IR和FX违约跳跃对Quanto CDS价格的影响

2022-6-1 17:38:16

对Quanto CDS价格的IR和FX违约跳跃的影响a。Itkina，V.Shcherbakovb，A.VeygmancaTandon工程学院，纽约大学，12 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，美国科学计算部信息技术部，美国纽约州纽约州斯维登赫斯巴斯乌普萨拉市751 05号信箱337。我们提出了一种新的定量信用违约掉期和风险债券定价模型。该模型具有四个随机因素，即：风险率、外汇汇率、国内利率和国外利率，还考虑了外汇和国外利率违约时的跳跃。与Bielecki et al.（2005）中的方法类似，推导出了相应的偏微分方程系统。使用一种局部版本的RBF单位划分方法来求解这些4D偏微分方程。本文给出的数值实验结果定性地解释了在国内外经济体交易的CDS利差标记值中观察到的差异。关键词：Quanto信用违约掉期、简化模型、违约跳跃、随机利率、径向基函数法。果冻：C51、C63、G12、G131。简介Quanto CDS是一种信用违约掉期（CDS），其特点是掉期溢价和/或违约情况下的现金流以与参考资产不同的货币进行。一个典型的例子是，CDS被称为美元指定债券，其掉期溢价以欧元支付。如果发生违约，支付金额等于以欧元支付的美元债券的回收率。换句话说，这张CDS是以美元债券形式发行的，而其溢价是以欧元支付的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:38:20

这些合约广泛用于对冲以外币（投资者本币除外）计价的债券或银行贷款的持有量。正如汉普登·特纳（Hampden Turner）和戈维斯（Goves）（2010年）所述，该产品使投资者能够通过价差、汇率和外汇波动率的函数来观察联合价差和外汇走势。电子邮件地址：aitkin@nyu.edu（A.Itkin），维克托。shcherbakov@it.uu.se（V.Shcherbakov），veygmana@gmail.com（A.Veygman）2017年11月21日提交给Elsevier的预印本图1：一些以美元（Markit）交易的欧洲5年期主权CDS的历史时间序列。鉴于外汇走势与信贷利差之间的相关性增加，对该产品的兴趣最近有所增加，尽管与复苏掉期一样，它仍然是一个相当利基的市场。Quanto CDS是指标准CDS与不同货币CDS之间的价差，可用于不同的到期日。例如，人们可以观察到，欧洲主权债券的CDS通常以美元交易。这是因为，如果发生违约，以欧元计价的信贷保护将显著下降，反映出相应经济体的违约。因此，Quanto CDS的期限结构告诉我们，金融市场如何看待不同时期的外国违约和相关货币贬值的可能性，参见Augustinet al.（2017）中的讨论和其中的参考文献。图1显示了2006年至2015年期间一些以美元交易的欧洲5年期主权CDS的历史时间序列。可以看出，这些利差在2011年左右达到最大值，然后以2-5倍的幅度下降到目前的水平。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-1 17:38:23

然而，由于已记录到高水平的价差，在本文后面选择数值实验的测试参数时，我们将查看2011年前后价差上升时期对应的案例。就Quanto CDS价差的价值而言，文献中有各种数据。例如，在Augustin等人（2017）中，六个欧元区国家（德国、比利时、法国、爱尔兰、意大利、葡萄牙）的利差期限结构（定义为美元和欧元计价的CDS利差之间的差异）以及3、5、7、10和15年期（相对于1年期的Quanto利差）。这种差异在未来15年内可能达到30个基点（法国、爱尔兰）。Simon（2015）介绍了2004年至2013年期间德国、意大利和法国的5年期Quanto CDS利差，例如，2012年意大利可能达到500个基点。Brigo et al.（2015）的结果表明，国内外CDS报价的基础非常重要。例如，对于意大利，2012年5月第一周欧元债务危机期间，440个基点的美元CDS价差报价可以转化为350个基点的欧元报价。最近，从2013年6月起，欧元报价和美元报价之间的基差在40个基点左右。Quanto效应在模特方面引起了很多关注。该问题的各个方面都在调查中，包括主权信贷与货币风险之间的关系、主权CDS的定价、危机蔓延对信贷风险的影响，见Augustin等人（2017）的调查和其中的参考文献。但在本文中，我们将特别关注定量股票的定价，或者更严格地说，确定和测试一个适当的框架，从数学金融的角度对这些影响提供合理的解释。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:38:26

我们的方法与Brigo et al.（2015）中的方法相似，在该方法中，Quanto CDS的模型是基于信贷风险的简化模型构建的。在此设置下，违约时间被建模为一个Cox过程，具有明确的违约强度/风险率和指数跳跃违约的影响动力学，类似于Ehlers和Sch¨onbucher（2006）的方法；El Mohammadi（2009年）。但更重要的是，Brigo et al.（2015）在外汇动态中引入了明显的违约跳跃。然后，他们表明，这提供了一种更有效的方法来建模信贷/外汇依赖性，因为模拟的结果能够解释欧元债务危机期间观察到的基差。相比之下，仅考虑违约强度驱动布朗运动与外汇汇率之间的瞬时相关性并不足以做到这一点。然而，Brigo等人（2015年）只考虑了确定的国内外利率（IR）。尽管重要的是要通过放松这一假设并让利率随机来扩展这种方法。更重要的是，不仅要考虑到外汇汇率违约率的飙升，还要考虑到违约国家的利率同时违约率的飙升。可在卡托和马诺（2015）等地找到该主题的相关数据。这项调查表明，过去违约的利率溢价被低估了。这在一定程度上是由于信贷历史指标较窄，更重要的是，之前研究的数据覆盖范围较窄。一旦对这些问题进行了纠正，就会出现相当大且持续的违约溢价，并且随着违约持续时间的延长而上升。这意味着，朗格拉国家一旦恢复从私人资本市场借款，将支付更高的溢价，从而保持违约状态。Katselas（2010）给出了另一个例子。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-1 17:38:31

