依赖于状态的局部跳扩散模型的小时间展开

2022-5-8 05:31:17

具有有限跳变活动的依赖于状态的局部跳变扩散模型的小时间展开*Yankeng Luo+2018年10月15日摘要在本文中，我们考虑一个马尔可夫过程{Xt}t>0，从x开始∈ R和求解一个随机微分方程，该方程由布朗运动和一个独立的纯跳跃分量驱动，表现出依赖于状态的跳跃强度和有限的跳跃活动。在小时间t内，当y>0时，导出了尾概率P[Xt>x+y]的二阶展开式。作为该展开式的一个应用，并适当改变基础概率测度，当基础股票价格在风险中性概率测度下被建模为跳跃扩散过程{Xt}t>0的指数时，得到了货币外欧洲看涨期权价格的二阶展开式，即将到期。关键词和短语：短时渐近性；局部跳变扩散马尔可夫模型；带跳跃的随机微分方程；期权定价。1引言在这项工作中，我们考虑了一个马尔可夫过程X:={Xt}t>0，其形式为（1.1）Lf（X）=b（X）f（X）+σ（X）f（X）+ZR的极小生成元f（x+γ（x，r））- f（x）- 1{r | 61}γ（x，r）f（x）ν（x，r）dr，其中r:=r\\{0}和b，σ，γ和ν是满足此类过程存在的适当条件的确定性函数（详见下文）。广义上，X可以用随机微分方程（SDE）来定义，其形式为：dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt+dJt，其中W:={Wt}t≥0是一个维纳过程，J:={Jt}t≥0是一个独立的纯跳跃过程，其跳跃行为由ν和γ决定，如下所示：#{s∈ [t，t+δ]：Xs∈ （a，b）}= E#{s∈ [t，t+δ]：Js∈ （a，b）}= EZt+δtZ{γ（Xs-,r）∈（a，b）}ν（Xs）-, r） drds,(1.2)*圣路易斯华盛顿大学数学系。

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2022-5-8 05:31:20

美国密苏里州路易斯，邮编63130(figueroa@math.wustl.edu).部分由NSF资助的研究：DMS-1149692.+弗吉尼亚联邦大学数学与应用数学系，弗吉尼亚州里士满23284(yluo@vcu.edu).任何一个t∈ (0, ∞), δ>0和（a，b）∈ R\\{0}。直观地，（1.2）告诉我们，过程“近”时间t的跳跃强度取决于它在t之前的状态，通过函数ν，在这里，如果ν（Xt-, r）如果是大的（小的），那么我们期望在时间t之后立即出现更高（低）的跳跃强度。在γ（x，r）的特例中≡ r、（1.2）减少到（1.3）E#{s∈ [t，t+δ]：Xs∈ （a，b）}= EZt+δtZbaν（Xs）-, r） drds,和ν（Xt）-, r）具有[4]和[7]中定义的随机跳跃强度的通常解释。也就是说，当进程处于状态x时，ν（x，r）测量单位时间内的预期跳跃次数，大小接近r。如上所述的依赖于状态的跳跃行为是一个重要特征，它对其他常用研究的跳跃过程具有更大的建模灵活性。对于一些应用，我们将读者引用到[16]、[12]、[14]、[13]、[8]、[9]、[20]和[24]。发生器（1.1）涵盖了广泛的过程。对于L′evy过程，b和σ是常数，γ（x，r）=r，而ν（x，r）=h（r），对于L′evy密度h:r\\{0}→ [0, ∞) （即R（x）∧ 1） h（x）dx<∞). 当我们简单地得到ν（x，r）=h（r）时，我们恢复了[10]中研究的（局部）跳跃扩散模型。在这种情况下，X可以构造为（1.4）Xt=X+Ztb（Xs）ds+Ztσ（Xs）dWs+Xs∈（0，t]：|祖|≥1γ（Xs）-, Zs）+cXs∈（0，t）：0<|祖|≤1γ（Xs）-, Zs），其中Z是具有L'evy密度h的L'evy过程，cx表示termstherein的补偿泊松和。文献[24]研究了ν（x，r）=λ（x）p（r）且rp（r）dr=1的情况。

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2022-5-8 05:31:23

更一般地说，如果λ（x）：=Rν（x，R）dr<∞ 在局部有界的情况下，我们可以构造过程X asXt=X+Zt′b（Xs）ds+Ztσ（Xs）dWs+Xτi≤tγ（Xτ）-i、 ξi），式中b（x）=b（x）-R{R|R|61}γ（x，R）ν（x，R）dr，0<τ<τ<。是R+上的一个随机性{λ（Xs）的点过程-)}s≥0和，有条件地在Xτ上-i=z，ξi为密度ν（z，·）/λ（z），与任何其他过程无关。与刚才描述的具有有限跳变活动的过程（即在任何限定时间段内有无数跳变）不同，有限跳变活动（IJA）过程不仅从数学角度而且从实践角度都很重要。这在金融应用中尤其如此，因为基于高频观测的多个统计测试支持后一种功能。在这项工作中，我们研究了一类ijap过程（即Rν（x，R）dr=∞) 这是由aL’evy过程驱动的局部跳跃扩散过程变薄，具有稳定的小跳跃行为。应用上述过程类的一个重要障碍来自lackof可追踪的跃迁分布。在这方面，一系列文献集中于过程计算模拟的数值方法（例如，参见[13]和[21]以及其中的参考文献），而这些方法又可用于通过蒙特卡罗方法估计不同的分布特征。文献的另一个流已经发展了在不同渐近状态下这些分布性质的近似。由于其广泛的应用，例如统计估计和模拟方法，短时近似具有特殊的相关性。FigueroaL’opez等人[10]进一步发展了后一种方法，在很短的时间内，对过程的尾部概率（1.4）进行了二阶展开。

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2022-5-8 05:31:26

不幸的是，对于依赖于状态的跳跃扩散的分布性质，几乎没有涉及短时近似方法的工作。[24]是一个例外，其中在特殊情况下，在ν（x，r）=λ（x）p（r）且rp（r）dr=1的情况下，发展了过渡密度的短时近似方案。在本文中，我们推广了[10]中的结果，在很短的时间t内发展了尾概率P（Xt）的二阶展开式≥ 具有生成器（1.1）和初始值x的依赖于状态的跳跃扩散过程x的x+y）（y>0）∈ R.考虑最小生成概率（1.1）和尾部概率的主要动机之一是，当基础股票价格被建模为风险中性概率测度下依赖于状态的跳跃扩散指数时，它们在评估无现金（OTM）欧洲看涨期权价格中的作用：（1.5）t=Eh提取- eκ+i、其中X的初始值为0，对数货币度κ为κ>0。评估（1.5）的一种有吸引力的方法是考虑所谓的份额度量P#（参见[5]），定义为dP#=eXtdP。在这种情况下，两个尾概率的∏tin项的以下简洁表示成立：（1.6）∏t=E提取- eκXt≥κ= EeXtXt≥κ- eκP[Xt≥ κ] =P#[Xt≥ κ] - eκP[Xt≥ κ] .当X是一个L’evy过程时，事实证明，P#下的X定律同样是L’evy，尽管有不同的L’evy，并且尾部概率的相同小时间展开可以用来处理（1.6）中的两个项，并获得期权价格∏t的展开式（参见[11]）。对于具有生成元（1.1）的一般过程X，P#下的X定律仍然是具有相同生成元形式（1.1）的马尔可夫定律，但用ν#（X，r）替换了ν和b:=eγ（X，r）ν（X，r），b#（X）=σ（X）-Zeγ（x，r）- 1.- eγ（x，r）|r | 61γ（x，r）ν（x，r）dr，分别为1.7。

