考虑G（2）=[δ，1/n]和B（2）=[-δ、 1/n]，带δ，δ≥ 0、取（m- 1） thorder作为一个起点，我们分两步构造了mthorder的语言对类。让n≥ m、 然后：（i）连接相同大小但完全相反的G（m-1） 和B（m-1） ，带G（m-1） 前B（m）状态-1） 至少一个州。这将生成G（m）。类似地，连接另一个大小相同但完全相反的G（m-1） 和B（m-1） ，带B（m-1） 状态超前G（m-1） 至少一个州。这将生成B（m）。（ii）将G（m）和B（m）附加到任意给定的n状态初始抽奖。如果G（m）状态在B（m）之前，我们生成（m），如果B（m）状态在G（m）之前，我们生成C（m）。在向D（m）和C（m）的转换过程中，我们要求结果的排名保持不变，并且所产生彩票的结果保持非负。然后，我们陈述以下定理：定理6.5 Let m≥ 2、如果C（m）和D（m）是通过上面描述的转换生成的，则D（m）优先于（dispreferred）C（m），由任何具有(-1） m级-1h（m）≥ 0 ((-1） m级-1h（m）≤ 0).就像在第6.1节和第6.2节中一样，从今以后，我们将考虑语言对C（m）和D（m）的简约子类，它们已经足以签署h（m）。我们从第二阶开始，通过简单的迭代进行。让n≥ m级≥ 2，考虑c（m）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1，1/n；…；xj+m，1/n；xj+m+1，1/n；…；1/n]。对于任何n，需要显示粗体的m状态(≥ m） ，剩余的状态按比例相加，直到状态概率总和为1。只要下面进行的转换不会改变结果的排名，当移动到相邻的更高的C（m）NAR状态时，结果的增量可以是任意的非负的和依赖于状态的。

取（m- 1） thorder作为一个起点，我们分两步为mthorder构造彩票对类：（i）连接大小相同但完全相反的G（m-1） 和B（m-1） ，带G（m-1） 前B（m）状态-1） 只有一个州。这将生成G（m）。接下来，连接相同的G（m-1） 和B（m-1） 带B（m-1） 状态超前G（m-1） 只有一个州。这将生成B（m）。（对于m=2，我们设置G（2）=[δ，1/n]和b（2）=[-δ、 1/n]，δ>0。）（ii）通过将G（m）附加到第一个（m）来生成D（m）NB- 1） 粗体状态C（m）NAND将B（m）连接到最后一个（m- 1） C（m）n的粗体状态。在从C（m）到D（m）nw的转换中，我们要求结果的排名不受影响，结果彩票的结果保持非负。类型≥ 3、我们在重叠状态下执行挤压和反挤压序列，以保持所需的状态数最少。这就产生了一种节省的方法，已经足够签署h（m）。最后，下面的定理表明，在DT内，对彩票对D（m）和C（m）nsigns h（m）类的偏好：定理6.6让m≥ 2、如果，对于任何n≥ m、 a DT DM首选（dispreferred）D（m）ntoC（m）n，然后(-1） m级-1h（m）≥ 0 ((-1） m级-1h（m）≤ 0).7结论从Menezes、Geiss和Tressler（1980）开始，许多论文致力于解释效用函数在U模型中连续导数的符号。在本文中，我们开发了一个针对特定类别彩票对的无模型偏好故事，该故事适合满足DT模型的特定要求。这个故事对谨慎和节制这两个概念的双重对应进行了直观的解释和全面的描述。

故事提供的嵌套彩票对之间的参考方向等效于在DT内签署概率权重函数的mthderivative。我们分析了我们的结果对投资组合选择的影响，这似乎与欧盟模式下的常见影响形成了鲜明对比。我们还认为，当效用函数的三阶导数的符号与储蓄问题相联系时，概率加权函数的三阶导数的符号可能自然与自我保护问题相联系。因为原始和双重故事有几个共同的方面，原始故事的一些影响可能会扩展到双重世界。例如，因为它也很简单，双重故事应该像原始故事一样易于实验。未来研究的另一个有希望的途径是，双层结构可以作为一个构建块，在此基础上，应该有可能获得风险（和模糊性）下选择的更一般模型的相关解释。事实上，既然已经讲述了双重故事，未来的研究可以对奎金（1982）的秩相关效用（RDU）模型和特沃斯基（Tversky）和卡尼曼（Kahneman）（1992）的前景理论中效用函数和概率权重函数的连续导数的符号进行解释。例如，可以验证由原始风险分配和双重风险分配生成的彩票对的交集之间的偏好方向在RDU下共同表示效用和概率加权函数的连续导数。

