局部波动下欧式quanto期权的展开公式

2022-6-9 17:10:18

本地波动性FX-LIBOR模型中欧洲QUANTO期权的扩展公式Julien HOK、PHILIP NGARE和ANTONIS PAPAPANTOLEONABSTRACT。我们开发了一种扩展方法，用于以伦敦银行同业拆借利率（外币）为基础的欧洲quanto期权定价。我们推导了国内远期措施下的外汇LIBOR利率系统的动力学，然后考虑quanto期权的价格。为了考虑固定收益和外汇市场中观察到的倾斜/微笑效应，我们考虑了伦敦银行同业拆借利率和外汇利率的局部波动模型。由于局部波动函数的结构，quanto期权价格不存在闭式解。利用对数正态动力学相关代理的展开，我们导出了价格的Black-Scholes型近似公式，这有助于给出非常快速的数值过程。我们的扩展公式的主要优点是，它们允许使用Malliavin演算精确估计误差，这与期权的成熟度、回报以及局部波动率函数的水平和曲率直接相关。这些展开式也说明了量子漂移调整的影响，而数值实验显示了极好的精度。1、简介我们对伦敦银行同业拆借利率的欧洲quanto期权定价感兴趣。这些对应于一种衍生工具，其中基础利率以一种货币（外币）计价，但以另一种货币（本币）付款。这些产品对那些希望接触外国资产但没有相应汇率风险的投机者和投资者来说很有吸引力。例如，想想一个以欧元为基础的投资者，他正在寻求英镑伦敦银行同业拆借利率的风险敞口，但不想受到英镑/欧元汇率变化的影响。

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2022-6-9 17:10:21

英镑伦敦银行同业拆借利率的欧洲quanto期权对她来说是一种非常合适的金融产品，因为它在英镑伦敦银行同业拆借利率上具有标准非quanto期权的收益，并在到期时将保证利率为1的收益从英镑转换为欧元。在无套利框架下，quanto期权的定价可以在国内远期措施下进行。为了表达该定价措施下的基本伦敦银行同业拆借利率动态，必须应用Girsanov定理，得出一个漂移项，该漂移项取决于伦敦银行同业拆借利率的波动性、外汇利率的波动性以及伦敦银行同业拆借利率和外汇利率之间的相关性。该漂移项导致定价调整，该调整被称为quanto调整，属于更一般的金融凸度数学调整范畴。这类合同被Pellser（2000）称为“奇异欧洲期权”，广泛用于场外交易（OTC）。欧洲quanto期权的正确定价和风险管理是金融业的一个重要问题。如Romo（2012）所述，考虑利率和外汇利率的市场偏差/波动对于正确评估欧洲quanto衍生品至关重要。在参考教科书和文章中，如Musiela和Rutkowski（2005）、Brigo和Mercurio（2006）或Reiner（1992），为了获得分析公式，考虑了简化的Black-Scholes模型。金融行业通常采用类似的实用方法；更多详情请参见第5.2节或例如Romo（2012）和Christoffersen and Jacobs（2004）。然而，在quanto漂移调整中，它没有适当考虑基础资产的倾斜/微笑效应。

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2022-6-9 17:10:32

这些问题与常用的方法以及在评估关键词和短语时适当地结合歪斜/微笑的重要性有关。欧洲quanto衍生工具、凸性调整、波动率倾斜/微笑、局部波动率Fx LIBOR模型、展开式、分析近似、Malliavin演算。2 Romo（2012）、J¨ackel（2016）、Giese（2012）或Vong和Rojas Carulla（2014）对J.HOK、P.NGARE和A.PapapantoleoneEuropean quanto期权进行了研究和讨论。局部波动率模型，无论是参数模型还是非参数模型，参见Derman和Kani（1998）；杜皮尔（1994）；J¨ackel（2008）；Rubinstein（1994）或Cox（1975）通常比其他方法（如随机波动率模型）更精确地捕捉隐含波动率的表面；有关讨论，请参见Ren、Madan和Qian（2007）或Romo（2012）。此外，Romo（2012）或Hull and Suo（2002）的研究结果表明，局部波动率模型可以在波动率倾斜/微笑的情况下为欧洲quanto衍生品定价提供正确的方法。基于上述讨论，我们建议在一般的局部波动性框架中评估欧洲quanto期权。由于其通用性，通常很难获得定价的分析公式，尤其是在高维情况下。通常，有效的定价需要使用基于PDE（偏微分方程）技术或蒙特卡罗模拟的数值方法，这对于实时应用而言可能非常耗时。只有在极少数情况下才有闭式公式；参见Albanese、Campolieti、Carr和Lipton（2001）。在同质波动率的情况下，使用奇异摄动技术（Haganand Woodward（1999））获得Vanilla期权（看涨期权、看跌期权）价格的渐近表达式。

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2022-6-9 17:10:34

隐含波动率公式是使用短期到期的渐近展开方法推导出来的，如Berestycki、Busca和Florent（2002）、Henry Labord\'ere（2005）和Albanese等人（2001）。在更一般的扩散环境中，基于小扰动渐近推导出密度函数和期权价格的近似值，参见Kunitomo和Takahashi（2004）；吉田（1992）或高桥（1995、1999）或高桥（2015）进行审查。通过采用Hagan和Woodward（1999）中使用的奇异摄动方法，几位作者开发了一般局部波动模型中基础过程和期权价格密度函数的展开公式；例如，参见Pagliarani和Pascucci（2012）以及Foschi、Pagliarani和Pascucci（2013）。本文旨在为一般局部波动率模型中的quanto期权提供简单而准确的近似公式。为此，我们使用Benhamou、Gobet和Miri（2009）中介绍的代理应用扰动方法。该方法已在多个方向得到应用和推广，如Benhamou、Gobet和Miri（2010b，2012）、Gobet和Miri（2014）、Gobet和Hok（2014）以及Gobet和Bompis（2014）。我们推导出Black-Scholes类型的展开公式，并使用Malliavin演算进行分析，以提供准确的误差估计。我们认为，严格的误差估计至关重要，因为我们的展开式的准确性取决于支付函数的正则性。一旦完成，这将带来对衍生扩展的信心，并阐明所需的假设；请参见定理3.6和3.7中的主要结果。我们的展开式的一个主要优点是，它们清楚地说明了量子漂移调整的影响，并为其实现提供了非常快速的数值程序。

