（9.3）jum p-diffusionzt=（Xt，Yt）发生器的结果系数a（x），b（x）和ν（x，dξ×dη）是x的函数，由a给出=σXσXσXσYσYσXσYσY∈ Pol（E），b=bXbY公司,一些作者将即期方差、波动率、成交量和杠杆率的定义限制在dYi、TF的不同组成部分，这在两种衡量标准下是相同的。泊松随机测度N（du，dt）和布朗运动wt是自动独立的，seeIkeda和Watanabe（1989，定理II.6.3）。与XT跳跃同时发生的YT状态相关跳跃将违反结构条件（8.2）。带bX∈ Pol（E），and zrd+ef（ξ，η）ν（x，dξ×dη）=ZUf（δx（x，u），δY（u））F（du）。通过检查，n=2时满足引理8.1的假设。因此，我们可以设置一个=-aYii公司-祖eδYi（u）-1.- δYi（u）F（du）∈ Pol（E），因此P是一个风险中性指标，如所需，Zt=（Xt，Yt）满足5.2中n=2的属性（5.4）–（5.8）。这是一个关于（Xt，Yt）的N（du，dt）驱动的j泵规格的示例。示例9.1。设U=U∪U∪···∪Ukfor成对不相交集Ujsuchλj=F（Uj）<∞.然后，Nj，t=N（Uj×[0，t]）是强度为λj的独立泊松过程，对于j=0，…，k。定义u的分段常数δX（X，u）=0∈ u和δX（X，u）=δX+Pdi=1xiδxiju∈ Uj，j=1，k、 对于某些参数δX，δXij∈ Rd.然后（9.1）中的N（du，dt）驱动跳跃项读取szuδX（Xt-, u） （N（du，dt）- F（du）dt）=kXj=1δ+dXi=1Xi，t-δXij！（dNj，t- λjdt）。（9.2）中的N（du，dt）驱动的j ump项相应地为ztzuδY（u）（N（du，ds）- F（du）ds）=kXj=0Xi∈NH（i）j{i≤Nj，t}- E[H（1）j]λjt！其中δY（u）是u上满足（9.3）的任何跳跃大小函数，H（i）是相互独立的重估随机变量，与泊松过程N0，t。

，Nk，tand布朗运动Wt，使得H（i）jhas分布由F（u）/λjunder的向前推给出，在那里，严格的δY | Uj，即E[F（H（i）j）]=RUjf（δY（u））F（du）/λj，对于i∈ N和j=0，k、 注意，N0、tD驱动Yt的独立跳跃。另一方面，如果H（i）j=0，对于某些j=1，…，Nj，t驱动Xtif H（i）j=0的孤立跳跃，线性扩散波动率模型的示例包括扩展的Stein-Stein模型（Stein和Stein，1991；Sch¨obel和Zhu，1999）和扩展的Hull-White模型（Hull和White，1987；Lions和Musiela，2007），Ackerer和Filipovi\'c（2017）对此进行了详细讨论。10结论基于扩展生成器对多项式的逐点作用，我们开发了一个松弛半鞅背景下多项式跳跃微分的数学框架，而不是马尔可夫设置。我们建立了各种特征，包括矩公式和关于多项式变换的不变性以及L'evy时间变化。我们还重新讨论了relaxedcontext中嵌套在多项式类中的一个函数跳跃差异。然后，我们构建了一大类基于多项式跳跃差分的新型资产定价模型，并提出了一种期权定价的通用方法。这些结果为新的资产定价模型提供了基础。有几个扩展是可能的，留待将来研究。这包括离散时间和时间非齐次多项式跳变差。Carr'e-du-champ运算符let Xtbe在Rdof表（2.1）上使用扩展生成器G进行跳跃微分。

