多项式过程的马尔可夫容积规则

2022-6-1 04:17:44

多项式过程的马尔可夫容积规则*Damir Filipovi\'c+Martin LarssonSergio Pulido§2019年6月10日即将出版的《随机过程及其应用》摘要我们使用有限状态马尔可夫过程研究多项式过程的离散化，以满足适当的矩匹配条件。这些马尔可夫过程的状态及其转移概率可以解释为马尔可夫容积规则。多项式性质允许我们使用代数技术研究此类规则。Markovcubature规则有助于路径相关任务的可处理性，例如在基本因素为多项式过程的模型中的美式期权定价。关键词：多项式过程；容积法则；渐近矩；转移率矩阵；转移概率；美式选项。MSC2010主题分类：60G07、60J25、60J27、60J28、60J1 0、91G60、6 5C20、65C30、60H35、60F99、60J60、60 J75、60H10、60H20、60H30.1简介多项式过程由于其易处理性和灵活性最近得到了普及。例如，它们已应用于利率的金融市场模型（Delbaenand Shirakawa，2002；Zhou，2003；Filipovi\'c等人，2017）、信用风险（Ackerer和Filipovi\'c，2016）、方差掉期（Filipovi\'c等人，2016）、随机波动性（Ackerer等人，2018）、随机投资组合理论（Cuchiero，2019）、人寿保险负债（Biagini和Zhang，2016），能源价格（Filipovi\'c等人，2018年）和外汇汇率（DeJong等人，2001年；Larsen和Sorensen，2007年）。C uchiero等人（2012）考虑的多项式过程*作者要感谢匿名审稿人仔细阅读了手稿和建议。Martin Larsson感谢SNF赠款205121163425的支持。

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2022-6-1 04:17:47

Sergio Pulido的研究得益于转型期椅子市场（F'ed'Operation Bancaire Fran'caise）和ANR 11-LABX-0019项目的支持。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE+EPFL和瑞士金融研究所，瑞士洛桑1015），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助。电子邮件：damir。filipovic@epfl.瑞士苏黎世ch-8092，R–amistrasse 101，苏黎世理工大学数学系。电子邮件：martin。larsson@math.ethz.ch§法国巴黎萨克雷大学恩西分校埃弗里-瓦尔-德松大学数学研究所（LaMME），巴黎萨克雷大学，UMR CNRS 8071，IBGBI 23 Boulevard de France，91037，法国埃弗里塞德斯。电子邮件：sergio。pulidonino@ensiie.frandFilipovi\'c和Larss on（2016，2017）是一个随机过程，其性质是多项式的条件期望是一个相同或更低阶的多项式。这意味着可以高效准确地计算条件矩，并将其用于构建可跟踪模型。尽管有这些优点，但当人们面临路径依赖的任务时，多项式过程的可处理性会恶化，如美式期权定价或路径依赖泛函的计算。在本文中，我们开发了一种解决此类问题的方法。我们用一个有限状态马尔可夫过程来逼近一个给定的多项式过程，该过程将u p的矩与给定值相匹配。我们将有限状态过程称为马尔可夫容积规则，因为过程的状态及其转移概率可以解释为不同时间原始过程定律的容积规则。

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mingdashike22

2022-6-1 04:17:50

马尔可夫容积规则通过简化昂贵的计算任务，如蒙特卡罗模拟和路径相关期权和美式期权的定价，促进了多项式模型的实现。多项式性质允许我们使用代数技术研究马尔可夫容积规则的存在性。与经典的容积问题相反，我们寻找始终使用相同容积点集的容积规则，因为这对于计算美式期权价格等数字应用是可取的。此外，要匹配的时机取决于所选的容积点。在连续时间内，正如我们在第2.1节中所解释的，精确力矩匹配条件变得过于严格。相反，我们通过解决二次规划问题找到近似马尔可夫容积规则。这个二次规划问题自然产生于我们的第一个主要结果Theorem3.2，它给出了连续时间马尔可夫容积规则的代数和几何特征。虽然对计算成本、精度和收敛性的系统分析超出了本文的范围，但我们提供了数值示例，表明近似马尔可夫容积规则在实践中效果良好。在离散时间中，我们的第二个主要结果，定理5.2，在适当的假设下，包括给定多项式过程的渐近动量，在适当选择的时间网格上得出了马尔可夫容积规则的存在性。渐近矩的存在性是一个重要的假设，也是该定理证明的核心。使用有限状态马尔可夫过程对随机模型进行离散化的近似在数值方法文献中经常出现。在金融方面，这些技术已被用于通过有限状态马尔可夫链和二叉树近似法对异国和美国期权进行定价和对冲；参见示例。

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2022-6-1 04:17:53

Gruber和Schweizer（2006）；基弗（2006）；Bayraktar等人（2018年）。正如Kushner（1984）和Kushner and Dupuis（2013）所解释的，这些近似值与数值分析技术有关，如有限差分法。提到量化方法也是相关的，量化方法解决了有限时域和高维状态空间中近似网格的最佳选择。Bally et al.（2005）和C allegaro et al.（2017）分别采用量化方法对美式期权定价和多项式过程定价。在所有这些情况下，离散化发生在两个层次：模拟算法中形成的时域离散化和空域离散化。我们通过开发基于容积的随机模型离散化来补充这篇文献。容积法在许多数值算法中起着至关重要的作用。例如，Arasaratnamd Haykin（2009年）在过滤方面应用了经典的容积法。此外，Lyonsand Victoir（2004）开发的维纳空间上的容积公式已被用于多种应用：Lee和Lyons（2015）的过滤问题，Teichman（2006）的金融期权计算公式，以及Bayer和Teichman（2008）和Doersek等人（2013）的随机微分方程数值近似解，Crisan和Manolarakis（2012、2014）的倒向S-tochastic微分方程（BSDE），Chaudru de Raynal和Garcia Trillos（2015）的倒向随机微分方程（FBSDE）。容积法简化了条件期望的计算，这是上述数值问题的核心。

