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威利，纽约。附录A主要PDE的推导我们给出了可违约零息票债券价格的主要PDE的推导简图，该价格遵循我们在第2.2节中介绍的模型，因为详细推导时间较长。因此，我们利用文献中已知的一些结果，仅解释推导的主要步骤。根据我们在第2.2节中介绍的模型设置，所有潜在的随机过程Rt、^Rt、Yt、Zt、DT都具有很强的马尔可夫性质，参见，例如，Bielecki et al.（2005）。用r、^r、y、z和d分别表示这些过程在时间t的初始值。对于Markovianunderlyings来说，众所周知，例如Ethier和Kurtz（2009），表示为变量函数（t、r、^r、y、z、d）的Utrepresented的进化可以由相应的PDE（或PIDE，如果也考虑跳跃）来描述。在本节中，我们以显式形式导出了这样一个PIDE。让我们提醒一下，在默认跳转框架中，Ztand^rti的动态由eq给出。（11） ，式（12）dZt=（Rt-^Rt）Ztdt+σzZtdW（3）t+γzZtdMt，（A.1）d^Rt=^A（^b-^Rt）dt+σ^rq^RtdW（2）t+γ^rRtdDt。为方便起见，第二次SDE可以以第一次^Rt=^a的形式重新编写^b-^Rtdt+dΓt+σ^rq^RtdW（2）t+γ^rRtdMt（A.2）=^A^b-^Rt-λt^a（1- Dt）dt+dΓt+σ^rq^RtdW（2）t+γ^rRtdMt。因此，我们用补偿鞅mt替换Dt，减去Dt的补偿器，并相应地将该补偿器添加到漂移中。进行此操作时，我们考虑公式（9）以获得dΓt=（1- Dt）λtdt。下面我们需要Jacod和Shiryaev（1987）的以下定理（另请参见Itkin（2017）及其引用），该定理将It^o引理推广到半鞅theorem a.1类。设X=（Xt）0≤t型≤L'evy过程是一个实值半鞅，三重态（b，c，ν），f是R，f上的函数∈ C

那么，f（X）是半鞅，并且t型∈ [0，T]以下表示形式保持SF（Xt）=f（X）+Ztf（Xs-)dXs+Ztf（Xs-)dhXcis（A.3）+X0≤s≤t型f（Xs）- f（Xs-) - f（Xs-)Xs型.此处Xs-= limu%是潜在跳跃之前的值，Xs=Xs-Xs型-, Xc是Xt的连续鞅部分，即Xct=√cWt和h·i决定了二次变化。或者，如果使用跳跃uX（ds，dx）的随机度量，我们有f（Xt）=f（X）+Ztf（Xs-)dXs公司-+Ztf（Xs-)dhXcis公司-（A.4）+ZtZRf（Xs-+ x）- f（Xs-) - xf（Xs-)uX（ds，dx）。证明见Jacod和Shiryaev（1987）中的定理I.4.57。此外，让我们只考虑有限变化和有限活动的跳跃，soX0≤s≤tf（Xs）<∞,X0≤s≤tf（Xs-)Xs<∞.我们的模型只允许在默认时间τ发生一次跳跃。

因此，uX（dsdx）=δ（s- t） Dsν（dx）Ds，其中ν（dx）是R中跳跃的L'evy度量，其中δ（x）是狄拉克δ函数。分别以不同形式表示，对于多维情况，等式（a.4）readsdf（Xs）=f（Xs-)Xs型-* dXs公司+f（Xs-)Xs型-* dhXcis（A.5）+ZRf（Xs-+ x）- f（Xs-) - x个*f（Xs-)Xs型-ν（dx）dDt，其中xs是自变量的向量，x是相应跳跃值的向量，h*我是一个内积。此外，根据公式（A.1），外国利率和FXrate的跳跃大小与相应过程的值成正比，在时间τ发生跳跃之前，具有恒定利率γ。将式（A.5）和式（A.1）相结合，可得出该多维跳跃过程的L'evy测度ν（dx）为ν（dx）=δ（xz- γzz）δ（x^r- γ^r^r）dxzdx^r，（A.6）（例如，与Crosby（2013）进行比较）。因此，等式（A.5）中的最后一行变为j=f（t，Xs）- f（t，Xs-) - Xs型-*f（t，Xs-)Xs型-滴滴涕，（A.7）Xs=Xs-+ Xs型-= f（t，r，^r（1+γ^r），y，z（1+γz），d=1），Xs-= f（t，r，^r，y，z，d=0）。有了所有这些结果，可以通过使用跳跃扩散过程的标准技术，得出贴现可违约债券价格的PDE，如Papapantoleon（2008）。然而，为了简洁起见，我们将使用Bielecki等人（2005）的方法，其中考虑了类似的问题，因此，参考了该论文中证明的相应定理。注：thatEt[滴滴涕| Dtd，Yt=y]=滴滴涕[滴滴涕| Dt=d，Yt=y]=λtt≤τ（Dt=d，Yt=y）Dt=（1- d） eydt，（A.8），其中，最后一个等式源自Jeanblanc等人（2009）中的引理7.4.1.3。使用公式（A.8），可以看出，在违约发生后，Dt=1τ≤t=1，因此跳跃项J消失。然而，在时间t<τ的默认值之前，跳跃项isJ=f（t，Xs）- f（t，Xs）-) - Xs型-*f（t，Xs-)Xs型-.

