制度转换跳扩散模型中的期权定价

2022-6-11 05:18:36

制度转换跳变扩散模型中的最优套期保值*Anindya Goswami+Omkar ManjarekarAnjana R§abstract本文通过考虑基础金融资产价格动态的制度转换跳跃差异模型，提出了欧洲期权定价问题的解决方案。假设这些制度是观察到的纯跳跃过程的结果，驱动利率和波动系数的值。假设纯跳跃过程是有限状态空间上的半马尔可夫过程。这种考虑有助于将特定类型的内存影响纳入资产价格。在此模型假设下，得到了欧式路径无关期权的局部风险最小化价格。采用Off¨ollmer-Schweizer分解表明，期权价格满足演化问题，是时间、股价、市场制度和停滞期的函数。更精确地说，进化问题涉及一个线性、抛物线、退化和非局部的积分-偏微分方程组。我们已经在一个适当的类中建立了演化问题经典解的存在性和唯一性。这有助于我们获得最佳对冲。关键词：跳跃微分模型，半马尔可夫过程，局部风险最小化定价，最优套期保值，广义解，积分偏微分方程。分类号：60K15、91B30、91G20、91G60.1简介继1973年Black和Scholes的开创性工作之后，期权估价的理论和实践有大量文献可供参考。与金融资产价格动态的后续经验评估相反，Black-Scholes-Merton（BSM）模型假设了一个恒定增长率和一个恒定或确定性波动系数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-11 05:18:39

BSM的经典期权定价理论还依赖于完整的市场，在该市场中，每一项或有权益的支付都可以通过一个自我融资的投资组合来复制，该投资组合包括对基础股票的投资以及支付风险较低利率的货币市场账户。因此，投资者可以完全对冲期权的风险。在随后的研究中，为了克服BSM模型的局限性，各种期权估值模型被提出并实施，以适应日益现实的价格动态。这些模型包括随机波动模型、跳跃扩散模型、制度转换模型以及这些模型的组合。这些模型中的市场是不完整的，不可能有完美的对冲。在解决不完全市场中的期权定价问题时，人们选择了多种方法。局部风险最小化方法就是这样一种方法，由F¨ollmer、Sonderman和Schweizer提出[16、25、26、27、28]。为了在这种方法中对冲索赔，寻求一种独特的动态策略，通过允许额外的现金流和持续交易，在到期时复制索赔。这种独特的策略将量化剩余风险（QRR）降至最低，QRR是在一定的约束条件下衡量累计额外现金流的一种方法。这种最小化策略被称为最优套期保值。因此，在一个完整的市场中，自我融资套期保值策略成为最佳套期保值策略，结果为零QRR。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:18:42

最优套期保值的存在性如【17】所示，相当于*该研究部分得到了塞尔维亚矩阵（MTR/2017/000543）和DST FIST（SR/FST/MSI-105）的支持。+通讯作者：IISER，浦那411008，印度；电子邮件：anindya@iiserpune.ac.in.IISER，浦那411008，印度；电子邮件：omkar。m26@gmail.com.§博茨瓦纳哈博罗内博茨瓦纳大学数学系；电子邮件：anjanarama@hotmail.com.that对特定类别资产价格动态的相关贴现索赔进行F-S分解。近年来，在金融领域，制度转换动力学的应用取得了惊人的进展。这里的模型参数是由一个有限状态连续时间纯跳跃过程驱动的，该过程描述了商业周期的各个阶段。例如，可以参考DiMasi et al.（13）、Guo（21）、Elliott et al.（14）和Siu et al.（30），了解马尔可夫制度转换模型中期权定价理论的发展。利用局部风险最小化方法，在文献[13]和其他许多文献（包括文献[12]和文献[4]）的工作中，证明了制度转换市场中的欧式看涨期权价格满足广义B-S-M偏微分方程。文献[13]中的马尔可夫调制定时切换模型的扩展出现在文献[18]和文献[19]中，其中每个区域的保持时间不限于指数变量，并且区域动力学遵循s-emi-Markov过程。一般来说，半马尔可夫过程可能表现出时间依赖的转移，而时间齐次马尔可夫链或时间内齐次马尔可夫链无法捕捉到这种转移。[7]提供了商业周期持续时间依赖性转变的经验证据。[6]和[11]给出了半马尔可夫调制离散和连续时间模型的标定。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-11 05:18:45

[20]研究了看涨期权价格对半马尔可夫过程转移率校准误差的敏感性。齐次市场中一篮子期权在半马尔可夫调制时间内的价格也可以在[10]中找到，以满足BSM PDE多维版本的扩展。在最近的另一项研究中[5]，带有s emi-Markov切换的局部波动率模型中的期权定价问题是s olve d。上述所有研究都假设资产价格动态中不存在不连续性。不连续资产价格设定的期权价格问题最初在[1、2、9]中解决。读者可能会对不连续资产价格动态的各个方面给出结论。Elliott等人[15]和Su等人的研究。[32]涉及马尔可夫型区域切换的跳跃扩散模型。在Siu【31】中，跳跃强度由连续时间、有限状态、隐马尔可夫链调节。文献[9，32]中采用了F-S分解的方法，但文献[1，2，15，31]中没有采用。虽然提出了期权价格的微分方程，但上述工作中没有关于经典解存在性的论证。据我们所知，没有任何现有模型能够同时捕获资产价格路径的特征、不连续性和依赖于持续时间的制度转换。在本文中，我们首先验证了涉及半马尔可夫机制切换和路径跳跃不连续性的资产价格模型不允许套利机会。众所周知，具有跳跃不连续性的amodel中的参数应满足额外的约束条件，以确保无套利（NA）。我们得到了这样一个适当的条件。此外，我们还构建了一个非平凡的现实例子来满足这种条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 05:18:48

在建立了NA之后，我们考虑了一个一般的欧洲类型路径独立合同，其中终端支付是最终股票价值的Lipschitz连续函数。这类支付的范围足够广泛，可以包括看涨期权、看跌期权和黄油期权。我们采用F-s分解的方法来确定本地风险最小化定价。虽然这是理论上的标准方法，但当允许资产价格飙升时，问题变得更加微妙。从F-S分解得到的伪最优策略是局部风险最小化的条件需要仔细检查。此外，最小鞅测度下的F-S分解在原测度下可能不会产生F-S分解。我们参考文献[33]，它很好地强调了这一方面。我们适当地得到了市场测度下的F-S分解来构造伪最优策略。随后，伪最优策略被证明是最优的。根据F-S分解，我们已经确定，Lipschitz terminalpayo ff的局部风险最小化价格可以表示为适当进化问题的解决方案。相关方程变成了一个线性、非局部、退化抛物型积分方程组，在受到限制的情况下，给出了BSM-PDE。然而，这个演化问题不具有封闭形式的解，并且与经过充分研究的特例非常不同。文献中用于解决某些特例适定性的方法也不足以处理当前的价格方程。本文中采用的治疗方法也没有立即从integro-PDE文献中的现有结果得出。本文利用半群理论证明了该问题古典解的存在唯一性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-11 05:18:51

