多项式跳扩散模型

2022-6-1 18:11:08

这一特性使得多项式跳跃差异在计算上易于处理，并且非常适合金融资产定价模型。许多常见的环跳微分是多项式，例如Ornstein–Uhlenbeck过程、平方根微分、Jacobi或Wright–Fisher微分、L'evy过程和geometricL'evy过程，以及这些过程的多维类似物和组合。*我们感谢Agostino Capponi、Elise Gourier、Jan Kallsen、Sergio Pulido以及Lunteren第16届数学金融冬季学校、EPFL金融动态模型学校和研讨会、国际统计学会第61届世界统计大会和佐治亚州立大学CEAR/Huebner夏季风险研究所的与会者，副主编和两位匿名评论员的评论。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助+EPFL和瑞士金融研究所，Ex tranef 2181015 Lausanne，Switzerland，电子邮箱：damir。filipovic@epfl.瑞士苏黎世理工大学数学系，瑞士苏黎世拉米斯特拉斯101，8092，电子邮件：martin。larsson@math.ethz.chIn在本文中，我们为多项式跳变建立了一个全面的数学框架。我们用扩展生成器的系数的s项刻画了多项式的性质，并建立了矩公式。我们证明了在多项式变换和L'evy时间变化下，ajump扩散的多项式性质保持不变。

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2022-6-1 18:11:11

这些转换使我们能够轻松地从简单的构建块构造多项式跳转差。它们还使我们能够有效地确定金融模型中的非线性，从而使它们能够灵活地捕捉金融时间序列的许多时间特征。我们还回顾了过去二十年来在金融资产定价模型中广泛使用的跳跃式差异。根据扩展生成器对指数函数的逐点作用，我们提供了一个关于跳变差的宽松定义，并建立了跳变公式。我们证明了，在j umps上的模可积条件下，跳变差是多项式的。该变换不成立，因此多项式跳跃差分确实扩展了一类有效的跳跃差分。我们发现，在多项式变换或一般的L'evy时间变化下，跳跃微分的精细特性不是不变的，这可以解释为什么这些变换没有在金融模型中得到广泛应用。与早期关于多项式和a ffne过程的工作相比，我们不需要Markovproperty。相反，我们在一个特殊的半鞅框架中工作，该框架更灵活，更易于实际应用。存在非马尔可夫多项式跳跃差异，可以使用Kallsen和Kr¨uhner（2016年，第3节）的反例来构造，我们的大多数结果都适用于它们。事实上，马尔可夫性仅被假定为多项式性质在L'evy时间变化下的不变性，所有其他参数都依赖于它的微积分，而不是函数分析。我们提出了多项式跳跃扩散模型中期权定价的一般方法。该方法建立在似然比函数在一些方便加权的最小二乘空间中关于多项式正交基的展开。

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2022-6-1 18:11:14

作为一个应用，我们引入了一大类基于多项式跳变的新型金融资产定价模型，这些模型超越了a ffine类。在这些模型中，多余的日志返回过程在s ense ofC,inlar（2003）中是有条件的L'evy。这扩展了几个著名的单变量波动率模型，如雅各比-莫德尔（Ackerer et al.，2018）、扩展的斯坦-斯坦模型（Stein and Stein，1991；Sch¨obel and Zhu，1999）和扩展的赫尔-怀特模型（Hull and White，1987；Lions and Musiela，2007）。由于其固有的易处理性，多项式跳变在金融领域的广泛应用中发挥了突出和日益增长的作用。例如，利率（Zhou，2003；Delbaen和Shirakawa，2002；Filipovi\'c等人，2017a）、随机波动性（Gourieroux和Jasiak，2006；Ackerer等人，2018）、汇率（Larsen和Sorensen，2007）、人寿保险负债（Biagini和Zhang，2016）、方差掉期（Filipovi\'c等人，2016a）、信用风险（Ackerer和Filipovi\'c，2016），d伊维登德期货（Filipovi\'c和Willems，2017）、商品和电力（Filipovi\'c等人，2017b）、随机投资组合理论（Cuchiero，2019）和经济均衡（Guasoni和Wong，2018）。多项式跳跃差异的性质也可以应用于计算和统计方法，如广义矩法和鞅估计函数（Forman和Sorensen，2008）、方差缩减（Cuchiero等人，2012）、立方法（Filipov i'c等人，2016b）和量化（Callegaro等人，2017）。最近的这一研究主体主要依赖于不一定有效的多项式跳变差。

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2022-6-1 18:11:17

专注于a fine案例，一个发现在金融文献中有着更丰富的历史，其中a fine跳跃差异长期以来被用来解决资产定价、最优投资、均衡分析等方面的大量问题。除了在应用中有用之外，多项式跳跃差异因其丰富的数学结构而具有理论上的吸引力。这方面的工作主要集中在扩散案上，可以追溯到toWong（1964年）。Mazet（1997）和Forman and Sorensen（2008）描述了一维多项式微分。Bakry等人（2014）描述了具有非空内部的紧凑状态空间，这些状态空间可以支持二维可逆多项式微分。Larsson和Pulido（2017）研究了紧致二次集上的多项式微分，并将其概率性质与某些正双二次型的平方和表示联系起来。Filipovi\'c和Larsson（2016）开发的半代数状态空间上一大类多项式微分的存在性和唯一性。Cuchiero等人（2019）研究了概率测度值多项式差异。跳跃扩散案例中的理论文献并不丰富。第一个系统账户是马尔可夫框架下的Cuchiero（2011）和Cuchiero等人（2012）。Gallardo和Yor（2006）研究了Dunkl过程，这是一种多项式跳跃差异；见alsoDunkl（1992）。Kr¨uhner和Larsson（2018）分析了紧凑型州步伐下的跳跃差异。Cuchiero等人（2018）开发了一大类s im-plex值多项式跳跃差分规范。我们的论文为这一应用和理论文献提供了一个统一的多项式和一阶跃差分框架，从而为财务建模提供了新的ap方法。在介绍的最后，我们将使用本文中用到的一些约定。

