大型企业资产定价基本定理的新视角

2022-5-7 06:54:47

对于这样一个大型的金融市场模型，[9,14,1,3,10]提出了渐近套利的几个概念和特征。特别是，在[13]中，通过调整非免费午餐（NFL）ofD的概念，证明了固定定价的基本理论的一个版本。Kreps[16]致力于大型金融市场的建立。在一个固定概率空间的简化框架中，它对应于Kreps Ya ntheorem[16,20]的（抽象版本），说明了无渐近自由午餐（NAFL）的等价性和等价分离测度的存在性。本文的目的是通过重新解释（NAFL）的概念来证明类似的结果（涉及弱函数中的闭包）*-L上的拓扑∞, 请参见第3.2节，以获得更具经济说服力的合作伙伴的精确定义，我们称之为“不存在零2000数学科目分类的渐进免费午餐”。60G48，91B70，91G99。关键词和短语。资产定价的基本定理，大型金融市场，能值经济学，（NFLVR）条件，（P-UT）属性。作者衷心感谢ETH基金会的支持。2 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmanrisk（NAFLVR），这完全符合[5]中首次介绍的小型市场无风险免费午餐（NFLVR）的原则。为了描述这个概念，让我们考虑一个市场的例子，该市场由一系列R值半鞅（Snt）建模的可数多（贴现）资产组成∈[0,1]定义在过滤概率空间上(Ohm, F、（Ft）t∈[0,1]，P）表示时间间隔[0,1]。与M.De Donno等人的工作类似。

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2022-5-7 06:54:50

[2] 我们定义了大金融市场中可容许的广义投资组合在小市场中（一致）可容许投资组合序列的Emery拓扑中的极限，即，通过交易许多资产建立的投资组合序列，这些资产从下到下（ω、t和n）一致地以so me常数为界-λ.在[2,3]的术语中，这些投资组合对应于通过使用所谓的（λ）-可容许的广义策略（比较[2，定义2.5]）构建的投资组合，并形式化了每个资产都可以贡献的想法，可能具有极小的权重。更准确地说，当考虑广义策略时，其中包括投资组合Z，其性质是，对于任何给定的ε>0，存在一个小市场中的投资组合，其所有增量与Z增量之间的距离小于ε。这仅由Emery度量（se（2.1））的定义暗示，其中，如果所有增量都接近，则两个半马天酒（投资组合）接近；或者，如果所有投资（有界简单策略）在两个投资组合之间的差异都很小，则两个半马天酒（投资组合）在财务方面更接近。因此，金刚砂拓扑可以被视为投资组合财富过程集合上的自然拓扑。特别是，将小市场投资组合的金刚砂限额纳入到大金融市场的套利要求中，具有非常重要的经济意义。与小型金融市场的经典环境中的（NFLVR）概念完全相似，我们定义了byC（NAFLVR）∩ L∞≥0={0}，其中C表示价格为0的有界索赔的凸锥超可复制（具有可容许的广义策略），即C=（K-L≥0) ∩L∞, K代表时间1时可容许广义投资组合的终值集。

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2022-5-7 06:54:53

换句话说，（NAFLVR）意味着不应存在可接受的广义策略的最终支付顺序，从而使其负面部分在L中趋于0∞, 而它们几乎肯定会收敛到一个非负随机变量，这个变量是严格正概率的。同样与（NFLVR）完全类似，（NAFLVR）相当于两个条件，即无有界风险无界利润（NUPBR）和无大市场套利（NA）。（NUPBR）条件意味着从1-容许广义策略构造的投资组合的终值在概率上是有界的，而（NA）要求容许广义投资组合的几乎肯定非负终值几乎肯定等于零，即K∩L≥0= {0} . 关于大型金融市场的现有文献，（NUPBR）相当于第一类无渐近套利（NAA1），它描述了通过任意小（消失）ris k（参见，例如[9,10，定义1]或[14，定义1.1]）以正概率任意致富的不可能性。特别是，（NAFLVR）条件不同于之前的符号套利概念，尽管对大市场的要求更高（NA）。事实上，到目前为止（NA）仅适用于每个小型市场，但不适用于通过广义策略获得的投资组合。这种强化使我们能够获得大型金融市场资产定价基本定理的一个版本。到目前为止，大型金融市场FTAP仅在上述（NAFL）条件下可用。在由无数资产组成的样本市场的背景下，其内容如下，并从定理3.3中获得：定理1.1。

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nandehutu2022

2022-5-7 06:54:56

让（Snt）t∈[0,1]是上的半鞅序列(Ohm, F、（英国《金融时报》，第页）。然后存在一个等价的分离测度Q~ P、也就是说，像EQ[X]这样的度量Q≤ 0代表所有X∈ Kif且仅当（NAFLVR）满足时。因此（NAFLVR）可以被视为一个经济意义上的“无套利”条件，它允许得出一个分离度量的存在，该度量的存在是M.De Donno等人在大型金融市场的超复制和效用最大化工作中假设的和关键的。[2]。我们也相信，对于大型金融市场来说，（NA）是一个非常合理的要求。为了对不同的金融市场进行统一处理，例如涉及连续资产，如债券市场，我们在[8]中介绍的抽象投资组合财富过程设置的扩展版本中公式化了我们的结果。主要的修正在于削弱了所谓的串联特性，在目前情况下，这种特性仅适用于大型金融市场中可容许的广义投资组合的密集集（关于Emery拓扑）。尽管如此，F.Delbaen和W.Schachermayer[5]对资产定价经典基本定理的原始证明的大部分内容都可以转移到这个新的环境中。

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2022-5-7 06:54:59

我们在这里采用[1]的证明变量，它通过Emery拓扑中的一个确定有界性，取代了原始证明中的一系列棘手的引理，在文献中称为可预测一致紧性（P-UT）。PAP r的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了一个大型金融市场环境，该环境允许将可数资产和不可数资产视为小型市场的不同（部分重组）融资。第2.1节专门解释与上述[2]大型金融市场模型的精确关系。第3节说明了（NAFLVR）的精确定义和主要结果，以及与（NAFL）的联系。第4节回顾了“无（渐进）套利”的更多概念，并分析了它们之间的关系，而第5节则说明了为什么大型金融市场中的另类投资组合财富过程集不会产生预期的结果。第6节提供了一个例子，表明在大型金融市场中，存在一个等价的分离度量并不一定会产生一个等价的σ-马氏度量。在第7节中，我们给出了当前版本的FTAP和附录A的证明，包括一些技术结果。2.设置我们修改了[8]中引入的Y.Kabanov的设置，以模拟大型金融市场。准确地说，让我们(Ohm, F、（Ft）t∈[0,1]，P）是满足通常条件的过滤概率空间。