这分两步完成。首先，证明价格方程有一个满足积分方程的连续温和解。然后通过对积分方程的研究，证明了其解是充分光滑的，属于演化方程中微分算子的域。因此，温和的解决方案是解决方程的经典。经典解对于创建最佳hedg非常重要。如果没有对套期保值策略的估计（只能通过分析分类解获得），就无法确定套期保值策略的可接受性。这是推导F-S分解的基本步骤。论文的其余部分组织如下。第2节有四小节。前三部分阐述了资产价格动态，而第四部分建立了无套利条件。第2.3小节末尾介绍了期权价格方程。第三节有两个小节。第一小节简要介绍了在抽象环境中使用F-S分解的局部风险最小化定价。在第3.2小节中，我们推导了特定市场模型下Lipschitz Payoff最终StockValue的F-S分解。在这一部分中，我们使用了期权价格方程经典解的存在唯一性定理。该定理在第4节中被证明是正确的。附录中增加了so计量结果的证明。在第5.2节市场模型2.1概率小空间中，我们以一些结论来结束本文(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个完整的过滤概率集，其中过滤满足通常的假设，并且X={1，2，3，…，k}是R的有限子集。设X是一个X值随机变量，Y是一个不确定的gativerandom变量，是可测量的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:18:54

我们进一步假设, [0]上的泊松随机测度，∞)×[0, ∞)均匀强度，W：={Wt}t≥0，标准维纳过程，N（dz，dt），泊松随机m测度R×[0，∞) 对于强度ν（dz）dt，其中ν是有限的Borel度量，适用于过滤{Ft}t≥我们取X，Y，, W和N（dz，dt）作为独立的。上述随机变量、过程和措施将用于模拟金融市场资产价格动态的内在随机性。我们首先提出了一个SDE模型，该模型被建模为s e mi马尔可夫过程。由于这种SDE在文学中并不常见，为了自我包容，在第2.3.2.2小节半马尔可夫过程中介绍资产价格动态之前，我们总结了以下子节中的一些相关定义和性质。我们首先回顾了时间齐次半马尔可夫过程或内短半马尔可夫过程的定义，因为我们在本文中不考虑时间不齐次的情况。定义2.1。一个X值进程X={Xt}t≥0定义时间(Ohm, F、 P）称为半马尔可夫过程ifi。几乎每个ω∈ Ohm, X有一条分段常数rcll路径，在递增边界正序{Tn（ω）}n处具有不连续性≥1、安迪。P（XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn））=P（XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn）对于所有j∈ X，y>0，n≥ 0和一些T≤ 0，其中XT：=X。给定半马尔可夫过程X={XT}t≥0，o n X，过渡时间序列T≤ 0<T<T。；如果存在，则X的瞬时转移率函数o是λij的集合：[0，∞) → [0, ∞), i 6=j∈ X，givenbyλij（y）：=limδ→0δPXTn+1=j，Tn+1- 田纳西州∈ （y，y+δ）| XTn=i，Tn+1- Tn>y,我们考虑了一类半马尔可夫过程，它允许上述极限满足以下附加条件。A1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:18:57

（i）对于ea通道i 6=j∈ X，λij：[0，∞) → [0, ∞) 是一个有界、正且连续可微的函数。（ii）如果λi（y）：=Pj6=iλij（y）和∧i（y）：=Ryλi（y）dy，则limy→∞∧i（y）=∞.注意，不可约有限状态连续时间马尔可夫链的瞬时跃迁速率仅为正常数。因此，假设（A1）包括马尔可夫对应物作为特例。在此，我们回顾了[19]中的以下结果。提案2.1。给定集合λ={λij:[0，∞) → (0, ∞) | i 6=j∈ 在满足（A1（ii））的有界可测映射中，在X×[0]上存在一个有限区间I和一个分段线性映射hλ和gλ，∞) ×i如下所示。（i）耦合随机积分方程组xxt=X+Z（0，t]ZIhλ（Xu-, 于-, z）（dz，du），（2.1）Yt=Y+t-Z（0，t）ZIgλ（Xu-, 于-, z）（dz，du），（2.2）对于所有大于0的t，对于任何给定的（X，Y），都有一个强rcll解（X，Y）∈ X×[0，∞) 这样，解X是X上的半马尔可夫过程，λ是瞬时转移函数，Y给出了处于临界状态的年龄。更准确地说，Yt=t- Tn（t），其中n（t）是（0，t）期间的跃迁次数。（ii）（X，Y）的最小生成元A由Aν（i，Y）给出=φy（i，y）+Pj6=iλij（y）^1（j，0）- ^1（i，y）对于每个函数：X×[0，∞) → 具有有界连续导数的R。（iii）考虑F：[0，∞) ×X个→ [0，1]，定义为F（y | i）：=1- e-∧i（y），其中∧iis如（A1）（ii）所示。在A1（i）下，F（·| i）是一个二次微分函数，并且是保持时间X的条件累积分布函数，假设当前状态为i。（iv）我们定义pij（y）：=λij（y）λi（y），对于j 6=i，对于所有i和y，pii（y）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:00

然后，对于每个i、j和y，pij（y）表示转换到j的条件概率，前提是过程在年龄y.（v）时从i过渡到A1（i）f（y | i）：=ddyF（y | i）有界且连续可微。此外，λij（y）=pij（y）f（y | i）1-F（y | i）适用于所有i 6=j。从上述命题中的（i）开始，y=-T、然而，为了简单起见，我们假设首字母，即Yis ze ro。这在我们的处理中不会造成一般性的损失。在指数d中，由于假设要遵守这些制度，对于到期时间为τ的期权的估值，在初始年龄非零的情况下，可以将初始时间的值设置为初始年龄y*（说）而不是零，以使Yy*= y*, 或者换句话说，Y=0。因此，新的到期时间T为y*+ τ. 当然，因此T（定义2.1）为零，而Yt∈ [0，t]对于所有t∈ [0，T]。然而，除非在随后的分析中提前说明，否则我们不会确定这一典型选择。2.3资产价格动态本小节介绍了金融市场动态的数学模型。我们认为一个市场有两种类型的证券，一种是无风险的sset，也称为货币市场工具，另一种是arisky资产，称为股票。设X={Xt}t≥0是满足A1和（2.1）-（2.2）的状态空间上的半马尔可夫过程，rt：=r（Xt）是在时间t价格为Bt且B=1的无风险资产的即期利率。然后我们有Bt=eRtrudu。现在让我们：={St}t≥0是风险资产的价格过程，由半马尔可夫调制跳跃扩散模型控制，如下所示St=St-ut-dt+σt-dWt+ZRη（z）N（dz，dt）, （2.3）式中，t>0，S>0，ut：=u（Xt）表示漂移，σt：=σ（t，Xt）表示波动系数，以及有界连续函数η：R→ (-1.∞) 跳跃大小系数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:03