与G密切相关的对象是carr'e-du-champ算子，它是由Γ（f，G）（x）=G（fg）（x）给出的双线性算子- f（x）G G（x）- g（x）gf（x）（A.1）对于rdzrd（h（x+ξ）上的任意函数f（x）和g（x）- h（x））ν（x，dξ）<∞ 对于所有x∈ rdh=f，g。使用乘积规则，可以用a（x）和ν（x，dξ）表示Γ（f，g）（x）=f（x）a（x）g（x）+ZRd（f（x+ξ）- f（x））（g（x+ξ）- g（x））ν（x，dξ）。（A.2）尤其是Γ（f，f）≥ 当扩展生成器捕捉到过程f（Xt）的漂移时，carr'e-du-champ算子给出了关于f（Xt）二次变化的信息。引理A.1。ztΓ（f，g）（Xs）dsd给出了二次协变[f（X），g（X）]的可预测补偿器，用于Rd上的任意函数f（X）和g（X），使得ztzrd | f（Xs+ξ）- f（Xs）| | g（Xs+ξ）- g（Xs）|ν（Xs，dξ）ds<∞. （A.3）证明。鉴于Jaco d和Shiryaev（2003，定理I.4.52）以及dhXc，Xcit=a（Xt）dt这一事实，我们有[f（X），g（X）]t=Ztf（Xs）a（Xs）g（Xs）ds+Xs≤t（f（Xs）- f（Xs-))（g（Xs）- g（Xs-)).现在的结果来自（A.2）和Jacod和Shiryaev（2003，定理II.1.8）。在carr'e-du-champ算子的帮助下，我们可以将G的性质限定在Pol（e）上，以用于某些状态空间e 引理A.2。假设G在Pol（E）中定义良好。让f∈ E.Thena（x）上f（x）=0的Pol（Rd）f（x）=0和rrd（f（x+ξ）- f（x））ν（x，dξ）=0。我们在E上有f（x）=0，所以（A.1）意味着在E上有Γ（f，f）（x）=0∈ Sd+，则此困境源自标识（A.2）。B跳跃微分的多项式变换对于某些状态空间E，我们将Xt设为具有形式（2.1）的扩展生成器G的E值跳跃微分 Rd.根据技术条件，我们再次展示了Xtis的可逆多项式变换，并确定了其扩展生成器。引理B.1。

Let^1：Rd→ Rkbe是一个多项式映射，它在E上允许一个可测逆，在这个意义上，存在一个可测映射ψ：Rk→ Rd使得ψo ^1=E上的id。假设G在Pol（E）上定义良好，即（2.3）和（2.4）保持。还假设过程Xt=Д（Xt）是一个特殊的半鞅。则X是一个带扩展生成器G=ψ的跳跃微分*G^1*, 在Pol（Д（E））中有明确定义。其形式为f（x）=Tr（a（x）f（x））+b（x）f（x）+ZRkf（x+ξ）- f（x）- ξf（x）ν（x，dξ），其中，对于ν（x）的第i个分量，写入x=Д（x）和Дi（x），aij（x）=^1i（x）a（x）^1j（x）,bi（x）=GДi（x），ν（x，A）=ZRkA（Д（x+ξ）- ν（x））ν（x，dξ）。证据Sin-ceXtis是一个特殊的半鞅，Kallsen（2006，命题3）结合adirect计算表明，它是一个扩展generatorG=ψ的跳跃微分*G^1*所述形式的。特别是，跳跃度量满足Zrkkξknν（x，dξ）=ZRdkД（x+ξ）- ν（x）knν（x，dξ），其中x=Д（x），这是每个x的定义∈ 由于（2.3）和由于（x）是多项式，所以。最后，如果f∈ Pol（Rk）在ν（E）上消失，然后*f∈ Pol（Rd）在E上消失，因此为G^1*f在（2.4）视图中也在E上消失，因此G f在Д（E）上消失。因此，G在Pol（Д（e））上定义良好。C局部绝对连续测度变化我们勾勒出一种可能发生在应用程序中的情况，以选择满足假设（7.3）的辅助概率核w（dx）。设Q是一个概率测量值，它相当于每个Ft上的P，具有Radon Nikodym densityDt。我们将w（dx）定义为给定Ft的X的Q-正则条件分布。然后（7.1）保持由Dtm/DtgivenFt的Q-正则条件分布给出的似然比函数∨ σ（X），l（x） =相等D*****t | Ft，X=X, （C.1）回拨在（1.1）中定义。其中，如果Dt=0，则设置Dtm/Dt=0。

的确，设f（x）是Rm上的一个边界可测函数。取条件期望给定szrmf（x）g（dx）=EP[f（x）| Ft]=等式f（X）DtmDt | Ft= 均衡器均衡器f（X）DtmDt | Ft∨ σ（X）| 英尺= 公式[f（X）l（十） | Ft]=ZRmf（X）l（x） w（dx），证明了权利要求（C.1）。似然比函数满足估计值l（x） w（dx）=EQ“EQDtmDt |英尺∨ σ（X）| 英尺#≤ EQ“DtmDt公司| 英尺#。（C.2）（C.2）中的界限非常尖锐，以至于Dtm/Dtm可以是Ft∨σ（X）-可测量，因此我们在（C.2）中具有等式。估算值（C.2）可用于验证假设（7.3）。在实践中，我们可以通过模拟Xtunder Q来近似w（dx），即给定Ft的Q-正则条件分布。具体而言，我们可以通过（嵌套）蒙特卡罗方法估计（7.7）中的傅里叶系数fk=EQ[qk（X）F（X）| Ft]（C.3）。这涉及财产（ii）。如果我们进一步假设x是关于Q的多项式跳跃微分，那么w（dx）允许闭合形式的Ft条件矩，如性质（i）所示。D证明本附录包含主要文本中引理和定理的证明。D、 1定理的证明2.5定理2.5的证明建立在以下四个引理的基础上。引理D.1。局部鞅性质（2.2）适用于RdsatisfyingVt=ZtZRd上的任何c函数f（x）f（Xs+ξ）- f（Xs）- ξf（Xs）ν（Xs，dξ）ds<∞. （D.1）证明。属性（D.1）表示VTI位于+loc。引理现在来自Jacod和Shiryaev（2003，定理II.1.8和定理II.2.42的证明）。在本节的其余部分，我们假设G是E上的多项式，我们让f∈ Poln（E）。然后进程mft=f（Xt）- f（X）-ZtG f（Xs）数据定义良好。引理D.2。MFT是局部鞅。证据在LemmaD看来。1（D.1）所包含的内容就足够了。但W（x，ξ）=f（x+ξ）-f（x）- ξf（x）是单项式xβξγ与2的线性组合≤ |γ| ≤ n、 因此| W（x，ξ）|≤C（x）kξk+kξk2n对于某些多项式C（x）。

