马尔可夫体制转换下的最优混合红利策略

2022-5-6 09:39:32

马尔可夫政权转换下的最优混合股利策略*, 张欣+摘要在本文中，我们考虑公司的最优股利问题。我们通过一个带有制度转换的扩散模型来描述公司的厄尔加过程。该公司的目标是选择一种股息政策，以最大限度地提高预期总折扣付款，直至到期。在本文中，我们考虑了一种混合股利策略，即允许公司执行连续股利策略和脉冲股利策略。此外，我们考虑了以马尔可夫政权转换为特征的经济变化，在两个政权的设置下，我们解决了这个问题，得到了价值函数的解析解。关键词：股利策略；脉冲控制；瘙痒；拟变分不等式*南开大学数学科学与LPMC学院+南开大学数学科学与LPMC学院，天津300071；东南大学数学系，南京，210096；电子邮件：nku。十、zhang@gmail.com1引言在过去的几十年里，最优股利问题一直是一个热点问题，这一领域的大量论文已经发表。对股利问题的研究具有现实意义：对于一家股份公司来说，它有责任向股东支付股利，因此选择股利策略对该公司至关重要。对股息问题的研究源于德费内蒂[6]的工作。他是第一个建议公司应该最大限度地提高预期损失股息支付的人。在该领域的早期研究中，s cholars关注两种分割策略。第一种是持续障碍策略。在这个模型中，我们有一个势垒b，将区域分成两部分。

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2022-5-6 09:39:35

在这种政策下，盈余在t>0的任何时候都不能越过b屏障，当它到达b屏障时，它要么停留在b屏障，要么降低到b屏障以下。许多学者研究了复合泊松风险模型的屏障策略，Gerberand Shiu[7]已经证明，当初始值低于屏障时，对于复合泊松风险模型，屏障策略是最优的。关于这个主题的更多结果，我们可以参考更多的参考文献。Albrecher*等人[2]研究了一个模型，该模型允许在线性障碍策略下进行股息支付。本文推导了Gerber和Shiu的贴现率函数的偏积分微分方程，以及目前分期付款贴现额的ge ne评级函数。Albrecher和Kainhofer[1]研究了非线性红利约束存在时的剩余过程。Li和Garrido[9]用一个恒定的股息壁垒来处理新的风险。第二种是战略，具体来说，如果盈余超过一个上限，可以按一定的比率支付股息。在Gerbe r和Shiu[7]的文章中，作者证明了当股息率是固定的且索赔分布是指数分布时，阈值策略是最优的。经典复合泊松模型下的阈值红利策略可以在Lin和Pavlova[10]中找到。近年来，为了解决最优股利问题，人们引入了随机控制理论。以HJB方程、QVI和单变量控制为工具，从不同角度处理股利问题。inter e st有两种分红策略——持续分红策略和冲动分红策略。Asmussen和Taksar[3]考虑了扩散模型的最佳连续分割。

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2022-5-6 09:39:40

在Azcue和Muler[4]的论文中，对于复合泊松模型，作者不仅研究了最优连续分拆策略，还考虑了再保险策略。在Cadenilaset al[5]的论文中，可以找到针对分散模式的脉冲红利和再保险策略。Wei等人[14]研究了复合泊松模型的情况。在本文中，我们考虑一种混合策略，即将连续红利策略与脉冲红利策略相结合。实际上，这种模式是有道理的，这意味着这家公司不仅可以持续支付股息，还可以不时支付大宗股息。此外，我们还支持连续股息率是有界的，而在Sotomayor和Cade nillas[13]中，作者考虑了有界和无界的情况。另一方面，列维过程，尤其是谱负列维过程，是刻画股利过程的有力工具，已有许多文献对此进行了研究。在Loe ff en等人[12]中，在经典的最优股息控制问题下，作者研究了风险过程由一个广义负利维过程建模的情况。Loe ff en[11]考虑了一个具有交易成本的最优股息问题，并且他们假设准备金也由一个广义负利维过程描述。在过去的几年里，有大量的文献考虑了区域切换问题。一般来说，制度转换被用来描述经济状况的变化。一些学者还研究了最优股利问题中的制度转换。（见Sotomayor和Ca de nillas[13]，Wei等人[14]，Wei等人。

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2022-5-6 09:39:43

[1 5]).在本文中，我们阐述了最大化公司预期效用的问题。由于考虑了复合红利策略（连续红利策略和脉冲红利策略），效用由两部分组成，分别对应于这两种策略。另一方面，我们采用马尔可夫区域转换差异模型来描述公司的盈余，这将反映经济圈对公司盈余的影响。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们介绍了模型和一些假设。进一步，我们给出了关于值函数的两个性质。在第3节中，我们引入了拟变分不等式（QVI），并给出了验证定理。第4节包含我们的主要结果。在本节中，我们计算出值函数的候选函数，然后验证该函数满足验证定理中的条件。在第五部分中，我们给出了结论。2.准备工作在本文中，我们假设不确定性由概率空间建模(Ohm, F、 P）。首先，我们假设（t）T≥0是一个同质有限状态连续时间马尔可夫链，并且对于每个t≥ 0:（t）∈ J、 J在哪里=1, 2, ..., N和N≥ 2.我们还假设马氏cha in有一个强不可约生成元Q=[λij]N×N，其中-λi:=λii<0和pj∈每个i的Jλij=0∈ J.在这里，马尔科夫链代表了经济形势的变化，它可以用来描述好的经济和坏的经济，也可以用来描述商业圈：复苏、繁荣、衰退和萧条，或任何其他经济体制。其次，我们考虑一家采用Surplus流程的公司Xtt> 剩余过程的不确定性由布朗运动W和上面定义的马尔可夫链来表征。

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2022-5-6 09:39:47

我们还假设和W是独立的，我们用F表示=英尺T≥0过滤{F（W，）t}t的P-增强≥0由布朗运动和马尔可夫链生成，其中F（w，）t=σWs，s:0≤ s≤ T, T≥ 0.我们假设公司将实施股息策略，我们对公司的盈余进行建模=Xt，t≥ 0通过随机微分方程（SDE）：dXt=u（t）dt+σ（t）dWt- dZt-∞Xn=1I{τn<t}ξn（2.1），初始值X=X≥ 0和初始状态（0）=i，其中自适应过程Z=Zt，t≥ 0以及随机变量序列的s umξnN∈n呈现截至t时公司支付的累计股息。备注：与一些经典的股息策略相比，我们的模型考虑了所谓的混合股息策略，具体来说，我们假设公司可以执行两种股息策略：连续股息策略和脉冲股息策略。就现实意义而言，战略提供了更多的分红方式。在方法论上，这种策略比单一策略更复杂。在本文中，我们假设ZtT≥0是绝对连续的，设dZt=utdt。此外，我们将股息率utis设为有界，并将L设为其界。此外，我们还定义了破产停止时间Θ：=infT≥ 0:Xt<0对t施加Xt=0∈ [Θ, ∞).定义2。1.三π：=uπ，Γπ，ξπ=uπ（t）；τπτπ, ...; ξπ, ξπ, ...当且仅当（i）uπ（t）：[0，∞) 7.→ [0，L]是一个F-适应有界过程，（ii）τπi，i=1，2。。。是关于F和0的停止时间≤ τπ<τπ<·τπn<·a.s.（iii）随机变量ξπi，i=1，2。。。