此外，时间非齐次波动率函数σ：[0，∞) ×X个→ (0, ∞) 被认为是连续的。定理2.2。SDE（2.3）有一个几乎唯一的强解，由t=Sexp给出Zt（u（Xu-) -σ（u，Xu-))du+Ztσ（u，Xu-)dWu+ZtZRln（1+η（z））N（dz，du）. （2.4）此外，该解是正值且平方可积的。上述定理的证明推迟到附录中。推论2.3。（i）贴现资产价格过程*= {S*t} t型≥0由S给出*t： =StBt=exp-Rtrudu公司St，其中S如（2.4）所示，这也是（2.3）的解，可以重写为S*t=S+Ct+Gt，其中G：={Gt}t≥0是G=0且C：={Ct}t的平方可积m鞅≥0可预测的连续变化过程。（ii）条件二次变分过程t 7→ 几乎可以肯定，hgis在[0，T]上严格递增。（iii）C是绝对连续的w.r.t.hGi，密度δC等于bkt给出的平均方差trade of processbK：=RtδC（t）dhGithas有限期望值，即EbKT<∞.证据从（2.3）中，我们直接得到*t=经验值-Ztrudu公司dSt公司- St公司-经验值-Ztrudu公司rt公司-dt=（1/Bt）dSt公司- St公司-rt公司-dt公司=（1/Bt）St公司-ut-dt+σt-dWt+ZRη（z）N（dz，dt）- St公司-rt公司-dt公司=ut-- rt公司-S*t型-dt+σt-S*t型-dWt+S*t型-ZRη（z）N（dz，dt）。（2.5）因此S*t=S+Ct+GT，其中Ct：=Ztuu-- 俄罗斯-+ZRη（z）ν（dz）S*u-du和Gt：=Ztσu-S*u-dWu+ZtS*u-ZRη（z）~N（dz，du），其中S如（2.4）所示，且~N（dz，du）：=N（dz，du）- ν（dz）du是补偿泊松随机测度。G的平方可积性源于S的平方可积性。因此，G的条件平方变化由hgit=Ztσu给出-S*u-du+ZtS*u-ZRη（z）ν（dz）du。由于σ被认为是严格正的，因此hGi是严格递增的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:06

由δC（t）=dCtdhGit=ut定义的密度δCis-- rt公司-+RRη（z）ν（dz）S*t型-σt-+RRη（z）ν（dz）.ThusEbKT=EZTut-- rt公司-+RRη（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）dt<∞由于η是有界的，ν是有限的，对于有限的T，inf[0，T]×Xσ（T，i）>0。在上述条件下获得的结果比所谓的结构条件（SC）更严格【28】。我们将在下一节中使用这些结果。我们将以以下观察来结束本小节。Dynkin公式指出，如果{At}t≥0是{（St，Xt，Yt）}t的最小生成器≥0，然后t 7→ ψ（St，Xt，Yt）-ψ（S，X，Y）-RtAuψ（Su-, 徐-, 于-)duis an{Ft}t≥任意ψ的0-鞅∈ C∞c、用{Mt}t表示上述鞅≥0，我们得到ψ（St，Xt，Yt）=ψ（S，X，Y）+ZtAuψ（Su-, 徐-, 于-)从（2.1），（2.2）和（2.3）中，利用命题2.1（ii），我们得到ψ（s，i，y）=u（i）ss+σ（t，i）ss+yψ（s，i，y）+Xj6=iλij（y）ψ（s，j，0）- ψ（s，i，y）+锆ψ（s（1+η（z）），i，y）- ψ（s，i，y）ν（dz）。在第3节中，我们考虑在时间T处的适当终端条件下，（T，s，i，y）的以下积分-偏微分方程（IPDE）∈ D：=（0，T）×（0，∞) ×X×（0，∞)t+At+r（一）- u（i）+β（t，i）ss^1（t，s，i，y）+ZRβ（t，z，i）- 1.Д（t，s（1+η（z）），i，y）- ^1（t、s、i、y）ν（dz）=r（i）Д（t，s，i，y）（2.6），其中连续函数β（t，i）和β（t，z，i）不依赖于Д，有待选择。2.4无套利风险是市场不稳定的表现。据说，市场存在套利，使投资者在没有初始资本和损失可能性的情况下获得正收益。因此，我们需要检查该模型在一类相当大的可接受策略下是否没有套利（NA）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:09

来自定理VII。2c。2对于[29]，我们得出，在一类可容许策略下，等价鞅测度（EMM）的存在意味着NFLVR（无风险午餐）意义下的NA。为了确保无套利模式，需要举办EMM展览。EMM通常使用涉及Dol’eans Dade e指数的Rado n-Nikodym过程构建。然而，一般来说，鞅ale的Dol'eans Dadeexponential是一个超级鞅，它给出了一个次概率测度。如果满足Novikov的类型条件，则通过断言随机指数是鞅来解决此缺陷。我们对[23]中的结果进行了分析，以在跳跃扩散环境中获得类似的条件，从而表明大量的Dol’eans-Dade指数是以下引理中的鞅。引理2.4。设Z={Zt}t∈[0，T]是一个适应的过程，定义为：T=expZtφudWu-Ztφudu+ZtZRlnΓu（z）N（dz，du）-ZtZR公司Γu（z）- 1.ν（dz）du, （2.7）式中φ={φt}t∈[0，T]和Γ={ΓT（·）}T∈[0，T]是Γ>0的可预测有界过程。那么Z是P下Z=1的正鞅。证据从（2.7）中可以明显看出，Z>0且Z=1。我们得出以下结论Zt=Zt- Zt公司-= 经验值ZtφudWu-Ztφudu+ZtZRΓu（z）- 1.ν（dz）duexpZ[0，t]ZRlnΓu（z）N（dz，du）！- 经验值ZtφudWu-Ztφudu+ZtZRΓu（z）- 1.ν（dz）duexpZ[0，t）ZRlnΓu（z）N（dz，du）！=Zt-锆Γt（z）- 1.N（dz，{t}）.我们确定yt：=RtφudWu-Rtφudu+RtrlnΓu（z）N（dz，du）-RtRRΓu（z）- 1.ν（dz）du。因此yt=RRlnΓt（z）N（dz，{t}），It^o公式在Zt=exp（yt）上的应用给出，Zt- Z=ZtZu-dyu+ZtZu-d[y]cu+X0<u≤t型祖- 祖-- 祖-于Zt公司- 1=ZtZu-φudWu-ZtZu公司-φudu+ZtZu-ZRlnΓu（z）N（dz，du）-ZtZu公司-锆Γu（z）- 1.ν（dz）du+ZtZu-φudu+X0<u≤子-锆Γu（z）- 1.- lnΓu（z）N（dz，{u}）Zt=1+ZtZu-φudWu+ZtZu-锆Γu（z）- 1.~N（dz，du）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:11

