因此e，通过将v的域分解为（0，u- t] 和（u- t，∞) 在（4.10）中，根据期望的塔性质，U（U，t）ψ（s，i，y）=Z∞u-tf（y+v | i）1- F（y | i）Z∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dxdv+Zu-tf（y+v | i）1- F（y | i）EEhψ（bSu，Xu，Yu）| bSt+v，Xt+v，Yt+vi | bSt=s，Xt=i，Yt=y，Tn（t）+1=t+vdv。v<u的情况见图2- t、 在[Tn（t），t+v）期间，X没有变化，年龄Y也没有显著增加。最后，Yt+v=0肯定是因为Tn（t）+1=t+v意味着在t+v时发生转变，或者换句话说，Yt+v，t+v时的年龄为零。使用Xt+v，Yt+v和st+v的条件分布，我们得到u（u，t）ψ（s，i，Y）=1- F（y+u- t | i）1- F（y | i）Z∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dx+Zu-tf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞Ehψ（bSu，Xu，Yu）| bSt+v=x，Xt+v=j，Yt+v=0iα（x；s，i，t，v）dxdv。因此，U（·，·）ψ（·，·，·）满足以下积分方程U（U，t）ψ（s，i，y）=1- F（u- t+y | i）1- F（y | i）Z∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dx+Zu-tf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞U（U，t+v）ψ（x，j，0）α（x；s，i，t，v）dxdv。因此（ii）如下。（iii）在（i）和（ii）中，表明tψ是（4.2）的可测解，对于每个s>0，在其他变量范围内的砂中具有最多线性增长。现在对于固定的t和给定的ψ∈ V，由于对数正态密度的性质，（4.2）的右侧是s的连续函数。连续性w.r.t.y遵循A1（i）-（ii）和命题2.1（iii）-（iv）。因此，左侧的ψ对于每个t也是连续的，因此ψ（u，t，·，·，·，·，·）属于V。此外，以标准方式，（4.2）可以表示为V上收缩映射的定点问题。我们建议读者在非常相似的上下文中查看[19]引理3.1（i）的证明，以了解详细信息。

随后，直接应用Banach不动点定理完成了（iii）的证明。（iv）本部分的证明依赖于（i）、（ii）和（iii）中获得的结果。我们使用ψ满足第二类Volterra积分方程（4.2）的事实。我们通过为（4.2）的右侧表达式建立所需的s平滑度来确定ψ。在（4.2）的右侧，对数正态密度α出现在每个积分项中。我们使用α的光滑性、有限二阶矩性质和偏导数估计来建立积分项的期望光滑性。以下三个步骤介绍了证明的细节。第1步。在本步骤中，我们将检查（4.2）右侧第一个加法项Dt的适用性。命题2.1（iii）断言，在A1（i）下，F是两倍可微的。因此，验证Dt，ycontainsZ的域就足够了∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dx。重要的是要注意，被积函数中的tψ仅仅是连续的，因此在tor y中不需要微分。然而，上述函数中Dt的图像是εhZ的极限∞ψx、 i，y+u- t型α（x；s，i，t+ε，u- t型- ε) - α（x；s，i，t，u- t）如果存在极限，idxasε趋于零。由于p.d.f.α（x；s，i，t，v）的连续差异性，w。r、 t、t和v，上述表达式可使用中值定理asZ编写∞ψx、 i，y+u- t型t型-vαx；s、 i，t+ε，u- t型- ε） dx（4.11），对于某些0<ε（x，s，i，t，u）<ε。同样，直接计算表明α坦德α形式为α（x；s，i，t，v）O（ln | x |）的变量。需要注意的是，由于在α坦德αv、 这些参数还取决于x变量。然而，ε∈ （0，ε），对于任何给定的u>0和t in（0，u），可以选择ε，以便0<ε<u- t。