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2022-5-6 09:39:51

iMef和τ是可数的≤ ξπi≤ Xτπi，（iv）对于所有T≥ 0，P画→∞τπn≤ T= 0.所有容许控制的s et用∏表示。假设股东的效用函数为g（x），属于以下类别：=g（x）：十、≥ 0，g（0）<0，g′（x）>0和g′′（x）<0.设π=infT≥ 0:Xπt<0是政策π下的单位时间。我们的目标是选择一种混合股息政策，以最大化预期的总贴现股息支付，然后给定初始盈余x和初始状态i，每个允许π=uπ，Γπ，ξπ, 我们有成本函数vπ（x，i）=Ex，iZΘπe-δtuπtdt+∞Xn=1e-Δτπng（ξπn）I{τπn<Θπ}.请注意，我们的模型不仅考虑了连续红利，还考虑了脉冲红利，上面的成本函数应该包含两个相应的实用程序。然后我们可以定义值函数v（x，i）=supπ∈πVπ（x，i）。（2.2）最优控制^π=u^π，Γ710π，ξ^π这是一个策略，在这个策略下，我们有以下等式：V（x，i）=V^π（x，i）。（2.3）为了满足论文列表的需要，我们定义了*:= 马克西∈Jui和u*:= 迷你∈Jui,并做出技术假设（H）：（H）L<u*,也就是说，在每个区域，股息率的界限都小于盈余的漂移。现在我们导出了值函数的一些性质。引理2。2.给定g∈ G是一个效用函数，那么对于每个i∈ J、值函数满足：V（x，i）≤ g′（0+）x+u*δ+Lδ，其中u*= 马克西∈Jui.证据对于每个π∈ πVπ（x，i）=Ex，iZΘπe-δtuπtdt+∞Xn=1e-Δτπng（ξπn）I{τπn<Θπ}.首先，我们有Ex，我ZΘπe-δtuπtdt≤ 前，我ZΘπe-δtLds=我是1.- E-δΘπ≤Lδ。下一个是g（x）≤ g′（0+x），对于每个π∈ π，设dt为累积红利过程，设dDt=0表示t≥ Θπ. 所以我们得到了，我{∞Xn=1e-Δτπng（ξπn）I{τπn<Θπ}≤ g′（0+）Ex，i∞Xn=1e-ΔτπnξπnI{τπn<Θπ}= g′（0+）Ex，iZ∞E-δSDD= g′（0+）Ex，iZ∞δe-δsDsds≤ g′（0+）Ex，iZ∞δe-δs（x+u）*s） ds= g′（0+）x+u*δ,在哪里*= 马克西∈Jui.

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2022-5-6 09:39:56

然后我们有v（x，i）≤ g′（0+）x+u*δ+Lδ。引理2.3。给定g∈ G是一个效用函数，那么对于每个i∈ J和0≤ x<x，t值函数满足：V（x，i）- V（x，i）≥ G十、- 十、.证据这个证明与Wei等人[14]中的类似，我们省略了它。3拟变分不等式受Cadenilas等人[5]工作的启发，我们引入了拟变分不等式（QVI）。对于每个连续函数φ：（0，∞) → R和给定状态i∈ J、我们定义了最大算子M byMφ（x，i）：=supφ（x）- u、 i）+g（u）：u∈ R、 0<u<x. （3.1）MV（x，i）代表由选择最佳即时干预措施组成的政策的价值。显然我们有v（x，i）≥ MV（x，i）和ifV（x，i）>MV（x，i），这意味着x是选择支付整体股息的非最佳位置，而ifV（x，i）=MV（x，i），这意味着x是支付整体股息的最佳位置。现在让我们介绍一下操作员L∈ J、定义：Li（u）φ（x，i）=σ（i）φ′（x，i）+u（i）- Uφ′（x，i）- Δφ（x，i）+NXj=1λi，jφ（x，j）。定义3.1。函数ν：[0，∞) 7.→ [0, ∞) 满足控制问题的拟变分不等式∈ [0, ∞), 我∈ J和u∈ [0，L]Li（u）ν（x，i）+u≤ 0，（3.2）ν（x，i）≥ Mν（x，i），（3.3）ν（x，i）- Mν（x，i）马苏∈[0，L]Li（u）ν（x，i）+u= 0.（3.4）很容易观察到QVI的溶液将间隔（0，∞) 分为两个分离的区域：（i）连续区域：=十、∈ (0, ∞) : ν（x）>Mν（x）和maxu∈[0，L]Li（u）ν（x，i）+u= 0.（ii）干预区域∑：=十、∈ (0 , ∞) : ν（x）=Mν（x）和maxu∈[0，L]Li（u）ν（x，i）+u≤ 0.显然，延拓区域是一个开集，干涉区域是一个闭集。考虑到QVI的解决方案，我们定义了与此解决方案相关的以下策略。定义3。2.

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2022-5-6 09:40:00

控制πν=uν，Γν，ξν=uν（t）；τντν, ...; ξν, ξν, ...被称为QVIcontrol，与每个i的νif相关∈ J（2.1）satis-esP给出的相关状态过程Xνuν（t）6=arg马苏∈[0，L]Li（u）ν（Xνt，i）+u, Xνt∈ C= 0（3.5）τν：=infT≥ 0:ν（Xνt，i）=Mν（Xνt，i）, （3.6）ξν：=arg supη>0，η≤Xντνν（Xν（τν）- η、 i）+g（η）, （3.7）和每n≥ 2，τνn:=infT≥ τn-1:ν（Xνt，i）=Mν（Xνt，i）, （3.8）ξνn:=arg supη>0，η≤Xντνnν（Xν（τνn）- η、 i）+g（η）, （3.9）τν：=0和ξν：=0。定理3.3。设ν（·，i）∈ C[0, ∞)), 我∈ J、和ν（·，i）∈ C[0, ∞)/镍, 我∈ J、其中，NI是（0，∞), 满足QVI（3.2）-（3.4），其中ν（0，i）=0，i∈ J.假设存在恒定的Ui，0<Ui<∞, 我∈ J使得ν（x，i）在[Ui]上是线性的，∞), 然后每x∈ (0, ∞)每一次我∈ JV（x，i）≤ ν（x，i）。此外，如果QVI控制πν=uν，Γν，ξν与ν相关联的QVI控制是最优策略，即V（x，i）=V（x，i）=Vπν（x，i）=Vπν（x，i）。证据让π=uπ，Γπ，ξπ是一个容许控制，且τπ：=0，ξπ：=0，则对于每t∈ [0, ∞)E-δ（t）∧Θπ∧τπn）ν（X（t）∧Θπ∧τπn），（t）∧Θπ∧τπn）- ν（x，i）=nXi=1E-δ（t）∧Θπ∧τπi）ν（X（t）∧Θπ∧τπi-), （t）∧Θπ∧τπi）- E-δ（t）∧Θπ∧τπi-1） ν（X（t）∧Θπ∧τπi-1），（t）∧Θπ∧τπi-1))+nXi=1I{τπi≤T∧Θπ}e-Δτπiν（Xτπi，τπi）- ν（Xτπi-, τπi）.自ν（·，i）∈ C[0, ∞)) 在（0，∞) 通过伊藤公式（见Karatzas[8]）e，对有限点集N进行了可能的例外-δ（t）∧Θπ∧τπn）ν（X（t）∧Θπ∧τπn），（t）∧Θπ∧τπn）- ν（x，i）=nXi=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δsLs（u）ν（Xs，s）ds+Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δsνx（Xs，s）σ（s）dWs+NXj=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δs[ν（Xs，j）- ν（Xs，s）]d\'Njs+nXi=1I{τπi≤T∧Θπ}e-Δτπiν（Xτπi，τπi）- ν（Xτπi）-, τπi）,其中，Nsis补偿泊松过程。