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2022-6-1 04:17:55

与上一段中提到的在时间和空间域中执行离散化的技术相反，维纳空间上的容积直接离散路径空间d。这些立方法则将Putinar（1997）和Bayer and Teichmann（2006）研究的Tchakaloff的立方定理扩展到连续路径的维纳空间。我们的多项式过程马尔可夫容积提供了随机过程容积的一种切实可行的变体，因为它基于初等矩阵指数计算器。我们的论文组织如下。在第2节中，我们定义了马尔可夫容积规则，并提供了有关多项式过程的一些基本事实。特别是，在第2.1节中，我们解释了为什么马尔可夫容积规则的概念在连续时间中过于严格。在第三节中，我们给出了多项式过程连续时间马尔可夫容积规则的代数和几何特征；见定理3.2。基于这个结果，我们在第4节中引入了近似连续时间马尔可夫容积规则的概念，并描述了获得它的二次规划问题。通过数值例子说明了这些近似马尔可夫容积规则的性能。具体而言，在第4.1节和第4.2节中，我们使用它们为Black-Scholes模型和J Acobim汇率模型中的美式期权定价。在第五节中，我们研究了离散时间马尔可夫立方体的存在性；参见定理5.2。在第6节中，我们讨论了通过允许负权重来放松马尔可夫容积问题的另一种可能。然而，正如我们随后所说明的，这些负权重不适用于数值计算。第7节总结了我们的研究结论。

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2022-6-1 04:17:58

附录A给出了整篇论文所需的多项式过程的渐近矩的结果，附录B包含了正文中所有结果的证明。我们采用以下表示法：我们为非负实数集写R+，为正实数集写R+，为正自然数集写N。对于N，M∈ N、 RN×M表示N×M矩阵的向量空间，按惯例，RN=RN×1表示列向量。给定d∈ N和a集合E Rd，我们说q是E上的多项式，如果R上存在一个多项式p，使得q=p | E。它的度由{deg p:q=p | E}中的deg q=m定义。我们让Pol（E）和Poln（E）分别表示E上的多项式代数和E上的多项式向量空间，次数小于或等于ton。对于N∈ N和a集合a RNwe为A.2设置的凸包编写conv（A），并概述修复状态空间E Rd.我们考虑在一个过滤的可测量空间上定义一个c\'adl\'ag适应的过程X(Ohm, F、 Ft），以及一系列概率度量Px，x∈ E、因此，X是每个Px下的E值马尔可夫过程，从X=X开始。我们假设X允许一个扩展生成器G，其域包含所有多项式。即weassumep（Xt）-ZtGp（Xs）ds是每x的Px局部鞅∈ E和每个p∈ Pol（Rd）。这特别意味着X是每个Px下的半鞅。此外，正最大值原理在某种意义上适用于anyp∈ Pol（Rd），如果p（x）=某些x的最大EP∈ E、然后总成（x）≤ 0。（2.1）特别是，当E上的p=0时，E上的Gp=0，这意味着G被定义为Pol（E）上的操作员。2.1马尔可夫容积规则我们的目标是构造一个具有有限状态空间的时间齐次马尔可夫过程，该过程近似于过程X。我们的近似基于初始状态和时间的矩条件。

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2022-6-1 04:18:01

基于这一目标，我们做出以下定义。定义2.1。我们说，具有有限状态空间的时间齐次马尔可夫过程Y={x，…，xM} 定义T上X的n-Markov立方规则 [0, ∞) 如果Exi[p（Xt）]=Exi[p（Yt）]（2.2）对于所有i=1，M，t∈ T、和p∈ Poln（E）。备注2.2。在条件（2.2）中，Exi[p（Xt）]表示对概率测度pxi的期望，而Exi[p（Yt）]表示对与有限状态马尔可夫过程Y相关的概率测度pyxia的期望。我们在文件中通过了这项公约。假设Y是T上的n-马尔可夫立方f或X。对于所有i=1，…，矩匹配条件（2.2）可以写成xi[p（Xt）]=MXj=1p（xj）PYxi（Yt=xj）（2.3），M、 t型∈ T、和p∈ Poln（E）。因此，对于任何i=1，M和t∈ T、点x，Xm加上跃迁概率PYxi（Yt=x），PYxi（Yt=xM）定义了关于Pxi的x定律的n-立方律。我们强调，对于MarkovIndeed，假设p（x）=maxEp，对于矛盾Gp（x）=δ>0。定义Mt=p（Xt）-p（x）-RtGp（Xs）ds和τ=inf{t:Gp（Xt）≤ δ/2}. 然后，在Px下，Mτ是一个非正局部鞅，Mτ=0，因此Mτ=0。另一方面，Mt∧τ≤ -Rt公司∧τGp（Xs）ds≤ -（δ/2）（t∧ τ），对于t>0，这是严格负的。这一矛盾导致Gp（x）≤ 确实，如果p∈ Pol（Rd）是q=p | E的代表∈ Pol（E），我们定义了Gq=Gp | E，它独立于代表性的p.立方规则的选择，与经典的立方规则相反，匹配的力矩取决于管点，并且在t的所有时间都使用相同的点∈ T、此外，如下文第2.7节所述，权重的性质由Y的马尔可夫性质所决定，以保证多项式过程的这些容积规则的时间一致性特征。

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2022-6-1 04:18:05

这一时间一致性适用于进行路径相关计算，如第4节中的数值示例所示。我们还将考虑n-Markov容积规则的放松版本。事实上，事实证明，一般来说，n-Markov容积规则的概念过于严格。为了了解原因，假设x是dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt形式的SDE的解。在系数的线性增长条件下，有一个估计值[kXt- xk]≤ κ（1+kxk）t，0≤ t型≤ 1，对于所有x∈ E、 Eκ是一个仅依赖于u和σ的常数；见Karatzas和Shreve（1991）中的问题5.3.15。如果Y是[0]上X的4-马尔可夫容积规则，∞), 该估计值与时间齐次马尔可夫性质yieldsEx【kYt】一起传递到Y- Ysk]=ExEYs[基特-s- Yk]≤ κ1+最大值=1，。。。，Mkxik公司（t- s）对于任何x∈ EY和任何s≤ 带t的t- s≤ 根据Kolmogorov的连续引理，Y有一个具有连续路径的版本，这迫使它保持不变。因此，在egeneric情况下，微分X不会接受[0，∞),除非n<4。此外，通过一个类似的论证，如果没有X显示跳跃，则不可能在平凡的马尔可夫过程Y上构造一个具有可数状态空间的n，例如（2.2），n≥ 4，适用于所有初始条件。这是一个相当严格的限制。避免这种障碍的一种方法是放宽精确的力矩匹配条件（2.2），并允许过程Y的力矩近似于原始过程X的力矩。第4节介绍了这种方法。另一种可能性是替换[0，∞) 使用混凝土时间集T，在这种情况下，仍在定义2.1的框架内。第5节介绍了这种方法。如果允许管道规则中的负权重，则会获得不同的松弛。

