半群的最小生成元的域定义为asD（A）：=f∈ V |极限→0Stf- ftexists公司f的最小生成元是操作符A，定义为af：=limt→0Stf- 所有f的FTF∈ D、 第2章年龄相关过程2.1时间齐次年龄相关过程我们考虑一类随机过程，它被构造为一组随机积分方程的强解。让(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是过滤概率空间，且χ={1，2，…，k} R是状态空间。对于i，j∈ χ和i 6=j，定义λ：χ×χ×（0，∞) → [0，∞) （2.1）是一个可测量的函数∈（0，∞)Xj6=iλij（y）<∞. （2.2）andlimy→∞∧i（y）=∞, 其中∧i（y）=ZyXj6=iλij（v）dv。（2.3）对角线元素定义为λii（y）：=-Pj6=iλij（y）。对于i 6=j，y>0，设∧ij（y）是连续的（w.r.t字典序），长度为λij（y）的右开、左闭区间。定义h：χ×R+×R→ R ash（i，y，z）=Xj6=i∈χ（j- i） 1∧ij（y）（z）（2.4）和函数g：χ×R+×R→ R asg（i，y，z）=yXj6=i∈χ∧ij（y）（z）。（2.5）。我们考虑了Xt和Yt中的以下耦合随机积分方程组：Xt=X+Z（0，t]ZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）（2.6）Yt=Y+t-Z（0，t）ZRg（Xu-, 于-, z）（du，dz），（2.7），其中h和g分别由方程（2.4）和（2.5）定义，（du，dz）是R+×R上的泊松随机测度，强度为du×dz，且{（（0.t）×dz）}t≥0适用于过滤{Ft}t≥0、定理2.1.1。方程（2.6）和（2.7）存在唯一的强解。证据首先，我们注意到（2.2）可以重写为：对于所有y，Xj6=iλij（y）<c∈ [0，∞), （2.8）对于某些c>0。因此，可以得出如下结论：∈（0，T）“{y}×[0，Xj6=iλij（y）]# [0，T]×[0，c]。区间[0，c]具有有限的勒贝格测度c。

定义为测量的所有点质量集（ω） ：D：={s∈ （0，∞)|（ω） （{s}×[0，c]）=1}对于任何固定ω∈ Ohm.图2.1：泊松随机测量点质量样本图2.1显示了c=10和T=1的泊松随机测量点样本。X（ω）的所有过渡时间的集合是D的子集。由于集合[0，c]的度量是有限的，因此D是概率为1的离散集合（即，D没有极限点）。因此，我们可以计算集合D asD={0，σ，σ，…}，很容易看出σ，σ。是在潜在概率空间过滤下的停止时间。由于D是一个离散集，limn→∞σn=∞ a、 s.（2.9）我们使用迭代论证来证明（2.6）和（2.7）的强解的存在性和唯一性。对于固定ω，我们在时间间隔[0，σ]上构造这对方程的解。然后我们将此解推广到时间间隔（σ，σ），等等（ω） （[0，σ）×[0，c]）=0，对于t∈ [0，σ），Xt（ω）=X+ZtZ[0，c]h（Xu-, 于-, z）（ω） （du，dz）=XandYt（ω）=Y+t-ZtZ[0，c]g（Xu-, 于-, z）（ω） （du，dz）=Y+t。t=σ，Xσ（ω）=X+Z[0，c]h（X，Y+σ，Z）（ω） （{σ}×dz），Yσ（ω）=Y+σ-Z[0，c]g（X，Y+σ，Z）（ω） （{σ}×dz）。因为我们能够明确地写出时间间隔[0，σ]内的解，所以它显然是唯一的。现在我们考虑时间间隔（σ，σ）。我们定义了以下数量：▄X（0）=X（σ），▄Y（0）=Y（σ），▄（ds，dz）=（σ+ds，dz），￠σn=σn+1- σ。然后，△D={s>0 | s+σ∈ D} ={σn}n≥现在我们考虑方程（2.6）和（2.7）（关于[0，∑]，其中X，Yand 替换为▄X（0）、▄Y（0）和▄ 分别地

如果t∈ [0，σ），那么解Xt由X，Yt，Y+t给出。对于t，我们有：~X，σ=~X+Z[0，c]h（~X，Y+~σ，Z）~（{σ}×dz），▄Y▄σ=▄Y+▄σ-Z[0，c]g（▄X，▄Y+▄σ，Z）▄（{σ}×dz）。因此，原始方程的解（X，Y）可以通过以下关系式从（~X，~Y）重建=X（t），t∈ [0，σ]~X（t- σ） ，t∈ （σ，σ]Yt=Y（t），t∈ [0，σ]~Y（t- σ） ，t∈ （σ，σ）。这建立了时间间隔[0，σ]中强解的存在性和唯一性。继续以这种方式，我们可以在连续的时间间隔中唯一地构造解。根据（2.9），此时间间隔序列覆盖了整个正实时轴。因此，解决方案是全局确定的。在上面的证明中，很明显，过程Xthas几乎肯定是分段常数。c、 l.l路径。xT的不连续点称为过渡时间。定义2.1.1。过渡时间是递增序列{Tn}n的元素≥1因此{Tn:n≥ 1} ={t>0:Xt6=Xt-}. 我们设置T：=-Y、 我们确定了保温时间τn：=Tn- 田纳西州-1对于所有n≥ 1、从上述定义可以看出，Xu- 徐-=ZRh（Xu-, 于-, z）（{u}×dz）是非零的当且仅当某个正整数n的u=tn。这也意味着Zrg（Xu-, 于-, z）（{u}×dz）=于-, 如果某些n0的u=tn，则为。因此，通过归纳，我们得到，对于任何整数n≥ 0，Yt=Y+t-nXr=1YTr-对于t∈ 【Tn，Tn+1）。因此，对于某些n，Yt=0 i fft=Tn∈ N、 和YTn-= 田纳西州-田纳西州-1对于所有n∈ N、 这一观察结果促使我们定义以下内容：定义2.1.2。设（Xt，Yt）为方程（2.6）和（2.7）的唯一强解。然后，流程Xt被称为“年龄相关流程”，YIT被称为与Xt相对应的“等待时间流程”。定理2.1.2。设（Xt，Yt）为方程（2.6）和（2.7）的唯一强解。过程Zt：=（Xt，Yt）是一个马尔可夫过程。证据