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2022-6-9 17:10:37

数值试验（见第5节）表明，我们的公式构成了一个非常精确的近似值。我们之所以对这些问题感兴趣，是因为欧洲quanto衍生品在伦敦银行同业拆借利率上的具体应用，因此我们专门研究这种情况。然而，近似方法和结果也可以应用于其他金融资产。此外，我们重点关注单曲线LIBOR模型，因为它们构成了多曲线模型的基础。鉴于本文的分析和结果，对多重曲线的扩展很简单，但也很繁琐。本文的结构如下：第2节介绍了用于同时建模外汇和伦敦银行同业拆借利率以及quanto期权的本地波动率模型。第3节概述了通过代理模型展开的quanto定价方法，并陈述了主要结果，即quanto期权价格的二阶和三阶展开。第4节提供了误差分析和二阶展开式的推导，而第5节提供了数值结果。最后，附录中包含了一些辅助结果和三阶展开式的推导。欧洲QUANTO选项32的扩展公式。FX-LIBOR模型和欧洲QUANTO期权2.1。本地波动性FX-LIBOR框架。让(Ohm, F、 F，QN）表示过滤概率空间，其中过滤F=（Ft）t∈[0，TN]满足通常条件，TN表示时间范围。也让T={0=T<T<····<TN}表示离散的基调结构，其中δi=Ti+1- Ti是[Ti，Ti+1]期间的应计分数，定义I={1，…，N}。日期（Ti）i∈I与交易工具的到期日相关。我们假设存在国内和国外零耦合债券的无套利系统，分别表示为（B（·，Ti））i∈Iand（Bf（·，Ti））i∈我

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2022-6-9 17:10:40

我们进一步考虑了国内外的前向鞅测度，用（Qi）i表示∈土地（Qfi）i∈一、其中，相应的零息票债券作为每个远期措施的计票依据。设W=（Wt）t∈[0，TN]和wf=（Wft）t∈[0，TN]表示标准d维布朗运动，相对于国内外终端正向测度qn和qfn。让我∈土地（Lfi）i∈注意国内和国外远期伦敦银行同业拆借利率，即在国内和国外市场上投资的时间段【Ti，Ti+1】的离散复合远期利率。它们与零息票债券的关系通常由1+δiLi（t）=B（t，Ti）B（t，Ti+1）和1+δiLfi（t）=Bf（t，Ti）Bf（t，Ti+1）给出。（2.1）外国伦敦银行同业拆借利率（Lfi）体系的动态∈Iis由形式为DLFI（t）=Lfi（t）λi的局部挥发模型提供t、 Lfi（t）dWf，i+1t，（2.2），其中Qfi+1-布朗运动通过Wf与终端布朗运动相关，i+1=Wf，N-NXk=i+1·ZδkLfk（t）1+δkLfk（t）λkt、 Lfk（t）dt，（2.3）适用于所有t∈ [0，Ti+1]。函数λi:[0，Ti]×R→ Rd+，i∈ 一、是连续的、确定性的，并满足适当的线性增长条件，参见Brigo和Mercurio（2006，§10.3）。它们代表了外国远期伦敦银行同业拆借利率Lfi的本地波动性。Let（X（t））t∈[0，TN]表示以每单位外币的本国货币单位表示的外汇汇率。时间Ti结算的外汇远期汇率，由（Xi（t））t表示∈[0，Ti]由无套利参数定义，由xi（t）=Bf（t，Ti）X（t）B（t，Ti），（2.4）为所有t∈ [0，Ti]。

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2022-6-9 17:10:43

根据定义，外汇远期利率是一个Qi鞅，我们假设它再次遵循formdXi（t）=Xi（t）σi的局部波动模型t、 Xi（t）dWit，（2.5），其中wii是Qi布朗运动，σi：[0，Ti]×R→ Rd+，i∈ 一、是一个满足适当线性增长条件的连续确定性函数，表示外汇远期利率的局部波动性。国内外前向布朗运动通过wf，i=Wi进行关联-·Zσit、 Xi（t）dt，（2.6）对于所有i∈ 一、这个方程和（2.3）一起确定了家庭正向布朗运动之间的关系；详情参见Schl¨ogl（2002）（特别是图2）。4 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantoleon因此，DLFI（t）=-Lfi（t）λit、 Lfi（t）σi+1t、 Xi+1（t）dt+Lfi（t）λit、 Lfi（t）dWi+1吨。(2.7)2.2. 欧洲quanto期权和局部波动模型。quanto cap是一系列quanto caplet，其中每个quanto caplet都是以本国货币为基础的外国LIBOR利率的看涨期权。换言之，具有执行价格K和到期日Ti的quanto caplet在时间Ti+1金额δi支付Lfi（Ti）- K+（2.8）以本国货币为单位。

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能者818

2022-6-9 17:10:46

因此，quanto caplet的价格由qc（Ti，K）=δiB（0，Ti+1）Ei+1提供Lfi（Ti）- K+, （2.9）其中Ei+1表示国内远期措施Qi+1的预期。在续集中，我们将考虑一个局部波动模型，其中每个伦敦银行同业拆借利率和每个FXforward利率都由“各自的”一维相关布朗运动驱动，从而形成以下SDE系统：dLfi（t）=-Lfi（t）λit、 Lfi（t）σi+1t、 Xi+1（t）ρidt+Lfi（t）λit、 Lfi（t）dWL，i+1tdXi+1（t）=X（t，Ti+1）σi+1（t，Xi+1（t））dWX，i+1thWL，i+1，WX，i+1i=ρi，（2.10），初始值Lfi（0），Xi+1（0）∈ R+，其中λi和σi是R+-值波动率函数和ρi∈ [-1, 1].假设（2.10）中的所有系数都是确定性的，Lfi（t）是对数正态分布的，并且（2.9）中quanto caplet的价格由Black-Scholes型公式给出；参见Brigoand Mercurio（2006）或Musiela和Rutkowski（2005）。为了考虑固定收入和外汇市场中观察到的倾斜和微笑效应，我们将考虑一个局部波动模型，并假设λi（t，Lfi（t））和σi+1（t，Xi+1（t））分别是Lfi（t）和Xi+1（t）的函数。在这种情况下，闭式解不再存在，通过蒙特卡罗模拟或偏微分方程方法进行数值计算（2.9）非常耗时。因此，我们的目标是为（2.9）提供一个足够精确的近似公式，并允许有效实施。备注2.1。我们自始至终都假设远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇利率之间的相关性是确定性的，并且取决于到期日。时间和成熟度相关关系的扩展很简单。3.