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nandehutu2022

2022-5-7 06:55:03

设我们是[0,1]上定义的、从零开始的过滤概率空间上所有R值半鞅X的空间。空间S配备了由metricdS（X，X）：=supK定义的金刚砂拓扑∈小心点，kKk∞≤1E|（Ko（X）- 十） )|*∧ 1.,（2.1）4 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmanwhere |X|*= 监督≤1 | Xt |，bE表示一组简单的可预测策略，即K的形式为K=nXi=0Ki]τi，τi+1]，其中n∈ N、停止时间0=τ≤ τ≤ ··· ≤ τn≤ τn+1=1和KiareFτi-可测随机变量。半鞅空间是一个具有Emery拓扑的完备度量空间，基本上遵循Bichtelderallacherie定理，参见[6]。请注意，M.E mery通过对所有有界可预测过程（见[6]）以及不仅仅是对所有简单可预测过程的supremum定义了度量。然而，如[17]所示，这导致了等效的度量。除了Emery拓扑中的converg e nc e之外，我们还将处理概率上的unifo rm收敛，它被度量为byd（X，Y）：=e[|X- Y|*∧ 1] ，使c`adl`ag的空间成为一个完备的度量空间。概率上的一致收敛性明显弱于Emery拓扑。现在让我们来制定一个大型金融市场模型。让我 [0, ∞) 是一个参数空间，它可以是任何子集，可数或不可数。定义，foreach n≥ 1，I的子集的一个族，它恰好包含n个元素：（2.2）An={some/all子集a 一、这样|A |=n}，其中|A |表示集合A的基数。此外，我们假设如果A∈锡≥1安，然后是A∪ A.∈锡≥1安。每一个∈锡≥1在小型金融市场A.定义2.1中定义以下一组1-可接受的投资组合财富过程。

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2022-5-7 06:55:05

每一个∈锡≥1我们可以考虑凸集XA 半鞅的So从0开始，o从下到-1，o满足以下连接属性：对于所有有界、可预测的策略H，G≥ 0，X，Y∈ 当HG=0，Z=（HoX）+（GoY）时≥ -1.它可以容纳Z∈ XA.o一个，一个∈锡≥1带有一个哦，我有这个 XA。接下来，我们定义了所有1-容许投资组合财富过程的集合Xnof，涉及最多包含n项资产（但所有可能不同的n项资产选择）的策略。的确，每n≥ 1我们考虑以下集合Xn 半鞅S（2.3）Xn=[A∈安卡。请注意，集合Xnar既不是凸的，也不满足定义2.1中的连接属性，因为在这两种情况下，组合中可能涉及2n个资产。因此，结果将在x2n中出现，而不是在Xn中出现。下面的两个例子说明了我们想到的主要应用程序。当我们处理多维半鞅和相应的多维策略时，我们使用粗体字母来区分它们与一维类比。大型金融市场FTAP 5示例2.2（应用1：一个概率空间上的大型金融市场）。与引言或[2]中的例子类似，让我们考虑一个由一系列半鞅（Snt）t建模的大型金融市场∈[0,1]，n∈N、基于过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t∈[0,1]，P）。我们的设置涵盖了这种模式。实际上，选择I=N并定义An={An}作为只包含集合An={1，…，N}的单例。集合Xn=xanten包含所有随机积分（HnoSn），其中Sn=（S，…，Sn）和Hn是n维、可预测、Sn可积且1-容许的。例2.3（应用2：基于资产连续统的市场，如债券市场）。让我们假设我们得到了一个以某种形式表达的可交易资产的连续统。

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2022-5-7 06:55:09

这些资产以半鞅（Sαt）0的形式给出≤T≤1, α ∈ 一、基于(Ohm, F、（英尺）0≤T≤1，P）。例如，可以选择参数setI=[0，T*], T*≤ ∞, α在哪里∈ 我可以被认为是债券的到期日。在这里，我们选择所有子集A的家族我认为这是一个∈ 其中A={α，…，αn}，对于α，αn∈ 一、集合XA由（2.4）XA={（HAoSA）0给出≤T≤T、 HA1可容许}，其中SA=（Sα，…，Sαn），hai是SA的n维可预测1可容许被积函数。显然，这些集合满足定义2.1的要求。这些集Xn，n≥ 1，然后表达一个事实，即可以交易任意数量的资产（但涉及所有无数资产α，α的每个有限选择）∈ 一）。继续进行最终设定，我们现在定义集合X（分别为X和X），它将取代[8]中的相应集合，并在大型金融市场中被称为（1-）可容许的广义投资组合财富过程。定义2.4。（i）考虑集合X=Sn≥1XnS，其中（·）s表示金刚砂拓扑中的闭合。Xare的元素称为1-可容许广义投资组合财富在大型金融市场中的存在。（ii）我们用X表示集合X:=∪λ> 0λx并将其元素称为大型金融市场中的广义投资组合财富价值。（iii）我们分别用K，K表示在终端时间T=1时X，X元素的评估。备注2.5。在示例（2.3）中，可接受的广义投资组合财富过程还包括投资组合Z，其中投资组合中的债券组成可以随时间变化，只要这种变化不太“疯狂”。例如，如果Z是一个s-e鞅（对应于这样一个组合），并且存在一个停止时间序列（τk）k，则是这种情况∈转换a.s。