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2022-5-6 09:40:04

凭借QVI，我们拥有-δ（t）∧Θπ∧τπn）ν（X（t）∧Θπ∧τπn），（t）∧Θπ∧τπn）- ν（x，i）≤nXi=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δsνx（Xs，s）σ（s）dWs-Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δsusds+NXj=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δs[ν（Xs，j）- ν（Xs，s）]d\'Njs-nXi=1I{τπi≤T∧Θπ}e-Δτπig（ξπi）。这个不等式变成了与ν相关的QVI控制的等式。带着期待，我E-δ（t）∧Θπ∧τπn）ν（X（t）∧Θπ∧τπn），（t）∧Θπ∧τπn）- ν（x，i）≤ 前，我nXi=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δsνx（Xs，s）σ（s）dWs-Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δsusds+NXj=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δs[ν（Xs，j）- ν（Xs，s）]d\'Njs-nXi=1I{τπi≤T∧Θπ}e-Δτπig（ξπi）.自ν（x，i）∈ C[0，用户界面）, ν（x，i）在区间[0，Ui]上有界。另一方面，ν（x，i）在区间[Ui]上是线性的，∞), 然后结合条件P画→∞τn≤ T= 0和支配收敛定理→∞前，我E-δ（t）∧Θπ∧τπn）ν（X（t）∧Θπ∧τπn），（t）∧Θπ∧τπn）- ν（x，i）= 前，我E-δ（t）∧θπ）ν（Xt）∧θπ，t∧θπ)- ν（x，i），andEx，iNXj=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δs[ν（Xs，j）- ν（Xs，s）]d\'Njs= 0.自ν（x，i）∈ C[0，用户界面）在[Ui]上是线性的，∞), 我们知道νx（x，i）在[0，Ui]上有界，而νx（x，i）在区间[Ui]上是常数，∞) , 然后我们就可以交朋友了，我nXi=1Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δsνx（Xs，s）σ（s）dWs= 因此我们有了Ex，我E-δ（t）∧Θπ）ν（X（t）∧Θπ），（t）∧Θπ))- ν（x，i）≤ 前，我∞Xi=1- I{τπI≤T∧Θπ}e-Δτπig（ξπi）-Z[t∧Θπ∧τπi-1，t∧Θπ∧τπi）e-δSUSD.现在我们让t-→ ∞前，我E-ΔΘπν（XΘπ，π）- ν（x，i）≤ 前，我∞Xi=1[-I{τπI≤Θπ}e-Δτπig（ξπi）-Z[Θπ∧τπi-1,Θπ∧τπi）e-δsusds]= -前，我∞Xi=1I{τπI≤Θπ}e-Δτπig（ξπi）+ZΘπe-δSUSD,因此ν（x，i）≥ 前，我∞Xi=1I{τπi≤Θπ}e-Δτπig（ξπi）+ZΘπe-δSUSD,式中，ν（XΘπ，π）=ν（0，π）=0。因此我们得到了ν（x，i）≥ supπ∈是的，我∞Xi=1I{τπi≤Θπ}e-Δτπig（ξπi）+ZΘπe-δSUSD= V（x，i）。不等式变成了QVI控制的等式，与ν4有关。QVI的解和最优策略在本节中，我们开始求解QVI（3.2）-（3.4），然后验证解满足定理3.3。

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2022-5-6 09:40:09

我们让g（x）=x- K、 K代表固定成本。请注意，与Cadenilaset al.[5]和Wei et al.[14]不同的是，他们考虑了固定成本K和比例成本K，即g（x）=kx- K.在本文中，我们只考虑固定成本，事实上，我们将在下文中看到，考虑比例成本只不过是更繁琐的分类和计算。我们的基本方法和验证可以通过更简单的模型充分说明。现在我们想要找到一个函数ν（x，i），i∈ J作为值函数的候选者，并验证候选者满足定理3.3的条件。对于此类函数ν（x，i），definebi:=inf十、≥ 0:ν（x，i）=Mν（x，i），i∈ J. （4.1）我们猜想ν（x，i），i∈ J满足QVI为连续可微函数，且在区间[0，Bi]函数ν′（x，i），i∈ J是凸的。在加法中，我们假设ν（0，i）=0，i∈ J.注：我们稍后将证明这些猜想是满足的。显然，关于ν′（x，i），i的凸性假设∈ J意味着方程ν′（x，i）=1，i∈ J、（4.2）在[0，Bi]上有两个最根。实际上，下面的命题告诉我们，E.q.（4.2）在区间[0，Bi]中只存在一个根∈ J由（4.1）定义。ν（x，i），i∈ J是连续不同的iablefunction和ν′（x，i），i∈ J在[0，Bi]上是凸的，则只存在一个根Bi∈ [0，Bi），我∈ 方程ν′（x，i）=1，i∈ J.此外，如果QVI的解决方案是唯一的，那么对于x≥ Bi:ν（x，i）=ν（Bi，i）+x- bi+K证明。这个定理的证明类似于Cadenilas等人[5]中的定理3.2，所以我们这里不再重复。从上面的分析中我们知道，在定理4.1的假设下，连续区域由Ci=[0，Bi]给出，当盈余超过Bi水平时，将支付股息，使盈余跳到Bi∈ [0，Bi）。