他提供了澳大利亚储备银行2000年1月4日至2009年12月31日期间隔夜银行间现金利率的曲线图。该利率是适用于澳大利亚借贷的无风险短期利率的近似值，该图表明，不仅短期利率存在跳跃，而且纯跳跃过程可以作为短期利率的合适模型。这一观察结果促使Borovkov等人（2003）考虑使用有标记的泊松点过程将短期利率建模为纯跳跃过程。因此，在本文中，我们通过引入随机利率来扩展Brigo et al.（2015）的框架，并考虑外汇和外国（违约）利率违约时的跳跃。我们的目标是比较这两种跳跃对Quanto CDS价差的贡献。由于这个问题有四个随机驱动因素，加上时间，我们证明了相应的CDS价格解一个四维偏微分方程。众所周知，这种维数使得有限差分方法已经大大摆脱了维数诅咒，而使用蒙特卡罗方法的计算成本太高。因此，我们在这里使用了另一种方法，即径向基函数（RBF）方法，它已经证明了在解决各种中间（10>d>3）维度问题时的效率，包括数学金融中的问题，参见Hon和Mao（1999）；Fasshauer等人（2004年）；Petterssonet等人（2008），由于其高阶收敛性。后者允许仅使用几个离散化节点获得高分辨率模式。特别是，本文使用了theRBF方法的本地化版本。它基于单位分割法（或RBF-PUM）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-1 17:38:33

单元划分最初由Babuˇska和Melenk（1997）为有限元方法引入，后来由几位作者Safdari Vaighani et al.（2015）为RBF方法进行了调整；Shcherbakov andLarsson（2016）。这种方法可以显著减少系数矩阵中保留的非零元素的数量，从而降低求解系统所需的计算强度。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了我们的模型，并推导了该模型下风险债券价格的主要偏微分方程（PDE）。在第2.2节中，我们通过将违约跳跃添加到外汇和外国（违约）利率的动态中来扩展该框架。同样，主要的偏微分方程是针对风险债券推导的（详细推导见附录）。该价格与Quanto CDS价格之间的联系在第4节中确定。第5节详细介绍了RBF-PUM方法。在第6节中，我们给出了使用该模型进行实验的数值结果，并讨论了观察到的影响。最后，第7节对本文进行了总结。2、模型我们从给出一些有用的定义开始描述我们的模型，这些定义在本文的其余部分都被大量使用。通过本国货币或流动货币，我们表示所有合同货币中流动性最强的货币。接下来是美元（USD）。我们表示为合同货币或外币的其他合同货币。在本文中，它可以是美元和欧元。保费和保护期付款以这种货币结算。由于在本文中，我们重点讨论信用违约掉期（CDS）合同的定价，因此假设其市场报价可以用本币和外币进行。让我们将这些价格分别表示为CDS和CDS。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:38:37

如果是这样，如果市场提供两种货币的汇率ZT，则以外币表示的每个价格CDSF都可以转换为相应的本币价格。换句话说，外币CDS合约的理论价格为ZtCDSd。然而，众所周知，市场表现出一种蔓延的CDSF-ZTCDSD可能达到数百个基点，Brigo等人（2015年）。因此，两种货币的CDS合约的市场报价以及相应的汇率可以让我们捕捉到这些价差。我们继续我们的描述，考虑一个框架，在这个框架中，除了默认过程本身之外，所有潜在的随机过程在默认情况下都不会经历跳跃。因此，这与Brigo et al.（2015）中提出的类似，只是我们模型中的利率是短期利率。然后，在第2.2.2.1节的其他过程中，这将被概括为默认跳跃。我们选择了与国内（流动）货币市场相对应的风险中性概率测度Q。此外，通过Et[·]，我们表示以时间t收到的信息为条件的期望，即[·| Ft]。考虑两个货币市场：BTA与本币（USD）相关，^BTA与外币（EUR）相关，其中t≥ 0是日历时间。我们假设两个货币市场账户的动态由DBT=RtBtdt，B=1，（1）d^Bt=Rt^Btdt，B=1给出，其中随机利率Rt，R遵循Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程，Cox et al.（1985）dRt=a（B- Rt）dt+σrpRtdW（1）t，R=R，（2）d^Rt=^a（^b-^Rt）dt+σ^rq^RtdW（2）t，^R=^R。这里a，^a是平均回复率，b，^b是平均回复水平，σR，σ稀有波动性，W（1）t，W（2）皮重布朗运动。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:38:40