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2022-5-7 06:55:11

这样，foreach k∈ N、 Zτk可以写成Zτk=（HAkoSAk）1∧τk对于投资于与时间τk设定的指数对应的债券的λ-容许策略。例如，Z可以通过始终投资于特定资产的策略建立，但在某些停止时间，投资组合的组成可以改变，以包括新的特定数量的资产。引理2.6（连接属性）。金刚砂密集亚群≥1Xnof X表示以下串联属性：设X，Y∈锡≥1Xn，然后是CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmana∈锡≥1确保X，Y∈ XA。对于所有有界的、可预测的策略≥ 0，HG=0，Z=（HoX）+（GoY）≥ -1.它认为∈ xaz∈锡≥1Xn。证据作为X，Y∈锡≥1Xn=Sn≥1SA∈安卡，有一个，一个 I与| A |=nand | A |=m，使得X∈ Xay和Xay∈ XA。让A=A∪ A、然后∈锡≥1和X，Y∈ XA，其中A最多有n+m个元素。因此，通过集合XA的凝聚性质，参见定义2.1，我们得到了H和G的引理，对于Z=（HoX）+（GoY），Z∈ XA[n]≥1Xn。备注2.7。请注意，我们只在所有可管理投资组合集合的dens esubset上具有连接属性，即我们不能直接应用[8]或[1]的推理。没有通用的方法将此有限维设置中的连接属性扩展到Emery闭包。从数学上讲，这项工作的目标是证明这仍然适用于所有结论。2.1. 与大型金融市场广义交易策略相关的文献。我们在此关注M.De Donno等人在[2]中考虑的大型金融市场情况，这是示例2.2的内容。

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2022-5-7 06:55:15

如前所述，小金融市场n中与1-可容许投资组合财富过程相关的集合Xn由以下关于n维半鞅Sn=（S，…，Sn）Xn={（HoSn）|H的随机积分集给出∈ Hn}（2.5），其中Hnλ={H | Rn值，可预测，Sn可积和λ-容许过程}。通常λ-可容许性意味着（HoSn）t≥ - λ表示所有t∈ [0, 1].在[2]中，通过半鞅序列的广义随机积分理论，实现了从小型金融市场序列到大型金融市场模型的过渡。正如引言中已经提到的，相应的被积函数被称为广义策略，这是一个概念，它将每个资产都可以贡献的投资组合的概念形式化，可能具有极小的权重。正如我们将在第2.9点中看到的，定义2.4的集合Xof正好对应于随机积分，其1-容许广义策略定义如下，并在[3]中进行了初步考虑。在以下定义中，lim表示金刚砂拓扑中的极限。定义2.8。（i）每n∈ N、设Hn是一个Rn值的、可预测的、Sn可积的过程。序列（Hn）n∈Nis称为广义策略如果（HnoSn）在Emery拓扑中收敛到半鞅Z:=S-lim（HnoSn），则称为广义随机积分。（ii）设λ>0。如果逼近序列Hn的每个元素都是λ-容许的，则广义策略Hn称为λ-容许。大型金融市场FTAP 7提案2.9。考虑下面的setZ={S-lim（HnoSn）|（Hn）1-可容许广义策略}。然后Z=X，其中定义2.4中给出了Xis，定义（2.5）中给出了xnd。证据包含Z锡≥1XnS=Xis通过定义1-可容许的广义策略而明确。反过来让X∈ 十、

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大多数88

2022-5-7 06:55:18

然后存在一些序列Xk∈锡≥1Xnsuchthat Xk→ 金刚砂拓扑中的X。当每个XKL在某个Xnk中时，它保存着某个Hnk的XK=HnkoSNK∈ Hnk证明了X Z备注2.10。Zand Xin和[2]的设置之间的一对一通信是我们定义XasSn的一个动机≥1XnS。3.主要概念和结果为了引入我们不存在反随机套利的概念，我们需要以下凸锥：C:=K- L≥0，C:=C∩ L∞.在NFSA中，我们称之为“无风险”，在NFR中称之为“无风险”，在NFR中称之为“无风险”∩ L∞≥0={0}，其中C表示L中的范数闭包∞.3.1. 大型金融市场资产定价的基本定理。在陈述我们的主要结果之前，让我们回顾一下等价分离度量的概念。定义3.1。如果存在等效度量Q，则集合X满足（ESM）（等效分离度量）属性~ P使得等式[X]≤ 0代表allX∈ 注意，在条件C下*∩ L∞≥0={0}，（NFL）其中C*表示弱者-*-在L∞, （ESM）属性是Kreps-Yan定理[16,20]的结果，而Kreps-Yan定理又源自Hahn-Banach的定理。条件NFL是抽象的s e t c的经典无免费午餐（NFL）条件。很明显（NFL）=> （NAFLVR）。目的是展示相反的含义，即：定理3.2。在（NAFLVR）下，C=C*, i、 e.圆锥体C已经很弱了-*关闭和（NFL）暂停。这一结果在第7节中得到了证实，我们将[1]中使用的方法应用于大型金融市场的当前环境。与经典环境类似，这将导致下面的定理3.3，这是大型金融市场资产定价基本定理的一个版本。定理3.3（资产定价基本定理）。

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2022-5-7 06:55:21

（NAFLVR）<=> （ESM）.8 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmann注意到，由大量ass ETS组成的市场的相应结果首次由F.Delbaen和W.Schachermayer在[5]中证明。Y.Kabanov[8]发现了自定义2.1起可接受的投资组合财富过程的最抽象的设置，[5]的证据可以转移到该设置。3.2. 与非渐进免费午餐（NAFL）和相应的FTAP有关。在本节中，我们将讨论（NAFLVR）与非渐进免费午餐（NAFL）的关系，见[13]。这里我们又回到了示例2.2的情况。L etK={X，其中X∈[λ>0[n]≥1λXn=[n≥1Xn}，其中xn如定义2.1所示（尤其是示例2.2中的r），以及注释2.10中的xn。在所有的小市场n中，集合k是可容许投资组合的极值，但在Emery拓扑中没有闭包。这与大型金融市场的通常设置相对应，前提是所有过程都基于相同的概率空间(Ohm, F、例如，参见[9,14,13]。定义（3.2）C=（K- L≥0) ∩ L∞.然后（NAFL）的内容如下：（NAFL）：据说se t C不满足渐近自由午餐ifC*∩ L∞≥0={0}，其中C*表示弱者-*-在L∞.为了将[13]中的FTAP与上述定理3.3进行比较，我们必须定义适当的（ESM）条件。定义3.4。集合λ>0Sn≥1λxn表示（ESM\'）属性，前提是存在等效度量Q~ P使得等式[X]≤ 0代表所有X∈Sλ>0Sn≥1λXn。在[13]中，大型金融市场的以下FTAP在可能不同的概率空间序列的一般设置中得到了证明Ohmn（其中（NAFL）条件看起来更具技术性，但与（NAFL）相对应，如上文所述Ohmncincide）。在我们的情况下Ohmn包括它也可以从Kreps-Yan[16,20]定理的（抽象版本）中推导出来。定理3.5。

