具有异质信念和非流动性的资产定价

2022-6-23 22:43:48

具有异质信念和非流动性的资产定价*Johannes Muhle Karbe+Marcel NutzXiaowei Tan§2020年3月26日摘要本文研究了在N个对资产支付的状态过程有不同信念的代理人之间连续交易的资产的均衡价格。我们提出了一个易于处理的模型，其中代理在库存和交易率的二次成本下实现预期收益最大化。唯一均衡价格的特征是线性抛物方程的弱耦合系统，这表明持有成本和流动性成本具有双重作用。我们推导了小交易和持有成本的领先阶渐近式，从而进一步深入了解了非流动性的均衡和后果。关键词平衡；资产变现能力异质信念样本2010主题分类91B51；91G10；91G801简介关于基本价值的异质信念是金融市场交易的关键动机。因此，大量的文献研究价格是如何作为主观信念的集合形成的；许多参考文献参见调查【44】。这种综合是通过交易的方式实现的：个人估值较低的经纪人将股票卖给对基本面更乐观的经纪人。因此，流动性——交易实施的便利性——在决定信念如何反映在价格中起着重要作用。*作者感谢副主编和两位匿名推荐人的宝贵意见。+伦敦帝国理工学院数学系，j.muhle-karbe@imperial.ac.uk.Research由CFM帝国定量金融研究所支持哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.Alfred P.支持的研究。

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2022-6-23 22:43:51

斯隆奖学金和NSF授予DMS-1512900和DMS-1812661。§哥伦比亚大学数学系，xt2161@columbia.edu.In在本研究中，我们提出了一个易于处理的模型，该模型允许我们研究异质信念和流动性在确定资产价格中的相互作用。我们考虑对决定给定资产支付的状态过程有不同信念的N种（类型）代理人。他们连续交易资产以实现预期回报最大化，并以库存和交易率的二次成本进行惩罚。我们证明了该模型具有唯一的马尔可夫均衡。均衡价格被描述为具有弱耦合的线性抛物方程组的解（即方程仅通过零阶项耦合）。该解决方案以及对其导数的必要估计，是通过结合[8]中反应微分方程的定点参数、抛物方程的经典Schauder理论和看似新颖的梯度估计得到的。这种特性使我们能够研究这两种成本的影响。由系数γ参数化的存货持有成本可被视为风险规避的代理，而系数λ>0的交易利率成本代表了市场影响引起的流动性（或交易）成本。这两个成本决定了代理人在选择其投资组合时如何考虑当前和未来的预期回报：随着交易成本的增加，未来的市场条件将得到进一步的重视，以避免以后可能逆转的交易。相反，持有成本越高，持有特定头寸的吸引力就越低，因此当前的交易机会发挥着更大的作用。因此，在我们的分析中，流动性和持有成本的作用是相反的。

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2022-6-23 22:43:55

具体而言，当资产净供应量为零时（例如，衍生工具合同的自然假设），这两项成本仅通过其比率γ/λ进行输入。对于正供给，如果在相同的manneras交易和持有成本中重新调整供给的倒数，则资产价格保持不变，以便通过减少两种摩擦来设定更大资产头寸的更大交易和持有成本。在交易成本或持有成本都很小（γ/λ）的极限状态下，得到了显式渐近公式≈ ∞ 或γ/λ≈ 分别为0）。对于小交易成本λ→ 0，奇异摄动展开确定了相对于无摩擦均衡的前导阶修正项，在该均衡中，资产通过在代表性代理的概率度量下采用条件期望来定价，该概率度量平均代理的信念。修正项与平方根成正比√交易成本的λ。相应的比例常数与代理人无摩擦投资组合主观漂移的平均值相关。因此，如果代理人平均预期未来增加头寸，均衡价格相对于无摩擦对手会增加，反之亦然。其解释是，在非流动性市场中，代理人会考虑其未来的交易需求，以降低交易成本。因此，对未来购买的预期已经导致仓位提前增加，均衡价格根据所有代理的总调整产生的超额需求而增加，反之亦然。小规模持有成本γ的均衡→ 0可以通过围绕风险中性均衡价格的常规扰动展开来近似，该均衡价格平均所有代理的主观条件期望。

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2022-6-23 22:43:58

在这里，领先顺序修正项由γ乘以代理对其未来头寸的平均预期来确定。在其他条件相同的情况下，当引入持有成本时，代理会减少其头寸的大小，从而减少预期平均多头的代理的需求，并增加预期空头的代理的需求。因此，价格修正的结果标志取决于市场的总预期。为了说明这些结果的含义并测试扩展的准确性，我们考虑了一个例子，其中确定资产支付的状态过程有Ornstein–Uhlenbeck动力学，这是一个关于均值回复基础（如外汇利率）的前向合约的简单模型。代理对均值回归水平和波动率达成一致，但对均值回归的速度不一致。对于这些线性状态动力学，描述均衡价格的抛物型偏微分方程系统可以通过适当的ansatz简化为线性微分方程系统，并反过来与我们在这种情况下获得的小成本渐近显式公式进行比较。在这个例子中，我们发现引入小额交易成本会增加波动性，这与[19]的不对称信息模型、[32]中研究的风险分担模型、[1，14]的数值结果以及[29，33，47]等实证研究一致。相比之下，引入小额持有成本降低了均衡波动率。原因是这两种成本以相反的方式影响代理人考虑未来交易机会的方式。在没有交易成本的情况下，相信比平均值更快回归的代理会感知到均值回归价格过程，因此在其价值较高时卖出，而相信均值回归较慢的代理会感知到一个显示“动量”的价格过程，因此在这种情况下买入。

