随机波动率下的资产定价

2022-5-25 18:04:38

具有随机波动性的资产定价Xin Liu*第一版：2016年7月15日；修订版：2018年9月20日摘要本文提出用混合的差异过程来建模资产价格动态，其中潜在差异过程的瞬时波动率包含一个随机向量。该过程的边际概率分布可以精确匹配即期Vanilla期权和远期启动期权所隐含的风险中性分布。我们还可以导出在广义几何布朗运动下具有闭式解的导数的显式定价公式。关键词：远期隐含波动率、局部波动率、混合差异、随机波动率、风险中性分布、随机波动率。*独立研究员。电子邮件：liuxinrn@gmail.com1引言校准常用的资产定价模型以同时满足前隐含波动率和即期隐含波动率是一项挑战。本地波动率模型可以精确地与现货波动率匹配（【Dupire（1994）】）。然而，它没有正确定价远期启动期权，因为它有错误的远期动态（[Hagan e t al（2002）]，[Gatheral（2006）]）。正如【Bergomi（2005）】所指出的，常用的随机波动率模型具有难以处理的正向隐含波动率。因此，很难获得能够捕捉远期启动期权动态的随机波动率模型的合适参数。【Cont和Kokholm（2013）】表明，这些随机模型无法再现VIX期权隐含的偏差。【Behvand（2010）】证明，时间相关的Heston随机波动率模型（【Heston（1993）】）可以为即期va nilla期权或远期启动期权提供良好的拟合，但不能同时为两者提供。

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2022-5-25 18:04:42

为了克服传统随机波动率和跳跃差异模型的限制，用多因素期限结构模型对sset价格的方差进行建模，[Berg omi（2005）]、[Bergomi（2008）]和[Cont和Kokholm（2013）]。本文采用混合模型方法对资产价格动态进行建模。混合模型是分析金融时间序列数据的有效工具，因为它足够灵活，可以捕捉金融数据的特质（【McLachlan，Peel（2004）】）。特别是，有限混合模型通过使用Black-Scholessolutions的加权和，提供了具有直觉吸引力特征的资产价格动力学的精确解。[Ritchey（1990）]认为，观测到的厚尾和斜态分布可以用独立高斯过程的有限正态混合来建模。【Melick，Thomas（2004）】对原油期货的美式期权也有类似的发现。【Alexander（2004）】引入了一种正常混合物扩散模型的参数化，该模型能够捕捉短期和长期微笑效应。[Jacquier等人（2004）]建议使用贝叶斯分析估计混合函数。【Gulisashvili（2012）】获得了具有相关或不相关随机波动率的各种差异的混合分布公式。[Brigo（2002）]和[Brigo et al（2002）]推导出一个随机微分方程（SDE），其密度为高斯密度的有限混合。本文展示了如何推导具有有限数量混合成分的随机过程，称为混合差分，以使其边际分布函数精确地满足即期普通期权和远期启动期权所隐含的风险中性分布。

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2022-5-25 18:04:46

混合扩散是一个随机过程，其中潜在扩散过程的瞬时漂移和波动包含一个随机向量。我们称这种建模方法为随机波动率模型。混合物扩散在数学上是可行的，我们可以显式求解具有随机波动性的混合物扩散的SDE。当随机波动率的维数为1时，校准的混合物差异可以具有与现货香草期权所暗示的风险中性分布相同的边缘分布。混合物差异具有与本地波动率模型相似的性质（【Dupire（19 94）】）。不幸的是，它也继承了它的局限性，如flawed forwarddynamics（[Hagan等人（2002）]，[Gatheral（2006）]）。为了克服这些局限性，我们建议用称为层次结构混合物扩散的多维随机波动率对混合物扩散进行建模。分层混合差分法可以精确地模拟从远期启动期权衍生出的Vol-of-Vol分布，并且我们能够对即期普通期权和远期启动期权所隐含的风险中性分布进行精确的拟合。随机价值模型是资产动态建模中一种非常通用的方法。许多著名的资产定价模型可以直接从随机波动率模型中推导出来。例如，【Brigo et al（2002）】中的对数正态混合模型和【Dupire（1994）】中的局部波动模型可以导出为随机波动模型的马尔可夫投影。【Jacquier et al（2004）】中通过贝叶斯分析获得的后验分布是随机波动率模型的一种特例，其中混合函数使用有限数量的参数进行参数化。此外，随机波动率模型不仅保留了这些传统模型的优势，而且避免了模型动力学中的波动。

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2022-5-25 18:04:50

作为一个例子，我们考虑产生杜皮尔局部波动模型和马尔可夫预测的混合差分。命题2.10之后的讨论表明，其隐含波动率微笑/偏斜与标的资产价格平行移动。另一方面，杜皮尔的局部波动率模型与典型的市场行为相反（【Ha-gan等人（2002）】）。使用分层随机波动率模型，我们可以精确地建模for ward动态的Vol-of-Vol结构，而局部波动率模型具有不正确的远期动态。下面是拟议建模方法的简短贡献列表。1在混合差异下，资产价格的边际概率分布可以精确匹配所有到期日和到期日的即期普通期权和远期star t期权所隐含的风险中性分布。2我们有明确的混合物扩散SDE公式，该公式与给定的风险中性分布一致。我们还可以导出在广义几何布朗运动下具有闭式解的导数的显式定价公式。3在一组固定的到期日下，混合差可以具有与随机波动率模型相同的有限联合概率分布函数。因此，如果衍生品的价值在给定的时间完全确定，混合差异可以像随机波动率模型一样对衍生品进行定价。2随机波动率模型2.1混合物差异的定义我们探讨了在概率空间中发现随机过程的各种方法(Ohm, F、 {Ft}t≥t、 Q）使其初始分布函数与风险中性分布相匹配，其中初始时间t≥ 0通常为0。

