路径积分与资产定价

2022-5-7 00:29:11

路径积分和资产定价卡库沙泽§+1§QuantigicSolutions LLC1127 High Ridge Road#135，斯坦福德，CT 06905+第比利斯自由大学，商学院和物理学院240，第比利斯大卫·阿格马什·内布·莱利，0159，乔治亚州（2014年10月6日；修订：2015年2月20日）摘要我们对在资产定价中使用欧几里德路径积分进行了实用/教学讨论。然后，我们说明了短速率模型上的路径积分方法。通过理解Vasicek/Hull-White模型中路径积分测度的变化，我们可以将相同的技术应用于“不可伸缩”模型，如Black-Karasinski模型。我们在量子力学“半经典”ap近似下给出了计算此类模型中债券定价函数的显式公式。我们还概述了如何在“半经典”近似之外应用微扰量子力学技术，这是由费曼图促成的。Zura Kakushadze博士是QuantigicrSolutions LLC的总裁，第比利斯自由大学的正式教授。电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于表明其在出版物中的专业地位。特别是，本文内容并非投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic Solutions L C网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1引言费曼（1948）在其关于量子力学路径积分公式的开创性论文中谦逊地指出：“该公式在数学上等同于更常见的公式。因此，没有根本上的新结果。然而，从新的角度认识旧事物是一种乐趣。

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2022-5-7 00:29:14

此外，对于一些问题，新观点具有明显的优势。”费曼指的是他在那篇论文中描述的量子力学的路径积分公式，与现有的等效公式t离子、薛定谔波动方程和海森堡矩阵力学有关。随后，他将路径积分应用于量子电动力学，并开发了费曼图技术（费曼，1949），该技术已被用于以惊人的精度计算量子场论中的各种实验测量量。费曼路径积分的欧几里德版本可以应用于金融领域，包括资产定价问题，这一点早已为人所知。与量子力学一样，金融中的路径积分既不是万能药，也不是产生“根本新结果”的必然选择。相反，仅在量子力学（和量子场论）中，它是一个等价的公式，在某些情况下，它提供了对旧问题的内在清晰和洞察。因此，当随机微分方程和定价偏微分方程恰好难以使用或难以记录时，路径积分有时可以提供通向可能解决方案的路径的更清晰视图。正是基于这种理解，在这些注释中，我们试图在资产定价的背景下讨论帕特h积分。我们从经典力学（第2节）开始，然后讨论量子力学的费曼路径积分公式（第3节）。我们没有给出费曼帕特h积分的推导——我们的目标是资产定价中的路径积分。为此，我们接着讨论egr al的欧几里德路径（第3.3小节），这是与资产定价相关的（第4节）。

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2022-5-7 00:29:18

在资产定价背景下，我们讨论了半经典近似的模拟，在量子力学中相当于保持领先的量子修正，而在资产定价中，它具有小“波动性”近似的含义（在第7节中讨论）。在定价PDE语言中，这是WKB近似值。这种近似下的路径积分是高斯的。超越这种“半经典”近似等于做微扰理论，微扰理论在量子力学和欧几里德路径积分中得到了很好的理解，并通过费曼图技术得到了极大的促进。路径积分在资产定价中有多种应用，包括期权定价和利率产品。一个自然的应用是短期利率模型中的债券定价。在第5节中，为了说明路径积分技术的使用，我们给出了Vasicek/Hull-Whitemodel中债券定价函数的两行推导。然后，通过仔细改变路径积分测度，我们得到了相同的结果（在常数参数的情况下）。在这个过程中，如何将路径积分方法推广到传统方法变得很明显。一些读者可能希望跳过第2节和第3节。“不易处理”的短期利率模型，如Black Karasinski模型，我们将在第6节中讨论。我们给出了在“半经典l”近似下计算此类模型中债券定价函数的显式公式。我们在第7节做了一些总结，包括如何在“半经典”近似之外应用微扰技术的概述。附录A提供了一些高斯路径积分。

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2022-5-7 00:29:21

附录B给出了措施变更的一些细节。经典力学关于沿x轴的一维运动的牛顿第二定律是：F=MA（1），其中m是物体的质量，a≡ ¨x是它的加速度，F是它所受的力。乐舞团≡ -五、x（2），其中函数V称为势能。一般来说，V是x和t的函数。mot离子（1）的方程式为：m¨x=-五、x（3）这个方程可以通过定态作用原理导出。设x（t）是连接两个时空点（x，t）和（xf，tf）的连续路径F，其中tf>t≡ S[x（t）]是定义的≡ZFdt L（x，˙x，t）（4），其中L是拉格朗日函数≡m˙x-V（5）注意，只有当V有明确的时间依赖性时，L才有明确的时间依赖性。现在考虑路径x（t）的一个小变化→ x（t）+δx（t），其中δx（t）在路径的端点处消失：δx（t）=δx（tf）=0。动作的变量为：δS=ZFdtL十、-滴滴涕L ˙xδx（t）（6），其中我们通过部分积分，并考虑到表面项消失。当且仅当ifddt时，函数导数δS/δx（t）消失L ˙x=Lx（7）变量上的每个点代表一个时间导数。通常不太准确地提到行动最少的原则。这是因为δx（t）是任意的，受tand tf处的边界条件约束。这是欧拉-拉格朗日方程，也就是运动方程（3）。因此，经典轨迹是通过要求动作函数是静止的来确定的。请注意，经典轨迹是确定性的：（3）是一个二阶微分方程，因此通过指定端点（x，t）和（xf，tf），路径x（t）是唯一固定的。