从方程（2.6）和（2.7）中，我们得到，对于t<t，XT=X+ZTZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）=Xt+ZTtZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）和yt=Y+T-ZTZRg（Xu-, 于-, z）（du，dz）=Yt+（T- t）-ZTtZRg（Xu-, 于-, z）（du，dz）。从第二个属性, 根据定义1.0.1和上述表达式，很明显Zt是一个马尔可夫过程。也很容易看出Zt是强马尔可夫的。定理2.1.3。设XT是一个年龄相关的过程。然后，XT是一个半马尔可夫过程。证据我们已经在定理2.1.1的证明中看到，XT是一个分段恒常连续过程，并且存在左手极限。换句话说，XT是一个c\'adl\'agprocess。接下来，我们显示p[XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn）]=P[XTn+1=j，Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn]。（2.10）我们注意到，（2.10）的LHS可以写成asP（XTn+1=j |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn），{Tn+1- 田纳西州≤ y} ）×P[总氮+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn）]（2.11）根据方程式（2.6），XTn+1=XTn+ZRh（XTn，Tn+1- Tn，z）（{Tn+（Tn+1- Tn）}×dz），自YTn+1起-= Tn+1- TnandZ（Tn，Tn+1）ZRh（Xu-, 于-, z）（du，dz）=0。再次，自 是泊松随机测度，对于任何Borel集B （0，∞)×R，（（Tn，0）+B）独立于FTn。因此，P（XTn+1=j |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn），{Tn+1- 田纳西州≤ y} ）=PZRh（XTn，Tn+1- Tn，z）（{Tn+（Tn+1- Tn）}×dz）=j- XTn公司（XT，T），（XT，T）。

，（XTn，Tn），{Tn+1- 田纳西州≤ y}=PZRh（XTn，Tn+1- Tn，z）（{Tn+（Tn+1- Tn）}×dz）=j- XTn公司XTn，Tn，{Tn+1- 田纳西州≤ y}=PXTn+1=j | XTn，{Tn+1- 田纳西州≤ y}, （2.12）自（B） 仅取决于B的Lebesgue测度，因此在B的平移下是可变的。对于每个ω∈ Ohm, 方程式（2.7）表示Z（Tn，Tn+t）ZRg（XTn，u- Tn，z）（du，dz）=0，对于t<Tn+1- TnTn+1- Tn，对于t=Tn+1- Tn.因此，Tn+1- t是以下mapt 7的第一个非零值→Z（0，t）ZRg（XTn，u，Z）（Tn+du，dz）。再次，自（Tn+du，dz）与ftn和Tn无关，我们从上面得到P[Tn+1- 田纳西州≤ y |（XT，T），（XT，T），（XTn，Tn）]=P[Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn]。（2.13）因此，使用（2.11）、（2.12）和（2.13），（2.10）的LHS等于toP（XTn+1=j | XTn，{Tn+1- 田纳西州≤ y} ）×P[总氮+1- 田纳西州≤ y | XTn]=P（XTn+1，Tn+1- 田纳西州≤ y | XTn）=方程式（2.10）的RHS。因此，XT是一个半马尔可夫过程。我们定义了函数F：[0，∞) → [0，1]作为F（y | i）：=1- e-∧i（y）。从（2.3）中，∧i（y）是y的绝对连续函数。因此，F（y | i）几乎在任何地方都是可微的。Letf（y | i）：=ddyF（y | i）。我们还定义了pij（y），例如pij（y）：=λij（y）-λii（y）（0，∞)(-λii（y）），j 6=i{0}(-λii（y）），j=i.（2.14），这确保了[pij（y）]是所有y的概率矩阵。命题2.1.4。1、函数F是与年龄相关的过程Xt的保持时间的条件c.d.F。2、pij（y）=P[XTn+1=j | XTn=i，YTn+1-= y] 。证据n次跃迁后保持时间的条件c.d.f，给定n次状态，isP[τn+1≤ y | XTn=i]=1- P[{无跃迁in（Tn，Tn+y）]}| XTn=i]=1- P[{（u，z）∈ R+×R+| z∈[j6=i∧ij（u）}=0 | XTn=i]，其中u=s+tn和s∈ （0，y）=1- e-∧i（y）=F（y | i）。此外，我们注意到，对于j 6=i，P[XTn+1=j | XTn=i，YTn+1-= y] 是泊松点质量位于{τn+y}×ij（y）某处的事件的概率，假设x在时间y内没有发生跃迁。

该概率为∧ij（y）| Sj6=i∧ij（y）|（0，∞)（|[j6=i∧ij（y）|）=λij（y）-λii（y）（0，∞)(-λii（y））=pij（y）。我们注意到，在假设（2.2）和（2.3）下，对于所有y>0和limy，F（y | i）<1→∞F（y | i）=1。因此，保持时间是无限的，但几乎肯定是有限的。提案2.1.5。对于y>0，我们有pij（y）f（y | i）1- F（y | i）=λij（y），对于i 6=j，0，对于i=j。证明。F（y | i）：=1- e-∧i（y）。因此，不同的w.r.t y，我们有f（y | i）=-λii（y）e-∧i（y）f（y | i）1- F（y | i）=-λii（y）。（2.15）因此，对于i 6=j，pij（y）f（y | i）1- F（y | i）=- λii（y）×λij（y）-λii（y）（0，∞)(-λii（y））=λij（y），因为如果λii（y）=0，那么对于每个j（6=i），λij（y）=0。同样，如果λii（y）=0，则pii（y）=0，如果λii（y）=0，则f（y | i）1-F（y | i）=0自（2.15）。苏斯皮（y）f（y | i）1- F（y | i）=0表示所有y>0。我们还可以很容易地从（2.14）中验证thatPj∈χpij（y）=1。定理2.1.6。设Xt为方程（2.6）和（2.7）中所述的年龄相关过程。然后，它的核由（y>0，i 6=j）Qij（y）：=P[XTn+1=j，YTn+1给出-≤ y | XTn=i]=Zye-∧i（s）λij（s）ds。证据我们注意到Qij（y）：=P[XTn+1=j，YTn+1-≤ y | XTn=i]=E[P（XTn+1=j，YTn+1-≤ y | XTn=i，YTn+1-)|XTn=i]=Z∞[0，y]（s）P[XTn+1=j | XTn=i，YTn+1-= s] f（s | i）ds=Zypij（s）f（s | i）ds=Zy（1- F（s | i））λij（s）ds=Zye-∧i（s）λij（s）ds。在文献中，这类过程似乎是第一次出现在【10】中的“年龄相关过程”。在[19]中，将半马尔可夫过程分为两类，即I型和II型，然后研究了这类过程。我们认识到，本章讨论的与年龄相关的过程属于第二类。