在不丧失一般性的情况下，我们进一步假设a、^a、b、^b、σr、σrto为常数。这一假设很容易放松。我们假设这两种货币的汇率Zt也是随机的，其动态性由以下随机微分方程（SDE）dZt=uzZtdt+σZZZTDW（3）t，Z=Z，（3）其中uZ，σzare是相应的漂移和波动，W（3）是另一个布朗运动。从财务角度来看，ZT表示购买一单位外币所需支付的本国货币金额。粗略地说，这意味着1欧元可以兑换兹特美元。由于CDS合约的基础证券是一种风险债券，我们需要一个债券隐含的信用风险模型。对于信用风险建模，我们使用简化模型方法，参见Jarrow和Turnbull（1995）；杜菲和辛格尔顿（1999）；Bielecki和Rutkowski（2004）；Jarroweet al.（2003）及其参考文献。我们将危险率λt定义为一个随机过程，给定λt=eYt，t≥ 0，（4）式中，Yt遵循SDEdYt=κ（θ）定义的Ornstein-Uhlenbeck过程- Yt）dt+σydW（4）t，Y=Y，（5）用κ、θ、σY表示相应的平均回复率、平均回复水平和波动率，w（4）表示另一个布朗运动。ZT和λ皮重均在国内测量中定义和校准。我们假设所有布朗运动W（i）t，i∈ [1，4]是相依的，这种相依性可以通过每对布朗运动之间的瞬时相关性ρ来确定，即：<dW（i）t，dW（j）t>=ρijdt。因此，我们模型中的整个相关矩阵=1ρr^rρrzρryρrr1ρrzρryρzrρz^r1ρzyρyrρy^rρyz, （6）式中，所有相关性|ρij |≤ 1，i，j∈ 假设[r，^r，z，y]为常数。最后，我们定义了默认流程（Dt，t≥ 0）asDt=1τ≤t、（7）式中，τ是参考实体的默认时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-1 17:38:44

为了排除一般情况，我们假设Q（τ>0）=1，并且Q（τ≤ T）>0.2.2。外汇和外汇IRIn违约时的跳跃在本节中，我们通过假设外汇价值和外汇利率在违约时经历跳跃来扩展上述框架。如Brigo et al.（2015）所示，并在导言中提到，与违约强度和外汇利率驱动布朗运动之间的内在关联相比，将违约跳跃纳入外汇利率提供了一种更有效的建模信贷/外汇依赖性的方法。此外，作者声称，仅使用后一种机制无法解释欧元债务危机期间观察到的基差分布。然而，从历史时间序列来看，外国利率违约跳跃的存在也是合理的，尤其是在主权债务受到质疑的情况下。例如，1998年俄罗斯违约后，俄罗斯卢布在1.5个月内损失了约75%的价值，这反过来又导致相应的外汇汇率大幅上升。另一方面，由于违约还降低了信用度，大幅增加了借贷成本，因此利率的飙升可能更加明显。对于上述1998年俄罗斯国债的例子，短期利率从1998年4月的20%增长到1998年8月的120%。因此，很有意思的是，每次跳转都会对Quanto CDS价差的价值做出相对贡献。为了增加等式（3）中外汇汇率动态的跳跃，我们遵循Brigo et al.（2015）；Bieleckiet等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:38:47

（2005）who假设，在违约时，外汇汇率会经历一次与当前利率水平成比例的跳跃，即dZt=γzZt-dMt，（8），其中γz∈ [-1.∞)是贬值/重估参数。关于参考过滤的随机时间τ的危险过程通过等式e定义-Γt=1-Q{τ≤ t | Ft}。众所周知，如果危险过程Γtofτ是绝对连续的，那么Γt=Zt（1- Ds）λsds，（9）并增加，然后过程Mt=Dt-Γ是完全过滤Ft下的鞅（称为默认过程Dt的补偿鞅）∨ Ht，Ht是默认流程生成的过滤。因此，Mtis是Q下的鞅，Bielecki et al.（2005）。可以看出，在与本国货币相关的风险中性措施下，DRIFTuzis（Brigo et al.（2015））uz=Rt-^Rt.（10）因此，考虑到等式（3），等式（8），我们得到dzt=（Rt-^Rt）Ztdt+σzZtdW（3）t+γzZtdMt。（11）因此，zt是Q-测度下关于Ft的鞅∨Htas应该是，因为它是一种可转换的资产。当然，我们对γz的负值更感兴趣，因为引用实体的违约会对其本国货币的价值产生负面影响。例如，我们预计，如果一些欧洲国家违约，以美元表示的欧元价值将下降。同样，我们将违约跳跃添加到外国利率^Rtasd^Rt=γ^r^Rt的随机过程中-滴滴涕，这是为了防止ZTO呈阴性，Bielecki等人（2005年）。因此，等式（2）转换tod^Rt=^a（^b-^Rt）dt+σ^rq^RtdW（2）t+γ^rRtdDt。（12）这里是γ^r∈ [-1.∞) 是确定借款违约后成本的参数。我们对γ^ras的正值感兴趣，在违约发生后，利率很可能会上升。注意，^Rtis不可交易，因此在Q-测度下不是鞅。3.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:38:50

定价零息票债券为了对或有权益进行定价，如果合同货币与定价货币不同，例如Quanto CDS，我们首先需要确定以外币结算的潜在可违约零息票债券的价格。外国货币市场鞅测度^Qreads^Ut（T）=^Et“^Bt^Bt^Φ（T）#，（13）其中^Bt/^Bt=^B（T，T）是外国经济中从时间T到时间T的随机贴现因子，Φ（T）是Payoff函数。然而，我们将根据国内货币市场措施Q确定该价格。因此，将支付转换为本国货币，并通过国内货币市场账户yieldsUt（T）=EthB（T，T）Zt^Φ（T）i（14）进行贴现，在不失一般性的情况下，假设合同的名义金额等于一单位外币。这意味着Payoff函数为^Φ（T）=τ>T.（15）。此外，我们假设如果该债券违约，则在违约时支付回收率R。因此，在国内经济中支付一单位外币的可违约零息票债券的价格readsUt（T）=Et[B（T，T）ZTτ>T+RB（T，τ）Zτ≤T] （16）=Et[B（T，T）ZTτ>T]+RZTtEtB（t，ν）Zντ∈(ν-dν，nu]= wt（T）+RZTtgt（ν）dν，wt（T）：=Et[ZTB（T，T）τ>T]，gt（ν）：=EtB（t，ν）Zντ∈(ν-dν，nu]dν.由于我们的基本过程的整体动态是马尔可夫的，Bielecki et al.（2005），为了确定此类工具的价格，我们使用偏微分方程方法，因此可违约债券价格正好解决了这一问题。与蒙特卡罗方法相比，从计算角度来看，这更有效，尽管最终的PDE变为四维。我们将在第5节讨论其数值解的各种方法。此外，调节Rt=r、^Rt=^r、Zt=z、Yt=y、Dt=d，并使用Bielecki等人的方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:38:53