（2.8）从上面可以看出，Z满意度dzt=Zt-d^Mt，Z=1（2.9），其中^M：={^Mt}t≥0是P-^Mt给出的局部鞅：=ZtφudWu+ZtZRΓu（z）- 1.~N（dz，du）。然而，我们对φ和Γ的求和意味着^M是一个具有跳跃大小的平方可积鞅(M）大于- 因此，从（2.9）来看，Z是M的Dol’eans-Dade指数，满足[23]定理9中给出的所有条件。因此，应用该理论，我们得出结论，Z是一个正鞅。下面的引理基本上是从[9]的定理3.2中借用来的，它表示了通过上述Radon-Nikodym过程Z构造的新度量Q下基础过程的规律变化。这个结果可以看作是Girsanov定理的一个结果。这个引理对于我们的特定模型来说，在EMM中是有用的。引理2.5。让Q在FTbydQdP=ZT上定义，其中Z如（2.7）所示。然后进程▄W：=W-Q和z·ZR下的R·φuduis-a维纳过程Γu（z）- 1.N（dz，du）- Γu（z）ν（dz）du是Q-关于其自然过滤的鞅。Q下N（dz，dt）的补偿器测度由￠ν（dz，dt）：=Γt（z）ν（dz）dt给出。引理2.5表示▄M（dz，dt）：=N（dz，dt）- ν（dz，dt）是一个关于测度e Q的补偿泊松随机测度。我们使用▄W、▄M和非特定过程φ和ΓtogetdS重写了SDE（2.5）*t型=ut-- rt公司-S*t型-dt+σt-S*t型-dWt+φtdt+ S*t型-ZRη（z）~M（dz，dt）+~ν（dz，dt）=ut-- rt公司-+ σt-φt+ZRη（z）Γt（z）ν（dz）S*t型-dt+σt-S*t型-d重量+秒*t型-ZRη（z）~M（dz，dt）。（2.10）现在我们希望指定Γ和φ，以使S*Q下的鞅。根据引理2.5，当（2.10）中的漂移项为零时，它是可能的。因此我们有ut-- rt公司-+ σt-φt+ZRη（z）Γt（z）ν（dz）=0。（2.11）这是一个具有两个未知量的单方程。因此，（2.11）导致了许多不同的p可能性，对应于满足（2.11）的不同（φ，Γ）对。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:14

我们希望选择一个满足额外关系的关系，以便（2.8）可以表示为dzt=Jt-Zt公司-（σt-dWt+ZRη（z）~N（dz，dt）），z=1（2.12），对于so me有界适应过程J：={Jt}t≥现在通过比较（2.8）和（2.12），我们得到φt=Jt-σt-, 和Γt（z）- 1=Jt-η（z）。因此，通过替换（2.11）中的上述内容，我们得到jtσt=rt- ut-ZRη（z）（1+Jtη（z））ν（dz）=rt- ut-ZRη（z）ν（dz）- JtZRη（z）ν（dz）表示所有t。因此，jt可以写成jt=rt- ut-RRη（z）ν（dz）σt+RRη（z）ν（dz），这导致Γt（z）=rt-- ut--RRη（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）η（z）+1φt=rt-- ut--RRη（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）σt-.（2.13）很容易看出，在假设A2下。r（一）-u（i）-RRη（z）ν（dz）σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）η（z）>-所有t均为1∈ [0，T]，i∈ X，z∈ R、引理2.4中φ和Γ的条件成立。我们在整篇论文中假设（A2），并在备注2.1中举例说明其含义。因此，在（A2）下，使用（2.13）和引理2.4，引理2.5中的度量Q是一个与P等价的概率度量。此外，在（2.10）中取代（2.13），给出了SDS*t=S*t型σ（t，Xt-)d▄Wu+ZRη（z）▄M（dz，dt）,Dol’eans Dade指数，根据引理2.5和[23]的定理9，它是Q下的正鞅。因此，我们证明了以下定理。定理2.6。在（A2）下，将（2.7）中（2.13）的φtandΓt（z）值替换为引理2.5中给出的等价鞅测度Q。因此，市场是无套利的。备注2.1。文献中的标准假设类似于（A2）。我们参考【30】中的一个实例。但在BSM模型中，或在其政权转换的推广中，不需要这样的假设。可以证明，BSM模型是当前模型的特例，其中资产价格是时间的连续函数，或者换句话说，η等于零。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:18

需要注意的是，如果η≡ 0，（A2）适用于R、u和σ的任何选择，因此不对任何模型参数施加进一步的约束。然而，对于非平凡η，（A2）对漂移系数u进行了限制。也就是说，u（i）-r（一）-RRη（z）ν（dz）η（z）<σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）或r（一）-ZRη（z）ν（dz）-σ（t，i）+ZRη（z）ν（dz）/ 最大值（0，-η（z））<u（i）<r（一）-ZRη（z）ν（dz）+σ（t，i）+ZRη（z）ν（dz）/ 所有i、t和z的最大值（0，η（z））。考虑到任何实际风险资产的漂移值都大于理想银行利率的事实，重要的是交叉检查上述上界是否会导致非真实模型假设。为了说明这个上界的含义，我们考虑一个非平凡的例子，其中η（z）=max（min（z，1），-), ν是Lebesgue度量值[-, 1]. 然后RRη（z）ν（dz）=RRη（z）ν（dz）=3/8。因此，如果r（i），则（A2）为真- 3/8 - 2（σ（t，i）+3/8）<u（i）<r（i）- 对于所有i和t，3/8+σ（t，i）+3/8。如果r（i）<9/8和-2 min[0，T]σ（T，i）≤ 对于所有i，u（i）<r（i）+min[0，T]σ（T，i）。这些界限显然不是不切实际的。3定价和最优混合3.1局部风险最小化方法letξtandεtbe时间t时价格分别为Bt的资产中投资的单位数量。时间t时产生的投资组合的价值由vt给出：=ξtSt+εtBt。容许策略定义为可预测过程sπ={πt=（ξt，εt）}t∈[0，T]满足以下条件（i）RTξtdhGit+E（RT |ξT | dCt |）<∞, 式中，G和C与推论2.3相同。（ii）E（εt）<∞,（三）a>0 s.t.P（Vt≥ -一t型∈ [0，T]）=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:20