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2022-6-9 17:10:49

QUANTO定价的扩展方法期权定价扩展方法的主要思想是，根据已知且可以快速计算的数量，推导出期权价格的渐近扩展，例如Black-Scholes模型中的价格和希腊价格。这导致期权价格的数值方案比相应的偏微分方程或蒙特卡罗方法计算速度更快，而其精度可以通过在展开式中加入附加项来提高。本节对（通用）quanto期权的价格进行了类似的扩展，并根据Black-Scholes模型和希腊语提供了该期权价格的公式，而FX和LIBOR之间的相关性起着至关重要的作用。为了简化符号，我们将抑制与tenorand货币相关的子脚本和超级脚本，并使用以下符号：Lt=Lfi（t），Xt=Xi+1（t），W·=W·，i+1，E=Ei+1，ρ=ρi，t=Ti。（3.1）欧洲QUANTO期权5的展开公式考虑到伦敦银行同业拆借利率和外汇利率的对数，用Y=ln L和Z=ln X表示，SDEs系统（2.10）的形式如下dYt=α（t，Yt，Zt）dt+λ（t，Yt）dWLt，Y=ln L=ydZt=β（t，Zt）dt+σ（t，Zt）dWXt，Z=ln X=Z，hWL，WXi=ρ，（3.2），其中α（t，y，z）=-[λ（t，y）+ρλ（t，y）σ（t，z）]λ（t，y）=λi（t，ey）β（t，z）=-σ（t，z）σ（t，z）=σi+1（t，ez）。（3.3）此外，具有一般支付函数的quanto期权的价格h:R→ R+由qoh（T）=δB（0，T）E[h（YT）]提供。（3.4）取h（y）=（ey- K） +，我们在（2.8）–（2.9）中恢复quanto caplet。3.1. 对数正态动力学下的闭式公式。假设局部波动系数是确定性的时间相关函数，尤其是λ（t，y）≡ λ（t，y）和σ（t，z）≡σ（t，z），对于所有t∈ [0，T]。

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2022-6-9 17:10:53

然后，Yt服从正态分布，我们可以导出（2.8）中定义的quanto caplet价格的闭合公式。实际上，使用随机微积分的标准结果，我们得到了thatYT=y-∧（T）- ∑（T）+TZλ（T，y）dWLt，（3.5），其中∧（T）=TZλ（T，y）dt，∑（T）=ρTZλ（T，y）σ（T，z）dt。（3.6）因此，正如Brigo和Mercurio（2006）所述，quanto caplet的价格由以下Black-Scholes型公式给出：QCBS（T，K）=δB（0，T）EeYT公司- K+= δB（0，T）CBS（y）（3.7），其中CBS（y）=ey-∑（T）Φ（d）- ekΦ（d），（3.8），其中Φ表示标准正态分布的cdf，k=ln k，d=y- k- ∑（T）+∧（T）p∧（T），d=d-p∧（T）。(3.9)3.2. 一般动力学下的展开式。本小节的目的是在我们考虑伦敦银行同业拆借利率和外汇汇率的一般本地波动率动态时，提供近似quanto期权价格的扩张公式。首先，让我们介绍一些符号和一些假设，以推导这些公式。假设（Rn）。对于某些n，波动率函数λ（·，y）和σ（·，z）分别属于y和z类∈ N、此外，这些函数及其导数是一致有界的。让我们引入以下常数λ：=max1≤我≤nsup（t，y）∈[0，T]×R|iyλ（t，y）|，Mσ：=max1≤我≤nsup（t，z）∈[0，T]×R|izσ（t，z）|（3.10）Mλ：=最大{Mλ，sup（t，y）∈[0，T]×R |λ（T，y）|}，Mσ：=最大{Mσ，sup（T，z）∈[0，T]×R |σ（T，z）|}（3.11）6 J.HOK，P.NGARE，和A.PAPAPANTOLEONand alsoM：=最大{Mλ，Mσ}，M：=最大{Mλ，Mσ}。（3.12）让我们用H表示函数空间，其增长率最大为指数。换句话说，如果| h（x）|，函数h属于h≤ cec | x |，对于任意x，对于两个正常数cand c。此外，让h（k）表示函数h的第k阶导数。我们将根据支付函数的平滑度来分离分析，并区分两种情况：假设。

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2022-6-9 17:10:56

支付函数h属于C∞（R，R），紧支撑实值有限可微函数空间。假设。支付函数h几乎处处可微。此外，h和h（1）属于h。备注3.1。第一个假设对应于（理想化的）平滑支付函数，而第二个假设对应于看涨期权和看跌期权。在实际市场中，远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇利率之间的相关性通常不是很大。例如，Boenkost和Schmidt（2003）的实证研究发现其价值在[-0.2, 0.2]. 因此，以下假设与实际市场数据一致。假设（RHO）。远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇利率之间的相关性并不完美，即|ρ|<1。（3.13）为了在误差估计中进行微元分析，我们依赖于平滑特性，这些特性不是由支付函数提供的，而是由基础随机模型的规律提供的；这与Malliavin微积分有关。以下关于远期伦敦银行同业拆借利率波动率的椭圆度假设与假设（R）相结合，即n=4的假设（Rn），保证了充分的平滑性。假设（ELL）。

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2022-6-9 17:10:59

远期伦敦银行同业拆借利率λ的波动性不会消失，对于正恒量，其波动性为1≤kλk∞λinf≤ CE，（3.14），其中kgk∞= sup（t，y）∈[0，T]×R | g（T，y）|和λinf=inf（T，y）∈[0，T]×R |λ（T，y）|。我们现在考虑以下“代理”或“Black-Scholes”流程：dYt=α（t，y，z）dt+λ（t，y）dWLt，y=y，dZt=β（t，z）dt+σ（t，z）dWXt，z=z，hWL，WXi=ρ，（3.15），并为η引入一系列参数化过程（yη，zη）∈ [0，1]，通过SDEs系统：dYηt=αt、 ηYηt+（1- η） y，ηZηt+（1- η） zdt+λt、 ηYηt+（1- η） y型dWLt，Yη=Y，dZηt=βt、 ηZηt+（1- η） zdt+σt、 ηZηt+（1- η） zdWXt，Zη=Z，hWL，WXi=ρ。（3.16）设置η=1，我们在（3.2）中恢复了局部波动率模型的动力学，因为Yt=Yt和Zt=Zt，而对于η=0，我们在（3.15）中恢复了Black-Scholes代理。假设（R）得出，对于任何t∈ [0，T]，η（Yηt，Zηt）是相对于η的cw；参见Bell（2006）或Kunita（1997）。