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2022-5-6 09:40:12

具体来说，当x∈ Ci=[0，Bi）我们有maxu∈[0，L]Li（u）ν（x，i）+u= 0，（4.3）即σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+maxu∈[0，L]U1.- ν′（x，i）= -NXj=1λi，jν（x，j）。（4.4）因此，如果v′（Xt，t）≤ 1，σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+L1.- ν′（x，i）= -如果v′（Xt，t），则NXj=1λi，jν（x，j），（4.5）≥ 1，σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）=-NXj=1λi，jν（x，j）。（4.6）当x∈ ∑i=[Bi，∞), 我们有ν（x，i）=ν（bi，i）+x- bi+K.（4.7）注：在这种情况下，ν′（x，i）=1。通过简单的分析，我们可以看出，在上述假设下，ν′（0，i）≥ 0，我∈ 开玩笑。实际上我们有ν′（Bi，i）=1，i∈ J和一些bi∈ [0，Bi），ν′（Bi，i）=1，i∈ J、然后结合ν（x，i）的凸性，i∈ J、我们知道ν′（0，i）<1是不可能的。因此，必须考虑两种情况：情况1:ν′（0，i）>1，i∈ J.在这种情况下，区间[0，∞) 可分为三部分：[0，bi]，[bi，bi]，[bi，∞).（1）当x∈ [0，bi），ν′（x，i）>1.E.q.（4.6）给出了以下微分方程：σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）=-NXj=1λi，jν（x，j）。（4.8）（2）当x∈ [bi，bi），ν′（x，i）≤ 1.E.q.（4.5）给出了以下微分方程：σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+L1.- ν′（x，i）= -NXj=1λi，jν（x，j）。（4.9）（3）当x∈ [Bi，∞)ν（x，i）=ν（bi，i）+x- bi+K.（4.10）情况2：ν′（0，i）=1，i∈ J.在这种情况下，区间[0，∞) 可分为两部分：[0，Bi]，[Bi，∞).（1）当x∈ [x，Bi′）≤ 1 E.q.（4.5）给出了以下微分方程：σ（i）ν′（x，i）+u（i）ν′（x，i）- Δν（x，i）+L1.- ν′（x，i）= -NXj=1λi，jν（x，j）。（4.11）（2）当x∈ [Bi，∞)ν（x，i）=ν（bi，i）+x- bi+K=x- K、（4.12）因为ν（bi，i）=ν（0，i）=0。为简单起见，我们在本节剩余部分假设经济在两种制度之间发生变化，即J={1，2}。

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2022-5-6 09:40:16

结合以上分析，我们有三种可能的情况：两种情况下的ν′（0，i）>1∈ Jν′（0，i）=1和ν′（0，3）- i） =1代表s ome i∈ {1, 2};对于这两个i，ν′（0，i）=1∈ J.在下面，我们需要一个引理，引自[13]。引理4。2.对我来说∈ J、考虑实函数φi（z）=-σiz- μiz+（λi+δ），其中μiis是μi的函数。由于σ、σ、λ和λ是正的，方程φ（z）φ（z）=λλ有四个实根，使得z<z<0<z<z。根据我们关于ν′（x，i）的猜想∈ {1，2}，存在两个阈值bi<bi，i∈ {1，2}使得ν′（bi，i）=ν′（bi，i）=1，i∈ {1 , 2}. 我们应该注意到Bian和Bi的关系∈ {1，2}，取决于模型中参数之间的关系。在这里，我们只考虑两种情况：b≤ b<b≤ b<b<b<b<b，也就是说，我们讨论了参数满足一定关系的优化问题≤ b<b≤ b<b<b<b。对于b≤ b<b≤ B、 B<B<B<B，B≤ b<b≤ b波段≤ b<b≤ B、他们可以用类似的方法治疗。4.1 b.的情况≤ b<b≤ 在这一小节中，我们假设b≤ b<b≤ B.考虑到ν′（0，i）之间的关系∈ {1,2}和1，我们有三种情况，对于i=1,2，ν′（0，i）>1；ν′（0，i）=1和ν′（0，3）-i） >1对于一些i∈ {1, 2}; 对于这两个i=1，2，和ν′（0，i）=1。案例1：ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1。根据以上讨论，我们需要考虑五种可能性：x∈ [0，b）；x∈ [b，b]；x∈ [b，b]；x∈ [B，B）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，b），我们有ν′（x，1）>1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.6）给出了以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）=λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1），（4.13），其中λ=-λ, λ= -λ. 考虑（4.13）的特征方程，φ（˙α）φ（˙α）=λλ，其中φi（˙α）=-σi˙α- ui˙α+（λi+δ），i∈ {1, 2}.

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2022-5-6 09:40:21

引理4.2证明了φ（˙α）φ（˙α）=λλ有四个实根：˙α<˙α<0<˙α<˙α。然后方程（4.13）的解是ν（x，1）=˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx，ν（x，2）=˙Be˙αx+˙Be˙αx+˙Be˙αx，（4.14）其中对于每个j=1，2，3，4，˙Bj=φx+˙。（4.15）当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.6），（4.5）给出了下列微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.16）考虑（4.16）的特征方程，φ（eα）φ（eα）=λλ，其中φ（eα）=-σeα-(u-五十） eα+（λ+δ），φ（eα）=-σeα- ueα+（λ+δ）。引理4.2证明了φ（α）φ（α）=λλ有四个实根：eα<eα<0<eα<eα。然后方程（4.16）的解是ν（x，1）=eAeeα（x-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +F，ν（x，2）=eBeeα（x-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +F，（4.17），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，eBj=φ（eαj）λeAj=λφ（eαj）eAj。（4.18）当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）<1和ν′（x，2）≤ 1.E.q.（4.5）给出了以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.19）考虑（4.19）的特征方程，φ（^α）φ（^α）=λλ，当eφi（^α）=-σi^α-（i）- 五十） α+（λi+δ），i=1,2。引理4.2证明了φ（α）φ（α）=λλ有四个实数：α<α<0<α<α。然后方程（4.19）的解是ν（x，1）=^Ae^α（x-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +Lδ，ν（x，2）=^Be^α（x-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +Lδ，（4.20）对于j=1,2,3,4，^Bj=φ（^αj）λ^Aj=λφ（^αj）^Aj。（4.21）当x∈ [B，B），我们有ν′（x，1）=1和ν′（x，2）<1。

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2022-5-6 09:40:25

E.q.（4.5）、（4.7）给出以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1），（4.22），其中ν（b，1）可通过E.q.（4.17）计算。考虑上面第二个方程的特征方程，φ（α）=σα+（u- 五十） α- (λ+ δ) = 0. 它有两个实根：α<α，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=Beα（x）-B） +Beα（x-B） +U（x），其中U（x）=λλ+δx+λ+δ(u- 五十） λ+δ+L+λν（b，1）- B- K. 然后，E.q.（4.22）解决方案：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=Beα（x）-B） +Beα（x-B） +U（x）。（4.23）当x∈ [B]，∞). 根据等式（4.7），我们得到ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、（4.24）式中，可分别通过E.q.（4.17）和E.q.（4.20）计算出ν（b，1）和ν（b，2）。为了找到阈值b、b、b、b和系数A、A、A、A、A、eA、eA、eA、eA、eA、A、A、A、A、A、A、A、A、b、b、b、b。我们支持平滑的条件保持，并结合ν′（bi，i）=1或i=1、2，我们有以下方程：ν（0，1）=0，2）=0，ν（b+，1-, 1），ν（b+，2）=ν（b）-, 2） ν′（b+，1）=1，ν′（b）-, 1） =1，ν′（b+，2）=ν′（b-, 2），ν（b+，1）=ν（b）-, 1） ν（b+，2）=ν（b）-, 2），ν′（b+，1）=ν′（b-, 1），ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1ν（B+，1）=ν（B）-, 1），ν（B+，2）=ν（B）-, 2），ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2），ν′（B）-, 1） =1ν（B+，2）=ν（B）-, 2），ν′（B）-, 2) = 1. （4.25）同时，系数˙B、˙B、˙B、˙B、eB、eB、eB、^B、^B、^B、^B可以通过方程（4.15）、（4.18）、（4.21）得到。请注意，我们假设ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1。当且仅当通过E.q.（4.14）系统发现的系数满足以下条件时，才满足该条件：˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>1，˙A˙（˙α）α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>λ。（4.26）案例2：对于某些i∈ {1，2}ν′（0，i）=1，ν′（0，3）- i） >1。在不丧失一般性的情况下，我们假设i=1，我们得到了ν′（0，1）=1，ν′（0，2）>1。I=2的情况也有类似的处理。