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2022-6-23 22:44:01

虽然这种无摩擦的交易效果只取决于资产的当前动态，但交易成本迫使代理人也考虑未来的交易机会。这使得当前的交易机会对相信均值回归速度更快的代理人来说吸引力降低，从而在资产价格较高时预测对资产的过度需求。这反过来又进一步提高了高价格，反过来又降低了低价格，导致额外的波动。持有成本具有相反的效果，通过贴现未来交易机会的重要性，从而降低相对于风险中性限制价格的波动性。事实上，准确的均衡波动率在风险中性波动率（最高）和无交易成本的对应波动率（最低）之间平滑插值。对于根据美元/欧元汇率的时间序列数据估计的模型参数，我们发现精确的均衡价格与这些从渐近近似中得出的比较静态一致。对于交易无摩擦的模型，有大量关于异质信念下资产定价的文献；例如，参见[10、21、44、18]及其参考文献。为了在流动性有限的情况下获得易于处理的结果，我们将重点放在一个具有二次持有和交易成本以及收益和损失的线性参考的模型上。[2、5、6、36]在部分均衡上下文中使用了类似的线性二次流动性模型。[12、26、32、42]研究了具有同质信念的风险分担均衡。由于相应的一阶条件是线性的，这些模型比具有其他偏好或交易成本的均衡模型更容易处理，其中只有当价格或交易策略是确定性的【38、48、49、50】或代理人只交易一次【43、20】时，分析结果才可用。

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2022-6-23 22:44:04

文献[1，14]对具有异质信念和交易成本的均衡模型进行了数值分析。考虑到【15、17、41、42】中风险头寸的持有成本，与【25、26、32】中风险头寸方差施加相应风险罚金的模型相比，进一步简化了分析。事实上，在本模型中，我们可以用线性偏微分方程系统来描述均衡价格，避免了在模型中自然出现的非线性方程，在模型中，代理人以凹效用函数的形式规避风险。由于目前的工作集中于对潜在状态过程有不同信念的均衡资产价格，我们从不同的持有成本中提取出来。[32]中考虑了具有同质信念的代理，而[7，16]中考虑了具有异质信念的部分均衡模型。本文的组织结构如下。第2节详细介绍了金融市场和均衡的定义。在第3节中，我们推导了给定外生资产价格过程的任何代理的最优投资组合。第4节给出了均衡价格的存在性、唯一性和偏微分方程特征。第5节和第6节分别介绍了小交易和持有成本的领先阶渐近。结论部分7介绍了均值回复状态过程的示例。符号通常，C=C（Rn）是Rn上连续函数g（x）的空间，CK是函数g的空间∈ 其k阶偏导数存在且属于C。类似地，C1，kis是连续函数g（t，x）的空间，使得g（t，·），tg（t，·）∈ Ck。对于这些空间中的任何一个，asubscript“b”表示函数和所有提到的导数是有界的。底层域的维度n通常是从上下文中理解的。

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2022-6-23 22:44:07

为了简洁起见，条件期望被表示为Et[·]=E[·| Ft]，当F是过程Y的路径的函数时，我们通常会写出Et，Y[F（Y）]=E[F（Y）| Yt=Y]。在这种情况下，Y将是SDE的解，E[F（Y）| Yt=Y]可以明确定义为E[F（Yt，Y）]，其中（Yt，ys）s≥这是对应SDE的唯一解，初始条件为y，时间为t.2 modelbelies。设X为空间上的坐标映射过程Ohm =ω=0的连续d维路径ω的C（[0，T]，Rd），配备有规范σ-场F和过滤（Ft）T∈[0，T]由X生成。我们考虑N（类型）个代理，它们对状态进程X的分布有不同的看法。具体而言，对于每个1≤ 我≤ N、让Qibe作为概率测量Ohm 其中X满足度dxt=bi（t，Xt）dt+σi（t，Xt）dWit（2.1），其中wii是d维布朗运动。我们假设bi：[0，T]×Rd→ Rd和σi：[0，T]×Rd→ Rd×dare联合Lipschitz和bounded。这特别保证了（2.1）具有唯一的强大解决方案。此外，我们假设矩阵σi：=σiσ>iis一致抛物线：存在常数κ>0，使得ξ>σiξ≥ κ|ξ|对于所有ξ∈ Rd.关联发电机由i=t+bix+Trσixx。（2.2）我们允许QI指标在漂移和波动性方面有所不同。关于漂移的差异在实践中更为重要，我们的结果也仍然相关，对波动性没有分歧。关于波动率不确定性的详细讨论，请参考【23】。备注2.1。上述假设意味着QI的支持是整个空间Ohm; 参见【45，定理3.1】。因此，如果F和G是连续函数Ohm, 那么F（X）=G（X）Qi-a.s.等同于F=G。这一事实将贯穿整篇论文，通常是含蓄地使用。

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2022-6-23 22:44:10

统一的抛物线性便于简化论述，但在不同的假设下，当然可以得到与我们相似的结果。当X的支持不是整个空间时，涉及价格函数和偏微分方程的声明需要限制在一个合适的域内（例如，在[40]中）。市场模型。让f∈ Cb（Rd）。我们考虑在时间范围T>0的情况下，N个代理使用单个payofff（XT）动态交易资产。固定常数a≥ 0，时间t=0时的外部供应，以及初始资产配置ai∈ R到每个代理，其中pni=1ai=a。让Lp（Qi）表示逐步可测过程集φ=（φt）0≤t型≤T（适当尺寸），使Ei[RTφptdt]<∞. 代理iis的一个（可容许的）投资组合一个标量进程φ∈ L（Qi），满足φ=aI且与速率φ绝对连续∈ L（Qi）。我们说投资组合φi，1≤ 我≤ n如果nxi=1φit=a，t，则清除市场∈ [0，T]逐点保持。价格过程（对于f）是一个逐步可测量的过程S=（St）0≤t型≤t满足ST=f（XT），并且是一个It^o过程，在每个Qi下具有有效的可积系数：dSt=uitdt+νitdWitwithui，νi∈ L（Qi）（2.3）对于某些Qi布朗运动Wi，对于所有1≤ 我≤ N平衡为了制定代理人的优化标准，我们确定了持有成本参数γ>0和交易成本参数λ>0。（第5节和第6节将分别考虑边界情况λ=0和γ=0。）对于给定的价格过程S，代理i最大化其预期回报，对库存和交易成本进行惩罚，Ji（φ）=EiZT公司φtdSt-γφtdt-λ˙φtdt（2.4）她可接受的投资组合。对于代理iif来说，投资组合φiis是最优的，如果它是最大化器。如果S是一个存在最优解的价格过程，那么精确的可积性条件并不重要；我们只需要确保当S如（2.3）所定义时，RφdS的局部鞅部分具有消失期望。