如【17】所示，如果市场是无套利的，在某些条件下，复制可测量的有限方差支付的最优套期保值的存在等同于贴现支付的F-S分解的存在*:= B-表格中的第1个*= H+ZTξH*tdS公司*t+左侧*这里是∈ L(Ohm, F、 P），左侧*:= {左侧*t} t型∈[0，T]是一个平方可积鞅，从零开始，与S的可积部分成直角，ξH*= {ξH*t} t型∈[0，T]满意度（i）。下面给出了上述句子中所示的一组有效条件（更多详情，请参见[28]中的定理3.3）。（i） S鞅部分的条件二次变分*, i、 e.，hGi严格增加，（ii）t 7→ Ctis连续，和（iii）EbKT<∞.这些条件在我们的环境中确实适用。事实上，这些条件中的每一个都是在Coro llary 2.3中确定的。在[17]中，进一步断言最优套期保值π=（ξ，ε）由ξt：=ξH给出*t、五*t： =H+ZtξudS*u+左侧*t、 εt：=V*t型- ξtS*t、和Vt：=BtV*Tre表示合同时间t的局部风险最小化价格，具有最终支付效果。因此，对于所提出的市场模型，F-S分解是在局部风险最小化方法下解决定价和套期保值问题的关键。在这方面，我们记得，在早期的章节中，我们构建了一个等价鞅测度（EMM），以证明所提出的模型不允许NFLVR意义上的套利。一旦获得了这样一个风险中性度量，我们当然可以通过对贴现或有权益的条件期望w.r.t.EMM来获得合同的无套利价格。也不难证明，在前面部分中获得的EMM确实是最小鞅测度（MMM）。因此，由此获得的价格是当地风险最小化的价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:24

通常，也很容易在价格函数上应用it规则来推导价格函数的微分方程。然而，很明显，该函数是否具有应用it'o规则所需的充分规则性并不明显。此外，这些推导也不能回答套期保值问题。由于这些原因，我们在本文中避免了这条路径。INSTEADWE首先考虑了一个特殊方程，并在第4节中确定了经典解的存在性和唯一性。方程式的分析被推迟，只是为了在本节中保持对期权定价的关注。在下一小节中，我们使用该经典解来推导所需的F-S分解。因此，我们得出结论，所考虑的方程确实是价格方程。通过这种方式，我们解决了定价和对冲问题。3.2 F-S分解的推导为了对终端支付为H=K（ST）的期权定价，其中K：[0，∞) → R是Lipschitz连续函数，我们直接在P下导出F-S分解。为此，我们考虑了（2.6）给出的演化问题，终端条件为ν（T，s，i，y）=K（s）。（3.1）需要注意的是，功能参数β（t，i）和β（t，z，i）尚未选择。目前，我们假设存在（β，β）对的非空集合，因此上述进化问题（2.6），（3.1）具有唯一的经典解，集合中每对的线性增长最多。我们用ν表示解决方案∈ C1,2,1（D）。上述断言在《物权法》第3.1条中有明确规定，并在下一节中针对（β，β）的特定相关选择进行了证明。为了符号的简洁，我们表示Д（t，St，Xt，Yt）和φs（t，St-, Xt公司-, 年初至今-) 通过Иtand^1t-S分别。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:27

鉴于前一小节中提到的F-S分解，我们正在寻找一个可预测的过程ξ，使得L：=Z·d（^1uBu）- ξudS*u（3.2）变为平方可积P-鞅与'M正交，S的鞅部分*. 很容易看出\'Mt=Rtσu-S*u-dWu+RtS*u-所有t的RRη（z）~N（dz，du）≥ 如果根据第3.1小节的规定，发现了该过程ξ，则构成了ДTi的最佳套期保值。e、，K（ST）和Иt将欧式合同的最低价格定为t时的最小价格，最终支付为t时的K（ST）。然而，可能不存在与β和β的任意选择相对应的任何此类ξ。因此，在适当的时候，我们还将确定β和β的适当选择，以允许存在此类ξ。通过将公式的It^应用于Д（t，St，Xt，Yt），并使用等式。（2.5）和（2.6）我们得到DLT=d（^1tBt）- ξtdS*t型=-rt公司-英国电信^1t-dt+Bt^1t-t+At-^1t-dt+Bt^1t-sσt-St公司-载重吨+BtZ公司^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-~N（dz，dt）+BtdcMt- ξtut-- rt公司-S*t型-dt+σt-S*t型-dWt+S*t型-Zη（Z）N（dz，dt）=h类ut-- rt公司-- β（t，Xt-)S*t型-^1t-s-锆β（t，z，Xt-) - 10吨^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）- ξtut-- rt公司-)S*t型-- ξtS*t型-ZRη（z）ν（dz）idt+σt-S*t型-^1t-s- ξtσt-S*t型-dWt+ZR^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-英国电信- ξtS*t型-η（z）N（dz，dt）+BtdcMt（3.3），其中CMT：=RtRR^1（u，Su-, 徐-+ h（Xu-, 于-, z），于-- g（Xu-, 于-, z）（）- ^1u-^（dz，du）和^（dz，dt）：=（dz，dt）- dtdz，补偿泊松随机测度. 因此，L的局部鞅部分等于z·hσu-S*u-^1u-s- ξudWu+ZR^1（u，Su-（1+η（z）），Xu-, 于-) - ^1u-日分- ξ美国*u-η（z）~N（dz，du）+BudcMui。现在，我们找到了一个合适的ξ，使得L与M正交，即对于所有正t，hL，Mit=0，其中h，idenotes the conditional q uatic covariation。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:30