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2022-5-6 09:40:30

在这个假设下，我们有b=0，我们需要考虑四种可能性：x∈ [0，b）；x∈ [b，b]；x∈ [B，B）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，b），ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，我们有以下微分方程系统：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.27）考虑（4.27）的特征方程，φ（θ）φ（θ）=λλ，其中φ和φ已在情况1中定义，通过类似的方式，我们知道E.q.（4.27）的解为ν（x，1）=Ceθx+Ceθx+Ceθx+Ceθx+F，ν（x，2）=Deθx+Deθx+Deθx+F，（4.28），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，Dj=φ（θj）λCj=λφ（θj）Cj，（4.29），其中θ<θ<0<θ<θ是特征根。当x∈ [b，b），ν′（x，1）<1和ν′（x，2）≤ 1.我们有以下微分方程系统：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.30）考虑（4.30）的特征方程，φ（eθ）φ（eθ）=λλ，其中φ和φ已在前一节中定义，通过类似的方式，我们知道e.q.（4.30）的解为ν（x，1）=eCeeθ（x-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +Lδ，ν（x，2）=eDeeθ（x-B） θ（θ+e）-B） +eDeeθ（x）-B） +eDeeθ（x）-B） +Lδ，（4.31）对于j=1,2,3,4，eDj=φ（eθj）λeCj=λφ（eθj）eCj。（4.32）当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）≤ 1.我们有以下微分方程系统：ν（x，1）=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.33）考虑上面第二个方程的特征方程，φ（^θ）=σ^θ+（u）- 五十） ^θ-(λ+ δ) = 0.

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2022-5-6 09:40:34

它有两个实根：^θ<^θ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），其中U（x）已在上一节中定义，即isU（x）=λλ+δx+λ+δ(u- 五十） λ+δ+L+λν（b，1）- B- K.当x∈ [B]，∞), 根据等式（4.7），我们得到ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、（4.34）式中，ν（b，2）可通过E.q.计算。(4.31).为了求出阈值b、b、b和系数C、C、C、C、eC、eC、eC、eC、^D、^D。我们假设光滑条件成立，并且对于i=1、2，与ν′（b，i）=1结合，我们有以下等式：ν（0，1）=0，ν（0，2）=0，ν（b+，1）=-, 1），ν（b+，2）=ν（b）-, 2） ν′（b+，1）=ν′（b）-, 1），ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1ν（B+，1）=ν（B）-, 1），ν（B+，2）=ν（B）-, 2），ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2） ν′（B）-, 1） =1，ν（B+，2）=ν（B-, 2），ν′（B）-, 2) = 1. （4.35）同时，系数D，D，D，eD，eD，eD，eD，eD可以从方程（4.29），（4.32）中得到。请注意，我们假设ν′（0，1）=1，且ν′（0，2）>1。

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2022-5-6 09:40:37

如果且仅当通过E.q.（4.28）系统发现的系数满足：Cθ+Cθ+Cθ+Cθ=1，Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ>λ。（4.36）情况3：ν′（0，1）=1，ν′（0，2）=1。需要考虑三个时间间隔：[0，B]，[B，B]，[B，∞).当x∈ [0，B），ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）≤ 1然后我们有以下微分方程系统：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1），（4.37）考虑（4.37）的特征方程，φ（β）φ（β）=λλ，其中φ和φ已在情况1中定义，通过类似的方式，我们知道E.q.（4.37）的解为ν（x，1）=Meβx+Meβx+Meβx+Meβx+Lδ，ν（x，2）=Neβx+Neβx+NeNx+Neβx+Lδ，（4.38），对于j=1,2,3,4，Nj=φ（βj）λMj=λφ（βj）Mj，（4.39），其中β<β<0<β<β是特征根。当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）≤ 1然后我们有以下微分方程组：ν（x，1）=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L1.- ν′（x，2）= λν（x，2）- λν（x，1）。（4.40）考虑上述第二个方程的特征方程，φ（eβ）=σeβ+（u）- 五十） eβ-(λ+ δ) = 0. 它有两个实根：eβ<eβ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=eNeeβ（x-B） +eNeeβ（x）-B） +U（x），其中U（x）已在上一节中定义。当x∈ [B]，∞). 我们有ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=x- K.（4.41）以确定阈值B、B和系数M、M、M、M、eN、eN。我们假设光滑条件成立，因此我们得到以下方程：ν（0，1）=0，ν（0，2）=0，ν（B）-, 1） =ν（B+，1）ν（B+，2）=ν（B-, 2），ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2），ν′（B）-, 1） =1ν（B+，2）=ν（B）-, 2），ν′（B）-, 2) = 1. （4.42）同时，系数N，N，N，nca可从方程（4.39）中获得。请注意，我们假设ν′（0，1）=1和ν′（0，2）=1。

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2022-5-6 09:40:41

如果通过E.q.（4.38）系统发现的系数满足：Mβ+Mβ+Mβ+Mβ=1，Mа（β）β+Mа（β）β+Mа（β）β+Mа（β）β=λ。（4.43）接下来，我们将给出一个定理，证明ν确实是值函数。我们也给出了最优的股利政策。定理4.3。假设b≤ b<b≤ 假设˙Aj，eAj，^Aj，j=1，2，3，4，Aj，j=1，2是系统E.q.（4.25）的解，并假设它们满足条件（4.26）。此外，之前定义了˙Bj、eBj、^Bj、j=1、2、3、4、Bj、j=1、2和U（x）。然后由ν（x，1）给出的函数=˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx+˙Ae˙αx，如果x∈ [0，b），eAeeα（x-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +eAeeα（x）-b） +F，如果x∈ [b，b），^Ae^α（x-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +^Ae^α（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），eAeeα（b）-b） +eAeeα（b）-b） +eAeeα（b）-b） +eAeeα（b）-b） +F+x- B- K、如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=˙Be˙αx+˙Be˙αx+˙Be˙αx+˙Be˙αx，如果x∈ [0，b），eBeeα（x-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +eBeeα（x）-b） +F，如果x∈ [b，b），^Be^α（x-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +^Be^α（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），Beα（x-B） +Beα（x-B） +U（x），如果x∈ [B，B），^Be^α（B）-B） +^Be^α（B）-B） +^Be^α（B）-B） +^Be^α（B）-B） +Lδ+x- B- K、如果x∈ [B]，∞)是价值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与ν相关，此外，^u由^u（t）定义=如果t=i和Xt，则为0∈ [0，bi），如果t=i和Xt∈ [bi，bi]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).考虑˙Aj，eAj，^Aj，j=1,2,3,4，Aj，j=1,2不满足条件（4.26）的情况。相反，假设条件（4.36）满足，并假设Cj、eCj、j=1、2、3、4和^D，^Dbe为系统E.q.（4.35）的解。Dj、eDj、j=1、2、3、4和Fj、j=1、2是之前定义的。