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可人4

2022-5-7 06:55:26

（NAFL）<=> （ESM\'）。现在，我们将证明定理3.5和3.3是等价的，因为我们给出了集合C和C之间的精确关系。为此，我们将使用C和C的极集合。definem={Q<< P:EQ[f]≤ 0代表全部f∈ C} 。很容易看出，M是x的绝对连续分离测度集，即isM={Q<< P:EQ[X]≤ 0代表所有X∈ 十} 嗯。此外，我们现在将看到，集合M与（ESM\'）意义上的绝对连续分离度量集合是相同的。引理3.6。Q∈ M当且仅当Q是λ>0Sn的绝对连续分离测度≥1λXn。大型金融市场的FTAP证明了这一点。让Q满足（ESM\'）的定义条件。特别是，等式[X]≤ 0代表所有X∈锡≥1Xn。我们必须证明EQ[Y]≤ 0代表Y∈ X.根据定义，存在一系列流程es Xk∈锡≥1xn确认Xk→ 在Emerytopology中。这意味着Xk→ 阴概率。假设Xk≥ - 1，适用于所有k，并通过（ESM\'）EQ[Xk]≤ 所以法图引理意味着EQ[Y]≤ 0.另一个方向清楚地表示为[λ>0[n]≥1λXn[λ>0λX=X。以配对（L）为例∞, 五十）对于f，使用双线性形式EP[fg]∈ L∞安德格∈ 设B是L的任意子集∞. 定义极坐标系BoB通常是Bo= {g∈ L:| EP[fg]|≤ 1.尽管如此∈ B} 。如果B是凸锥（就像C和C一样），则极坐标由B给出o= {g∈ L:EP[fg]≤ 0，全部f∈ B} 。现在我们将给出集合C和C的关系。事实证明，在（NAFLVR）下，集合C正是弱的-*-集合C的闭包。这意味着集合Xis定义中Emery拓扑中的闭包是等价的-*-关闭集合C（该集合与C类似，但没有Emeryclosure）。所以，事实上，条件（NAFL）和（NAFLVR）是一致的。定理3.7。假设（NAFLVR）成立。那么C=C*.证据

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2022-5-7 06:55:29

我们将展示这一点o= Co=[α≥0（αM）。事实上，右侧的每个元素g都满足EP[fg]≤ 0，每f∈ 柯尔∈ C、见引理3.6。特里弗斯α≥0（αM） Co, Co. 另一方面，letg∈ Co还是Co. 在这两种情况下-L∞≥0 C、 C，我们马上得到g≥ 0.假设P（g>0）>0的非平凡情况。定义Q bydQdP=gEP[g]，那么这是一个绝对连续的度量，这样eq[f]≤ 0代表全部f∈ C、或f∈ C、分别。这就产生了上述说法。根据假设（NAFLVR），我们知道C是一个we ak-*-闭子区∞. 此外，C是一个凸锥。根据双极性定理，双极性Coo是不是很弱-*-C的闭包，见[19]。亨切克oo= 另一方面，C也是一个凸锥。再次，根据双极性定理，Coo=C*.根据上述推理Co= Co, 因此C=C*. 10 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichman3。3.与债券市场的联系，如克莱恩、施密特、泰奇曼[15]所述。在最近的一篇文章[15]中，讨论了无违约债券市场的特定设置，所有到期日都在有限的时间范围内*, 推导出了一个条件，该条件允许通过对大量债券（假设到期日为*作为市场的核心）。这也是一个拥有无数资产的大型金融市场。然而，该条件仅涉及可数且密集的次（大型金融）市场，即到期日密集在[0，T]的债券子集（包括终端债券）*]: 假设经典（NAFL）条件适用于该子市场，更重要的是，假设债券价格的权利连续性（从加权平均利率到到期日）的统一版本适用于整个市场。

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大多数88

2022-5-7 06:55:34

这使得——在[15]的局部有界环境中——可以得出整个贴现债券市场存在一个等价的局部市场测度的结论，在我们的大型金融市场环境中，这意味着（NAFLVR）或（NFL）。因此，在许多情况下，在适当的连续性假设下，似乎抽象的条件（NAFLVR）可以从可数子市场中导出。4.NA、NUPBR和NAA1本节致力于回顾文献中关于无（渐近）套利的上述概念，并分析它们之间的关系，同时也是为了证明第7节中提出的定理3.3，其中需要以下第4.4节中所述的等价性：（NAFLVR）<=> （NUPBR）+（NA）。我们从无套利（NA）开始，它的定义类似于小型市场。在我们的大金融市场背景下，这意味着几乎可以肯定的是，可接受的广义投资组合的非负定值必须几乎可以肯定等于零，这在公式中可以理解为：（NA）：据说，如果∩ L≥0={0}，相当于C∩ L≥0={0}和c∩ L∞≥0= { 0}.（4.1）众所周知，如果在满足（NA）的小型金融市场中，一个投资组合的最终价值从下方以一个常数为界，那么整个投资组合的财富过程从下方以该常数为界。下面的引理将这个属性转移到我们大型金融市场的设置中，并且在证明第3.3条时需要用到。然而，这一证据比小规模的市场交易要复杂得多。引理4.1。让我来∈ X.如果（NA）成立，Y≥ -1，然后是Y∈ X.证据。我们会让你明白∈ X.假设Y∈ X=Sλ>0λX，我们可以选择λ：=supt∈[0,1]Y-t> 0使得Y=λZ和Z∈ 十、

