市场是无摩擦的，即没有任何费用或税收等。在Black-Scholes模型中，欧洲看涨期权的当前价格可以表示为η（t，s）=e[e-r（T-t） （ST- K） +| St=s]，其中E是风险中性度量，r是无风险利率，Sti是当前的股票价格，t和K分别是到期日和履约价格。在通常的表示法下，Black-Scholes模型中的欧式看涨期权的价格也可以表示为抛物偏微分方程的解，称为Black-Scholes偏微分方程。此PDE是η（t，s）t+rsη（t，s）s+σsη（t，s）s=rη（t，s），（4.1），具有适当的终端条件。该偏微分方程是（3.5）的特例，对于固定i，其中r和σ与时间无关。方程（4.1）可解析求解，得出η（t，s）=Nln公司sK公司+r+σ（T- t） σ√T- t型s- Nln公司sK公司+r-σ（T- t） σ√T- t型柯-r（T-t） ，（4.2），其中N（.）是标准正态分布的累积分布函数。然而，在实践中，布莱克-斯科尔斯模型的条件很少得到满足。因此，我们考虑制度转换模型。第2.4节讨论了我们研究年龄依赖过程背后的动机。4.1市场模型≥0是时间t时货币市场账户的价格，其中，即期利率isrt=r（Xt），B=1。这里，{Xt}t≥0被视为第2章中讨论的年龄相关过程。我们有Bt=eRtr（Xu）du。设{St}t≥0be股票的价格过程，由半马尔可夫调制的GBM控制，即dSt=St（u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt），S>0，（4.3），其中{Wt}t≥0是独立于{Xt}t的标准维纳进程≥0，u：X→ R是漂移系数，σ：[0，T]×X→ （0，∞) 对应于波动率。设Ft为满足通常假设和XTAND St生成的过滤的正确连续版本的F的过滤。

显然，上述SDE的解是具有几乎确定连续路径的FTSEMI鞅。我们在上述市场假设下解决衍生品定价问题。为此，我们回顾了以下一般市场设置中的二次套期保值方法。4.2二次HedgingLet由两个资产{St}t组成的市场≥0和{Bt}t≥0其中B是连续的半鞅，B是有限变化的。可接受的策略是对这些资产的动态分配，定义为可预测的过程π={πt=（ξt，εt），0≤ t型≤ 满足以下（A1）中给出的条件。分量ξ和εt分别表示在时间t时归属于展位bt的数量。时间t时投资组合的价值由vt=ξtSt+εtBt给出。（4.4）这里我们假设（A1）（i）ξtis平方可积w.r.t St，（ii）E（εt）<∞,（三）a>0 s.t.P（Vt≥ -a、 t型∈ [0，T]）=1。可以以与[9]类似的方式表明，所考虑的市场模型承认存在一个等价鞅测度。因此，在上述可接受策略类别下，市场没有套利机会。这允许我们考虑使用或有权益的F¨ollmer-Schweizer分解进行定价。设Ct为策略π在时间t的累积额外现金流。然后，将Vt也写为两个量的总和，一个是在时间t早期的投资回报-  另一个是瞬时现金流(Ct）。即Vt=ξt-St+εt-英国电信+Ct（4.5）或Ct=St（ξt- ξt-) + Bt（εt- εt-)这与St不同-（ξt- ξt-) + 英国电信-（εt- εt-). 上述观察结果表明，外部现金流可以表示为一个类似于Stdξt+Btdεt的随机积分（但不在其内部）。