（2005）（见附录A），我们得出，在风险中性度量Q下，价格（T）为ut（T，r，^r，y，z）=τ>tf（T，T，r，^r，y，z，0）+τ≤tf（t，t，r，^r，y，z，1）。（17）这里是函数f（t，t，r，^r，y，z，1）≡ u（t，t，X），X={r，^r，y，z}解偏微分方程u（t，t，X）t+Lu（t，t，X）- ru（t，t，X）=0，（18），其中扩散算子L readsL=σrrr+σ^r^ru^r+σzzz+σyy+ρr^rσrσr√r^rr^r（19）+ρrzσrσzz√rrz+ρ^rzσ^rσzz√^rz^r+ρryσrσy√rry+ρ^ryσ^rσy√^ry^r+ρyzσyσzzyz+a（b- r）r+^a（^b- ^r）^r+（r- ^r）zz+κ（θ- y）y、第二个函数f（t，t，r，^r，y，z，0）≡ v（t，t，X）求解PDEv（t，t，X）t+Lv（t，t，X）- rv（t、t、X）- λγzzv（t，t，X）z（20）+λu（t，t，X+）- v（t，t，X）= 0，X+={r，^r（1+γ^r），y，z（1+γz）}。式中，根据式（4），λ=ey。该问题的边界条件应设置在无界域（r，^r，y，z）的边界处∈ [0, ∞] ×[0, ∞] ×[-∞, 0] ×[0, ∞]. 然而，这可以通过许多不同的方式实现。由于债券价格的价值通常在边界处未知，类似于Brigo et al.（2015），我们假设二阶导数在边界处消失uνν↑0=uνν↑∞= 0, ν ∈ 【r，^r】，（21）uyy↑0=uyy↑-∞= 0,uzz↑0=uzy↑∞= 0。我们假设在验证时间t尚未出现默认值，因此，等式（17）减少了toUt（t，r，^r，y，z）=v（t，t，X）。（22）因此，可通过如下解式（18）、式（20）得出。由于公式（16）中的payoff是两项的asum，并且我们的PDE是线性的，因此可以对每个项单独求解。那么这个解就是两个的和。3.1. 求解wt（T）的偏微分方程，函数wt（T）求解的偏微分方程组与等式（18）和等式（20）中的偏微分方程组完全相同。因此，可以通过两个步骤找到。第1步。我们首先求解方程（18）中函数u的PDE。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 17:38:56

由于该函数对应于d=1，因此它描述了违约时或违约后债券价格的演变。因此，u的终端条件变为u（T，T，X）=0。事实上，这种支付不会假设违约后有任何恢复，因此，债券到期时一文不值。然后，简单分析表明，函数u（t，t，X）≡ 0是d=1时的解，因为它解方程本身，并遵守终端和边界条件。因此，在此步骤中，可以解析地找到解决方案。第2步。当第一步的解消失时，意味着u（t，t，X+）≡ 公式（20）中的0。根据式（20）之前的定义，函数v对应于无默认状态。因此，根据式（16），Payoff函数（是式（20）在t=t时的终端条件）readsv（t，t，X）=z。（23）边界条件再次设置为式（21）。v（t，t，X）的PDE等式（20）现在采用以下形式v（t，t，X）t+Lv（t，t，X）- （r+λ）v（t，t，X）- λγzzv（t，t，X）z=0，根据终端条件v（T，T，X）=z。然后，显然wt（T）=v（T，T，X）。可以看出，在没有恢复的情况下，可违约债券价格确实取决于外汇利率的上升，但不取决于外国利率的上升。3.2. 求解gt（ν）的偏微分方程就式（16）中的第二部分而言，可以注意到式（16）中的积分是ν中的Riemann–Stieltjes积分。因此，它可以近似为aRiemann–Stieltjes和，其中连续时间间隔[t，t]可以用步长非常小的离散格式网格代替ν=h.SoZTtgt（ν）dν≈ hNXi=1gt（ti），（24），其中ti=t+ih，i∈ [0，N]，N=（T- t） /小时。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:00

因此，可以通过解决等式（18）和等式（20）中的相应定价问题以及到期时间ti来独立计算该总和中的每一项。由于模型相同，PDE保持不变，只有大陆声称G（t，t，r，^r，y，z，d）发生变化，这是相同基础过程的函数。注意，由于式（18）和式（20）中的定价问题是通过反向偏微分方程（PDE）得出的，因此计算每个到期日ti的gt（ti），i∈ [1，m]需要一个独立的问题解决方案。如果我们对相应的密度函数使用正向偏微分方程，而不是反向偏微分方程，则这可以得到显著改善。在这种情况下，所有Ut（ti），i∈ [1，m]可以在一次运行中完成（通过行进法）。然而，我们将这一改进留到其他地方详细讨论。不要混淆m和N，因为m是息票支付的总数，而len是积分式（24）中离散化步骤的数量。同样，可以观察到，函数gt（T）求解的偏微分方程组与inEq完全相同。（18），式（20），因此，可以在两个步骤中再次找到。第1步。u的问题应在终端条件gt（T）=z（1+γz）下解决。（25）实际上，通过gt（T）的定义，我们可以设置T=T，条件为Rt=r，^Rt=^r，Zt=z，Yt=y，d=1。ThengT（T）dT=EthB（T，T）ZTτ∈（T-dT，T]t=Ti=zEt[λtdt | t=t]=zeydT，（26）见Schonbucher（2003），第3.2节。然而，Ztin公式（11）的动力学表明，当发生违约时，Zτ的值-与值Zτ=Zτ成比例跳跃-（1+γz）。因此，Werrive在公式（25）中。第2步。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:02