我们注意到二次协变量d[L，\'M]t=σt-S*2吨-^1t-s- ξtdt+S*t型-锆^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-Btη（z）- ξtS*t型-η（z）N（dz，dt）。因此，条件二次协方差DHL，(R)Mit=σt-S*2吨-^1t-s- ξtdt+S*t型-锆^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-Btη（z）- ξtS*t型-η（z）ν（dz）dt。因此，对于所有正tσt，hL，(R)Mi=0-S*2吨-^1t-s+s*t型-BtZR公司^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-η（z）ν（dz）=σt-S*2吨-ξt+S*2吨-ξtZRη（z）ν（dz）保持不变。因此，对于所有t>0的情况，如果ξt选择为ξt=σt，则hL'mit为零-^1t-s+St-RR（右后）^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-η（z）ν（dz）σt-+RRη（z）ν（dz）. （3.4）因此，我们基本上证明了，无论β（t，i）和β（t，z，i）的选择如何，上述ξ的选择使L的局部鞅部分正交于'M。然而，对于L是s平方可积鞅的特殊对（β，β），我们还并没有建立它的存在性。很明显，为了确保L是局部鞅，在（3.3）中dt项的系数应该是零，即0=ut-- rt公司-- β（t，Xt-)^1t-s-ut-- rt公司-ξt-ZRβ（t，z，Xt-) - 第一个-^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）- ξtZRη（z）ν（dz）。如果我们有（ut-- rt公司-) +ZRη（z）ν（dz）ξt=ut-- rt公司-- β（t，Xt-)^1t-s-ZRβ（t，z，Xt-) - 第一个-×^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:33

（3.5）使用（3.4）中ξtas的表达式，上述可重写为ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）σt-^1t-s+ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）St公司-锆^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-η（z）ν（dz）=σt-+ZRη（z）ν（dz）ut-- rt公司-- β（t，Xt-)^1t-s-σt-+ZRη（z）ν（dz）St公司-锆β（t，z，Xt-) - 1.^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）。我们重新安排条款以获得ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）σt-- （ut-- rt公司-)ZRη（z）ν（dz）+β（t，Xt-)σt-+ZRη（z）ν（dz）- （ut-- rt公司-)σt-^1t-s=-St公司-锆ut-- rt公司-+ZRη（z）ν（dz）η（z）+σt-+ZRη（z）ν（dz）（β（t，z，Xt-) - 1)×^1（t，St-（1+η（z）），Xt-, 年初至今-) - ^1t-ν（dz）。如果β和β使得两侧的系数在所有时间t内均为零，则无论解函数如何，上述恒等式均为真。直接计算表明β和β存在，并由β（t，i）给出=u（i）- r（一）RRηdν- σ（t，i）RRηdνσ（t，i）+RRηdνβ（t，z，i）=1-u（i）- r（i）+RRηdνη（z）σ（t，i）+RRηdν。（3.6）因此，我们将β和β的这些值固定在方程（2.6）中。我们需要用β和β的特定相关值分析方程（2.6）。方程式（2.6）的下列定理的证明见第4节。定理3.1。设K为Lipschitz连续且满足（A3）。在（A1）（i）项下，IPDE（2.6）、（3.6）和（3.1）具有唯一的经典溶液Д，几乎线性增长为s；（二）偏导数φsof解是有界的。另一方面，我们在本节的上述推导中建立了（i）和（ii）部分的以下定理。该定理是本文的主要结果。定理3.2。假设（A1）和（A3）。设ν为IPDE（2.6）、（3.6）和（3.1）的唯一经典解，如定理3.1所述。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 05:19:36

那么，如（3.4）中所述的可预测过程ξ是这样的：如（3.2）isi）中的L是一个P-局部鞅，ii）与M正交，S的鞅部分*,iii）平方积分鞅。因此，Д（t，St，Xt，Yt）是具有终端支付（St）的合同的本地风险最小化价格，ξ构成最佳套期保值。证据我们已经建立了（i）和（ii）部分，并获得了k（ST）BT=ДTBT=Д+ZTξudS*u+LT（3.7）使用（3.2），ν是（2.6），（3.6）和（3.1）的经典解，最多线性增长。由于S的平方可积性和K的Lipschitz性质，上述方程的左侧表达式在L（P）中，因此右侧也在L（P）中。在三个加性项中，前一个项Д=Д（0，S，X，Y）具有确定性。因此，如果我们证明剩下的两项中的任何一项在L（P）中，那么另一项也在L（P）中。我们注意到φsis有界连续函数，利用中值定理，我们可以导出每个t∈ [0，T]来自（3.4）|ξT |≤sup[0，T]×Xσ（T，i）σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）!kφsk公司∞+sup[0，T]×XRRη（z）ν（dz）σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）!kφsk公司∞< 2公里φsk公司∞.因此，ξ是一个适用于Ft的有界过程-. 同样，由于S是平方可积的，ξwrtS的积分*on[0，T]在L（P）中。因此，这两个事实都成立了，即ξ是一个可容许策略，L确实是一个平方可积鞅。因此，（3.7）表示所需的F-S分解。因此，根据第3.1.4小节期权价格方程中的讨论结果，我们从方程（2.6）中的参数引理开始。这个引理将用于子问题分析。引理4.1。映射β：[0，T]×X→ 由（3.6）给出的R是有界的和连续的。映射β：[0，T]×R×X→ （3.6）给出的R在z证明中（i）有界且（ii）在t上一致连续。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:39

由于σ是紧集[0，T]上的正值连续函数，对于finet，inf[0，T]×Xσ（T，i）>0。因此，β和β表达式中的分母远离零。因此，使用ν的唯一性和η的有界性，β和β在t中是有界的，也是连续的。同样，由于η是有界的，supz，i |β（t，z，i）- β（t′，z，i）|→ 0为t′→ t、这就是证明。考虑D上的演化问题（2.6），终端条件（3.1）和β，β根据（3.6）。K的一个典型表达式，如看涨期权的情况，采用K（s，i，y）=（s）的形式- K） +，执行价格是多少。这里K在s中是不可微的，因此在方程中存在的算子的域中是不可微的。因此得到了方程的经典解。（2.6）、（3.1）和（3.6）未得到保证。然而，K属于以下空间v=（ψ：（0，∞) ×X×（0，∞) → R c连续kψkV：=s ups，i，y |ψ（s，i，y）| 1+s<∞).显然，（V，k·kV）是一个由连续函数组成的Banach空间，对于固定的s和i，在y边界上最多线性增长。在本节中，通过分析（2.6）、（3.1）和（3.6）中给出的进化问题的温和解，这是C（[0，T]；V）的一个成员，我们旨在确定进化问题经典解的存在性和唯一性。为此，我们将首先以适合应用抽象进化问题一般理论的方式重写进化问题。然后，我们在推论4.4中建立了连续温和解的存在性和唯一性。为此，我们现在在sameprobability spacedbSt=bSt上引入另一个SDEr（Xt）+β（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt,其中{Wt}t≥0是布朗运动和{Xt}t≥0如（2.1）-（2.2）所示。上述SDE有一个强正连续解，其结果比定理2.2简单得多。实际上，解决方案是由BST=bSexp给出的Zt公司r（Xu）+β（u，Xu）-σ（u，Xu-)du+Ztσ（u，Xu-)dWu公司.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:42