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2022-6-9 17:11:02

设置Yηi，t=iYηtηi，Zηi，t=iZηtηi and通过欧式QUANTO期权7的直接展开公式，SDEs微分（3.16），我们得到dZη1，t=（ηZη1，t+Zηt- z） [βzdt+σzdWXt]，dYη1，t=[（ηYη1，t+Yηt- y） αy+（ηZη1，t+Zηt- z） αz]dt+（ηYη1，t+Yηt- y） λydWLt，（3.17），yη1,0=Zη1,0=0，和dZη2，t=（2Zη1，t+ηZη2，t）[βzdt+σzdWXt]+（ηZη1，t+Zηt- z） [βzzdt+σzzdWXt]，dYη2，t=（2Yη1，t+ηYη2，t）[αydt+λydWLt]+（2Zη1，t+ηzη2，t）αzdt+2（ηYη1，t+Yηt- y）（ηZη1，t+Zηt- z） αyzdt+[（ηYη1，t+Yηt- y） αyy+（ηZη1，t+Zηt- z） αzz]dt+（ηYη1，t+Yηt- y） λyydWLt，（3.18），yη2,0=Zη2,0=0，和dZη3，t=（3Zη2，t+ηZη3，t）[βzdt+σzdWXz]+3（2Zη1，t+ηZη2，t）（ηZη1，t+Zηt- Z） [βzzdt+σzzdWXt]+（ηZη1，t+Zηt- Z） [βzzzdt+σzzzdWXt]，dYη3，t=（3Yη2，t+ηYη3，t）[αydt+λydWL]+（3Zη2，t+ηZη3，t）αzdt+3（ηYη1，t+Yηt- Y）（2Yη1，t+ηYη2，t）[αyydt+λyydWLt）]+3（ηZη1，t+Zηt- Z）（2Zη1，t+ηZη2，t）αzzdt+3[（ηYη1，t+Yηt- Y）（2Zη1，t+ηZη2，t）+（ηZη1，t+Zηt- Z）（2Yη1，t+ηYη2，t）]αyzdt+3[（ηYη1，t+Yηt- Y）（ηZη1，t+Zηt- Z） αyyz+（ηYη1，t+Yηt- Y）（ηZη1，t+Zηt- Z） αzzy]dt+（ηYη1，t+Yηt- Y） αyyydt+（ηZη1，t+Zηt- Z） αzzzdt+（ηYη1，t+Yηt- Y） λyyydWLt，（3.19），Yη3,0=Zη3,0=0。这里，我们使用以下简写符号表示SDE系数的一阶导数αx=αx（t，y，z）y=ηyηt+（1-η） y，z=ηzηt+（1-η） z，x∈ {y，z}，λy=λy（t，y）y=ηyηt+（1-η） y，βz=βz（t，z）z=ηzηt+（1-η） z，σz=σz（t，z）z=ηzηt+（1-η） z，（3.20）和类似的高阶导数。现在让我们介绍一下这种方法的主要工具，它们是随机变量的展开式和quanto期权围绕已知值的支付函数。为了保持符号简单，我们设置了Yi，t=iYηtηi |η=0，Zi，t=iZηtηi |η=0。然后，通过在0附近执行y的泰勒展开，我们得到y=y+Y1，T+Y2，T+ZYη3，T（1- η） dη。

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2022-6-9 17:11:06

（3.21）（3.15）中代理模型的动力学得出，YTis是一个具有均值和方差qvt的高斯随机变量，其中mt=y+TZα（t，y，z）dt，VT=TZλ（t，y）dt。（3.22）8 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantoleon现在对（3.4）中h（YT）附近的收益进行泰勒展开，我们得出以下形式的公式：E[h（YT）]=E[h（YT）]+修正项+误差。（3.23）第一项E[h（YT）]构成了前导阶贡献，这是明确已知的（通过类似于（3.7）的分析公式，用于支付函数h），但仅作为近似值不够精确。因此，在续集中，我们将推导修正项，以达到更好的精度。这些修正条款表示为期权价格公式（3.7）的希腊组合。因此，所有这些项的数值计算都很简单，计算成本相当于分析公式（3.7）。3.3. 定义和符号。在提供主要结果之前，让我们介绍一些将在续集中使用的定义和符号。定义3.2（积分运算符）。积分算子ω定义如下：对于任何可积函数l，设置ω（l）Tt=t的TZtludu（3.24）∈ [0，T]。类似地，对于可积函数（l，l）和t∈ [0，T]设置ω（l，l）Tt=ω（lω（l）T·）Tt=TZtl1，rTZrl2，sdsdr.（3.25）这可以很容易地迭代定义ω（l，l，···，ln）Tt=ω（lω（l，···，ln）T·）Tt。定义3.3（希腊语）。设h是一个适当的支付函数（这样下面的表达式才有意义）。我们准备好了，因为我≥ 0，ghi（YT）=我iEh类年初至今+=0。（3.26）备注3.4（通用常数）。我们使用符号A≤cB声明≤ cB，其中c是一个正常数，取决于模型参数、M、T、Ce和其他宇宙常数。

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2022-6-9 17:11:08

常数c可能会随着行的变化而变化，但当modelparameters变为0时，常数c仍保持有界。备注3.5（系数符号）。从现在起，系数α、β、λ、σ及其导数将在初始值（y，z）处进行评估，即当我们写α、β、λ、σ时，我们指的是α（·，y，z）、β（·，z）、λ（·，y）、σ（·，z），其导数也同样适用。当我们想强调它们对时间的依赖性时，有时也会使用下标t。3.4. 主要结果。我们现在准备陈述这项工作的主要结果，这些结果提供了围绕代理模型的期权价格的二阶和三阶展开式，从而得出了（3.23）中的精确公式。证明推迟到第4节。定理3.6（价格的二阶展开）。假设条件（R）、（S）、（ELL）和（RHO）有效。然后，期权价格的二阶展开式为：E[h（YT）]=E[h（YT）]+ω（λ，λyλ）Tgh（YT）-gh（YT）+gh（YT）+ρgh（YT）[ω（λσ，λyλ）T+ω（λ，λyσ）T+ω（σ，λσz）T]-gh（YT）[ω（λσ，λyλ）T+ω（λ，λyσ）T]+ρgh（YT）ω（λσ，λyσ）T- gh（YT）ω（λσ，λσz）T+ 错误（3.27）欧洲QUANTO选项9的扩展公式另外，误差估计由| error |提供≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）（ηYT+（1- η） YT）kdηMλinf（1- ρ） MMT。（3.28）定理3.7（价格的三阶展开）。假设条件（R）、（S）、（ELL）和（RHO）有效。

