鉴于（4.2）和（6.7）中vγ的定义，以下为Limγ→0vγ（t，x）- v（t，x）γ=NNXi=1Eit，xZTtT公司- sλv（s，Xs）- 六（s、Xs）ds公司-（T- t） 安。（6.8）根据（6.2）和（4.8）的第一恒等式，在特殊情况下γ=0，我们得到φi，0t- ai=ZtEisλf（XT）- v（s，Xs）ds=Ztλ六（s、Xs）- v（s，Xs）ds。利用这个恒等式对（6.8）进行分部积分，并考虑市场清算条件pni=1φi，0=a，定理如下。7示例：均值回归训练为了进一步直觉定理4.1的平衡，我们考虑一个可以显式求解线性常微分方程组的例子。我们还将使用此示例测试与精确解相关的小交易和持有成本扩展的数值精度。假设f（x）=x，那么在时间T，状态x表示资产的支付。代理人认为X具有均值回复动态xt=κi（(R)X- Xt）dt+σdWit。（7.1）也就是说，代理人同意波动率σ>0和平均逆转水平'X>0，但不同意平均逆转速度κi>0。这可以解释为一个简单的均值回复远期合约模型，例如外汇汇率。在这种情况下，为了简化论述，我们假设合同的净供应量isa=0.7.1均衡成本，首先考虑定理4.1中交易成本λ>0和持有成本γ>0的精确均衡价格v。对于线性状态动力学（7.1），抛物系统（4.1–4.3）可以通过ansatzvλi（t，x）=Ai（t）+Bi（t）x，i=1，…，简化为线性系统，N、 事实上，在1和identitymatrix的N×N矩阵上分别写入和通知确定性函数B=（B，…，BN）>和A=（A，…，AN）>满足B（t）=诊断（κ，…，κn）+G（t）G（t）NN型- 在中B（t），B（t）=1andA（t）=G（t）G（t）NN型- 在中A（t）-(R)Xdiag（κ。

，κN）B（t），A（t）=0。这些颂歌有独特、平滑的解决方案。此外，均衡价格满足v（t，x）=NNXi=1（Ai（t）+Bi（t）x）=x+（x-\'\'X）NNXi=1Bi（t），（7.2），其中我们使用ODE表示AIA，使用BI表示第二个等式。精确地说，无界终端条件和状态动力学（7.1）不满足定理4.1的有界性假设。然而，对于上述常微分方程的唯一解A和B，定理4.1顶部的参数表明（7.2）从线性增长的光滑函数中确定了类中的唯一平衡价格。7.2交易成本渐近我们首先研究交易成本为零且固定持有成本γ>0的均衡Vw。因为状态变量具有dynamicsdXt=’κ（’X- Xt）dt+σdWtwith'κ=NNXi=1κi（7.3），在聚合度量'Q下，命题5.1，a=0，得出v（t，x）=Et，x[Xt]='x+（x-(R)X）e-\'-κ（T-t） 。（7.4）因此，代理人i认为无摩擦均衡价格具有动态DV（t，Xt）=（κi- \'-κ）e-\'-κ（T-t） （(R)X- Xt）dt+e-\'-κ（T-t） σdWit=（κi- κ)\'\'X- v（t，Xt）dt+e-\'-κ（T-t） σdWit。（7.5）这意味着，相信比平均值逆转更快（即κi>κ）的代理观察到平均值回复过程。相比之下，相信比平均值回归速度慢的经纪人得出结论，这一过程显示出“动量”，即价格高于平均值回归水平之后会出现进一步的正向漂移。因此，在均衡状态下，市场内生性地由“均值回归交易者”和“趋势跟随者”组成，即使所有代理人都认为基础具有均值回归的基本价值。接下来，我们研究了前导阶修正vλ（t，x）-λ的v（t，x）→ 同样，由于无界系数的存在，定理5.2并不直接适用，但可以直接在手边的例子的证明中进行论证。