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2022-5-25 18:04:54

因为我们只关心风险中性分布的拟合，所以我们假设Q是风险中性测度，风险中性概率密度函数也是从该测度中推导出来的。我们假设与风险中性度量相对应的基准是货币市场账户B（t），其中B（t）：=eRttr（t）Ds，r（t）是无风险利率。我们将直接在Q下推导风险中性资产动态，我们的方法不涉及物理度量。设Θ为Rn中的勒贝格可测集，对于某些n>0，τ>0为固定未来时间。对于每个θ∈ Θ，我们假设u（x，t；θ）和ν（x，t；θ）是标量函数，因此SDEdXt（θ）=u（Xt（θ），t；θ） dt+pν（Xt（θ），t；θ） d WtXt（θ）=x（2.1），其中t∈ [t，τ]。我们将Xt（θ）的支撑区间o表示为（a，∞) 其中ais通常为0或-∞. 我们还假设存在关于（a，∞). 我们用参数θ表示P（·，t；θ）作为t时刻t的密度函数。对于有限混合物模型，Θ是离散的，即Θ={θ，…，θk}。基于Xt（θ）的混合分布定义为▄P（x，t）=kXi=1λiP（x，t；θi），其中混合比例{λ，…，λk}满足λi≥ 0，pki=1λi=1。等效地，我们可以将混合比例写成函数形式，表示为m（θ），m（θ）=kXi=1λiδ（θ- θi），其中δ（·）是Dirac D elta函数。然后混合物的分布变为，~P（x，t）=ZΘm（θ）P（x，t；θ）dθ。在本文中，我们将使用混合比例的函数形式，因为它适用于有限数量的混合成分。定义2.1假设(Ohm, ∑，m）是Lebesgue测度空间。我们称▄P（x，t）=ZΘP（x，t；θ）m（dθ）。（2.2）参数化随机过程的混合分布Xt（θ），并调用参数化扩散过程的混合函数（2.1）。

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mingdashike22

2022-5-25 18:04:57

我们称之为随机过程{Xt:t≤ t型≤ τ} 若其边际概率密度函数为每t<t的混合物分布▄P（·，t），则混合物▄P（x，t）的扩散≤ τ。很明显，我们对混合函数的定义确保了▄P（x，t）是一个密度函数，支持区间（a，∞). 【Brigo（2002）】导出了当漂移和波动项是基础资产价格的确定函数时，有限混合差分的显式公式。本文建议在漂移项和波动项包含随机向量的情况下，利用有限差分的混合来建模资产价格。让(Ohmw、 Fw，{Fwt}t≥0，Pw）是标准布朗运动{Wt，t≥ 0}；V是概率空间上概率分布为m（·）的n维随机向量(Ohmv、 Fv、Pv）。我们假设V独立于Wt。设Q为Fw的乘积测度Fv。用乘积测度Q表示概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥t、 Q）：=(Ohmw×Ohmv、 Fw公司 Fv，{Fwt Fv}t≥t、 Q）。关于概率空间(Ohm, F、 {Ft}t≥t、 Q），我们根据参数化（2.1）asdXt=u（Xt，t；V）dt+Qν（Xt，t；V）dWtXt=x（2.3）定义具有随机漂移和波动性的混合物扩散，在不丧失一般性的情况下，我们假设Xt（θ）位于Xt的相同概率空间中，使得当V=θ时Xt=Xt（θ），即Xt=Xt（V）。（2.4）然后Xtis的基本分布函数，PXt∈ dx公司=ZΘPXt（V）∈ dx | V=θP五、∈ dθ=P（x，t）dx。因此，对于▄P（x，t），混合物扩散的定义是▄x，t。（2.3）中定义的混合物差异实际上是一个隐马尔可夫过程，其中Xt代表观察到的资产价格，V代表未观察到的状态变量。隐藏状态变量可以解释为来自投资者世界的随机样本。

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2022-5-25 18:05:02

每个个人投资者对资产演化都有自己的独特观点，这是用参数化随机过程建模的（2.1）。然而，市场参与者可以观察到的是，作为所有投资者行为的结果，市场的总走势。因此，总体资产价格变动遵循隐马尔可夫过程，并从投资者群体中抽取隐状态变量。因此，在混合差异下，资产价格本身不是马尔可夫过程。在本文中，我们将具有瞬时漂移项r（t）x的混合物扩散称为风险中性混合物扩散。在风险中性混合差分下，我们考虑带支付函数C（·）：ST7的导数的价格→ R、其中S=（0，∞) 是▄x的状态空间，t=[t，τ]是其索引集。请注意，Xt和Xt（θ）可以被视为ST值随机变量。导数的期望值为：E（E[C（≈X）| V]）=ZΘE[C（X（θ））]m（dθ）。（2.5）方程式（2.5）给出了导数估值的重要性质：混合差下的导数值等于所有基础差的预期值的加权平均值。利用（2.5），我们可以得到外显期权的闭式解，前提是它们对潜在的差异有显式解。

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2022-5-25 18:05:06

（2.5）的另一个含义是，G r EEK（或对冲参数）可以直接计算为希腊所有潜在差异的加权平均数，即：。，xE[C（℃）X）]=ZΘxE[C（X（θ））]m（dθ），（2.6），其中X表示导数值依赖的基础参数。在本文中，我们考虑一种特殊的风险中性参数化，它可以从风险中性分布中得到明确的解决：广义几何布朗运动（GGBM）dXt（θ）Xt（θ）=r（t）dt+pν（θ，t）dWtXt（θ）=x（2.7），其中t∈ [t，τ]、ν（θ，t）是（θ，t）的确定性标量函数。定义2.2针对任何t∈ （t，τ），我们假设(Ohm, ∑，mt）是Lebesgue测度空间。我们将（2.8）的基本参数化称为几何参数化的混合（MGP）。我们用m i xing函数MtasrΘP（x，t；θ）mt（dθ）确定时间t时MGP的混合物分布。对于简单情况，我们将参数化表示为向量（mt，ν（θ，t），t，x，Θ）。MGP中的混合函数允许具有时间依赖性，因为MGP是一个工具模型混合分布。在整个论文中，我们仅将时间独立混合函数应用于混合物差异的定义，如下所示。定义2.3 Le t M=（M，ν（θ，t），t，x，Θ）并定义混合物差异，其中V是概率分布为M（·）的随机变量；我们假设V与Ftand相适应，且与{Wt，0≤ t型≤ τ} 。我们将▄Xt称为几何微分（MGD）与参数化M的混合物。对于简单情况，我们将其表示为向量（▄Xt，M，V）。2.2混合物的性质首先，我们推导出充分条件，使混合物存在唯一的强溶液（2.3）。通常，线性增长和Lipschitz条件可以保证唯一强解的存在。