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2022-5-8 05:31:30

请注意，特别是，即使X的跳跃动力学不是状态依赖的（即，ν（X，r）=ν（r）），X在P#下仍然是状态依赖的（即，ν#将依赖于r）。这促使我们立即研究统一框架（1.1），如上所述，统一框架本身就很重要。我们的主要结果明确地量化了跳跃状态依赖在小时间背景下对尾部概率和OTM看涨期权溢价的前导和二阶项的影响。因此，例如，当γ（x，r）=r（在这种情况下，当过程状态为x时，ν（x，r）真的测量大小接近r的跳跃强度），正常数漂移b的影响是将时间t内大于y的大移动概率改变（1.8）tb2ν（x，y）+Z∞Yν（x，r）xdr（1+o（1）），（t→ 0).类似地，非零常数波动率σ将改变大于y的大幅度波动的概率（1.9）tσ-ν（x，y）y+Z∞Yν（x，r）xdr（1+o（1）），（t→ 0）和OTM看涨期权溢价（1.5）乘以（1.10）tσekν（0，k）+Z∞K+ekν（x，r）十、x=0dr+Z∞克尔- 埃克ν（x，r）十、x=0dr（1+o（1）），（t→ 0），这扩展了[11]中关于指数L’evy模型的结果。我们获得X的尾部概率展开式的方法与[10]基于过程X的小跳跃分解的方法相同，类似于[18]引入的方法。这种方法的一个重要组成部分是表明小跳跃分量是一种异态性，这在所考虑的模型中表现出一些有趣的微妙之处。更具体地说，为了在新的状态相关跳跃结构下获得后一个性质，我们证明了状态相关小跳跃分量与具有充分正则系数的正则（即无状态）跳跃微分具有相同的规律（详情见第4节）。

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2022-5-8 05:31:34

这项工作的另一个新颖之处是，基于刚才提到的微分同态性质、时间可逆性，以及无标记Dynkin公式的适当应用（详情见引理5.1），对所谓的一跳过程（该过程有条件地在特定时间有一个大跳）的尾部概率进行了新的、简单得多的估计。论文的结构如下。在第2节中，我们正式定义了模型以及整篇文章中的标准假设。第3节介绍了一些必要的符号和概率工具。第4节和第5节介绍了获得主要结果的关键因素。第6节给出了尾部概率的二阶展开式，第7节给出了其在期权定价中的应用。最后，第8节给出了一个数值例子来说明展开式的性能。为此，我们还为依赖于状态的局部跳跃扩散模型开发了一种模拟方法，该模型基于过程中小跳跃分量的适当扩散近似。最后，所有的证明都被推迟到几个附录部分。一般表示法：在整个欧几里德域E中，\'Ckb（E）（分别，Ckb（E））表示第k次可微分（分别，有界和第k次可微分）函数f:E→ n=1阶连续有界偏导数的R，k、特别是Ckb（E）“Ckb（E）。而且土地n分别表示多元函数关于第i个变量的导数和n阶偏导数算子。2设置和假设在本节中，我们给出了感兴趣的过程的结构，并建立了所需的假设。正如引言中所提到的，我们想考虑一个具有极小生成器（1.1）的有限跳跃活动马尔可夫过程X。

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2022-5-8 05:31:37

我们使用细化技术基于合适的L’evy过程Z的跳跃构造X的跳跃结构。为此，我们施加了以下假设：（S1）（i）存在一个L’evy密度h支配跳跃强度函数ν：R×R→ (0, ∞); i、 e.，ν（x，r）6h（r），对于所有（x，r）∈ R×R；（ii）我们还假设|（x，r）：=ν（x，r）/h（r）和h是Cb（r×）[, ]c）和Cb([, ]c），分别适用于任何 > 0，此外，lim infr→0±infx∈R′ν（x，R）>0，lim supr→0±supx∈R | Rν（x，r）|<∞, 林苏普→0±supx∈R|i′ν（x，r）|<∞, i=0,1,2。前一个条件中第一个要求的一个必要且充分的条件是，\'h（r）：=supxν（x，r）是一个L′evy密度。在这种情况下，我们可以取h=\'h；然而，在应用中，可能更方便地选择另一个h，其关联L’evy过程可以更容易地模拟。其中的第二个条件提出了一些规则性要求。请注意，在尾部概率和OTM看涨期权溢价的展开式中确实出现了ν的导数（参见，例如，（1.8）-（1.10）），这使我们相信，需要对ν进行一些平滑性质。我们现在准备给出X的构造。自始至终，我们考虑一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 F:={Ft}t>0，P）配有标准布朗运动{Wt}t>0和R+×E上的独立泊松随机测度P（dt，dr，du）：=R+×R×（0，1）和平均测度dth（R）dr du。p的补偿泊松测度用‘p（ds，dr，du）：=p（ds，dr，du）- ds h（r）杜博士。

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2022-5-8 05:31:40

然后，在条件（S1-i）下，我们对过程X（X）有如下构造：={X（X）t}t>0:（2.1）X（X）t=X+Ztb（X（X）s）ds+Ztσ（X（X）s）dWs+ZtZE | r |>1γ（X（X）s）-, r） θ（X（X）s-, r、 u）p（ds，dr，du）+ZtZE | r | 61γ（X（X）s-, r） θ（X（X）s-, r、 u）p（ds，dr，du），其中θ：r×r×（0，1）是一个细化函数，其形式为（2.2）θ（x，r，u）：=1nu<ν（x，r）h（r）o。当（2.1）的解的存在唯一性时，解过程x（x）将是带有极小生成元（1.1）的马尔科夫函数。关于b，σ和γ的下列条件保证了（2.1）的适定性（如下面引理5.2所证明的）和过程的其他必要特征：（S2）（i）函数b:R→ R和σ：R→ R属于Cb（R）；（ii）存在一个常数η>0，使得σ（x）>η对于所有x∈ R（S3）函数γ（x，r）：r×r→ 满足以下条件：（i）它属于‘Cb（R×R），且γ（x，0）=0表示所有x∈ R（ii）对于所有x，r∈ R|对于某些常数η>0，γ（x，r）|>η；（iii）对于所有x，r∈ R、 |1+对于某些常数η>0，γ（x，r）|>η；备注2.1。关于上述条件，有必要说几句话：1。条件（S2 ii）是[10]中规定的标准非简并条件。条件（S3-i）意味着，对于每一个ε>0且i=0，3, |iγ（x，r）| 6cε| r |对于任何| r | 6ε和一些常数Cε<∞.3.条件（S3 ii）意味着映射R7→ γ（x，r）与值域是严格单调的(-∞, ∞)因此，允许一个逆，用γ表示-1（x，r）以后。在不丧失普遍性的情况下，我们假设R7→ γ（x，r）是严格单调递增的。4.条件（S3 iii）对映射x至关重要→ X（X）t是一个差同态（见下面的引理5.2）。值得指出的是，Figueroa Lopez等人[10]对其SDE的系数施加了更强的规律性。