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2022-6-1 04:18:08

第6节介绍了这种方法。我们将研究多项式过程马尔可夫容积问题的这些松弛。这将允许我们在研究中使用代数考虑。我们在下一小节中给出多项式过程的基本性质。2.2多项式过程定义2.3。如果GPoln（E），则称算子G为多项式 Poln（E）f或全部n∈ N、在这种情况下，X被称为多项式过程。备注2.4。在本论文中，假设G是某些给定马尔科夫过程X的扩展生成器。我们不关心给定候选算子G的此类过程的存在性问题。这一问题在Filipovi\'c和Larsson（2016）的多项式微分中进行了讨论。如果X是多项式过程，那么X的所有混合矩都是初始状态的多项式函数。更准确地说，fix n并用nn表示Poln（E）的维数。Leth，hNnbe Poln（E）和definehn（x）=（h（x），hNn（x））. （2.4）如果G是多项式，则一个hasGHn（x）=G某些矩阵Gn的nHn（x）（2.5）∈ RNn×Nn，wher e G按分量作用于Hn。由此得到以下引理。引理2.5。假设X是一个多项式过程。然后对于任意多项式p∈ Poln（E），坐标表示~p∈ RNn，即p（x）=Hn（x）~p、一个搭扣[p（Xt）]=Hn（x）etGn~p.（2.6）因此，左侧的si de i是Poln（E）中的多项式，坐标表示为etGn~p。备注2.6。作为引理2.5的结果，当T包含一个大约为零的区间时，多项式过程的马尔可夫容积规则也是多项式过程。我们说，如果T- s∈ T代表所有s，T∈ T s uch那s≤ t、这个属性对于涉及多项式过程的路径相关计算非常有用，如第4节中的数值说明。

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kedemingshi

2022-6-1 04:18:11

原因是，差异下的稳定性导致了以下时间一致性结果，即不仅一维边缘满足矩匹配，而且高维边缘也满足矩匹配。定理2.7。假设X是一个多项式过程，T在不同的条件下是稳定的。设Y是状态空间EY={x，…，xM}的时间齐次马尔可夫过程 E、那么，过程Y是X在T上的n-Markov容积规则，当且仅当给定T，热释光∈ Tsuch该0≤ t型≤ ··· ≤ tland多项式p，pl公司∈ Poln（E）和Qipi∈ Poln（E），对于所有x，wehaveEx“lYi=1pi（Xti）#=Ex”lYi=1pi（Yti）#（2.7）∈ EY。备注2.8。假设Y是多项式过程X onT的n-马尔可夫连续规则。设置T={Pli=1ti:ti∈ T、 l∈ N} 。时间集T是[0]的最小子集，∞) 定理2.7证明中的论证表明，对于X onT，yi也是一个n-Markov容积规则。3多项式过程的连续时间马尔可夫体积我们在下文中假设X是一个多项式过程，而fix n∈ N、我们将研究X的连续时间N-Markov立方规则的特征，即[0，∞). 尽管如第2.1节所述，这些容积规则通常过于严格，但本节的结果激励和促进了第4、5和6节中对马尔可夫容积松弛概念的研究。为了简单起见，我们采用了第2节bu t的表示法，我们经常省略索引n。给定点x，xM公司∈ E我们用H=H（x，…，xM）表示M×Nn矩阵，对于所有i=1，…，其元素arehij=hj（xi）（3.1），M和j=1，Nn。请注意，矩阵H的第i行∈ RM×Nnis等于Hn（xi）如（2.4）所述。根据（2.5）和（2.6），对于所有i=1，…，我们有ghj（xi）=（HG）ij，（3.2）Exi[hj（Xt）]=（H exp（tG））ij（3.3），M和j=1，Nn。

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2022-6-1 04:18:13

方程（3.2）-（3.3）建立了作用于多项式函数空间的生成器和半群的分析计算与涉及矩阵乘法的代数计算之间的关系。定理3.2 b以下是连续时间n-Markov规则存在性的主要特征定理。在说明定理之前，我们记得转移率矩阵是一个矩阵，它的行加起来等于零，而对角元素是非负的。我们还需要以下定义。定义3.1。我们说一个向量v∈ Rmpoints到conv（{v，…，vn}） Rmat V如果存在（Li，j）j6=i∈ Rm-1+使V=Xj6=iLi，j（vj- vi）。定理3.2。给定一组点EY={x，…，xM} E以下陈述是同等的。（i）存在状态空间EY的连续时间n-Markov容积规则Y；请参阅定义2.1。（ii）如（3.1）所示，对于某些过渡速率矩阵L，HG=L H∈ RM×M.（iii）如（3.1）所示，对于某些矩阵L，HG=LH∈ RM×M，带有非负对角元素。（iv）对于每个x∈ Ey向量GHn（x）点i到点Hn（x）处的conv（{Hn（x），…，Hn（xM）}）；见定义3.1。如果另外M=nn且矩阵H是可逆的，则存在poln（E）的拉格朗日基，Eβ=（eh，…，ehNn），即ehj（xi）=δij的基，且上述陈述等同于：（v）Gehj（xi）≥ 0表示i 6=j。此外，当条件（ii）满足时，L可以作为马尔可夫容积规则Y的转移率矩阵。为了证明T heorem3.2，我们需要以下引理。引理3.3。假设L是HG=LH的矩阵。然后L的行加起来等于零。如证明所示，定理3.2中的条件意味着，如果Y是n-马尔可夫容积规则th en，则对于每个x∈ EY，流量（Ex[Hn（Xt）]）t≥0从不离开凸集conv（{Hn（x），…，Hn（xM）}）。

