风险分摊：双重故事

2022-6-2 17:52:17

风险分摊：双重故事*Louis R.EeckhoudtIESEG管理学院CNRS LEM UMR 9221和CORELouis。Eeckhoudt@fucam.ac.beRoger荷兰阿姆斯特丹大学经济学院。J、 A。Laeven@uva.nlHarris阿拉巴马州金融大学施莱辛格分校Konstanzhschlesi@cba.ua.eduThis版本：2017年12月7日摘要通过指定彩票对的简单嵌套类的无模型偏好，我们开发了与（原始）风险分摊同等的双重故事。双重故事对谨慎和节制等概念的双重对应物提供了直观的解释和完整的描述。这些嵌套类彩票对之间的偏好方向相当于在Yaari（1987）对偶理论中签署概率权重函数的连续导数。我们探讨了我们的结果对最优投资组合选择的影响，并表明概率权重函数的三阶导数的符号可能与自我保护问题有着天然的联系。关键词：高阶风险态度；谨慎节制风险分摊；对偶理论；投资组合选择；自我保护。JEL分类：D81、G11、G22。*怀着巨大的悲痛，我们失去了我们的朋友和合著者哈里斯·施莱辛格，他在我们写这篇论文的过程中去世了。我们非常感谢塞巴斯蒂安伯特（SebastianEbert）、约翰娜·埃特纳（Johanna Etner）、克里斯蒂安·戈利尔（Christian Gollier）、格伦·哈里森（Glenn Harrison）、迈克·霍伊（Mike Hoy）、利群·刘（Liqn Liu）（讨论者）、丽莎·波西（Lisa Posey）（Lisa Possey）（讨论者）、尼古拉斯·特里奇（Nicolas Treich）、米歇尔·韦勒。我们还感谢参加EGRIE会议、风险理论学会会议、世界风险和保险经济学大会、廷伯根研究所和阿姆斯特丹大学卡菲研讨会的会议和研讨会参与者提供的有益意见。

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2022-6-2 17:52:21

这份文件早些时候以“谨慎、节制（和其他美德）：双重故事”为题分发。这项研究部分由荷兰科学研究组织（Laeven）在NWO VIDI的资助下资助。1引言虽然最初受到一些怀疑，但谨慎和节制的概念现在已被广泛接受，几乎与风险规避的基本概念相当，至少在预期效用（EU）框架中是这样。这些概念的广泛使用，有时被称为“高阶风险态度”，可以通过以下事实来解释：它们逐渐得到了更一般的解释。例如，考虑谨慎。这一术语由Kimball（1990）在一篇综述性论文中首创，他在论文中指出，在欧盟框架下，预防性储蓄作为一种优化型行为的特征是效用函数的正三阶导数（即“U≥ 0”或“谨慎”）。然而，众所周知，UCA的这一积极迹象可以在储蓄这一特定决策问题之外更普遍地得到证实。Menezes、Geiss和Tressler（1980）提出了这种更原始的谨慎判断，他们使用了“下行风险厌恶”一词，Eeckhoudt和Schlesinger（2006）对此进行了进一步的研究，他们还展示了如何从谨慎走向更高阶风险态度。这些作者首先陈述了一种“无模型”偏好，即决策者（DM）喜欢“将好与坏结合起来”，而不必面对任何好的或坏的东西。