现在（D.1）遵循引理2.2。引理D.3。对于任何k∈ N有一个有限常数C，使得e[1+kXtk2k | F]≤1+kXk2keCt，t≥ 0.证明。我们回顾了Inuchiero等人（2012，定理2.10）或Filipovi\'c和Larsson（2016，引理B.1）的论点。设f（x）=1+kxk2k，且C为有限常数，使得| G f（x）|≤ Cf（x）在E上。这样一个常数由G的多项式性质存在。让0≤ T≤ T≤ ··· 是局部鞅Mft的局部序列，参见Lemm a D.2，这样kXtk≤ m表示t<Tm。ThenE[f（Xt∧Tm）| F]=F（X）+EZt公司∧TmG f（Xs）ds | f≤ f（X）+CZtE[f（Xs∧Tm）| F]ds。Gronwall不等式和Fatou引理现在得出了结果。引理D.4。对于任何有限元c，过程Mft{kXk≤c} 是鞅。证据让c b e是一个有限的数字。那么Nft=Mft{kXk≤c} 是LemmaD的局部鞅。2具有二次变化[Nf，Nf]t=[f（X），f（X）]t{kXk≤c} 。我们声称其可预测补偿由HNF给出，Nfit=ZtΓ（f，f）（Xs）ds1{kXk≤c} 。事实上，在伦玛看来。1只要（A.3）适用于g=f，则该权利要求如下。但W（x，ξ）=（f（x+ξ）-f（x））是单项式xβξγ与2的线性组合≤ |γ| ≤ 第2条。因此| W（x，ξ）|≤C（x）kξk+kξk2n对于某些多项式，C（x）和（A.3）遵循Lemma 2.2。通过（A.1），Γ（f，f）（x）是E上的多项式。结合引理D.3，我们推断E[hNf，Nfit]<∞ 对于所有t≥ 0，因此Nftis是平方可积鞅。现在我们证明了定理2.5。固定固定c和t≥ 通过引理D.4，行向量值函数F（T）=E[（1，H（XT）)1{kXk≤c} | Ft]T的满意度≥ tF（T）=（1，H（Xt）)1{kXk≤c} +ZTtE[G（1，H)（Xs）1{kXk≤c} | Ft]ds=F（t）+ZTtF（s）G ds。因此E[（1，H（XT））) | Ft]1{kXk≤c} =F（T）=（1，H（Xt）)e（T-t） G{kXk≤c} 。定理2.5接下来让c↑ ∞ .D、 2引理的证明3.2我们首先假设0∈ E的a ffene跨度是Rd的全部。假设G是a ffene。

简单的计算表明G eux个=ua（x）u+b（x）u+ZRd欧盟ξ- 1.- uξν（x，dξ）欧盟通过假定的关系式（3.1），我们得到f（u）+R（u）x=ua（x）u+b（x）u+ZRd欧盟ξ- 1.- uξν（x，dξ）对于所有x∈ E、 u型∈ 税务局。（D.2）我们声称F（u）和R（u）的形式为（3.3）。自0起∈ E、 对于F（u），设置a=a（0），b=b（0），ν（dξ）=ν（0，dξ）。接下来，由于E的a ffne跨度都是Rd，因此存在数字λ，λdwithPdk=1λk=1，点x，除息的∈ E使得λx+···+λdxd=E，第一个标准单位向量。计算x=xk时（D.2）的两侧，乘以λk，求k的和，并使用F（u）的形式，得出R（u）的形式为（3.3），其中a=dXk=1λka（xk）- a、 b=dXk=1λkb（xk）- b、 ν（dξ）=dXk=1λkν（xk，dξ）- ν（dξ）。相同的参数表明R（u），Rd（u）也是形式（3.3）。有待证明（3.2）。给定刚刚得到的F（u）和R（u），很明显，取（3.2）中的a（x），b（x），ν（x，dξ）与（d.2）是一致的。此外，对于每个固定的x∈ E、 知道（D.2）的右侧对于所有u∈ Ird唯一确定a（x），b（x），ν（x，dξ）；参见Jacod和Shiryaev（2003，Lemma II.2.44）。因此，（3.2）事实上是唯一的可能性，完成正向证明。反之，假设a（x），b（x），ν（x，dξ）的形式为（3.2）。计算结果表明，G满足度（3.1），F（u）和R（u）由（3.3）给出，因此是有效的。在一般情况下，其中0/∈ 或者E的a ffene跨度不是Rd，我们应用可逆a ffene变换T:Rd→ rD，以便0∈ 对于某些d′，T（E）的a ffene跨度为Rd′×{0}≤ d、 在这些新坐标系中，我们将对应的ai、bi和νi（dξ）设置为零，使i>d′，然后通过T-1.D.3理论证明3.4确定f（t，x）=exp（φ（t- t） +ψ（t- t）x） 复值过程Mt=f（t，Xt）。