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2022-6-23 22:44:13

在我们的主要均衡结果中，最优投资组合是有界的。投资组合φi，1≤ 我≤ 对于清除市场的代理，则S是均衡价格过程。最后，v:[0，T]×Rd→ 如果v（t，Xt）定义了均衡价格过程，则R是均衡价格函数。我们将对这种马尔可夫形式的价格的对称均衡感兴趣；然而，在交易成本存在的情况下，相关的投资组合通常是路径依赖的。正如（2.4）中所暗示的，利率始终假定为贝塞罗。在这个模型中，代理人有固定的信念并同意不同意。这些信念可能彼此不一致，也可能与X超时的观察结果不一致，尤其是在对未来波动性存在分歧的情况下。正如【28】中所述，代理使用这些信念来计算预期的未来收益或损失，并最终确定资产的初始价格。这发生在最初的时候，没有对未来的实际观察。因此，所有代理的结果价格都是一致的，即使他们不同意。线性二次标准（2.4）包括若干简化，以增强模型的可处理性。首先，如[31]所述，交易成本仅取决于每个代理的单独交易率，而不取决于市场上的总订单流量。因此，交易成本应解释为交易所收取的税款或费用，而不是[3]中所述的价格影响成本。例如，在【11】中研究了代理人通过共同价格影响相互作用的部分均衡模型。然而，为了获得可处理的一阶条件，我们使用二次成本而不是线性成本。这种简化是由风险分担均衡的最新结果[27]推动的，该结果表明均衡价格相对于交易成本的规定是稳健的。

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能者818

2022-6-23 22:44:16

其次，我们假设所有投资者都会通过持仓的二次持有成本来惩罚库存。这导致了均衡价格的线性偏微分方程系统，与非线性偏微分方程系统不同，非线性偏微分方程系统出现在方差上保持成本[32]，即使具有同质信念。终端财富或中间消费的凹效用函数将引入每个代理的价值函数作为非线性PDE系统的附加组件，从而使分析更加复杂。第三，我们假设库存成本在各代理之间是同质的，以便挑出异质性信念的影响。[12，32]研究了具有同质信念的模型的异质持有成本。最后，我们没有在均衡状态下对“交易成本走向”进行建模：与大多数相关文献[13、38、48]一样，我们将交易成本视为所考虑金融市场的无谓损失。例如，对于交易税或交易所收取的费用来说，这似乎是合理的。3单主体优化作为均衡结果的准备，我们首先确定主体i，并解决面临外生价格过程的单个优化问题。类似的线性二次优化问题已被考虑，例如，在[5,6,12,15,25,26,36]中；为了方便读者，我们提供了一个自包含的推导。引理3.1。设γ>0，λ>0，g（t）=coshrγλ（T- t）, t型∈ [0，T]。（3.1）给定（2.3）中的价格过程S，dt×Qi-a.e.试剂i的唯一最优组合为φit=G（t）G（0）ai+ZtG（t）G（S）EisZTsG（u）G（s）uiuλduds。（3.2）特别是，最优交易率的特征是随机ODE˙φit=G（t）G（t）φit+EitZTtG（s）G（t）u为λds, φi=ai。

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2022-6-23 22:44:19

（3.3）与之前的文献一样，最优交易策略跟踪平均Eit【RTt-γG（s）λG（t）u是通过（2.4）漂移的逐点最大化获得的无交易成本组合uit/γ的贴现未来值的γds]。也就是说，流动性不足通过“瞄准移动目标前方”来解释【25】。跟踪速度-G（t）/G（t）和折扣kernelK（t，s）=-γG（s）/λG（t）由持有成本和交易成本的比值γ/λ确定，相对较低的交易成本导致更快的交易，并更强调资产的当前回报。引理3.1的证明。直接微分表明˙φiof（3.3）是φiin（3.2）的导数。此外，ui∈ L（Qi）和Doob不等式意味着φi∈ L（Qi），然后（3.3）得到φi∈ L（Qi）。注意，ji（φ）=EiZT公司φtuit-γφt-λ˙φtdt公司对于任何投资组合φ，该投资组合可以通过其交易利率进行参数化，因为初始配置是固定的和φ∈ L（Qi）表示φ∈L（Qi）。ji的严格凹性意味着任何优化器（a.e.）都是唯一的，并且当且仅当G˙teaux导数limε→0ε【Ji（˙φ+ε˙θ）- （2.4）的Ji（˙φ）]在所有方向上消失∈ L（Qi）；也就是说，0=EiZT公司uitZt˙θsds- γφitZt˙θsds- λ˙φit˙tdt公司= 工程安装ZT公司ZTt公司u为- γφisds公司- λ˙φit˙θtdt,˙θ ∈ L（Qi）。由于˙θ是任意的，这相当于˙φit=λEit[RTt（uis- γφis）ds]，依次等于|φit=Mit-λZt（uis- 对于某些Qi鞅Mi，γφis）ds，˙φiT=0。不同放置，˙φ∈ L（Qi）是最优的当且仅当它解线性正反向SDEdφt=˙φtdt，φ=ai，（3.4）d˙φt=γλφt-uitγdt+dMt，˙φT=0。

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2022-6-23 22:44:23

（3.5）直接计算表明，（φi，˙φi）解此系统：（3.4）是平凡的，对于（3.5）我们注意到d˙φit=G（t）G（t）-G（t）G（t）φit+G（t）G（t）G（t）G（t）φit+EitZTtG（s）G（t）u为λds-G（t）G（t）EitZTtG（s）u为λds-uitλdt+G（t）dEitZTG（s）u为λds=γλφit-uitγdt+Dmt对于Qi鞅M=R·G（t）dEit[RTG（s）u是λds]，其中G（t）=γλG（t）。当G（T）=0时，也满足终端条件˙φiT=0。4均衡以下结果确定了均衡价格函数v的存在性和唯一性∈ C1,2b（[0，T]×Rd）及其通过线性抛物方程组的弱耦合刻画。回想一下，函数G在（3.1）中定义为G（t）=cosh（p（γ/λ）（t- t））。定理4.1。设γ>0，λ>0。抛物线系统tvi+Trσixxvi+bixvi+G（t）G（t）（vi）- v） =0，1≤ 我≤ N、（4.1）v：=NNXi=1vi+λG（t）NG（t）a，（4.2）vi（t，·）=f，1≤ 我≤ N（4.3）有唯一的解决方案v，越南∈ C1,2b（[0，T]×Rd），通过（4.2）定义的函数Vd是均衡价格函数。它在任何均衡价格函数w的意义上都是唯一的∈ 多项式增长的C1,2（[0，T]×Rd）必须等于v。均衡投资组合由φit=G（T）G（0）ai+ZtG（T）G（s）Eis给出ZTsG（u）G（s）Liv（u，Xu）λduds。为了进行比较，让我们首先考虑一下这个结果如何简化同质信念。然后，所有漂移和波动系数，以及定理4.1中的转向函数Vi，都是一致的。加上函数G的定义，V（t，x）=Et，x[f（XT）]-γaN（T- t），其中期望值是在公共概率度量下进行的。这是在无摩擦模型中获得的相同均衡价格，其中交易成本λ为零；参见提案5.1。因此，在同质信念和持有成本下，均衡价格不仅取决于流动性；类似结果见[42、12、32]。