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kedemingshi

2022-6-2 17:52:24

接下来，该模型自由偏好被转化为审慎性（U≥ 0）在欧盟模型中，从谨慎的角度出发，通过定义一系列嵌套彩票，并始终主张好与坏相结合的偏好，可以获得类似的高阶风险态度，从节制开始（U≤ 0）第四级。此外，Eeckhoudt和Schlesinger（2006）对谨慎和高风险态度的简单原始解释很容易进行实验验证。因此，目前在欧盟框架内围绕谨慎和节制的概念开展了深入的实验研究活动（例如，Ebert andWiesen（2011，2014），Deck and Schlesinger（2010，2014），Noussair，Trautmann and van de Kuilen（2014），等等）。文学作品中出现了不同名称下的“善与恶相结合”偏好。Eeckhoudt和Schlesinger（2006）将其称为“风险分摊”。稍早之前，Chiu（2005）提到了一种“优先关系”，即一种随机主导变化先于另一种。“善与恶相结合”这句话最早出现在Eeckhoudt、Schlesinger和Tsetlin（2009）的著作中。虽然谨慎、节制和高阶风险态度可以作为无模型环境中的自然属性初步呈现，但迄今为止，它们的解释和实施仅在欧盟框架内进行。在本文中，通过指定对简单嵌套类彩票对的新的无模型偏好，我们发展了与（原始）风险分配同等的双重故事。这个双重故事对谨慎、节制和其他美德等概念的双重对应物提供了直观的解释和完整的描述。

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2022-6-2 17:52:27

Weshow，the direction of preference between the nested classes of lotking pairs，在最近的研究中，Baillon（2017）将谨慎和高阶风险态度的这些解释概括为一种具有模糊性的环境。我们构造了一个等价于在Yaari（1979）对偶理论（DT）中对概率加权（Ordinstorion）函数的mthderivation进行签名，m为任意正整数。事实证明，这一发展需要从根本上背离埃克霍特和施莱辛格（2006）的方法，正如我们将要展示的那样，这一方法无法在DT框架内实现预期的含义。我们开发的双重故事具有原始故事的一般特征，例如，优先关系，但在其构建和实施过程中，关键是从中分离出来，例如，通过参考我们将称之为“挤压”和“反挤压”以及“双重时刻”。因此，本文代表了在替代非欧盟决策模型中对高阶风险态度进行更一般性解释的第一步，如等级依赖性和前景理论（Kahneman和Tversky（1979）、Quiggin（1982）、Schmeidler（1986、1989）、Tversky和Kahneman（1992）），其中DT是一个构建块。

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2022-6-2 17:52:30

事实上，由于DT与EU“正交”，我们的分析不仅揭示了与EU下的主要故事的差异，而且也是发展更高阶风险态度作为原始行为特征的先决条件，与等级相关效用和前景理论提供的更一般的风险选择模型相兼容。概率加权函数三阶导数的正号与“逆S形”一致，Tversky和Kahneman（1992）（另见Wu和Gonzalez（1996，1998））和Prelec（1998）在实验隐含的典型参数集下提出的流行概率加权函数显示了这一点。这些反向成形的概率权重函数通常具有奇数导数的正符号和偶数导数的交替符号（首先在低财富水平下为负，然后在高财富水平下为正）。假设概率加权函数在反射点处先凹后凸，二阶导数等于零，则概率加权函数三阶导数的正号表示函数在向反射点左侧移动时变得更凹，在向反射点右侧移动时变得更凸。众所周知，原始和对偶随机优势在二阶时重合，并可能从三阶开始发散。作为一个副产品，它本身就很有趣，适合DT的无模型故事将很好地揭示这种分歧背后的根本原因。我们关于概率权重函数形状的结果与分析风险经济学中的著名问题有关，例如投资组合选择和存在背景风险时的自我保护水平。

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2022-6-2 17:52:33

我们首先通过推导风险资产的最优投资组合选择的含义来说明我们的结果，因此，无风险的人可能会说，本文构成了（原始）风险分摊的真正合适的双重对应物（Eeckhoudt和Schlesinger（2006））。事实上，从技术角度来看，本论文对（双重或反向）随机序inDT现存文献的贡献（如Muliere和Scarsini（1989），Wang和Young（1998）和Chateauneuf，Gajdos和Wilthien（2002））与Eeckhoudt和Schlesinger（2006）对欧盟（原始）随机序文献的贡献相似（如Whitmore（1970），Ekern（1980）和Menezes、Geiss和Tressler（1980））。逆S形反映了敏感性递减的心理学概念（在概率领域），它规定，当DM离开（朝向）参考点0和1时，DM对客观概率的变化变得不那么（更）敏感。资产和风险资产零均值金融衍生产品的使用权。我们表明，与欧盟（Gollier（1995））规定的情况相反，通过适当选择衍生产品（例如，三阶多头或四阶波动率分布）补充（因此挤压）风险资产，从而实现风险资产回报率的短期改善，并不会减少DT模型下对风险资产的需求。此外，我们还表明，在存在独立背景风险的情况下，概率权重函数的三阶导数自然出现在一个自我保护问题中，该问题权衡损失风险和保护损失的效果。特别是，如果概率权重函数的三阶导数为正（“双重审慎”），背景风险会刺激自我保护。本文的组织结构如下。