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2022-6-9 17:11:12

然后，期权价格的三阶展开式为：E[h（YT）]=E[h（YT）]+Xj=1γ0，j，Tghj（YT）+Xi=1γi，Tρi+误差，（3.29），其中γ0,1，T=（A1，T- A2，T- A3，T）-B1，T-（B2，T+B3，T）γ0,2，T=-A1，T+（A2，T+A3，T）+B1，T+（B3，T+B2，T）+C33，T+C32，Tγ0,3，T=A1，T- 6B1，T- 2（B3，T+B2，T）-C32，T- 3C33，Tγ0,4，T=3B1，T+B2，T+B3，T+C32，T+C33，Tγ0,5，T=-3C32，T- 6C33，Tγ0,6，T=C32，T+2C33，T（3.30），带A1，T=ω（λ，λy）TA2，T=ω（λ，λyy）TA3，T=ω（λ，（λy））TB1，T=ω（λ，λy，λy）TB2，T=ω（λ，λ，λyy）TB3，T=ω（λ，λ，（λy））TC32，T=ω（λ，λy，λ，λy）TC33，T=ω（λ，λ，λ，λ，λy，λλλy）T.（3.31）附录C中的（C.16）、（C.22）、（C.28）和（C.33）分别提供了系数γi，T，i=1、2、3、4的表达式。此外，误差估计由| error |给出≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）（ηYT+（1- η） YT）kdη毫米（λinf（1- ρ））T.（3.32）备注3.8（健全性检查）。设ρ=0，则LIBOR SDE（3.2）中的quanto（漂移）调整消失，我们恢复了Benhamou、Gobet和Miri（2010a）中定理2.1和2.3分别给出的二阶和三阶近似公式。如果ρ6=0，则二阶和三阶展开式（3.27）和（3.29）提供了一些关于量化（漂移）调整对期权价格的影响的信息，即相关性ρ的非多项式函数。考虑一个收益为h（y）=（ey）的看涨期权-ek）+，则上述定理提供了其对数变量价格的近似公式。在这种情况下，E[h（YT）]=CBS（y）对应于（3.7）给出的Black-Scholes价格。为了计算修正项，我们需要计算CBS（y）w.r.t.y的导数。下面是一个有用的引理，可以使用Hermitte多项式系统地计算它们。引理3.9。

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何人来此

2022-6-9 17:11:15

让n≥ 1那么我们有国家编目局（y）yn=ey-∑（T）Φ（d）+1{n≥2} Φ（d）n-1Xj=1n- 1j(-1） j-1Hj-1（d）（(R)λ√T）j, （3.33）其中Hj，j∈ N、表示定义为asHj（x）=(-1）杰克斯nxn（e-x），j∈ N、（3.34）附录A.10 J.HOK、P.NGARE和A.PAPAPANTOLEON4中提供了证明。分析和证明本节提供定理3.6和3.7中提出的quanto定价展开公式的推导，以及相应误差项的分析。在得到一些初步结果后，第4.2节给出了二阶和三阶展开式的展开公式和相应的误差估计。第4.3节介绍了二阶展开式的希腊语推导，而为了简洁起见，三阶展开式的希腊语细节推迟到附录中。4.1. 辅助结果。我们从一些对后续误差分析有用的结果开始。Lp估计值来源于Benhamou等人（2010a，定理5.1）的工作，因此省略了它们的预测。通常，实随机变量Z的Lp范数由kZkp提供=E[| Z | p]p、 p≥ 引理4.1（Lp估计）。假设条件（R）有效。那么，对于所有p≥ 1 andi=1，2，3，我们有SUPT∈[0，T]，η∈[0,1]kZηt- zkp公司≤厘米√T，支持∈[0，T]，η∈[0,1]kYηt- ykp公司≤厘米√T，（4.1）支持∈[0，T]，η∈[0,1]kZηi，tkp≤cMMiTi+1，支持∈[0，T]，η∈[0,1]kYηi，tkp≤cMMiTi+1。（4.2）重复使用以下引理，以推导定理3.6和3.7中的分析公式。It^o引理在（RTtfsds）zt中的应用得到以下结果。引理4.2。设f为连续（或分段连续）函数，Z为Z=0的连续半鞅。然后TZFTZTDT=TZTZtfsdsdZt=TZω（f）TtdZt。（4.3）下面的引理直接来自Malliavin微积分中的对偶关系（参见。

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2022-6-9 17:11:19

Nualart（2005，引理1.2.1，p.25）），并通过识别它的^o积分和适用被积函数的Skorohod算子。引理4.3。设u是一个平方可积的渐进可测过程，并假设h满足。那么，对于任何我≥ 0，它保持：ETZutdWαth（一）TZλ（t，y）dWLt= ETZutλ（t，y）dhWα，WLith（i+1）TZλ（t，y）dWLt（4.4）带α∈ {L，X}和h（i）（X）=didxih（X），i∈ N、此外，如果u和hWα，w是确定性的，那么TZutdWαth（一）TZλ（t，y）dWLt=TZutλ（t，y）dhWα，WLitg▄hi+1（YT），（4.5），其中▄h（x）=h（x- mT）。欧洲QUANTO选项的扩展公式114.2。价格扩张和误差估计。我们现在准备提供展开式推导的详细信息以及相应的误差估计。我们从二阶近似的分析开始，将定理3.6的证明分为几个步骤。首先，我们假设收益h是平滑的，并建立仅依赖于h（1）的误差估计，h（1）是h的一阶导数。为此，我们使用Malliavin演算，并对参数化过程的Malliavin导数进行严密估计。然后，我们可以通过使用密度参数的一系列平滑支付来近似（S）下的h。这最后一步现在是标准的，因此为了简洁起见，我们省略了它。4.2.1. 二阶误差分析。如前一节所述，我们首先对YT进行泰勒展开，即yieldsYT=YT+Y1，T+ZYη2，T（1- η） dη，（4.6），然后对平滑收益h进行另一个泰勒展开，然后取期望值。因此，weobtainE[h（YT）]=E[h（YT）]+E[h（1）（YT）（YT- YT）]+Eh（YT- YT）Zh（2）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dηi.（4.7）使用（4.6），（4.7）可以写成asE[h（YT）]=E[h（YT）]+E[h（1）（YT）Y1，T]+错误。（4.8）其中误差=Eh（1）（YT）R1，YT+ Eh（R0，YT）Zh（2）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dηi（4.9），其中r0，YT=ZYη1，Tdη和R1，YT=ZYη2，T（1- η） dη。