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2022-5-25 18:05:09

虽然这些条件通常是由潜在的参数化差异造成的，但当参数化具有无限的参数时，它们对于混合物的差异是失败的。下面的定理表明，类似于经典结果的条件仍然适用于混合物扩散。虽然我们的结果是以一维形式表示的，但如果我们将|·|解释为欧几里德范数，当▄XtandWtare向量时，同样的结果也是成立的。结果证明见附录。定理2.4设σ（x，t；θ）=pν（x，t；θ），t=0。我们假设。存在一个可测函数f：Θ7→ [0，∞) 如|u（x，t；θ）|+|σ（x，t；θ）|≤ f（θ）（1+| x |）|u（x，t；θ）- u（x，t；θ）|+|σ（x，t；θ）- σ（x，t；θ）|≤ f（θ）| x- x | C2。假设混合函数m（·）满足zΘeCf（θ）m（dθ）<∞ （2.9）式中，C=10（τ+τ）。设V是一个具有概率分布函数m（·）的n维随机向量。我们假设V适应于Fand，与Wt无关。然后，随机过程DXt=u（Xt，t；V）dt+qν（Xt，t；V）dWtX=X（2.10）允许具有边际分布函数P（X，t）（2.2）的唯一s强解。利用马尔可夫投影技术（[Gy¨ongy（1986）]，[Piterbarg（2006）]，我们可以证明一个具有确定性漂移和波动性的扩散过程，而不是马尔基纳概率分布P（x，t）。下面，我们通过验证福克-普朗克方程（Brigo（2002））直接证明了这一结果。命题2.5我们假设随机过程满足定理2.4。

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2022-5-25 18:05:12

设^u（x，t）=E（u（~Xt，t；V）~Xt=x）=P（x，t）ZΘu（~Xt，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ），^ν（x，t）=E（ν（~Xt，t；V）~Xt=x）=P（x，t）ZΘν（~Xt，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）。然后，扩散过程具有相同的边缘概率分布函数^P（x，t），w hered^Xt=^u（^Xt，t）dt+q^ν（^Xt，t）dWt^Xt=x（2.11）属性2.5的证明：我们假设求导和积分的交换在以下等式中均有效。tP（x，t）=ZΘtP（x，t；θ）m（dθ）=ZΘ-x个u（x，t；θ）P（x，t；θ）+x个ν（x，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）=-xZΘu（x，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）+xZΘm（θ）ν（x，t；θ）P（x，t；θ）m（dθ）=-x个E（u（￠Xt，t；V）|￠Xt=x）~P（x，t）+x个E（ν（￠Xt，t；V）| Xt=x）~P（x，t）然后，福克-普朗克方程确定P（x，t）是^Xt的密度函数。这就完成了我们的证明。众所周知，（2.11）的有限解可以具有相同的边缘概率分布函数P（x，t）。我们选择命题2.5中定义的^u（x，t）和^ν（x，t）的特定形式，因为我们希望在建模选择MGD时^xto是风险中性的。我们还想指出，【Brigo et al（2002）】命题3.1中提出的对数正态混合动力学是混合扩散马尔可夫投影的特例。事实上，我们可以将MGD（2.7）的混合函数和挥发函数设置为与[Brigo et al（2002）]中的相同。然后，直接比较可以表明马尔可夫投影（2.11）与[Brigo et al（2002）]的投影3.1中的扩散过程相同。因为▄XT不是马尔可夫的，▄XS上的▄XT条件作用不再是相同的stocha-sticprocess。然而，受约束的混合物扩散仍然是混合物扩散。更具体地说，我们可以证明，混合物扩散的条件法则与另一种混合物扩散的法则相同，具有相同的参数化但不同的混合函数。

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2022-5-25 18:05:17

表示S=（0，∞ ) 作为▄Xt的状态空间；设两个指数集之间的Ia=[t，t）和Ib=（t，τ）；Fa和Fbbe分别是Sia和SIb的圆柱σ-代数。命题2.6假设P（{X∈ A}∩ {Xt=x}）>0，对于某些A∈ Fa。然后对于任何B∈ Fb，我们有，P（~X∈ B | X∈ A、 Xt=x）=P（^x∈ B）其中混合物扩散{Xt，t≤ t型≤ τ} 定义为d^Xt=u（^Xt，t；^V）dt+qν（^Xt，t；^V）dWt^Xt=X，且^V的概率分布为混合函数^m（·），其中^m（dθ）=m（dθ）P（{X（θ）∈ A}∩ {Xt（θ）=x}）P（{x∈ A}∩ {Xt=x}）。命题2.6的证明：请注意，基本微分Xt（θ）是马尔科维安的。P（▄X∈ B | X∈ A、 Xt=x）=ZΘP（￠x∈ B | X∈ A、 Xt=x，V=θ）P（V∈ dθ）=ZΘP（X（θ）∈ B | X（θ）∈ A、 Xt（θ）=x）m（dθ）=ZΘP（x（θ）∈ B | Xt（θ）=x）^m（dθ）=ZΘP（^x∈ B |^V=θ）P（^V∈ dθ）=P（^X∈ （B）【Jacquier et al（2004）】中通过贝叶斯方法得出的后验分布是混合函数^m（·）的一种特例，其中a代表产生观察到的资产价格的事件集合。然而，我们想指出的是，贝叶斯方法并不是对混合函数进行推理的正确方法。一种启发式的解释是，真正的混合函数没有参数泛函形式。因此，贝叶斯方法不适用，因为它依赖于参数估计。或者，我们可以看看后验分布的交感分布。一般来说，随着观测数量的增加，贝叶斯分析中的后验分布通常会收敛到狄拉克δ函数，该函数集中于基础差异的某些参数。