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2022-5-7 06:55:37

假设是这样/∈ x和λ>1（否则就没有什么可以证明的）。然后，就有了t∈ [0,1），α>0和1>ε>0和λ- ε>1，使得（4.2）P（Yt≤ - (λ - ε )) = α > 0.大型金融市场的FTAP 11Letδ=λ- ε - 1 > 0. 集合D={Yt≤ -(λ - ε)}. 定义简单的可预测被积函数Hu=1ID1I]t，1]。然后（HoY）=1ID（Y- Yt）≥ 1ID(-1 + λ - ε） =δ1ID，因此（HoY）≥ 0 a.s.和P（（HoY）≥ δ) = α > 0.我们的下一步是展示（HoY）∈ 十、然后我们得到（NA）的一个矛盾。我们将证明（HoY）实际上在X中。实际上，通过定义X，存在一个序列Zk∈锡≥1X确认Zk→ 在Emery拓扑中。存在AKI和Zk的有限子集∈ 哈克。此外，很明显，Yk:=λZkEmery收敛到Y=λZ。很容易看出（HoYk）→ （HoY）在金刚砂拓扑中，对于每个K∈ 小心点，kKk∞≤ 1，我们有（Ko（（HoYk）- （HoY））=（KHoYk- Y）和KH∈ 是的，kKHk∞≤ 1.然而，我们不能这么说（HoYk）∈ 哈克锡≥1xn因为（HoYk）可能不是≥ -1.因此我们用可预测的简单积分shk=1IDk 1I]t，1]来近似H，其中dk={Ykt≤ - (λ - ε ) + 2-k} 。作为Yk→ Emery拓扑中的Y，尤其是Ykt→ Ytin概率，因此1IDk→ 1在概率上。此外，香港≥ 0和（HkoYk）u=1IDk（Yku）- （Ykt）≥ 1IDk(-λ + λ - ε - 2.-（k）≥ -ε ≥ -1.每个u≥ t、因此，通过应用连接属性引理2.6，（HkoYk）∈ 哈克锡≥1Xn。最后，我们展示了ds（（HkoYk），（HoYk））→ 0代表k→ ∞. 事实上，让Jk=Hk- H、那么Jk6=0仅在集合Ek=D\\Dk上∪Dk\\D，其中P（Ek）→ 0代表k→ ∞.

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2022-5-7 06:55:41

每K∈ 小心点，kKk∞≤ 1安度≥ 我们没有吗Ko（（香港oYk）- （HoYk））u=（香港）- H） o（KoYk）u=（1IDk）- 1ID）（（KoYk）u- （KoYk）t）。因此，对于gku=（KoYk）u- （KoYk）t，谢谢∈小心点，kKk∞≤1E|Ko（（香港oYk）- （HoYk））|*∧1.≤ 超级棒∈小心点，kKk∞≤1E|1IDk- 1ID |（supu）∈[0,1]|gku |∧ 1),≤E|1IDk- 1同上∈小心点，kKk∞≤1（supu∈[0,1]|gku |∧ 1).（4.3）但作为|1IDk-1ID |=1IEk→ 概率为0，由于（4.3）中的一切都是以1为基础的，我们通过支配收敛得到（4.3）中的期望值收敛到0。这意味着dS（（HkoYk），（HoYk））→ 0.我们发现的证据到此结束（HkoYk）∈锡≥1xN（香港oYk）→（HoY）在金刚砂地形图Y中，因此（HoY）∈ X合同（NA）。12 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmanlet我们现在介绍的条件（（N）AA1）和（NUPBR）是等价的。定义4.2。如果存在α>0和εk序列，则存在第一类渐近套利（AA1）→ 0，ck→ ∞ Xksuch为每个香港∈ N（i）Xk∈ εkSn≥1Xn，（ii）P[Xk≥ [ck]≥ α、（NAA1）：如果不存在（AA1），则第一类渐近套利不成立。（NUPBR）：据说集合Xis不满足有界风险的无界利润IFKI是L的有界子集。第一类套利在[7]中首次以这个名称出现，是Y.卡巴诺夫和D.克拉姆科夫[9，定义1]在大型金融市场的背景下引入的。后来，C.Kadaras和I.Karatzas[11]在经典小型金融市场的背景下对其进行了研究。在他们的设置中，（NA1）被证明相当于（相应的概念）NUPBR。以下命题建立了我们大型金融市场环境下的模拟结果。提案4.3。（NAA1）<=> （NUPBR）证据。我们首先证明（NUPBR）=> （NAA1）。通过对比假设存在（AA1）。然后在定义4.2中存在一个序列Xkas。

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2022-5-7 06:55:44

对于Yk=εkXk∈锡≥1.我们为k∈ NPYk≥ckεk≥ α.这与集合Kin L的有界性相矛盾。反过来，假设Kis在L中没有界，则存在Xn∈ Xsuch thatlimn→∞P[Xn≥ n] =α>0。根据X的定义，存在序列SN≥1Xn Xk，nk→∞→ 在能量经济学中。因此Xk，nk→∞→ 可能性。每个人∈ N、我们可以选择Knsch thatlimn→∞PhXkn，n≥镍≥α.然后Yn：=√nXkn，nyields an（AA1）。提案4.4。（NA）+（NUPBR）<=> （NA）+（NAA1）<=> （NAFLVR）证据。证明类似于[8，引理2.2]。为了方便起见，我们在我们的环境中提供了相应的参数。我们从展示（NAFLVR）开始=> （NA）+（NAA1）。由（4.1），（NA）简单地跟随。假设存在一个（AA1）。然后在定义4.2中存在一个序列Xkas。通过定义fk:=Xk∧1.∈ 按照[8，引理2.2，a]进行=> b），我们得到了一个与（NAFLVR）相矛盾的结果。相反，用于显示（NA）+（NAA1）=> （NAFLVR），支持（NAFLVR）失败。那么就有fn了∈ C和f≥ 使得P[f>0]>0和kfn-fkL∞→因此，存在Xn∈ X使得Xn≥ fn≥ -k（fn）-吉隆坡∞=: -εn→ 0.根据Le mma 4.1，（NA）意味着Xn∈ εnXand√εnXnyields an（AA1）。大型金融市场FTAP 135。为什么大型金融市场中的另类投资组合财富过程集不适用于定义2.4中引入的集合X，我们在这里考虑两种不同的可能性来定义大型金融市场中的投资组合财富过程集。在这两种情况下，我们都没有期望的等效分离措施，这说明了在定义2.4.5.1中对1-可容许投资组合进行一次性关闭的重要性。一致可容许近似投资组合财富过程的重要性。作为投资组合财富过程集Xs=[λ>0[n≥1λXnS。那么就不可能得出结论，X的分离度量也是X的分离度量。