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2022-5-8 05:31:44

然而，我们将看到，在本手稿中施加的更温和的规则下，其中的大多数结果仍然有效。备注2.2。如引言中所述，在ν（x，r）=h（r）的情况下，对于L′evy密度h，我们恢复了[10]中研究的模型（1.4）。尽管不明显，但在条件（S3 ii）下，过程（2.1）的规律实际上相当于形式（1.4）的过程的规律，具有合适的霍森系数函数γ和b（更多细节见下面的备注4.3）。然而，由此产生的γ相对难以处理，并且不满足[10]中直接应用二阶展开式的正则条件。此外，直接考虑该过程还有两个重要原因（2.1）。首先，该过程（2.1）允许通过参数ν（x，r）直接建模和更清晰地解释跳跃强度，该参数不知何故隐藏在模型（1.4）中的函数γ内。第二，正如引言中已经提到的，为了开发货币期权价格的小时间扩展，需要处理具有最通用生成器（1.1）的流程，即使原始流程X的形式为（1.4）。我们的最终假设可能不那么直观。正如引言中提到的，在我们获得X的尾部概率的小时间扩展的方法中有两个关键因素。首先，我们使用过程X的小-大跳跃分解。其次，我们需要小跳跃分量是微分同态。为此，我们使用所得到的与状态相关的小跳跃模型与形式（1.4）的无状态跳跃扩散过程的等价性，这在上述条件（S3 ii）下是可能的，如前面的备注2.2所述。

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2022-5-8 05:31:47

然而，为了得出形式（1.4）的模型是同构的结论，我们需要一些关于其系数的正则性条件。以下相对温和条件的主要目标是建立此类条件（见下文命题4.1）。我们指的是Remark4。下文第2节进一步讨论并可能放宽该条件。（S4）在条件（S1）中引入的L′evy密度h对于某些α∈ （0,2），g（r）：=h（r）| r |α+1在(-, 0) ∪ (0, ), 对一些人来说> 0，andlim infr→0±g（r）>0，直线上升→0±g（r）<∞, 林苏普→0±| rg（r）|∞.‘3一些必要的符号和初步结果对于截断函数| r | 61，设Z:={Zt}t>0是一个纯跳跃L | evy过程，具有L | evy三重态（0，h（r）dr，0）。过程Z的跳跃测度用q（dt，dr）表示：=#{（t，（Zt）∈ dt×dr：Zt6=0}=Pδ（Ti，Ri）（dt×dr），其中{（Ti，Ri）}是量度q（dt，dr）的原子。在这种情况下，（2.1）中的泊松随机测度p（dt，dr，du）与{（Ti，Ri）}上的标记点过程具有相同的分布，标记{Ui}i>1是（0，1）上标准均匀分布的随机样本。在续集中，过程X（X）在法律上被分解为一个具有小跳跃的过程和一个独立的有限跳跃活动过程。为了正式定义X的小跳跃分量，我们首先需要为任意ε的泊松随机测度p引入合适的构造∈ （0,1），lethε（r）：=φε（r）h（r），\'hε（r）：=\'φε（r）h（r）：=（1）- φε（r））h（r），其中φε∈ C∞（R）是一个“截断”函数，使得1 |R |>ε6φε（R）6 1 |R |>ε/2，φε（w）不随|w |的增加而减少，且supp（φε）=（ε/2，∞) ∪ (-∞, -ε/2). 接下来，让Z（ε）：={Zt（ε）}t>0和Z（ε）：={Zt（ε）}t>0是独立的纯跳L\'evy过程，分别具有L\'evy三元组（bZ（ε）、hε（r）dr，0）和（0，\'hε（r）dr，0），对于截断函数1 |r | 61，其中bZ（ε）：=r |61rhεdr。

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2022-5-8 05:31:50

注意Z（ε）是一个复合泊松过程，我们用λε：=Rφε（R）h（R）dr来表示其强度，用hε（R）来表示跳跃概率密度函数：=φε（R）h（R）/λε。设{τi}i>1、{Nt}t>0和{Ji}i>1denote，分别计算Z（ε）的跳跃时间、跳跃计数过程和概率密度函数hε中的独立同分布随机样本。此外，U和J:=Jε分别表示均匀分布在（0，1）中的一般随机变量和具有概率密度函数hε（r）的一般随机变量。下面[10]中的引理将在续集中有用。引理3.1。根据第2节中的条件（S1）和（S3），以下陈述成立：1。设∧γ（z，r）：=z+γ（z，r）。然后，对于每个z∈ R、映射R→ γ（z，r）（分别为→ γ（z，r））是不可换的及其逆γ-1（z，r）（分别为γ）-1（z，r））属于“Cb（r×r）”。Γγ（z，J）和γ（z，J）都允许密度，分别表示为Γ（r；z）：=eΓε（r；z）和Γ（r；z）：=Γε（r；z），它们属于Cb（r×r）。此外，它们的表示形式为：eΓε（r；z）=hε（Γγ）-1（z，r））γRz、 γ-1（z，r）-1，ε（r；z）=hε（γ-1（z，r））γRz、 γ-1（z，r）-1.3. 映射z→ u:=z+γ（z，r）允许一个逆，在下文中用‘γ（u，r）表示，它属于‘Cb（r×r）。现在，我们已经准备好定义X（X）的“小跳跃分量”。设M（dv，dr）：=Mε（dv，dr）表示过程Z（ε）的跳跃测度，设p（dv，dr，du）：=pε（dv，dr，du）（分别为p（dv，dr，du）：=pε（dv，dr，du）- dv¨hε（r）drdu）表示（0，1）上具有独立均匀分布标记的Mw原子上的标记点过程（分别为补偿标记点过程）。