它将具有相同的积分器和被积函数，但将通过取右端点而不是左端点来定义，这与It'o积分不同。然而，在这里，我们仅限于It微积分的形式主义。为了使用It'o积分推导表达式，我们注意到方程（4.4）和（4.5）导致以下离散方程vt- Vt公司-= ξt-（St- St公司-) + εt-（英国电信- 英国电信-) + 等效于SDEdVt=ξtdSt+εtdBt+dCt。（4.6）这一观察结果基本上做出了以下定义（详情见【25】），这是文献中的标准，不言而喻。定义4.2.1。策略π=（ξ，ε）被定义为自融资ifdVt=ξtdSt+εtdBt，t型≥ 现在使用It^o积分的分部积分规则，我们从（4.4）dVt=ξtdSt+εtdBt+Stdξt+Btdεt+dhS，ξIt+dhB，εIt推导出。通过将其与方程（4.6）进行比较，我们得到dct=Stdξt+Btdεt+dhS，ξit+dhB，εit。（4.7）由于，所有t的有限变化和连续路径的Btis，hB，εit=0。我们进一步注意到t（（ξtS*t） Bt）=ξtS*tdBt+Btd（ξtS*t） +dhξS*, 位=ξtS*tdBt+基站*tdξt+BtξtdS*t+Btdhξ，S*it+dhξS*, 位（4.8）和D（ξt（S*tBt））=ξtd（S*tBt）+S*tBtdξt+dhξ，S*位=ξtBtdS*t+ξtS*tdBt+ξtdhS*, 位+S*tBtdξt+dhξ，S*一点（4.9）因此，从方程（4.8）和（4.9）中，我们得到Btdhξ，S*it+dhξS*, 位=ξtdhS*, 钻头+dhξ，S*一点（4.10）因此，BtdhS*, ξit=dhBS*, ξit+ξtdhS*, 一点- 国土安全部*ξ、 Bit=dhS，ξit，其中S*t： =B-1测试。因此，使用（4.4）和上述等式，等式（4.7）给出了SDCT=Stdξt+Btd（V*t型- ξtS*t） +BtdhS*, ξit=标准ξt+Bt（dV*t型- ξtdS*t型- S*tdξt- 国土安全部*, ξit）+BtdhS*, ξit=Bt（dV*t型- ξtdS*t） 或者，BtdCt=dV*t型- ξtdS*t、 （4.11）过程C*t： =C*+由于明显的原因，RtBtdCt被称为贴现成本过程，该过程在t=0时给出截至t时的累计额外现金流的净现值。

如果一个策略π是自我融资的，显然C*t（π）=常数，因此从（4.11）可以得出，dV*t=ξtdS*t、 布莱克-斯科尔斯模型是所谓的完全市场的一个例子。完全市场是指所有或有权益都可以通过自我融资策略实现的市场。在许多市场模型中，自我融资策略的类别不足以确保对给定索赔进行完美对冲。这种市场被称为不完全市场。在这样的市场中，最优策略是一种可接受的对冲策略，对于该策略，二次剩余风险（现金流的一种度量）在一定的约束条件下最小化（更多细节请参见[8]）。这种最佳策略不需要自我融资。如[8]所示，如果市场是无套利的，则对冲可计量索赔H的最优策略的存在性等价于贴现索赔H的F¨ollmer-Schweizer分解的存在性*:= B-前1小时*= H+ZTξH*tdS公司*t+左侧*T、 （4.12）其中H∈ L(Ohm, F、 P），左侧*= {左侧*t} 0个≤t型≤这是一个平方可积鞅，从零开始，与St和ξH的鞅部分正交*= {ξH*t} t型≥0满意度A1（i）。进一步ξH*出现在分解中，构成最优策略。实际上，最优策略π=（ξt，εt）由ξt：=ξH给出*t、 五*t： =H+ZtξudS*u+左侧*t、 （4.13）εt：=V*t型- ξtS*t、 和BtV*Tre表示索赔H时间t的局部风险最小化价格。因此，可以通过构造相关或有索赔的F¨ollmer-Schweizer分解来解决任何市场（尤其是不完全市场）中的定价和套期保值问题。回到第4.1节所述的特定市场模型，我们的目标是构建F¨ollmer-Schweizer分解。4.3套期保值和定价方程我们试图为许多欧洲类型期权的最佳套期保值策略找到一个表达式。在本节中，我们将讨论看涨期权、看跌期权和障碍期权。