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2022-6-1 04:18:16

实际上，请注意（exp（tL））t≥0是一个转移半群，对于所有i=1，M we havexi[Hn（Xt）]=经验（tG)Hn（xi）=H的第i列exp（tL).点{Hn（x），…，Hn（xM）}位于矩曲线Hn（E）上，对应于H的方向。它们的凸包表示状态空间为{Hn（x），…，Hn（xM）}的马尔可夫链的所有可能初始分布。4近似马尔可夫立方根据定理3.2，为了找到多项式过程X的连续n马尔可夫立方规则，必须找到点X，xM公司∈ E和转移率矩阵L，例如Hg=LH，其中H是由（3.1）定义的矩阵，G=GNI是x的生成矩阵，相对于基H，…，限制为Poln（E），hNn；见（2.5）。如第2.1节所述，如果n≥ 考虑到这一限制，我们转而考虑优化问题min{kHG- LHk:L是一个转移率矩阵}，（4.1），其中使用了Frobenius范数，当我们固定了生成矩阵G和点x，xM，因此矩阵H。L是转移率矩阵的约束可以写为≥ 0，i 6=j，（4.2）L1M=0，（4.3）回想一下矩阵a的Frobenius范数是kAk=pTr（AA).其中1M∈ RMis是1的向量。通过矢量化，我们可以把这个优化问题写成一个定量编程问题。事实上，我们- LHk=kHGk+vec（L）（HH） IdM）vec（L）- 2vec（L）vec（HGH),其中vec（·）是矢量化运算器， ecker乘积上的Kr，以及多维单位矩阵。此外，L上的约束（4.2）-（4.3）对应于Zvec（eiej）≥ 0，i 6=j（4.4）zvec（eiM) = 0，i=1，M（4.5），其中z=vec（L）和ei是RM中的标准基向量。

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2022-6-1 04:18:19

因此，最小化问题（4.1）可以转化为二次规划问题min{z（HH） IdM）z- 2zvec（HGH) : z∈ Rm×msatis fies（4.4）-（4.5）}。（4.6）我们将通过数值例子说明这种类型的现场状态马尔可夫近似的性能。4.1 Black-Scholes模型中的美式期权定价我们考虑Black-Scholes模型，其中金融资产的回报过程X是一个带漂移的布朗运动。更准确地说，X应该具有r isk中立的formXt=X的动力学+r-σt+σwt，其中r是即期利率，σ是收益率的波动率，W是一维线性布朗运动。在该模型中，到期日为t、执行价格为K、初始对数价格为X+X ismax=sup{E[E]的美式看跌期权在t=0时的价格-rτmax（K- ex+Xτ，0）]：0≤ τ ≤ T停车时间}。（4.7）为近似值Pax，我们进行如下操作。We fi x等距点x，xMonth进程X的截断支持-X由i=[（r- σ/2）T- 3σ√T，（r- σ/2）T+3σ√T）]。我们进一步∈ N和h（x）=1，h（x）=x，hn+1（x）=xnPoln（R）的标准单项基。设L为二次规划问题（4.6）的解，并将Y定义为具有转移率矩阵L的EY={x，…，xM}上的有限状态过程∈ N设T={T=0，T…，tNtime=T}是时间范围[0，T]的均匀划分。我们定义PA=（ePAx，…，ePAxM）byePAxi=sup{Exi[e-rτmax（K-eX+Yτ，0）]：0≤ τ ≤ T i=1，…，值为T}的停止时间，M、由于Y是一个有限状态马尔可夫过程，我们只考虑T中的有限运动时间，因此可以通过一个非常简单的后向引导算法来计算向量。该计算类似于Black-Scholes模型的二叉树近似下的美国期权价格计算；见Cox等人。

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可人4

2022-6-1 04:18:22

(1979).明确地说，我们有epa=VwhereVtNtime=max（K- E、 0）Vti-1=最大值（最大值（K- E、 0），exp(-r) 经验值(五十） Vti），i=1，n时间（4.8），E=exp（X）（exp（X），exp（xM））∈ RMAD = T/n时间。观察此计算同时给出i=1，…，的所有值Sepaxi，M、对于任何初始值x∈ I我们可以执行插值以近似PAx。此外，我们还知道，PAx/exis是一个美国看跌期权的价格，该看跌期权具有行使Ke-X和初始参考原木价格X。因此，相同的近似容积规则可用于预测ice Americanoptions的几个原木价格初始值和不同的罢工。只要波动过程的动力学与现货价格的初始值无关，这一观察结果在任何随机波动模型框架中都是有效的。为了说明我们的方法的性能，我们考虑了参数r=0.06，σ=0.4，X=log（K）=log（100）和T=0.5。我们计算了近似的美式看跌期权价格，M=40个立方点，n=4个矩，Ntime=1000个时间步。我们将这些价格与通过Black-Scholes模型的1000时间步长二叉树近似获得的基准价格进行比较。结果见表1。我们发现，利用这些参数，我们的近似马尔可夫容积法与10阶的基准二叉树价格存在平均相对差异-选择M和n是为了在可比的时间内，以尽可能少的管点和力矩达到这一精度水平。图1中的彩色图显示了转移率矩阵L的反对角线值。我们特别注意到，当过程Y具有多项式树结构时，近似马尔可夫容积规则中的大多数非零转移率发生在对角线附近。

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2022-6-1 04:18:25

此外，当我们接近区间I的极限时，过渡速率降低。接近区间极限点的高过渡速率是由于X的d域截断而产生的边界效应- 十、在2.3 GHz Intel Core i5 CPU上，通过在Matlab中解决优化问题（4.1）来查找转移率矩阵L的运行时间约为0.75秒。一旦获得了转换率矩阵，使用递归算法（4.8）计算给定到期日、给定履约时间和所有初始价格的Am er ican期权价格几乎是瞬时的，只需约0.004秒。为了说明这些时刻的影响，我们在图2中绘制了M=40的美式看跌期权价格和N的不同值。将这些价格与使用Black-S-choles模型的1000次二项近似法在对数价格网格的40个点上获得的基准值进行比较。4.2雅可比汇率模型中的美式期权定价假设St=exp（Xt）代表t时两种货币之间的汇率。受DeJong等人（2001）和Larsen和Sorensen（2007）的启发，我们用公式dxt=κ（θ）的雅可比函数建立了X模型- Xt）dt+σp（Xt- xmin）（xmax- Xt）dWt，（4.9）对于给定参数-∞ < xmin<xmax<∞, θ∈ [xmin，xmax]，κ，σ>0。我们假设国内利率r为常数，国外利率r为常数，因此（4.9）描述了对数汇率的风险中性动态（详情见DeJong et al.（2001）；Lars en和Sorensen（2007））。在这个模型中，货币之间的汇率稳定在exp（xmin）和exp（xmax）之间。与前一个示例一样，我们考虑了支付形式为max（K）的美式交换期权-S、 0）和到期日T。我们确定了距离点x。