对于作为前一步解获得的函数u（t，t，X）的显式表示，可以找到u（t，t，X+）作为参数γz，γ^的值，并且还给出了λ的值（例如，在步骤1中用于数值求解PDE问题的某个网格处）。然后，可以针对v（t，t，X）求解等式（20）。根据式（20）之前的定义，函数v对应于没有默认值的状态。因此，不支付恢复，并且该步骤的终端条件是v（T，T，X）=0。然而，这并不意味着v=0就能解决问题。这是因为等式（20）包含术语λu（t，t，X+）6=0（因为上一步的终端条件不是零），如果λ6=0，则v 6=0。可以看出，根据这种结构，在非零恢复的情况下，可违约债券价格确实取决于外汇和外国利率的跳跃。4、从债券价格到CDS价格由于本文主要致力于对Quanto CDS合同进行建模，我们使用前面章节中针对风险债券开发的设置，并将其应用于CDS合同。让我们提醒一下，aCDS是一份合同，在该合同中，如果CDS参考名称在合同到期之前违约，保护买方同意向保护卖方支付定期息票，以换取潜在现金流。我们假设CDS合同在时间t结算，并确保在时间t之前对CDS买方提供保护。我们认为CDS优惠券应按照支付时间间隔定期支付t、在合同有效期内，共有m笔付款，即t=t-t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:05

按照名义上的说法，这意味着CDS息票段Lc、Lipton和Savescu（2014）的表达如下：；Brigo和Morini（2005）Lc=Et“mXi=1cB（t，ti）tτ>ti#，（27），其中c是CDS息票，ti是第i张息票的支付日期，B（t，ti）=Bt/Btiis是现金折扣系数。然而，如果违约发生在预先确定的息票支付日期之间，则必须有从最近的过去支付日期到违约事件发生时间τ的应计金额。预期贴现应计金额LareadsLa=EthcB（t，τ）（τ- tβ（τ））t<tβ（τ）≤τ<Ti，（28），其中tβ（τ）是违约事件之前的付款日期。换句话说，β（τ）是形式为β（τ）=i的分段常数函数，τ：ti<τ<ti+1。这些现金流由合同买方支付，合同发行人收到。相反的预期保护现金流LpisLp=Et[（1- R） B（t，τ）t<τ≤T] ，（29）如果恢复率R事先未知，并且在违约发生时或违约发生后立即确定，例如在法庭上。在现代数学金融理论中，通常认为回收率是随机的，参见Cohen和Costanzino（2017）以及其中的参考文献。然而，在本文中，我们假设回收率是恒定的，并且事先已知。此外，我们定义了所谓的溢价Lpm=Lc+La和保护Lpr=Lplegs，并且像往常一样，将CDS票面利率差价s定义为息票，使这两个legs相等，并使CDS在t时合约公平。类似于第3节，如果我们根据国内货币市场衡量标准Q对所有工具进行定价，我们需要将支付转换为本国货币，并通过国内货币市场账户进行贴现。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:09

然后s求解方程mxi=1Et[sZTB（t，ti）tτ>ti]+EtsZTB（t，τ）（τ- tβ（τ））t<τ<t（30）=Et[（1- R） ZτB（t，τ）t<τ≤T] 。本着埃勒斯、肖恩·布彻（2006）和布里戈（2011）的精神，我们开发了一个从债券价格中确定面值差价的数值程序。分别考虑等式（30）中的每一项。优惠券。对于息票支付，一个hasLc=Et“mXi=1sZtiB（t，ti）tτ≥ti#=stmXi=1Et[ZtiB（t，ti）τ≥ti]=stmXi=1wt（ti）。（31）式中，tm=T。第3.1节描述了wt（T）的计算。请注意，从上一节的分析中可以看出，wt（T）（和，分别是联合支付）确实取决于外汇利率的跳跃，但不取决于金融上合理的外国利率的跳跃。保护腿。为保护legLp=Et[（1）提供了类似的方法- R） ZτB（t，τ）t<τ≤T] =（1）- R） ZTtEt公司ZνB（t，ν）τ∈(ν-dν，ν]dν（32）=（1- R） ZTtgt（ν）dν，其中第3.2节描述了gt（T）的计算。应计付款。对于应计付款，hasLa=EtsZτB（t，τ）（τ- tβ（τ））t<τ<Tdν= sZTtEt公司ZνB（t，ν）（ν）- tβ（ν））τ∈(ν-dν，ν]dνdν（33）=sm-1Xi=0nZti+1ti（ν-ti）EtZνB（t，ν）τ∈(ν-dν，ν]dνdνo=sm-1Xi=0Zti+1ti（ν-ti）gt（ν）dν，其中t≡ t、和tm≡ T如第3.2节所述，式（32）和式（33）中的最终积分均为ν中的黎曼-斯蒂尔杰斯积分。因此，每一个都可以用黎曼-斯蒂尔杰斯和来近似，其中连续时间间隔[t，t]可以用一个步长非常小的离散均匀网格来代替ν=h。现在我们有了所有必要的组件来计算CDS价差。引入新符号ai=Zti+1tiwt（ν）dν≈ hNXk=1wt（νk），（34）Bi=Zti+1tigt（ν）dν≈ hNXk=1gt（νk）Ci=Zti+1tiνgt（ν）dν≈ hNXk=1νkgt（νk）νk=ti+kh，k=1，N、 h=（ti+1- ti）/N，我们将公式（31）、公式（32）和公式（33）改写为lp=（1- R） mXi=1Bi，Lc=stmXi=1Ai，La=smXi=1[Ci- tiBi]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:12