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2022-5-7 00:29:24

或者，它是通过指定初始条件唯一确定的：x（t）=x和˙x（t）=v，其中v是速度v≡ ˙x at t=t.3量子力学和路径积分相反，量子力学不是确定性的，而是概率性的。我们只能确定一个量子粒子在（x，t）处开始的概率P（x，t；xf，tf）。这是因为海森堡的测不准原理：在量子力学中，不可能100%确定地同时指定位置和速度（见下文）。一种思考方法是，从（x，t）开始，粒子可以通过概率分布的有限条路径。概率P（x，t；xf，tf）由P（x，t；xf，tf）=hxf，tf | x，ti |（8）给出，其中概率振幅由费曼的第次积分（费曼，1948）hxf，tf | x，ti=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp给出i~S（9）其中，积分覆盖连接点（x，t）和（xf，tf）的所有路径，而dx包括一个适当的积分度量，我们将在下面定义。还有，~是（约化的）普朗克常数。路径积分（9）可以看作是一个N→ ∞ N的极限- 1.积分。让我们把区间[t，tf]分成N个子区间：ti≡ 钛-1+ti，i=1，N、与tN≡ tf。让xi≡ x（ti），带xN≡ xf。我们可以通过（x（ti）离散导数˙x（ti）-x（ti）-1))/ti=（xi）-xi-1)/ti，i=1，N.作用式（4）中的积分可离散如下：≡NXi=1钛m（xi）- xi-1)2钛- 五（十一）-1，ti-1)（10）然后路径积分（9）可以定义为zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp是吗~≡ 画→∞NYi=1rm2πi~提赞-1Yi=1dxiexp不是吗~（11）又称波函数，矩阵元，传播子或相关子。又名。

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2022-5-7 00:29:28

函数积分或有限维积分。通常，在定义离散化导数和积分时有多种选择，在连续介质极限中基本上是无关紧要的。其中每个- 1）积分x，xN-1在实线R上。我们不会推导（11）中度量的标准化。在量子力学的背景下，它可以被认为是固定的，或者使用（11）和（9）作为概率振幅的定义，并将其与实验进行比较，或者将其与量子力学的等效公式相匹配，例如薛定谔方程，它本身与实验进行比较。在随机过程的背景下，路径积分的解释不同于量子力学，我们将使用（条件）期望的定义直接确定度量。3.1量子力学中的经典路径积分是有用的，因为基于物理直觉，它有助于开发同样适用于金融的方法。在量子力学中，帕特·h积分提供了一幅直观的画面，或与确定性经典动力学建立了联系。直觉上，量子效应与~非零有关。因此，根据海森堡测不准原理σxσp≥~（12）其中σx和σpare是位置x和动量p的标准偏差≡ m˙x.So，~是对经典动力学偏离的度量——在极限范围内~→ 位置和动量（or，相当于速度v=˙x）都是已知的，因此是经典的决定论。路径积分提供了一种优雅而直观的理解方法。在~→ 极限为0时，路径积分（9）中的指数因子exp（iS/~）振荡非常快，因此路径积分的主要贡献来自那些使作用平稳的路径，而这些正是Euler-Lagrange方程（7）中的经典路径。

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2022-5-7 00:29:32

经典轨迹支配着~~中的路径积分→ 0限制。3.2半经典近似由于经典路径在小极限中占主导地位，经典路径周围的函数应描述量子修正。这个简单的观察使pathintegral成为一个强大的计算工具。设xcl（t）为欧拉拉格朗日方程（7）的解，其边界条件为xcl（t）=x和xcl（tf）=xf。设x（t）是具有相同边界条件的一般路径：x（t）=xandx（tf）=xf。设ξ（t）≡ x（t）- xcl（t）。这个量子函数在路径的端点消失：ξ（t）=ξ（tf）=0（13）。此外，我们可以将作用分解为经典和量子片段：S=Scl+Squ（14）我们有（N- 1）积分为xnix fixed:xN=xf。何处≡ S[xcl（t）]=Ztftdtm˙xcl- V（xcl（t），t）（15）安德斯库≡Ztftdt Lqu（ξ，˙ξ，t）（16）其中Lqu（ξ，˙ξ，t）≡m˙ξ-五、十、x=xclξ-∞Xk=3k！千伏xkx=xclξk（17）由于经典轨道xcl（t）的欧拉-拉格朗日方程（7）和ξ（t）的边界条件（13），Squas中的ξ没有线性项，它消失了。如果我们现在定义ξ≡√~ ξ、我们有S~=Scl~+S（2）qu[eξ]+∞Xk=3~（k）-1） /2S（k）qu[eξ]（18），其中S（2）qu对应于（17）中ξ项中的四次项，而S（k）qu，k>2对应于高阶项。后者被额外的力量压制住了√~主要的量子修正来自于二次曲线。只保留二次项称为半经典近似。如果V是二次函数x，那么就没有高阶项，这就产生了一个精确的结果。在这里，我们将不做任何计算，在量子力学的情况下，我们感兴趣的是将路径积分应用于资产定价。

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2022-5-7 00:29:35

然而，物理图像引导我们找到了一种计算工具，在这个工具中，我们只保留二次项，并将高阶项视为微扰修正——在本例中是量子修正。正如我们将看到的，这也可以应用于sset定价。这就带来了欧几里得路径积分。3.3欧几里德路径积分从数学上讲，费曼路径积分（9）中的复相位可能令人不安。如果我们通过Wick-rot到达所谓的欧几里德时间，复相就会消失→ -信息技术然后我们得到欧几里德路径积分：hxf，tf | x，ti=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-SE~（19）请注意，这与度量值（11）有关，它包含1/√~ 对于每个集成。又称WKB（Wentzel Kramers-Brillouin）近似。V（x）=mωx/2是谐波振荡器的电势。虽然费曼路径积分在数学上可能没有严格的定义，但基于它的费曼路径积分技术已被用于计算量子电动力学中的各种量，精度令人难以置信。例如，对细结构常数的独立测定结果在10%内一致-8精度。式中se=Zdt LE（x，˙x，t）（20）和LE=m˙x+V（21）Euler-Lagrange方程仍然是形式（7），L被LE代替。接下来，我们将重点讨论欧几里德路径积分（与资产定价相关），接下来我们将去掉下标“E”。从数学上讲，欧几里德路径积分看起来比费曼路径积分更“精确”，至少对于V≥ 0，在本例中，指数的参数是一个实的非负数。