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2022-5-25 18:05:20

因此，贝叶斯方法与基础差异的优化估计具有一致性，这与真正的混合差异不同。2.3 MGD的明确公式在本节中，我们重点推导合适的MGD，使其边际分布函数准确地符合所有到期日的风险中性分布。我们的建模方法遵循以下步骤：首先，我们选择基于GGBM的通用参数化。接下来，我们求解它在成熟度T时的混合函数，这样得到的混合分布等于给定的风险中性分布。对每个已知T重复第二步后∈ （t，τ），我们将获得此一般参数化的时间相关混合函数。最后，我们将重新参数化MGP，并将混合函数转换为时间相关函数，并获得（2.8）中定义的所需MGD。这种重新参数化可以通过下一个命题来实现，在下一个命题中，我们可以指定一个与时间无关的任意混合函数，然后重新参数化之前导出的依赖于时间的MGP，使重新参数化的MGP仍然具有相同的边缘分布。请注意，下面结果中的目标混合函数也可以是时间相关函数。命题2.7对于任何MGP M=（mt，ν（θ，t），t，x，Θ），我们将重新参数化的MGP定义为^M=（^mt，^ν（^θ，t），t，x，^Θ），其中^ν（^θ，t）=tZttν（M-假设1t（^Mt（^θ））、s）ds（2.12）和^ν（^θ，t）i定义良好。Mt（·）和^Mt（·）分别是Mt（·）和^Mt（·）的累积分布函数；我们假设它们的反函数存在。那么M和^M对于ev e ry t具有相同的混合分布∈ 命题2.7的证明：设gt（θ）=M-1t（^Mt（θ））。定义（θ，t）=Zttν（θ，s）ds和^v（θ，t）=Zttν（θ，s）ds；很明显，^v（θ，t）=v（gt（θ），t）和^u（θ，t）=u（gt（θ），t）。

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nandehutu2022

2022-5-25 18:05:23

设F（t）=xexp（Rttr（s）ds）为正向资产价格。那么M的混合分布是zΘxp2πv（θ，t）exp-（对数（x/F（t））+v（θ，t）/2）2v（θ，t）dMt（θ）=Z^Θxp2πv（gt（θ），t）exp-（对数（x/F（t））+v（gt（θ），t）/2）2v（gt（θ），t）dMt（gt（θ））=Z^Θxp2π^v（θ，t）exp-（对数（x/F（t））+^v（θ，t）/2）2^v（θ，t）这就完成了我们的证明。如果两个MGP的参数化满足位置2.7中定义的关系，我们称之为等效MGP。定义2.8如果以下等式成立，我们称M=（mt，ν（θ，t），t，x，Θ）等于^M=（^mt，^ν（^θ，t），t，x，^-1t（x），s）ds=Zttν（M-每x 1t（x），s）ds（2.13）∈ （0，1）和t∈ （t，τ）。我们将等效关系表示为M~^M.很容易验证等价关系~ 在较弱的意义上定义了一种独特的混合扩散。这也意味着，在等价关系下，导数的价格是不变的。表示S=（0，∞) a s▄Xt的状态空间，I=[t，τ]作为索引集，Fas是SI的柱面σ–代数。命题2.9考虑两个MGD（~Xt，M，V）和（^Xt，^M，^V）与M~^M.然后对于任何A∈ F、我们有P（~X∈ A） =P（^X∈ A）。命题2.9的证明：我们将M和^M的基本参数化扩散过程分别表示为Xt（θ）和Xt（^θ）。那么（2.1 3）意味着，Xt（M-1（x））和XT（^M-1（x））对每个x有相同的定律∈ （0，1）。因此，我们有p（▄X∈ A） =ZΘm（θ）P（X（θ）∈ A） dθ=ZP（X（M-1（x））∈ A） dx=ZP（X（^M-1（x））∈ A） dx=P（^X∈ （A）最后，我们可以给出混合分布等于给定riks中性分布的MG D的显式公式。为此，我们首先推导参数化M=（mt，θ，t，x，R+），使得M的混合分布等于给定的R Iskneural分布。请注意，成熟期t时M的混合物分布为▄P（x，t）=Z∞mt（θ）√2πθtxp（对数（x/F（t））- θt/2）2θtdθ，其中F（t）=xexp（Rttr（s）ds）是远期资产价格。

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2022-5-25 18:05:26

基于货币度y的对数算法来考虑市场分布更为方便：=低g（x/F（t））。我们将其表示为▄Q（y，t）：▄Q（y，t）：=Z∞mt（θ）√2πθtexp（y）- θt/2）2θtdθ。将Dt（x）表示为资产价格的风险中性分布，将Et（x）表示为资产价格货币性对数的风险中性分布：Et（x）：=F（t）exDt（F（t）ex）。那么▄P（x，t）等于风险中性分布Dt（x），当且仅当▄Q（x，t）等于集（x）。将Q（y，t）和Et（y）进行傅里叶变换，得到方程f（Et）（η）=Z∞mt（θ）exp-（iη+η）θt/2dθ。（2.14）满足（2.14）的混合函数mt（·）存在的充要条件是that，Gt（·）是完全单调的【Widder（1941）】，其中Gt（η）：=F（Et）r2ηt--我！。（2.15）在充分条件下，存在Gt（·）的拉普拉斯反演，且混合函数mt（·）ismt（x）=L的唯一解-1（Gt）（x）。（2.16）最后，我们可以通过求解^M=（^M，^ν（^θ，t），t，x，^~^M.将mt（·）和^M（·）的累积分布函数分别表示为mt（·）和^M（·）。基于命题2.7的旋转，^ν（x，t）的显式解是^ν（x，t）=tM公司-1吨（^M（x））=tZ公司-1t（^M（x）），其中Zt（x）=RxL-1（Gt）（y）dy.我们通过将上述推导总结为以下命题来结束本节。在不损失一般性的情况下，我们将混合函数设置为均匀分布。命题2.10假设Gt（·）（2.15）是完全单调的，且挥发率trm^ν（x，t）=tZ公司-1t（x）定义明确。定义^M=（1，^ν（x，t），t，x，[0，1]）。