这里，我们给出了连续时间中一些重要的纯跳跃过程类的层次结构。纯跳跃过程∪时间齐次情形∪半马尔可夫过程∪年龄相关案例∪年龄无关案例∪马尔可夫过程2.2时间非齐次年龄相关过程值得注意的是，第2.1节中年龄相关过程的构造可以很容易地推广到构造时间非齐次非马尔可夫纯跳跃过程。为此，我们考虑泊松随机测度N的形式为N（dt，dz）：=（dη（t），dz），其中η是一个递增可微分函数，η（0）=0。该随机测度具有强度η（t）dt dz，其中，在假设下，η是从[0，∞) 至（0，∞). 因此，对于任何集合A，E[N（A）]=ZAη（t）dt dz∈ F、 我们考虑一对新的耦合随机积分方程，在（~Xt，~Yt）：~Xt=~X+ZtZRh（~Xu-,Yu-, z） N（du，dz）（2.16）~Yt=~Y+t-ZtZRg（~Xu）-,Yu-, z） N（du，dz），（2.17），其中g和h分别由方程（2.5）和（2.4）定义。定理2.2.1。方程（2.16）和（2.17）存在唯一解（~Xt，~Yt）。证据证明可以用与定理2.1.1类似的方式构造。定理2.2.2。过程▄Zt：=（▄Xt，▄Yt）是一个马尔可夫过程。证据~XT=~X+ZTZRh（~Xu）-,Yu-, z） N（du，dz）=▄Xt+ZTtZRh（▄Xu）-,Yu-, z） N（du，dz）和▄YT=▄Y+T-ZTZRg（~Xu）-,Yu-, z） N（du，dz）=Yt+（T- t）-ZTtZRg（~Xu）-,于-, z） N（du，dz）。定理2.2.3。~Zt：=（~Xt，~Yt）是一个c\'adl\'ag过程。证据这是因为η在紧集上有界，λij（y）在方程（2.2）中有界。定理2.2.4。序列{XTn}是一个马尔可夫链。证据P[XTn+1=j |XT，XT，XT，XTn=i]=E（P[N（{Tn+1}×ij（τN+1））6=0 | N（{Tn+1}×ik（τN+1））6=0（笑声），XTn=i）=E“λij（Tn+1- Tn）Pk6=jλik（Tn+1- Tn）~XT，~XT。

，~XTn=i，~YTn=0#=E“λij（~YTn+1-)Pk6=jλik（▄YTn+1-)XTn=i#，因为▄YTn+1的条件分布-给定的ftn与给定的XTn相同。因此，LHS上的条件概率完全取决于▄XTn=i。然而，过程▄XTn不是半马尔可夫过程。这是因为转移概率可以写为asP“[0<s≤y（N[0<s<s{Tn+s}×[k6=i∧ik（s）！=0）\\{N（{Tn+s}）×ij（s））=1}FTn，XTn=i#=P“[0<s≤y（N[0<s<s{Tn+s}×[k6=i∧ik（s）！=0）\\{N（{Tn+s}）×ij（s））=1}XTn=i，Tn#。然而，泊松随机测度N对于时间不是平移不变的，除非η是常数。因此，一般不可能进一步简化。2.3微型生成器我们将推导出一个与年龄相关的扩展过程的微型生成器表达式。设（Xt，Yt）是一个增龄依赖过程。设φ：χ×[0，∞) 是一个可区分的功能。然后，根据它的公式，dφ（Xt，Yt）=φy（Xt，Yt）dYct+φ（Xt，Yt）- φ（Xt-, 年初至今-)=φy（Xt，Yt）dt+ZR[φ（Xt-+ h（Xt-, 年初至今-, z） ，年至今-- g（Xt-, 年初至今-, z） （）- φ（Xt-, 年初至今-)] （^）（dt，dz）+dt dz，（2.18），其中^（dt，dz）=（dt，dz）-dt dz是补偿泊松随机测度，平均值为零，与X无关。通过积分w.r.t^得到的过程 是鞅，Mt。因此，我们可以写φ（Xt，Yt）=φy（Xt，Yt）dt+Xj6=Xt-[φ（j，0）- φ（Xt-, 年初至今-)]λXt-j（Yt-) dt+dMt。（2.19）因此，增龄依赖过程的最小生成元L由以下表达式给出：Lφ（i，y）=φy（i，y）+Xj6=i[φ（j，0）- φ（i，y）]λij（y）。（2.20）2.4一个例子在这里，我们给出了一些具有很多状态的年龄相关过程的例子。我们让（年龄相关的）转移速率矩阵由∧（y）=∧（1）+y∧（2），（2.21）给出，其中∧（1）和∧（2）是k阶的两个速率矩阵。在特定情况下，如果∧（2）=0，则为三次矩阵，则∧（y）=∧（1）对于所有y，所得过程变为马尔可夫过程。