（4.1）解决方案B：={bSt}t≥0连同X和Y一起是强马尔可夫的。我们表示{（bSt，Xt，Yt）}t的整数生成器≥0by{bAt}t≥0由batψ（s，i，y）给出：=y型+r（i）+β（t，i）ss+σ（t，i）ssψ（s，i，y）+Xj6=iλij（y）ψ（s，j，0）- ψ（s，i，y）式中ψ∈ C∞c、（bS，X，Y）的Feller性质意味着存在一个连续演化系统em（ES）{U（U，t）}0≤t型≤u≤吨C∞与{bAt}t关联≥0（见定义5.1.3【22】）。实际上，对于每个ψ，U（U，t）ψ（s，i，y）由E（ψ（bSu，Xu，Yu）| bSt=s，Xt=i，Yt=y）给出∈ C∞c、为了解决我们的问题，我们希望确认{U（U，t）}0≤t型≤u≤与{bAt}t相关的V上的连续ES≥这一点以及上述ES的一些可区分性属性如下所示，其证明见本节末尾。引理4.2。假设A1（i）和（ii）。对于任何ψ∈ V和0≤ t<u≤ T，映射ψ（u，T，·，·，·：·）：D→ Rgiven byψ（u，t，s，i，y）：=u（u，t）ψ（s，i，y）具有以下性质。i、 ψ在s中最多呈线性增长，并且在每个固定s的其他变量中都存在。更准确地说，kψ（u，t，·，·，·，·）kV≤ kψkV1+eT支持，t∈[0，T]r（i）+β（t，i）对于所有0≤ t<u≤ T、二。ψ满足以下积分方程ψ（u，t，s，i，y）=1- F（u- t+y | i）1- F（y | i）Z∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dx+Zu-tf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞ψ（u，t+v，x，j，0）α（x；s，i，t，v）dxdv（4.2）∈ [0，u），s>0，i∈ X，y>0，其中对于s，i，t和v的每个固定组合>0，mapx 7→ α（x；s，i，t，v）是对数正态分布对数正态分布的概率密度函数ln s+r（i）v+Zt+vtβ（t′，i）-σ（t′，i）dt′，Zt+vtσ（t′，i）dt′.iii.ψ是（4.2）的唯一连续解，其值ψ（u，t，·，·，·，·）在V中表示t∈ [0，u）和u∈ [0，T]。因此{U（U，t）}0≤t型≤u≤与{bAt}t相关的V上的连续ES≥0.iv。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:45

ψ：S0<t<t（t，t）×{t}×（0，∞) ×X×（0，∞)→ R具有连续的二阶偏导数w。r、 t.s和ψ（u，·，s，i，·）在Dt的域中，其中Dt，yθ（t，y）定义为limH→0小时θ（t+h，y+h）- θ（t，y）如果存在限制。此外，Dt，yψ（u，t，s，i，y）是每个>0的有界连续函数。我们可以通过替换Atas的表达式来重写（2.6）t型+y型+r（i）+β（t，i）ss+σ（t，i）ssД（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（t、s、j、0）- ^1（t、s、i、y）+ZRβ（t，z，i）Д（t，s（1+η（z）），i，y）- ^1（t、s、i、y）ν（dz）=r（i）ν（t，s，i，y）。（4.3）因此，使用上述方程式中的表达式，我们有以下进化问题t+bAtД（t）+B（t）Д（t）- RД（t）=0Д（t）=K（4.4）其中，对于每个t∈ [0，T]，Д（T）∈ V，和Д（t）（s，i，y）也写为Д（t，s，i，y）；此外，对于任何ψ∈ V，B（t）ψ（s，i，y）：=RRβ（t，z，i）ψ（s（1+η（z）），i，y）- ψ（s，i，y）ν（dz）和Rψ（s，i，y）：=R（i）ψ（s，i，y）。使用引理4.1，B（t）是每个t的有界线性映射∈ [0，T]和T 7→ B（t）是连续的。这一事实的证明见附录引理A.2。设K在V和f中：[0，T]×V→ V是t中的连续函数，且在V上是一致Lipschitz连续的。【22】的定理6.1.2暗示初值问题^1（t）t=bAtД（t）+f（t，Д（t）），Д（0）=K，有一个唯一的连续温和解，它解出了由以下公式给出的另一个积分方程{U（t，0）K+ZtU（t，U）f（U，Д（U））du，其中{U（t，U）}0≤u<t≤这是与{bAt}t相关的ES∈[0，T]。上述关于终值问题的陈述的明显对应物如下所述。提案4.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:48

在A1（i）-（ii）下，对于V中的每个K，演化问题^1（t）t+bAtИ（t）+f（t，Д（t））=0，Д（t）=kha是一种独特的连续温和溶液，它可以解出Д（t）=U（t，t）K+ZTtU（U，t）f（U，Д（U））du，（4.5），前提是f（t，ν）在t中连续，在[0，t]上，并且在ν中均匀Lipschitz连续∈ 五、这里{U（t，U）}0≤u<t≤它与{bAt}t相关∈[0，T]。很容易看出，演化问题（4.4）是上述问题的特例，其中ref（t，ν（t））=（B（t）- R） ^1（t），其中B（t）和R如（4.4）所示。实际上，R是有界线性算子，B是有界线性算子∈ C（[0，T]；B（V）），其中B（V）表示V上有界线性算子的空间（见引理A.2），因此上述f满足命题4.3的条件。因此，使用引理4.2（iii）和（4.5），以下积分方程Д（t）=U（t，t）K+ZTtU（U，t）B（u）- R^1（u）du（4.6）具有连续溶液，该溶液为（4.4）的温和溶液。我们在下面将此作为推论。推论4.4。对于V中的每一个K，在A 1（i）-（ii）下，演化问题（4.4）有一个唯一的连续温和解，它解决了（4.6）。证明了这一点后，必须建立弱解的正则性，以证明弱解确实是次解。这对于{bAt}tare边界操作符或K在bAt域中的情况是直接的。然而，在我们的环境中，这些条件都不是真的。我们只能确认Dt、yand的适用性每个K的子U（T，T）K∈ V使用引理4.2（iv）。虽然已经证明Dt，yU（T，T）K（s，i，y）是有界连续函数，sU（T，T）K不需要有界。特别地，看涨期权的支付函数是K（s，i，y）=（s- K） +因此对于s=K，sU（T，·）K（s，i，y）在（0，T）上是无界的。然而，包括put和call选项的标准支付函数满足以下可积条件。A3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:51