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2022-6-23 22:44:26

相反，相应的均衡交易速度取决于交易成本λ和持有成本λ的比率。对于同质信念，它是确定性的，对所有代理都是一样的1≤ 我≤ N、 ˙φit=rγλtanhrγλ（T- t）一- φit, φi=ai。也就是说，（相同的）代理只是逐渐调整其初始配置，直到风险资产的总供给在所有代理之间平均分配。回到一般情况，定理4.1的直接结果是，持有成本γ和交易成本λ具有双重作用。特别是，在零净供应a=0的情况下，均衡价格仅取决于比率γ/λ，因此小交易成本等于大持有成本。当a＞0时，定理表明平衡价格在（γ，λ，1/a）中为0-齐次。在推导出小成本的限制情况后，我们将在下文第6节对此进行更详细的讨论。如果所有代理人都有相同的信念，那么也可以考虑之前在具有同质信念的模型中研究的异质性持有成本γias【12,32】或外源性价格动态【7,16】。然而，正如在这些研究中一样，allagents的当前位置将作为附加状态变量出现，系统将变为半线性。（当前设置中的额外状态变量将取消，因为函数G（t）对于所有代理都是相同的。）因此，我们关注同质持有成本，以强调信仰异质性的影响。为了证明定理4.1，我们首先建立了抛物型方程组的分析性质。给定α∈ （0，1），H"olderspace C1+α/2,2+α（[0，T]×Rd）由函数w（T，x）组成，使得w，tw，xw，xxw存在，有界，与t中的指数α/2和x中的指数α一致H"older连续。命题4.2。系统（4.1–4.3）有一个独特的解决方案v，越南∈C1,2b（[0，T]×Rd）。事实上，v。

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2022-6-23 22:44:29

，vN∈ 所有α的C1+α/2,2+α（[0，T]×Rd）∈（0，1）和唯一性在更大的函数类w，西尼罗河∈C1,2（[0，T）×Rd）∩ C（[0，T]×Rd）满足| wi（T，x）|≤ 某些常数c、c的cexp（c | x |）≥ 0.证明。系统（4.1–4.3）是一个弱耦合、一致抛物线性系统；背景见【24，第9章】。所述类的唯一性是[9，定理1]的特例。此类线性系统的存在性结果包含在【24，定理3，第256页】中，但这并不能产生我们这里所要求的增长估计。我们的系统也包含在一篇关于反应扩散系统的文章中。具体而言，[8，定理2.4]是指（4.1–4.3）具有唯一解v，越南∈ C1,2（[0，T）×Rd）∩Cb（[0，T]×Rd）。主要的一点（我们在文献中没有发现）是证明一个关于导数的有用的增长估计，为此，关键要素是为vi.（i）提供一个H"older估计。在这一步中，我们证明了vi在x中是全局Lipschitz，在t中是一致的。写u=（u，…，uN），我们的系统的一般形式是liui（t，x）+hi（t，u（t，x））=0，ui（t，x）=fi fi（x），1≤ 我≤ N（4.4）满足以下条件，对于某些常数c>0：函数h=（h，…，hn）是Lipschitz与范数Lip（h）的联合≤ c（因此h（t，·）呈线性增长，在t中均匀分布）；Liare有界和Lipschitz的系数；每个fi有界且Lipschitz具有范数Lip（fi）。根据【8，定理2.4】，这样一个系统有一个（唯一）解v，越南∈ C1,2∩Cb。事实上，definefi（u）（t，x）：=Eifi（Xt，Xt）+ZTthi（s，u（s，Xt，xs））ds, 1.≤ 我≤ N、 [8，定理2.3和2.4]的证明表明，对于与一致范数等价的完备范数，F=（F，…，FN）是（Cb）N=Cb×·····×Cb上的收缩。

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2022-6-23 22:44:34

更准确地说，在适当地运行h之后，这一点仍然成立（以便截断不会影响有界解）。结果表明，如果我们从任何u开始∈ （Cb）与迭代F，序列un=（Fo ··· o F）（u）将一致收敛到一个解（v，…，vN）∈（C1,2∩ Cb）Nof（4.4）。我们尤其可以选择u∈ （Cb）Nsuch thatsup0≤s≤TLip（用户界面，·））<∞ 适用于所有1≤ 我≤ N作为我们盈利的起点。根据SDE的标准估计（例如，[46，定理2.4（i），第8页]），Ei | Xt，xs- Xt，ys |≤ K | x- y |，0≤ s≤ T对于常数K，仅取决于Liantsof和T系数的Lipschitz常数。确定一个长度为τ=t的小时间间隔[t，t]- t>0且letLu=L（t）u=max1≤我≤Nsupt公司≤r≤TLip（ui（r，·））。那么对于t≤ s≤ 我们有| Fi（u）（s，x）- Fi（u）（s，y）|≤ 工程安装Lip（fi）| Xs，xT- Xs，yT |+ZTsc maxiLip（ui（r，·））| Xs，xr- Xs年| dr≤ [K Lip（fi）+τcKLu]| x- y |。这适用于所有i。选择τ，使ε：=τcK<1，并设置Lf=max1≤我≤NK Lip（fi），然后Lip（F（u）（s，·））≤ Lf+εLu，t≤ s≤ T、当然，表示法意味着每个成分Fi（u）满足该属性。迭代得到un=（Fo ··· o F）（u）满足几何timatelip（un（s，·））≤ Lfn公司-1Xk=0εk+εnlu，因此统一极限（v，…，vN）=lim unsatis fies Lip（vi（s，·））≤Lf（1- ε)-1对于t≤ s≤ T注意，上述参数中区间的大小τ不依赖于Lip（f）。因此，我们可以在区间[T]上重复这个论点-2τ，T-τ] ，替换终端条件fibyfi：=vi（T- τ, ·). 继续很多次，我们得出结论，sup0≤s≤TLip（vi（s，·））<∞.（ii）接下来，我们证明viis在t中全局为1/2-H"older，在x中一致。简单的SDE估计表明Ei | Xt，xs- Xt，xs |≤ K | t- t | 1/2，0≤ t型≤ t型≤ s≤ 这里K依赖于Lipschitz常数和biandσias的统一界以及T。（为了了解这一点，例如，可以通过[46，定理2.4（ii），p。