然而，当∧（1）=c∧（2）时，对于某些c∈ R+。当然，总的来说，∧（y）规定了一个与年龄相关的过程。该过程的转移概率由（i 6=j）pij（y）=λ（1）ij+yλ（2）ij给出-λ（1）ii- yλ（2）ii，（2.22）明确依赖于y。因此，具有这种过渡时间分布的随机过程既不是连续时间马尔可夫过程，也不是年龄无关的半马尔可夫过程。出于推理目的，可以考虑参数族∧（y）∧（y）=∧（1）+∧（2）y+∧（3）y+····+∧（n+1）yn，y>0，其中每个∧（i）是k阶速率矩阵，并作为参数。换言之，可以用固定次数的多项式来估计转移率函数。在这种情况下，未确定的独立参数的数量为（n+1）（k-k） 。我们强调，这个族包括所有具有k状态的马尔可夫过程和所有具有k状态的年龄无关半马尔可夫过程，其危险率是不超过n的度多项式。当然，我们可以考虑∧（y）=n+1Xi=1∧（i）θi（y），其中{θi}n+1i=1是L（[0，∞)).2.5研究半马尔可夫调制市场的动机在金融市场中，有许多资产的动态可以用随机微分方程（SDE）建模。当通过经验数据验证时，漂移和波动性参数似乎是非常数。在本项目中，我们的目标是考虑一个市场模型，其中这些参数由一类纯跳跃过程驱动。在有关这一主题的现有文献中，此类模型被称为政权转换模型。虽然马尔可夫切换在文献中得到了更好的研究，但我们在这里的目的是考虑更大类别的状态切换，即。“年龄相关过程”。

在本节中，我们进一步阐明了此类考虑的重要性。马尔可夫切换市场和半马尔可夫切换市场之间的差异不仅仅是超官方的。为了说明半马尔可夫模型或年龄相关模型的更大适用性，考虑一个市场只有两种可能的状态，例如，由具有两种状态1和2的asemi-Markov过程调节。让f和midenote分别为每个i的c.d.f.和状态i下的保持时间平均值。进一步假设存在δ>0，使得f（δ）=f（δ）=0。现在考虑一个事件a，其中转换发生在T- δ、 其中T是到期日。当然，在概率为1的到期之前，不会有更多的转换。因此，所有欧洲看涨期权的无套利价格- δ等于Black-Scholes-Merton模型建议的价格，该模型具有该制度的参数。另一方面，如果这个真实市场的制度应该由一个马尔可夫过程建模，其保持时间分别有means和mr，那么q矩阵将是-嗯-m！。很明显，在这个马尔可夫切换模型下，给定事件A，在到期之前进一步转移的条件概率为非零。因此，时间T的欧式看涨期权的局部风险最小化价格- δ应不同于Black-Scholes-Merton价格，并具有该制度的固定参数。在某些情况下，这种模型可能比马尔科夫转换模型更接近实际市场。这为研究半马尔可夫调制市场的定价问题提供了动力。第3A章非局部抛物型偏微分方程我们考虑了一个偏微分方程，该方程出现在具有半马尔可夫制度转换的市场中的衍生品定价问题中。这是BlackScholes偏微分方程的推广。市场参数在现实中很少是恒定的。

相反，市场经历了不同的阶段或“制度”，其中每个市场参数或多或少都是恒定的。我们经常听到“牛市”、“波动市场”和“熊市”。还知道低/高利率制度和流动性紧张情况等。这些可以通过制度转换模型更好地建模，如[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[12]、[13]、[15]和[17]中分析的模型。研究了各种状态切换模型。例如，文献[2]中已经研究了马尔可夫调制市场中的定价问题。然而，马尔可夫过程的无记忆性对模型施加了一定的限制。半马尔可夫制度转换模型允许更大的灵活性，并适应具有持续时间依赖性的商业周期的影响。在本章中，我们考虑了一个年龄相关的区域切换模型的偏微分方程，并证明该偏微分方程实际上等价于一个称为第二类Volterra方程的方程。因此，我们在适当的一类函数中建立了唯一经典解的存在性。PDE和定价问题之间的联系将推迟到下一章。设X：={1，2，…，k}是一个有限集。我们定义了以下函数r：χ→ （0，∞), u：（0，∞) ×χ→ （0，∞), σ：（0，∞) ×χ→ （0，∞). （3.1）带r（i）≥ 对于所有i，σ（t，i）>0∈ χ、 t型∈ [0，∞). 我们考虑一个可微函数λ：X×X×[0，∞) → [0，∞) 满足方程（2.3）和λii（y）：=-Pj6=iλij（y）。所考虑的微分方程组如下所示：t^1（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssИ（t，s，i，y）+σ（t，i）ssИ（t，s，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（t、s、j、0）- ^1（t、s、i、y）= r（i）Д（t，s，i，y），（3.2）定义：{（t，s，i，y）∈ （0，T）×（0，∞) ×X×（0，T）| y∈ （0，t）}，（3.3）且条件Д（t，s，i，y）=K（s）；s∈ （0，∞); 0≤ y≤ Ti=1，2。

，k（3.4），其中k是最多线性增长的非负函数。由于我们将在下一章中考虑可违约债券，因此对K（s）的这一假设是合理的，可违约债券可以写成满足这一条件的或有债权。该方程的一些特例出现在【6】、【17】、【15】、【5】、【9】和【3】中，用于在特定制度转换市场假设下对欧洲或有索赔进行定价。由于特殊情况的简单性，作者通常参考抛物线型偏微分方程存在唯一性问题理论中的一些标准结果。但在本章中出现的一般形式中，没有这样的线索参考。因此，我们使用Banach不动点定理给出了一个自包含的证明。我们分两步完成这一任务。首先，我们考虑了第二类Volterra积分方程，并建立了该方程的存在唯一性结果。然后，我们在一组命题中证明了偏微分方程和IE问题是“等价的”。因此，我们在定理3.2.2中得到了偏微分方程的存在唯一性。一些进一步的属性，即。得到了正性和生长性质。本文还表明，解的部分导数构成了相应索赔的最优套期保值策略。我们进一步表明，ν的偏导数可以写成一个积分，它涉及到Д，这使得我们能够开发一个稳健的数值格式来计算希腊语。这项研究为解决涉及这组新PDE的许多其他有趣问题铺平了道路。3.1存在性考虑以下初始值问题，即每个i的B-S-M PDEρi（t，s）t+r（i）sρi（t，s）s+σ（t，i）sρi（t，s）s=r（i）ρi（t，s）（3.5）（t，s）∈ （0，T）×（0，∞) ρi（T，s）=K（s）。这里，K被假定为至多为线性增长的非负函数。