然后（3.5）产生| Mt |≤ 此外，使用（3.4）的计算结果tf（t，x）+gf（t，x）=0，0≤ t型≤ T、 x个∈ E、 其中G分别作用于f（t，·）的实部和虚部。因此，MT是[0，T]上的鞅，MT=exp（uXT）。a ffine trans form公式现在只是等式Mt=E[Mt | Ft]。D、 4引理证明4.1引理证明4.1建立在以下引理的基础上。引理D.5。任意多项式p∈ 对于某些f，Polmn（E）的形式为p（x）=f（H（x））∈Polm（H（E））。证据必须考虑带|α|的单项式p（x）=xα≤ 明尼苏达州。通过检验发现，对于某些多指标αi，α=α+···+αk∈ Ndwith |αi |≤ n、 因此，对于某些线性多项式fi，E上的xαi=fi（H（x））∈ Pol（RN），对于每个i。我们推导出E上的p（x）=mYi=1xαi=f（H（x）），其中f（x）=Qmi=1fi（x）最多为m。我们现在证明了L emma 4.1。如果函数f:RN→ R在H（E）上消失，然后H*f（x）=f（H（x））在E上消失。因此H*定义为从Pol（H（E））到Pol（E）的映射，并且与逆L呈线性关系*. 很明显，H*将每m的Polm（H（E））映射到Polmn（E）∈ N、 看到我*mapsp∈ 对于Polm（H（E））中的一个元素，观察p（x）=f（H（x）），对于某些f∈ 由引理D.5得到的Polm（H（E）），因此*p（x）=f（H（L（x）））=f（x）。这证明了引理4.1。D、 5定理的证明4.2由于Xt是引理D.2的特殊半鞅，引理B.1暗示Xt是扩展generatorG=L的H（E）值跳跃微分*G高*, 这在Pol（H（E））中有很好的定义。引理4.1意味着G是H（E）上的多项式，图（4.2）可以相互转换。这完成了定理4.2的证明。D、 6定理的证明5.2定理5.2的证明建立在以下引理的基础上。引理D.6。假设（5.4）。然后，增广过程ss Zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×倒带扩展生成函数=ψ的跳跃微分*G^1*, 算子G和G分别在Pol（E×Re）和Pol（H（E）×Re）上定义良好。证据

我们首先证明G在Pol（E×Re）上定义良好。由于（5.4），我们只需要验证（2.4）。设f（x，y）是在E×Re上消失的多项式th。收集y中的单项式表示f（x，y）=xβpβ（x）yβ，对于Rd上的许多多项式pβ（x）。对于每个固定x∈ E、 f（x，y）是零多项式onRe，因此pβ（x）=0表示所有β。因此，我们可以假设f（x，y）=p（x）q（y），其中p（x）在E上消失，q（y）=yβ。一个hasG（pq）（x，y）=p（x）G q（x，y）+q（y）G p（x，y）+Γ（p，q）（x，y）。任何x的第一项为零∈ E、 S o是第二项，因为G p（x，y）=GXp（x），GXiswell定义在Pol（E）上。对于第三项，请注意carr'e-du-champ算子是双线性和正半无限的，因此满足Cauchy-Schwarz不等式。即|Γ（p，q）（x，y）|≤ Γ（p，p）（x，y）Γ（q，q）（x，y）。但Γ（p，p）（x，y）=Γx（p，p）（x）=0，因为G在Pol（E）上定义得很好。因此，G（pq）（x，y）=0 1×Re，我们推断G在Pol（E×Re）上定义良好。其次，由于H（Xt）是Lemm a D.2给出的一个特殊半鞅，而Ytis是一个特殊的半鞅，因此Ztis也是一个特殊的半鞅。因此，由于G在Pol（E×Re）上定义得很好，因此它源自LemmaB。1表示zt是一个跳转差，扩展generatorG=ψ*G^1*, 这在Pol（H（E）×Re）中有很好的定义。现在我们证明定理5.2。由于引理D.6，仍然需要证明（5.5）–（5.8）一起意味着（5.9），相反，（5.9）意味着（5.5）、（5.6）和（5.8），α=0。为此，我们利用定理5.6。我们首先假设（5.5）–（5.8）成立，并证明定理5.6中的性质（i）。修复m∈ N并考虑任何单项式f（z）=f（x，y）=xαyβ和|α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m、 我现在在Vm里。有必要证明G f再次位于Vm中。