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2022-5-25 18:05:29

然后MGD（^Xt，^M，^V）对于每个t具有边际分布函数Dt（·）∈ （t，τ）[Dupire（1994）]表明，当风险中性局部波动率模型的边缘分布等于所有到期日的风险中性分布时，其波动率函数有n个唯一的公式。请注意，Propo position 2.10中导出的MMD的马尔科维投影是一个风险中性局部波动率模型，其边际分布等于每t的风险中性分布Dt（·）∈ （t，τ）。因此，【Dupire（1994）】中导出的局部波动率模型与命题2.10中MGD的马尔可夫投影相同。正如【Hagan等人（2002年）】指出的那样，局部波动模型预测，市场微笑/倾斜随着标的资产的价格向相反方向移动，这与典型的市场行为相反。相反，我们可以证明上述随机波动率模型具有正确的Delta风险。请注意，GGBM有粘性Delta，即其普通欧洲期权价值是货币价值ln（K/S）的函数，其中K表示罢工，sre表示初始资产价格。那么（2.5）意味着MGD也有粘性增量。因此，MGD的微笑/倾斜与基础资产的价格平行移动，这与市场行为一致。3层次随机波动率模型命题2.10中得出的混合差分对所有到期的Vanilla现货期权具有一致的价格。然而，它无法正确定价远期启动期权，因为其正向隐含波动率往往是浮动的。例如，我们可以考虑给定Fs的MGD的正向隐含波动率。由于有时已知▄Xsare V，受约束的随机过程成为基础GGBM，参数设置为V，起始值t为▄Xs。

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2022-5-25 18:05:34

因此，其正向隐含波动率与该GGBM的即期隐含波动率相等，因此其波动率面为FL。在本节中，我们将展示如何在远期时间重新构建混合差异，以便预期波动率能够与远期隐含波动率和即期隐含波动率相匹配。在每一个前进的时刻，重新构建混合扩散是基于先前的混合分布，就像多层的中性网络模型一样。我们称这种方法为分层混合差分，以突出分层参数化方法。类似地，我们将相应的参数化称为层次MGP，将这种类型的随机波动率模型称为层次随机波动率模型。3.1分层混合物的定义T、····、Tn+1是一系列满足0≤ T<T<···<Tn+1≤ τ。我们的分层MGP基于一系列MGP，这些MGP是为时间间隔【Tk，Tk+1】定义的，条件是每k=0，…，总变量为（T，…，Tk），n、我们使用符号σk=（σ，σ，…，σk）表示（T，T，…，Tk）处的总方差序列，其中σ≥ 0是开始时间T时已知的常数。我们假设总方差序列满足约束σ≤ σ≤ ··· ≤ σn。然后我们可以写出时间间隔[Tk]的MGP-1，Tk]asMk=（mk，νk（θk，t；σk-1），Tk-1，1，Θk）（3.1）注意，我们不处理σk-1作为自由参数，因为我们可以明确地将总方差公式化为（θ，…，θk）的函数-1）。设θk=（θ，…，θk）。我们将Vk（θk）表示为参数化M，…，的方差之和，Mk，设vk（θk）=（v，v（θ），vk（θk）），其中我们假设初始方差v≥ 0是已知常量。请注意，MkisRTkTk造成的差异-1νk（θk，t；vk-1（θk-1））ds。

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2022-5-25 18:05:39

因此，vk（θk）满足方程vk（θk）=vk-1（θk-1） +ZTkTk-1νk（θk，t；vk-1（θk-1））ds（3.2）下面我们定义了基于（3.1）中一系列参数化的分层MGP，总方差定义如（3.2）所示。。定义3.1我们可以M=（M，ν（θ，t），t，x，Θ）基于（3.1）ifI中定义的系列参数化{Mk}nk=1的层次结构MGP。mi x i ng函数满足m（dθ）=Qni=1mk（dθk），其中θ=（θ，…，θn）和Θ=Θ ··· Θn；二、对于k=1，…，vk（θk）满足度（3.2），n三、参数化满足ν（θ，t）=νk（θk，t；vk-1（θk-1）），对于t∈ [Tk-1，Tk）和k=1，n、然后，分层MGP可以唯一地定义具有随机挥发性的混合物，我们称之为分层MGD。定义3.2假设M是定义3.1中定义的分层MGP；具有概率分布mk（·）和d的Vkis arandom变量适用于过滤FTk-1.五、Vn、WT相互独立。设Vk=（V，…，Vk）和V=Vn。定义随机过程Xtvia SDEd xtxt xtxt=r（t）dt+pνk（Vk，t；Vk-1（Vk-1））对于t，dWt▄XT=x（3.3）∈ [Tk-1，Tk）和k=1，n、基于参数化M，我们将▄XT称为分层MGD，并将SDE（3.3）表示为（▄X，M，V）。对于单层MGD，给定FSF的约束过程减少到下伏GGBM，因此条件隐含波动率的表面是模糊的。相比之下，约束层次MGD与另一层次MGD具有相同的概率规律，条件波动率的表面可以与现货波动率表面相同。作为一个例子，我们考虑了▄Xtin（3.3）关于FT的条件概率定律-k-1，其中k≥ 2、表示S=（0，∞) 作为▄Xt的状态空间；Fkas圆柱σ–S的代数（Tk，Tn+1）。对于任何A∈ Fk，条件概率方程pX∈ A.英尺-k-1.= P（▄X∈ A | XTk-1，Vk-1） =P（X（V）∈ A | XTk-1（V）=XTk-1，vk-1（Vk-1））。