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2022-5-7 00:29:39

离散化版本定义为viaZx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-S~≡ 画→∞NYi=1rm2π~提赞-1Yi=1dxiexp-锡~（22）何处≡NXi=1钛m（xi）- xi-1)2ti+V（xi）-1，ti-1)（23）这里我们也可以考虑经典路径x（t）=xcl（t）+ξ（t）周围的函数，半经典l近似相当于只保留ξ中的二次项；S=Scl+Squ（24），其中Scl≡ S[xcl（t）]=Ztftdtm˙xcl+V（xcl（t），t）（25）和SQU≡Ztftdt Lqu（ξ，˙ξ，t）（26）其中Lqu（ξ，˙ξ，t）≡m˙ξ+五、十、x=xclξ+∞Xk=3k！千伏xkx=xclξk（27）接下来我们讨论如何在半经典近似中计算第八次积分。3.4高斯路径积分让我们在（27）中去掉O（ξ）项（如果有）。然后我们有hxf，tf | x，ti=exp-Scl~Zeξ（t）=eξ（tf）=0Dξexp-S（2）[eξ]（28）假设，如果V中存在任何明确的t依赖，则V是实的。式中ξ≡pm/~ξ，S（2）[eξ]≡Zdteξ（t）Ceξ（t）（29）和c≡ -ddt+U（t）（30）是一个二阶微分算子。赫鲁（t）≡M五、十、x=xcl（31），在通过（29）重写S（2）[eξ]时，我们使用了有界y条件seξ（t）=eξ（tf）=0。此外，我们将Dξ保留在（28）中——无论如何，我们必须确定度量值。在区间t上有一个薛定谔算子C∈ [t，tf]的dirichlet边界条件nseξ（t）=eξ（tf）=0。设ψn（t）是满足边界条件ψn（t）=ψn（tf）=0:Cψn（t）=λnψn（t）（32）Xnψn（t）ψn（t′）=δ- t′（33）Ztftψn（t）ψm（t）=δnm（34）我们有以下展开式：eξ（t）=Xncnψn（t）（35）和（2）[eξ]=Xnλncn（36）积分测度Dξ可以写成Dξ=NYndcn√2π（37），其中N是待确定的归一化常数。

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mingdashike22

2022-5-7 00:29:44

（28）中的路径积分为：Zeξ（t）=eξ（tf）=0Dξexp-S（2）[eξ]= NYnλ-1/2n=N[det（C）]-1/2（38），其中C的行列式正式定义为其特征值的乘积。被称为Schr¨odinger Operator。3.4.1 Gelfand-Yaglom定理计算Schr¨odinger算子行列式是由Gelfand-Yaglom定理（Gelfand-Yaglom，1960）促进的，根据Gelfand-det（C）det（C）=φ（tf）φ（tf）（39），其中可以考虑两个具有Dirichlet边界条件的Schr¨odinger算子，并且Cφ=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（40）Cφ=0，φ（t）=0，˙t）=1（41）将该定理应用于C=C和C=C*, 其中C在（30）中定义，而*是薛定谔算子f还是自由粒子（V=0）C*≡ -滴滴涕（42）并注意到φ*（t） =t- t、我们有det（C）=det（C*)φ（tf）tf- t（43），其中φ（t）是以下初值问题的解：-滴滴涕+U（t）φ（t）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（44），如果需要，这很容易用数字实现（见下文）。因此，我们的路径积分减少到zeξ（t）=eξ（tf）=0Dξexp-S（2）[eξ]=eNstf- tiφ（tf）（45），其中≡ [det（C）*)]-1/2N（46）我们甚至不需要计算N，这可以通过离散化，计算（N）来实现-1） int egr als，然后取N→ ∞ 极限——因为如果我们知道振幅hxf，tf | x，ti*对于自由粒子的情况，我们可以直接计算。这正是我们在资产定价方面将遵循的方法。另见例如（Burghelea等人，1991年），（Coleman，1979年），（Dunne，2008年），（Forman，1987年），（Kleinder和Chervyakov，1998年），（Kleinder，2004年），（Kirsten和McKane，2003年，2004年），（Le vit和Smilansky，1977年），（Simon，1977年）。3.4.2 Van Vleck-Pauli-Morette公式在明确知道SCLA是X和X函数的情况下，我们甚至不需要求解（44）。

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2022-5-7 00:29:48

我们可以用Van Vleck-Pauli-Morette公式来代替：φ（tf）=-Scl十、然而，在实践中，通常可能更容易求解（44）。3.5算子期望值到目前为止，我们已经讨论了概率振幅hxf，tf | x，ti。更一般地说，我们可以考虑期望值shxf，tf | A（t）| x，ti≡Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-S~A（t）（48），其中l.h.s.被解释为opera t或A（t）的期望值，而r.h.s.A（t）是由x（t）、其导数和t.LetA构造的函数（al）≡ 经验(-eA/~）。然后我们有hxf，tf | A（t）| x，ti≡Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-eS~！（49）在哪里≡ S+eA。一般来说，如果NEA不是t的局部函数，而是一个泛函，则通过半经典近似，将基于S的EulerLagrange方程的经典解展开为二次函数，来近似该路径积分是不正确的。相反，我们必须围绕基于“有效”作用的欧拉-拉格朗日方程的经典解展开。然而，这些事件甚至可能不是本地的。在这种情况下，上述方法不能直接应用。这将限制A（见下文）。4资产定价中的路径积分在资产定价中自然会出现欧几里德路径积分。假设我们有一个证券柜，一个现金债券，让我们假设Bt是确定性的。假设X是T。那么，在时间t时索赔的价格为g byVt=BthB-1TXiQ，Ft（50）这里Q是贴现股价Zt的度量≡ B-1是一个鞅，条件期望h·iQ，fti沿e的后半部分定义。g、，这可能是一个看涨期权/看跌期权/二进制期权或其他衍生工具。具有初始段Ft的路径。下面我们用路径积分语言讨论这种条件期望。