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2022-5-6 09:40:44

然后由ν（x，1）给出的函数=Ceθx+Ceθx+Ceθx+Ceθx+F，如果x∈ [0，b），eCeeθ（x-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +eCeeθ（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），x- K、如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=Deθx+Deθx+Deθx+Deθx+F，如果x∈ [0，b），eDeeθ（x-B） +eDeeθ（x）-B） +eDeeθ（x）-B） +eDeeθ（x）-B） +Lδ，如果x∈ [b，b），^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），如果x∈ [B，B），eDeeθ（B）-B） +eDeeθ（B）-B） +eDeeθ（B）-B） +eDeeθ（B）-B） +Lδ+x- B- K、如果x∈ [B]，∞)是价值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与ν相关，此外，^u由^u（t）定义=L如果t=1，0如果t=2和Xt∈ [0，b），如果t=2和Xt∈ [b，b]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).考虑条件（4.26）和（4.36）不满足，但条件（4.43）满足的情况。我们假设Mj，j=1,2,3,4；eNj，j=1，2是系统E.q.（4.42）的解，Nj，j=1，2，3，4，U（x）之前已经定义过。然后由ν（x，1）给出的函数=Meβx+Meβx+Meβx+Meβx+Lδ，如果x∈ [0，B），x- K、如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=Neβx+Neβx+Neβx+Neβx+Neβx+Lδ，如果x∈ [0，B），烯基β（x-B） +eNeeβ（x）-B） +U（x），如果x∈ [B，B），x- K、如果x∈ [B]，∞)是价值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与^u（t）定义的^u有关=如果不是∈ [0，^Θ），如果t∈ [^Θ, ∞).证据我们省略了这个证明，因为它类似于下面定理4.5的证明，并且比它简单。4.2在b<b<b<b的情况下，我们假设b<b<b<b。

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2022-5-6 09:40:49

考虑到ν′（0，i）之间的关系∈ {1,2}和1，我们有三种情况：对于这两种情况，ν′（0，i）>1∈ {1, 2}; ν′（0，i）=1和ν′（0，3）- i）有些时候超过1∈ {1, 2}; 对于这两个i，ν′（0，i）=1∈ {1, 2}.案例1：ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1根据上述讨论，我们需要考虑五种可能性：x∈ [0，b）；x∈ [b，b]；x∈ [B，B]；x∈ [b，b）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，b），我们有ν′（x，1）>1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.6）给出了以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）=λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1），（4.44）与E.q.（4.13）相同。通过与上一节相同的方式，我们得到了解决方案：（x，1）1（x，1）1（x，1）7（x，1）7（x，1）1（x，1）7（x，1）7（x，1）1（x，1）7（x，1）1（x，1）1（x，1）1（x，2）2（x，2）2（2，2）2（2，2，2，2，4，4）和（7）的地方）的每一个地方为每一个j=1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，，，，，，，，，，，，，，，，\\====φ（（7）的）的）））是是是是是是是是（（的）的本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本<˙α<0<˙α<˙α是特征方程φ（˙α）φ（˙α）=λλ的四根。当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.5），（4.6）给出以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L1.- ν′（x，1）= λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.47）根据第4.1节，我们知道E.q.（4.47）的解是ν（x，1）=eAeeα（x-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +F，ν（x，2）=eBeeα（x-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +F，（4.48），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，eBj=φ（eαj）λeAj=λφ（eαj）eAj，（4.49）和eα<eα<0<eα<eα是特征方程φ（eα）φ（eα）=λ的四根。接下来我们给出一个类似于[13]中的定理。为了在我们的情况下应用它，我们需要在一些细节上进行调整，然后我们完成它的证明。定理4.4。

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2022-5-6 09:40:53

如果系统（4.47）的解ν′（·，1）严格增加B的左邻域，则-, 1） =1和ν′（B）-, 1) ≥ 0，那么我们就有了ν′（b）-, 2) <(λ+δ)λ.证据如果在B的左邻域的certa中，ν′（·，1）严格递增，则存在常数c，forevery x∈ [B]- c、 B），我们有ν′′（x，1）>0，特别是ν′′（B）-, 1) > 0. 因此，结合φ的定义：λν′（B-, 2) = λeBeα+eBeα+eBeα+eBeα+eBeα= λφ（eα）λeAeα+φ（eα）λeAeα+φ（eα）λeAeα+φ（eα）λeAeα= φ（eα）eAeα+φ（eα）eAeα+φ（eα）eAeα+φ（eα）eAeα=-σXj=1eαjeAj- (u- 五十） Xj=1eαjeAj+（λ+δ）Xj=1eαjeAj=-σν′′（B）-, 1) - (u- 五十） ν′′（B）-, 1） +（λ+δ）ν′（B）-, 1) ≤ λ+ δ.这里我们使用假设（H）u*> L.当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）>1，那么我们有以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1），（4.50），其中ν（b，1）可通过E.q.（4.48）计算。考虑上面第二个方程的特征方程。φ(^α) =σ^α+ u^α - (λ+ δ) = 0. 它有两个真正的根：^α<^α，那么这首颂歌的解是：ν（x，2）=^Be^α（x-b） +^Be^α（x）-b） +\'U（x），其中\'U（x）=λλ+δx+λ+δuλ+δ+L+λν（b，1）-B-K. 也就是说，E.q.（4.50）的解是ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=^Be^α（x-b） +^Be^α（x）-b） +U（x）。（4.51）当x∈ [b，b），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）<1，那么我们有以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L（1）- ν′（x，2））=λν（x，2）- λν（x，1），（4.52），其中ν（b，1）可通过E.q.（4.48）计算。

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2022-5-6 09:40:57

根据4.1节，我们知道E的解。q、（4.52）是ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=Beα（x）-B） +Beα（x-B） +U（x），（4.53），其中U（x）=λλ+δx+λ+δ(u-五十） λ+δ+L+λν（b，1）-B-K, 和α<α是上述第二个方程特征方程的两个根：φ（α）=σα+（u）-五十） α-(λ+δ) =0.当x∈ [B]，∞). 根据方程式（3.7），我们得到ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、（4.54）式中，可分别通过E.q.（4.48）和E.q.（4.53）计算出ν（b，1）和ν（b，2）。为了找到阈值b、b、b、b和系数A、A、A、A、eA、eA、eA、eA、eA、eA、b、b、b、b、b、b。我们支持光滑的fit条件保持，并结合ν′（bi，i）=1 for i=1，2，我们有以下等式：ν（0，1）=0，ν（0，2）=0，ν（b+，1）=b-, 1），ν（b+，2）=ν（b）-, 2），ν′（b+，1）=1，ν′（b）-, 1） =1，ν′（b+，2）=ν′（b-, 2），ν（b+，2）=ν（b）-, 2），ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1，ν（B+，1）=ν（B-, 1），ν（B+，2）=ν（B）-, 2），ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2），ν′（B）-, 1） =1，ν（B+，2）=ν（B-, 2），ν′（B）-, 2) = 1. （4.55）同时，系数˙B，˙B，˙B，˙B，eB，eB，eB，eB，eB可以从方程（4.46），（4.49）中得到。请注意，我们假设ν′（0，1）>1和ν′（0，2）>1。