期权可以分类，这取决于它们对股票价格过程路径的依赖性。4.3.1路径独立期权路径独立期权，如欧洲看涨期权/看跌期权及其组合（黄油价差等），最容易定价。定理4.3.1。设ν为（3.2）-（3.4）在线性增长最多的函数类中的唯一经典解。1、设（ξ，ε）由ξt给出：=^1（t、St、Xt-, 年初至今-)砂εt：=e-Rtr（Xu）du（Д（t、St、Xt、Yt）- ξtSt）。（4.14）则（ξ，ε）是最优容许策略。2、Д（t，St，Xt，Yt）是K（~St）的本地风险最小化价格。证据在市场模型下，平均方差交易函数（MVT）过程^Kt（如nedin Pham等人[21]所述）采用以下形式^Kt=Ztu（s，Xs）- r（Xs）σ（s，Xs）ds。因此，^Ktis在[0，T]上有界且连续。我们还知道，ST几乎有确定的连续路径。自，H*∈ L(Ohm, F、 P）对于H=K（~ST），我们应用[21]的推论5和引理6得出结论，H*允许F¨ollmer Schweizer分解*= H+ZTξH*u（dA*u+κ（u，Xu）A*udu）+左侧*T、 （4.15）具有被积函数ξH*满足A1（i）和LH*平方可积的。因此，为了证明定理，有必要证明（a）存在可测量的手Ft可测量的Lt，使得Lt：=E[Lt | Ft]等正交侵权σ（Xt）S*tdWti。e、 ，S的鞅部分*串联H*= H+RTξtdS*t+LT；（b） Bt^1（t、St、Xt-, 年初至今-) = H+RtξtdS*所有t的t+L≤ T（c） Д（t，St，Xt，Yt）=Btεt+ξtst对于所有t≤ T（d） P（Д（t、St、Xt、Yt）≥ 0t型≤ T）=1，其中Д是规定类别中（3.2）-（3.4）的唯一经典解，（ξ，ε）是asin（4.14）。引理3.1.3中表明，Д是一个非负函数。因此（d）成立。从εtin（4.14）的定义来看，（c）如下。接下来我们展示条件（b）。

我们将It^o公式应用于e-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt），根据测量值P到gete-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt）=Д（0，S，X，Y）+中兴通讯-Rur（Xv）dv^1u（u，苏，徐-, 于-) du+中兴通讯-Rur（Xv）dv(-r（Xu））Д（u、Su、Xu-, 于-) du+中兴通讯-Rur（Xv）dv^1s（u、Su、Xu-, 于-) dSu+中兴通讯-Rur（Xv）dv^1s（u、Su、Xu-, 于-) dhSiu+中兴通讯-Rur（Xv）dv^1y（u、Su、Xu-, 于-) dY（c）u+Xu≤te公司-Rur（Xv）dv（Д（u、Su、Xu、Yu）- ^1（u、Su、Xu-, 于-)) ,（4.16）其中Y（c）是Yt的连续部分。现在，^1（u、Su、Xu、Yu）- ^1（u、Su、Xu-, 于-) =^1u、 苏、徐-+ZRh（Xu-, 于-, z）（杜，dz），余--ZRg（Xu-, 于-, z）（du，dz）- ^1（u、Su、Xu-, 于-)=ZR[Д（u、Su、Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1（u、Su、Xu-, 于-)] （du，dz）=ZR[Д（u，Su，Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1（u、Su、Xu-, 于-)] （^）（du，dz）+du dz），其中^ 是补偿泊松随机测度。我们设置：=中兴通讯-Rur（Xv）dvZR[Д（u，Su，Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）-^1（u、Su、Xu-, 于-)] ^（du，dz）。根据h和g的定义，我们可以写-+ h（Xu-, 于-, z） =Xj6=Xu-j1∧Xu-j（Yu-)（z） +徐-Sj6=i∧Xu-j（Yu-)c（z）和YU-- g（Xu-, 于-, z） =Yu-Sj6=i∧Xu-j（Yu-)c（z）。因此，ZR[Д（u，Su，Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1（u、Su、Xu-, 于-)] du dz=XXu-6=j[Д（Su，j，0）- ^1（苏、徐-, 于-)] λXu-j（Yu-) 杜。我们知道dSt=St（u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，dhSit=σ（t，Xt）dt和dY（c）t=dt。因此，从（4.16）中，我们得到-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt）=Д（0，S，X，Y）+中兴通讯-Rur（Xv）dv×^1u型+^1y+u（u，Xu）Su^1s+σ（u，Xu）Su^1s- r（Xu）+XXu-6=j[Д（Su，j，0）- ^1（苏、徐-, 于-)] λXu-j（Yu-)du+中兴通讯-Rur（Xv）dvσ（u，Xu）^1s（u、Su、Xu-, 于-) dWu+Lt。使用（3.2），这将简化为И（0，S，X，Y）+中兴通讯-Rur（Xv）dv（u（u，Xu）- r（Xu））苏^1sdu+中兴通讯-Rur（Xv）dvσ（u，Xu）^1s（u、Su、Xu-, 于-) dWu+Lt.Now，S*t=B-1tSt=e-Rtr（Xu）粉尘。