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2022-6-1 18:11:20

We fixa随机基础(Ohm, F，Ft，P）。随机变量之间的等式被理解为几乎可以肯定。继Jaco d和Shiryaev（2003，（I.1.1））之后，我们使用了广义条件期望的概念，这是为任何σ-场F′定义的 F和所有随机变量X byE[X | F′）=（E[X+| F′）- E[X-| 在{E[| X | F′）<∞},+∞, 在别处对于多指数α=（α，…，αd）∈ Ndwe写|α|=α+···+α和xα=xα···xαddforx∈ Rdis A函数p:Rd上的一个多项式p→ 形式为p（x）=pαcαxα，其中sum覆盖所有α∈ n只有很多系数cα为零。这种代表性是独一无二的。p的阶数是deg p=max{|α|：cα6=0}。我们让Pol（Rd）表示Rd上所有多项式的长度，Poln（Rd）表示由n次多项式组成的子空间。让E是Rd的子集。E上的多项式是多项式q的限制p=q | Eto E∈ Pol（Rd）。其度数为deg p=min{deg q：p=q | E，q∈ Pol（Rd）}。我们让Pol（E）表示E上多项式的代数，Poln（E）表示E上多项式的子空间，次数最多为n。Poln（Rd）和Poln（E）都是有限维的真实向量空间，但如果有在E上消失的非平凡多项式，它们的维数将不同。如果E有一个非空的内部，则可以识别Poln（Rd）和Poln（E）。为了便于记法，我们写f∈ 任意函数f=（f，…，fk）的Poln（E）：Rd→ Rk，带k∈ N、这样，限制fi | E∈ Poln（E）对于alli=1，k、实对称d×d矩阵集表示为Sd，正半无限矩阵子集表示为Sd+。对于任何地图Д：E→ F，我们用φ表示p回拉运算符*, 将f上的函数f映射到函数Д*f on E byД*f（x）=f（Д（x））。（1.1）本文其余部分如下。

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2022-6-1 18:11:24

在第2节中，我们定义了多项式跳跃微分，给出了扩展发电机系数的特征，并建立了动量公式。在第3节中，我们重新讨论了有效的跳跃差异。在第四节中，我们研究了多项式性质在多项式变换下的不变性。在第5节中，我们介绍了多项式条件L'evy过程。在第6节中，我们证明了多项式的性质是随时间变化不变的。在第7节中，我们介绍了多项式跳跃扩散模型中期权定价的一般方法。在第8节中，我们介绍了一大类基于多项式条件L'evy过程的多项式资产定价模型。在第9节中，我们重点讨论线性波动率模型。第10节结束。附录包含其他结果和所有证据。2多项式跳变微分我们考虑一个跳变微分算子，其形式为Rdof f（x）=Tr（a（x）f（x））+b（x）f（x）+ZRdf（x+ξ）- f（x）- ξf（x）ν（x，dξ）（2.1）对于一些可测量的m ap s a:Rd→ Sd+和b：Rd→ Rd，以及Rdinto Rdinto满足ν（x，{0}）=0和Rrdkξk的转换核ν（x，dξ）∧ kξkν（x，dξ）<∞ 对于所有x∈ Rd.对于一些状态空间E，我们将Xt设为具有扩展生成元G的E值跳跃微分也就是说，Xt是一个E值特殊半鞅和F（Xt）- f（X）-ZtG f（Xs）ds是Rd上任何有界c函数f（x）的局部鞅（2.2）。我们说G在Pol（E）ifZRdkξknν（x，dξ）<∞ 对于所有x∈ E和所有n≥ 2，且（2.3）G f（x）=0，在E f或任何f上∈ E.（2.4）上f（x）=0的Pol（Rd）该性质确保G被定义为从Pol（E）到E.2.1上可测函数空间的线性算子。如果G在Pol（E）上定义得很好，并且对于每个n，G在Pol（E）上映射到自身，则称其为E上的多项式∈ N

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2022-6-1 18:11:27

在这种情况下，我们称之为E上的Xta多项式跳差。XT的特殊半鞅性质意味着ZTka（Xs）k+kb（Xs）k+ZRdkξk∧ kξkν（Xs，dξ）ds<∞其与单位截断函数h（ξ）=ξ相关的半鞅特征（B，C，ν）由Bt=Rtb（Xs）ds、Ct=Rta（Xs）ds和ν（Xt）给出-, dξ）dt、seeJacod和Shiryaev（2003年，提案II.2.29）。特别是Xt- Bt是局部鞅。当E具有非空内部时，属性（2.4）始终成立。在Pol（E）中未明确定义的扩散算子示例见Inflipovi'c和Larsson（2016年，第2节）。因此，E上的多项式jum p-diffusion是一个E值跳跃diffusion，其跳跃测量所有阶的矩，具有一个扩展生成器，将E上的多项式映射为E上的低阶或等阶多项式。多项式跳变函数允许封闭形式的条件矩，在金融领域有着广泛的应用，我们将在下文中看到。G在E上的多项式性质有一个简单的特征，即其系数a（x）、b（x）和ν（x，dξ）。引理2.2。假设G在Pol（E）中定义良好。那么以下是等价的：（i）G是E上的多项式；（ii）（2.1）满足b中的a（x），b（x）和ν（x，dξ）∈ Pol（E），a+ZRdξξν（·，dξ）∈ Pol（E），ZRdξαν（·，dξ）∈ Pol |α|（E），对于所有|α|≥ 在这种情况下，属性（ii）中列出的E上的多项式由Gon Pol（E）的作用唯一确定。此外，a（x）、b（x）和rrdξαν（x，dξ）对于所有|α|在E上的x是局部有界的≥ 2.证明。含义（二）=> （i）是即时的，其含义（i）=> （ii）然后将g应用于所有单项式。特别是，属性（ii）中列出的E上的多项式由G对Pol（E）的作用唯一确定。证明了a（x）和rrdkξkν（x，dξ）在E上的x上是局部有界的。