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2022-6-23 22:44:37

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2022-6-23 22:44:40

我们需要证明任何阶的偏导数都是有界的。修复1≤ 我≤ N和1≤ k≤ d并考虑函数Д=xkvi。我们可以区分系统（4.1）中关于x的部分，并重新排列这些项，以发现ν是标量抛物方程的解lД（t，x）+g（t，x）=0，Д（t，·）=xkfon[0，T]×Rd带终值xkf公司∈ C∞b C2+α。在这里，不均匀性g包含了由微分方程产生的所有其他项：它是一个线性组合，系数为C∞（[0，T）×Rd），函数vj，1≤ j≤ N以及它们的一阶和二阶空间导数。作为vj∈ C1+α/2,2+α通过命题4.2，我们特别看到∈ Cα/2，α。因此，我们可以从[37，定理9.2.3，第140页]得出结论：xkvi=Д∈ C1+α/2,2+α（[0，T]×Rd）。特别地，viare的三阶空间导数是有界的且一致H"older连续的。此外，通过上述方程的抛物线形式，以下同样适用于t型xkvi=t^1。这个参数可以迭代到高阶导数。定理4.1的证明。均衡投资组合的公式是命题5.1的直接结果，因此我们关注价格。（i）让v，越南∈ C1,2bbe是命题4.2和定义vby（4.2）的解；我们证明了v是一个均衡价格函数。其公式表明，St=v（t，Xt）是（2.3）中定义的价格过程；系数ui和νi甚至有界。根据（4.2），函数wi（t，x）：=G（t）vi（t，x）满足liwi=GLivi+Gvi=gv，wi（t，x）=G（t）vi（t，x）=f（x）。因此，它的公式和xvi意味着在Qiwe下，Feynman–Kac代表wi（t，x）=Eit，x【f（XT）】-ZTtG（u）Eit，x[v（u，Xu）]du。因此，vi（t，x）=Eit，x[f（XT）]G（t）-ZTtG（u）G（t）Eit，x[v（u，Xu）]du（4.6）表示所有（t，x）∈ [0，T]×Rd。

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可人4

2022-6-23 22:44:43

引理3.1表明，给定价格St=v（t，Xt），投资组合φit=ZtG（t）G（s）Eis，XshZTsG（u）G（s）λLiv（u，Xu）duids+G（t）aiG（0）（4.7）对于代理i来说是最优的。仍需证明这些投资组合清除了市场。回顾G（T）=1，对partsformulaRTsG（u）dSu=G（T）ST的集成进行期望-G（s）Ss-RTsG（u）Sudu和applying（4.6）yieldEis，xZTsG（u）G（s）λLiv（u，Xu）du=λG（s）Eis，x【f（XT）】- G（s）v（s，x）-ZTsG（u）Eis，x[v（u，Xu）]du=λ[vi（s，x）- v（s，x）]。（4.8）根据（4.2），我们推导出nxi=1Eis，xZTsG（u）G（s）λLiv（u，Xu）du= -G（s）G（s）a.在（4.7）中使用此项并积分-G（s）G（s）=sG（s）-1，我们得出结论Nxi=1φit=-aZtG（t）G（s）G（s）G（s）ds+G（t）aG（0）=所需的原子吸收光谱。（ii）设St=w（t，Xt）为某函数w的均衡价格过程∈ 多项式增长的C1,2（[0，T]×Rd）（或更一般地，w∈多项式增长的C1,2（[0，T）×Rd），且在[0，T]×Rd）上局部H"older连续。通过备注2.1，我们得到了w（T，·）=f。回想一下，系数uit=Liw（t，Xt）和νit=xw（t，Xt）>σitof（2.3）是我们对价格过程定义的一部分。我们用w而不是v来定义费曼公式（4.6）。鉴于对bian和σi的假设，函数wi具有类似w的多项式增长。此外，通过仔细应用标准PDE结果，wi∈ C1、2和Wii是关联线性偏微分方程（4.1）的解。具体而言，我们可以在w上规定的条件下使用有界域的近似值，如【30，定理1，条件（A3’）、引理2及其上面的注释】所述。它仍有待于显示（4.2）。根据引理3.1，代理人的均衡投资组合φ由（4.7）给出。因为这些投资组合使市场变得明朗，所以Piφ=a，因此sPiφisG（s）=asG（s）-1.