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2022-6-1 04:18:28

，xMon由[xmin，xmax]给出的对X的支持，并在前面的示例中精确地继续。也就是说，我们使用向量来近似PAx，如（4.7）所示。要计算Pawe，请使用（4.8）中的递归算法。对于我们的数值说明，我们考虑以下参数：r=0，κ=1，θ=0.5，xmin=0，xmax=1，X=0，K=exp（0.5）和T=0.5。我们计算了M=40个立方点，n=4个矩，Ntime=1000个时间步的近似美国看跌期权价格。我们将这些价格与使用1000时间步长Longsta ff-Schwartz算法获得的基准价格进行比较；见Longstaff和Schwartz（2001）。结果见表2。我们的实验表明，与基于模拟的Longsta fff–Schwartz方法相比，近似马尔可夫立方方法可以显著加快速度。图3中的颜色图显示了过渡速率矩阵的对角线值。特别地，我们验证了近似马尔可夫容积的多项式性质。找到转移率矩阵L和计算美式期权价格的运行时间与第4.1节中报告的时间相当。为了说明这些时刻的影响，我们在图4中绘制了M=40的美式看跌期权价格和不同的nand值，并将其与表2.5离散时间马尔可夫立方中x值的L on gsta off–Schwartz方法获得的基准值进行比较。构建x的离散时间n-Markov立方规则（见下面的定理5.2）将使用不对称矩上的立方方法。根据TheoremA。1，当且仅当下列条件成立时，所有小于或等于n阶的渐近矩都存在。（H1）对于G的所有非零特征值λ，我们得到Re（λ）<0，并且特征值0是一个简单的特征值，即。

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2022-6-1 04:18:31

它的代数多重性和几何多重性是一致的。在这种情况下，我们用uj（x）=limt表示这些渐近矩→∞Ex[hj（Xt）]。（5.1）为了使用经典的容积规则，我们希望渐近矩（5.1）独立于x。根据推论a。3，这是以下假设下的情况，这是一个比（H1）更为严格的条件。（H2）对于G的所有非零特征值λ，我们得到Re（λ）<0，并且特征值0是一个简单的特征值，即其代数（因此几何）重数为1。在这种情况下，我们将渐近矩（5.1）简单地写为u，uNn。结合（H2），我们将在本节中做出以下假设。（H3）存在点x，xM公司∈ E和w∈ RM++使得uj=MXi=1wihj（xi）（5.2）对于所有j=1，Nn。备注5.1。作为条件（H3）的结果，重量加起来为1。实际上，假设常数多项式可以写成1=PNnj=1vjhj（x）。然后通过（5.1）和（5.2），我们推导出1=NnXj=1vjuj=MXi=1wiNnXj=1vjhj（xi）=MXi=1wi。因此，条件（H3）表明渐近矩（5.1）属于conv（Hn（E））。对于所有x，AsEx[hj（Xt）]属于conv（Hn（E））∈ E、 t型≥ 0且j=1，Nn（参见Putinar（1997）、Bayer和Teichmann（2006）），例如，如果conv（Hn（E））关闭，则会出现这种情况。如果渐近矩是概率分布的矩，它也成立；见提案A.6。此外，由于（H3）中的权重w是严格正的，因此不存在严格的子集C（{x，…，xM}），因此conv（Hn（C））包含所有对称矩（5.1）。下面的定理5.2是本节的主要定理。定理5.2。假设（H2）和（H3）保持不变。另外假设对于点x，xMin（H3），由（3.1）给出的矩阵H满足秩（H）=Nn。

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kedemingshi

2022-6-1 04:18:34

那么，对于 largeenough，T={l上存在X的n-马尔可夫容积规则 : l∈ N} 状态空间EY={x，…，xM}。为了证明定理5.2，我们需要下面的引理。引理5.3。假设定理5.2的假设成立。然后，对于t非常大的情况，存在一个概率矩阵Q（t），其正项为H exp（tG）=Q（t）H。定理5.2和引理5.3的证明提出了一种查找离散立方规则的可能程序。在实践中，将H+表示为H的伪逆矩阵，我们搜索大量的t，以便矩阵Q（t）=H exp（tG）H+具有正条目。一个接一个这是第一次() 都是非负的，在这种情况下Q() 具有时滞的离散容积规则的转移概率矩阵 .下面的注释表明，在更一般的假设下，离散时间马尔可夫容积规则的存在是正确的。备注5.4。（H1）保持的ssu me。另外假设存在点x，xM公司∈ EandW=（wij）Mi，j=1∈ RM×M++使得对于所有j=1，…，uj（xk）=MXi=1wkihj（xi），Nnand k=1。M、（5.1）中含有ujas。定理5.2的证明表明，如果（3.1）中定义的矩阵H=H（x，…，xM），满足k（H）=Nn，则定理5.2的结论成立。示例5.5。D iscrete容积规则可用于在较长时间段内进行计算，例如计算欧式期权的价格。为了说明这一点，我们考虑了第4.2节中描述的汇率模型和参数。近似欧洲看跌期权的价格PEx=Ex[e-rTmax（K- ex+XT，0）]当到期日T=1，罢工K=exp（0.5），初始对数率等于x时，我们按照以下步骤进行。我们固定了一个正则分区x，X的支持度X。在这种情况下，满足定理5.2的条件。

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2022-6-1 04:18:37

渐近矩为u=E[1]=1，u=θ=0.5，u=0.3333，u=0.25，u=0.2。我们观察到，对于T=1，存在转移率矩阵P，使得H exp（T G）=P H。我们使用v ectorePE=exp近似分区上点的欧式看跌期权价格(-rT）P V=最大值（K- F，0）和F=exp（X）（exp（X），exp（xM））∈ RM。图5显示了这些近似价格以及使用蒙特卡罗模拟获得的价格。6负权重马尔可夫容积在本节中，我们探讨马尔可夫容积问题的另一种可能的松弛。我们首先回顾了映射Hnin（2.4）的定义。按照拜耳和泰奇曼（2006）的精神，观察过程X的n-Markov立方规则自然地对应于过程X=Hn（X）的1Markov立方规则，并且X的状态空间是Hn（e），它位于时刻cur ve Hn（Rd）上。可以看出，x是一个多项式过程Hn（E）；见菲利波维奇和拉尔森（2017，定理4.2）。因此，通过增加状态空间的复杂性，可以将多项式过程的n-Markov立方规则的研究简化为1-Markov立方规则的研究。这些观察结果表明，以下替代方法可以放松连续时间马尔可夫体积的概念。对于每个x∈ E、考虑过程Zxt=Ex[Xt]。Du e toLemma2.5，过程zxtsolved the ODEdZxt=GZxtdt，Z=x.（6.1），其中只有在初始条件x下才能很好地定义∈ Hn（E），其几何结构通常是高度复杂的，解Zxof（6.1）允许任何点x∈ RNnas初始条件。因此，可以在RNN上为确定性过程Z而不是在Hn（e）上为X寻求连续的1立方规则。根据定理3.2，这等于发现点z，锆∈RNnand转移率矩阵L∈ RR×Rsuch thatSG=LS，（6.2），其中S∈ RR×nni是行为z的矩阵, . . . , zR