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2022-6-1 18:11:30

但这是因为a（x）∈ Sd+和aii+RRdξiν（·，dξ）∈ Pol（E），因此是aii（x）≥ 0和rrdξiν（x，dξ）≥ 0在x上E局部有界。虽然三阶及以上的ν（x，dξ）的矩由Gon Pol（E）的作用确定，但度量ν（x，dξ）本身不需要唯一确定。以下示例对此进行了说明。示例2.3。考虑具有单位强度和对数正态跳变分布的补偿复合泊松过程XT，其扩展生成器由G f（x）=RR（f（x+ξ）给出n- f（x）-ξf′（x））g（ξ）dξ，其中g（ξ）是标准对数正态密度。众所周知，对数正态分布在力矩问题的意义上是不确定的，因此存在密度h（ξ），与g（ξ）不同，但具有相同的力矩。扩展生成器eg f（x）=RR（f（x+ξ）- f（x）- ξf′（x））h（ξ）dξ则与Pol（E）上的G重合。备注2.4。存在非马尔可夫多项式跳跃差异，可以使用卡尔森和克鲁纳的CounterExamples（2016年，第3节）构建。这就是为什么我们采用半鞅方法来处理多项式跳跃差异，而不是像Inuchiero等人（2012）那样采用马尔可夫方法。半鞅方法有几个优点。首先，我们只需要假设局部鞅问题（2.2）的存在性，但不需要唯一性。的确，唯一性等同于Xt的马尔可夫性。此外，开发我们的框架的时间不均匀版本很简单，其中a（t，x），b（t，x），ν（t，x，dξ）明确且不一定是多项式依赖于t。最后，我们的框架立即适应了有限时间间隔上的多项式跳跃差异。实际上，我们没有指定上述随机基和半鞅的时间集，所以没有指定[0，∞), 我们可以简单地理解某个特定时间范围T的时间集为[0，T]。

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2022-6-1 18:11:33

这种灵活性在资产定价应用中很有用，我们在第8.3节中使用了它。为了使G的多项式性质可操作，我们现在在Poln（E）上引入一个坐标系，用于一般的n∈ N、我们将在整个论文中使用。We定义=dim Poln（E）- 1，注意1+N≤n+dn, 如果E有非空的内部，则等于。We fix多项式h（x），Rd上的hN（x），使得{1，h，…，hN}构成Poln（E）的基础，并定义向量值函数h:Rd→ RN，H（x）=（H（x），hN（x））. （2.5）对于每个p∈ Poln（E）我们用~p表示其坐标向量∈ R1+N，因此p（x）=（1，H（x）)~p在E.（2.6）上，G的（1+N）×（1+N）矩阵表示G仅限于Poln（E），由G（1，H）确定)（x） =（1，H（x）)G在E上，所以G p（x）=（1，H（x）)E.（2.7）上的G~p，我们现在证明E[p（XT）| Ft]是XT的多项式函数。定理2.5。假设G是E上的多项式，那么对于任何p∈ Poln（E）力矩公式成立，E【p（XT）| Ft】=（1，H（XT）)e（T-t） G~p、f或t≤ T定理2.5意味着所有订单都有有限的Ft条件矩。请注意，我们不假设XT有任何有限的无条件矩。下面的示例说明了这一点。示例2.6。dXt=κ（θ）上的GARCH差异- Xt）dt+√2κxtdwt对于某些参数κ，θ>0在（0，∞), 这是一个多项式微分。不变量分布是一种形状参数为2、比例参数为1/θ的逆伽马分布。因此，在平稳的情况下，当Xhas为不变分布时，我们有E[Xt]=θ和E[Xt]=+∞. SeeForman和Sorensen（2008年，案例4）。这是一大类扩展了GARCH微分的多项式跳跃函数。

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2022-6-1 18:11:36

设Wtbe为标准m维布朗运动，N（du，dt）为泊松随机测度，补偿器F（du）dt位于U×R+，对于一些标记空间U，参见Jacod和Shiryaev（2003，定义II.1.20）。我们考虑线性随机微分方程（SDE）dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZUδ（Xt-, u）（N（du，dt）- F（du）dt），（2.8）具有漂移、波动和跳跃大小fu nctionsb（x）=β+dXi=1xiβi，σ（x）=Γ+dXi=1xiΓi，δ（x，u）=δ（u）+dXi=1xiδi（u），（2.9）参数βi∈ Rd，Γi∈ Rd×m，函数δi:U→ RdwithRUkδi（u）knF（du）<∞ 对于alln≥ 2，对于i=0，d、由于系数的全局Lipschitz连续性，对于每个F-可测初始随机变量X，线性SDE（2.8）具有唯一的强Rd值解Xt，见Jaco d和Shiryaev（2003，定理III.2.32）。接下来，在X处检查Rd上的多项式跳跃差，线性漂移为b∈ Pol（Rd），扩散函数a=σσ∈ Pol（Rd）和由rdf（ξ）ν（x，dξ）=RUf（δ（x，u））F（du）给出的跳跃度量ν（x，dξ），因此Zrdξαν（·dξ）∈ 所有|α|的Pol |α|（Rd）≥ 2、我们现在导出了在单变量情况下，d=1的线性SDE（2.8）–（2.9）的G的矩阵表示（2.7），当E R具有非空内部。简单的计算表明，对于任何j∈ {0，…，n}，G xj=nXi=0GijxiwhereGij=冀RUδ（u）j- i（1+δ（u））iF（du），i≤ j- 3j（j）-1） Γ+j（j-1） RUδ（u）（1+δ（u））j- 2F（du），i=j- 2jβ+j（j-1） ΓΓ+jRUδ（u）（1+δ（u））j- 1.- 1.F（du），i=j- 1jβ+j（j-1） Γ+RU（1+δ（u））j- 1.- jδ（u）F（du），i=j0，i>j。因此（1+n）×（1+n）上三角矩阵G=（Gij）0≤i、 j≤nrepresents G restricted toPoln（E）关于基{1，x，…，xn}。示例2.7。

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2022-6-1 18:11:39

线性SDE（2.8）–（2.9）的一个特例是L'evy驱动的SDEdXt=b（Xt）dt+σ（Xt-) dlt其中b（x）和σ（x）如（2.9）所示，而lti是一个m维L'evy过程，其中E【kLtkn】<∞适用于所有n≥ 2，seeSato（1999，定理25.3）。3 A ffine Jump Diffusion A ffine Jump Diffusion已被广泛研究并应用于金融领域，见e.g.Duffe et al.（2003）。我们提供了一种新的方法来处理跳跃差异，并表明它们构成了多项式跳跃差异的例子。设G是形式（2.1）Rdof上的跳跃扩散算子，设xte是具有扩展生成元G的E值跳跃扩散算子，对于某些状态空间E 研发定义3.1。如果存在复值函数F（u）和R（u）=（R（u），…，则称为E上的算子G，Rd（u））关于Irdso thatG eux个=F（u）+R（u）x个欧盟x（3.1）适用于所有x∈ E和u∈ 税务局。在这种情况下，我们称之为E上的X阶跃差。请注意，与Duffeeet al.（2003）中对a阶跃过程的定义相比，这是一个宽松的定义，因为它直接根据G对指数函数的逐点作用给出。事实上，下面的例子3.6中的跳跃差异并不是senseofDu ffe et al.（2003）中的一个跳跃过程。与引理2.2类似，E上G的a ffne性质在其系数a（x）、b（x）和ν（x，dξ）方面有一个简单的表征。引理3.2。对于某些矩阵ai，当且仅当a（x）、b（x）和ν（x，dξ）是E（3.2）上形式a（x）=a+dXi=1xiai，b（x）=b+dXi=1xibi，ν（x，dξ）=ν（dξ）+dXi=1xiνi（dξ）的一个E上的算子G∈ Sd，向量bi∈ Rd上的有符号测度νi（dξ），使得νi（{0}）=0和rrdkξk∧ kξk |νi |（dξ）<∞, i=0，d