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何人来此

2022-6-23 22:44:46

通过部分（4.8）逆转积分，我们得出结论，Nxi=1G（s）λ[wi（s，x）- w（s，x）]=NXi=1G（s）Eis，xZTsG（u）G（s）λLiw（u，Xu）du= sNXi=1φisG（s）=asG（s）-1= -aG（s）G（s），相当于（4.2）。因此，我们确定w，西尼罗河∈ C1,2是（4.1）的多项式增长解。现在，这一主张后面是命题4.2中所述的解决方案的唯一性。备注4.4。定理4.1中对马尔可夫均衡的限制（意味着价格是t和x的函数）与我们通过偏微分方程参数而非基本参数选择预防有关。例如，如果所有代理的波动率σi相同，则可以使用反向SDE进行类似的论证（例如，[35]）。在该框架中，我们将在一类可能的非马尔可夫均衡中获得唯一性，并且我们还可以覆盖这样的信念，即（2.1）被可能依赖于小交易成本X.5渐近路径的系数所取代。在本节中，我们通过描述小交易成本λ的渐近，从定理4.1中直观地得出均衡价格→ 0、为了以后的比较，我们首先考虑不含交易成本的模型；i、 e.，λ=0。在这种情况下，我们放弃了对可接受投资组合定义的绝对连续性要求，也不强制执行初始持股ai（在任何情况下，代理人可以在t=0后立即调整其头寸，而不会产生成本）。以下结果是【41，定理2.1和备注3.5】的一个特例，表明相应的均衡对应于代表性代理的价格，由平均漂移和波动系数确定。提案5.1。设λ=0，γ>0。

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2022-6-23 22:44:49

存在唯一的平衡价格函数v∈ C1,2b，由v（t，x）=Et，x[f（XT）]-（T- t） γAn其中，E[·]是概率Q的期望值，对于布朗运动W，在该期望值下，Xt=\'b（t，Xt）dt+\'（t，Xt）dWt，\'b=NPNi=1bi，\'σ=NPNi=1σIf。等价地，vis的唯一有界经典解tv+Tr‘∑xxv+(R)b十五-γaN=0，v（T，·）=f.（5.1）在平衡状态下，代理人i的dt×Qi-a.e.唯一最优投资组合为φi，0t=Liv（T，Xt）γ。（5.2）在本节剩余部分，我们用vλ表示定理4.1中的均衡价格，以强调对λ的依赖性。我们的目标是计算领先顺序偏差λ-1/2（vλ- v）来自无摩擦平衡Rice-vof命题5.1。为简单起见，我们将重点放在具有平滑漂移和扩散系数的一维状态变量（d=1）的情况，以及终端条件：bi，σi，f∈ C∞B对于1≤ 我≤ N、因此v，vi∈ C∞b备注4.3的强度。定理5.2。对于固定持有成本γ>0和小额交易成本λ→ 0，定理4.1中的均衡价格函数vλ具有展开式vλ（t，x）=v（t，x）+√λv*（t，x）+o(√λ）在[0，T]×R.（5.3）上局部一致，对于以下参数，Cbis有效。

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2022-6-23 22:44:52

一定程度上削弱这些规律性假设是可能的，为了便于阐述，我们保留了给定的平滑性假设。这里，关于命题5.1和命题V中的无摩擦均衡价格*（t，x）=√γNNXi=1’Et，xZTtLi^φi，0（s，Xs）ds（5.4）式中，^φi，0（s，x）=Liv（s，x）/γ是决定代理人i无摩擦最优投资组合的反馈函数（5.2），期望值是在无摩擦代表代理人的概率度量“Q”下进行的，其中chdxt=”b（t，Xt）dt+”“（t，Xt）dWt，’b=NPNi=1bi，(R)σ=NPNi=1σi。奇异摄动展开式（5.3）表明，摩擦平衡价格vλ与其无摩擦对应物vλ的前导顺序偏差为平方根√交易成本的λ，如[32]中的风险分担均衡。考虑到本研究中考虑的异质性信念，比例常数（5.4）由药剂无摩擦平衡组合的综合漂移率Rttli^φi，0（s，Xs）ds确定，平均值为药剂和状态。因此，如果代理人平均预期未来会增加头寸，那么均衡价格相对于无摩擦价格会增加，反之亦然。其解释是，在非流动性市场中，代理人考虑其未来交易需求，以节省整个时间间隔内的累计交易成本。因此，对未来购买的预期已经导致早期职位增加，反之亦然。为了清理市场，均衡价格根据所有代理人的综合调整所产生的过剩需求或供应而增减。5.1定理5.2的证明证明定理5.2的第一步是证明定理4.1中的函数vλifrom不仅对每个λ有界，而且该界对λ实际上是一致的∈ (0, ∞).

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2022-6-23 22:44:55

根据定理4.1中的偏微分方程（4.1），λG（t）NG（t）ais对于所有λ>0和t一致有界∈ [0，T]根据G的定义，这是以下更一般结果的特例，这也将使我们能够得出下一节小规模持有成本的估计。请注意，虽然通过市场清算，实际的未来投资组合变化加起来为零，但对于异质代理在其主观概率度量下的预期变化，这不一定是真的，Li^φi，0。在v的公式中*, 这些预期变化在所有状态下的概率度量“Q”下平均，对应于无摩擦代表性代理。引理5.3。对于i=1，N和任意参数ε∈ E，考虑函数αi，βi，aεi，bεi，hi∈ C∞b（[0，T]×R）和writeLi=t+βixx+αix、假设aεi，bε一致有界于ε∈ E，设ui=ui（ε，λ，γ），i=1，N表示系统的唯一经典有界解+GG+aεi用户界面-GGNNXj=1uj+bεi=0，ui（T，·）=hi，i=1，N、然后，| ui（t，x）|≤ 对于常数M>0，与ε、λ、γ无关的M∈ (0, ∞)和（t，x）∈ [0，T]×R.证明。Ui的存在唯一性是[8，定理2.4]的特例。由于这些函数是有界的，因此[34，定理5.7.6]中的Feynman–Kac公式以及G/G=（log G）和G（T）=1给出了εidτui（T，x）=Eit，x“ZTt-G（s）G（t）NNXj=1eRsaεidτuj（s，Xs）ds+ZTteRsaεidτG（s）G（t）bεids+eRTaεidτG（t）hi（XT）#其中期望是在状态变量具有动力学dXt=αi（t，XT）dt+βi（t，XT）dWit的度量下得到的。选择统一边界MforeRsaεidτbεi和eRTaεidτhi, definek（t，λ，γ）=maxn | eRtaεi（τ，xτ）dτui（t，xt）| o<∞,最大值接管i∈ {1，…，N}，ε∈ E和（xτ）τ∈[0，t]∈C（[0，t]，R）。