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2022-5-7 06:55:47

事实上，正如我们在定义2.4中所做的那样，采用1个可接受投资组合的Emery闭包和所有λ的并集，以及采用Sλ>0Sn的Emery闭包，存在着很大的差异≥1λXn。实际上，m[3，例2]的一个例子表明，[λ>0[n≥1λXnS=XS X=[λ>0λ[n]≥1XnS。在那里，一系列的马丁尼啤酒（Sn）n∈一系列Rn值策略的构造，使得所有n∈ N（HnoSn）≥ -n、其中Sn=（S，…，Sn）。根据Ansel Stricker引理（参见[4]），这意味着（HnoSn）是所有n的局部鞅∈ 然而，这一限制不再适用。事实上，如[3，示例2]所示，金刚砂拓扑中的序列e（HnoSn）在=t时转化为递增过程。如果我们现在定义Xnw，考虑上述鞅序列（Sn）n∈n类似于第2.1节（HnoSn）∈ NxN∈ N，因此也明显是inSλ>0Sn≥1λXn。因此，极限过程ss At=t位于xs。但肯定没有测量Q的方法~ P使得等式[A]=EQ[1]≤ 0.相比之下，集合X满足（ESM）属性。事实上，在这种情况下，只考虑了小市场中一致可接受的贫困人口富裕过程，即，只考虑我们所有人的战略∈ N、（HnoSn）≥ -λ对于某些λ≥ 通过Fatou\'slemma，这意味着相应的Emery极限是s超鞅，因此（ESM）属性（因此也是（NAFLVR））适用于X。特别是，这个例子表明，SETX通常太大，并导致从一开始就应该排除的渐近套利。另一方面，仅仅是收益λ>0Sn≥1λxn如果没有任何闭合，将太小，如下一节所示。5.2. 没有天真的“没有消失的ris k的自由狂欢”。

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2022-5-7 06:55:50

考虑与第3.2节类似的一组por tfolio过程[λ>0[n]≥1λXn14 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmand，以及该集合的（NAFLVR）类似概念，即C∩ L∞≥0，其中C在（3.2）中定义，C表示L中的范数闭包∞. 此外，通过K0，n，也就是K0，对小型金融市场中的投资组合的终值进行估值。如果每个小型金融市场都不满足套利，即如果K0，n∩ L≥0={0}表示所有n∈ N.类似于命题4.4，我们得到以下特征。提议5.1。C∩ L∞≥0= { 0} <=> （NAA1）+（NAsmall），可以构造满足（NAA1）和（NAsmall）的例子，但是我们没有得到λ>0Sn的等价分离测度的存在性≥1λXn。事实上，将以下semimar tingales序列视为大型金融市场模型：∈ [0,1）和n∈ N、设Snt=0，Snt是取两个值的独立随机变量-1和1的概率[Sn=-1] =pn和P[Sn=1]=1- pn，其中所有n的pn>0∈ 布特林→∞pn=0。每n∈ N、等效分离度量Q需要满足Q[Sn=- 1] =，但它不趋向于0，因此意味着Q不等于P。请注意，违反了第4节开头定义的更严格意义上的（NA），因为在thenthasset的投资顺序，即（HnoSn）=Sn- 对于Hnt，i=1[0,1]（t）δ在极限a元素中的收益率几乎肯定为1，因此是一个（渐进）套利机会（对应于[9]中介绍的第二类渐进套利）。这个例子显示underC∩L∞≥0={0}，C（C*.

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2022-5-7 06:55:55

考虑到提案4.4和第3.2节，在不使用弱约束的情况下获得FTAP的关键问题-*-因此，closur将加强第4.6节开头所述的从（NAsmall）到（NA）的无套利条件。关于大型金融市场中的σ-鞅测度，本节的目的是表明，与一般小型金融市场相比，（NAFLVR）并不意味着σ-鞅测度的存在。事实上，以下大型金融市场模型提供了一个反例。让(Ohm, F、 P）=（[0,1]，B（[0,1]），λ，其中λde表示勒贝格度量。要塞∈ [0,1）和n∈ N、设Snt=0，SNA定义如下：Sn（ω）=(-√ωω ∈ [0，εn），（1-ω） n+1Ω∈ [εn，1]，（6.1），其中（εn）是取（0，1）中值的序列。我们从一个引理开始，这个引理显示了一个特定序列（εn）的存在，使得所有n的E[Sn]=1∈ N和εN→ 0作为n→ ∞.引理6.1。让（Sn）由（6.1）给出。然后我们可以选择（εn），使得所有n的e[Sn]=1∈ Nandεn→ 0作为n→ ∞.大型金融市场的FTAP。注意E[Sn]=1相当于1+2√εn=n+1n（1- εn）nn+1。（6.2）在[0,1]上，函数x7→ fn（x）：=n+1n（1）- x） nn+1（对应于右侧）正在减小，而x7→ 1 + 2√x（对应于左手侧）正在增加。因此，对于每个n，我们发现一些εnsuch（6.2）成立。此外，通过相同的参数，序列εnis减小并收敛到0 sincelimn→∞fn（x）=1- 十、在续集中，我们采用引理6.1中的（εn）。此外，我们认为由（Snt）t∈[0,1]，n∈确保所有可预测的策略都简化为确定性策略。前n项资产中的投资组合的终值为X=Pnk=1ck（Sk- 对于某些常数ck，Sk）=Pnk=1cksk∈ R

