）和（3.14）中的^ξ和^H的定义，然后使用（4.7）中的a（·，·，1）的定义，最后使用（4.10）中的b（·，·，1），^ξ（t）（1）的定义-^H（t））1/p=expZt公司φ（u）pσ（u- φ（u）^y（u））（1+^y（u））-κG（u）p（1+^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）p（1+^y（u））1.-φ（u）κG（u）σ（u- φ（u）^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）p（1+^y（u））a（u，^y（u），1）du= 经验值-ZtκG（u）pb（u，^y（u），1）du.

（C.11）根据（B.5）中n的表示，我们对u∈ [0，T），n（u，^y（u），p）=-1.- p2pσu+1- p2pσ（φ（u）^y（u）- u）+pκG（u）（b（u，^y（u），1）- 1).由于左侧和右侧的前两个求和在（0，T）上可被（B.16）积，我们推断rtκG（u）| B（u，y（u），1）- 1 | du<∞. 但是G（T）=0意味着ztκG（u）du=-日志(G（T））=∞, （C.12），因此（C.11）的右侧收敛为0，即t↑↑ T第二，让p<1和fix t∈ [0，T）。首先使用（C.1）和（3.14）中的^ξ和^H的定义，然后使用（4.7）中的a的定义，^ξ（T）（1-^H（t））=经验Zt公司φ（u）pσ（u- φ（u）^y（u））（1+^y（u））- κG（u）（1+^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）（1+^y（u））1.-φ（u）κG（u）pσ（u- φ（u）^y（u））杜邦= 经验值-ZtκG（u）（1+^y（u））a（u，^y（u），p）du.使用估计值（1+^y（u））a（u，^y（u），p）≥ p1+p^y（u）a（u，^y（u），p）=pb（u，^y（u），p），u∈ [0，T），我们得到0≤^ξ（t）（1）-^H（t））≤ 经验值-pZtκG（u）b（u，^y（u），p）du. （C.13）根据（4.12）中n的定义，我们有∈ [0，T），n（u，^y（u），p）=-1.- p2pσ（φ（u）^y（u））+κG（u）（b（u，^y（u），p）- 1).由于左侧和右侧的第一个和在（0，T）上可被（B.16）积，我们推断RTκG（u）| B（u，y（u），p）- 1 | du<∞. 将其与（C.12）相结合，表明（C.13）的右侧收敛为0，即t↑↑ T参考文献[1]M.Adler和J.Detemple，《关于非交易现金头寸的最佳对冲》，J.Finance 43（1988），143–153。[2] M.Ausloos、P.Boveroux、A.Minguet和N.Vandewalle，《1987年10月的坠机被视为相位转换：振幅和普遍性》，《物理学》A 255（1998），201–210。[3] ，如何预测1997年10月的金融崩溃，欧元。物理。J、 B 4（1998），139–141。[4] ，可视化碰撞前的对数周期模式，Eur。物理。J、 B 9（1999），355–359。[5] C.Belak、S.Christensen和O。

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