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2022-6-9 17:11:24

（4.10）使用引理4.1中i=2的（4.2）和Cauchy–Schwarz不等式，估计（4.9）中的第一项为Eh（1）（YT）R1，YT≤ckh（1）（YT）kMMT。（4.11）（4.9）中的第二项由于h（2），需要进行一些额外的工作。我们使用Malliavin微积分中的分部积分公式，仅使用h（1）来编写它。为此，我们依赖LemmaB。2并参考附录5.3.3，了解与Malliavin微积分相关的符号。让我们将这个结果应用于V=（R0，YT），这样我们就可以写R0，YTZh（2）ηYT+（1- η）年初至今(1 - η） dηi=ZEhh（2）ηYT+（1- η）年初至今R0，YTi（1- η） dη=ZEhh（1）ηYT+（1- η）年初至今Vηi（1- η） dη。（4.12）12 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantole现在使用Lemmata 4.1和B.1中的Lpestimates，我们可以很容易地显示K（R0，YT）k1,2p≤c（MMT）（4.13）和getkVηkp≤c（米√T）（M√T）（1- ρ） λinf√T、（4.14）因此，我们可以推断|呃R0，YTZh（2）ηYT+（1- η）年初至今(1 - η） dηi|≤捷克克朗（1）ηYT+（1- η） YT）dηMλinf（1- ρ） MMT。（4.15）因为λinf≤cMand（1-ρ)≥ 1，我们最终获得|错误|≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）ηYT+（1- η）年初至今kdηMMλinf（1- ρ） T.（4.16）到目前为止，我们仅使用平滑函数h的h（1）来限定误差。为了在h满足的假设下获得类似的误差界，我们可以使用密度或正则化参数通过一系列平滑函数来近似h，如Benhamouet al.（2009，第5.2节，步骤4）。4.2.2. 三阶误差分析。我们再次遵循与二阶情况相同的策略。通过YT的泰勒展开式，我们得到了YT=YT+Y1，T+Y2，T+ZYη3，T（1- η） dη，（4.17），并再次执行泰勒展开以获得平滑收益h，并取期望值weobtainE[h（YT）]=E[h（YT）]+Eh（1）（YT）（YT）- YT）+ Eh（2）（YT）（YT）- YT）+ E（年初至今）- YT）Zh（3）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dη.

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2022-6-9 17:11:28

（4.18）使用（4.17），后者变成[h（YT）]=Eh（YT）+ Ehh（1）（YT）Y1，Ti+Eh（1）（YT）Y2，T+ E“h（2）（YT）Y1，T#+误差，（4.19）欧式QUANTO选项13的展开公式，其中误差=Eh（1）（YT）ZYη3，T（1- η） dη（4.20）+E（年初至今）- YT）Zh（3）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dη（4.21）+E“h（2）（YT）（年初至今）- YT）- Y1，T#. （4.22）让我们将错误中的每个术语分别绑定。第一项（4.20），使用（4.2）和i=2（在Lemma 4.1中）以及Cauchy–Schwarz不等式，通过Eh（1）（YT）ZYη3，T（1- η） dη≤ckh（1）（YT）kMMT。（4.23）第二项（4.21）的处理与前一节相同。我们记得YT-YT=R0，YT=RYη1，Tdη，并将k=2的引理B.2应用于V=（R0，YT），这样我们可以编写（R0，YT）Zh（3）ηYT+（1- η）年初至今(1 - η） dη=ZEhh（3）ηYT+（1- η）年初至今（R0，YT）i（1- η） dη=ZEhh（1）ηYT+（1- η）年初至今Vηi（1- η） dη。（4.24）使用Lemmata 4.1和B.1中的Lpestimates，我们很容易地显示出K（R0，YT）k2,2p≤c（百万吨），（4.25）hencekVηkp≤cMλinf（1- ρ)MMT。（4.26）因此，我们可以推断E（R0，YT）Zh（3）ηYT+（1- η）年初至今(1 - η） dη≤捷克克朗（1）ηYT+（1- η）年初至今kdηMM（λinf（1- ρ））T.（4.27）至于第三项（4.22），让我们首先更明确地表示（YT-YT）-Y1，T.我们定义（η）=YηT- 年初至今（4.28）14 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantoleonan进行了一次二阶泰勒展开，大约0到getf（η）=f（0）+f（1）（0）η+f（2）（0）η+ηZ（η- t） f（3）（t）dt（4.29），其中f（0）=f（1）（0）=0 f（1）（η）=2Yη1，T（YηT- YT）f（2）（0）=2Y1，Tf（2）（η）=2Yη2，T（YηT- YT）+（Yη1，T）f（3）（0）=6Y1，TY2，Tf（3）（η）=2Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，T.（4.30）设置η=1 in（4.29），我们得到（YT- YT）=Y1，T+Z（1- η)Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，Tdη。

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2022-6-9 17:11:31

（4.31）将（4.31）替换为（4.22），并使用Fubini定理，我们得到h（2）（YT）Z（1- η)Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，Tdη=Z（1- η） E类h（2）（YT）（Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，T）dη=Z（1- η） E类h（1）（YT）Vηdη, （4.32）对于最后一个等式，我们应用了引理B.2的分部积分公式，其中v=Yη3，T（YηT-YT）+3Yη1，TYη2，t对于k=1。现在应用Cauchy–Schwartz不等式，我们得到以下误差估计E“h（2）（YT）（年初至今）- YT）- Y1，T#≤ckh（1）（YT）kZkVηkdη，（4.33），而Lemmata 4.1和B.1中的Lpestimates产量，对于p≥ 1，thatkV k1,2p≤cMMT（4.34）和kVηkp≤cMλinf（1- ρ)MMT。（4.35）因此，第三个误差项（4.33）通过E“h（2）（YT）（年初至今）- YT）- Y1，T#≤ckh（1）（YT）kMλinf（1- ρ)MMT。（4.36）最后，再次使用λinf≤cMand 1≤(1-ρ），通过重新组合（4.23）、（4.27）和（4.36）中的所有估计值，三阶误差可以估计如下：|误差|≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）（ηYT+（1- η） YT）kdη×Mλinf（1- ρ)MMT。（4.37）欧洲QUANTO选项的扩展公式154.3。希腊系数的计算。本小节致力于计算定理3.6的二阶展开式中的修正项。三阶展开式的类似推导推迟到附录C中。修正项以代理模型（回忆定义3.3）周围支付函数的希腊语表示，我们提供了一个有用的引理用于计算。引理4.4。设θ为连续（或分段连续）函数，f为满足假设的函数。