亨塞德斯*t=e-Rtr（Xu）粉尘（（u（t，Xt）- r（Xt））dt+σ（t，Xt）dWt。因此，我们得到，对于所有t<Te-Rtr（Xu）duД（t，St，Xt，Yt）=Д（0，S，X，Y）+Zt^1（u、Su、Xu-, 于-)十二烷基硫酸钠*u+Lt。因为lti是一个积分w.r.t。一个补偿泊松随机测度，所以它是一个鞅。再次强调Wtand的独立性 暗示了LTT与S的鞅部分的正交性*t、 因此，我们通过让t↑ T，B-1TK（￠ST）=Д（0，S，X，Y）+ZTξtdS*t+LT.（4.17），因此（a）和（b）保持不变。定理4.3.2。设Д为（3.2）-（3.4）的唯一解。集合ψ（t，s，i，y）：=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ηi（t，s）s+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Xjpij（y+v）Z∞^1（t+v，x，j，0）e-1L（t，i）√2πxs'σln（xs）- （r（i）v- \'（σ）(R)σdxdv（4.18），其中（t，s，i，y）∈ D和'σ=Rt+vtσ（u，i）du。然后ψ（t，s，i，y）=s^1（t、s、i、y）。证据我们需要证明ψ（如（4.18）所示）等于^1s、 事实上，我们可以通过区分（3.2）右侧与s的关系来获得RHSof（4.18）。因此，可以证明。备注4.3.1。我们已经证明了sИ（t，s，i，y）是为了找到最佳套期保值而计算的必要数量。正在尝试计算使用数值微分法的sИ（t、s、i、y）将增加^1sto小错误。方程（4.18）给出了更好、更稳健的计算方法使用数值积分法计算sИ（t，s，i，y）。4.3.2弱路径依赖选项在本小节中，我们考虑障碍选项。这些期权在股票价格达到某个“障碍”后立即行使或到期。有四种类型的欧洲屏障选项（假设屏障b>0）：1。向下和向外：如果在到期之前从上方达到障碍S=b，则期权将变得毫无价值。2、上升和退出：如果在到期前从下方到达障碍S=b，期权将变得毫无价值。3.

向下和向内：除非在到期前从上方到达障碍S=b，否则期权将变得一文不值。4、向上和向内：除非在到期前从下方达到S=b的界限，否则期权将变得毫无价值。障碍期权的支付函数不仅仅由到期时的股价决定。期权到期或立即行使（视情况而定），取决于股票价格过程St是否达到某个障碍。换句话说，支付是路径依赖的。然而，支付并不取决于股票价格的整个历史；它只取决于股票价格过程的特定属性。因此，屏障选项被称为“弱路径依赖”。这些障碍条件可适用于看涨期权和看跌期权。在这一小节中，我们考虑了一个向上和向外的欧式看涨期权的定价问题。然而，我们将自己限制在波动率不明确取决于时间的情况下，因此σ（t，i）=所有i和t的σ（i）。让向上和向外的欧洲看涨期权的价格为Дuoc。然后，未定权益可以写为asH=（ST- K）+最大值∈[0，T]St<b, （4.19）按照通常的符号。我们定义τ：=min{t>0：St=b}。因此，τ是一个Ft停止时间，几乎可以肯定是有限的。现在，如果S≥ b、 那么该期权将已经处于到期状态。因此，我们只考虑非平凡情况S<b。在这种情况下，偶然目标H可以用另一种形式asH=（ST- K） +1{τ>T}。障碍期权的定价问题归结为在DOMAIND上求解方程（3.9）的问题-:= {（t，s，i，y）∈ （0，T）×（0，b）×χ×（0，T）}，对于所有T，边界条件Д（T，b，i，y）=0∈ （0，T），i∈ χ。