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可人4

2022-5-7 00:29:53

我们的讨论是一般性的，不限于股票。考虑t=0和某个水平时间t之间的P-布朗运动（这里P是度量）。设x（t）为Wt的值（x（0）=0）。我们将划分时间间隔[t，tf]，0≤ t<tf≤ T，分为N个子区间[ti]-1，ti]，tN≡ tf，ti- 钛-1.≡ ti>0。让xi≡ x（ti），xN≡ xf，xi≡ xi- xi-1.让我们看看，0≤ T≤ T是一个可预见的过程，也就是说，at只取决于路径Ft={（x（s），s）|s∈ [0，t]}:At=A（Ft）（51）条件期望（这里Ft={（x*（s），s）|s∈ [0，t]，x*（0）=0，x*（t） =x}，其中x*（s）是固定的）hAtfiP，英尺（52）可以被认为是钛→ 0，即，N→ ∞, 相应离散表达式的极限：hAtfiP，Ft=limN→∞NYi=1Z∞-∞dxi√2πtiexp-(xi）2钛自动变速驱动桥油液温度，英尺（53）t，英尺=A（英尺∪ 这个极限不过是一个欧几里德路径积分hatfip，Ft=Zx（t）=xDx exp(-S） Atf，Ft（55），其中Dx包括一个正确标准化的测量值（见下文），和[x]≡Ztft˙x（t）dt（56）是R上自由粒子的欧几里德作用泛函（与之前一样，˙x（t）中的点表示时间导数）。让我们注意到路径积分（55）和量子力学欧几里德路径积分（19）在单位上的一些直接差异。这里我们有无规数m或~，x（t）没有长度的维数，而是长度的维数√t、也就是说，在m=~=1的单位中，两条路径的积分是相同的。在这些单元中，（2）和（53）中的离散度量是相同的。注意，（53）中的度量是布朗运动度量P的一个集合。又名。

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可人4

2022-5-7 00:29:57

一个维纳过程。在这种情况下，只有x（t）=xis固定，xN=xf被整合在一起——见下文。回想一下，测量（22）是通过要求与实验一致来确定的，无论是直接的还是通过使用薛定谔方程（例如，薛定谔方程）的推导来确定的，薛定谔方程本身是通过实验验证的。在量子力学的背景下，我们考虑了两个端点都固定的路径。这里我们也有以下条件期望：hAtfiP，Ft，x（tf）=xf=limN→∞N-1Yi=1Z∞-∞dxiNYi=1√2πtiexp-(xi）2钛Atf，Ft=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp(-S） Atf，Ft（57）注意hatfip，Ft=Z∞-∞dx′hAtfiP，Ft，x（tf）=x′（58）在资产定价环境中，我们主要对后一种条件预测感兴趣。至少≡ 1条件表达式（57）是从（x，t）开始并在（xf，tf）结束的概率：h1iP，Ft，x（tf）=xf=P（x，t；xf，tf）=p2π（tf）-t）经验-（xf- x） 2（tf）- （t）（59）第3.4小节中的讨论保持不变（m=~=1），我们可以通过注意Scl=（xf）立即在（45）中进行讨论- x） /2（tf）- t） φ（t）=t- 在这种情况下，n=p2π（tf- t）（60）通过使用离散化定义（57）并采用大N限值进行直接（繁琐，尽管是直接）计算，可以获得相同的结果。使用路径积分技术可以让我们快速而优雅地找到答案。现在我们有了Fixeden，我们可以用Atof the formAt=exp计算（模拟）期望值的“半经典”近似值（57）-Ztdt′[ρ（x（t′），t′）˙x（t′）+V（x（t′，t′）]≡ Atexp(-eAt）（61），其中ρ（x，t）和V（x，t）是确定性函数。因此，删除≡ S+eAt（62）然后“半经典”近似由hatfip，Ft，x（tf）=xf=Atp2πφ（tf）exp给出-eScl（63）注意，在量子力学的背景下，这个量可以解释概率振幅。或PDE语言中的WKB近似值。

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2022-5-7 00:30:01

我们将使用“半经典”近似。何处≡eS[xcl]，xcl（t）是Euler-Lagrange方程的解（受边界条件xcl（t）=x和xcl（tf）=xf）0=ddt的约束）埃尔 ˙x-埃尔x=¨x+ρ（x，t）T-V（x，t）x（64），其中“有效”拉格朗日数定义为通孔=ZtftdteL（65），并由下式给出=˙x+ρ（x，t）˙x（t）+V（x，t）（66），-φ（t）+U（t）φ（t）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（67）U（t）≡V（xcl，t）十、-ρ（xcl，t）十、t（68）注意，局部的ρ（x，t）˙x项INL只是简单地移动五/x比ρ/t、我们在附录A中讨论了一些明确的例子。以下是注意事项。Atin（61）形式的选择是基于这样一个要求，即“有效”作用是一个局部泛函，不包含高于x的导数。即使是局部的，IfeL依赖于x（t）的高导数，那么我们在近似中不再有Schr¨odinger算子，我们忽略了高于x的二次项。IfeL包含非局部项，例如eL（x，˙x，t）=˙x+Ztbtadt′γ（t′）x（t′）（69）如果γ（s）是某种确定性函数（例如，ta=0和tb=t，或ta=tand-tb=tf），那么我们讨论的方法不能直接应用。5短期利率模型的应用路径积分法可用于短期利率模型中的债券定价。短期利率模型假设风险中性度量Q和短期利率过程rt。