设eaX（x）、eaXY（x）和eaY（x）表示G的修改后的第二个特征，即eaX（x）=aX（x）+ZRdξνX（X，dξ），eaY（X）=aY（X）+ZRd+eηην（x，dξ×dη），eaXY（x）=aXY（x）+ZRd+eξην（x，dξ×dη）。此外，写xf（x，y）用于f（x，y），s通常表示yf（x，y），xxf（x，y），xyf（x，y），和yyf（x，y）。然后我们得到f（x，y）=TreaX（x）xxf（x，y）+ Tr公司eaXY（x）xyf（x，y）+Tr公司eaY（x）yyf（x，y）（D.3）+bX（x）xf（x，y）+bY（x）yf（x，y）（D.4）+ZRd+ef（z+ζ）- f（z）- ζf（z）-ζf（z）ζν（x，dζ）。（D.5）首先考虑（D.3）。自从xxf（x，y）=yβ（xα）且由于GXis多项式，第一个端点（D.3）在x和y中最多为|α|和|β|，因此位于Vm中。下一个xyf（x，y）最多为|α|-1英寸x和|β|-y中的1，与（5.7）一起表示第二个端子（D.3）的度数最多为n+1+|α|- 1=n+|α| in x和|β|- 1在y中。因此，该术语也存在于Vm中。最后yyf（x，y）在x和β中的度数最多为|α|和|β|- y中的2，这与（5.6）一起意味着（D.3）中的第三项在x中的度数最多为2n+|α|和|β|- y中的2。这再次产生Vm中的成员身份。现在考虑一下（D.4）。自从xf（x，y）=yβ（xα）且由于GXis多项式，第一个端点（D.4）在x和y中最多为|α|和|β|，因此位于Vm中。与上述类似，第二项也位于Vmdue to（5.5）中。最后考虑一下（D.5）。从多重二项式定理可以看出，括号中的表达式是单项式xγyδξην与|γ|+||的线性组合≤ |α|, |δ| + |υ| ≤ |β|，和||+|Д|≥ 因此（D.5）是形式xγyδZRd+eξην（x，Dξ×Dη）表达式的线性组合。由于（5.8），这些表达式在x和y中最多为|γ|+||+n |Д|和|δ|次多项式。由于|γ|++n |Д|+n |δ|≤ |α|+n |β|≤ nm，因此（D.5）位于Vm中。

这就完成了定理5.6中性质（i）的证明，表明（5.9）成立。相反，假设（5.9）成立，那么定理5.6中的属性（ii）也成立。自G（yβ）∈ V |β|，标识y（yβ）=TreaY（x）yy（yβ+ bY（x）y（yβ）+ZRd+e（y+η）β- yβ- η（yβ）-η（yβ）ν（x，dξ×dη），应用β=EI产生bYi∈ 五、 其中给出了（5.5）。取β=ei+ejwe，同样得到AyIj∈ 五、 其中给出了（5.6）。考虑|β|≥ 3，对于α=0，我们得到（5.8）。D、 7推论的证明5.4过程Zt=（Xt，Yt）由DZT给出=dXtP（Xt）dtQ（Xt-) dXt公司= K（Xt-) dtXt文件, 其中K（x）=0 idP（x）00 Q（x）.然后可以计算其差异特征u singKallsen（2006年，命题2）。我们发现它们是Xt的确定函数a（x）、b（x）和ν（x，dζ），其中（x）=K（x）0 00 aX（x）K（x）=aX（x）0 aX（x）Q（x）0 0 0Q（x）aX（x）0 Q（x）aX（x）Q（x）, （D.6）b（x）=K（x）bX（x）,ν（x，A）=ZRdAK（x）ξνX（X，dξ）。特别地，我们假设ZRd+ekζknν（x，dζ）=ZRd（kξk+kQ（x）ξk）n/2νx（x，dξ）≤ （1+kQ（x）k）n/2ZRdkξknνx（x，dξ）<∞对于所有x∈ E和所有n≥ 其中kQ（x）k表示Q（x）的算子范数。因此（5.4）成立。其次，（5.5）成立，因为b（x）的分量是次数最多为n的多项式。为了验证（5.6）–（5.8），我们首先观察恒等式ZRdf（ξ）g（η′，η′）ν（x，dξ×dη′×dη′））=ZRdf（ξ）g（0，Q（x）ξ）νx（x，dξ），（d.7），其中我们将η=（η′，η′）写入Re′+e′中的通用向量。设f（ξ）=xα，g（η）=ηβ=η′β′η′β′，其中我们根据分解η=（η′，η′）分解β=（β′，β′）。Sinceg（0，Q（x）sξ）=任何s的s |β′′g（0，Q（x）ξ）∈ R、 对于一些多项式Rγ（x），它遵循th atg（0，Q（x）ξ）=xγ：|γ|=|β′′Rγ（x）ξγ。由于如果β′6=0，则左侧消失，因此在此例中取rγ（x）=0。此外，由于Q（x）的分量最多为n次-1，g（0，Q（x）ξ）的次数，被视为x中的多项式，在m ost（n-1） β′+··+（n-1） β′e′＝（n-1)|β′′|.