这有一个唯一的经典解，最多为lineargrowth（见[16，pg.202]）。我们定义了一个函数L:[0，∞) ×（0，∞) ×（0，∞) ×χ×（0，∞), 式中，l（t，x，s，i，v）：=lnxs型-Rt+vtr（一）-σ（u，i）duqRt+vtσ（u，i）du。（3.6）我们还定义了函数α（x；t，s，i，v）：=e-L√2πxqRt+vtσ（u，i）du。（3.7）为了便于标记，我们让∑表示数量qrt+vtσ（u，i）du。提案3.1.1。函数α是对数正态概率密度函数。证据我们立刻认识到α（x；t，s，i，v）是对数正态密度函数，基本正态分布的平均值为ln（s）+Rt+vtr（一）-σ（u，i）du和相应的方差为rt+vtσ（u，i）du。提案3.1.2。LLv+r（i）L’’σ+σ（t+v，i）L2’’σ-σ（t+v，i）L2’σ=0。（3.8）证明。我们对L（t，x，s，i，v）w.r.t v进行微分，并应用莱布尼茨规则得到结果。集合B：=nИ：(R)D→ [0，∞), 连续| k|k：=辅助|Д（t，s，i，y）1+s |<∞o、 引理3.1.3。考虑以下积分方程Д（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞ν（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv（3.9）然后（i）问题（3.9）在B中有唯一解，（ii）积分方程在C1,2,1（D）中的解，（iii）Д（t，s，i，y）是非负的。证据（i） 我们首先注意到，（3.9）的解是算子a和反之亦然的固定点，其中（t，s，i，y）：=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv。很容易检查每个Д∈ B、 A^1：(R)D→ （0，∞) 是连续的。φ的连续性由ρi的连续性得出。为了证明A是B中的收缩，我们需要证明φ的连续性∈ B、 | | A|-A| | |≤J | |Д- 其中J<1。为了证明处方类中的存在性和唯一性，有必要证明A是B中的收缩。

Banach固定点理论确定了B中固定点的存在性和唯一性，以表明对于Д，Д∈ B、 | | A|- A| | |≤ J | |Д- ν| |其中J<1，我们计算- A^1k=辅助A^1- Aх1+s= 辅助设备ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞（^1）- ^1）（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）1+sdxdv≤辅助设备ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞（1+x）×sup（t，x，j，y）∈\'\'D^1（t，x，j，y）- ^1（t，x，j，y）1+xα（x；t，s，i，v）1+sdxdv= 辅助设备ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）k|- ^1ka（t，s）1+sdv式中，a（t，x，s，i，v）：=Z∞（1+x）α（x；t，s，i，v）dx=1+expln s+r（一）-Zt+vtσ（u，i）du+Zt+vtσ（u，i）du=1+ser（i）v.因此，kAΒ- A^1k≤ JkИ- 其中，J=辅助ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）1+ser（i）v1+sdv≤ 辅助设备1.- F（y | i）ZT-tf（y+v | i）dv= 辅助设备F（y+T- t | i）- F（y | i）1- F（y | i）<1.- F（y | i）1- F（y | i）=1使用r（i）≥ 0以及λ和F的性质。（ii）使用方程式（2.3）和ρIf的平滑度，对于每个i，右侧的第一项为C1,2,1（D）。在λ和F的假设下，第二项在y中连续可微，在s中连续可微两次，紧随其后。t中的连续差异源于一个事实，即项Д（t+v，x，j，0）乘以C（（0，∞)) v中的功能，然后在v上集成∈ （0，T- t） 。因此，Д（t，s，i，y）为inC1,2,1（D）。（iii）我们已经证明A:B→ B是收缩。很明显，方程（3.5）有一个非负解。由于积分方程（3.9）的所有系数都是非负的，因此≥ ^1为0≥ 现在让V：={φ∈ B |φ≥ 0}。那么，V是B的闭子集→ V，让V∈ 五、定义序列{vn}n≥0，这样vn：=Anv。然后vn∈ 五、我们注意到KVM+p- vmk=k（Ap- 一） Amvk公司≤k（Ap- 一） k.kAkm。kvk。我们已经证明了kAИ- A^1k≤ JkИ- νk，其中J<1。因此，kAk<1，表示kvm+p-vmk公司→ 0作为m→ ∞.

因此，{vn}n≥0是柯西序列。由于V闭合，vn→ v、 其中v∈ 五、A的连续性意味着Avn→ Av。此外，Avn=vn+1→ v、 这意味着Av=v，即v是a的固定点。我们已经证明a在B中有一个固定点。该固定点是v，是v的一个元素。换句话说，v是非负的。因此，我们已确定B中A的执行点为非负，即Д为非负。引理3.1.4。设ν为方程（3.9）的解。Thenlimu公司↓0Z∞Д（t+u，x，j，0）α（x；t，s，i，u）dx=Д（t，s，j，0）。证据由于Д（t，·，i，y）最多呈线性增长，因此存在正常数kandksuch，即Д（t，s，i，y）≤ 所有s的k+ks。Let{ul}l∈Nbe（0，1）上的递减序列，以便ul→ 设αl（x）：=α（x；t，s，i，ul）。由于αlis是每个l的对数正态密度函数，因此序列{αl}l∈Nis一致可积，即islimk→∞suplZ公司∞kxαl（x）dx=0。因此，对于任何 > 0，我们可以找到K>0，这样r∞K（K+kx）αl（x）dx<对于所有l∈ N、 现在让{νN}N∈Nbe在xconverting toДpointwise中，阶跃函数的非负递增序列。然后，给定 > 0和K，我们可以找到N，这样对于所有N≥ N、 Z∞（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx=ZK（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx+Z∞K（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx≤αl（[0，K]）+Z∞K（K+kx）αl（x）dx+ZK[Д（t+ul，x，j，0）- Д（t，x，j，0）]αl（x）dx<2 +ZK[~n（t+ul，x，j，0）- Д（t，x，j，0）]αl（x）dx，其中αl（A）：=RAαl（x）dx。还有，Z∞（Д（t+ul，x，j，0）- νn（t+ul，x，j，0））αl（x）dx=Z∞Д（x）αl（x）dx-KnXi=1хn（xi）αl（Ii），其中，Дn（x）=PKni=1aiIi（x）和xi∈ 二。作为l→ ∞,αl（Ii）→0，如果s/∈ Ii，1，如果s∈ 二。因此，对于每个n，liml→∞Z∞Дnαl（x）dx=Дn（s）。因此，对于n≥ N个(, K） ，0≤ liml公司→∞Z∞Д（t+ul，x，j，0）αl（x）dx- ^1n（s）≤2. + liml公司→∞ZK[Д（t+ul，x，j，0）- Д（t，x，j，0）]αl（x）dx=2,因为Д（·，s，i，y）是平滑的。