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2022-5-8 05:31:53

对于每个ε∈ （0，1），我们构造了一个过程Xθ：=Xθs（ε，X）s> 0，定义为SDE（3.1）Xθs（ε，X）=X+Zsbε（Xθv）的解-（ε，x））dv+ZsσXθv-（ε，x）dfWv+NsXi=1γXθτ-i（ε，x），JiθXθτ-i（ε，x），Ji，Ui+ZsZEγXθv-（ε，x），rθXθv-（ε，x），r，up（dv，dr，du），其中{fWv}v>0是独立于p（dv，dr，du）的维纳过程，和（3.2）bε（x）：=b（x）-Z | r | 61Zγ（x，r）θ（x，r，u）duhε（r）dr=b（x）-Z | r | 61γ（x，r）ν（x，r）φε（r）dr。通过比较它们的微型发生器，不难看出过程（3.1）与过程（2.1）具有相同的分布规律（更多详细解释见[10]第2节）。接下来，我们让xθ（ε，, x） :=Xθs（ε，, 十）s> 0be是SDE的解：（3.3）Xθs（ε，, x） =x+Zsbε（xθv）-(ε, , x））dv+ZsσXθv-(ε, , 十）dfWv+ZsZEγXθv-(ε, , x），rθXθv-(ε, , x），r，up（dv、dr、du）。过程法则Xθs（ε，, 十）06S6t以上可以解释为{Zs（ε）}06S6t没有任何跳跃的{Xθs（ε，X）}06S6t调节定律。注意，根据条件（S2）和（S3-i），过程（3.3）是一个局部鞅，其有界漂移的跳跃由一个常数限定。利用[19]中的等式（9）以及[10]中命题3.1和引理3.2的证明，我们得到了（3.4）sup0<η<ε，x∈RP[|Xθt（η，, 十）- x |>y]<cty对于任何y>0，其中N>0可以通过将ε>0取得足够小而变得任意大。我们现在开始定义其他相关流程。对于0<s<···<sn的时间集合，让Xθs（ε，{s，…，sn}，X）s> 0be是SDE的解：Xθs（ε，{s，…，sn}，X）=X+Zsbε（Xθv-（ε，{s，…，sn}，x））dv+ZsσXθv-（ε，{s，…，sn}，x）dfWv+Xi:si6sγXθs-i（ε，{s，…，sn}，x），JiθXθs-i（ε，x），Ji，Ui+ZsZEγXθv-（ε，{s，…，sn}，x），rθXθv-（ε，{s，…，sn}，x），r，up（dv、dr、du）。过程法则Xθs（ε，{s。

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2022-5-8 05:31:56

，sn}，x）06S6t可以解释为{Xθs（ε，X）}06S6t对{Zs（ε）}06S6t的调节定律，在0<s<s<·s<·sn<t的时刻有n个跳跃。为了将来的参考，让我们注意到，小跳跃分量{Xθt（ε）}，, x） t>0，以下用Lε表示，可以写成（3.5）Lεf（y）：=Dεf（y）+Iεf（y），其中Dεf（y）=bε（y）f（y）+σ（y）f（y），Iεf（y）=Zf（y+γ（y，r））- f（y）- f（y）γ（y，r）ν（y，r）¨φε（r）dr，其中bε在（3.2）中定义，且¨φε（r）=1- φε（r）。注意，对于f∈ Cb（R），Iεf可以写成Iεf（y）=Zf（y+γ（y，rβ））(γ（y，rβ））+f（y+γ（y，rβ））γ（y，rβ）（3.6）-f（y）γ（y，rβ）(1 - β） dβν（y，r）¨φε（r）rdr，由于条件（S1-i）和（S3-i）的限制，它是有限的。以下是过程{Xθt（ε）的一阶和二阶Dynkin公式，, x）在续集：Ehf（xθt（ε，, x） i=f（x）+tZEhLεf（xθαt（ε），, x））idα，F∈ Cb（R），（3.7）Ehf（Xθt（ε，, x） i=f（x）+tLεf（x）+tZ（1）- α） Eh（Lε）f（Xθαt（ε），, x））idα，F∈ Cb（R）。（3.8）此外，对于f∈ Cb（R）（分别为f）∈ Cb（R）），supx | Lεf（x）|<∞ （分别为supx|Lεf（x）|<∞) 因此，（3.7）（resp.，（3.8））中的提醒是O（t）（resp.，（O（t））在x和t上的一致性。（3.7）-（3.8）的证明遵循它的^O公式，与[10]中引理3.3的证明一样。备注3.2。根据第2节中的条件（S3 ii），映射r→ γ（x，r）是r中的双射。然后，生成器（3.5）可以重写为lεf（y）=bε（y）f（y）+σ（y）f（y）+Zf（y+z）- f（y）- 采埃孚（y）Kε（y，dz），（3.9），其中核Kε（y，dz）可以用以下两种等价形式表示：∈ B（R），Kε（y，A）=ZRA（γ（y，R））ν（y，R）¨φε（R）dr=ZAνy、 γ-1（y，z）φεγ-1（y，z）zγ-1（y，z）dz。（3.10）4弱解过程本节的主要目的是介绍一种克服（3.1）和（3.3）中不连续跳跃分量γ（x，r）θ（x，r，u）所带来困难的方法。

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2022-5-8 05:32:00

为此，我们首先证明依赖于状态的局部跳变差（3.1）和（3.3）等价于形式（1.4）的无状态局部跳变差，并证明其系数的一些必要规律性。注意，过程{Xθt（ε，, x） }t>0是一个半鞅（参见[15，III.2.18]），此外，将生成器（3.9）与[15，IX.4.6]中的生成器进行比较，它是一个齐次扩散过程，具有[15，IX.4.1]中定义的跳跃。然后，我们可以确定半鞅特征（B*, C*, θ*) 关于{Xθt（ε），, x） }t>0，相对于恒等式截断函数，如（4.1）B所示*t=ZtbεXθs（ε，, 十）ds，C*t=ZtσXθs（ε，, 十）ds，θ*（dt，dr）=KεXθt-(ε, , x），博士dt。根据[15]中的定义III.2.24和定理III.2.26，具有（4.1）规定特征的半鞅是SDE（4.2）Yt（ε，, x） =x+Ztbε（Ys（ε），, x） ds+Ztσ（Ys（ε），, x））dW*s+ZtZδ（Ys）-(ε, , x），r）u*（ds，dr），其中，在溶液测度P下*在规范空间中(Ohm*, F*, P*), {W*s} s>0是一维维纳过程，u*（ds，dr）是R+×rw上的一个独立泊松随机测度，其强度测量为sf（dr）和相应的补偿测度u*（ds，dr）：=u*（ds，dr）- dsF（dr）。这里，F是一个关于Rto的正σ-有限度量，可选择如下，而δ：R×R7→ R是一个Borel函数，由K，δ和F通过方程Kε（x，a）=ZA（δ（x，R））F（dr）隐式确定，A.∈ B（R），（4.3）我们从（3.10）中回忆起Kε（y，A）：=RRA（γ（y，R））ν（y，R）－φε（R）dr。

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kedemingshi

2022-5-8 05:32:03

在下面的内容中，我们采用f（dr）=φε（r）h（r）dr表示ε<, 具有如条件（S4）所示。为了识别与上述测度F对应的函数δ（x，r），我们引入了以下函数ψ：r→ Rand′ψ：R×R→ R：（4.4）ψ（w）=-Z∞w′φε（r）h（r）dr，w>0，Zw-∞φε（r）h（r）dr，w<0，△ψ（x，w）=-Z∞w′φε（r）ν（x，r）dr，w>0，Zw-∞φε（r）ν（x，r）dr，w<0。注意，这两个映射的限制是w7→ ψ（w）和w7→在Dε上的ψ（x，w）：=(-ε, 0) ∪ （0，ε）随着范围R的增加而迅速增加，并且是一对一。因此，它们允许在范围Dε上定义“局部”逆，以下用ψ表示-1（x，w）=ψ-1ε（x，w）和ψ-1（x，w）=ψ-分别为1ε（x，w）。根据SDE（4.2）的形式和平均测量值ds¨φε（r）h（r）dru*在于(-ε、 ε），很明显，|r|的δ（x，r）值≥ ε是超丰满的，我们只需要定义r的δ（x.r）∈ Dε。