因此，这也是多项式rγ（x）度数的上界。这些观察结果很容易得出（5.8）。为了看到这一点，我们写下了ZRd+eξαηβν（x，dξ×dη）=xγ：|γ|=|β′’rγ（x）ZRdξα+γνx（x，dx）。（D.8）β′6=0，在这种情况下，（D.8）的右侧消失。或者，β′=0，因此|β′′′|=|β|，并且（D.8）的右侧最多是一个次多项式（n-1） |β|+|α+γ|=|α|+n |β|，提供|α+γ|=|α|+|β|≥ 因此，（5.8）成立。最后，（5.6）和（5.7）遵循类似的手册。对于i∈ {1，…，d}和j∈ {e′+1，…，e′+e′}，我们应用（D.6）和（D.7），其中f（ξ）=ξ，g（η）=ηjt，以获得axyij（x）+ZRd+eξiηjν（x，Dξ×Dη）=dXk=1qj- e′，k（x）aik（x）+ZRdξiξkνx（x，dξ）,这是一个不超过n次的多项式-1+2=1+n。如果改为j∈ {1，…，e′}，然后左手边消失。因此（5.7）成立。性质（5.6）也得到了类似的证明。这是推论的完整证明。D、 8引理5.5的证明与引理4.1的证明类似，p回缩m ap s^1*和ψ*被定义为操作员POL（H（E）×Re）→ Pol（E×Re）和Pol（E×Re）→ Pol（H（E）×Re）。使用这些域和范围空间查看，^1*和ψ*是彼此的反比。很明显*是线性贴图。我们证明了它将Polm（H（E）×Re）映射到Vm，并且对于这一点，它需要考虑经济变量f（x，y）=xαyβ，其中|α|+|β|≤ m、 然后一个有*f（x，y）=p（x）yβ，其中p（x）=NYi=1hi（x）αi≤ n表示所有i，并且自|α|≤ m级-|β|，它遵循deg p≤ n（米-|β|），显示μ处的th*f∈ Vmas声称。И的注入能力*从等式ψ开始*o φ*= Polm上的id（H（E）×Re）。要看到这一点*将Polm（H（E）×Re）满射映射到Vm，设p（x）yβ与deg p≤ n（米- |β|）和|β|≤ m是Vm的一个元素。

LemmaD。5意味着对于某些多项式f，p（x）=f（H（x））∈ 波尔姆-|β|（H（E））。因此p（x）yβ=Д*g（x，y），w其中g（x，y）=f（x）yβ的度数最多为m- |β|+|β|=m和thuslies in Polm（H（E）×Re）。由于vm的任何元素都是多项式p（x）yβ的线性组合，这证明了它的有效性。D、 9定理的证明5.6我们现在证明定理5.6。由于引理D.6，Zt是H（E）×Reith extendedgeneratorG=ψ上的跳跃微分*G^1*, 这在Pol（H（E）×Re）上有很好的定义。因此，根据定义，属性（5.9）相当于将Polm（H（E）×Re）映射到每m的自身∈ N、 （D.9）等效性（D.9）<=> （i） 引理5.5和表达式G=ψ*G^1*, 图（5.11）中的每个水平箭头都表示，如果且只有另一个箭头表示。特别是，如果任何一种情况都成立，则该图将进行转换。有待证明（一）<=> （二）。通过定义carr'e-du-champ算子，我们得到了标识yg（xαyβ）=yβG（xα）+xαG（yβ）+Γ（xα，yβ）。此外，如果|α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m然后yβG（xα）=yβGX（xα）∈ Vmsince GxisPolymone。因此（i）等于toxαG（yβ）+Γ（xα，yβ）∈ vmwhere |α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m、 （D.10）有理由认为（D.10）等同于（ii）。为此，首先观察xαG（yβ）∈ vmwhere |α|≤ n（米- |β|), |β| ≤ m、 和G（yβ）∈ V |β|。（D.11）实际上，G（yβ）∈ V |β|是xγyδ形式的单项式与|γ|的线性组合≤ n（|β|-|δ|）和δ|≤ |β|. 因此，xαG（yβ）是xα+γyδ形式的单项式与|α+γ|=|α|+|γ|的线性组合≤ n（米- |β|）+n（|β|- |δ|）=n（m- |δ|），因此位于Vm中。这证明了（D.11）。假设（ii）成立。通过取α=0，我们可以看到G（yβ）∈ V |β|表示所有β，从（D.11）和（ii）来看，这意味着（D.10）成立。反过来，假设（D.10）成立。