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可人4

2022-5-7 00:30:04

灰键过程由bt=exp给出Ztrsds（70）非本地债券可以被视为包含x的更高导数的有限系列条款，而债券价格由p（t，t）给出=经验-ZTtrsdsQ、 Ft（71）一般索赔X到期时t的价格t是vt=经验-ZTtrsds十、Q、 Ft（72）考虑索赔X=1（为了避免与总体V（X，t）混淆，我们使用小写V作为定价函数）：V（z，t，t）≡经验-ZTtrsdsQ、 rt=z（73），其中v（rt，t，t）=P（t，t），v（z，t，t）=1。在短期利率模型中，通常使用一个参数化的过程系列，并选择最适合市场的参数。因此，让我们假设rt满足以下SDE：drt=σ（rt，t）dWt+ν（rt，t）dt（74），其中σ（y，t）和ν（y，t）是确定性函数，WT是Q-布朗运动。定价函数v（z，t，t）满足定价PDE，这符合贴现债券过程z（t，t）的要求≡ B-1tP（t，t）=B-1tv（rt，t，t）是风险中性测度Q:ν（rt，t）下的鞅zv（rt，t，t）+tv（rt，t，t）+σ（rt，t）zv（rt，t，t）- rtv（rt，t，t）=0（75），边界条件v（z，t，t）=1.5.1路径积分近似，而不是假设（74）并求解定价偏微分方程，在上一节之后，我们可以将v（z，t，t）写成路径积分。我们将分两步进行。我们将展示Vasicek/Hull White模型。然后我们将讨论一个推广。在Vasicek/Hull-White模型中，短RATE SDE读数为：drt=σ（t）dWt+[θ（t）- α（t）rt]dt（76），其中σ（t）、θ（t）和α（t）仅依赖于时间。对于常数σ、θ和α，我们有平均值-r翻转Ornstein-Uhlenbeck过程。

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mingdashike22

2022-5-7 00:30:08

目前，我们不会假设σ（t）、θ（t）和α（t）是常数。设β（t，t）≡ 经验-ZTtα（s）ds（77）η（t，t）≡因此，我们的定价函数v（z，t，t）为：v（z，t，t）=经验-rtη（t，t）-ZTtη（s，T）[σ（s）dWs+θ（s）ds]Q、 rt=z=exp-zη（t，t）-ZTtdsη（s，T）θ（s）-η（s，T）σ（s）（80）我们使用过的地方（142）。没有证据表明这个结果是准确的。5.2直接路径积分计算Vasicek/Hull-White模型的一个缺点是RTC有时会变为负。解决这个问题的一种方法是考虑formrt=rf（Xt）/f（X）的短期利率模型，其中Xt遵循Va-sicek/Hull-White模型：dXt=σ（t）dWt+[θ（t）- α（t）Xt]dt（81）这里f（y）是一个正函数，例如f（y）=exp（y），这是黑色Karasinsskimel模型。从路径积分中，我们可以立即看到，在一般情况下，“有效”作用是非局部的。在σ、θ和α为常数的情况下，问题是可处理的。现在，我们将通过使用测量值变化的直接路径积分计算，得出常数σ、θ和α的结果（80）。在这个过程中，如何处理更一般的情况（包括Black Karasinski模型）将变得清晰。我们有Q-布朗运动。

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2022-5-7 00:30:12

考虑下面的P-布朗运动：fWt≡ Wt+Ztγsds（82），其中可预见的过程γ由（注意，在这种情况下，rt=XT）γt给出≡θ - αrtσ（83）更准确地说，即使θ和α依赖于t，这个问题也是可以处理的——见下文。一个类似但更“启发性”的计算在（Otto，1998年）中进行。测量值的变化由dqdp=exp给出ZTγsdfWs-ZTγ-sds（84）此外，我们有drt=σdfWt（85）和rt=r+σfWt（86）γt=ν- αfWt（87）ν≡θ - αrσ（88）定价函数由v（z，t，t）给出=经验ZTtγsdfWs-γ-sds- rsdsP、 fWt=（z）-r） /σ（89）这是一个高斯路径积分——回想一下，fwsis被x（s）取代，dfwsis被˙x（s）ds取代。我们可以通过观察到，对于常数参数，定价函数dep仅在t和t的组合中结束，从而简化计算- t、因此需要计算v（z，0，t），其中r=z，所以ν=（θ）- αz）/σ，x上的初始条件是x（0）=0。另一个简化是通过将积分从x改为y来实现的≡ 十、- ν/α，因此γsis被-αy（s）（且测量不受影响）。然后我们得到以下路径积分：v（z，0，T）=GZ∞-∞dy′exp-θαT-α（y′）-να××Zy（0）=-ν/α，y（T）=y′Dy exp-锿（90）其中“有效”作用项=eS[y（s）]由eS=ZTdseL（y（s），˙y（s））（91）和“有效”拉格朗日表示为：eL（y（s），˙y（s））=˙y（s）+V（y（s））（92），其中V（y（s））=αy（s）+σy（s）（93）根据卡梅伦-马丁-吉尔萨诺夫定理，路径积分提供了有力的证明——详见（Kakusha Dze，2015）。此外，G是一个归一化因子。我们已经考虑了量度的变化，所以G应该是1。然而，事实并非如此。在我们计算路径积分后，我们将立即回到gm。Dy上的高斯路径积分可以用（146）来完成。