因此，由于对数正态密度w.r.t.参数值的尾衰减的单调性，存在一个x′，足够大和一些t′∈ [t，t+ε]，v′∈ [u- t型- ε、 u型- t] 这样SUPε∈（0，ε）α（x；s，i，t+ε，u- t型- ε） =所有x的α（x；s，i，t′，v′）≥ x′。另一方面，s向上ε∈（0，ε）α（·；s，i，t+ε，u- t型- ε） 在[0，x′]上有界。因此，我们估算α坦德αvin（4.11），然后通过分解域（0，∞) 作为（0，x′）和[x′的并集，∞). 对于具有有限域和一致有界被积函数的第一个积分，由于支配收敛定理，其收敛性是明显的。现在我们来考虑剩下的部分。由于ψ相对于x的线性增长最多，因此存在一个正常数，即（4.11）中被积函数的绝对值在区间[x′上由c（1+x）（1+ln（| x |）））α（x；s，i，t′，v′）控制，∞) 对于某些t′∈ [t，t+ε]，v′∈ [u- t型- ε、 u型- t] 。关于x在[x′上的积分，∞) 是有限的。由于α是具有有限方差的随机变量的p.d.f，并且由于存在一个非常大的C，例如（1+x）（1+ln | x |）≤ c（1+x），对于所有x≥ 因此，iflim（t′，v′）→（t，v）Z∞x′（1+x）α（x；s，i，t′，v′）dx=Z∞x′lim（t′，v′）→（t，v）（1+x）α（x；s，i，t′，v′）dx<∞, （4.12）利用一般的Lebesgue收敛定理（定理4.17[24]），以及（0，x′）上积分收敛的性质，我们可以得出（4.11）收敛到z∞ψx、 i，y+u- t型t型-vα（x；s，i，t，u- t） dx（4.13），因为ε趋于零。等式（4.12）可以通过应用Vitali的收敛定理进行调整。为此，我们注意到（4.1 2）左侧的被积函数是（1+x）α（x；s，i，t′，v′），是二次泛函和对数正态密度的乘积。

这是x中的一个一致可积函数族，其family参数（t′，v′）在远离R×{0}的有界集上变化。由于具有有界均值和方差的高斯测度的权重，这个族也是紧密的。因此，Vitali的收敛理论适用于建立（4.12）。因此，我们得出结论，（4.13）是（4.11）的极限。使用与上述非常相似的参数，也可以证明（4.13）的连续性。我们省略了细节。因此，（4.2）右边的第一个加法器在Dt域中，Dt的图像也是连续的。第2步。（4.2）右侧的第二项（从现在起用γ表示）比第一项涉及更多。该项是一个二重积分，其中一个极限取决于t变量。变量t以连续函数ψ的自变量形式出现，而不是以t的形式出现- y、 我们检查这个术语是否在Dt，y的范围内。分析与第一个术语的处理类似。这里，Dt，yγ是以下表达式离子εhZu的极限-t型-εf（y+v+ε| i）1- F（y+ε| i）Xj6=ipij（y+v+ε）Z∞ψ（u，t+v+ε，x，j，0）α（x；s，i，t+ε，v）dxdv-祖-tf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞ψ（u，t+v，x，j，0）α（x；s，i，t，v）dxdvi如果存在极限。经过适当的替换后，上述表达式可以重写为zu-tεXj6=ipij（y+v）Z∞ψ（u，t+v，x，j，0）βε（x，s，i，t，v，y）dxdv-εZεf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞ψ（u，t+v，x，j，0）α（x；s，i，t，v）dxdv（4.14），其中βε（x，s，i，t，v，y）=εhf（y+v | i）1- F（y+ε| i）α（x；s，i，t+ε，v- ε) -f（y+v | i）1- F（y | i）α（x；s，i，t，v）i。（4.14）中的表达式有两个相加项。为了显示涉及重复积分的第一项的收敛性，我们观察到以下情况。