这将为U（3）和≥ 0和h（3）≥ 在RDU环境中为0，这在效用和概率权重函数的参数规范中经常出现。此外，共享相同最终财富结果的双重风险分配产生的彩票对子集可用于检验（仅）h（3）的无效假设≥ RDU设置中的0。因此，本文代表了第一步，并为发展非欧盟理论中的高阶风险态度铺平了新的道路，正如Deckand Schlesinger（2010）明确要求的那样。附录：定理6.1的证明。我们首先注意到，在两次试验（即两次独立抽奖）中，对于任意给定状态概率相等的n状态彩票a的状态，产生最小结果的概率为（2n- 1） /n，分别为7/n、5/n、3/n、1/n。因此，A的第二个双力矩由[min（A，A）]=（1/n）xn+（3/n）xn给出-1+（5/n）xn-2+（7/n）xn-3+··+（（2n-1） /n）x。因此，可以很容易地验证C（3）= ED（3）,Ehmin（C（3），C（3））i=Ehmin（D（3），D（3））i。实际上，在B（3）之前附加G（3）和B（3），而在B（3）之前附加B（3）和G（3），在B（3）之前附加B（3）和G（3），对二阶力矩具有相同的（增量）影响。此外，FC（3）在交叉之前超过了FD（3），因此D（3）以三度对偶随机优势控制C（3）；例如，见Wang and Young（1998）的4.9号提案。然后是“双重效用溢价”的泰勒展开式，VD（3）- 五、C（3）,（参见Wang和Young（1998）的定理4.4），当对偶矩等于二阶时，h≥ 0（小时≤ 0）表示上述双重效用溢价为非负（非正）。这证明了所述结果。2定理6.2的证明。

由于h在（0，1）上的可微性，h的三阶导数非负等于要求（[h（p+））- h（p）]- [h（p）- h（p-)]) - （[h（p））- h（p-)] - [h（p-) - h（p--)])= h（p+）- 3h（p）+3h（p-) - h（p--) ≥ 0，对于任何四个等距概率0≤ p--≤ p-≤ p≤ p+≤ 1、对于任何n，只要D（3）优于C（3），我们将证明该条件是满足的≥ 3在DT内。（含义h≤ 0的后续内容与此类似。）我们注意到，对n个结果x=0的彩票a的DT评估≤ x个≤ · · · ≤xnis由v【A】=Z给出∞x d1.-(R)h（1- FA（x））= -nXi=1xi(R)h（1- FA（xi））-(R)h（1- FA（xi）-1))=Z∞(R)h（1- FA（x））dx=nXi=1？h（1- FA（xi）-1） ）（xi- xi-1） ，h（p）=1- h（1- p） 。观察h：【0，1】→ [0，1]，\'h（0）=0，\'h（1）=1，\'h≥ 0; 而且≥ 0等于h≤ 这里，FA（x）=0，按惯例，so1- FA（x）=h（1- FA（x））=1。因此，V[C（3）n]=jXi=1'h（1- FC（3）n（xi）-1） ）（xi- xi-1） +j+4Xi=j+1？h（1- FC（3）n（xi）-1） ）（xi- xi-1） +nXi=j+5？h（1- FC（3）n（xi）-1） ）（xi- xi-1） =：∑C（3）n+∑C（3）n+∑C（3）n，其中j对应于C（3）n中始终存在的三个粗体状态之前的状态，D（3）n也是如此。请注意，∑C（3）n=∑D（3）n，∑C（3）n=∑D（3）n。此外，∑C（3）n=（xj+1- xj）(R)h（1- F（xj））+（xj+2- xj+1）(R)h（1- F（xj+1））+（xj+3- xj+2）(R)h（1- F（xj+2））+（xj+4- xj+3）(R)h（1- F（xj+3）），且∑D（3）n=（xj+1- xj+1/M）小时（1- F（xj））+（xj+2- xj+1- 3米）小时（1- F（xj+1））+（xj+3- xj+2+3/米）小时（1- F（xj+2））+（xj+4- xj+3- 1米）小时（1- F（xj+3）），为了方便起见，抑制索引C（3）和D（3）。