（35）最后，将式（30）和式（35）结合起来，我们得到=（1- R） mXi=1BimXi=1[泰+Ci- tiBi]。(36)5. 径向基函数单位分解法为了数值求解式（18）、式（20），根据相应的终端和边界条件，我们使用径向基函数法。径向基函数方法在计算金融领域的应用越来越流行，例如Hon和Mao（1999）；Fasshauer等人（2004年）；Pettersson et al.（2008），由于其高阶收敛性，仅需使用几个离散化节点即可获得高分辨率方案。在解决各种多维问题时，这是一个至关重要的特性，例如，对多个资产（篮子期权）上的衍生工具进行定价，或对设置使用多个随机因素的模型进行定价。事实上，所有这些模型都极大地避免了维度诅咒，尤其是存储（记忆）的增加成为了主要的限制因素。然而，使用RBF方法可以成功地克服这一问题。例如，在Shcherbakov和Larsson（2016）中，标准有限差分方法要求每个维度的计算节点数大约是RBF方法的三倍，以获得相同的精度，从而显著减少内存消耗。然而，应该强调的是，由于密集和病态的系数矩阵，原始的全局RBF方法计算成本非常高，而且相当不稳定。这是基函数之间全局连接的结果。因此，在这里，我们从全局RBF方法中删除，取而代之的是基于单位划分思想的局部RBF方法。单元划分法最初由Babuˇska和Melenk（1997）针对单元法引入，后来由几位作者Safdari Vaighaniet等人对RBF方法进行了调整。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:15

(2015); Shcherbakov和Larsson（2016）。这种方法（进一步称为RBF PUM）能够显著减少系数矩阵中保留的非零元素数量，从而降低求解系统所需的计算强度。此外，这一概念也得到了支持，比如在Matlab中，通过使用稀疏运算。通常，可以在Fasshauer（2007）中找到更多细节。对于我们的Quanto CD定价问题，只有约1%的剩余元素具有非零值。为了构建RBF-PUM近似值，我们首先定义一个开放覆盖{Ohmj} Pj=计算域的1Ohm 因此Ohm P[j=1Ohmj、（37）我们选择补丁Ohmj应为球形。在每个面片内，解u的局部RBF近似值定义为▄uj（x）=njXi=1λjiφ（ε，| x- xji | |），（38），其中nj是属于面片的计算节点数Ohmj、 φ（ε，| | x- xji | |）是以xji为中心的第i个基函数，它是第j个面片中的第i个局部节点Ohmj、 ε是决定基函数宽度的形状参数，λ是未知系数。表1列出了一些常用的基函数选择，而它们作为参数ε函数的行为如图2所示。RBFφ（ε，r）高斯（GA）exp(-εr）多重二次曲面（MQ）√1+ε三元多重二次曲面（IMQ）1/√1+εrInverse二次（IQ）1/（1+εr）表1：常用径向基函数。0 2 4 6 800.511.5（a）高斯0 2 4 6 8051015（b）多重二次曲线0 2 4 800.511.5（c）逆二次曲线图2：关于形状参数ε值的常用基函数。除了补片，我们还构造了单位权函数的划分wj（x），j=1，P，从属于开盖，因此pxj=1wj（x）=1，x个∈ Ohm.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-1 17:39:18

（39）函数wj（x）可以通过Shepard方法Shepard（1968）从紧支持的生成函数Дj（x）wj（x）=Дj（x）PPi=1Дi（x），j=1，Px个∈ Ohm. （40）生成函数Дj（x）必须满足一些平滑度要求。例如，对于本文考虑的问题，它们应至少为C(Ohm). 为了继续，我们选择了五阶Wendland函数，Wendland（1995）Д（r）=（5r+1）（1），作为Дj（x）的合适候选人- r） +，r∈ R、（41）带支架Д（R）∈ B（0，1），其中B（0，1）是以原点为中心的单位四维球。为了将生成函数映射到面片Ohmj以中心cj和半径ρj为单位，移动并缩放为Дj（x）=Дj||x个- cj | |ρj, x个∈ Ohm. （42）进一步，我们将局部RBF近似与单位权重的划分相结合，得到一个组合RBF-PUM解▄u（x）为▄u（x）=PXj=1wj（x）▄uj（x）。（43）给定形式的RBF-PUM近似允许保持与全局方法相似的精度，同时显著降低计算效率（参见Shcherbakov-andLarsson（2016）、Ahlkrona和Shcherbakov（2017））。此外，von Sydow et al.（2015）表明，RBF-PUM是解决高维问题的最有效的数值方法，也是依赖于节点离散化的确定性方法。6、数值实验在本节中，我们进行数值实验，以确定量化调整后的CDS面值价差及其对市场条件的敏感性。平价息差按式（36）计算，而债券价格则按式（22）计算，通过使用1296个补丁的径向基函数单位分割法近似式（18）和式（20）中的偏微分方程。我们选择高斯函数在28561个节点上构造有限的RBF基。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:22