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2022-6-23 22:44:59

使用此符号，| eRtaρidτui（t，x）|≤ZTt公司-G（s）G（t）K（s，λ，γ）ds+MZTtG（s）G（t）ds+MG（t），这依次导致toG（t）K（t，λ，γ）≤ZTt公司-G（s）G（s）G（s）K（s，λ，γ）ds+MZTtG（s）ds+M。我们可以将其理解为形式u（t）的不等式≤RTtB（s）u（s）ds+A（t），u（t）=G（t）K（t，λ，γ）。使用G/G=（log G）并且G正在减小，RTtG（r）dr≤ G（t）t和Gr"onwall引理yieldG（t）K（t，λ，γ）≤ M（G（t）t+1）- MG（t）ZTtZTsG（右）dr+1G（s）G（s）ds。（5.5）观察G满足G=λγ和G（T）=0和λγ（G）G≤ 1，以便-ZTt公司ZTsG（r）drG（s）G（s）ds=ZTtλγG（s）G（s）ds≤ T- t型≤ T、连同-ZTtG（s）G（s）ds=1-G（t）≤ 1，由（5.5）和G（t）得出≥ 1表示K（t，λ，γ）≤ 2M（T+1）。由于aε在ε、t、x中一致有界，因此通过K（t、λ、γ）的定义，函数ui在ε、γ、λ、t、x中一致有界。推论5.4。存在M>0使得| vλi（t，x）|≤ M表示所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R。接下来，我们根据定理5.2建立了函数vλ和vλ导数的类似一致界。引理5.5。修复k≥ 存在M>0，使得|kxvλi（t，x）||kxvλ（t，x）||t型kxvλ（t，x）|≤ M对于所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R.证明。根据定理4.1和备注4.3，函数的x-导数vλi，i=1，定理4.1中的N满足通过对空间变量进行微分（4.1）得到的以下偏微分方程：t型xvλi+σixx号xvλi+（bi+σixσi）x个xvλi（5.6）+xbi+GGxvλi-GGNNXj=1xvλj=0，xvλi（T，·）=f。引理5.3因此得出|xvλi（t，x）|，且inturn也适用于xvλ（t，x）=NPNi=1xvλi（t，x）。高阶x-导数的相应边界随后迭代此参数。最后，时间导数的一致界kxvλ是偏微分方程（4.1）、（5.6）等的抛物线形式及其和的直接结果。引理5.6。

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2022-6-23 22:45:02

对于λ>0，考虑C类的α、β、aλ、h∞带写=t+βxx+αx、假设wλ∈ C∞b系数wλ（T，·）=h和twλ，xwλ，xxwλ，aλ在λ中一致有界。然后，得到了luλ+aλ（t，x）+G（t）G（t）（uλ）的唯一有界经典解uλ- wλ）=0，uλ（T，·）=hsatis | uλ（T，x）- wλ（t，x）|√λ≤ M对于某些M>0，与λ>0和（t，x）无关∈ [0，T]×R.证明。按照与（4.8）推导相同的步骤，得出uλ（t，x）=wλ（t，x）+Et，xZTtG（u）G（t）aλ+Lwλ（u，Xu）杜（5.7）其中，在状态变量具有动力学dXt=α（t，Xt）dt+β（t，Xt）dWt的度量下取期望值。对于λ+Lwλ的统一界限M，所需界限为| uλ（t，x）- wλ（t，x）|√λ≤M√λZTtG（u）G（t）du=-M√λγG（t）G（t）≤M√γ，其中我们在第二步中再次使用了G（u）=λγG（u）和G（T）=1，并在最后一个不等式中定义了G。推论5.7。修复k≥ 存在M>0，使得|kxvλi（t，x）- kxvλ（t，x）|√λ≤ M对于所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R和i∈ {1，…，N}。证据根据定理4.1中的偏微分方程（4.1）和引理5.5中的一致边界，引理5.6得出λ-1/2 | vλi- vλ|≤ 对于某些常数M。这证明了k=0的断言。导数的类似界限如下：将相同的参数应用于通过微分（4.1）获得的相应PDE，如引理5.5中的证明。我们现在可以估计vλ与无摩擦均衡价格vof命题5.1之间的差异。提案5.8。修复k≥ 存在M>0，使得|kxvλ（t，x）- kxv（t，x）|√λ,|t型kxvλ（t，x）- t型kxv（t，x）|√λ≤ M对于所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R.证明。使用（4.2）和（4.1）计算v，减去v的PDE（5.1），再次使用G（u）=λγG（u），我们得到t（vλ- v） +(R)σxx（vλ- v） +(R)bx（vλ- v）（5.8）+NNXi=1σi(xxvλi- xxvλ）+NNXi=1bi(xvλi- xvλ）=0，带（vλ-v）（T，·）=0。这里的“b”、“σ”如命题5.1所定义。

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2022-6-23 22:45:05

λ的期望一致界-1/2 | vλ-v |现在是费曼-科航公式和推论5.7的结果。λ的类似结果-1/2|kxvλ-kxv |遵循相同的论点，因为备注4.3表明，这些衍生物满足通过微分获得的类似偏微分方程（5.8）。时间导数的相应边界依次是方程抛物线形式的结果。对于函数g（t）=cosh（qγλ（t），我们有以下版本的“拉普拉斯方法”- t））为λ→ 引理5.9。给定t∈ [0，T）和[T，T]上的连续函数F，rγλZTt-G（u）G（t）ZutF（s）ds杜邦→ F（t）为λ→ 0.（5.9）证明。（5.9）的左侧可分解为asrγλZTt-G（u）G（t）ZutF（s）- F（t）dsdu+rγλZTt-G（u）G（t）ZutF（t）dsdu。利用F在[t，t]上的一致连续性观察qγλ-G（·）G（t）在（t，t）上局部一致收敛到0，证明λ的第一项消失→ 0、分段积分，G=λγGshow the secondary term收敛于F（t）。引理5.9与命题5.8的一致界一起，允许我们计算vλi的前导阶展开式-vλ及其导数。引理5.10。对于k=0、1、2和（t、x）∈ [0，T）×R，我们有limλ→0kxvλi（t，x）- kxvλ（t，x）√λ=kxLiv（t，x）√γ. （5.10）证明。对于k=0，1，2，证明类似；我们只在计算量最大的casek=2中详细说明。根据定理4.1和andRemark 4.3，函数vλi，i=1，…，的二阶x导数，Nfrom定理4.1通过对空间变量进行两次微分（4.1），满足以下偏微分方程：t型xxvλi+σixx号xxvλi+（bi+2σixσi）x个xxvλi+ci+GGxxvλi+xxbi公司xvλi-GGNNXj=1xxvλj=0，xxvλi（T，·）=f，其中ci=2xbi+(xσi）+σixxσi。