因此，limn→∞νn（t，s，j，0）=极限→∞R∞Д（t+ul，x，j，0）αl（x）dx。提案3.1.5。（3.9）的唯一解也解决了初值问题（3.2）（3.4）。证据设Д为（3.9）的解。因此，使用（3.9），Д（T，s，i，y）=ρi（T，s）=K（s），即条件（3.4）成立。引理3.1.3（ii）中，Д位于C1,2,1（D）中。因此，我们可以在（3.9）的两侧执行部分差异w.r.t.t和y。我们获得tИ（t，s，i，y）=f（t- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+1- F（T- t+y | i）（1- F（y | i））ρi（t，s）t型- e-r（i）（T）-t） f（y+t- t | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+T- t） Z∞Д（T，x，j，0）α（x；T，s，i，T- t） dx+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞^1t（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dxdv+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）×Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）σ（t+v，i）- σ（t，i）L’σ-L’σ-\'\'σdx dv（3.10），通过在积分符号下微分w.r.t.t。现在，在我们对（3.9）的两边进行偏导数w.r.t.y之前，我们首先简化右侧。设qij（y+v）：=f（y+v | i）pij（y+v）。然后y^1（t，s，i，y）=-f（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+1- F（T- t+y | i）（1- F（y | i））F（y | i）ρi（t，s）+yZT公司-te公司-r（i）vqij（y+v）1- F（y | i）Z∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv。最后一个术语可以进一步简化。yZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx dv=Xj6=iy1.- F（y | i）ZT-t型e-r（i）vZ∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dxqij（y+v）dv设bij（v；t，x，s）：=e-r（i）vR∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）dx。也让▄qij（y）：=Ryqij（w）dw，这样▄qij（y）=qij（y）。

然后，利用分部积分公式，我们得到了ZT-tbij（v；t，x，s）qij（y+v）dv=[bij（v；t，x，s）~qij（y+v）]t-t型-ZT公司-t型bij（v；t，x，s）vqij（y+v）dv。现在，bij（T- t；t、 x，s）~qij（y+t- t） =e-r（i）（T）-t） qij（y+t- t） Z∞Д（T，x，j，0）α（x；T，s，i，T- t） dxwhilebij（0；t，x，s）~qij（y）=~qij（y）利木↓0Z∞^1（t+u，x，j，0）α（x；t，s，i，u）dx=通过引理3.1.4得出的qij（y）Д（t，s，j，0）。因此，νw.r.t y的偏导数为y^1（t，s，i，y）=-f（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+1- F（T- t+y | i）（1- F（y | i））F（y | i）ρi（t，s）+F（y | i）1- F（y | i）×^1（t、s、i、y）-1.- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）+ e-r（i）（T）-t） f（t- t+y | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+T- t） Z∞Д（T，x，j，0）α（x；T，s，i，T- t） dx公司-f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y）Д（t，s，j，0）-ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Z∞α（x；t，s，i，v）(- r（i）Xj6=ipij（y+v）Д（t+v，x，j，0）-Xpij（y+v）Д（t+v，x，j，0）LLv+σ（t+v，i）2'σ+Xj6=ipij（y+v）^1（t+v，x，j，0）t） dx dv。（3.11）通过将方程（3.10）和（3.11）相加，我们得到t^1（t，s，i，y）+yИ（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）t+f（y | i）1- F（y | i）Д（t，s，i，y）-Xj6=ipij（y）Д（t，s，j，0）+ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）Z∞Д（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）×r（i）+LLv+σ（t+v，i）L2’σ-σ（t，i）L2′σ-σ（t+v，i）L2′σ+σ（t，i）L2′σ+σ（t，i）2′σdx dv。（3.12）现在，我们将（3.9）w.r.t.s的两侧分别区分一次和两次，并获得s^1（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）s+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）Ls'σdx dv，（3.13）s^1（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）s+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y+v）×Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）sL’σ-L’σ-\'\'σdx dv。

（3.14）从方程（3.13）和（3.14）中，我们得到r（i）s^1s+σ（i）s^1s=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）r（i）sρi（t，s）s+σ（i）sρi（t，s）s+ZT公司-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y+v）Z∞^1（t+v，x，j，0）α（x；t，s，i，v）r（i）L’σ+σ（t，i）L2’σ-σ（t，i）L2′σ-σ（t，i）2’σdx dv。（3.15）最后，从方程（3.9），（3.5），（3.8），（3.12）和（3.15）我们得到t^1（t，s，i，y）+y（t，s，i，y）+r（i）ssИ（t，s，i，y）+σ（t，i）（i）ss^1（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）t+r（i）sρi（t，s）s+σ（t，i）sρi（t，s）s-f（y | i）1- F（y | i）×Xj6=ipij（y）（Д（t，s，j，0）- ^1（t，s，i，y））+r（i）^1（t、s、i、y）-1.- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ρi（t，s）= -f（y | i）1- F（y | i）Xj6=ipij（y）（Д（t，s，j，0）- Д（t，s，i，y））+r（i）Д（t，s，i，y）。因此，方程式（3.2）成立。从引理3.1.3和命题3.1.5可以看出，（3.2）-（3.4）有一个经典解。我们在下一节中证明了唯一性。3.2唯一性我们考虑方程（3.2）-（3.4）。有趣的是，虽然域D有非空边界，但我们已经在规定的类中获得了IE的唯一解的存在性，并且没有施加边界条件。此外，我们将证明IE的唯一性意味着PDE的唯一性。这让我们立即感到惊讶，因为我们知道边界条件对于非退化抛物型偏微分方程的唯一性很重要。在这方面，我们想回顾一下，这里的偏微分方程是退化的。对于边界的一部分，即s=0，所有微分算子的系数w.r.t.s消失。因此，可以很自然地预期，s=0的条件可能不需要唯一性。换言之，对于任何边界条件，PDE都不存在，除非可能只有从终端条件获得的适当边界条件。我们通过下面的精确计算进一步澄清了这一明显模糊的理由。