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2022-6-1 18:11:42

在这种情况下，（3.1）中的函数F（u）和R（u）可以选择为F（u）=u的形式au+bu+ZRd欧盟ξ- 1.- uξν（dξ），Ri（u）=uaiu+biu+ZRd欧盟ξ- 1.- uξνi（dξ）。（3.3）从（3.2）可以看出，除非微分和跳变系数a（x）=aA和ν（x，dξ）=ν（dξ）不依赖于x，否则一般情况下，跳变微分不能作为线性方程组（2.8）–（2.9）的解来实现。从（3.2）d引理2.2中，我们立即得到跳变微分是多项式E，取决于Pol（E）。推论3.3。如果Xtis是E上的一个有效跳跃微分，使得G在Pol（E）上定义良好，那么Xtis是E上的多项式跳跃微分，在Pol（E）上定义良好，不仅满足定理2.5中的力矩公式。它们的特征函数也可以分析处理。定理3.4。假设XT是E上的一个有效跳跃差异。对于u∈ Ird和T>0，设φ（τ）和ψ（τ）=（ψ（τ），ψd（τ））求解广义Riccati方程φ′（τ）=F（ψ（τ）），φ（0）=0ψ′（τ）=R（ψ（τ）），ψ（0）=u（3.4）的函数≤ τ ≤ T，其中F（u）和R（u）是（3.3）中的函数。IfReφ（T- t） +Reψ（t- t）Xt公司≤ 0，对于t≤ T，（3.5）那么a ffene变换公式成立，E[euXT | Ft]=eφ（T-t） +ψ（t-t）Xt，用于t≤ T备注3.5。不等式（3.5）是a ffine变换公式成立的必要条件。实际上，a ffne变换公式和Jensen不等式产生f或u∈ iRd，expReφ（T- t） +Reψ（t- t）Xt公司=E[膨胀（uXT）|英尺]≤ E[| exp（uXT）| |英尺]=1。对于广义Riccati方程（3.4）不包含所有u∈ 税务局。下面的示例说明了这一点。示例3.6。考虑两点状态空间E={0，1} R、过程Xt从1跳到0，强度为λ，一旦达到0就会被吸收。

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2022-6-1 18:11:45

这是一个跳转差，扩展生成f（x）=λx（f（x- 1) - f（x）），其形式为（2.1），其中a（x）=0，b（x）=λx，ν（x，dξ）=λxδ-1（dξ）。因此，Xtis ana ffine jump diffusion，F（u）=0，R（u）=λ（e-u- 1). 关联的广义Riccati方程（3.4）为φ′（τ）=0，ψ′（τ）=λ（e-ψ(τ )- 1). （3.6）我们声称，对于初始条件u=iπ，该方程没有全局解。假设ψ（τ）是（3.6）的整体解。则ψ（τ）=eψ（τ）满足线性方程ψ′（τ）=-λΨ(τ) + λ, Ψ(0) = -1，其唯一解为ψ（τ）=1- 2e类-λτ，τ=λ时变为零-日志2，这很荒谬。这一事实背后的深层原因是，给定X=1，E[euXT]=1时，X的特征函数- e-λT+eu-λT，对于u=iπ和T=λ-1日志2变为零，因此不能像a ffne变换公式中那样写为指数。4多项式变换这类多项式跳变在扩展维数后，在多项式变换下是不变的。这允许我们从基本构建块构建一大类多项式跳跃，包括布朗运动、L'evy过程或更一般的过程。事实证明，这是一种在各种金融模型中引入非线性和跳跃的有用且灵活的方法。设Xt是E上的多项式跳差 RDG带扩展发电机G。修复n∈ N和Poln（E）的基{1，h，…，hN}，如（2.5）–（2.7）所示。注意，H:E→ H（E） RNisinjective。实际上，Poln（E）中任何线性单项式xilies对E的限制，因此是1，h（x），…，的线性组合，hN（x）。因此存在线性多项式l我∈ Pol（RN）等li（H（x））=对于所有x∈ E和所有i.定义向量值函数l:RN→ Rd，L（x）=(l（x），ld（x））.

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2022-6-1 18:11:48

（4.1）然后L（H（x））=x表示所有x∈ E、对于所有x，H（L（x））=x∈ H（E）。我们确定了撤军H*和L*如（1.1）所示。引理4.1。每m∈ N、拉回H*: Polm（H（E））→ Polmn（E）是具有逆L的线性同构*.以下是本节的主要结果。定理4.2。过程Xt=H（Xt）是H（E）上的一个多项式跳变差，其extendedgeneratorG=L*G高*而且，每m∈ N、下图为：Polm（H（E））Polm（H（E））Polmn（E）Polmn（E）GH*德国劳埃德船级社*（4.2）作为定理4.2的直接应用，我们可以很容易地推断G对Polm（H（E））的作用。设1+N=dim Polm（H（E））=dim Polmn（E），并将Poln（E）的基推广到Polmn（E）的基{H=1，H，…，hN，hN+1，…，hN}（4.3），对于一些多项式hN+1（x），hN（x）在Rd上。从换位图（4.2）来看，这导致了基hi=L*H（E）），f或i=0，N、设G为（2.5）–（2.7）中表示G在Polmn（E）上的（1+N）×（1+N）矩阵，可使用应用于G hi（x）的s y mbolic演算确定。G是表示G onPolm（H（E））的矩阵，可以很容易地应用定理2.5来计算xtup到m阶的所有Ft条件矩。下面的示例表明，a ffne属性在多项式变换下不是不变的。示例4.3。考虑平方根过程dXt=（b+βXt）dt+σ√XtdWt，这是一个非常有用的功能。扩充过程Xt=（Xt，Xt）满足dx1t=（b+βX1t）dt+σqX1tdWtdX2t=（（2b+σ）X1t+2βX2t）dt+2σqx1txtdwt。虽然XT的漂移函数是形式（3.2）中的一个函数，但扩散函数不是。从Emma3.2的角度来看，这表明对于H（x）=（x，x），x在H（R）上不是一个函数，而它是多项式,根据Theorem4.2.5多项式条件L'evy过程在实际应用中，我们经常会遇到以下情况。