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kedemingshi

2022-6-2 17:52:37

在第2节中，我们确定了符号和设置，介绍了DT决策模型的一些预备知识，并提供了我们结果背后的一些基本直觉。在第3节中，我们通过开发新的无模型偏好来引入双重高阶风险态度。第4节说明了我们的结果对最优投资组合选择的影响。第5节表明，概率权重函数三阶导数的符号自然与自我保护问题有关。第6节包含我们一般结果的正式介绍。我们在第7节总结了结果，并指出了潜在的扩展。证据放在附录中。2准备工作2.1符号和设置我们代表n状态彩票A，分配概率pito最终财富结果xi，i=1，n、通过A=[x，p；…；xn，pn]。我们总是假设状态是根据其相关结果排序的，从最低结果状态到最高结果状态。假设结果为非负。即0≤ x个≤ · · · ≤ xn。每次抽奖都会产生结果的概率分布，人们可以将随机变量关联起来。从今以后，彩票及其相关随机变量经常被识别。我们写P[A≤ x] =FA（x）=1- SA（x），分别具有A的Fa和Sat累积分布函数和decumulative分布函数。

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2022-6-2 17:52:40

此外，我们表示为相对于彩票的（弱）偏好关系。根据Yaari（1987）的对偶理论（DT），n州彩票A的评估V是一些补充材料，包括两个插图和一些补充第2.2节的技术细节，一些补充第5节的进一步细节，以及一些补充附录的技术细节，在本版本中被抑制以节省空间，包含在本文的扩展在线版本中，可从作者的网页上获得（参见http://www.rogerlaeven.com).给定byV【A】=Z∞x dh（FA（x））=nXi=1xi（h（FA（xi））- h（FA（xi-1）），（2.1），按照惯例，x=0，FA（x）=0，h：[0，1]→ [0，1]满足h（0）=0，h（1）=1和h≥ 0，概率加权（或失真）函数，此后假设（0，1）上的所有差异程度都是可区分的。我们有时用h（m）表示h的mthderivative。我们说，彩票B以三度对偶（或逆）随机优势顺序ifE[a]支配彩票a≤ E【B】，E【min（A，A）】≤ E[最小值（B，B）]，和F-1A级≤F-1B。这里，A（B）和A（B）是彩票A（B）的两次独立抽奖。此外，m+1F-1A（q）=RqmF-1A（p）dp，m=1，2。，0≤ q≤ 1，带F-1A级≡ F-1A，函数之间的不等价性是逐点理解的。我们指的是E[最小值（A，A。

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2022-6-2 17:52:43

，Am）]作为A的第四个“双矩”。一般来说，我们认为彩票B在文献中占据主导地位，继Yaari（1987）之后，DT下的评估通常通过扭曲递减分布函数来进行，而不是（2.1）中的累积分布函数FAas。但是请注意，v[A]=Z∞x dh（FA（x））=Z∞x d1.-(R)h（SA（x））=Z∞\'h（SA（x））dx，其中\'h（p）：=1- h（1- p），将单位间隔映射到其自身，并满足“h（0）=0、”h（1）=1和“h”≥ 0，且h的高阶导数的正号等效于h的高阶导数的交替信号。特别是，h的凹度转换为h的凸度。Tobe与EU模型中效用函数导数的交替符号一致，我们通过扭曲累积分布函数而非累积分布函数SA来确定DT下的评估V。因此，在我们的设置中，凹概率加权函数相当于对均值保持利差的厌恶意义上的“强”风险厌恶（Chew、Karniand Safra（1987）和Ro¨ell（1987）），更一般地说，概率加权函数h的高阶导数将在符号上自然交替，就像U一样。我们使用符号h、h、。和h（1），h（2）。可互换。在统计学中，这些矩有时被称为平均（一阶）统计量。他们通过反复的独立抽奖来衡量预期的最坏结果；另见David（1981）。将幂函数视为效用函数时，原始矩在EU下出现。类似地，当将幂函数视为概率加权函数时，DT下会出现双力矩：E[min（A，A，…，Am）]=Z∞(1 - FA（x））mdx=Z∞(R)h（1- FA（x））dx=Z∞x dh（FA（x））=V【A】，其中h（p）=p，h（p）=1- h（1- p），0≤ p≤ 1.