由于f和α是连续可微的，利用中值定理我们可以重写βε=f（y+v | i）t型+y-vα（x；s，i，t+ε，v- ε)1 - F（y+ε| i）对于一些，0<ε<ε。由于位置2.1（v），f有界，1-Fis在紧上有界。因此，第一项的内积分看起来与（4.11）相似，有一个主要区别，即V中有ψ，但这里的ψ是t的V值函数。然而，在（i）部分中，可以确定ψ（u，t，·，·，·，·，·）在t中均匀地由V中的固定成员支配。因此，可以模拟步骤1中提出的参数，以证明Limε→0R∞ψ（u，t+v，x，j，0）βε（x，s，i，t，v，y）dx存在并且等于toR∞ψ（u，t+v，x，j，0）β0+（x，s，i，t，v，y）dx。由于外积分在有界域上，为了保证这一项的收敛性，使用α的偏导数估计，如果我们有supt′，这将是有效的∈（t，t+ε），v′∈（0，u-t） R∞（1+x）α（x；s，i，t′，v′）dxis定义。这是因为密度函数对应于变量位于富足集上的分布。实际上，对于固定的s和i，该上确界小于或等于1+s（exp（T supi，T′）∈[0，T]σ（T′，i））- 1） ex p（2T supi，t′）∈[0，T]r（i）+β（t′，i）).现在我们讨论（4.14）中第二项的收敛问题。显然（4.12）意味着MAPV 7的连续性→Z∞ψ（u，t+v，x，j，0）α（x，s，i，t，v）dxon v>0且v=0时存在有限右极限。该积分乘以一个连续函数inv。因此，第二项收敛到-f（y | i）1-F（y | i）Pj6=ipij（y）ψ（u，t，s，j，0）a sε变为零。因此，γ在Dt，yan的域中，因此从步骤1和2，方程（4.2）的左边在Dt，y的域中。或者换句话说，ψ在Dt，y的域中。

最后，根据上述推导，Dt，yψ（u，t，s，i，y）等于1- F（u- t+y | i）（1- F（y | i））F（y | i）Z∞ψ（x，i，y+u- t） α（x；s，i，t，u- t） dx+1- F（u- t+y | i）1- F（y | i）Z∞ψ（x，i，y+u- t）t型-vα（x；s，i，t，u- t） dx+Zu-tXj6=ipij（y+v）f（y+v | i）Z∞ψ（u，t+v，x，j，0）t型+y-vα（x；s，i，t，v）1- F（y | i）dxdv-f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y）ψ（u，t，s，j，0）。这个函数w.r.t.u，t，s和y的连续性可以很容易地使用α的部分导数的估计来获得，就像在e之前一样。然而，我们省略了细节。此外，从上述表达式可以很容易地看出，Dt，yψ（·，·，s，·，·，·）在0<t<t上有界（t，t）×{t}×X×（0，∞)对于每个固定步骤3。在这一步中，我们将检查ψw.r.t.s变量的二阶偏微分性以及导数的连续性。我们记得α是两倍可微的w。r、 t.s以及ψ和ψ（u，t，·，·，·，·）ar e in V（第一个变量连续且最多呈线性增长）。此外，αs（x；s，i，t，v）=sO（ln | x |）α（x；s，i，t，v）。因此，通过模拟earlier步骤，为了检查（4.2）w.r.t.s右侧的部分可微性，我们需要考虑以下主要被积函数族（v，x）7→带族参数ε的s+ε| x |α（x；s+ε，i，t，v）。鉴于一般的Lebesgue收敛定理（定理4.17【24】），我们需要研究其积分的收敛性，因为ε趋于零。在这方面，我们引用了Vitali的协收敛定理。为此，我们注意到s+ε| x |α（x；s+ε，i，t，v）是x中具有族参数ε的一致可积函数族<< 这个族也是紧的，因为εistaken来自一个有界集。事实上，对于我们的情况，考虑ε<s/2就足够了。接下来，我们还注意到v 7-→Z∞s+ε| x |α（x；s+ε，i，t，v）dx是固定s，t的有界函数，也是ε一致有界族的成员<< 1.