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2022-5-8 05:32:07

设δ：R×Dε→ R定义为（4.5）δ（x，w）：=γx、 ψ-1（x，ψ（w））.为了证明上述功能满足（4.3），请注意，对于每个x∈ R和w∈ Dε，映射w→ δ（x，w）是严格单调的，因此，它的逆，以下用δ表示-1（x，w），存在并满足（4.6）δ-1（x，w）=ψ-1.ψ（x，γ）-1（x，w））.那么，ψ（δ）-1（x，w））＝ψ（x，γ-1（x，w）），根据ψ和ψ的定义，我们得到了恒等式-Z∞δ-1（x，w）φε（z）h（z）dz，w>0，zδ-1（x，w）-∞φε（z）h（z）dz，w<0=-Z∞γ-1（x，w）φε（z）ν（x，z）dz，w>0，zγ-1（x，w）-∞φε（z）ν（x，z）dz，w<0。在对w进行微分后，我们得到φε（δ-1（x，w））h（δ-1（x，w））δ-1（x，w）=φε（γ-1（x，w））ν（x，γ-1（x，w））γ-1（x，w），（4.7），这意味着（4.3）对于所选择的度量F（dr）=¨φε（r）h（r）dr。我们现在开始展示函数δ：r×Dε的一些必要的正则性性质→ R、通过[3]中的结果（见下面的引理5.2），可以保证与下面的SDE（4.2）相关的随机微分同态流的几乎确定存在。命题4.1的证明推迟到附录A。1.提案4.1。在第2节中的条件（S1）、（S3）和（S4）下，（4.5）中定义的函数δ可以在R×上连续扩展(-ε、 ε）与δ（x，0）：=0，对于任何ε>0。此外，对于ε>0足够小的情况，（4.8）（i）supx∈R、 w∈Dε|δ（x，w）|<∞, （二）|iδ（x，w）|≤ k | w |，（iii）1+δ（x，w）|>η，对于任何0 6 i 6 2，w∈ Dε和一些常数η，k>0，与x和w无关。备注4.2。第2节中假设（S4）的主要目的是简化命题4.1中所述δ规则性的验证。

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2022-5-8 05:32:10

然而，重要的是要注意，如果ν和h的函数F（x，w）=ψ，则包括主要定理6.1在内的所有结果都成立-1（x，ψ（w））满足下列条件：（4.9）supx∈R、 w∈Dε|wF（x，w）|<∞, 好的∈R、 w∈Dε|ixF（x，w）|∞, i=0,1,2。特别是，如果ν（x，r）=h（r），对于任意的L′evy密度h，它在原点的任何邻域之外都足够光滑，那么（4.9）很容易成立，因为F（x，w）=w。在这种情况下，我们恢复了[10]中的结果。备注4.3。使用与本节开头的论点类似的论点，不难检查，在条件（S3 ii）下，模型（2.1）在法律上等同于模型（1.4），用适当的函数Υ替换γ。具体来说，我们需要取Υ（x，w）=γx、 eψ-1.x、 bψ（w）,式中bψ（w）：=-Z∞wh（r）dr，w>0，Zw-∞h（r）dr，w<0，eψ（x，w）：=-Z∞wν（x，r）dr，w>0，Zw-∞ν（x，r）dr，w<0。然而，Υ的规律性比（4.5）中δ的规律性更难研究。实际上，例如，函数ef（x，w）：=eψ的一阶偏导数-1（x，bψ（w））由eF（x，w）=h（eF（x，w））ν（x，eF（x，w）），eF（x，w）=-(eψ）（x，eF（x，w））ν（x，eF（x，w）），以及h（w）和ν（x，w）作为w的行为→ ±∞ 现在也很重要。5一个大跳跃过程的尾部估计在本节中，我们给出了（3.1）中定义的过程Xθ的尾部概率在仅存在一个跳跃的条件下的扩展。下面的引理（附录A.2中的证明）是[10]中引理A.1的对应物，尽管本文中给出的证明是新的且简单得多。下面，我们重新命名表示法v（x）=σ（x）/2，并设置νε（x，r）：=ν（x，r）φε（r），‘νε（x，r）：=ν（x，r）（1）- φε（r））。引理5.1。

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2022-5-8 05:32:14

使用第3节中介绍的符号，letH（t，z，q）：=Eν（z，J）h（J）PhXθt（ε，, v） >齐v=z+γ（z，J）.（5.1）然后，在第2节中的条件（S1）-（S4）下，H（t，z，q）=H（z；q）+tH（z；q）+tR（2）t（z，q），（5.2）式中，H（z；q）：=λεz∞γ-1（z，q）-z） νε（z，r）dr，H（z；q）：=D（z；q）+I（z；q）D（z；q）：=λεbε（q）- v（q）νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）- v（q）νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）+ νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）,I（z；q）：=λεzZq′γ（q，r）νεz、 γ-1（z，η）~γ-1（z，η）／νε（η，r）dη- νεz、 γ-1（z，q）~γ-1（z，q）γ（q，r）／ε（q，r）dr，对于ε>0足够小的情况下，（5.3）lim supt→0supz，qR（2）t（z，q）< ∞, supz，q|H（z；q）|<∞.引理5.1的证明可以在附录A.2中找到，它建立在以下关键引理的基础上。可在附录A.3中找到预防措施。引理5.2。在第2节中的条件（S1）-（S4）下，SDE（4.2）允许唯一解，这意味着SDE（2.1）存在唯一弱解。此外，对于任何t>0，mappingx 7→ Yt（ε，, x）在这一节中，我们在短时间t内得到了尾概率PhX（x）t>x+yi的二阶展开式，对于任何y>0的尾概率PhX（x）t>x+yi。其思想是利用X（X）定律和（3.1）中定义的过程Xθ的等价性，并以Z（ε）的跳跃次数为条件。具体来说，我们有（6.1）PhX（x）t>x+yi=PhXθt（ε，x）>x+yi=∞Xn=0PhXθt（ε，x）>x+yNεt=ni（λεt）nn！E-λεt.为了表示展开式，让我们首先回顾一下表示法νε（x，r）：=ν（x，r）φε（r）和ε（x，r）：=ν（x，r）φε（r）以及函数γ，γ-1, ~γ-引理3.1中引入的“γ”。以下定理（附录A.4中的证明）说明了本文的主要结果。定理6.1。