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2022-6-1 04:18:40

假设我们可以找到一个形式为S=eSH的矩阵∈ RR×Mof秩M。那么也存在∈ RM×Rsuch，AeS=idm维单位矩阵，我们可以重写（6.2）asHG=eLH，（6.3）whereeL=ALeS∈ RM×M。矩阵素不一定是转移率矩阵。然而，由于L emma 2.5和（6.3），我们有exi[p（Xt）]=MXj=1（eteL）i，jp（xj），对于i=1，M和p∈ Poln（E）。（6.4）因此，伪转移率矩阵素定义了一个伪马尔可夫容积规则，其权重可能为负。这些可能的负权重可以解释为伪转移概率矩阵eteL中出现的负“概率”。因此，Kolmogorov连续引理所造成的限制消失在一个具有负“概率”的框架中。然而，正如我们将在下文中说明的那样，负权重与基本结果不相容，如美式期权定价的动态规划原则。出于这个原因，我们不追求马尔可夫容积问题的这种放松。示例6.1。为了说明为什么负权重与动态规划原理不兼容，我们考虑了第4.1节的设置和相同的Black-Scholes模型参数。特别是，我们采用M=40个立方点、n=4个矩和Ntime=1000来近似美国看跌期权价格。我们将图6中使用第4节中描述的二次规划方法的解L获得的结果与使用解方程（6.3）的矩阵素获得的结果进行比较。该图清楚地表明，对于概率应用，使用负“概率s”进行松弛是没有用的。7结论本文利用有限状态马尔可夫过程，通过矩条件研究多项式过程的离散化。我们称这些离散化为马尔可夫容积规则。

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可人4

2022-6-1 04:18:43

多项式性质允许我们使用代数技术进行分析；参见理论3.2和5.2。由于Kolmogorov连续引理，多项式差分连续时间中的矩匹配条件过于严格。我们研究的是马尔可夫容积规则的relaxedversions。允许负跃迁“概率”的可能弛豫对概率应用不有用；参见第6节。相反，我们保留了马尔可夫容积问题的另外两种更有用的松弛。在第4节中，我们将介绍如何通过二次规划问题找到近似马尔可夫容积规则。然后，我们举例说明如何利用这种近似来解决与时间相关的问题，如美式期权的估值。在这些示例中，该方法表现良好。然后，在第5节中，我们讨论了离散时间马尔可夫容积规则构造的渐近矩的条件；参见定理5.2。我们还通过一个数值例子说明了这些离散规则在较长时间网格上的使用。计算成本、精度和收敛性的非系统分析超出了本文的范围，但却是未来研究的一个有趣课题。多项式过程的渐近矩证明X是一个具有扩展生成元G和状态空间E的多项式过程∈ 设G是G的矩阵，限制于Poln（E），关于Poln（E）的基β=（h，…，hNn）。下面的定理表明，假设（H1）等价于n阶渐近矩的存在性。定理A.1。以下是等效的：（i）假设（H1）成立。（ii）矩阵序列（exp（tG））t≥0接近t→ ∞.（iii）Ex[hj（Xt）]收敛为t→ ∞ 对于所有x∈ E和j=1，Nn。（iv）Ex[p（Xt）]收敛为t→ ∞ 对于所有x∈ E和p∈ Poln（E）。证据

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2022-6-1 04:18:46

（一）<=>（ii）假设G=V JV-1，其中J是G的（复）Jordan范式。我们有（exp（tG））t≥0接近t→ ∞ 当且仅当（exp（tJ））t≥0 Converges ast→ ∞. 此外，（exp（tJ））t≥0接近t→ ∞ 当且仅当exp（tJi）收敛于所有i时，这里的Ji是矩阵J的Jordan块。每个Ji的形式为Ji=λiId+ni，其中λiis是G的特征值，Id是单位矩阵，ni是幂零矩阵。因此，exp（tJi）=exp（tλi）pi（tNi），带有pia多项式。我们注意到pi≡ 1当且仅当Ni=0，且pi（tNi）不是t ifNi6=0中的常数多项式。假设（H1）成立的当且仅当所有i的Re（λi）<0，使得λi6=0，如果λi=0，Ni=0。这些观察结果暗示了（i）和（ii）之间的等效性。（二）=>（iii）假设矩阵（exp（tG））t≥0接近矩阵P∈ RNn×Nnast→ ∞. 到（2.6）时，我们有了这一限制→∞Ex[hj（Xt）]=NnXi=1ePijhi（x），对于所有j=1，N和x∈ E、因此（iii）成立。（三）<=>（iv）这源于以下事实：，hNnis a b asis of Poln（E）。（三）=>（ii）现在假设Ex[hj（Xt）]收敛于所有x∈ E和j=1，Nn，如tgo所示。我们声称存在nn点，x，xNn型∈ E、这样对于所有p∈ Poln（E）p（xi）=0表示所有i=> p≡ 0.（A.1）为了相互矛盾，假设没有点x，xNn型∈ （A.1）中所包含的内容。设p（x）6=0是E和x上的多项式∈ 使得p（x）6=0。根据假设，我们可以找到p∈ Poln（E）和x∈ 使得p（x）=0，p（x）6=0。递归地，我们可以构造点x，xNn，和d多项式p，Pnsuch thattpi（xi）6=0，pi（xj）=0，对于j<i.（A.2），这些多项式将是线性独立的，因此是Poln（E）的基础。假设p∈ Poln（E）满意度p（xi）=0表示所有i。