由于Γ（1，yβ）=0，因此G（yβ）∈ V |β|对于所有β，因此，鉴于（D.11），xαG（yβ）∈ vmwhere |α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m、 （D.10）的另一次应用则产生Γ（xα，yβ）∈ Vm，我们得出（ii）成立。D、 10推论5.8引理D.1的证明表明Z′t=（Xt，P Yt）是一个特殊的半鞅。我们推断Z′t=（Xt，P Yt）是一个E×Re′值跳跃微分，其形式为（5.1）的扩展生成元G′。事实上，这是对引理B.1的直接修改，引理B.1应用于线性映射Д（x，y）=（x，P y），观察到P不需要可逆才能从（x，P y）中恢复s状态x。通过检查，Z′t=（Xt，P Yt）满足（5.4），引理B.1与引理2.2一起应用于（H（Xt，P Yt），性质（5.9），e被e′取代，如所声称的。D、 11定理的证明6.1定理6.1的证明基于以下两个引理。引理D.7。设G是E上的多项式，则G f（x）对于每个f在E上是局部有界的∈ Ck（Rd）满足生长条件| f（x）|≤ 关于某些实c和整数k的c（1+kxkk）≥ 2.证明。写入f（x）=Tr（a（x）f（x））+b（x）f（x）+X2≤|α|≤k-1.αf（x）α！ZRdξαν（x，dξ）+ZRdg（x，ξ）ν（x，dξ），（d.12），其中g（x，ξ）=f（x+ξ）-X |α|≤k-1.αf（x）α！ξα. （D.13）通过引理2.2和f（x）的Cksmoothness，在（D.12）右侧的前三项在e上的x中局部边界。我们现在在（D.12）中边界剩余项。

当kξk>1时，假定多项式bou nd onf（x）以及粗不等式1+kx+ξkk≤ kξkkk（1+kxkk）和（D.13）产量| g（x，ξ）|≤ kξkkc2k（1+kxkk）+X |α|≤k-1|αf（x）|α！, kξk＞1。接下来，积分形式余数为yieldsg（x，ξ）=x |α|=kkα的泰勒定理！ξαZ（1- t） k级-1.αf（x+tξ）dt，因此| g（x，ξ）|≤ kξkkX |α|=kα！最大值ξk≤1|αf（x+ξ）|，kξk≤ 将这两个界限结合起来，得到| g（x，ξ）|≤ kξkkM（x），其中，由于f（x）的ck光滑性，M（x）是一个连续函数。因此，ZRd | g（x，ξ）|ν（x，dξ）≤ M（x）ZRdkξkkν（x，dξ），由引理2.2在E上的x上局部有界。引理D.8。设G是E上的多项式，则对于每个f∈ C∞b（Rd）存在一系列函数fn∈ C∞c（Rd）使fn→ f和G fn→ G f在E.Proof上局部一致。将fn（x）定义为f（x）乘以光滑截函数th，其等于1 onBn={x∈ Rd：kxk≤ n} 。然后fn→ f局部均匀ly。对于n>m和x∈ Bmwe有| G fn（x）- G f（x）|≤ZRd | fn（x+ξ）- f（x+ξ）|ν（x，dξ）=ZRd | fn（x+ξ）- f（x+ξ）| 1{kξk>n-m} ν（x，dξ）≤2kfk∞（n）- m） ZRdkξkν（x，dξ）。根据引理2.2，右侧在E上的x上局部有界。因此G fn→ G f均匀1∩ bm对于所有m，我们现在证明定理6.1。我们首先证明备注6.2中的陈述。由于Fellerproperty，对于任何f∈ C（Rd），我们知道ref（y）pt（x，dy）在（t，x）中是联合连续的∈[0, ∞) *E.A m on otone类参数现在生成pt（x，A）的声明。对于pt（x，x+A），我们观察到pt（x，x+A）=ZEA（y- x） pt（x，dy）。因为1A（y- x） 在（x，y）中是可联合测量的。下面的索赔也适用于pt（x，x+A）。对于Rd上的任何有界c函数f（x），HenceeG f（x）由（6.3）–（6.6）定义得很好。我们下一步声明，eg f（x）=bZG f（x）+Z∞ZE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）νZ（dζ）（d.14）对于所有f∈ Pol（E）。实际上，对于任何多项式f（x）=（1，H（x）)~f在Poln（E）中，定理2.5 yieldsZE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）=（1，H（x）)（eζG- id）~f。