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2022-6-1 18:11:52

设Xt为多项式跳跃微分Xton E 设Ytbe为重值s emimartin gale，对于某些e∈ N、谁的特征是Xt的功能。该过程可以模拟资产的超额对数收益，其随机波动性和跳跃特征根据潜在因素过程给出。该结果是与Sergio Pulido合作得出的，并应用于Infipovi\'c等人（2016b）。Xt。在第4节的基础上，我们开发了一个多项式框架，可以容纳一大类这样的模型。下面的例子说明了我们所考虑的情况。我们在第9节中进一步阐述了这个示例，包括跳跃。示例5.1。对于γ>0、κθ>0、X>0和Y=0，我们在风险中性度量下考虑以下模型：dXt=κ（θ- Xt）dt+γXtdW1t，dYt=-Xtdt+XtdW2t，其中YT对资产的超额对数回报率和XT其波动性进行建模。根据引理2.2和示例2.6，x是E=（0，∞). 此外，yt的漂移和微分函数在Xt中都是二次函数。特别是，Lemma2.2表明联合过程zt=（Xt，Yt）在E×R上不是多项式。然而，增广过程zt=（H（Xt，Yt）和H（x）=（x，x）是H（E）×R上的多项式微分。

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2022-6-1 18:11:56

因此，仍然可以使用定理2.5中的力矩公式来计算YT的条件力矩。回到一般性讨论，我们假设联合半鞅Zt=（Xt，Yt）是一个E×Re值跳跃微分，其形式为扩展生成元f（z）=Tr（a（x）f（z））+b（x）f（z）+ZRd+ef（z+ζ）- f（z）- ζf（z）ν（x，dζ），（5.1），其中我们写z=（x，y），对于一些可测映射a:Rd→ Sd+e+和b：Rd→ Rd+e和Rdinto的反应核ν（x，dζ）满足ν（x，{0}）=0和Rrd+ekζk∧kζkν（x，dζ）<∞ 对于所有x∈ Rd.根据分解Zt=（Xt，Yt），相应地ζ=（ξ，η），我们wr itea（x）=aX（x）aXY（x）aY x（x）aY（x））, b（x）=bX（x）乘（x）, ν（x，dζ）=ν（x，dξ×dη），（5.2）并用νx（x，dξ）和νY（x，dη）表示ν（x，dξ×dη）的边际测度，由νx（x，A）=ν（x，A×Re），νY（x，A）=ν（x，Rd×A）给出。（5.3）那么aX（x）、bX（x）和νx（x，dξ）是扩展生成器GXof Xt的系数，根据假设，它是E的多项式。请注意，Ytis是C,inlar（2003）意义上的条件L'evy过程。也就是说，在过程Xt的条件下，半鞅yth是独立的增量。修复n∈ N和Poln（E）的基{1，h，…，hN}，如（2.5）–（2.7）中的GXin代替G。扩展（4.1），我们定义了地图Д：Rd+e→ RN+ean和ψ：RN+e→ Rd+ebyД（x，y）=（H（x，y），ψ（x，y）=（L（x，y），因此ψoД=E×Re上的id。回撤^1*和ψ*定义见（1.1）。这是本节的第一个主要结果，它扩展了示例5.1。定理5.2。假设ZrekηkkνY（x，dη）<∞ 对于所有x∈ E和所有k≥ 2.（5.4）那么，增广过程zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×Rewith extendedgeneratorG=ψ上的跳变差*G^1*, 算子G和G分别在Pol（E×Re）和Pol（H（E）×Re）上定义良好。

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2022-6-1 18:11:59

此外∈ Poln（E），（5.5）aY+ZReηηνY（·，dη）∈ Pol2n（E），（5.6）aXY+ZRd+Eξην（·，dξ×dη）∈ Pol1+n（E），（5.7）ZRd+Eξαηβν（·，dξ×dη）∈ Pol |α|+n |β|（E），对于所有|α|+|β|≥ 3、（5.8）在H（E）×Re上共同嵌入多项式。（5.9）相反，（5.9）对于α=0，则为（5.5）、（5.6）和（5.8）。备注5.3。由于E上的GXis多项式，因此在Pol（E）上定义良好，条件（5.4）与zrd+ekζkkν（x，dζ）<∞ 对于所有x∈ E和所有k≥ 2、作为定理5.2的一个应用，我们展示了如何通过指定多项式跳变函数Xton E.推论5.4的Ytin项来构造大型多项式跳变函数类。设e=e′+e′，对于某些e′，e′≥ 0，并考虑映射P:E→ Re′和Q:E→ 带多项式分量的Re′′×dW，P∈ Poln（E）和Q∈ Poln公司-1（E）。然后fordYt=P（Xt）dtQ（Xt-) dXt公司满足定理5.2中的条件（5.4）–（5.8），因此Zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×Re上的多项式跳跃微分。对于n≥ 2，这包括二次共变量，d[Xi，Xj]t=d（Xi，tXj，t）- Xi，t-dXj，t-Xj，t-dXi，t及其可预测补偿器，ΓX（xi，xj）（Xt）dt，其中ΓXdenotes与GX相关的carr'e-duchamp算子（见A节）。要使用定理2.5中的矩公式计算yt的条件矩，我们必须了解Polm（H（E）×Re）的结构及其作用方式。为此，我们引入了Subspace Vm 由vm定义的Polnm（E×Re）=span{p（x）yβ：p∈ Pol（E），摄氏度p≤ n（米- |β|), |β| ≤ m} 。（5.10）扩展引理4.1，我们得到以下结果。我们推测，（5.7）和（5.8）的性质对于（5.9）一般来说是不必要的。然而，我们还没有找到一个反例。引理5.5。对于EVERY m∈ N、回撤Д*: Polm（H（E）×Re）→ Vmis是一个逆ψ的线性同构*.这是本节的第二个主要结果。定理5.6。假设（5.4）。