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2022-5-7 00:30:15

一个冗长而直接的计算给出了sv（z，0，T）=G exp-αT××经验-zeη（T）-θα[T- eη（T）]+σ2αhT- eη（T）-αeη（T）i（94）eη（T）≡1.-经验(-αT）α（95）这与（80）完全一致，系数不变，但预因子exp除外(-αT/2）。这是因为eg=expαT（96）为了看到这一点，让我们计算expectationu（z，0，T）≡经验ZTγsdfWs-γ-sdsP、 fWt=0（97）这应该等于1。让我们做上面的路径积分计算：u（z，0，T）=GZ∞-∞dy′exp-α（y′）-να××Zy（0）=-ν/α，y（T）=y′Dy exp-学士学位（98）其中“有效”动作bS=bS[y（s）]由bS=ZTD给出˙y（s）+αy（s）（99）这个给定su（z，0，T）=G exp-αT（100）所以，我们确实有（96）。这个额外的标准化因子是由于（98）中y′=y（T）的积分而产生的：我们必须对变量e进行积分，这样它就等于Q测度下x′=x（T）的积分，这个变量就是y（T）exp（αT/2）。我们在附录B中对此进行了更详细的讨论。有关离散化图片中的相关讨论，请参见，例如（Mor iconi，2004）。6正短期率模型的推广现在清楚地知道了如何将路径积分方法推广到一般模型，即FormRT=rf（Xt，t）f（X，0）（101）dXt=σdWt+[θ- αXt]dt（102），σ、θ和α为常数。（我们将在下面讨论t相关系数。）在不损失g通性的情况下，我们可以设置X=0，f（0，0）=1。我们有Q-布朗运动Wt。考虑下面的P-布朗运动：fWt≡ Wt+Ztγsds（103），其中可预见的过程γ由γt给出≡θ - αXtσ（104）度量的变化由（84）给出。

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2022-5-7 00:30:20

我们有dxt=σdfWt（105）和xt=σfWt（106）γt=ν- αfWt（107）ν≡θσ（108）定价函数由v（z，t，t）给出=经验ZTtγsdfWs-γ-sds- rf（σfWs，s）dsP、 fWt=x*（109）其中x*由方程式Rf（σx）确定*, t） =z（110）我们可以把定价函数v（x，t，t）写成路径积分：fWsis替换为x（s），dfWsis替换为˙x（s）ds。通过将积分从x t更改为y，可以实现简化≡ 十、- ν/α，因此tγ被替换为-αy（s）（测量结果不受影响）。然后我们得到以下路径积分：v（z，t，t）=GZ∞-∞dy′exp-αh（y′）- Y*我××Zy（t）=y*, y（T）=y′Dy exp-锿（111）由于我们在函数f（Xt，t）中允许显式的时间依赖性，定价函数不再只依赖于t- t组合。哪里*≡ 十、*-θσα（112）“有效”a ctio neS=eS[y（s）]由eS=ZTtdseL（y（s），˙y（s），s）（113）给出，“有效”拉格朗日读数为：eL（y（s），˙y（s），s）=y（s）+V（y（s），s）（114），其中V（y（s），s）=αy（s）+rfσy（s）+θα，s（115）此外，G是f因子的正规化。

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nandehutu2022

2022-5-7 00:30:23

根据1=GZ的要求确定∞-∞dy′exp-αh（y′）-Y*我××Zy（t）=y*, y（T）=y′Dy exp-学士学位（116）其中bs=ZTds˙y（s）+αy（s）（117）这使得usG=expα（T）-（t）（118）与上一节完全平行——详情见附录B。对于一般函数f（Xt，t），Dy（111）上的路径积分不是高斯的。我们可以使用“半经典”近似：v（z，t，t）=expα（T）- （t）Z∞-∞dy′p2πφ（T）exp-αh（y′）-Y*我-eScl（119）何处≡是[ycl（s）]，而ycl（s）是由r–ycl（s）决定的=五(港币),港币(港币),港币(港币)y、 ycl（t）=y*, ycl（T）=y′（120）同样，φ（T）由-φ（s）+U（s）φ（s）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（121）U（s）≡五(港币),港币(港币),港币(港币)y（122）注意，如果函数f（Xt，t）是二次函数（或线性函数），则（119）是精确的。6.1黑色卡拉辛斯基模型让我们举例说明关于黑色卡拉辛斯基模型的上述讨论：f（Xt，t）=exp（Xt）（123）我们有*=σln锆*（124）r*≡ 雷克斯普θα（125）V（y）=αy+r*exp（σy）（126）U（s）=α+r*σexp（σycl（s））（127），其中ycl（s）满足以下运动方程˙ycl（s）- α-ycl（s）- 2r*exp（σycl（s））=2E，y（t）=y*, y（T）=y′（128），其中E是积分常数。计算v（z，t，t）现在很简单：y和φ（t）是通过求解微分方程得到的，y′上的积分是快速收敛的。6.2“二次”模型事实上，为了确保短期利率是非负的，我们甚至不需要像Black Karasinski模型这样的高非线性模型。因此，考虑一个f（Xt，t）=1+b（t）Xt+a（t）Xt（129）的模型，只要b（t）<4a（t）且a（t）>0，短期利率严格正。“半经典”近似是精确的——路径积分是高斯的——即使对于非常数a（t）和b（t）。为了简单起见，让我们把重点放在常数系数a和b的情况下。二次模型（129）和线性情况之间有一个关键区别。

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2022-5-7 00:30:26

因此，从（95）（考虑到（96）），可以得出Vasicek/Hull-White模型中的渐近（即大T）产量（具有恒定的效率）为负，除非σ≤ 2αθ. 在路径积分语言中，这是由于势（93）中的线性项（对应于波动性）下的无界f，它与二次项（对应于均值回归）竞争。对于σ>2αθ，波动率“赢”和对应于短期利率负值的模式会影响债券价格。相比之下，在二次模型中，如果我们希望允许零短期利率，我们可以把这个条件放宽到b（t）≤ 4a（t）。在Vasicek/Hull White模型中，频谱——或者说，大致上是一组有助于债券和其他类别的短期利率值——是离散的。然而，只有当σ≤ 2αθ.（129）无论σ如何，渐近收益率总是正的。在路径积分语言中，这是由于势（93）中的附加二次项（源于（129）中的二次项）随波动性增加，并补偿线性项的负贡献。二次模型（129）很好地说明了路径积分法的实用性。在pa t h积分语言中，事情很简单——我们只需要理解如何一次计算高斯路径积分，并在各种模型中反复使用相同的工具。然而，在PDE语言中，事情看起来要复杂得多。因此，短速率SDE的读数为：drtr=2√aσsrtr-1.-b4adWt+2α1.-b4a+ aσ+2√A.θ+αb2asrtr-1.-b4a-2αrtr#dt（130）让我们定义一下≡ Wt+σθ+αb2at（131）那么我们有下面的SDE:drtr=2√aσsrtr-1.-b4adfWt+2α1.-b4a+ aσ-2αrtrdt（132），这是一个移位的Cox-Ingersoll-Ross过程。