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2022-5-8 05:32:17

在第2节中的条件（S1）-（S4）下，下列渐近展开式成立，对于任何y>0，（6.2）PhX（x）t>x+yi=tP（x，y）+tP（x，y）+o（t），如→ 0，其中系数P（x，y）和P（x，y）允许以下表示，对于ε>足够小的0:P（x，y）：=Z{r:γ（x，r）>y}νε（x，r）dr，P（x，y）：=Dε（x，y）+Jε（x，y），其中Dε（x，y）=bε（x）”-νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）+Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr#+σ（x）- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）+Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- 2.γ-1（x，y）+γ-1（x，y）+bε（x+y）- σ（x+y）σ（x+y）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）-σ（x+y）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）+ νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）,Jε（x，y）=ZZ∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x+γ（x，r），r）dr-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）dr+γ（x，r）νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）- γ-1（x，y）-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）drνε（x，r）dr+ZZx+y′γ（x+y，r）νεx、 γ-1（x，r）~γ-1（x，r）／ε（r，r）dr- νεx、 γ-1（x，y）γ-1（x，y）γ（x+y，r）′νε（x+y，r）dr+Zνε（x，r）Z∞γ-1（x+γ（x，r），y-γ（x，r））νε（x，r）drdrdr-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）Zνε（～γ（x，r），r）drdrdr-Z∞γ-1（x，y）νε（x，r）drZνε（x，r）dr.备注6.2.1。膨胀（6.2）确实不依赖于h，这是预期的，因为X的最小生成元（1.1）只依赖于（b，σ，γ，ν）。显然，系数与ε无关，即使给定的表示涉及ε。特别要注意的是，由于γ（x，0）=0，对于足够小的ε>0，P（x，y）=R{R：γ（x，R）>y}ν（x，R）dr.2。前导项中没有漂移和差异，这可以解释为过程在短时间内可能的“大”移动主要是由于“大”跳跃。这种现象也出现在[10]的扩展中。如果把ν（x，r）解释为驱动x的底层标记点过程的标记J的概率密度，那么P（x，y）=P[γ（x，J）>y]。

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2022-5-8 05:32:22

当ν（x，r）=h（r）时，验证上述展开式降低为[10]的展开式是乏味但不难的，在这种情况下，跳跃强度不取决于过程的状态{Xt}t>0.4。当γ（x，r）=r和ε∈ （0，1）足够小时，膨胀减小到零∞yν（x，r）dr+tbε（x）ν（x，y）+Z∞Yν（x，r）dr+σ（x）- ν（x，y）+Z∞Yν（x，r）dr+bε（x+y）- σ（x+y）σ（x+y）ν（x，y）-σ（x+y）ν（x，y）+ZZ∞Y-rν（x+r，r）dr-Z∞yν（x，r）dr- Rν（x，y）+Z∞Yν（x，r）drνε（x，r）dr+Z败走恶犬-rνε（x，r）′νε（x+r，r）dr- νε（x，y）r′νε（x+y，r）dr+Zνε（x，r）Z∞Y-rνε（x，r）drdrdr-Z∞yν（x，r）Zνε（x+r，r）drdr-Z∞yν（x，r）drZνε（x，r）dr+ o（t）。特别地，假设b和σ是常数。然后，回想一下bε=b-R | R | 61rν（x，R）φε（R）dr，正“漂移”b的影响是增加大于y bytb的“大”移动的概率2ν（x，y）+Z∞Yxν（x，r）dr（1+o（1））。请注意，如果没有与状态相关的跳跃强度，则缺少上面括号内的第二项。类似地，非零常数波动率σ将改变大于y bytσ的“大”波动的概率-yν（x，y）+Z∞Yxν（x，r）dr（1+o（1）），在短时间内。同样，括号内的第二项是依赖于状态的强度的影响。对于一般情况下的b，净效应取决于初始点和终点x和x+y的平均漂移（b（x）+b（x+y））/2，这也是直观的。

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2022-5-8 05:32:25

一般函数σ对大于y的大正移动概率的净影响取决于函数∧（x，y）：=-Yν（x，y）σ（x）+σ（x+y）+σ（x）Z∞Y7 OTM看涨期权价格的小时间二阶展开式在这一节中，我们推导出了短期内的二阶展开式，适用于到期日为t，行使日为K的非分割支付股票上的OTM欧洲看涨期权的价格，其风险中性价格过程由t=SeX（0）t，t>0，其中{X（0）t}t>0的过程由（2.1）给出，初始条件为X=0。为了简单起见，在本节的其余部分中，我们省略了X（0）中的上标。正如引言中所解释的，我们将考虑与股票相关的股票度量（即，通过将股票作为num’eraire获得的鞅度量）来评估OTM期权的溢价。具体地说，假设k:=log（k/S）是该看涨期权的所谓log moneymes，并且通常假设无风险利率r为0。然后，该期权的价格可以写为[（St- K） +]=E[（St）- K） 1St>K]=SP#[Xt>K]- SekP[Xt>k]，（7.1），其中P#是一个概率度量，局部等价于P，定义为P#[B]：=E[eXtB]对于任何可测量集B。下文中，E#表示相应的期望。对于P#要得到很好的定义，{St/S}t>0必须是一个F-鞅，我们对其施加以下漂移限制：（7.2）b（x）+σ（x）+Zeγ（x，r）- 1.- 1 | r | 61γ（x，r）ν（x，r）dr=0。（7.2）中的积分将在第2节中的条件（S3-i）和（S1）以及条件Z|r|>1eγ（x，r）ν（x，r）dr<∞.{Xt}t>0是（7.2）下的F-鞅，这是它^o公式的结果。（7.1）第二项出现概率的二阶展开式在第2节中处理。接下来，我们寻求t中尾部概率P#[Xt>k]的二阶展开式。

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2022-5-8 05:32:28

为此，我们施加以下条件：（S5）假设（S4）中引入的函数g是这样的：rr>1ecrg（r）dr<∞, 其中c由c定义：=supx，r|γ（x，r）|<∞.我们的第一项任务是确定P#下{Xt}t>0过程的最小生成器。为此，我们计算期望E#[q（Xt）]=EeXtq（Xt）对于任意函数q∈ Cb（R）。设f（x）=exq（x）。然后，应用It^o公式（参见[1]定理4.4.7），f（Xt）=Mt+At，其中Mt=q（0）+ZteXsq（Xs）+q（Xs）σ（Xs）dWs+Z[0，t）×EeXs-heγ（Xs-,r） q（Xs）-+ γ（Xs）-, r） )- q（Xs）-)iθ（Xs）-,r、 u）=1μp（ds，dr，du），At=ZteXsq（Xs）+q（Xs）b（Xs）ds+ZteXsq（Xs）+2q（Xs）+q（Xs）σ（Xs）ds+ZteXsZeγ（Xs，r）q（Xs+γ（Xs，r））- q（Xs）- 1 | r | 61γ（Xs，r）q（Xs）+q（Xs）ν（Xs，r）drds。因此，E#[q（Xt）]=q（0）+中兴通讯#hL#q（Xs）id，其中l#q（x）=b（x）q（x）+q（x）+σ（x）q（x）+2q（x）+q（x）+Zheγ（x，r）q（x+γ（x，r））- q（x）- 1 | r | 61γ（x，r）[q（x）+q（x）]iν（x，r）dr.将上述公式与Dynkin公式（3.7）相比较，我们可以确定L#是P#下{Xt}t>0的整数发生器。利用鞅条件（7.2），我们可以进一步写出L#asL#q（x）=b#（x）q（x）+σ（x）q（x）+Zq（x+γ（x，r））- q（x）- 1 | r | 61γ（x，r）q（x）ν#（x，r）dr，（7.3）式中ν#（x，r）：=eγ（x，r）ν（x，r），b#（x）：=b（x）+σ（x）+Zeγ（x，r）- 1.|r|61γ（x，r）ν（x，r）dr.（7.4）注意，在第2节中的条件（S3-i）和（S1）下，（7.4）中出现的积分是明确的，而且，不难看出b#属于cb，可以写成b#（x）=σ（x）-Zeγ（x，r）- 1.- eγ（x，r）|r | 61γ（x，r）ν（x，r）dr，（7.5）根据（7.2）。为了得出看涨期权价格的二阶展开式，仍需证明测量值满足条件（S1）和（S4）。这是通过以下结果得出的，其证明见附录A.5：推论7.1。