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可人4

2022-5-7 06:55:59

下面的引理提供了一个必要条件，保证X≥ -1（相当于X∈ Xn），并表明P=λ是一个分离度量。引理6.2。设（Sn）由（6.1）和引理6.1中的（εn）给出。为了n∈ N、假设X=Pnk=1ckSk≥ - 1.然后∈G+ck≤Xk∈G-|ck |，（6.3）其中G+={j | cj>0}和G-= {j|cj<0}。此外，P=λ是X证明的一个分离度量。关于第一个断言，通过矛盾假设α：=Xk∈G+ck-Xk∈G-|ck |>0。然后在set[0，εn]上，我们有X（ω）=Pnk=1ckSk（ω）=-α√ω、从下面看是无界的，因此意味着（6.3）。这个加上引理6.1 yieldsE[X]=Xk∈G+ckE[Sk]+Xk∈G-ckE[Sk]=Xk∈G+ck-Xk∈G-|ck|≤ 0代表所有X∈ 由Fatou引理得出，因此也适用于所有X∈ X，反过来也是X∈ 十、引理6.3。设（Sn）由（6.1）和引理6.1中的（εn）给出。那么就不存在等价的鞅测度，也就是说，没有Q~ P=λ，因此对于所有n，等式[Sn]=0。证据通过矛盾假设存在一些Q~ λ使得所有n的等式[Sn]=0。这意味着zεn√ωdQ（ω）=Zεn（1）- ω） n+1dQ（ω）（6.4）对于所有n.自Q~ λ和εn→ 我们必须有Q（[0，εn））→ 0.此外√ω[0,ε)∈ 在L（Q）中，我们通过占优收敛得到，左手边16 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmanov（6.4）随着n趋于0而趋于0∞. 因此，右侧也趋向于0，这意味着t Q（[εn，1]）→ 0，sinceZεn（1- ω） n+1dQ（ω）≥ Q（[εn，1]）。这与Q和λ的等价性相矛盾，并证明了这一论断。结合上述引理，我们得到以下结果：命题6.4。设（Sn）由（6.1）和引理6.1中的（εn）给出。然后，存在一个等价的分离测度（即P=λ），但没有等价的可度量。证据这个证明是引理6.2和引理6.3的结果。备注6.5。

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2022-5-7 06:56:04

注意，在上例的情况下，使用σ-鞅的要求等同于使用鞅。因此，我们证明了一般（NAFLVR）并不意味着等价σ-鞅测度的存在。7.定理3.2的证明我们将[1]中的proo f策略应用于当前设置。这尤其意味着，第一部分证明与F.Delbaenad W.Schachermayer[5]针对经典市场情况的原始证明一致。第一系列结论如下。回想一下als o提案4.4，它需要将（NAFLVR）拆分为（NA）和（NUPBR）。（i）（3.1）中定义的凸锥C相对于弱*-拓扑当且仅当Cis Fatou闭合，即对于任何序列（fn），从下有界且几乎肯定收敛到f∈ C、参见[8]中第3节的开头，以及[5，定理2.1]，基本上可以追溯到A.格罗森迪克。（ii）现在开始-1.≤ fn∈ C几乎可以肯定地转换为f。然后我们可以找到≤ gn=Yn和Yn∈ X.（iii）引理4.1得出如下结论：∈ X.（iv）由（NUPBR）可知，存在前凸组合fyn∈conv（Yn，Yn+1，…）就这样→fh≥ f几乎可以肯定。（v）这意味着se tbK∩ {g∈ L | g≥ f}，其中bk表示Kin L的闭式，是非空的。由于它也是以（NUPBR）为界且闭的，所以极大元素hexist（见[8]或[5，引理4.3]中第3节的开头）。自从h∈bK，我们可以找到一个半三角形Xn的序列∈ Xsuch那Xn→ 哈尔莫特肯定会和他最大的朋友一起拥有这片土地。备注7.1。在不损失一般性的情况下，我们可以在Emery稠密子etSn中取半鞅序列≥1Xnof X。

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2022-5-7 06:56:07

事实上，根据金刚砂拓扑的性质，很明显我们可以在稠密子集中找到一个序列，这样仍然是Xn→ 哈s、（vi）先前构造的半鞅Xn的“max-imal”序列∈锡≥1xn在概率上是一致的，即| Xn- X|*→ 概率为0，对于某些c`adl`ag过程X（参见[8，引理3.2]或[5，引理4.5]）。大型金融市场的FTAP 17如[1]中所述，现在的目标是证明上述（vi）中构造的序列（Xn）在概率上一致收敛于X，在梅里拓扑中也收敛于X。由此得出h=limn→∞Xn=X∈ K、因为Xis在Emery拓扑中是闭合的。这反过来意味着f∈ C、通过上述步骤（i）完成证明。定理7.2。设X=Sn≥1xNSR（NUPBR）。让（Xn）n≥0∈锡≥1xNBE是一个半鞅序列，它以一致的概率收敛到X，因此X是一个极大元incK，其中ck表示Kin L的闭包。然后Xn→ 金刚砂拓扑中的X。证据由于命题A.3，（NUPBR）意味着（Xn）的（P-UT）性质。因此，该定理是下面a.4命题和7.3命题的结果。对于半鞅序列（Xn）n≥当Xn=0且一些C>0时，让我们考虑以下分解：nXn=Bn，C+Mn，C+Xn，C，（7.1），其中71xn，C=Ps≤TXns{|Xns |>C}，Bn，Cis是特殊半鞅Xn的正则分解的可预测有限变分部分，Mn，C是局部鞅部分-ˇXn，C.提案7.3。设X=Sn≥1xn满足（NUPBR）和let（Xn）n≥0∈锡≥1Xnbe一个半鞅序列，其概率一致收敛到X，使得Xis是最大元素incK。（这里，ck表示Kin L的闭。）考虑（Xn）和X的形式（7.1）的半鞅分解，并假设Mn，C→ MCandˇXn，C→ˇXCin Emerytopology。然后Bn，C→ B在金刚砂拓扑中。证据