（A.9）因此，在dt值的条件下，溶液可以用以下形式表示：f（t，Xs）=t<τf（t，Xs-) +τ ≤tf（t，Xs）。（A.10）然后，PDE的剩余推导可基于以下命题：命题A.2（Bielecki et al.（2005）中的命题3.1）。让价格过程Yi，i=1，2，3满足Yit=Yit-uidt+σidWit+kidMt有ki>-1表示i=1、2、3、u，σ为相应的漂移和挥发度。然后，或有权益Y的套利价格与终端支付f（t，YT，YT，YT，DT）等于πt（Y）=t≤τC（t，Yt，Yt，Yt，0）+t≥τC（t，Yt，Yt，Yt，1）对于某些函数C:[0，t]×R+×0，1→ R、 假设对于d=0和d=1，辅助函数C（·，d）：[0，T]×R+→ R属于C1,2类（[0，T]×R+）。然后，函数C（·，0）和C（·，1）求解以下偏微分方程：tC（·，0）+Xi=1（α- λki）yiiC（·，0）+Xi，j=1ρijσiσjyiyjijC（·，0）+λ[C（t，y（1+k），y（1+k），y（1+k），1）- C（t，y，y，y，0）]- αC（·，0）=0，tC（·，1）+Xi=1αyiiC（·，1）+Xi，j=1ρijσiσjyiyjijC（·，1）- αC（·，1）=0。根据终端条件C（T，y，y，y，0）=G（（T，y，y，0），C（T，y，y，y，1）=G（（T，y，y，y，1）。证据见Bielecki等人（2005年）。为了将这一主张应用于我们的问题，应该注意两个重要事项。可交易资产。在Bielecki et al.（2005）中，假设所有基础资产都是可交易的。所以，它们必须是某个唯一鞅测度下的鞅（Yas的一个特殊选择是作为数字）。为了实现这一点，应在漂移、波动性和跳跃率K上施加附加条件。特别是，这要求系数αinProposition A.2为α=ui+σica，其中行列式c，A是ui，σi，ki，i=1，2，3的显式函数，见Bieleckiet al.（2005）。

此外，该公式的右侧不依赖于i。然而，对于我们所有基础过程中的问题，唯一可交易的是汇率问题。这允许完全消除ui，σi，ki，i=1，2，3上的这些条件。作为一个序列，例如，termXi=1（α- λki）yi命题A.2中的iC（·，0）现在替换为xi=1（ui- λki）yiiC（·，0）。风险中性。命题A.2得出了在给定标的物上写下的或有目标的套利价格（根据实际衡量）。为了在风险中性措施Q下获得该价格，需要构建一个通用索赔的复制（自我融资）策略。Bielecki和Rutkowski（2004）特别指出，为了对冲^Rtand Rt的风险，应使用相应的非违约零息票债券（可能是长期债券）作为对冲；Wilmott（1998年）。Bielecki等人（2005年）的命题3.3解决了这个问题。因此，先前推导的偏微分方程保持不变，唯一的变化是杀死期限，其中系数α替换为对应于度量Q的利息r（正如基于资产定价的一般理论所预期的那样）。我们将这些结果结合在一起，并将其应用到我们的模型中。首先，我们将符号恢复到本文中使用的符号。然后，考虑到描述基本过程动力学的随机微分方程的显式形式，以及对Rt=r，^Rt=^r，Zt=z，Yt=y，Dt=d的条件，我们得出，在风险中性度量Q下，价格Ut（T）为Ut（T，r，^r，y，z）=T<τf（T，T，r，y，z，0）+T≥τf（t，t，r，^r，y，z，1）。

（A.11）这里的函数f（t，t，r，^r，y，z，1）≡ u（t，t，X），X={t，r，^r，y，z}解偏微分方程u（t，t，X）t+Lu（t，t，X）- ru（t，t，X）=0，（A.12），其中扩散算子L readsL=σrrr+σ^r^ru^r+σzzz+σyy+ρr^rσrσr√r^rr^r（A.13）+ρrzσrσzz√rrz+ρ^rzσ^rσzz√^rz^r+ρryσrσy√rry+ρ^ryσ^rσy√^ry^r+ρyzσyσzzyz+a（b- r）r+^a（^b- ^r）^r+（r- ^r）zz+κ（θ- y）y、 第二个函数f（t，t，r，^r，y，z，0）≡ v（t，t，X）求解PDEv（t，t，X）t+Lv（t，t，X）- rv（t、t、X）- λγzzv（t，t，X）z（A.14）+λu（t，t，X+）- v（t，t，X）= 0，X+={r，^r（1+γ^r），y，z（1+γz）}，其中根据式（4），λ=ey。注意，等式（A.2）漂移中的术语λγ^r^rv^r（t，t，X）与等式（A.9）中的相应补偿器抵消，因为它应该是过程^Rtisnot鞅。