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2022-5-8 05:32:31

在条件（S1）-（S5）下，对于任何y>0，我们有p#[Xt>y]=tP#（0，y）+tP#（0，y）+o（t），作为t→ 0，式中，P#和P#作为定理6.1给出，但分别用（7.4）中定义的v#和b替换v和b。最后，使用本节开头介绍的欧式看涨期权的定价公式，OTM欧式看涨期权的价格在短期到期t内具有以下扩展，即k>0:E圣- 瑞典克朗+= SP#[Xt>k]- SekP[Xt>k]=tSP#（0，k）- ekP（0，k）+tSP#（0，k）- ekP（0，k）+ oT.（7.6）公式（7.6）扩展了[10]中给出的非状态依赖跳跃强度过程（即，当ν（x，r）=h（r））的期权价格的一阶展开式。备注7.2.1。根据公式z{r:γ（0，r）>k}eγ（0，r）ν（0，r）dr，前导项仅由跳跃分量确定，这并不奇怪- ekZ{r:γ（0，r）>k}ν（0，r）dr！=tSZeγ（0，r）- 埃克+特别是，如果C（t，K）：=E（St- K） +表示到期时间为t和strikeK且γ（x，r）=r（7.6）-（7.7）表示，对于κ：=log（K/S）>0，C（t，K）K≈ te-κν(0, κ) <==> ν(0, κ) ≈teκC（t，K）K因此，调用溢价K的曲率→ C（t，K）由跳跃强度ν（0，κ）决定。将注释6.2-4中给出的展开式代入（7.6）并使用（7.2）和（7.4），我们注意到，当γ（x，r）=r时，非零常数波动率σ（x）的影响≡ OTM看涨期权价格中的σekν（0，k）+Z∞K+ekν（0，r）dr+Z∞克尔- 埃克ν（0，r）dr（1+o（1）），t→ 0，这扩展了[11]中关于指数L’evy模型的结果。

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2022-5-8 05:32:35

由于模型的状态依赖特性，我们再次观察到一个额外的贡献。8尾部概率估计的数值示例在本节中，我们展示了通过小t中的二阶展开对尾部概率P[Xt>y]的数值估计与基于跳跃增强Euler-Maruyama方案模拟{Xt}t>0的蒙特卡罗估计（参见[21]）的比较，结合X的小跳跃分量的扩散近似。对于数值结果，我们使用以下参数（8.1）b（X）=sinx，σ（X）=+sinx，γ（X，r）=r，h（r）=r|-1.-α（α=1.01），ν（x，r）=2πtan-1（x）+|r|-1.-α=：c（x）h（r），满足第2节中的条件（S1）-（S4）。为了简单起见，在计算展开式（6.2）中的系数P（x，y）和P（x，y）时，我们设置φε（r）=1{r:|r |>ε}。这是有效的，因为P（x，y）和P（x，y）不依赖于φε，因此，我们可以考虑一系列光滑截断函数φε，n，收敛于φε（r）=1{r:|r |>ε，如n→ ∞.8.1尾部概率的二阶近似利用上述参数（8.1）和x=0，我们可以明确计算Remark6中所述的展开式。2-4，式中∧γ（0，r）=γ（0，r）=r，γ-1（0，y）=γ-1（0，y）=y，νε（0，γ）-1（0，y））=hε（y），γ（0，y）=γ-1（0，y）=我jγ（0，y）=我jγ-1（0，y）=0（i+j=2），γ（0，y）=γ-1（0，y）=~γ-1（0，y）=1，νε（～γ（0，r），r）=c（r）hε（r），νε(0, γ-1（0，y））=hε（y）。那么，P（0，y）=Z∞yhε（r）dr，Dε（0，y）=-hε（y）+hε（y）[bε（y）- σ（y）σ（y）]-σ（y）hε（y），Jε（0，y）=Zc（r）Z∞Y-rhε（r）dr-Z∞yhε（r）dr- Rhε（y）+2πZ∞yhε（r）dr\'hε（r）dr+Z败走恶犬-rc（r）hε（r）dr- c（y）hε（y）r\'hε（r）dr+Zhε（r）Z∞Y-rhε（r）drdr-λεZ∞yhε（r）c（r）dr-λεZ∞yhε（r）dr.8.2尾部概率的蒙特卡罗估计在续集中，我们提出了一种数值方法来模拟SDE（2.1）中定义的过程X:=X（X）。

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2022-5-8 05:32:38

这是基于过程中“小跳跃”部分的扩散型近似，以及“大跳跃”部分的ajump增强Euler Maruyama方案（参见[21]）。为了介绍本文的主要思想，让我们首先写出（1.1）中定义的X的最小生成元L，asLf（X）=^b（X）f（X）+σ（X）f（X）+Zhf（X+γ（X，r））- f（x）- γ（x，r）f（x）1{|γ（x，r）|61}iν（x，r）1{|γ（x，r）|>ε}dr+Zhf（x+γ（x，r））- f（x）- f（x）γ（x，r）iν（x，r）1{|γ（x，r）| 6ε}dr，（8.2）对于任何f∈ Cb（R）和ε∈ （0，1），其中^b（x）：=b（x）-Rγ（x，R）[1{| R | 61}- 1{|γ（x，r）| 61}]ν（x，r）dr.注意，作为ε→ （8.2）中的项可以近似为f（x）Zγ（x，r）ν（x，r）1{|γ（x，r）| 6ε}dr=：f（x）^σε（x）。因此，对于εsmall，生成器L“接近”Cb（R）上的运算符＠Lε，定义为（8.3）＠Lεf（x）：=^b（x）f（x）+＠σε（x）f（x）+Zhf（x+z）- f（x）- zf（x）1{z | 61}ieKε（x，dz），其中∑ε（x）：=σ（x）+^σε（x），eKε（x，A）：=ZA（γ（x，r））ν（x，r）1{γ（x，r）|>εdr.算子Lε是马尔可夫过程{Xt（εx，x）}t>0的有限跳跃活动的微元发生器。事实上，如备注7.2所述，条件（S3-i）意味着存在ε>0，仅取决于ε而不取决于x，因此{r:|γ（x，r）|>ε} {r：| r |>ε}，对于所有x∈ R