由于积分w.r.t.v在一个有限的范围内，因此在此阶段可以应用支配收敛定理，以通过极限，最终获得（4.2）w.r.t.s右侧的部分可微性。以类似的方式，可以依次显示关于任何高阶s的偏导数的存在性。5结论在本文中，我们考虑了资产价格建模几何L'evy过程的制度转换扩展。虽然马尔可夫过程在文献中更为常见，但我们考虑了与年龄相关的半马尔可夫过程，它给出了一种相当广泛的状态切换类型。在此模型假设下，我们使用局部风险最小化方法推导了一类欧式合同的理论公平价格。价格函数满足IPDE（4.3）。还证明了该方程经典解的存在唯一性。我们还在（3.4）中找到了最优套期保值的表达式。或者换言之，如果ξ（t，s，i，y）表示投资于风险资产的单位数量，当即时市场注册时间为i时，即时（左限）价格为s，期限为y，则ξ（t，s，i，y）=σ（t，i）φs（t，s，i，y）+sRRД（t，s（1+η（z）），i，y）- ^1（t、s、i、y）η（z）ν（dz）σ（t，i）+RRη（z）ν（dz）.我们还获得了另一种使用积分方程编写期权价格函数的方法。该方程出现在（4.6）中。在这种情况下，出现了演化算子，可以通过求解另一组积分方程来计算，如（4.2）所示。因此，可以将期权价格函数写成积分方程组的解。这一观察结果可能会导致替代有限差分法的另一种数值方案，该方案涉及求积法，用于确定期权价格。

对这些方法进行系统的批判性比较可能是一个有趣的研究方向。在数值方法的基础上，还可以讨论包含部分激励和价格函数积分的混合策略计算。根据这些结果，通过扩展设定价格模型，可能会有许多其他后续研究。局部波动性扩展当然是一种可能性。组件式半马尔可夫状态（CSM）可能是另一种。在CSM设置中，每个与制度相关的市场参数，即u、σ和r，都允许由单独的半马尔可夫过程驱动。这些过程可以是独立的，也可以是相互关联的。有趣的是，期权价格函数的表达式和套期保值函数的表达式都涉及漂移参数u。然而，当动力学具有区域切换且波动性不小时，u的估计相当棘手。因此，相关的过滤问题应该能够在当前背景下找到衍生产品定价问题的应用。定理2.2的附录证明：如果（2.3）有一个解{St}，这个过程的跳跃起源于（2.3）的RHS上的最后一个项。所以我们可以写St=St- St公司-= St公司-ZRη（z）N（dz，{t}）。（A.1）因此对于任何有限的可测函数f，fStSt公司-=ZRf（η（z））N（dz，{t}）。（A.2）从（2.3）中，我们得到了Ct=St-ut-dt+σt-载重吨（A.3）因为只有（2.3）中RHS的前两个术语构成连续部分。Henced[S]ct=St-σt-dt。（A.4）设τ：=min{t>0:St≤ 0}是停止时间，对于t<τ，设Zt=ln stt。