（D.15）因此，由于（6.1）对于所有x∈ E、 此外，通过（6.3）–（6.6），我们推断EG f（x）=bZG f（x）+Z∞ZE（y- x）f（x）pζ（x，dy）νZ（dζ）+Z∞ZE公司f（y）- f（x）- （y）- x）f（x）{y6=x}pζ（x，dy）νZ（dζ），（d.16），证明（d.14）。下一步，我们声称跳跃扩散算子reg是E.（D.17）上的多项式。首先，我们有ZRdkξkneν（x，Dξ）=ZRdkξknbZν（x，Dξ）+Z∞ZRdky公司- xknpζ（x，dy）νZ（dζ）<∞对于所有x∈ E和所有n≥ 事实上，右侧的第一个术语因（2.3）而不明确。第二学期也是有限的。对于f（y）=ky，这遵循（D.15）- 埃文的xknand（6.1）≥ 2.S秒，例如f（x）=E上任何f的0∈ E上f（x）=0的Pol（Rd）。这是从（2.4）和（D.14）得出的。HenceeG对Pol（E）有很好的定义。最后，G（D.14）和（D.15）的多项式性质再次暗示，对于每一个n，eg将Poln（E）映射到它自己∈ N、 这证明了（D.17）。现在，设G andeG是G andeG在Poln（E）上的矩阵表示。（6.7）中的第一个等式源自（D.14）和（D.15）。第二个方程的右侧为m（t）=E【eZtG】，这一点由Remark6.4很好地定义。由于Zt的L'evy性质，我们得到M（t+s）=M（t）M（s）。因此，M（t）=exp（t˙M（0）），其中˙M（0）=GZezG | z=0=例如。这证明了（6.7）。还有待验证ext是否是关于tofFt的跳跃差异，以及extendedgenerator是否为iseG。Jacod和Shiryaev（2003，定理II.2.42）证明了processMft=f（eXt）- f（eX）-ZteG f（eXs）dsis定义良好，并且每个f都有一个局部鞅∈ C∞b（Rd）。我们分三个步骤来完成。首先，Phillips定理（Sato，1999，定理32.1）表明，（6.2）中给出的ept（x，dy）是FellertTransition核，其生成器的域包含s C∞c（E）上与操作器f（x）=bZG f（x）+Z重合∞ZE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）νZ（dζ）。

（D.18）这里，关于νZ（Dζ）的积分被定义为C（e）值映射ζ7的Bochner积分→ uζ，其中uζ（x）=RE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）；参见Sato（1999年，第32.1条之后的评论）。特别是，当在点x处求值时∈ E、 该积分与关于R值函数ζ7的νZ（dζ）的Lebesgue积分一致→RE（f（y）- f（x））pζ（x，dy），因此定义明确。鉴于Remark6.3（D.16）和（D.14），所有f∈ C∞c（E）。我们得出结论，对于所有f，E上的eg f（x）=G f（x）∈ C∞c（E）。（D.19）其次，基于Revuz和Yor（1999，命题III.1.4）的论证表明，Extisa Markov过程相对于其自然滤波fft=σ（eXs，s≤ t） 使用转换内核ept（x，dy）。由于Feller财产，这也适用于通常的权利连续增广FFTOFFT，见Revuz和Yor（1999年，提案III.2.10）。因此，byRevuz和Yor（1999年，命题VII.1.6）和（D.19），它遵循Mftis的一个鞅f∈ C∞c（Rd）。第三，让f∈ C∞b（Rd）。根据（D.17）和引理D.7，例如f（x）在E上局部有界，因此过程MFT得到了很好的定义。此外，LemmaD。8生成函数序列fn∈ C∞c（Rd）使fn→ f和fn→例如，f在E上局部均匀。因此，定义停止时间Tm=inf{t≥ 0：keXtk≥ m} ，我们有| Mft∧Tm公司- Mfnt∧Tm |≤ |f（外部∧Tm）- fn（外部∧Tm）- f（eX）+fn（eX）+t最大值∈E、 kxk公司≤m | eG f（x）-例如fn（x）|。右侧是有界的，并收敛到零，即n→ ∞, 这会产生Mfnt∧Tm公司→ Mft公司∧Tmin L.由于每个MFNTI都是一个鞅，因此根据需要，它在Mftis后面跟随一个局部马丁鞅。这完成了定理6.1的证明。参考D。Ackerer和D.Filipovi\'c.线性信用风险模型。即将出版的《金融与随机》，2016年。D、 Ackerer和D.Filipovi'c.《正交多项式展开的期权定价》。

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