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kedemingshi

2022-5-7 00:30:30

然而，虽然WT是一个Q-布朗运动，其中Q是风险中性度量，但FWTG通常不是一个Q-布朗运动——它是一个在不同度量P下的P-布朗运动。因此，通过（132）重写SDE（130）没有得到任何结果。我们仍然需要解决一个与（130）相对应的更复杂的定价PDE（75），为了简洁起见，我们在这里不再详细说明。似乎不太可能根据简单直观的论点写下DE（130）和相应的定价PDE。一直以来，在路径积分语言中，这个模型是完全可解的。6.3短期利率正如引言中提到的，path integr al INA既不是灵丹妙药，也不是旨在产生“根本性的新结果”。然而，在某些情况下，它确实提供了一些优势。因此，正如我们在上一小节中所说，在≤ 4a，那么二次模型中的光谱是严格正的，分别为σ。事实上，为了获得非负光谱，可以进一步放宽该条件（见下文）。在特殊情况下，b=-2 aθ/α（其中必须有a<α/θ）我们有fwt=Wt。二次模式l中的路径积分联合计算非常简单，可以使用附录a中的高斯路径积分公式与Vasicek/Hull-White模型中的路径积分联合计算类似。为了简洁起见，我们跳过了细节，尤其是在下一小节的上下文中。在某种意义上，二次模型比bruitforce数值方法对定价PDE（75）具有“计算”优势，因为在这种情况下，路径积分是Ga-ussian，可以通过分析进行评估。

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2022-5-7 00:30:33

在这种情况下，它还提供了一个“直观”的优势，这不仅是因为解析解，还因为路径积分方法使写下这个模型变得明显，而在PDElanguage中，同一个模型似乎非常复杂，没有“直观”。在这里，我们举了另一个路径积分语言的例子，它提供了一个简单的直观图像，可以得出定性的非平凡结论，并提出新的想法。因此，让我们回到定价函数（73）。替代方法不是假设SDE（74）或RTI是Xt的函数，其中Xt紧随其后（102），而是考虑形式为rt=V（Wt，t）的短速率过程，其中函数V（x，t）使得R具有期望的性质，例如，V（x，t）从下方（或从下方和上方）有界。然后（73）由以下积分v（x，t，t）=ZV（x（t），t）=zDx exp给出(-eS）（133），其中“有效”动作为：eS=ZTtds˙x（s）+V（x（s），s）（134）这只是一个欧几里德粒子的路径积分，其势为v（x，t）。在短期内，利率起着非常重要的作用。因此，在不进行任何计算的情况下，我们可以得出这样的结论：在时间均匀的情况下，如果整体V（x）没有明确的时间依赖性，为了获得负的渐近键收益率，不要求V（x，t）即短速率为非负。它要求V（x，t）的能谱是离散的，基态能量是非负的。例如，考虑一个谐振子势V（x）=ωx-V.能量谱由En给出=n+ω -五、 n=0，1，2，所以基态能量≥ 如果V≤ω、短期利率不一定是正的，但以rt为界≥ -ω/2.

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2022-5-7 00:30:36

这为简单的短期利率模型（如Ho和Lee模型）开辟了一条新途径，其中短期利率允许为负值，离散光谱通过为基础布朗运动Wt（与rt相反）引入反射基来实现，由此产生的债券收益率曲线具有正交感收益率的合理形状。此外，这允许对具有更现实的时间依赖性漂移的病例进行分析处理。这一想法最近在（Kakushadze，2016）中得到了探讨。总之，资产定价中的路径积分——就像物理学中的路径积分一样——是一种补充方法。因此，在物理学中，存在初始条件V（x（t），t）=z的路径积分对x（t）可能没有唯一解的问题。然后，我们必须总结所有这些解决方案对应的贡献。在量子力学中=n+~ω - 五、所以E>-这是一个纯粹的量子效应。当反射屏障代替Wt时，时间相关漂移不易处理。更容易，例如，通过Feynman Diagram的微扰理论（见下文）。但也有一些问题并非如此，例如，使用路径积分求解氢原子光谱会很麻烦，而薛定谔方程是一种更方便的方法。类似地，在资产定价环境中，例如，使用路径积分在二次模型（129）中为债券定价似乎比求解pricingPDE（75）容易得多。然而，在PDE语言中，用障碍解决问题（如（Kakushadze，2016）中涉及边界的问题通常更容易。7结论性意见在我们上面的讨论中，有（106）是很重要的，因为它允许我们确定x*在（110）中。