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2022-6-1 18:12:02

然后，以下任一语句等效于（5.9）：（i）操作符G将空间vm映射到每个m的自身∈ N（ii）G（yβ）和Γ（xα，yβ）位于vmwhere |α|≤ n（米-|β|）和|β|≤ m、式中，Γ表示与G相关的carr'e-du-champ运算符（见A节）。无论哪种情况，对于每m∈ N、下图换算：Polm（H（E）×Re）Polm（H（E）×Re）VmVmGД*Gψ*（5.11）备注5.7。注意，对于n=1和H（x）=x，我们有zt=zt和Vm=Polm（E×Re），在这种情况下，定理m5.6简单地恢复了zt是E×Re上多项式的定义。作为定理5.6的一个应用，我们可以推断G对Polm（H（E）×Re）的作用。这允许我们使用定理2.5中的力矩公式计算Yt的条件力矩。假设（5.4）和（5.9）。设1+N=dim Polmn（E），并将Poln（E）的基扩展到Polmn（E）的基asin（4.3）。这表明Vmof的形式vi（x，y）=hj（x）yβ，deg hj的基础≤ n（米- |β|), |β| ≤ m、 i=0，M其中1+M=尺寸Vm。根据换位图（5.11），这导出了基vi=ψ*vi，i=0，M、 Polm（H（E）×Re）的。设G为（1+M）×（1+M）矩阵，表示根据（2.5）–（2.7）的Gon Vm，用vi代替hi，可使用应用于G vi（x，y）的符号计算公式来确定vi（x，y）=hj（x）yβ。那么G是表示G在POLM（H（E）×Re上的矩阵，Theorem2.5可以很容易地用于计算Ztup到m阶的所有条件矩。以下推论对应用很有用，因为它有助于减少矩计算的维数。例如，如果我们只需要Y1T的条件矩，这不涉及i 6=1的剩余分量yit。推论5.8。Assu me（5.4）和（5.9）。让P：Re→ Re′是线性映射，对于某些e′∈ N

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2022-6-1 18:12:05

然后Z′t=（Xt，P Yt）满足度（5.4）和（5.9）代替Zt=（Xt，Yt），尺寸e替换为e′。6 L'evy时变通过L'evysubordinator显示，多项式跳变的类别在时变下是不变的。设Xt是E上的多项式跳差 RDG带扩展发电机G。LetZtbe是一个独立的非减量L'evy过程（从属），具有L'evy测度νZ（dζ）和漂移bZ≥ 0，使其生成器为gzf（z）=bZf′（z）+z∞（f（z+ζ）- f（z））νz（dζ）。Ztis定律用ut（dz）表示。一个启发式论证表明，时间变化过程ext=xzt再次是E上的多项式跳跃效应。事实上，对于任何多项式f（x）=（1，H（x），矩公式定理2.5、xt和Zt的独立性以及Ztgive的L'evy性质)~fin Poln（E），E[f（eXT）| eXT]=E[f（XZT）| XZT，Zt，Zt]| XZT]=E[（1，H（XZT）)e（ZT-Zt）G~f | XZt]=（1，H（XZt）)Z∞ezGuT-t（dz）~ f=（1，H（eXt）)e（T-t） eG~f，其中矩阵eG在下面的（6.7）中给出，服从ut（dz）-可积条件。Henceextsatifies力矩公式。然而，如果没有任何进一步的假设，要证明ext是一种跳跃式差异，即使不是不可能，也是非常困难的。假设马尔可夫性，我们可以证明以下结果。定理6.1。假设XT是一个具有过渡Kernel pt（x，dy）的Feller过程，其生成器的域包含C∞c（E），且发电机与c上的G重合∞c（E）。还假设L'e vy测度νZ（dζ）允许e个指数矩，Z∞eζλνZ（dζ）<∞, （6.1）对于G的特征值的实部集合中的任何λ，限制为Pol（E）。那么，时变过程ext=xzt是E上的多项式跳跃微分，是一个具有过渡核的Feller过程pt（x，dy）=Z∞pz（x，dy）ut（dz）（6.2）相对于其自然过滤的通常增强。

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2022-6-1 18:12:08

其扩展生成器eg f（x）=Tr（ea（x）f（x））+eb（x）f（x）+ZRdf（x+ξ）- f（x）- ξf（x）eν（x，dξ）（6.3）由ea（x）=bZa（x），（6.4）eb（x）=bZb（x）+Z给出∞ZE（y-x） pζ（x，dy）νZ（dζ），（6.5）eν（x，dξ）=bZν（x，dξ）+Z∞{ξ6=0}pζ（x，x+dξ）νZ（dζ）。（6.6）很容易证明Ext是一个半马丁大风，但不清楚其跳跃特性是否仅是当前状态的函数，正如跳跃差异所要求的那样。此外，根据Xt的马尔可夫转移核给出了漂移和跳跃特性sin（6.5）和（6.6）。Poln（E）上G和G的矩阵表示G和G由Eg=bZG+Z关联∞（eζG- id）νZ（dζ）和eteG=Z∞ezGut（dz）。（6.7）备注6.2。定理6.1的证明表明，pt（x，A）和pt（x，x+A）在（t，x）中是可联合测量的∈ [0, ∞) 所有可测量A的X E Rd，具有明显的扩展pt（x，A）=pt（x，A∩E）。因此（6.2）和（6.6）规定了Rdinto Rd中定义良好的过渡核，对于x，定义为零/∈ E、备注6.3。理论2.5得出thatZE（y- x）pζ（x，dy）=（1，H（x）)（eζG- id）M其中G i是G在Pol（E）上的矩阵表示，M是矩阵，其第i列是xiin Pol（E）的对应向量表示。鉴于（6.1），（6.5）规定了一个定义良好的一阶多项式漂移函数。备注6.4。Sato（1999，定理25.3）指出，条件（6.1）等价于E[EλZt]=R∞ezλut（dz）<∞ 对于所有t≥ 因此，（6.7）中的积分定义良好。如果E是紧的，则G的所有特征值限制在Pol（E）上都有非正实部，因此（6.1）平凡地成立。以下示例显示，a ffine属性对于L'evy timechange不是不变的。示例6.5。