（4.20）我们在第3.2节中所做的关于边界条件冗余的分析↓ 0不适用于此处，对于s↑ b、 因为定价PDE没有减少到ans独立PDE。因此，边界条件（4.20）是必要的。引理4.3.3。考虑以下积分方程νuoc（t，s，i，y）=1- F（T- t+y | i）1- F（y | i）ηuoc；i（t，s）+ZT-te公司-r（i）vf（y+v | i）1- F（y | i）×Φln学士学位- （r（i）-σ（i））vσ（i）√v- 经验值2r（i）σ（i）- 1.ln公司学士学位×Φ-ln公司学士学位- （r（i）-σ（i））vσ（i）√v#×Xj6=ipij（y+v）ZbДuoc（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）dx dv。（4.21）则（i）方程（3.2）具有唯一解C（D-), （ii）C1,2,1（D）和（iii）Д（t，s，i，y）中积分方程的解是非负的。证据证明类似于引理3.1.3。提案4.3.4。方程（4.21）的唯一解也解决了初值问题（3.2）-（4.20）。证据该证明类似于命题3.1.5，尽管稍微不那么繁琐，因为νuocis是一个有界函数，并且还因为σ（t，i）=σ（i）适用于所有t和i。命题4.3.5。假设（2.2）和（2.3）。我们还假设转移矩阵pij:=R∞pij（y）dFi（y）是不可约的。设ν为（3.2）-（4.20）的经典解。然后求解积分方程（4.21）。证据大部分证明与命题3.2.1相似。我们在这里建造▄Stas giventhere。现在，如果νuocis（3.2）-（4.20）的经典解，则使用It^o的公式onNt：=e-Rtr（Xu）duДuoc（t、~St、Xt、Yt），我们得到DNT=e-Rtr（徐）杜-r（Xt）Дuoc（t、~St、Xt、Yt）+^1uoct（t，~St，Xt，Yt）+在φuoc（t，~St，Xt，Yt）其中mt是局部鞅。由于▄sti是一个鞅，而Дuocis是一个有界函数，{Nt}是一个鞅。

因此，νuoc（t，St，Xt，Yt）=eRtr（Xu）duNt=E[eRtr（Xu）duNt | Ft]=E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）1{τ>T}▄ST，Xt，Yt]。通过在过渡时间条件化并使用▄St的条件对数正态分布，我们得到了Ζuoc（t，▄St，Xt，Yt）=E[E[E-RTtr（Xu）duK（~ST）1{τ>T}| ST，Xt=i，Yt，Tn（T）+1]| ST，Xt=i，Yt]=P（Tn（T）+1>T | Xt，Yt）E[E-RTtr（Xu）duK（▄ST）1{τ>T}▄ST，Xt=i，Yt，Tn（T）+1>T]+ZT-tE[e-RTtr（Xu）duK（▄ST）1{τ>T}▄ST，Xt，Yt，Tn（T）+1=T+v]f（T- Tn（t）+v | Xt）1- F（Yt | Xt）dv=1- F（T- Tn（t）| Xt）1- F（Yt | Xt）ηuoc；Xt（t，~St）+ZT-te公司-r（Xt）vf（Yt+v | Xt）1- F（Yt | Xt）×Xj6=ipij（Yt+v）Z∞E【E】-RTt+vr（Xu）duK（~ST）1{τ>T}|▄ST+v=x，Yt+v=0，Xt+v=j，Tn（T）+1=T+v]exp{-（ln（xSt）- （r（i）-σ（i））v）σ（i）√v}x个√2πσ（i）√vdx dv，其中ηuoc；Xt（t，~St）是具有恒定利率r（i）和时间独立波动率σ（i）的欧洲向上和向外看涨期权的Black-Scholes价格。因此，νuoc（t，~St，Xt，Yt）=1- F（T- t+Yt | Xt）1- F（Yt | Xt）ηuoc；Xt（t，~St）+ZT-te公司-r（Xt）vf（Yt+v | Xt）1- F（Yt | Xt）×E[E-RTt+vr（Xu）duK（~ST）|ST+v=x，Yt+v=0，Xt+v=j，Tn（t）+1=t+v，τ>t]×P[τ>t |ST+v=x，Yt+v=0，Xt+v=j，Tn（t）+1=t+v]×Xj6=ipij（Yt+v）ZbИuoc（t+v，x，j，0）e-1Lx√2πσ（i）√vdx dv。可以证明，使用反射原理，P最大[t，t]Su<b |St+v=x，Yt+v=0，Xt+v=j，Tn（t）+1=t+v=“Φln学士学位- （r（i）-σ（i））vσ（i）√v- 经验值2r（i）σ（i）- 1.ln公司学士学位×Φ-ln公司学士学位- （r（i）-σ（i））vσ（i）√v！#，这意味着Дuoc（t，St，Xt，Yt）=1- F（T- t+Yt | Xt）1- F（Yt | Xt）ηuoc；Xt（t，~St）+ZT-te公司-r（Xt）vf（Yt+v | Xt）1- F（Yt | Xt）×Φln学士学位- （r（i）-σ（i））vσ（i）√v- 经验值2r（i）σ（i）- 1.ln公司学士学位×Φ-ln公司学士学位- （r（i）-σ（i））vσ（i）√v#×Xj6=ipij（Yt+v）Zbхuoc（t+v，x，j，0）α（x；s，i，v）dx dv。（4.22）由于不可约性条件（A1），我们可以分别用s、i和y来替换▄St、Xt和yt。定理4.3.6。