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2022-5-8 05:32:42

因此，{eXεt}t>0可以定义为SDE的解：eXεt=x+Zt＠bε（eXεv-)dv+Zt∑εeXεv-dfWv+eNεtXi=1γεeXετ-i、额济市θeXετ-i、 eJi，eUi,（8.4）式中bε（x）：=b（x）-Rγ（x，R）[1{| R | 61}- 3.r）dr，γ（x，r）r：：：=γ（x，r）r：：=γ（x，r）x，r）r（x，r）γ（x，r）γ（x，r）1（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（r）γ（r）r）1（x，r）1（x，r），r）1）1（x，r）1（x，r）γ（x，r）1）1）1（x，r）γ（x，r）γ（r）1（r）1）γ（x，r）γ（r）1（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（r）r）r）r）r）1，（r）1）r）1，（r）r）r）1，（r）1）γ（x，r）γ（x，r）γ（x，r）γ（r）1）|r |>ε}/λε和{eUi}i>1是来自标准均匀分布的随机样本。下面的结果（其证明被推迟到附录A.6中）证明{Xt}t>0可以通过{eXεt}t>0在法律上渐近逼近，如ε→ 引理8.1。在第2节的条件（S2）-（S4）下，{eXεt}t>0D-→ {Xt}t>0.8.3实现和数值结果通过引理8.1，我们可以通过模拟（8.4）中定义的过程{eXt}t>0来近似{Xt}t>0。由于{Nεt}t>0是一个强度为λε的泊松过程，（8.4）的到达间隔跳变时间具有独立的指数分布，平均值为1/λε。然后，我们通过设置τ=0，τk=τk来生成跳跃时间{τ，τ，··，τm}-1+λεek，其中m:=max{k:τk6 t}和{ek}k>0是参数为1的指数分布的随机样本。此外，我们使用逆变换采样方法来获得跳跃{eJi}mi=1的样本。最后，我们在跳跃增广时间步长{tk}n+mk=1:={sj}nj=0上构造{eXtk}n+mk=1∪ {τi}mi=1，sj=jtn，n∈ N+.该算法类似于[21]中的算法，但在每个跳跃时间τi处有一个额外的细化条件。图8.1-图8.3显示了由一阶和二阶展开以及蒙特卡罗近似估计的尾部概率P[Xt>y]，ε=0.1、0.01、0.001。我们发现二阶展开确实比一阶展开更好。

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2022-5-8 05:32:45

我们还观察到，作为ε→ 0，二阶展开式接近蒙特卡罗近似，此外，后一阶展开式显示了不同ε的微小变化，这在某种意义上证明了X的小跳跃分量的离散近似。图8.1：ε=0.1时P[Xt>y]的展开式和蒙特卡罗近似。图8.2：ε=0.01时P[Xt>y]的展开式和蒙特卡罗近似。图8.3：ε=0.001时P[Xt>y]的展开式和蒙特卡罗近似。证据。1命题4.1预测：自limw以来，第一个断言成立→0±ψ（w）=∞ 还有limw→±∞ψ-1（x，w）=0，因此，limw→0±δ（x，w）=γx、利姆→0±ψ-1（x，ψ（w））= γ（x，0）=0。这表明函数δ可以在R×上连续扩展(-ε、 ε）通过定义δ（x，0）：=0。现在，我们继续展示（4.8）中关于任何w的前两个断言∈ (0, ε). 我们可以类似地展示w的情况∈ (-ε, 0).自始至终，我们使用符号F（x，w）=ψ-1（x，ψ（w）），回想一下δ（x，w）=γ（x，F（x，w））。为了将来的参考，让我们也注意到∈ Dε（A.1）|F（x，w）|≤ |w |和φε（w）6φε（F（x，w）），因为∞w′φε（r）h（r）dr>Z∞w′φε（r）ν（x，r）dr（w>0），Zw-∞φε（r）h（r）dr>Zw-∞φε（r）ν（x，r）dr（w<0），选择函数φε（w）随着w的增加而减小。我们开始为w证明（4.8-i）∈ (0, ε). 为此，请注意wδ（x，w）=(γ）（x，F（x，w））wF（x，w）和条件（S3-i），可以证明|wF（x，w）|是有界的。根据式（4.4）中的定义，并称之为ν（x，w）=ν（x，w）h（w）和h（w）=g（w）|w|-α-1.wF（x，w）=ψ（w）(？（x，F（x，w））=g（w）？（x，F（x，w））g（F（x，w））F（x，w）wα+1′φε（w）′φε（F（x，w）），（A.2）对于任何w∈ (0, ε). 注意，由于（A.1）和条件（S1 ii）和（S4），对于足够小的ε>0，对于任何0<w<ε，infx′ν（x，F（x，w））>η和infxg（F（x，w））>η。

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2022-5-8 05:32:50

使用后一种方法和（A.1），我们得出以下结论：sup0<w<ε，x∈R|wF（x，w）|<∞,如上所述，这意味着（4.8-i）。我们继续展示（4.8-ii），对于i=0，1，2。i=0的情况由（4.8-i）的平均值定理和δ（x，0）=0的事实得出。对于i=1，请注意xδ（x，w）=(γ）（x，F（x，w））+(γ）（x，F（x，w））xF（x，w）。根据条件（S3-i）和（A.1）|(γ）（x，F（x，w））|≤苏普兹，r|γ（z，r）||F（x，w）|≤ K | w |，对于某些常数K。同样地，由于supz，r|γ（z，r）|<∞, 必须证明这一点|xF（x，w）/w |是有界的。为此，请注意（A.3）xF（x，w）=-(ψ）（x，F（x，w））(ψ（x，F（x，w））=F（x，w）α+1R∞F（x，w）ν（x，r）g（r）r-α-1′φε（r）dr′ν（x，F（x，w））g（F（x，w））’φε（F（x，w））。自从在原点的一个小邻域中，对于r，v（x，r）和g（r）是有界的，对于某些常数K，K<∞ 任何0<w<ε，xF（x，w）w≤ KF（x，w）α+1R∞F（x，w）r-α-1′φε（r）drw′ν（x，F（x，w））g（F（x，w））’φε（F（x，w））≤ KF（x，w）α+1′φε（F（x，w））F（x，w）-α′ν（x，F（x，w））g（F（x，w））φε（F（x，w））w，可以使用与（A.2）中相同的参数来证明|xF（x，w）/w |在R×（0，ε）上有界，因此得出（4.8-i）对于i=1的有效性结论。为了将来参考，请注意，前面的论证也表明|xF（x，w）/F（x，w）|在R×（0，ε）上有界。对于i=2，请注意δ（x，w）可分解为灰分(γ）（x，r）+2(γ）（x，r）xF（x，w）+(γ）（x，r）(xF（x，w））+(γ）（x，r）xF（x，w）ir=F（x，w）。前三项由k | w |平凡地限定，对于某些常数k，由条件（S3-i），（A.1）和|xF（x，w）/w |。这有待证明|xF（x，w）/w |是有界的。

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