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2022-6-9 17:11:35

然后它保持住了\'\'fTZλtdWLtTZξtθtdt= ω（α，θ）Tgf（YT）+ω（λ，θ）Tgf（YT），（4.38）E\'\'fTZλtdWLtTZγtθtdt= ω（β，θ）Tgf（YT）+ρω（σλ，θ）Tgf（YT），（4.39）E\'fTZλtdWLtTZY1，tθtdt=ω（α，αy，θ）T+ω（β，αz，θ）Tgf（YT）+ω（λ，αy，θ）T+ω（α，λyλ，θ）Tgf（YT）（4.40）+ω（λ，λyλ，θ）Tgf（YT）+ρω（σλ，αz，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZZ1，tθtdt= ω（β，βz，θ）Tgf（YT）+ρω（σλ，βz，θ）T+ω（β，λσz，θ）Tgf（YT）（4.41）+ρω（σλ，λσz，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZξtθtdt=ω（λ，θ）T+2ω（α，α，θ）Tgf（YT）+2ω（λ，α，θ）T+ω（α，λ，θ）Tgf（YT）（4.42）+2ω（λ，λ，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZγtθtdt=ω（σ，θ）T+2ω（β，β，θ）Tgf（YT）+2ρω（σλ，β，θ）T+ω（β，σλ，θ）Tgf（YT）（4.43）+2ρω（σλ，σλ，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZξtγtθtdt=ω（α，β，θ）T+ω（β，α，θ）Tgf（YT）+ω（λ，β，θ）T+ω（β，λ，θ）Tgf（YT）（4.44）+ρhω（λσ，θ）Tgf（YT）+ω（σλ，α，θ）T+ω（α，σλ，θ）Tgf（YT）+ω（λ，σλ，θ）T+ω（σλ，λ，θ）Tgf（YT）i，其中'f（x）=fy+RTαtdt+x, 而过程ξ和γ分别在（4.47）和（4.48）中定义。16 J.HOK、P.NGARE和A.PAPAPANTOLEONProof。等式是通过使用It^o公式进行艰苦的计算，然后依次应用引理4.2和4.3推导出来的。为了简洁起见，省略了细节。4.3.1. 二阶近似的希腊系数。（4.8）中的E[h（1）（YT）Y1，T]提供了二阶展开的修正项，我们现在的目标是明确这一点。让我们回顾方程式（3.15）–（3.19），即Y1，t=Yηtη|η=0和Z1，t=Zηtη|η=0和Remark3.5，它们共同产生y1，T=TZξTαy，tdt+TZγTαz，tdt+TZξTλy，tdWLt，（4.45）Z1，T=TZγTβz，tdt+TZγTσz，tdWXt，（4.46）ξT=Yt- y=tZαsds+tZλsdWLt，（4.47）γt=Zt- z=tZβsds+tZσsdWXt。（4.48）让我们也引入移位的支付函数'h（i）（x）=h（i）y+TZαtdt+x, 对于i∈ N、（4.49）那么我们得到了ehh（1）（YT）Y1，Ti=E(R)h（1）TZλtdWLtTZξtαy，tdt+ E(R)h（1）TZλtdWLtTZγtαz，tdt+ E(R)h（1）TZλtdWLtTZξtλy，tdWLt.

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2022-6-9 17:11:38

（4.50）通过应用Lemmata 4.3和4.4，我们得到(R)h（1）TZλtdWLtTZξtαy，tdt= ω（α，αy）Tgh（YT）+ω（λ，αy）Tgh（YT），（4.51）E(R)h（1）TZλtdWLtTZγtαz，tdt= ω（β，αz）Tgh（YT）+ρω（σλ，αz）Tgh（YT），（4.52）E(R)h（1）TZλtdWLtTZξtλy，tdWLt= ω（α，λyλ）Tgh（YT）+ω（λ，λyλ）Tgh（YT）。（4.53）更具体地说，第一个等式后面紧跟着（4.38），第二个等式后面紧跟着（4.39）。对于第三个等式，我们应用第一个引理4.3，然后（4.38）。欧式QUANTO期权17的展开公式最后，通过收集所有项，通过下面的（4.54）传递到初始参数，并将它们写成ρ中的二阶多项式，我们得到（3.27）。ω（α，αy）T=ω（λ，λyλ）T+ρω（λ，λyσ）T+ω（λσ，λyλ）T+ ρω（λσ，λyσ）T，ω（β，αz）T=ρω（σ，λσz）T，ω（λ，αy）T=-ω（λ，λyλ）T- ρω（λ，λyσ）T，ω（α，λyλ）T=-ω（λ，λyλ）T- ρω（λσ，λyλ）T，ω（λσ，αz）T=-ρω（σλ，λσz）T.（4.54）5。数值实验本节致力于数值实验，并将quanto期权的二阶和三阶展开式与“市场”近似进行比较。5.1. 时间齐次双曲局部波动模型。我们考虑时间齐次双曲局部波动模型，其中远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇汇率的SDE由（2.2）和（2.5）提供，而系数λ（·，y）和σ（·，z）在时间上是齐次的，其形式为：λ（y）：=νL1.- βL+βLβL+（βL- 1） βLqy+βL（1- y）- βLy, （5.1）σ（z）：=νX1.- βX+βXβX+（βX- 1） βXqz+βX（1- z）- βXz, （5.2）式中，νLandνX（均为严格正）表示波动性水平，而βLandβX（均为[0，1]中的值）表示偏斜参数。

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能者818

2022-6-9 17:11:41

该模型对应于βL=βX=1的Black-Scholes模型，当βLorβX6=1时，隐含波动率表面呈现倾斜。它由J¨ackel（2008）引入，其行为类似于CEV（恒定方差弹性）模型，并已在Bompis和Hok（2014）中用于数值实验。该模型的优点是，零不是一个可达到的边界，当潜在的伦敦银行同业拆借利率或外汇利率接近零时，可以避免CEV模型中存在的一些数值不稳定性；参见Andreasen和Andersen（2000）。虽然有界性和椭圆度的假设没有完全满足，但我们有理由期望我们的近似公式对于该模型仍然有效，并应用定理3.6和3.7。另一方面，看涨期权的回报确实满足平滑性假设，因为回报在任何地方都可以与履约水平的扭结区分开来，并且呈指数增长。随后的数值实验表明，尽管一些理论假设不令人满意，但导出的近似值在这种情况下表现良好。5.2。欧洲quanto期权定价的市场近似值。常见的市场实践是使用带quanto漂移修正的Black-Scholes类型公式分析评估欧洲quanto看涨期权/看跌期权。更准确地说，对于到期日为T、罢工和付款日期为T的caplet，市场近似值由cm（T，K）=δB（0，T）提供ey公司-qTΦ（d）- ekΦ（d）, （5.3）式中，q=ρλimp（T，ATM）σimp（T，ATM），k=ln k，Φ是标准正态分布的cdf，d=y- k- ρλimp（T，ATM）σimp（T，ATM）T+λimp（T，k）Tλimp（T，k）√T、（5.4）d=d- λimp（T，k）√T，（5.5），其中λimp（T，ATM），σimp（T，ATM）分别是远期伦敦银行同业拆借利率和到期的外汇远期利率的ATM隐含波动率，而λimp（T，k）是18 J.HOK，P.NGARE和A。