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2022-5-6 09:41:00

如果通过E.q.（4.45）系统发现的系数满足：˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>1，˙A˙（˙α）α+˙A˙α+˙A˙α+˙A˙α>λ。（4.56）情况2：ν′（0，1）=1和ν′（0，2）>1根据上述讨论，我们需要考虑四种可能性：x∈ [0，B）；x∈[B，B]；x∈ [b，b）和x∈ [B]，∞).当x∈ [0，B），我们有ν′（x，1）≤ 1和ν′（x，2）>1，E.q.（4.5），（4.6）给出以下微分方程组：σ（1）ν′（x，1）+u（1）ν′（x，1）- Δν（x，1）+L（1）- ν′（x，1））=λν（x，1）- λν（x，2），σ（2）ν′（x，2）+u（1）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.57）通过类似的方式，我们知道E.q.（4.57）的解是ν（x，1）=Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +F，ν（x，2）=Deθ（x-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +F，（4.58），其中Fi:=（λ+（2）-i） δ）L（λi+δ）（λ+δ）- λλ，i=1,2，对于j=1,2,3,4，Dj=φ（θj）λCj=λφ（θj）Cj，（4.59）和θ<θ<0<θ<θ）是特征方程φ（θ）φ（θ）=λ的四根。当x∈ [B，B），ν′（x，1）=1和ν′（x，2）>1，那么我们有以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.60）考虑上述第二个方程的特征方程：φ（eθ）=σeθ+ueθ- (λ+δ) =0. 它有两个实根：eθ<eθ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=eDeeθ（x）-b） +eDeeθ（x）-b） +\'U（x），其中\'U（x）=λλ+δx+λ+δμλ+δ+L- λK. 这是E.q.（4.60）的解ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=eDeeθ（x）-b） +eDeeθ（x）-b） +U（x）。（4.61）当x∈ [b，b），我们有ν′（x，1）=1和ν′（x，2）≤ 1.E.q.（4.5）、（4.7）给出以下微分方程组：ν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K=x- K、 σ（2）ν′（x，2）+u（2）ν′（x，2）- Δν（x，2）+L（1）- ν′（x，2））=λν（x，2）- λν（x，1）。（4.62）考虑上述第二个方程的特征方程。φ(^θ) =σ^θ+ (u- 五十） ^θ-(λ+ δ) = 0.

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2022-5-6 09:41:03

它有两个实根：^θ<^θ，那么常微分方程的解是：ν（x，2）=^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），其中U（x）=λλ+δx+λ+δ(u- 五十） λ+δ+L- λK. 这就是E.q.（4.62）的解决方案：ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x）。（4.63）当x∈ [B]，∞). 根据等式（4.7），我们得到ν（x，1）=x- K、 ν（x，2）=ν（b，2）+x- B- K、（4.64）式中，在x的情况下，可以通过结果计算出ν（b，2）∈ 对于（b，b′）=1，假设b=1，b′=2，b′=1，b′=1，b′=0-, 2），ν′（b+，2）=1，ν′（b）-, 2） =1，ν（B+，1）=ν（B-, 1），ν（B+，2）=ν（B）-, 2），ν′（B+，2）=ν′（B）-, 2），ν′（B）-, 1） =1，ν（B+，2）=ν（B-, 2），ν′（B）-, 2) = 1. （4.65）同时，可以从方程（4.49）中获得系数D，D，D，D。请注意，我们假设ν′（0，1）=1，且ν′（0，2）>1。如果通过E.q.（4.61）系统发现的系数满足：Cθ+Cθ+Cθ+Cθ>1，Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ+Cа（θ）θ>λ。（4.66）定理4.5。假设b<b<b<b等于˙Aj，eAj，j=1，2，3，4，Bj，j=1，2是系统E.q.（4.55）的解，并假设它们满足条件（4.56）。假设之前定义了˙Bj、eBj、j=1、2、3、4和U（x），\'U（x）。然后由ν（x，1）给出的函数=˙Aeαx+˙Aeαx+˙Aeαx+˙Aeαx，如果x∈ [0，b），eAeeα（x-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +eAeeα（x）-B） +F，如果x∈ [b，b），eAeeα（b）-B） +eAeeα（B）-B） +eAeeα（B）-B） +eAeeα（B）-B） +F+x- B- K、如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=˙Beαx+˙Beαx+˙Beαx+˙Beαx，如果x∈ [0，b），eBeeα（x-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +eBeeα（x）-B） +F，如果x∈ [b，b），^Be^α（x-b） +^Be^α（x）-b） +U（x），如果x∈ [B，B），Beα（x-B） +Beα（x-B） +U（x），如果x∈ [b，b），Beα（b-B） +Beα（B）-B） +U（B）+x- B- K、如果x∈ [B]，∞)是值函数。

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2022-5-6 09:41:06

最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与^u（t）定义的^u有关=如果t=i和Xt，则为0∈ [0，bi），如果t=i和Xt∈ [bi，bi]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).考虑˙Aj，eAj，j=1，2，3，4，^Aj，Aj，j=1，2不满足条件（4.56）的情况。相反，假设条件（4.66）满足，并假设Cj，j=1,2,3,4和^Dj，eDj，j=1,2是系统E.q.（4.65）的解。之前定义了Dj，j=1,2,3,4和Fj，j=1,2,U（x），\'U（x）。然后由ν（x，1）给出的函数=Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +Ceθ（x）-B） +F，如果x∈ [0，B），x- K、如果x∈ [B]，∞),和ν（x，2）=Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +Deθ（x）-B） +F，如果x∈ [0，B），eDeeθ（x-b） +eDeeθ（x）-b） +U（x），如果x∈ [B，B），^De^θ（x-B） +^De^θ（x）-B） +U（x），如果x∈ [b，b），^De^θ（b）-B） +^De^θ（B）-B） +U（B）+x- B- K、如果x∈ [B]，∞)是值函数。最优策略^π=^u，^Γ，^ξ= πν=uν，Γν，ξνQVI控制是否与^u（t）定义的^u有关=L如果t=1，如果t=2和Xt∈ [0，b），如果t=2和Xt∈ [b，b]，代表t∈ [0，^Θ），且^u（t）=0表示t∈ [^Θ, ∞).证据为了证明上面定义的函数是值函数，我们只需证明它满足定理3.3的条件。显然，我们有ν（x，1）∈ C（[0，∞)/{b，b，b}）和ν（x，2）∈C（[0，∞)/{b，b，b，b}）。从s mooth fit条件，我们可以看到ν（0，i）=0，i∈ {1,2}，和ν（0，i），i∈ {1，2}是连续可微函数。另一方面，很明显，ν（x，i）在[Bi]上是线性的，∞), i={1,2}。下面，如果我们能证明ν（x，i），i∈ {1，2}满足qvi，然后我们就可以完成证明。首先，我们考虑了系数为˙Aj，eAj，j=1,2,3,4，Aj，^Aj，j=1,2的情况，它们满足条件（4.56），即对于i∈ {1, 2}.