将It^o公式应用于ln Stfor 0≤ t<τ，使用（A.1）-（A.4），我们得到dzt=dSctSt--d【Sc】tSt-+ ln St公司- ln St公司-= ut-dt+σt-载重吨-σt-dt+ln（1+StSt公司-).使用（A.2），我们得到，dZt=（ut--σt-)dt+σt-dWt+ZRln（1+η（z））N（dz，{t}）。通过从0到t的积分，其中0≤ t<τ，StS=exp（Zt- Z） =经验值Zt（uu--σu-)du+Ztσu-dWu+ZtZRln（1+η（z））N（dz，du）.因此，SDE（2.3）的解具有0的上述形式≤ t<τ。由于ν的不确定性和η的下界，即η（z）>-1对于R中的所有z，RtRRln（1+η（z））N（dz，du）对于所有t和几乎每个ω都是有限的。如果可能，选择ω∈ Ohm 使得τ（ω）是有限的。因此，让t↑ τ（ω）在上述S的表达式中，Sτ（ω）-> 因此，非正性可能仅通过跳跃发生。方程式（A.1）表明，由于我们假设η（Z）>-1、因此τ=∞ 所有t的P a.s.和St>0 P a.s∈ (0, ∞).上述分析表明，如果存在解决方案，则该解决方案是唯一和积极的。这种存在是直接的，因为直接计算将表明上述S表达式满足SDE。为了避免平方可积性，我们注意到以下几点。很明显，St可以写成一个传统对数正态随机变量和exp（RtRRln（1+η（z））N（dz，du））的乘积，其中bo是独立的。我们进一步注意到对数正态随机变量在[0，T]上有界参数。因此，有必要检查Ehexp（2RtRRln（1+η（z））N（dz，du））是否在[0，T]上有界。我们首先注意到，| Nt |：=N（R×[0，t]）是有限的a.s.a s |ν|<∞. 因此经验值ZtZRln（1+η（z））N（dz，du）= E|Nt | Yi=1（1+η（zi））= EE|Nt | Yi=1（1+η（zi））|Nt公司|其中{（zi，ti）| i=1，…，| Nt |}是R×[0，t]上N的点质量。由于（1+η（z））。

，（1+η（z | Nt |））是条件独立的，并且在给定| Nt |=n的情况下呈整体分布，右侧等于∞Xn=1[E（1+η（z））]nP（| Nt |=n）=∞Xn=1（1+c）ne-t |ν|（t |ν|）nn！=e-t |ν| exp（t |ν|（1+c））=exp（ct |ν|），明确限定在[0，t]上，其中E（1+η（z））- 1.= c<∞ 因为η是有界的。引理A.1。对于任何非负c，sups∈(0,∞)1+cs1+s≤ 1+c证明。我们写（0，∞) = (0, 1] ∪ (1, ∞). 我们检查（0，1）和（1，∞) 分别地第一个注意事项∈（0,1）1+cs1+s≤1+c=1+c.（A.5），因为，对于s，0<s<1∈ (1, ∞), 我们有SUPS∈(1,∞)1+cs1+s= sups公司∈(1,∞)s+cs+1≤1+c0+1=1+c.Thussups∈(0,∞)1+cs1+s= 最大值sups公司∈(0,1)1+cs1+s, sups公司∈(1,∞)1+cs1+s≤ 1+c引理A.2。设β：[0，T]×R×X→ R是一个有界的连续函数，使得β（t，z，i）在t中是连续的，在z中是一致的，然后是B：[0，t]→ （4.4）中的B（V）是连续的，其中B（V）是从V到V的带从属范数的有界线性映射的空间。证据我们定义β：=sup（t，z，i）|β（t，z，i）|。使用引理A.1，每个z的c=1+η（z）>0，kB（t）ψkV=sup（s，i，y）∈(0,∞)×X×（0，∞)ZRβ（t，z，i）ψ（s（1+η（z）），i，y）- ψ（s，i，y）1+sν（dz）≤βsup（s，i，y）hZR1+s（1+η（z））1+sψ（s（1+η（z）），i，y）1+s（1+η（z））+ψ（s，i，y）1+sν（dz）i≤ βhZR（（2+η（z））kψkV+kψkV）ν（dz）i=βkψkVhZR（3+η（z））ν（dz）i=βkψkV3ν（R）+Zηdν< ∞,因为ν是一个有限测度，η是一个有界函数。因此kB（t）kB（V）≤β3ν（R）+Rηdν. 因此，B（t）是每个t的有界线性映射∈ [0，T]。同样，因为对于非零ψkB（t）ψ，β（t，z，i）在t中是连续的，在z中是一致的- B（t′）ψkVkψkV≤ supz，i |β（t，z，i）- β（t′，z，i）|3ν（R）+Zηdν→ 0因为t′趋向于t，所以限制\'→tkB（t）- B（t′）kB（V）→ 因此，结果是。参考文献【1】Aase，K。

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