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2022-6-1 04:18:49

由于p是多项式Pi的线性组合，我们可以通过（a.2）得出结论，线性组合的所有系数都等于零，而p处处为零，这是一个矛盾。因此，我们总能找到x，xNn型∈ E使（A.1）保持不变。这些点允许我们通过kpk=supi | p（xi）|定义空间Poln（E）的范数。另一个范数由kpk=supi |λi |给出，其中p=Pjλjhj。因为这些范数是等价的，所以多项式序列在x上的收敛性，xn简化了系数的收敛。形式为Ex[hj（Xt）]的多项式的系数是m矩阵exp（tG）的项。因此（ii）成立。一般来说，这些渐近矩可能依赖于x。事实上，我们有以下命题。提案A.2。假设假设（H1）成立。设G=V JV-1b是G的正则Jordan分解，V是广义特征向量矩阵。Thenlimt公司→∞etG=lXi=1viri，（A.3），其中向量v，vlare G的特征向量，对应于特征值0和r，RL是V的行-此外，渐近矩（5.1）由（u（x），…）给出，uNn（x））=lXi=1Hn（x）维里。（A.4）证明。定理A.1中（i）和（ii）之间等价性的证明表明，假设（H1）imp位于atlimt→∞etG=VId 00 0五、-1，其中单位矩阵Id来自对应于特征值0的块。这意味着（A.3）。此外，（A.3）、（3.3）和（5.1）暗示（A.4）。这些结果的一个中间推论刻画了渐近矩与x无关的情况。推论A.3。假设（H2）成立当且仅当渐近矩u（x），（5.1）中定义的uNn（x）存在，并且它们独立于x，即e.Proof上的常数。我们已经有了假设（H1）和定理中交感矩的存在之间的等价性。1.

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2022-6-1 04:18:52

此外，注意到前面命题中的（A.4）意味着对于所有j=1，Nnuj（x）=lXi=1ri（j）ehi（x），其中特征多项式eh，ehl（对应于G的特征值0）由EHI（x）=Hn（x）给出vi，对于所有i=1，l、这些多项式是线性独立的，就像Poln（E）中的多项式一样。这种线性独立性意味着，当且仅当l=1时，对于所有j，uj（x）在E上是常数。示例A.4。假设X是多项式鞅。当G=0时，这将保持不变，其中，生成器的矩阵限制为空间Pol（E）。一个特别的例子是几何布朗运动。在这种情况下，对于所有t，Ex[Xt]=x≥ 0和x∈ E、因此，limt→∞Ex[Xt]=x。在这个例子中，0作为G的特征值，具有代数重数2。示例A.5。假设d=1，Gf（x）=-x f′（x）+xf′（x）。Thenlimt公司→∞Ex[Xt]=0；限制→∞Ex[Xt]=x。在本例中，0的重数1是G的特征值（generatorG的矩阵限制为Pol（E））然而，0具有代数重数2作为G的特征值（生成器G的矩阵限制为Pol（E））。运算符G是过程Xt=Xe的整数生成器-2吨+√2Bt，其中B是布朗运动。在这种情况下，当Xt=Xe时，Xt是一个期望收敛到零的超鞅-4t+2√2Btis amartingale从X开始。以下命题给出了极限力矩uj（X）为正Borel测度的力矩的充分条件。提案A.6。Le t Gn+1是相对于Poln+1（E）的扩展基β=（h，…，hNn，…，hR）限制在Poln+1（E）空间的生成器矩阵。假设（H1）适用于Gn+1。那么对于所有x∈ E对于所有j=1，…，存在正的Borel测度πxsuch，即zehj（y）πx（dy）=uj（x）（a.5），Nn。证据让x∈ E和j=1，Nnbe固定。

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2022-6-1 04:18:54

理论上我们有。第1个at Ex[f（Xt）]收敛为t→ ∞ 对于任意多项式f∈ Poln+1（E）。定义Yt=hj（Xt）。De La Vall'eePoussin的theorem暗示（Yt）t≥如果0可积，则0为un。此外，我们得到E上的Borel概率测度序列由（Px）给出o 十、-1吨）吨≥0太紧了。设πxb为该序列的累积Borel概率测度。我们得出结论（A.5）成立。实际上，在不丧失一般性的情况下，假设Pxo 十、-1t收敛到πx的不分布。由Fatou的lemmaZE | hj（y）|π（dy）=Z∞π（| hj（y）|>z）dz≤ lim信息→∞Z∞Px（| Yt |>z）dz=直线输入→∞E[| Yt |]<∞.因此，给定j=1。Nnand>0，存在常数C，T>0，使得Ex[| Yt | 1 | Yt |>C]<所有T≥ 0，R | hj（y）|>C | hj（y）|π（dy）<且对于t≥ TEx[年初至今|≤C]-Z | hj（y）|≤Chj（y）π（dy）< .因此，对于t≥ TEx[年初至今]-ZEHj（y）πx（dy）≤Ex[年初至今|≤C]-Z | hj（y）|≤Chj（y）π（dy）+ Ex[| Yt | 1 | Yt |>C]+ZE | hj（y）| 1 | ht（y）|>Cπ（dy）≤ 3.由于>0是任意的，我们得到（A.5）；另见比林斯利（1995）中的定理3.5。备注A.7。在命题A.6的证明中，为了应用德拉瓦利-普桑定理和推导一致可积性，简单地使用了n+1阶渐近矩的存在性。在某些情况下，上述命题的测度πxo不一定是不变测度。下面的示例说明了这一点。示例A.8。假设X是指数布朗运动。特别地，对于所有的t，X是阿马丁格尔，Ex[Xt]=X≥ 因此，u（x）=x，其中u是渐近平均值。在这种情况下，πx=δx，这不是x>0的不变度量。B引理2.5的证明。根据（2.5），我们得到了向量方程Hn（Xt）=Hn（x）+ZtGnHn（Xs）ds+Mt，t≥ 0，（B.1）对于某些具有nn分量的局部鞅M。我们认为期望E[kHn（Xt）k]在t中是局部有界的。