As[r，^r，z]∈ [0, ∞) 和y∈ (-∞, ∞), 我们在距离评估点很远的地方截断定义的每个半无限域或无限域，因此这种截断带来的误差相对较小。特别地，我们使用rmin=^rmin=zmin=0，ymin=-6，rmax=^rmin=zmin=4，ymax=-因此，我们将等式（21）中定义的边界条件移动到该截断域的边界。注意，在我们的数值方法（见第5节）中，我们将等式（21）替换为定价PDEsEq。（18），式（20），然后导出相应的简化形式离散（边界）算子。由于将边界条件明确纳入定价方案，后者可以统一实施，无需额外检查边界条件是否满足。为了及时推进，我们使用二阶后向微分公式（BDF-2），Endre和David（2003）。为了计算公式（35）中的应计金额Laas，我们使用间隔两周的时间离散。该方法在Matlab2017A中实现，并在MacBook Pro上进行了实验，该MacBook Pro具有16 GB RAM的核心i7处理器。为了研究数量效应及其对CDS合同价格的影响，我们考虑了两个类似的CDS合同。第一种是在国外经济中进行交易的，例如在意大利，但根据国内风险中性Q指标进行定价，因此以本国货币（美元）计价。为了确定本合同的价格，我们采用了前面章节中描述的方法。第二张CDS是在国内经济中交易的同一份合同，也是以本国货币计价的。因此，其价格可以通过解决与第一张CDS相同的问题来获得，但不考虑外国利率和外汇利率的方程式。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 17:39:25

因此，使用了包括指数z和^rvanish以及无跳跃框架在内的所有相关关系。然而，终止条件与第4节中的相同，因为它们已经用本国货币表示。下面，我们将第一份合约作为s，第二份合约作为sd表示CDS价差。因此，量子效应的影响可以确定为这两个价差之间的差异s=s- sd，（44），以下引用为“基准”价差。表2给出了数值实验中使用的一组默认参数值。还假设在这个默认集合中，所有相关性都为零。如果没有另外说明，我们使用这些值并假设外汇和外国利率没有跳跃。在这些假设下，参考5YCDS par价差值sd为sd=365个基点。我们的经验表明，这种方法工作得更好，并提供了更稳定的RBF近似。或者，如果设置z=1，^r=r，γz=^a=σ^r=γ^r=0，以及ρ·，z=ρ·，^r=ρz，^r=0，则可以使用整个四维框架，其中h·i∈ [r，z，y]。利率sr a bσr^r^a^bσr0.02 0.08 0.1 0.01 0.03 0.08 0.1 0.08风险和外汇利率、期限和回收率yy aybyσyzσzT r-4.089 0.0001-210 0.4 1.15 0.1 5 0.45表2：实验中使用的默认参数值集。图3显示了利率（左面板）和汇率（右面板）跳跃对基差的影响。在没有跳跃（γ^r=0或γz=0）的情况下，国内和国外利差的基础约为3个基点。这接近正常情况，即不发生货币和利率贬值。事实上，直到最近，量子效应才被考虑在内。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:28

例如，汤森路透（2011）报道，2006年，以美元和欧元支付的希腊CDS交易差额为1个基点。0 1 2 3 4-5051015-0.8-0.6-0.4-0.2 0-300-250-200-150-100-500图3：默认振幅跳变对5Y CDS par价差的影响。图3左面板中显示的结果表明，对于γ^r，^r跳跃的影响迅速增加∈ [0，2]，然后在某种程度上饱和。我们通过投资者对利率是增加300%还是400%的不同程度来解释这种饱和，因为利率水平并不直接影响保护金额，而是影响外国经济中的投资环境。相比之下，外汇汇率对保护有直接影响（右图），因为外币贬值会减少兑换成美元时支付的金额。通过已知的风险率近似值，通过扩散和债券回收率λ≈s1级- R、利用Brigo et al.（2015）的结果，我们确定≈ （1+γz）sd。也就是说，外币CDS利差与系数为（1+γz）的参考美元利差大致成比例。因此，在外币贬值的情况下，以外币支付的息票应更低。可以观察到，我们的模型提供的结果完全符合这种直觉。我们强调，由于Brigo et al.（2015）对外汇利率违约跳跃的影响进行了彻底的调查，因此本文主要侧重于考察外国利率违约跳跃的影响。然而，也调查和报告了其他模型参数的影响。-0.2-0.15-0.1-0.05000.511.52-80-60-40-20020γ^rγzs（bps）图4：基差作为外汇和利率跳跃幅度的函数。在图中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:31

4介绍了外汇和外国IR跳跃对基差价值的联合影响。可以看出，^Rt中的默认跳跃，与同时发生，如果危险率λ为常数，则这是正确的。然而，Brigo等人（2015）只考虑了恒定的国外和国内利率，而在本文中，即使在无跳跃的框架下，它们也是随机的。与^rtt不跳跃的类似情况相比，Zt中的默认跳跃会降低基差幅度。这一下降略微取决于γzand的水平，我们的一组参数约为10 bps。为了更好地说明这一点，图5表示图4中表面的一些切片。可以看出，γz越小，γr的影响越大，但在γr处达到某种饱和≈ 四点零一二三四-4.-2024681012γ^rs（bps）γz=0γz=- 0.25γz=- 0.5图5：跳跃幅度γ^对跳跃幅度γz的各种值的影响。注意，这些线从同一点开始移动。在接下来的一系列实验中，我们将研究随机因素之间的相关性对量子调整CDS值的影响。图6所示的结果表明，只有危险率λt（或Yt）与经历跳跃违约的随机因素^Rt，Zt之间的相关性才相关。风险和外汇利率之间的相关性ρyz的影响范围为45个基点，而风险利率和外国利率之间的相关性ρy^rb的影响不超过3个基点-1-0.5 0 0.5 1-30-20-1001020-1-0.5 0.5 1-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1-0.5 0 0.5 1-3.495-3.49-3.485-3.48-3.475图6：相关性对5Y CDS par价差的影响。默认情况下不假定有跳跃。无花果