除s=0外，边界的其余部分是由于y变量的边界，即y=0和y=t。在这里，D的非矩形性质变得很明显。我们还记得，我们解决了一个终值问题，因此当t减小到零时，y的范围在t中线性缩小。另一方面，PDE中仅出现第一个微分算子w.r.t.y。因此，缺乏边界数据不会导致未确定的问题。我们考虑域D闭包问题（3.2）-（3.4）的连续解，特别是集合{（t，s，i，y）∈\'D | s=0}。对于s=0，PDE为t型+yД（t，0，i，y）+Xj6=iλij（y）[Д（t，0，j，0）- ν（t，0，i，y）]=riД（t，0，i，y）。（3.16）Let^Иi（t，y）：=Д（t，0，i，y）。然后t型+y^хi（t，y）+Xj6=iλij（y）[^хj（t，0）- ^хi（t，y）]=ri^хi（t，y），终端条件^хi（t，y）=K（0）。现在，对于任何t<t，考虑ct（t）：=t- t、 然后，滴滴涕i（t，ct（t））=t型+y^Иi（t，ct（t））。设gi（t；t）：=^Иi（t，ct（t））。Thenddtgi（t；t）+Xj6=iλij（ct（t））[^Иj（t，0）- gi（t）]=rigi（t；t）。因此，dgi（t；t）dt=p（t）gi（t；t）- q（t），gi（t；t）=K（0），其中p（t）：=ri+Pj6=iλij（c（t））和q（t）：=Pj6=iλij（c（t））^Иj（t，0）。这是一阶线性电阻，可以很容易地求解为givegi（t；t）=ZTte-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）du-K（0）e-车辙（ri+Pj6=iλij（ct（s）））ds。现在，gi（t，t）=i（t，0）。因此，我们得到以下方程：i（t，0）=ZTte-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）du- K（0）e-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））ds，（3.17）这是^Д（t，0）中的积分方程。如果我们证明这个积分方程组有唯一的解，我们关于SWI上边界条件冗余的推理将是正确的。

为此，我们以类似于引理3.1.3证明的方式进行。我们将运营商A定义为beA^~ni（t，0）=ZTte-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）du-K（0）e-车辙（ri+Pj6=iλij（ct（s）））ds。（3.18）方程（3.17）的解显然是算子a的一个固定点。如果我们能够确定a是我们将要考虑的函数类中的一个收缩，则可以使用Banach固定点定理来证明积分方程（3.17）有一个唯一解，该解是a的一个固定点。我们确定：=χ×[0，T]是我们现在要考虑的领域。考虑巴拿赫空间B=C（Γ），赋予上范数。为了证明A是收缩，我们需要证明∈ B、 | | A^Д- A^||≤ J | |^И- 其中J<1。现在，A（^Иi）- ^Дi）=ZTte-车辙（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））^Иj（u，0）- ^Иj（u，0）杜邦≤中兴通讯-Rut（ri+Pj6=iλij（ct（s）））dsXj6=iλij（ct（u））supu，j^Иj（u，0）- ^Иj（u，0）杜。由于所有i的r（i）>0，因此A（^Иi- ^Иi）≤k^И- ^ИkZTte-车辙（ri+Pj6=iλij（s-t） ）dsXj6=iλij（u- t） du=k^И- ^ИkZTte-ri（u-t） e类-RutPj6=iλij（s-t） dsXj6=iλij（u- t） du<k^И- ^ИkZTte-RutPj6=iλij（s-t） dsXj6=iλij（u- t） du=k^И- ^ИKZTTDUe-RutPj6=iλij（s-t） ds公司du=k^И- ^Иk1.- e-RTtPj6=iλij（s-t） ds公司=Jk^И- ^хk，其中J=1-e-RTtPj6=iλij（s-t） ds<1。这证明A实际上是一种收缩。因此，建立了方程（3.17）解的唯一性。所有t的^Д（t，0）的唯一性∈ [0，T]表示g（T；T）对于所有T的唯一性≥ t型≥ 0.同样，^Иi（t，t-t） 对于所有t都是唯一的∈ [t，t]，t∈ [0，T]。自，对于y∈ 【0，t】、Дi（t，0，i，y）=Дi（t，y）=Дi（t，t- （t- y） ），带t- y∈ [0，t]，方程（3.16）有唯一的解。因此，对于s=0，ν（t，s，i，y）是唯一的。提案3.2.1。假设（2.2）和（2.3）。我们还假设转移矩阵pij:=R∞pij（y）dFi（y）是不可约的。设ν为（3.2）-（3.4）的经典解。

然后（i）Д求解积分方程（3.9）；（ii）Д（t、s、i、y）≤ k+k对于某些k，k>0。证据（i） Let（yenOhm,~F，~P）是一个概率空间，其中包含标准布朗运动和泊松随机测度 独立于W。设▄St为下列SDEd的强解▄St=▄St（r（Xt）dt+σ（t，Xt）dWt），▄S>0，其中，Xt是方程（2.6）和（2.7）给出的年龄相关过程。让▄Ft成为▄X满足通常假设所产生的基础过滤。我们观察到过程{（▄St，Xt，Yt）}是马尔可夫过程，其中具有最小生成元At，其中tν（s，i，y）=^1y（s，i，y）+r（i）s^1s（s，i，y）+σ（t，i）s^1s（s，i，y）+Xj6=iλij（y）^1（s，j，0）- ^1（s、i、y）对于紧支撑Cin s和Cin y的每个函数Д。如果Д是（3.2）-（3.4）的经典解，则使用Nt上的It^o公式：=e-Rtr（Xu）duД（t、~St、Xt、Yt），wegetdNt=e-Rtr（徐）杜-r（Xt）Д（t、~St、Xt、Yt）+^1t（t，~St，Xt，Yt）+AtД（t，~St，Xt，Yt）其中mt是局部鞅。因此，从（3.2）及以上表达式来看，NTI也是▄Ftlocal鞅。Nt的定义表明，存在常数k和k，例如| Nt |≤ k+kSt对于每个t，因为Д最多具有线性增长。同样，从下面的表达式▄St=▄SexpZt（r（Xu）-σ（u，Xu））du+Ztσ（u，Xu）dWu有人得出结论，STI是一个具有有限期望的子角色。因此，可以使用Doob不等式来获得E supu∈[0，t]| Nu |<∞ 因此{Nt}是一个鞅。