定义εh（t）：=hU（T，T）K-sU（T，T）K，其中对于每个ψ∈ V和h>0，hψ（s，i，y）：=（ψ（s+h，i，y）- 2ψ（s，i，y）+ψ（s- h、 i，y））/h.L e t K∈ V使Z[0，T）sU（T，T）KVdt<∞,Z[0，T）kεh（T）kVdt→ 或者换言之，U（T，T）K在L（[0，T）；V）中均匀可二次微分。定理4.5。假设me（A1）和（A3）。设Д为（4.6）的连续解，则C（D）中的Д（·）（·，·，·）在s中可二次微分；对于每个s，i，Д（·）（s，i，·）在Dt，y的域中（关于Dt，参见引理4.2（iv））。证明。设Д为IE的连续解决方案（4.6）在质量标志的右侧有两个附加术语。第一项即U（T，T）K在所有T<T的Dt，yf范围内，这一事实源于引理4的直接应用。2（iv）。此外，引理4.2（iv）也暗示了部分导数的连续性。接下来我们证明第二项，即。，ZTtU（u，t）B（u）- Rν（u）du（4.7）也在Dt，y的范围内；导数是连续的。这将建立（4.6）右侧表达的连续差异性，从而建立（4.6）左侧表达的连续差异性。引理4.2（iv）意味着（4.7）的被积函数在Dt、yand和u 7的域中→ Dt，yU（u，t）B（u）-R（t，t）上的ν（u）对于每个s和i都是连续的。因此，通过使用中值定理和支配收敛定理，我们可以很容易地建立Dt，yon（4.7）的适用性。关于Dt，yof（4.7）连续性的论证也是直截了当的。设g（t）：=sU（T，T）K∈ V代表所有0≤ t<t。然后从（A3）g∈ 考虑积分方程w（T）=g（T）+Z[T，T）U（U，T）（B（U）- R） w（u）du，适用于所有t∈ （4.8）L类（[0，T）；V）中上述方程解的存在性和唯一性的证明是标准的，需要直接应用压缩映射定理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-11 05:19:54

我们进一步确定，wh（t）：=hИ（t）- w（t）。因此，直接计算给出了h（t）=εh（t）+Z[t，t）U（U，t）（B（U）- R） wh（u）du。利用Gronwall不等式，我们得到kWh（t）kV≤ kεh（t）kV+Z[t，t）kεh（r）kVk（B（r）- R） kB（V）exp（Ztrk（B（u））- R） kB（V）du）dr≤ kεh（t）kV+c exp（cT）kεh（·）kL（[0，t）；V），其中c=k（B（·））- R） kC（[0，T]；B（V））。早期，（A3）表示kεh（t）kV→ 0作为h→ 0表示所有t<t。因此，从上方和（A3）kwh（t）kV→ 0以及kwh（·）kL（[0，T）；V）→ 0.T对于ε，IE（4.6）的连续溶液在s中是两次可微分的，导数是w，（4.8）的溶液在L中也是如此。然而，（4.8）的左侧在T中是连续的，因此w也是连续的。定理3.1（i）的证明IPDE（2.6）、（3.6）和（3.1）重写为（4.4）。因此，通过使用推论4.4，IPDE在C（[0，T]；V）中有一个唯一的连续温和解，该解可解积分方程（4.6）。在（A1）和（A3）下，定理4.5意味着该温和解在（2.6）中的算子域中。因此，温和溶液按类别溶解（2.6）。（ii）我们写下ρ（t，s，i，y）的方程：=φs（t，s，i，y），在（4.3）w.r.t.s变量的两侧使用偏导数，使其变低Dt，y+r（i）+β（t，i）+r（i）+β（t，i）ss+σ（t，i）ssσ（t，i）ssρ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）ρ（t，s，j，0）- ρ（t，s，i，y）+ZRβ（t，z，i）（1+η（z））ρ（t，s（1+η（z）），i，y）- rho（t，s，i，y）ν（dz）=r（i）ρ（t，s，i，y），或Dt，y+r（i）+β（t，i）+σ（t，i）ss+σ（t，i）ssρ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）ρ（t，s，j，0）- ρ（t，s，i，y）+ZRβ（t，z，i）（1+η（z））ρ（t，s（1+η（z）），i，y）- ρ（t，s，i，y）ν（dz）=-β（t，i）ρ（t，s，i，y）。ρ（T）=K′，其中K′是K的几乎处处导数。现在我们希望确保ρindeed解这个经典的盟友。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-11 05:19:57

为此，我们用以下方式重写上述问题tρ（t）+Atρ（t）+f（t）ρ（t）=0ρ（t）=K′（4.9）带有“f”∈ C（[0，T]；B（V）），其中as{At}是另一个SDE的解的最小生成元，由D'St='St给出r（Xt）+β（t，Xt）+σ（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt在相同的概率空间上，其中X a和W是前向的。设{U（U，t）}0≤t型≤u≤Tbe由“U（U，t）ψ（s，i，y）”给出：=E[ψ（\'Su，Xu，Yu）| St=s，Xt=i，Yt=y]。然后，如引理4.2所示，可以确定“U”确实是V上的连续ES。很容易看出，尽管K′/∈ V，\'U（U，t）K\'定义良好，并且对于任何0都在V中≤ 现在，命题4.3、定理4.5和定理3.1（i）的成功应用确保了（4.9）的一个经典解的存在，该解也被断言为解一个IEρ（t）=u（t，t）K′+ZTt'u（u，t）'f（u）ρ（u）du。赋予V=L∞(0, ∞) ×X×（0，∞)具有本质上确界范数。作为k'U（U，t）ρ（t）kV≤ kρ（t）kV和'fis也在C（[0，t]；B（V）），我们从上述IEkρ（t）kV得到≤ kK′kV+辅助\'∈[0，T]k′f（T′）kB（V）！ZTtkρ（u）kVdu。使用Gronwall不等式kρ（t）kV≤ kK′kVe（支持）∈[0，T]k′f（T′）kB（V））（T- t）≤ kK′kVeT（支持）∈[0，T]k′f（T′）kB（V））<∞对于所有t∈ [0，T]。或者换句话说，φs（·，·，·，·，·）是一个有界函数。引理4.2的证明（i）ψ的可测性来自其作为条件期望的表示。设{FXt}表示流程X产生的过滤。如（4.1）所示。ThenE“BSTBFXt#=E“a.E.limN→∞NYi=1bSTi∧tbSTi公司-1.∧t型FXt公司#≤ 画→∞E“NYi=1bSTi∧tbSTi公司-1.∧t型FXt#，由Fatou引理表示，其中Ti如第2.2节所示，表示X的第i个过渡时间。现在，对于ea chi=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