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mingdashike22

2022-5-6 09:41:11

考虑到ν′（x，1），在区间[0，b]，ν′（x，1）>1上，我们得到了havel（u）ν（x，1）+u≤σν′（x，1）+μν′（x，1）- （λ+δ）ν（x，1）+λν（x，2）=0，其中i（u）ψ=σiψ′（·i）+u（i）- Uψ′（·，i）- Δψ（·，i）- λiψ（·，i）+λiψ（·，2）- i），我∈ {1,2}我们有马克斯∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u=eL（^u）ν（x，1）+^u=0。然后我们有一个等式ν（x，1）- Mν（x，1）马苏∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u= 进一步，我们可以证明，在区间[0，b]上，不等式ν（x，1）>Mν（x，1）成立。事实上，通过微分ν（x- η) + η - 关于η，我们可以看到函数ν（x- η) + η - K随扫描到η而减小。因此在区间[0，b）Mν（x，1）=limη7上→0+ν（x）- η) + η - K=ν（x，1）- K<ν（x，1）。所以QVI满足于区间[0，b]上的ν（x，1）。其次，区间[b，b]，ν′（x，1）≤ 1，那么我们havel（u）ν（x，1）+u≤σν′（x，1）+（u）- 五十） ν′（x，1）- （λ+δ）ν（x，1）+λν（x，2）+L=0，且最大∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u=eL（^u）ν（x，1）+^u=0。另一方面，我们有ν（x，1）>Mν（x，1），实际上是区别于ν（x）- η) + η - K相对于η，导致[ν（x）-η)+η-K]η≥ 0，这意味着x- η ∈ [b，b]，函数ν（x）- η) + η - K是相对于η增加的，并且在点η=x时- b、最大值为获得。因此当x∈ [b，b），Mν（x，1）=ν（b，1）+x- B- K=ν（b，1）+b- B- （B）- 十）- K=ν（B，1）- （B）- 十）≤ ν（x，1）。第三，我们考虑c ase x∈ 首先，我们需要注意，在区间[B，B]上，ν′（x，2）是递减的∈ [B，B）ν′（x，2）=^α^Ae^α（x）-b） +^α^Ae^α（x-b） +λ+δ。根据带光滑条件的定义，我们得到了ν′（x，2）>ν′（b，2）=1，然后我们得到了^α^Ae^α（x）-b） +^α^Ae^α（x-b） +λ+δ>1，因此^α^Ae^α（x-b） +^α^Ae^α（x-b） >Δλ+δ>0，因此ν′′（x，2）=ααααAeα（x-b） +^α^α^Ae^α（x-b） >0，这意味着ν′（x，2）是严格凸函数。结合真值ν′（x，2）>ν′（b，2）。

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2022-5-6 09:41:14

我们知道ν′（x，2）在区间[B，B]上严格减少。接下来我们需要注意的是，在点B的某个左邻域上，ν′（x，1）严格增加。实际上，通过光滑条件和连续性，函数ν′（B-, 1） >0，因此在这个邻域上我们有ν′（x，1）=eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） >0，则我们得到ν′′（x，1）=eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） +eαeAeeα（x-B） >0。因此，我们知道在这个邻域上，ν′′（x，1）严格地增加。现在我们开始证明，在区间[B，B]上，函数ν（x，1）满足QVI.Forx∈ [B，B）对于每一个u∈ [0，L]，A（x）：=eL（u）ν（x，1）+u=σν′（x，1）+（u- u） ν′（x，1）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=u- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2），那么我们有a′（x）=-（δ+λ）+λν′（x，2），andA′（x）=λν′（x，2）<0。（4.67）这里我们使用的结论是，在区间[B，B]上，ν′（x，2）是严格减少的。（4.67）implyA（x）是区间[B，B]上的凹函数，并导致A′（x）在[B，B]上减少，然后结合定理4.4，我们得到了A′（x）≤ A′（B）=-（δ+λ）+λν′（B，2）=-（δ+λ）+λν′（B）-, 2)≤ -(δ + λ) + λδ + λλ= 0.我们知道A（x）减少了，那么我们就有了A（x）≤ A（B）≤ 另一方面，我们可以证明x∈ [B，B），ν（x，1）=Mν（x，1）。确实对于x∈ [B，B），ν（x，1）=ν（B，1）+x- B- 克莱特η*= 十、- bν（x）- η*, 1) + η*- K=ν（b，1）+x- B- 所以我们得到了ν（x，1）=Mν（x，1）。结合显而易见的真理ν（x，1）≥ Mν（x，1），我们已经完成了在[B，B]上证明ν（x，1）满足QVI的证明，∞), ν（x，1）满足QVI。用同样的论点，我们知道x∈ [b]，∞), ν（x，1）=Mν（x，1）。此外，我们有马克斯∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u≤ 事实上，由于ν′′（b，1）=0，结果满足于区间x上的ν（x，1）∈ [B，B）。

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2022-5-6 09:41:19

我们有- u） ν′（b，1）- （δ+λ）ν（b，1）+λν（b，2）+u=σν′（b）-, 1) + (u- u） ν′（b，1）- （δ+λ）ν（b，1）+λν（b，2）+u≤ 对于x>b，没有teν′（x，1）=0，那么我们就有σν′（x，1）+（u）- u） ν′（x，1）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（x，1）+λν（x，2）+u=（u）- u）- （δ+λ）ν（b，1）+λν（b，2）+u+（δ+λ）[ν（b，1）- ν（x，1）]+λ[ν（x，2）- ν（b，2）]≤ (δ + λ)ν（b，1）- ν（x，1）+ λν（x，2）- ν（b，2）= (δ + λ)ν（b，1）+b- B- K- （ν（b，1）+x- B- （K）+ λν（x，2）- ν（b，2）= （δ+λ）（b）- x） +λν′（ξ，2）（x）- b）≤ （δ+λ）（b）- x） +λ（x）- b）≤ -δ（x）- b）≤ 0，其中ξ∈ [b，x），这导致了ν′（ξ，2）≤ 1.那我们就有马克苏了∈[0，L]eL（u）ν（x，1）+u≤ 0.在下面，我们需要验证函数ν（x，2）满足QVI，这与提供ν（x，1）的情况类似。我们展示了brie fly：首先，在区间[0，b]，ν′（x，2）>1上，我们有（u）ν（x，2）+u≤σν′（x，2）+μν′（x，2）- （λ+δ）ν（x，1）+λ（x，2）=0，且最大∈[0，L]eL（u）ν（x，2）+u=eL（^u）ν（x，2）+^u=0。此外，在区间[0，b]上，不等式ν（x，2）>Mν（x，2）成立。因此，我们知道qviestable在区间[0，b]上，在区间[b，b），ν′（x，2）上≤ 1，我们有（u）ν（x，2）+u≤σν′（x，2）+（u）- 五十） ν′（x，2）- （λ+δ）ν（x，1）+λν（x，2）+L=0，且最大∈[0，L]eL（u）ν（x，2）+u=eL（^u）ν（x，2）+^u=0。另一方面，不等式ν（x，2）>Mν（x，2）在[b，b]上保持不变。然后我们知道QVI在这个区间上建立。第三，我们需要验证[b]上的ν（x，2）的QVI保持不变，∞).

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