因此Д（t，~St，Xt，Yt）=eRtr（Xu）duNt=E[eRtr（Xu）duNt | Ft]=E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt]。（3.19）通过在过渡时间进行调节，并使用▄St的条件对数正态分布，我们得到Д（t，▄St，Xt，Yt）=E[E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt=i，Yt，Tn（t）+1】▄ST，Xt=i，Yt】=P（Tn（t）+1>t▄Xt，Yt）E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt=i，Yt，Tn（t）+1>t]+ZT-tE[e-RTtr（Xu）duK（▄ST）▄ST，Xt，Yt，Tn（t）+1=t+v]f（t- Tn（t）+v | Xt）1- F（Yt | Xt）dv=1- F（T- Tn（t）| Xt）1- F（Yt | Xt）ρXt（t，~St）+ZT-te公司-r（Xt）vf（Yt+v | Xt）1- F（Yt | Xt）×Xj6=ipij（Yt+v）Z∞E【E】-RTt+vr（Xu）duK（▄ST）▄ST+v=x，Yt+v=0，Xt+v=j，Tn（t）+1=t+v]exp{-1（（ln（xSt）-Rt+vt（r（i）-σ（u，i））du）√Rt+vtσ（u，i）du）}x√2πqRt+vtσ（u，i）dudx dv=1- F（T- t+Yt | Xt）1- F（Yt | Xt）ρXt（t，~St）+ZT-te公司-r（Xt）vf（Yt+v | Xt）1- F（Yt | Xt）×Xj6=ipij（Yt+v）Z∞^1（t+v，x，j，0）e-1Lx√2πqRt+vtσ（u，i）dudx dv。最后，通过使用不可约性条件（A1），我们可以用上述关系中的泛型变量（s，i，y）替换（~St，Xt，Yt），从而得出结论：Д是（3.9）的解。因此（i）成立。（ii）我们注意到，由于K最多是线性增长，因此存在K，K>0，这样K（s）≤ 所有s的k+ks≥ 因此，Д（t，~St，Xt，Yt）=~E[E-RTtr（Xu）duK（ST）| Ft]≤E[E-RTtr（Xu）du（k+kST）| Ft]≤k+kE[E-RTtr（Xu）duST | Ft]。因为Д（t，~St，Xt，Yt）=~E[E-使用e的鞅性质-Rtr（Xu）duSt，从方程（3.19）和上面的公式中，我们得到ν（t，St，Xt，Yt）≤ k+kSt。从方程式（3.19）可以看出，Д是非负量的期望值，因此是非负的。因此（ii）成立。定理3.2.2。初始边值问题（3.2）-（3.4）在一类具有最多线性增长的函数中具有唯一的经典解。证据引理3.1.3和命题3.1.5的存在性。为了唯一性，假设Д和Д是规定类别中（3.2）-（3.4）的两个经典解。

然后使用命题3.2.1，我们知道两者都可以解（3.9）。但是从引理3.1.3来看，在规定的类中只有一个这样的引理。因此，Д=Д。备注3.2.1。上述定理也可以以不同的方式证明，这主要取决于温和的解决方案技术[20]和[1]的命题3.1.2。[9]中采用了这种替代方法来确定（3.2）-（3.4）的特例的适定性。采用当前方法的原因是，它使我们能够在go中建立thePDE和IE之间的等效性。这意味着溶液偏导数的另一种表达式。下一节将解释这种表示的重要性。第四章期权定价问题我们关注广泛研究的金融市场布莱克-斯科尔斯模型的扩展。在我们的模型中，市场表现出半马尔可夫状态切换。文献[2]研究了马尔可夫调制的区域切换模型。我们使用本文第2章讨论的年龄相关过程来扩展这个模型。各种金融工具在金融市场交易。其中一些工具是股票、债券、期权、期货、掉期等。其价格取决于其他商品价格的金融工具称为衍生品。期权和期货就是衍生品的例子。期权是双方之间的合同，即期权的作者和持有人。期权持有人以溢价（称为期权“价格”）从卖方购买期权。有几种类型的选项。最常见的是欧洲和美国的选择。这些股票通常在交易所交易，被称为“普通”期权。其他种类的期权并不常见，被称为“奇异”期权。所有期权进一步分为看涨期权和看跌期权。

欧洲看涨期权授予其持有人在到期时以固定价格（称为“履约价格”）购买一定数量股票的权利，而欧洲看跌期权允许其持有人出售相同的股票。很明显，购买期权必须支付溢价。如果没有溢价，期权持有人将永远无法弥补损失，这违反了大多数现实市场所满足的无套利条件。溢价必须对期权持有人和期权持有人都公平。因此，期权的价格是在风险中性市场中其相应或有权益的贴现价格的预期值。Black-Scholes模型是用于欧洲风格期权定价的标准模型。它做出了一些假设，如下所述：1。无风险资产的利率是恒定的，因此被称为无风险利率。股票价格的对数是一个几何布朗运动（GBM），具有恒定的裂痕和波动性。该股票无股息。4、不存在套利机会。可以以无风险利率借入或贷出任何金额的现金，即使是零碎的现金。可以买卖任何数量的股票，即使是零星的。这包括卖空的可能性，即出售自己不拥有的股票的行为。7.