因此，前导顺序修正为√λv*（t，x）带V*（t，x）=√γNNXi=1’Et，x中兴通讯-\'-κ（T-s） （(R)κ- κi）（Xs-(R)X）ds=√γNNXi=1（(R)κ- κi）！ZTt？Et，x【Xs】-\'\'X]e-\'-κ（T-s） ds公司=√γNNXi=1（(R)κ- κi）！中兴通讯-\'-κ（T-t） （十）-(R)X）ds=rγNNXi=1（(R)κ- κi）！（T- t） e类-\'-κ（T-t） （十）-\'\'X）。（7.6）注意十五*≥ 0，因此当小交易成本增加时，均衡波动率总是增加。这与[19]的不对称信息模型、[32]的风险分担模型、[1，14]的数值结果以及[29，33，47]等实证研究一致。在我们的模型中，波动性增加的原因是校正项v的符号*由x确定-因此，交易成本将无摩擦均衡价格（7.4）的波动放大。让我们来讨论为什么流动性不足会以这种方式影响价格水平。鉴于v的上述公式*, 当Xt>\'X时，增加小额交易成本会增加均衡价格，并降低Xt<\'X的价格。如果Xt>\'X，相信大于平均值的反转速度的代理预测无摩擦均衡价格（7.5）将向下恢复到其长期平均值。相反，相信平均反转速度低于平均水平的代理预计积极趋势将继续，价格将进一步上涨。因此，第一组代理人希望出售资产，第二组代理人希望购买资产。随着交易成本的增加，这些交易动机依然存在，但投资组合的变化只能逐渐实现。因此，代理不仅要考虑状态变量当前值与其长期平均值之间的差异，还要考虑它们在未来的预期差异。由于相信快速回归的代理预期差异会更快消失，因此他们对观察到的交易机会的反应较弱。

对于Xt>\'X，这意味着卖方的交易动机比买方弱，因此为了清理市场，价格需要上涨。对于Xt<\'X，情况正好相反，小额交易成本相对于其无摩擦部件降低了价格。综上所述，增加小额交易成本会将价格提高到平均回归水平以上，并将价格降低到平均回归水平以下，从而产生更大的价格波动和更大的均衡波动。由于乐观主义者和悲观主义者同样受到成本的影响，在我们的模型中，流动性不足对价格水平的影响是不明确的。根据具体情况，λ的增加可能会导致“非流动性折扣”，如[4]中所述，或者可能会增加价格，如[22]中所述，非流动性可能会阻碍做空。可以注意到，在我们的示例中，校正项v*在每个代理的概率度量下，平均值恢复到零左右。从这个意义上讲，平均价格水平保持不变。7.3持有成本渐近我们现在转向第6节中的小持有成本渐近。作为第一步，我们计算持有成本为零且固定交易成本为0的均衡价格V。从（6.1）中，我们得到v（t，x）=NNXi=1vi（t，x），其中vi（t，x）=Eit，x[XT]=？x+（x-(R)X）e-κi（T-t） 。（7.7）根据It^o的公式，代理人i认为该风险中性均衡价格具有动态性DV（t，Xt）=NNXj=1（κj- κi）e-κj（T-t） （Xt）-(R)X）dt+NNXj=1e-κj（T-t） σdWit=κi-PNj=1κje-κj（T-t） PNj=1e-κj（T-t） 哦！\'\'X- v（t，Xt）dt+NNXj=1e-κj（T-t） σdWit。第一个因素是κI和κa（时间依赖性）加权平均值之间的差异，κN.因此，该解释与λ=0的均衡（7.5）相似：相信快速均值回归的代理观察均值回归资产价格，而相信缓慢均值回归的代理感知动量。