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kedemingshi

2022-6-1 04:18:57

这源于不等式1+kXtk2k≤1+kxk2keCt，t≥ 0，这适用于某些常数C>0，该常数依赖于G而不是t或x。该不等式是使用Cuchiero等人（2012）定理2.10证明中的参数得到验证的。此外，结合LemmaB。这也意味着M是真鞅。将（B.1）两边的期望值取下来，从而得到积分方程[Hn（Xt）]=Hn（x）+ZtGnE[Hn（Xs）]ds，t≥ 0，其解为E[Hn（Xt）]=etGnHn（x）。这将产生（2.6）。引理B.1。让p∈ Pol（E）。局部鞅Mt=p（Xt）-RtGp（Xs）ds允许一个可预测的二次变化过程，由hM给出，M it=Rt（Gp-2pGp）（Xs）ds。证据求Mt的表达式并重新排列yieldsp（Xt）-Mt=2p（Xt）ZtGp（Xs）ds-ZtGp（Xs）ds= 2.Mt+ZtGp（Xs）dsZtGp（Xs）ds-ZtGp（Xs）ds= 2MtZtGp（Xs）ds+ZtGp（Xs）ds= 2ZtMsGp（Xs）ds+ZtGp（Xs）ds+ （局部鞅）=2Ztp（Xs）-ZsGp（徐）杜Gp（Xs）ds+ZtGp（Xs）ds+ （局部鞅）=2Ztp（Xs）Gp（Xs）ds+（局部鞅），其中最后一个等式来自等式（Rtg（s）ds）=2Rtg（s）Rsg（u）du ds，其中g（t）=Gp（Xt）。因此，由于pis也是一个多项式，因此在G的域中，weobtainMt-Zt公司Gp（Xs）- 2p（Xs）总成（Xs）ds=（局部鞅）。这意味着引理的断言。定理2.7的证明。显然，如果（2.7）成立，那么Y是X onT的n-Markov容积规则。相反，假设Y是T上X的一个n-Markov立方规则。通过一个引理，它足以显示l=2的（2.7）。为此，fix p，q∈ Poln（E）带PQ∈ Poln（E）和let s，t∈ 不能使0≤ s≤ t、定义函数ep（x）=Ex[p（Xt-s）】。由于X是一个多项式过程，根据引理2.5，函数ep是一个多项式，而epq∈Poln（E）。另一方面，根据马尔可夫容积规则的定义和T的差异下的稳定性，我们得到了Ex[ep（Xs）q（Xs）]=Ex[ep（Ys）q（Ys）]，ep（x）=Ex[p（Yt-s） ]对于所有x∈ Ey。

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2022-6-1 04:19:00

因此，由于X和Y是马尔可夫过程，我们得出结论，Ex[p（Xt）q（Xs）]=Ex[q（Xs）EXs[p（Xt-s） ]]=Ex[ep（Xs）q（Xs）]=Ex[ep（Ys）q（Ys）]=Ex[q（Ys）EYs[p（Yt-s） ]]=所有x的Ex[p（Yt）q（Ys）]∈ EY。引理3.3的证明。用v表示∈ RNN常数多项式1相对于基h（x）的坐标，hNn（x）。我们有th atHv=1M，RM中1的向量。此外，通过（3.2），HGv=（G1（xi））Mi=1=0。HenceL1M=LHv=HGv=0。定理3.2的证明。（一）=> （ii）设L为n-马尔可夫立方式Y的转移率矩阵。方程（3.3）和（2.2）适用于所有i=1，M，j=1，N和t≥ 0（exp（tG））ij=（exp（tL）H）ij。因此，对于所有t，H exp（tG）=exp（tL）H≥ 0、关于t的差异和t=0时的评估，我们得到（ii）。（二）<=> （iii）这直接来自引理3.3。（二）=> （iv）乘以（3.2）第i行HG=GHn（xi）对于所有i=1，M、另一方面，LH的第i行可以写成xj6=iLij（H）形式的组合n（xj）- Hn（xi）），（B.2），其中系数lij为非负。由于HG=LH，我们得出结论（iv）。（四）=> （i）条件（iv）意味着系数Lij的存在≥ 0表示i 6=j，因此（B.2）等于所有i的第i行HG。因此，我们可以确定一个过渡速率矩阵，使得HG=LH。这意味着，通过归纳论证，对于所有l，hgl=LlH∈ N、这又意味着H exp（tG）=exp（tL）H.（B.3），因为（exp（tL））t≥0定义一个转移半群，我们可以用状态空间EYbyPYxi（Yt=xj）=（exp（tL））ij定义一个马尔可夫过程。方程（3.3）和（B.3）意味着所有x的Ex[hj（Xt）]=Ex[hj（Yt）]∈ E和j=1，Nn，即Y定义了一个连续时间n-马尔可夫容积规则。现在假设M=nn，矩阵H是inver tib le。对于所有j=1，NN定义为多项式，其相对于基（h，…，hNn）的坐标为h的第j列-我们有β=（呃。

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2022-6-1 04:19:03

. . ,ehNn） Poln（E）是满足度hj（xi）=δij的基础。给定马尔可夫容积规则Y，Y是关于Poln（E）的任何基的容积规则。尤其是关于碱性β。观察在这种情况下，eh=（ehj（xi））ij=IdNn，单位矩阵。因此，（i）和（v）之间的等效性源自（i）和（iii）之间的等效性。引理5.3的证明。等式（3.3）、（5.1）和（5.2）表示→∞HetG=WH、其中W∈ RM×Mis所有列都等于w的矩阵。由于H的秩为nn，因此setB={fW H:fW∈ RM×Mhas正项}是RM×Nn中的一个开集。然后，对于足够大的t和定义P（t）=etG，我们有hp（t）=Q（t）H∈ B、（B.4）表明Q（t）的行加起来等于1的参数类似于引理3.3。假设v∈ R是常数多项式1相对于基h的坐标，hNn。我们有1M=Hv，其中1M∈ RMis是1的向量。因为1是G的一个奇异值，对应的特征值为0，所以v是P（t）的特征向量，特征值为1。因此，HP（t）v=1M。这一观察结果与（B.4）一起表明，Q（t）1M=Q（t）Hv=m，并且Q（t）的行加起来等于1，即Q（t）是一个概率矩阵。定理5.2的证明。引理5.3保证如果足够大，则存在概率矩阵Q∈ RM×M如此G=QH，（B.5），H在（3.1）中定义。设Y是转移概率矩阵Q asin（B.5）和状态空间EY={x，…，xM}的时间齐次马尔可夫过程。根据（3.3），Y是X上的n-Markov容积{}. Remark2.8意味着Y也是{l上X的n-Markov立方 : l∈ N} 。参考D。Ackerer和D.Filipovi\'c.线性信用风险模型。瑞士金融研究所研究论文第16-34号。，2016年。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2782455.D.Ackerer、D.Filipovi\'c和S.Pulido。雅可比随机波动率模型。《金融与随机》，22（3）：667–7002018。我

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