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mingdashike22

2022-5-25 18:05:43

（3.4）其中Xt（·）是扩散过程的基础，满足dxt（θ）Xt（θ）=r（t）dt+pνk（θk，t；vk-1（θk-1））dWtXT（θ）=x（3.5）表示t∈ [Tk-1，Tk）和k=1，n、接下来，我们概述了一个参数化，这样得到的分层MGD具有相同的概率a s（3.4）。我们考虑基于参数化序列{Mi}ni=kan和起始值▄XTk的分层MGP^M-1，即^M=（^M，^ν（^θ，t），Tk-1，XTk-1，Θk），其中混合函数为^m（^θ）=Qni=kmi（θi），其中^θi=（θk，…，θi），^θ=^θn；参数化为ν（θ，t）=νi（θi，t；vk-1（Vk-1），^vi-1（^θi）-1））带^vi（^θi）=（vk（vk-1，^θk），vi（Vk-1，^θi）），对于每t∈ [技术信息-1，Ti）和i=k，n、然后，我们可以基于此参数化将所需的层次结构定义为（^X，^M，^V），其中^V=（Vk，…，Vn）。注意，^X的基本扩散过程是Xt（·）的受约束随机过程，起始值为XTk-1和初始总方差vk-1（Vk-1）。因此，潜在的扩散过程具有（3.4）中给出的相同规律。因此，我们有^X∈ A.= P（X（V）∈ A | XTk-1（V）=XTk-1，vk-1（Vk-1））=PX∈ A.英尺-k-1..根据【Glasserman和Wu（2011）】中的符号，我们将FT上的隐含挥发性条件称为-k-1完全条件隐含波动率。以下推论是上述论点的直接结果。推论3.3分层MGD（X，M，V）的完全条件隐含波动率。关于FT-k-1等于即期隐含波动率（^X，^M，^V）。3.2联合概率分布的参数化在本节中，我们展示了如何在总方差的联合概率分布的情况下，对分层混合差进行参数化。

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mingdashike22

2022-5-25 18:05:48

由于一维分布的信息不足以确定混合物的差异，我们总是使用一些简单的解释方法来连接饱和度之间的参数化。在选定的解释方法下，混合物的扩散由给定温度下的参数唯一确定。因此，我们对分层MGP的定义仅使用与时间无关的混合函数。以下命题表明，存在“唯一”的分层混合差，总方差的联合概率分布具有完全相同的分布。命题3.4假设Y，Ynis是满足v的随机变量向量≤Y≤ ··· ≤ Yn。确定条件概率fk（σk |σk-1）：=P（Yk- Yk公司-1.≤ σk | Y=σ，···，Yk-1=σk-1）。（3.6）假设存在等效的MGP mk，使得mk=（mk，νk（θ，t；σk-1），Tk-1、1、k）~ （F′k（·；σk-1），θ/（Tk）- Tk公司-1），Tk-1，1，[0，∞))对于所有可能的0≤ v≤ σ≤ ··· ≤ σn.设M为基于参数序列（M，…，Mn）的层次化MGP，（￠X，M，V）为基于参数化M的层次化MGD。则层次化MGD￠X的（V（V），····，vn（vn））与（Y，…，Yn）具有相同的联合概率分布。位置3.4的证明：将Mk（·）表示为Mk（·）的累积分布函数。等效关系yieldsZTkTk的方程（2.13）-1νk（M-1k（x），s；σk-1） ds=F-1k（x；σk-1）其中x∈ [0，1）.插入σk-1=vk-1（Vk-1） x=Mk（Vk），它的屈服强度（Vk）- vk公司-1（Vk-1） =F-1k（Mk（Vk）；vk公司-1（Vk-1））。因此，我们有vk（vk）- vk公司-1（Vk-（1）≤ x个vk公司-1（Vk-（1）= PMk（Vk）≤ Fk（x；vk-1（Vk-1）（）vk公司-1（Vk-（1）= Fk（x；vk-1（Vk-1））。（3.7）将方程（3.7）与定义（3.6）进行比较，结果表明，（v（v），···，vn（vn））具有与（Y，…）相同的联合概率密度分布。

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2022-5-25 18:05:51

，Yn）。接下来，我们将命题3.4应用于随机波动率模型，并表明在给定的到期日，某些层次化MGD可以具有和随机波动率模型相同的联合概率分布函数。我们的结果适用于以下一般形式的资产价格随机波动率模型dstst=r（t）dt+√νtdWtS=x（3.8），其中我们假设ν是一个正的正则扩散过程，与标准布朗运动Wt无关。推论3.5设T=0，并将总方差的积分过程定义为I（T）：=Rtνsds。假设层次MGD（～X，M，v）的（v（v），····，vn（vn））具有与（I（T），…）相同的联合概率分布函数，I（Tn））。那么（XT，…，XTn）和（ST，…，STn）具有相同的联合概率分布函数。命题3.5的证明：注意，对于分层MGD（3.3）和随机波动率模型（3.8），在波动率的完整路径上，资产价格遵循对数正态分布。同样清楚的是，对于这两种模型，以Tk的资产价格和Tk+1的总方差为条件，资产价格在Tk+1的条件分布为对数正态分布：P日志（XTk+1/F（Tk+1））∈ dxk+1 | log（XTk/F（Tk））=xk，vk+1（vk+1）=σk+1，vk（vk）=σk= P日志（STk+1/F（Tk+1））∈ dxk+1 | log（STk/F（Tk））=xk，Ik+1=σk+1，Ik=σk= φ（xk+1- xk，σk+1- σk）dxk+1（3.9），其中φ（x，σ）：=√2πσexp-（x+σ/2）2σ. 然后我们得到了资产价格在T，…，的联合概率分布，通过将条件分布（3.9）与总方差的联合概率分布进行积分。P（对数（ST/F（T））∈ dx，···，日志（STn/F（Tk））∈ xn）=nYk=1dxkZ∞···Z∞P（I（T）∈ dσ，···，I（Tn）∈ dσn）nYk=1φ（xk- xk公司-1，σk- σk-1） dσk=P对数（~XT/F（T））∈ dx，···，对数（~XTn/F（Tk））∈ xn公司这证明了（ST。