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可人4

2022-6-23 22:45:10

由于此处出现的所有函数都受到假设或备注4.3的限制，费曼-卡茨公式和G/G=（log G）产生了随机表示xxvλi（t，x）=Et，x“ZTt-G（u）G（t）eRutcidτxxvλ（u，Xu）du+eRTtcidτf（XT）G（t）+ZTtG（u）G（t）eRutcidτxxbi公司xvλi（u，Xu）du#其中，期望E[·]是在状态变量具有动力学dXt=（bi+2σi）的度量qf下获得的xσi）（t，Xt）dt+σi（t，Xt）dWit。与RTT一起-G（u）G（t）du=1-G（t），这意味着xxvλi- xxvλ√λ=Et，x“ZTt-G（u）√λG（t）eRutcidτxxvλ（u，Xu）- xxvλ（t，x）du+eRTtcidτf（XT）- xxvλ（t，x）√λG（t）（5.11）+ZTtG（u）√λG（t）eRutcidτxxbi公司xvλi（u，Xu）du#。回顾ci，fand（引理5.5）也xxvλ有界（uniformlyinλ），支配收敛和G的定义表明（5.11）右侧第二项的期望收敛到零λ→ 0、鉴于limλ→0克（吨）√λG（t）=0，支配收敛和分段积分表明，第三项的期望收敛et，xlimλ→0ZTt-G（u）√λG（t）ZuteRstcidτxxbi公司xvλi（s，Xs）ds杜邦= xxbi公司xv（t，x）。（5.12）这里我们使用推论5.7和命题5.8，引理5.9来表示等式。最后，通过将It^o的公式应用于eRutcidτ，可以重写（5.11）右侧第一项的期望值xxvλ（u，Xu），插入X的Q-动力学，并考虑到相应的局部鞅部分具有期望零，因为所有涉及的函数都是有界的。支配收敛以及命题5.8和引理5.9则表明λ的相应极限→ 0 isEt，xlimλ→0ZTt-G（u）√λG（t）ZuteRstcidτLixxvλ（s，Xs）dsdu= 锂xxv（t，x），（5.13），其中Li=t+σixx+（bi+2σixσi）x+ciId。k=2now的断言来自（5.11–5.13），通过观察Lixx号+xxbi公司x=xxLi。我们现在可以证明小交易成本下均衡价格的扩张。定理5.2的证明。

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2022-6-23 22:45:14

我们首先观察到vλ的PDE（5.8）-vadmitsthe Feynman–Kac表示（vλ- v）（t，x）=NNXi=1’Et，xZTt公司σi(xxvλi- xxvλ）+bi(xvλi- xvλ）（s，Xs）ds.主导收敛和引理5.10中计算的极限，然后是yieldlimλ→0vλ- v√λ（t，x）=rγNNXi=1’Et，xZTt公司σixx+bix个Liv（s，Xs）ds=rγNNXi=1’Et，xZTt公司锂- t型γ^φi，0（s，Xs）ds（5.14）式中，φi，0=Liv/γ是代理i的无摩擦均衡投资组合函数；参见（5.2）。当这些策略清理市场时，时间衍生品的总和为零，逐点限制（5.14）简化为（5.4）。族{λ-1/2（vλ-v） }λ>0由命题5.8有界且等连续；因此，收敛实际上是局部一致的，这是ArzeláAscoli定理的结果。6小持有成本的渐近下一步，我们从定理4.1研究小持有成本γ的均衡价格的渐近性→ 0（固定交易成本λ>0）。为了强调对γ的依赖性，我们在本节中用vγ表示价格v。我们再次关注一维状态变量（d=1）具有平滑漂移和扩散系数以及终端条件的情况；见备注4.3。为了得出结果，我们首先注意到，我们模型的风险中性版本γ=0是适定的，基本上是作为第4.1条的一个简单特例涵盖的（使用相同的证明，阅读约定G（u）/G（s）=1和G（u）/G（s）=0）。相应的均衡价格是所有代理人条件期望的平均值，v（t，x）=NNXi=1vi（t，x）=NNXi=1Eit，x[f（XT）]，（6.1），相应的投资组合是φi，0t=ai+ZtEisZTsLiv（u，Xu）λduds。（6.2）（上述γ=0的表示法不应与上一节中λ=0的表示法混淆。）引理3.1表明，当γ>0且λ>0时，最优投资组合决策考虑了未来预期收益，这些收益由γ/λ决定的核贴现。

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能者818

2022-6-23 22:45:17

作为一个限制性案例，我们已经看到λ=0的无交易成本组合（5.2）只考虑了当前（主观）漂移率；这对应于最终折扣。在相反的极端情况下，无持有成本投资组合（6.2）在不折现的情况下汇总了未来的预期回报。因此，我们预计小额持有成本将发挥与大额交易成本类似的作用。事实上，定理4.1表明，当供给完成时，均衡价格只取决于γ/λ的比率，即决定最优执行轨迹的“紧急参数”[3]，更一般地说，决定各种情况下具有交易成本的最优交易策略；参见，例如，【39】及其参考文献。当a>0时，定理4.1表明均衡价格在（γ，λ，1/a）中为0-齐次。这意味着，如果以与交易和持有成本相同的方式重新调整供给的倒数，则资产价格保持不变：更大资产头寸的更大交易和持有成本是由摩擦系数的降低决定的。本节的主要结果是小持有成本γ的以下规则摄动展开→ 0、定理6.1。对于固定交易成本λ>0和小额持有成本γ→ 0，定理4.1中的均衡价格函数具有展开式vγ（t，x）=v（t，x）+γv*（t，x）+o（γ）在[0，t]×R.（6.3）上一致，这里是γ=0和v的平衡价格（6.1）*（t，x）=-NNXi=1Eit，xZTtφi，0sds其中φi，0是agent i的最优策略（6.2），γ=0，期望值在agent i的信念Qi下取值。扩展的参考点（6.3）是风险中性价格vof（6.1）。在这种有限的情况下，代理只考虑未来的预期回报。在其他条件相同的情况下，当引入持有成本时，代理会减少其头寸的大小。

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