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2022-6-1 18:12:11

考虑Ornstein–Uhlenbeck过程ss dXt=-κXtdt+σdWt，这是一个具有正态转移核pt（x，dy）的a ffenefeller过程，平均值为e-κtx和方差σ2κ1.- e-2κt.现在考虑一个i独立的泊松从属函数zt，βZ=0，νZ（dζ）=δ{1}（dζ）。根据定理6.1，L'evy时间变化ju mp diffu si oneXt=XZtis多项式。但如果κ6=0，则extisnot a ffine。实际上，直接集成显示seg eux=ZE（euy- eux）p（x，dy）=e（e-κt-1） ux+C（t）- 1.euxfor C（t）=σu4κ1.- e-2κt, 不属于（3.1）形式。inLi和Linetsky（2014）给出了L'evy时变Orn-stein–Uhlenbeck过程（如例6.5）在商品衍生品定价中的应用。7多项式展开式我们研究金融中的一般定价问题，其可归纳如下。状态空间E上的Xtbe多项式跳跃微分 Rd.可能路径依赖期权的定价归结为计算条件期望it=E[F（X）| Ft]，其中X=P（Xt，…，Xtn），对于某些线性映射P:Rd×n→ Rm，带m≤ d×n，对于某些时间分区0≤ t<t<··<tn，以及Rm上的一些贴现支付函数F（x）。例如，X=（X1，t，…，X1，tn）可能仅取决于m=n的Xt，s的第一个分量。在下文中，我们提出了一种方法，扩展了inFilipovi'c等人（2013）的方法。我们用g（dx）表示X在给定rmft上的正则条件分布。我们让w（dx）是(Ohm, Ft）到Rmthat支配g（dx），似然比表示为l（x），使得g（dx）=l（x） w（dx）。（7.1）我们将希尔伯特空间Lw定义为RMF上的可测实函数f（x）的（等价类）集，Lw范数由Kfkw=ZRmf（x）w（dx）给出。相应的标量积为hf，hiw=RRmf（x）h（x）w（dx）。我们假设lw包含Rm上的所有多项式，Pol（Rm） Lw，（7.2），设q（x）=1，q（x），q（x）。

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2022-6-1 18:12:15

形成Lw中跨越closurePol（Rm）的多项式的正交基。我们还假设似然比函数位于Lw，l ∈ Lw。（7.3）因此，其傅里叶系数lk=hl, qkiw=ZRmqk（x）l（x） w（dx）=E[qk（x）| Ft]（7.4）通过迭代定理2.5中的力矩公式以闭合形式给出。我们最终假设贴现支付函数位于Lw，F∈ Lw。（7.5）我们用F表示Lw中F ontoPol（Rm）的正交投影。然后，初等函数分析得出价格近似值“It=E[”F（X）| Ft]等于“It=ZRm”F（X）g（dx）=\'F，lw=Xk≥0Fklk（7.6），傅里叶系数由fk=h'F，qkiw=hF，qkiw=ZRmF（x）qk（x）w（dx）给出。（7.7）如果预测F等于Lw中的F，则近似值等于真实价格，It=It。这一说法更具理论意义，而非实际意义，原因有二。首先，根据辅助内核w（dx）的选择，我们知道Pol（Rm）在Lw中是稠密的，因此'F=F始终保持不变。其次，在实践中，我们通过截短（7.6）中某个特定阶数K的序列来近似预测，I（K）t=KXk=0Fklk、（7.8）定价误差为（k）=It-I（K）t.虽然很高兴知道（K）→ 0 asymp toticallyas K→ ∞ 如果Lw中的F=F，那么困难的工作在于控制有限K的误差（K）。近似值I（K）tca的计算可以转换为Rm上的数值积分，I（K）t=KXk=0hF，lkqkiw=ZRmF（x）l（K）（x）w（dx），（7.9）表示似然比近似值l（K）（x）=KXk=0lkqk（x）。请注意，近似值g（K）（dx）=l（K）量度g（dx）的（x）w（dx）积分为1，g（K）（Rm）=1，因为对于K，qkis与lwk中的q=1正交≥ 1.

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2022-6-1 18:12:20

但一般来说，g（K）（dx）只是一个有符号的度量。如何选择辅助概率核w（dx）？w（dx）必须满足条件（7.1）–（7.3）和（7.5），而eof（7.3）可以说是实践中最难验证的。下列准则表明，从计算角度来看，w（dx）具有更理想的性质：（i）w（dx）允许闭合形式的Ft条件矩。然后我们得到正交多项式q（x）=1，q（x），q（x）。Lwin闭合形式，无数值积分。实际上，我们让▄q（x）=1，▄q（x），▄q（x）。是Pol（Rm）的任何依据。我们根据w（dx）的Ft条件矩得到了所有标量积hqk，qliw。这允许执行一个精确的Gram–Schmidt正交归一化，我们得到了闭合形式下的正交基POL（Rm）。（ii）傅立叶系数fk存在封闭式公式，计算I（K）t不需要数值积分。例如，参见inAckerer等人（2018）的期权定价；Ackerer和Filipovi\'c（2017年）。否则，必须对w（dx）进行数值积分（7.7）或等效积分（7.9）。这至少应该通过立方法或蒙特卡罗方法进行修正。（iii）w（dx）匹配n阶及以下的g（dx）的动量，RRmxαw（dx）=RRmxαg（dx）对于所有|α|≤ n、我们已经知道它总是保持f或α=0，所以l= 1、那么lk=RRmqk（x）g（dx）=RRmqk（x）w（dx）=h1，所有k的qkiw=0≥ 1度qk≤ n、这可以提高近似值（7.8）的收敛性。

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2022-6-1 18:12:26

Filipovi\'c和Willems（2017年，第3.2节）提出了一种数值有效的方法，用于构建与单变量情况下的前n个矩匹配的概率密度，m=1。在第C节中，我们概述了在应用程序中可能遇到的情况。8多项式资产定价模型在第5节的基础上，我们开发了一个多项式框架，用于调整一大类资产定价模型。它嵌套了所有有效的资产定价模型，受跳跃可积性的约束。首先，我们引入了具有超额对数回报的金融市场模型，该模型是基于非均衡跳跃扩散因子过程的条件L'evy。然后，我们讨论了期权定价和等价度量变化，并提供了收益波动率、交易量和杠杆率的封闭式表达式。8.1有条件的L'evy超额对数回报我们考虑一个具有e个主要资产的金融市场，其价格过程为asSi，t=Si，0ERTRSD+Yi，t，其中RTI是无风险利率，Yt=（Y1，t，…，Ye，t）是Y=0的超额对数回报过程。我们假设Xt是某个状态空间E上的多项式跳差 Rd使得Zt=（Xt，Yt）是一个E×Re值跳跃微分，具有f形式（5.1）的扩展生成器G。也就是说，这是一个传统的L’evy过程。我们遵循公约（5.2）–（5.3）和assu meZRe（eηi- 1.- ηi）νY（x，dη）<∞ 对于所有x∈ E、 i=1，e、（8.1）然后证明价格过程是具有分解DSI，tSi，t的特殊半鞅-= （rt+i（Xt））dt+dYci，t+ZRe（eηi-1)uY（dη，dt）- νY（Xt-, dη）,式中，Yctdenotes是Yt的连续鞅部分，uY（dη，dt）是与Yt跳跃相关的整值随机测度，超额收益率由i（x）=bYi（x）+aYii（x）+ZRe（eηi）给出- 1.- ηi）νY（x，dη）。我们还没有规定测量值P。