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2022-5-25 18:05:55

，STn）具有与（XT，…，XTn）相同的联合概率分布函数。3.3风险中性分布的参数化在本节中，我们考虑如何对层次MGD进行参数化，以使其边际分布与现货普通期权以及远期启动期权隐含的风险中性分布相匹配。我们只考虑固定期限的风险中性分布T，因为市场只交易有限数量的期权，我们可以确保{T，…，Tn}涵盖所有到期的利息。以下命题表明，~Xt/~xs的边际分布完全由[s，t]期间总方差的分布决定。命题3.6设vs，t=Rtsν（V，x）dx，F（s，t）=exp（Rtsr（x）dx）。表示vs、tas fs、t（·）的边缘分布：[0，∞) 7.→ [0，∞).那么▄Xt/▄XsisP的边际分布函数Xt/ Xs∈ dx公司=Z∞fs，t（θ）√2πθxexp（对数（x/F（s，t））- θ/2）2θdθdx。（3.10）命题3.6的证明：直接计算显示SP日志（▄Xt/▄Xs）∈ dx公司= EP日志（▄Xt/▄Xs）∈ dx公司五、= E（P（对数（Xt（V）/Xs（V））∈ dx））=Ep2πvs，txexp（对数（x/F（s，t））- vs，t/2）2vs，t!dx=Z∞fs，t（θ）√2πθxexp（对数（x/F（s，t））-θ/2）2θdθdx首先，我们展示了如何匹配普通期权隐含的风险中性分布。将Dk（x）表示为资产价格a t Tk的风险中性分布；vk（vk）的边缘密度函数为lk（·）。下面，我们通过应用命题3从风险中性分布Dk（x）解出边际分布lk（·）。6，s=0，t=Tk。注意，时间Tkis的总方差为vk（vk），我们有dk（x）=Z∞lk（θ）√2πθxexp（对数（x/F（Tk））- θ/2）2θdθ如（2.14）所示，我们可以将傅立叶变换类似地应用于风险中性函数的对数，并求解lk（·）aslk（x）=L-1（Gk）（x）。

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nandehutu2022

2022-5-25 18:05:58

（3.11）式中Gk（η）=F（Ek）p2η- 四分之一- i/2和Ek（x）=F（Tk）exDk（F（Tk）ex）。接下来，我们将展示如何匹配远期起点隐含的风险中性分布。特别地，我们考虑了风险中性分布的▄XTk/▄XTk-1从Cliquet选项中删除。表示风险中性分布▄XTk/▄XTk-1as^Dk（·）和vk的边际密度函数（vk）-vk公司-1（Vk-1）同于^lk（·）。在命题3.6中，我们让=Tk-1和t=Tk。不是eXTk/XTk的总方差-1是vk（vk）-vk公司-1（Vk-1）。与（3.11）相似，我们得到^lk（x）=L-1（^Gk）（x）。（3.12）式中，^Gk（η）=F（^Ek）p2η- 四分之一- i/2和^Ek（x）：=F（Tk-1，Tk）ex^Dk（F（Tk-1，Tk）ex）。方程（3.11）和（3.12）给出了总方差的边际分布的显式公式，该公式与市场隐含的风险中性分布一致。然而，沿边缘分布的信息对于我们推导分层MGD的参数化是不够的。在命题3.4的基础上，我们还得到了与边缘分布一致的总方差的联合概率分布。这与A.N.Kolmogorov在【Makarov（1981）】中提出的众所周知的pr问题有关：找到随机变量X andY的联合分布，使得X、Y和X+Y的边际分布等于给定的概率分布。[Makarov（1981）]、[R¨uschendorf（1982）]和[Frank等人（1987）]证明了这种联合概率分布函数的存在。

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2022-5-25 18:06:02

这个问题也是发现具有固定边际分布的Copula分布的一个特例，有很多Copula分布可以模拟这种连接概率分布【Roger（2006）】。因此，我们可以假设（vk）存在连接分布-1（Vk-1），vk（vk）），从而得出vk的边际分布函数-1（Vk-1），vk（vk）和vk（vk）-vk公司-1（Vk-1）都是lk-分别为1（·）、lk（·）和^lk（·）。将得到的联合概率分布表示为fk（x，y）。如果我们进一步假设序列v（v），····，vn（vn）是马尔可夫的，我们就得到了（v（v），····，vn（vn））asP（v（v）的期望联合概率分布∈ dx，··，vn（vn）∈ dxn）=l（x）dxnYk=2fk（xk-1，xk）/lk-1（xk-1） dxk。（3.13）然后我们可以将命题3.4应用于连接概率分布（3.13）。产生的分层MGD的边缘分布将与现货普通期权和远期启动期权隐含的风险中性分布完全匹配。这就是下面的定理。定理3.7假设（v（v），····，vn（vn））的联合概率分布定义在（3.13）中；XT是提案3.4中的分层MGD。然后▄xtkha是边缘分布函数Dk（x）和▄XTk/▄XTk-1对于k=1，…，具有边际分布函数^Dk（·），n、 4结论与常用的资产定价模型相比，层次波动率模型有两个优点，这使得它能够准确地定位普通期权和远期启动期权。首先，它以自由函数形式对波动率进行建模，并可从风险中性分布中求解波动率函数。任何具有有限维参数化的资产定价模型都可以近似风险中性分布，但并不完全匹配。通过自由函数参数化，层次波动率模型给出了期权市场的精确解。