初始边值问题（3.2）-（4.20）在具有最多线性增长的函数类中具有唯一的经典解。证据证明类似于定理3.2.2。定理4.3.7。设Дuoc（t，s，i，y）表示问题的唯一解决方案（3.9,4.20）。那么以下陈述成立：1。^1uoc（t，s，i，y）是履约价格K、屏障b>K和到期日t>t.2的上行和外层欧洲看涨期权在时间t的本地风险最小化期权价格。最优套期保值策略π*= {ξ*t、 η*t} 由ξ给出*t型=sИuoc（t、St、Xt-, 年初至今-)1（τ>T）η*t=V*t型- ξ*tS*t、 （4.23）其中*t=Дuoc（0，S，X，Y）+Zts^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)1（τ>u）dS*u+ZtZRe-Rur（Xv）dv{uoc（u、Su、Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)}1（τ>u）^（du，dz）。时间t的剩余风险由t（π）给出*) =E中兴通讯-2Rur（Xv）dvf（Yu | Xu）1- F（Yu | Xu）×Xj6=XupXu，j（νuoc（u，Su，j，0）- ^1uoc（u，Su，Xu，Yu））1（τ>u）du英尺#。（4.24）证明。让0≤ t型≤ T我们定义：=e-Rtr（Xu）duДuoc（t、St、Xt-, 年初至今-)1（τ>T）=e-Rt公司∧τr（Xu）duИuoc（t∧ τ、 St公司∧τ、 Xt公司∧τ、 年初至今∧τ） ，因为Дuoc（τ，Sτ，Xτ，Yτ）=0。通过It'o公式，我们得到，在P下，Nt=νuoc（0，s，X，Y）+Zts^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)1（τ>u）dS*u+Zt∧τZRe-Rur（Xv）dv{uoc（u、Su、Xu-+ h（Xu-, 于-, z） ，于-- g（Xu-, 于-, z） （）- ^1uoc（u、Su、Xu-, 于-)} ^（du，dz）。（4.25）根据Doob期权抽样定理，（4.25）的R.H.s是P下的Ft鞅，它与{Mt}正交（由于{Wt}和^的独立性）（·，·））。因此，作为t↑ 式（4.25）提供了NT的F¨ollmer-Schweizer分解（即DiscountedContinent主张）。因此，定理4.3.7中的命题紧随其后。4.4波动率模型的一个示例可以采用许多不同的方法对波动率进行建模。基于经验数据，可以构建几种波动率模型。

在本节中，我们考虑了一种“周一效应”，即由于周一之前的两个非交易日，周一股票的波动性激增。波动率也可以假设在一周的整个过程中都会下降，但在交易周开始时会急剧上升。捕捉这种影响的模型之一是：σ（t，i）=σ（0，i）“α+4（1- α)tβ-#,其中t是以周为单位的时间，α和β是0<α<1且β>0的参数。该模型假设波动率在反弹之前下降到其最大值的α倍。在t=（）β时达到最小挥发性。在该模型中，α的高值表示波动率的变化较低，而β表示波动率波谷的位置，β的高值导致波谷较晚。这里是一个波动率模型的示例，σ（0，1）=0.2，σ（0，2）=0.5，σ（0，3）=0.3，参数α=和β=3。图4.1：波动率与时间第5章可违约债券5.1市场模型我们在概率空间上考虑市场(Ohm, F、 P），具有有限状态空间χ={1，2，…，k}。市场动态由年龄相关的过程X={Xt}t建模≥0在χ上，如方程（2.6）和（2.7）所述。我们将以下市场参数定义为函数r：χ→ （0，∞), u：（0，∞)×χ→ （0，∞), κ：（0，∞)×χ→ R、 σ：（0，∞)×χ→ （0，∞). （5.1）这里，r、u、κ、σ分别是利率、漂移系数、股息支付率和波动率。我们考虑一个公司债券的结构模型，在该模型中，如果其资产价值低于某个阈值，公司将违约。假设公司的资产价值At遵循几何布朗运动，该运动由方程（2.6）和（2.7）给出的年龄相关过程XT调节。