定义，对于给定的n≥ 3，概率q，0≤ q≤ 1.- 3/n，使得F（xj）=q，F（xj+1）=q+1/n，F（xj+2）=q+2/n，F（xj+3）=q+3/n，F（xj+4）=q+4/n。然后，∑C（3）n=（xj+1- xj）(R)h（1- q） +（xj+2- xj+1）(R)h（1- q- 1/n）+（xj+3- xj+2）(R)h（1- q- 2/n）+（xj+4- xj+3）(R)h（1- q- 和∑D（3）n=（xj+1- xj+1/M）小时（1- q） +（xj+2- xj+1- 3米）小时（1- q- 1/n）+（xj+3- xj+2+3/米）小时（1- q- 2/n）+（xj+4- xj+3- 1米）小时（1- q- 3/n）。定义p时--, p-, p、 p+使3/n≤ 1.- q=p+≤ 1, 1 - q- 1/n=p，1- q- 2/n=p-, 1.- q- 3/n=p--,然后由n的任意性得出≥ 3，因此0的任意性≤ q≤ 1.-3/n，即∑D（3）n- ∑C（3）n=（1/M）(R)h（p+）- （3米）小时（p）+（3米）小时（p-) - （1/M）小时（p--) ≥ 0，对于任何四个等距概率0≤ p--≤ p-≤ p≤ p+≤ 1，无论何时，对于任何n，D（3）NIS优先于C（3）≥ 3、我们注意到∑D（3）n- ∑C（3）是EU模型中效用溢价的DT类似物。最后，观察“h”≥ 0等于h≥ 这证明了所述结果。2定理6.3的证明。通过类比定理6.1的证明，我们首先注意到，对于具有相等状态概率的任意给定n状态彩票a的状态，在三次试验（即三次独立抽奖）中产生最小结果的概率为（3（n- 1） n+1）/n，分别为37/n、19/n、7/n、1/n。因此，A的第三个双力矩由[min（A，A，A）]=（1/n）xn+（7/n）xn给出-1+（19/n）xn-2+（37/n）xn-3+··+（（3（n- 1） n+1）/n）x。因此，我们可以验证，不仅C（4）和D（4）的前两个双力矩相等，而且第三个：Ehmin（C（4），C（4），C（4））i=Ehmin（D（4），D（4），D（4））i。事实上，将G（4）和B（4）与将B（4）与B（4）状态连接在G（4）之前，对三阶双力矩具有相同的（增量）影响。然后，证明后面有与定理6.1相似的论证。

抑制细节以节省空间。它们包含在扩展的在线版本中。2定理6.4的证明。该证明后面有与定理6.2的证明类似的论点。抑制细节以节省空间。它们包含在扩展的联机版本中。2定理6.5和6.6的证明。这些证明后面的论证分别与定理6.1和6.3以及定理6.2和6.4的证明相似。有关更多详细信息，请参阅extended onlineversion。2参考文献[1]Baillon，A.（2017）。谨慎对待不确定性和模糊性。《经济杂志》，即将出版。[2] Chateauneuf，A.、T.Gajdos和P.-H.Wilthien（2002年）。强递减转移原理。《经济理论杂志》103，311-333。[3] Chew，S.H.、E.Karni和Z.Safra（1987年）。具有秩相关概率的预期效用理论中的风险规避。《经济理论杂志》42370-381。[4] Chiu，H.（2005）。偏态偏好、风险厌恶和随机变化的优先关系。《管理科学》511816-1828。[5] David，H.A.（1981）。订单统计信息。第二版，纽约威利。[6] De La Cal，J.和J.C'arcamo（2010年）。逆随机优势、优序和平均序统计。应用概率杂志47277-292。[7] Deck，C.和H.Schlesinger（2010）。探索高阶风险效应。经济研究回顾771403-1420。[8] Deck，C.和H.Schlesinger（2014）。高阶风险偏好的一致性。《计量经济学》821913-1943。[9] Dittmar，R.F.（2002年）。非线性定价核、峰度偏好和股票收益横截面证据。《金融杂志》57369-403。[10] Ebert，S.和D.Wiesen（2011年）。谨慎性和偏态搜索测试。管理科学571334-1349。[11] Ebert，S.和D.Wiesen（2014年）。风险规避、谨慎和节制的联合衡量。

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