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2022-6-1 18:12:40

对于衍生品定价，我们假设P是风险中性度量，因此贴现价格过程e-RtrsdsSi，皮雷局部鞅。这是通过为所有x设置i（x）=0来实现的∈ E和i=1，e、从引理2.2来看，如果Zt=（Xt，Yt）通常是一个多项式跳跃微分，而不是一个函数，则i（x）不能b ezero。下一个结果展示了如何将ZT嵌入到高维多项式跳跃d函数中，使i（x）=0。从定理5.2开始，我们立即省略了它的证明。引理8.1。让n∈ N、假设（8.1）保持andaY∈ Poln（E），aXY∈ Pol1+n（E），ZRd+Eξαf（η）ν（·，dξ×dη）∈ Pol |α|+n（E），对于所有|α|≥ 0，（8.2）对于所有函数f:Re→ R的积分是有限的。然后可以选择Yi=-aYii公司-ZRe（eηi- 1.- ηi）νY（·，dη）∈ Poln（E），因此E上的i（x）=0，P i是一个风险中性度量，而zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×Re上的多项式跳跃微分。8.2期权定价为了说明如何对主要资产的期权进行定价，我们现在假设P是风险中性度量。首先考虑一个欧洲看涨期权，以资产Si、twith strike K和到期日T为基础。其在t=0时的价格由E给出-RTRSD（Si，T- K） +| Fi=Eh（Si，0eYi，T- Ke公司-RTRSD）+Fi。如果无风险利率R具有确定性，则定价操作将简化为计算形式E[（eYi，T）的预期值- c） +| F]，其中c是常数。路径依赖型衍生工具的定价归结为计算形式为E[F（Yi，t，…，Yi，tn）| F]的条件预期，如第7节所讨论的Ztin替代Xt。8.3等价测度变化一般来说，P可以是任何测度，例如真实世界的测度，只要存在局部等价的风险中性测度Q，使得贴现价格过程是Q-局部鞅。这是资产定价模型无套利的标准条件，参见Harrison和Pliska（1981）。

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2022-6-1 18:12:43

如果P不是风险中性度量，我们指定风险的市场价格，以便Xtisa多项式跳变与相应的风险中性度量。为此，我们确定了时间范围T，并考虑了等效概率度量Q~ P，其中Zt，t∈ [0，T]，isa跳跃扩散，扩散、漂移和ju mp系数aQ（x）、bQ（x）和νQ（x，dζ），给定P系数a（x）、b（x）和ν（x，dζ）asa（x）=aQ（x），b（x）=bQ（x）+a（x）φ（x）+ZRd+e（1- 1/ψ（x，ζ））ζν（x，dζ），ν（x，dζ）=ψ（x，ζ）νQ（x，dζ），（8.3）对于某些Rd+e值函数φ（x）和实函数ψ（x，ζ）>0。其中φ（x）是扩散风险的市场价格，ψ（x，ζ）是与ZT相关的ζ级跳跃事件的风险市场价格。如果所有x的Qi（x）=0，则Q是风险中性度量∈ E和i=1，e、为了明确测量值的变化，我们将thatEt（L），t∈ [0，T]是一个正鞅（8.4），如果Ztis的连续鞅部分的形式为dZct=σ（Xt）dWt，对于某些布朗运动Wt，anda（x）=σ（x）σ（x）, 然后σ（Xt）φ（Xt）是Wt.fordLt=-φ（Xt）dZct公司-ZRd+e（1- 1/ψ（Xt-, ζ))uZ（dζ，dt）- ν（Xt-, dζ）dtL=0时，其中Zctis是Zt的连续鞅部分，uZ（dζ，dt）表示与Zt跳跃相关的整值随机测度。然后dQ/dP=ET（L）定义了一个等效的概率度量Q~ P、我们还假设ztzrd+e（kζk∧ kζk）/ψ（Xt，ζ）ν（Xt，dζ）dt<∞. （8.5）Girsanov定理意味着Zt，t∈ [0，T]是（8.3）中给出的具有扩散、漂移和跳跃系数aQ（x）、bQ（x）和νQ（x，dζ）的跳跃微分，见Jacod和Shiryaev（2003，TheoremIII.3.24）。在（8.4）和（8.5）的基础上，假设d+ekζkk/ψ（x，ζ）ν（x，dζ）<∞ 对于所有x∈ E和allk≥ 2.

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2022-6-1 18:12:48

让GQdenote在Q下生成zt，使gqf（z）=G f（z）- φ（x）a（x）f（z）-ZRd+e（f（z+ζ）- f（z）（1）- 1/ψ（x，ζ））ν（x，dζ）。由于G在Pol（E×Re）上定义良好，因此Lemma。2意味着GQI在Pol（E×Re）上定义良好。在个案的基础上，现在可以直接从（8.3）和引理2.2推导条件，例如Xt，t∈ [0，T]是Q下的多项式跳跃微分，引理8.1适用；所以Q是一个风险中性度量，Zt=（H（Xt），Yt），t∈ [0，T]是H（E）×Reunder Q.8.4波动率、Vol of Vol和LeverageThe spot variance vi（Xt）上的多项式跃变差-) 在第i个超额对数返回dYi中，定义为其四次比率变化的可预测补偿器的时间导数[Yi，Yi]t（修改的第二特征），给出了yvi（x）=Γ（Yi，Yi）（x）=aYii（x）+ZReηiνY（x，dη），其中Γ表示与G相关的carr'e-du-champ算子（见A节）。dYi的波动率定义为其即期方差voli（Xt）的平方根-) =pvi（Xt-).vol的vol定义为波动过程voli（Xt）和voli（Xt）的即期方差的平方根-) =pΓ（卷，卷）（Xt）-).杠杆效应是指dYi与其即期方差dvi（Xt）变化之间的负相关。

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