因此，dAt=At[（u（t，Xt）- κ（t，Xt））dt+σ（t，Xt）dWt]，A>0（5.2），其中{Wt}t≥0是一个独立于X的标准维纳过程。市场还假设包含一个金额为Bta的本地无风险货币市场账户，其中BT=eRtr（Xu）du。（5.3）我们使用结构性方法对信用风险进行建模，即公司债务（债券）违约的风险。我们将公司股权和可违约债券视为公司资产的或有目标。公司的股权和债务分别以EtandDt表示。5.1.1模型1我们考虑的第一个模型是默顿的经典模型（[18]），并进行了一些修改，以说明市场是由年龄相关过程调节的。我们考虑一种无息债券，它只能在到期时违约（t=t）。如果发生违约，债权人有权获得考虑中的公司资产。因此，只有当大于K时，企业的股权持有人才能获得报酬，其中K是一个特定的阈值。到期时向股东支付的总金额，isE（T，at，XT）=（at- K） +=最大值（AT- K、 0）。（5.4）到期时可违约债券的价格由byD（T，at，XT）=min（at，K）=K得出- （K）- AT）+。（5.5）由于上述支付与由面值为K、在时间T到期的无违约贷款和股息率为K（T，Xt）、履约价格为K、在时间T到期的短期欧洲看跌期权组成的投资组合相同，因此有助于解决相同市场模型下的欧洲看涨期权定价问题。我们在4.3.1中已经这样做了。因此，我们在此不提供任何进一步的细节。5.1.2模型2默顿的经典模型不允许过早违约。可能存在一个临界阈值，低于该阈值，公司将倾向于违约。这种模式对可违约债券的持有人更为有利。

我们考虑一个模型，如果资产价值在任何时间t下降到临界阈值J以下，则公司违约∈ （0，∞], 或者，如果终端资产价值ATis小于K。我们假设J<K。定义以下停止时间τ=T、 如果低于K∞, 否则，（5.6）和τ=inf{t∈ （0，T）| At<J}。如果Atnever低于J，我们设置τ=∞. 然后，默认时间τ由τ=min（τ，τ）给出。（5.7）如果违约时间已到，则该公司不会违约，债券持有人将收到全部违约金。我们可以在时间T asD（T，at，XT）=K时写出可违约债券的值- （K）- AT）++（AT- K） +1（薄荷糖≤TAt<J）。（5.8）上述支付可立即确认为由以下三部分组成的投资组合的支付：1。面值为K的无违约贷款，到期日为T，2。以股息率κ（t，Xt），执行价格K，时间t和3到期的短期欧洲看跌期权。具有执行价格K、屏障J和到期时间T的长期欧洲跌停看涨期权。由于（5.8）中存在第三项，该模型下的可违约债券价值至少与默顿经典模型下的债券价值相同。债券持有人受到更好的保护。如果波动率不明确取决于时间，即如果σ（t，i）=σ（i）对于所有t和i，那么定价和对冲问题可以使用我们在4.3.2.5.1.3模型3中的分析来解决。在该模型中，违约的标准与模型2相同。然而，恢复规则是不同的。如果提前违约，债券持有人将按照预先确定的固定回收率δ获得债券面值的一小部分，满足以下不平等0≤ δ≤JK公司(≤ 1） 。（5.9）如果公司在到期时违约，则债务回收程序与模型2中的程序相同。如果公司没有违约，债务将在到期时全部偿还。