我们还可以注意到，没有持有成本的均衡波动率总是大于或等于没有交易成本的均衡波动率。随后，将Jensen不等式应用于vand（7.4）的梯度。现在我们来看看γ的前导阶修正项→ 同样，在本例中，定理6.1中的有界性假设不满足，但证明中的参数仍然适用。因此，使用therepresentation（6.8），我们有*（t，x）（7.8）=NNXi=1Eit，xZTtT公司- sλv（s，Xs）- 六（s、Xs）ds公司=NNXi=1ZTtT- sλNNXj=1e-κj（T-s）- e-κi（T-s）e-κi（s-t） （十）-(R)X）ds=（X-\'\'X）（T-t） λNXi6=jκi- κje-κj（T-t）-（T- t） （N）-1） NXi=1e-κi（T-t）最后一个等式来自一个基本但漫长的积分。应用于第二种表示的切比雪夫和不等式表明，系数乘以x-“”X始终为负。因此，当国家过程XT低于其平均回归水平“X”时，增加小额持有成本会增加风险中性均衡价格，而当NXT>X时，增加小额持有成本会降低均衡价格。由于在我们的模型中，在a=0的情况下，较大的持有成本与较低的交易成本起着相同的作用，因此这种直觉与第7.2节中增加小额交易成本的论点相反。特别是，鉴于（7.7），增加小额持有成本会抑制风险中性均衡价格的波动，从而降低均衡波动性。这种对均衡波动率的负面影响和小额交易成本的正面影响与上述观察结果一致，即无交易成本的均衡波动率总是低于无持有成本的均衡波动率。

事实上，第7.1节中的精确平衡挥发度ynpni=1Bi（t）在这两种极端情况之间平滑插值，因为γ/λ范围介于∞ 0.7.4校准示例为了评估第7.2节和第7.3节小成本渐近的准确性，我们现在将显式渐近公式（7.6）和（7.8）与第7.1节描述精确均衡价格的常微分方程数值解进行比较。自始至终，我们认为时间范围为T=3年。为了获得其他模型参数的合理值，我们将2009-2019年的国家动态（7.3）校准为美元/欧元汇率数据，可从圣路易斯联邦储备银行网站https://fred.stlouisfed.org/series/DEXUSEU.然后，可以通过将前两个平稳矩与其经验计数器部分相匹配，并使用线性回归将（线性）对数自相关函数与经验函数相匹配来估计模型参数。这导致σ=0.128，(R)X=1.25，(R)κ=0.575。在净供应量为零的情况下，这有助于在不考虑交易成本的情况下确定均衡价格（7.4），因为在这种情况下，交易成本并不取决于代理人的持有成本。对于具有交易成本的均衡价格（7.2），我们还需要指定每个代理人的个人信念以及交易成本λ和持有成本γ。受【25，15】中商品和股票使用的类似参数值的启发，我们使用λ=10-7和γ=10-8、自由参数κ=2’κ-κ又可以任意选择，以证明试剂对交换率的平均逆转速度存在分歧。

对于κ=3κ=0.8625，图1：均衡价格（左）和波动率（右），交易成本和持有成本均为实数，无交易成本（虚线），无持有成本（虚线）。x=1，平衡资产价格和波动率如图1所示。这些数值例子清楚地显示了由前几节中的渐近公式导出的定性性质。事实上，持有成本和交易成本的均衡值总是介于仅存在其中一种成本的有限情况之间。根据第7.2节的讨论，相应的波动率因交易成本而增加，对于Xt=x<x，交易成本的均衡价格低于其无交易成本对应价格。图1还清楚地表明，持有和交易成本的均衡价格比无摩擦价格更接近风险中性价格。这并不奇怪，因为在本例中γ/λ=0.1。因此，尽管两种小成本扩张的定性预测都是正确的，但这里只有小持有成本扩张提供了有用的定量近似。如图2所示，使用一阶修正项v+γv*-vγ减小了已经很小的近似误差v-vγ再增加一个数量级。图2：近似误差v- vγ（左）和v+γv*- vγ（右）。参考文献[1]K.Adam、J.Beutel、A.Marcet和S.Merkel。金融交易税能否阻止股价飙升？J、 周一。经济。，76:S90–S1092015。[2] 阿尔姆格伦。具有随机流动性和波动性的最优交易。西亚姆杰。财务部。数学3(1):163–181, 2012.[3] R.F.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3（2）：5–392001年。[4] 阿米哈德和门德尔森。资产定价和买卖价差。J、 财务部。经济。，17(2):223–249, 1986.[5] S.Ankirchner和T.Kruse。

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