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nandehutu2022

2022-5-7 00:30:39

如果x*无法确定，否则我们会被困住。另一个问题是，如果σ依赖于t，则pAT h积分测度的变化更为重要，需要特殊的t检验（参见，例如，（Otto，1998））。然而，这是一个没有实际意义的问题，因为我们无法*反正我们也做不到。我们假设σ是常数。然而，从先验角度来看，依赖于t的θ和α并不存在障碍。事情有点复杂，但仍然可以处理。上面提供了所有必要的成分，因此读者应该能够计算出细节。另一点涉及“半经典”近似的有效性。在量子力学中，它是领先的量子修正——在小极限下，相对于经典背景xclare，更高的修正对应于量子函数ξ的更高阶。在资产定价方面，我们没有~。“数量”的类比是随机性或波动性——如果波动性为零，则不存在随机性。所以，“半经典”近似的意思是，它是一个小的“波动”近似。然而，这并不是说这是一个小的σ近似值，其中σ在（102）中定义。的确，σ是一个量纲参数。无量纲展开参数为≡√T- 当<< 1.这可以通过重新校准看到≡ （T）- t） E和y≡√T- 它们在“有效”行动中（11 3）。超出“半经典”近似的更高修正可以用微扰理论计算。基本思想是我们可以计算路径积分zξ（t）=ξ（tf）=0Dξexp-Ztftdt Lqu（ξ，˙ξ，t）≡ Kqu（x，t；xf，tf）（135），其中lqu（ξ，˙ξ，t）≡˙ξ+五、十、x=xclξ+∞Xk=3k！千伏xkx=xclξk≡ L（2）qu（ξ，˙ξ，t）+bVqu（ξ，t）（136）通过扩展指数，我们得到了形式为hξ（τ）ξ（τ）ξ（τ）的n个（积分）相关函数的有限系列。

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kedemingshi

2022-5-7 00:30:43

ξ（τn）i≡Zξ（t）=ξ（tf）=0Dξexp-Ztftdt L（2）qu（ξ，˙ξ，t）ξ(τ)ξ(τ) . . . ξ（τn）（137）与n≥ 式中，L（2）qu（ξ，˙ξ，t）是（136）中的二次部分。这些n点相关器可以使用生成函数lz[J]进行评估≡Zξ（t）=ξ（tf）=0Dξexp-ZtftdthL（2）qu（ξ，˙ξ，t）- J（t）ξ（t）i（138）这是一个高斯帕斯积分，可以快速计算。然后我们有hξ（τ）ξ（τ）。ξ（τn）i=Z[0]ΔδJ（τ）ΔδJ（τ）。ΔδJ（τn）Z[J]J=0（139）和kqu（x，t；xf，tf）=exp-ZTFTDBVQUΔδJ（t），tZ[J]J=0（140），其中bvqu（ξ，t）包含ξ中的立方项和/或更高项。在微扰理论中，相关器（140）可以按顺序计算。在每一阶上，函数导数都变成了一个组合问题，由费曼通过一个简洁的图解r epresenta离子解决了这个问题，该图解由传播子s和顶点的相互作用构造而成（参见，例如，（Corradini，201 4），（Kleinder，2004）和（Rattazi，2009）），可以很容易地用于资产定价。通过路径积分的条件期望这里我们给出了第4节通过pa t h积分讨论的形式（61）的过程的条件期望的例子。下面的表达式是精确的，即“半经典”近似是精确的，因为这些路径积分是高斯的V（x，t）≡ 0，ρ（x，t）≡ 我们有ρ（t）独立于ρ经验-ztftdρ（t）˙x（t）P、 Ft，x（tf）=xf=exp-Ztdtρ（t）˙x（t）×p2π（tf）- t）经验-hxf-十、-Rtftdtρ（t）i2（tf- t） +Ztftdtρ（t）(141)经验-ztftdρ（t）˙x（t）P、 Ft=exp-Ztdtρ（t）˙x（t）×expZtftdtρ（t）（142）最后一个等式再现了一个众所周知的结果V（x，t）=ωx，ρ（x，t）≡ 0，ω=常数。式（6-7）如下：-φ（t）+ωφ（t）=0，φ（t）=0，˙φ（t）=1（143），所以我们有φ（t）=sinh（ω（t）- t））/ω。

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2022-5-7 00:30:46

另外，xcl（t）=xsinh[ω（tf- t） ]+xfsinh[ω（t）- t） ]sinh[ω（tf）-t） [144）eScl=ω（x+xf）cosh[ω（tf）- t） ]- 2xxfsinh[ω（tf）-t）（145）对于预期，我们有经验-ωztftd x（t）P、 Ft，x（tf）=xf=exp-ωZtdt x（t）×rω2πsinh[ω（tf）- t） ]exp-ω（x+xf）cosh[ω（tf）-t） ]- 2xxfsinh[ω（tf）- t） ](146)经验-ωztftd x（t）P、 Ft=exp-ωZtdt x（t）×pcosh[ω（tf）- t） ]exp-ωxtanh-t） ]（147）这些结果是使用路径积分“毫不费力”获得的V（x，t）=ωx，ρ（x，t）≡ ρ（t）与x无关，ω=常数。ρ（t）项不影响φ（t）。在这种情况下，它只通过xcl进行了修改，这是Euler-Lagrange运动方程的解——xcl+˙ρ=ωxcl（148），受边界条件xcl（t）=x，xcl（tf）=xf的约束（为了简洁起见，我们跳过细节）。B测量值的变化在（96）和（118）中我们讨论了额外的标准化因子G。我们从Q-布朗运动Wt和P-布朗运动Wt开始，通过fwt=Wt+Ztγsds（149），其中可预见过程γsis由γs=-αfWs（150）测量值的变化由（84）给出。LetP（x，t；xf，tf）≡ h1iWt=x，Wtf=xf=p2π（tf- t）经验-（xf- x） 2（tf）- （t）（151）我们可以通过路径积分（Wsis被x（s）代替）来写这个概率：P（x，t；xf，tf）=Zx（t）=x，x（tf）=xfDx exp-Ztft˙x（s）ds（152）我们有∞-∞dx′Zx（t）=x，x（tf）=x′dx exp-Ztft˙x（s）ds= 1（153）现在让我们在将度量值从Q t更改为P:eP（y，t；yf，tf）时执行相同的步骤≡经验ZtftγsdfWs-γ-sdsfWt=y，fWtf=yf=Zy（t）=y，y（tf）=yfDy exp-Ztft[˙y（s）+αy（s）]ds=rα2πsinh[α（tf- t） ]exp-α[byf- by]2 sinh[α（tf- t） ]！（154）byf在哪里≡ yfex（α（tf）-t） /2）然后≡ 是的(-α（tf）- t） /2）。

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