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2022-5-7 06:56:11

鉴于备注2.7中削弱的串联特性，我们对[1]中的提案5.5进行了修改。Let（Xn）∈锡≥1Xn。然后Xn∈ XAN有限子集An I.定义Yn:=Mn，C+Xn，C，通过假设在能值论中收敛。矛盾地假设（Bn，C）在Emery拓扑中不收敛。那么它不是柯西序列，存在ik，jk→ ∞ 就这样Zd |比克，Cs- Bjk，Cs |>2γ≥ 2γ > 0.设B是支配所有Bn的可预测的递增过程，C.集rik:=dBik，CdB，rjk:=dBjk，CdBandΓk:=rik≥ rjk}。然后我们可以通过假设ik得出结论∧ jk≥ ik-1.∨ jk-1并可能将IK和jk互换——即（（rik）- rjk）1ΓkoB）>γ≥ γ > 0.以αk为例↓ 0和定义Xk:=1ΓkoXik+1（Γk）coXjk。注意，由引理2.6“Xk∈ 沙伊克∪Ajk。让我们定义σk=inf{t|（1ΓkoYik）t+（1（Γk）coYjk）t<Yikt∨ Yjkt- CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichman没有注意到- Yik=1（Γk）co（Yjk）- Yik）和“Yk”- Yjk=1Γko（Yik- Yjk）在Emery拓扑中转化为0，因此概率也一致。因此，我们可能需要（ik，jk）足够快的增长来确保P[σk<∞] → 0.设置noweXk:=1[0，σk]o\'Xk。引理7.4，eXk∈ （1+αk）XAik∪Ajk （1+αk）Sn≥我们有以下代表性exk=（1Γk∩[0，σk]oXik）+（1（Γk）c∩[0，σk]oXjk）=Xjk1∧σk+（1Γk∩[0，σk]o（Xik- Xjk））=Xjk1∧σk+（1Γk∩[0，σk]o（Yik- Yjk））+ξk，其中ξk=（1Γk∩[0，σk]o（Bik，C-Bjk，C））=（1Γk（rik）-rjk）oB）1∧σk.将[8，引理A]应用于ξk，意味着ξkconver ge对arandom变量η的正凸组合≥ 0，η6=0。表示Xjk通过h变换到的最大元素∈bK，通过（Yn）的Emery收敛，它将eXkConver ge的凸组合向前推到h+η。自从埃克斯克∈ （1+αk）X，这与h的极大值相矛盾∈bK。引理7.4。

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2022-5-7 06:56:14

让Xk∈ XAk，Xl∈ XAl（因此是Xk，Xl∈ 哈克∪Al）和α>0。考虑Xkand Xl的分解（7.1），即Xi=Bi，C+Mi，C+ˇXi，C=：Bi，C+Yi，i=k，l。设B是支配Bi的可预测增长过程，C。集ri=dBi，CdBfori=k，l和σ：=inf{t |（1ΓYk）t+（1ΓCoYl）t<Ykt∨ Ylt- α} ，其中Γ={rk≥ rl}。TheneX=1Γ∩[0，σ]oXk+1Γc∩[0，σ]oXl∈ （1+α）XAk∪艾尔（1+α）[n≥1Xn （1+α）XProof。注意，1ΓBk，C+1ΓCoBl，C≥ Bk，C∨ 因此在[0，σ[eX]上≥ Bk，C∨Bl，C+Yk∨伊尔-α ≥ （Bk，C+Yk）∨ （Bl，C+Yl）- α=Xk∨Xl码- α.当时eX由eXσ=1ΓXkσ+1ΓcXlσ和henceeXσ≥ - 1.- α、因为左极限至少是Xk∨ Xl码- α. 附录A.一些技术成果定义A.1。一个积极的c`adl`ag适应过程D被称为1+Xif D的supermart ingalede flicator≤ 1和D（1+X）是所有X的超鞅∈ X.定理A.2。设Xbe是一组满足定义2.4和（NUPBR）的半鞅，则存在1+X证明的超鞅定义D。正如[1]中定理4.5的证明一样，断言来自[12，引理2.3]。事实上，紧跟[1]中定理4.5的证明，并使用引理2.6的串联性质的方差，很容易看出fork凸性适用于n≥1Xn。因此，对于n存在一个超鞅≥1Xn。由法图引理D是金刚砂closureXas井的一个超级艺术家。大型金融市场FTAP 19以下命题与[1，命题4.10]相对应，其证明在当前环境下完全类似。提案A.3。设xsatify（NUPBR）和Let（Xn）n≥0∈ Xbe半鞅的任意序列。然后（Xn）满足（P-UT）性质。以下命题是[18，命题1.10]的一个变形，与[1，命题5.2]相对应。提议A.4。让（Xn）n≥0是Xn=0的半鞅序列，其概率一致收敛到X。

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nandehutu2022

2022-5-7 06:56:17

进一步假设这个序列的（P-UT）属性，并考虑（Xn）和x的形式（7.1）的分解。然后存在一些C>0，使得Mn，C→ MCandˇXn，C→ˇXCin-theEmery拓扑与Bn，C→ 在概率上是一致的。参考文献[1]C.Cuchiero和J.Teichman。埃默里拓扑的收敛结果和资产定价基本定理证明的变体。预印本，arXiv:1406.43012014。[2] 多诺先生、瓜索尼先生和普拉特利先生。大型金融市场的超级复制和效用最大化。随机过程。应用程序。，115(12):2006–2022, 2005.[3] 多诺先生和普拉特利先生。关于半鞅序列的随机积分。在《纪念保罗·安德烈·梅耶：概率论的埃米奈尔》第XXXIX卷，数学课堂讲稿1874卷中。，第119-135页。柏林斯普林格，2006年。[4] 多诺先生和普拉特利先生。在安塞尔和斯特里克的引理上。在S\'eminaire de Probabilit\'esXL《数学课堂讲稿》第1899卷中。，第411-414页。柏林斯普林格，2007年。[5] F.德尔班和W.沙切迈耶。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300(3):463–520, 1994.[6] 埃默里先生。半鞅空间上的拓扑。在S\'eminaire de Probabilit\'es，XIII（斯特拉斯堡大学，斯特拉斯堡，1977/78）中，数学课堂讲稿第721卷。，第260-280页。柏林斯普林格，1979年。[7] 英格索尔。财务决策理论。Rowman&Little Field金融经济学研究。Rowman&Little Field，1987年。[8] Y·M·卡巴诺夫。关于克雷普斯·德尔巴恩·沙切梅耶的自由贸易协定。《随机过程的统计和控制》（莫斯科，1995/1996），第191-203页。世界科学杂志。公共图书馆。，River Edge，新泽西州，1997年。[9] Y·M·卡巴诺夫和D·O·克拉姆科夫。大型金融市场：渐进套利和连续性。特奥。维罗亚特诺斯特。我是Primenen。，39(1):222–229, 1994.[10] Y·M·卡巴诺夫和D·O·克拉姆科夫。

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