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2022-6-9 17:11:44

PAPAPANTOLEONforward伦敦银行同业拆借利率（LIBOR rate with strike k）。这种方法类似于Christoffersen和Jacobs（2004）或Romo（2012）中考虑的“从业者”Black-Scholesmodel。观察到当ρ=0.5.3时，近似公式（5.3）通过构造变得精确。二阶和三阶展开的比较结果以及市场近似值。5.3.1. 一组参数。使用以下参数值进行数值实验：L=6%、X=1、νL=8%、βL=0.3、νX=15%和βX=0.5。它们被选择为与市场价值相比较，参见Hull and White（2000）和Ng and Sun（2008）。为了说明这一点，图5.1和图5.2分别显示了远期伦敦银行同业拆借利率的隐含波动率和使用这些参数生成的各种到期日的远期外汇利率。它们代表了利率和外汇市场中通常观察到的偏斜。定价的挑战部分来自远期伦敦银行同业拆借利率和外汇汇率之间相关参数ρ的选择，因为其水平在市场上无法直接观察到，并且对定价有重大影响，如图5.3所示。在实践中，其水平要么由交易者选择，要么使用历史数据进行估计。Boenkost和Schmidt（2003）的经验分析表明，估计的相关性取决于基础利率和考虑的货币对。一般来说，ρ不太大，属于该区域[-0.2, 0.2]. 销售该产品的交易员可以通过采用较低或负相关水平，以保守的方式选择其水平（较高的售价），因为期权价格随ρ下降。

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2022-6-9 17:11:47

出于这些原因，为了测试我们的公式，我们考虑了相关水平ρ∈ [-0.5, 0.5].为了使测试更全面，我们考虑了各种相关的到期日（1年、6年、10年和15年）和罢工（范围随到期日的增加而增加）。这大致涵盖了货币期权和非常货币期权的全部内容。5.3.2. 基准。通过使用欧拉格式离散扩散过程，使用蒙特卡罗方法计算模型价格基准。选择蒙特卡罗（MC）路径数和离散化步骤数，使95%的密度区间在2个基点以内。5.3.3. 精确试验结果如图5.4、5.5、5.6和5.7所示。以下观察结果来自这些测试及其说明：一般来说，长达15年的测试结果表明，二阶和三阶近似公式提供了非常好的精度。表5.1给出了各种相关值的一些统计数据（绝对差异的平均值和最大值）。二（三）阶近似公式的最大平均误差为2.8（2.2）bps，相关值等于-0.5. 二阶（三阶）近似的最大误差约为14（8.4）bps。与二阶近似公式相比，三阶近似公式具有更好的精度，这是意料之中的。市场近似公式也提供了良好的精度；统计见表5.2。这是因为该公式对于ρ=0是精确的，这在相关参数相当小的情况下会产生良好的精度。事实上，marketapproximation公式的最大平均误差为3.3个基点，相关值等于-0.5.

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2022-6-9 17:11:50

市场近似值的最大误差约为12.6个基点。为了比较不同的方法，让我们提到，当量子效应的影响变得重要时（即ρ=±0.5），三阶近似值的精度优于市场近似值（见图5.4和5.7），而二阶近似值和市场近似值的精度是可比的。对于减少的量子效应（即ρ=±0.2），三阶近似值和市场近似值的精度相似。实际上，在ρ的极限情况下→ 0，市场近似值通过构造变得精确。我们的扩展公式的主要优点是为欧洲QUANTO期权19提供了误差扩展公式的准确估计，该公式与期权的成熟度（T）、局部波动函数的水平和曲率（Mand M）以及QUANTO影响（ρ）直接相关。0.230.240.240.250.260.260 0.05 0.1 0.15Libor隐含vol Strike T=100.210.230.250.270.290.31-0.02 0.03 0.08 0.13 0.18Libor隐含vol Strike T=150.230.280.330.380.430.480.530.580.630.680 0 0.05 0.1 0.15Libor隐含vol Strike T=10.230.250.270.290.310.330.35-0.02 0.03 0.08 0.13Libor隐含vol Strike T=6图5.1。对于各种到期日，远期伦敦银行同业拆借利率隐含波动率由参数SL=6%、νL=8%、βL=0.3生成。相关性平均值（二阶）最大值（二阶）平均值（三阶）最大值（三阶）-0.5 0.00028 0.00141 0.00022 0.00084-0.2 0.00014 0.00074 0.00006 0.00020.2 0.00007 0.00041 0.00004 0.000170.5 0.00007 0.00035 0.00003 0.00011表5.1。绝对差异的平均值和最大值统计，对于考虑的各种相关值，相关平均值（市场近似值）最大值（市场近似值）-0.5 0.00033 0.00126-0.2 0.00005 0.000180.2 0.00006 0.000270.5 0.00023 0.00087表5.2。

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2022-6-9 17:11:55

绝对差异的平均值和最大值统计，对于各种相关值，请参考Pendix A。引理证明3.9证明。让我们写下cbs（y）=e-∑（T）~CBS（y）（A.1）20 J.HOK、P.NGARE和A.PAPAPANTOLEON0.130.140.150.160.170.180.190.20.55 0.75 0.95 1.15 1.35FX隐含Vol Strike T=10.120.130.140.150.160.180.5 1 1 1.5 2FX隐含Vol Strike T=60.110.130.140.150.160.170.180.5 1 1 1 1.5 2 2.5 3FX隐含Vol Strike T=100.100.110.120.130.140.150.160.160.170.180.190.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5FX隐含Vol Strike T=15图5.2。不同到期日的外汇远期利率隐含波动率，参数X=1，νX=15%，βX=0.5。0.010.0150.020.0250.03-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6价格相关性ATM quanto期权价格0.0150.020.0250.030.0350.04-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6货币quanto期权价格中的价格相关性0.0080.0130.0180.023-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6货币quanto期权价格中的价格相关性图5.3。相关参数ρ对货币内（K=4%）、ATM（K=6%）和货币外（K=8%）期权价格的影响。式中▄CBS（y）=eyΦ（d）- ekΦ（d）（A.2）欧洲QUANTO期权的扩展公式21-0.00004-0.000020.000000.000020.000040.000060.000080.05 0.1 0.15误差走向Rho=-0.5，T=1 2阶近似值3阶近似值市场近似值-0.00030-0.00020-0.000100.000000.000100.000200.000300 0.05 0.1 0.15误差走向Rho=-0.5，T=6个第二订单近似值第三订单近似值市场近似值-0.00080-0.00060-0.00040-0.000200.000400.000600.000800 0.05 0.1 0.15个错误打击Rho=-0.5，T=10个第二订单近似值第三订单近似值市场近似值-0.00200-0.00150-0.00100-0.000500.000500.001000.001500 0.05 0.1 0.15个错误打击Rho=-0.5，T=15第二订单近似值第三订单近似值市场近似值图5.4。

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