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2022-5-25 18:06:06

这不可能使用具有有限数量参数的传统资产定价模型。其次，层次流动性模型可以对给定到期日的方差联合分布进行建模，以便精确地符合福瓦尔d启动选项所暗示的流动性结构。例如，通过调整合适的随机波动率模型的方差分布，HierarchicalVolability模型复制了给定成熟度下随机过程的正向动力学，如果衍生品的价值仅取决于这些到期日，则价格衍生品与随机波动率模型相同。5附录T heorem证明2.4：我们的证明与[弗里德曼（1975）]定理1.1中的证明平行。然而，我们进行了许多调整以适应无界参数化。首先我们证明了解的存在性。让N和是正数。定义φN（V）=1，（N）- （1） ≤ f（V）<N0，否则。我们通过迭代将Y（k，N）定义为：Y（0，N）t=x，Y（k+1，N）t=x+ZtφN（V）u（Y（k，N）s，s；V）ds+ZtφN（V）σ（Y（k，N）s，s；V）dWs。（5.1）关于Y（k+1，N）t- Y（k，N）t引理5.1定义（5.1）中的Y（k，N）tas，然后Y（k+1，N）t- Y（k，N）t≤（Mt（N))k+1（k+1）！（1+| x |）E（φN（V））（5.2），其中M=2τ+2。引理5.2定义（5.1）中的Y（k，N）tas，然后是sup0≤t型≤τY（k+1，N）t- Y（k，N）t≤ （2τ+8）（N)ZτEY（k，N）s- Y（k-1，N）sds（5.3）结合（5.2）和（5.3），我们有sup0≤t型≤τY（k+1，N）t- Y（k，N）t≤ H（M（N))k+1k！E（φN（V）），其中H=4τ（1+| x |），M=2τ（τ+1）。现在，我们将X（k）定义为asX（0）t=xX（k+1）t=X+Ztu（X（k）s，s；V）ds+Ztσ（X（k）s，s；V）dWs（5.4）很明显，X（k）t=Y（k，N）t，如果（N-（1） ≤ f（V）<N. 那么我们有sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t≤∞XN=1Esup0≤t型≤τY（k+1，N）t- Y（k，N）t≤ H∞XN=1Z（N-（1）≤f（θ）<N（M（N))k+1k！m（dθ）≤ HZΘ[M（f（θ）+)]k+1k！m（dθ）注意是任意的。

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可人4

2022-5-25 18:06:10

允许 → 0，根据优势收敛定理，我们有，E sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t≤ HZΘ[Mf（θ）]k+1k！m（dθ）（5.5）HencePE sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t>k≤ 22kHZΘ[Mf（θ）]k+1k！m（dθ），因为∞Xk=02kZΘ[Mf（θ）]k+1k！m（dθ）=HZΘMf（θ）e4Mf（θ）m（dθ）≤ HZΘe5Mf（θ）m（dθ）<∞Borel-Cantelli引理E sup0≤t型≤τX（k+1）t- X（k）t>ki。o。= 0然后X+Pk-1i=1X（i+1）t-X（i）t=X（k）t在t中均匀收敛∈ [0，τ]。将限值表示为▄Xt。根据【Friedman（1975）】定理1.1中的标准参数，我们可以证明▄Xt满足方程▄Xt=x+Ztu（▄Xs，s；V）ds+Ztσ（▄Xs，s；V）dWs。下一步，我们将展示▄Xtis平方可积。自（5.5），EX（k+1）t≤ |x |+kXi=1E sup0≤t型≤τX（i+1）t- X（i）t≤ HkXi=0ZΘ[Mf（θ）]i+1i！m（dθ）≤ HZΘMf（θ）eMf（θ）m（dθ）Let k→ ∞, 从Fatou引理，我们有Xt< HZΘMf（θ）eMf（θ）m（dθ）<∞. （5.6）因此，XT是SDE的强大解决方案。为了证明该解的唯一性，我们假设▄X（1）和▄X（2）有两个解。设σ（V）=1，如果f（V）≤ N0，否则。请注意，0≤ σ（V）f（V）≤ σ（V）N.取σ（V）的期望值X（1）t-X（2）t, 我们有σ（V）X（1）t-X（2）t≤ 2Eσ（V）Zt公司u（￠X（1）s，s；五）-u（￠X（2）s，s；五）ds公司!+2Eσ（V）Zt公司σ（￠X（1）s，s；五）-σ（￠X（2）s，s；五）dWs公司!= 2E类Ztσ（V）u（￠X（1）s，s；五）-u（￠X（2）s，s；五）ds公司+ 2中兴通讯σ（V）σ（￠X（1）s，s；五）- σ（￠X（2）s，s；五）ds公司≤ 2tZtEσ（V）f（V）X（1）s-X（2）sds+2ZtEσ（V）f（V）X（1）s-X（2）sds公司≤ 2（t+1）NZtEσ（V）X（1）s-X（2）sdsLet g（t）=Eσ（V）X（1）t-X（2）t, 然后g（t）满意度，0≤ g（t）≤ KZtg（s）ds，g（0）=0，其中K=2（τ+1）为常数。因此g（t）≡ 0、让N→ ∞, 利用优势收敛定理，证明了EX（1）t-X（2）t= 0，因此解决方案是唯一的。引理5.1的证明：当k=0时，Y（1，N）t- Y（0，N）t≤ 2.ZtφN（V）u（x，s；V）ds+ 2.ZtφN（V）σ（x，s；V）dWs请注意，0≤ φN（V）f（V）≤ N.

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