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2022-6-2 17:52:47

观察功率概率加权函数满足≥ 0，因此为h≤ 0.in m次对偶随机优势序（m=2，3，…）ifE【A】≤ E【B】，E【min（A，A）】≤ E[最小值（B，B）]，E[最小值（A，A，…，Am-1)] ≤ E[最小值（B，B，…，Bm-1） ]和MF-1A级≤mF公司-1B。mthorder双重随机优势偏好，第一个（m- 1）众所周知，双动量序列与DT内概率权重函数的MTH导数符号有关（Muliere和Scarsini（1989）），就像原始随机优势序与EU下效用函数的连续导数有关（Ekern（1980））。有关对偶（逆）随机优势的更多详细信息，请参阅。g、 De La Cal和C'arcamo（2010）及其引用。在EU下，效用函数的mthderivative的符号可以通过比较简单的嵌套彩票对与相等（m- 1）原始矩，通过危害分摊获得（Eeckhoudt和Schlesinger（2006））。为了解释DT下概率加权函数的mthderivative的符号，我们开发了一个具有相等（m- 1）双重时刻。2.2说明和直觉众所周知，欧盟和DT在重新评估财富确实减少和平均保留价差的一阶和二阶上达成一致（见Yaari（1986）、Chew、Karni和Safra（1987）、Ro¨ell（1987）和Muliere和Scarsini（1989）），我们开发了一个数字示例来说明它们可能在三阶上发生分歧。这个例子建立了EU和DT可能在第三位出现分歧的原因背后的直觉，并促使对“好坏结合”的故事进行调整，该故事用于解释EU下效用函数连续导数的符号。

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nandehutu2022

2022-6-2 17:52:50

虽然已知三阶原始和双重随机优势通常并不一致（见Muliere和Scarsini（1989）及其参考文献），但weillustrate在（原始）风险分摊的背景下阐述了它们的潜在分歧（Eeckhoudt和Schlesinger（2006））。我们从I=[2，1/2；3，1/2]给出的初始抽奖开始，并调用（原始）风险分摊，“添加”独立的零平均风险|εgivenby|ε=[-2, 1/3 ; 1，2/3]，到I的其中一个状态。如果将|ε添加到I的第一个状态（即坏状态），我们将生成a=[0，1/6；3，5/6]给出的彩票a，在这种情况下，类似地，欧盟和DT可能会在第三级达成一致，例如在他们对Menezes、Geiss和Tressler（1980）也考虑的毛泽东（1970）彩票的具体案例的评估中（参见扩展在线版本），或可能不同意，如本节中的示例。而如果将其添加到第二个状态（即良好状态），我们将生成一个彩票Bgiven byB=[1，1/6；2，1/2；4，1/3]。从Eeckhoudt和Schlesinger（2006）中，我们知道，在欧盟下，美国≥ 0意味着B A、如果DM具有二次效用（因此，“U=0”或“零谨慎”），则A和B之间存在差异。现在考虑DT模型下的DM，二次概率权重函数为：h（p）=αp- βp，α=1+β和0≤ β ≤ 所以h（0）=0，h（1）=1，h是非递减且凹的。该DM具有“零双重审慎性”（“h=0”）。简单计算表明，对于该DM，V【A】≥ 当β>0（因此，h<0）时，V[B]具有严格不等式。因此，欧盟DM和DT DM之间存在意见分歧，前者在零原始审慎下不区分a和B，后者在零双重审慎下偏好a而非B。这两个DM之间的意见分歧可能与a和B的原始矩和双重矩之间的差异有关。