因此，到期时可违约债券的价值可以写成d（T，at，XT）=min（at，K）1（τ≥ T）+δKB（τ，T，Xτ）1（τ<T），（5.10），其中B（τ，T，Xτ）表示单位面值和到期日为T的无违约耦合债券在时间τ的价格。该模型不同于之前讨论的两种模型，即恢复是在违约时进行的，不一定是在到期时进行的。与模型2中一样，在挥发度没有明确的时间依赖性的情况下，可以使用积分方程形式。我们正在考虑的市场是不完整的（即并非所有未定权益都可以通过自我融资策略进行完美对冲）。这是由于存在半马尔可夫调制区域切换。然而，我们可以将市场的不完全性所产生的剩余风险降至最低。我们寻找使剩余风险最小化的衍生证券的价格。这可以通过考虑相关未定权益的F¨ollmer-Schweizer分解来实现。参考文献[1]Arendt W.、Batty C.、Hieber、M.和Neubrander，F.、向量值拉普拉斯变换和柯西问题，Birkhauser 2001。[2] Banerjee，Ghosh，Iyer，“马尔可夫调制市场中可违约债券的定价”，随机分析与应用30（2012），448-475。[3] Basak G.K.、Ghosh Mrinal K.和Goswami A.，《马尔可夫调制市场中一类奇异期权的风险最小化期权定价》，Stoch。安。应用程序。29:2（2011），259-281。[4] Bu ffington J.和Elliott R.J.，《体制转换的美国期权》，国际J.Theor。应用程序。《金融》5（2002），497-514。[5] Deshpande A.和Ghosh M.K.，《体制转换市场中的风险最小化期权定价》，Stoch。安。应用程序。26（2008年）。[6] DiMasi G.B.、Kabanov Y.和Runggaldier W.J.，《马尔可夫波动率股票期权的均值方差套期保值》。理论概率。应用程序。，第39卷（1994），173-181。[7] Elliott R.J.，Chan L。

和Siu T.K.，regimeswitching下的期权定价和Esscher转换，金融年鉴1423-432（2005）。[8] F¨ollmer H.和Schweizer M.，《不完全信息下的未定权益对冲》，应用随机分析，随机专著，第5卷（1991），389-414。[9] Ghosh M.K.和Goswami A.，《半马尔可夫调制市场中的风险最小化期权定价》，SIAM J.Control Optim。48（2009），1519-1541。[10] Ghosh M.，Saha S.，“具有年龄相关转移率的随机过程”，随机分析与应用，Taylor&Francis，第23卷，第5期，2005年。[11] Goswami A.、Patel J.、Shevgaonkar P.，“退化非局部抛物线系统及其应用”。[12] 郭X.和张Q.，《带制度转换的永久美式看跌期权的封闭式解决方案》，暹罗J.Appl。数学39（2004），173-181。[13] Hunt J.和Devolder P.，半马尔可夫制度转换利率模型和最小熵测度，Physica A：统计力学及其应用390,15（2011），3767-3781。[14] 渡边池田，“随机微分方程和微分过程”，北荷兰数学图书馆，1981年。[15] Joberts A.和Rogers L.C.G.，《马尔可夫调制动态期权定价》，SIAM J.Control Optim。44（2006），2063-2078。[16] Kallianpur Gopinath和Karandikar Rajeeva L.，期权定价理论导论，Birkhuser Boston，2000年。[17] Mamon R.S.和Rodrigo M.R.，《区域切换经济中欧洲选择的明确解决方案》，《运筹学快报》33（2005），581-586。[18] 默顿，R.C.1974年。关于公司债务的定价：利率的风险结构。《金融杂志》。29:449-470【19】努恩W.R.，德西德里奥A。

M、 ，“半马尔可夫过程：简介”，海军分析中心，CRC 3351977年7月。[20] Pazy A.，线性算子半群及其在偏微分方程中的应用，Springer-Verlag，1983年。[21]Pham H.、Rheinl¨ander T.和Schweizer，M.，《连续过程的均值-方差对冲：新的证明和示例》，Finance Stoch。（1998）173-198。[22]Pyke R.，马尔可夫更新过程：定义和初步性质，Ann。数学统计学家。第32卷（1961年），第12311242页。[23]Pyke R.，具有有限多个状态的马尔可夫更新过程，Ann。数学统计学家。第32卷（1961年），第12431259页。[24]Schweizer M.，二次套期保值方法导览，E.Jouini，J.Cvitani\'c，M.Musiela（编辑），《期权定价利率和风险管理》，剑桥大学出版社（2001），538-574。[25]Shiryaev A.N.，《随机金融的本质：事实、模型、理论》，1999年。【26】Shreve S.E.，《金融随机微积分II：连续时间模型》，Springer，113-115。