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:35

7显示了外国利率与其他三个随机因素之间的相关性水平如何影响γ^ratγz=0的各种值下的基差。根据前面提到的内容，结果表明，除了与危险率ρyz、ρy^r.0 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-5051015的相关性外，相关性仅对基本扩散值产生轻微影响。图7：相关性对各种γ^大鼠γz=0的基础扩散的影响。图8显示了国外CDS对随机因素波动的敏感性。我们注意到，风险率波动率σi的影响最大，在无跳跃设置下，CDS报价可以在17个基点的范围内变化。外汇汇率波动率σzi的影响稍弱，而利率波动率σr，σ^的影响几乎可以忽略不计。0 0.2 0.4 0.6 0.8-15-10-5050 0.1 0.2 0.3 0.4-16-14-12-10-8-6-4-20 0.05 0.1 0.15 0.2-3.6-3.55-3.5-3.45-3.4图8：波动性对5年期CDS par价差的影响。默认情况下不假定有跳跃。为了分析Rt跳跃情况下两种最具影响力的波动性的影响，我们测试了波动性水平如何影响国外CDS par价差与跳跃幅度的关系。这些结果如图9、10所示。增加σyin组合并使^R增加100%会导致基差从负变为正，而增长的绝对值s约为15个基点。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:37

然而，σz的影响正好相反。σzgive的较大值上升为负基差，虽然可以通过外国利率违约跳跃的幅度γ^Rt.0 1 2 3 4-15-10-5050 1 2 3 4-505101 2 3 4051015200 1 2 3 4-5051015图9：风险率波动σ对基差的影响，作为γ^ratγz=0的函数。注意，在右下面板中，线从同一点开始移动。0 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-50510150 1 2 3 4-15-10-5050 1 2 3 4-5051015图10：σzon作为γ^ratγz=0的函数对基差的影响。注意，在右下面板中，线从同一点开始移动。因此，我们观察到，外汇汇率违约率的跳跃是解释以美元计价的Quanto CDS报价与外币之间已知差异的最大部分的最显著因素。然而，外国利率的潜在跃升可能是基差价值约20个基点的原因。然而，重要的是要注意，这两次跳跃具有相反的影响：外汇汇率的跳跃会降低外国CDS的价值，而IR的跳跃会增加外国CDS的价值。结论本文介绍了一种新的模型，可以用来定价Quanto CD。该模型具有四个随机因素，即风险率、外汇汇率、国内利率和国外利率，还考虑了外汇和国外利率违约时的跳跃。风险债券价格和CDS价格的相应偏微分方程系统与Bielecki et al.（2005）中的方法类似。为了求解这些方程，我们发展了一种基于单位分割法的局部径向基函数方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:41

该方法的优点是，在四维情况下，它保持了较高的精度，同时使用的资源比相应的单位差法或蒙特卡罗方法少。RBF方法可能会成为并行化的主题，从而提高计算效率。本文中给出的数值实验结果定性地解释了国内外经济中CDS利差标记值的差异，并相应地以国内（美元）和国外（欧元、卢布、雷亚尔等）货币计价。数量效应（不同经济体交易的相同CDS合约价格之间的差异，但以相同货币表示）在很大程度上可以用外币贬值来解释。如果换算成美元，这将产生更低的保护支出。这些结果与Brigo等人（2015）的结果相似。然而，我们强调，在Brigo et al.（2015）中，只考虑了恒定的国外和国内利率，而在本文中，即使在无跳跃的框架下，它们也是随机的。与Brigo et al.（2015）相比，在本文中，我们还分析了外国利率违约跳跃的影响，这可能与外汇利率违约同时发生。我们发现，这种跳跃是这一过程的重要组成部分，能够解释基差值的20个基点。然而，值得注意的是，外汇汇率和IR的跳跃产生了相反的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 17:39:44

换言之，外币贬值将降低外国CDS的价值，而外国利率的提高将增加外国CDS的价值。该模型的其他重要参数是危险率和包含跳跃的子因子之间的相关性，即ρyz和ρy^r，以及危险过程的波动率σ和偏移率σz。因此，必须对其进行适当校准。改变其他相关性对基差值的影响很小。在某些情况下，较大的波动率值可能会高达基差值的15个基点。我们还必须提到，定价问题是通过落后的偏微分方程形成的。因此，CDS价差的计算需要在低于合同到期日的时间网格上独立求解每个离散时间点的PDE。如果我们对相应的密度函数使用正向偏微分方程，而不是反向偏微分方程，这将得到显著改善。我们将这一改进留待其他地方实施。感谢Peter Carr和Damiano Brigo的宝贵意见和讨论。维克多·希尔巴科夫感谢H F Sederholms Stidestiftelse、Rektors resebidragfran Wallenbergstiftelsen和Anna Maria Lundins Stideefond的支持。Victor Shcherbakov还感谢纽约大学Tandon School的金融和风险工程系，他在那里作为访问学者撰写了这篇论文。我们对任何剩余错误承担全部责任。参考Sahlkrona，J.和Shcherbakov，V.（2017）。非牛顿自由表面冰流的无网格方法：应用于Haut Glacier d\'Arolla。J、计算机。物理。，330:633–649.Augustin，P.、Chernov，M.和Song，D.（2017年）。主权信用风险和汇率：从CDS到quanto利差的证据。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