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2022-6-2 17:52:53

显然，A和B有两个共同的原始矩（均值和方差）。然而，他们的第二个双重时刻是不同的。因此，埃克霍特（Eeckhoudt）和施莱辛格（Schlesinger）（2006）提出的无模型处方以特定的方式支持“善与恶相结合”，从而解释了欧盟模型中U的连续导数的符号；然而，这种无模型原理并不总是对概率加权函数在DTT框架下的连续导数的符号产生类似的解释。因此，如果希望获得与INEU相似的概率权重函数的DT和后续导数的符号，则必须修改初始的无模型偏好。这就是下一节的目的。3无模型偏好为了直观地解释二阶概率权重函数连续导数的符号，我们现在开发出适当的彩票B，通过将坏风险|ε（因为|ε是二阶随机支配的0）添加到I的良好状态，从彩票I中获得，而A的情况正好相反。可以另一种说法是，在A中，坏（|ε）先于好（0）。相反，在B中，好（0）在坏（|ε）之前。请注意，定义h（0）=0。此外，h（1）=1，α- β=1应保持不变。因此，h（p）=（1+β）p- βp，因此h（p）=1+β- 2βp.有h（1）≥ 0（因此h（p）≥ 0 Whenverh（p）≤ 0), β ≤ 1应保持不变。最后，h（p）=-2βso h≤ 如果β为0≥ 总的来说，α=1+β和0≤ β ≤ 事实上，E[分钟（A，A）]=25/12，而E[分钟（B，B）]=23/12。众所周知，美国≤ 0和h≤ 0对应于强烈的风险厌恶（即厌恶保值利差）；参见第2.2节中的参考资料。无模型首选项。

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kedemingshi

2022-6-2 17:52:57

我们将继续断言，DM希望将好与坏结合起来。在Chiu（2005）的等效术语中，DM仍然满足优先关系。他赞成先好后坏。然而，我们对好与坏的定义将基于“挤压”和“反挤压”分布的概念，而不是像Eeckhoudt和Schlesinger（2006）那样将平均风险和确定性相加为零。压缩和反压缩将成为我们方法的主要组成部分。我们开发的挤压和反挤压序列将保留原始力矩的双重速率。当我们用pk变换初始lotteryL=[x，p；…；xi，pi+p；…；xj，pj+p；…；xn，pn]时，会发生压缩≥ 0（明确允许等于零），k=1，n、 p>0，则转换为一个彩票D，比亚迪=[x，p；…；xi，pi；xi+x，p；…；xj- x、 p；xj，pj；xn，pn]，x>0。当x被替换为-x、也就是说，当L转换为彩票C时，C=[x，p；…；xi- x、 pi；xi，p；xj，p；xj+x，pj；xn，pn]。显然，压缩和反压缩都保持了平均值。请注意这些转换的一般性。根据x和p的具体情况，挤压和反挤压可以解释为结果的变化和概率的变化。在这一节中，我们用例子来解释双重故事。第6节包含一般方法。我们首先回到第二个顺序，考虑初始彩票L（2）givenbyL（2）=[1，1/2；2，1/2]。现在我们通过压缩将彩票L（2）转换为彩票D（2）。具体而言，我们“附加”（状态方面，状态概率匹配）G（2）=[x，p]和B（2）=[-x、，到L（2），在这种情况下，我们让p=1/n，n=2，其中x=1/M，M≥ 2、假设好（G（2））先于坏（B（2））。

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2022-6-2 17:53:00

这种挤压产生了新的彩票D（2），比亚迪（2）=[1+1/M，1/2；2- 1/M，1/2]。当然，大小相同但与挤压相反的L（2）的反挤压，通过将B（2）和G（2）状态连接起来实现，此时坏在好之前，将生成C（2）=[1- 1/M，1/2；2+1/M，1/2]。上标（2）表示“二阶”，更一般地说，上标（m）表示“mthorder”。M的条件保证挤压不会改变结果的初始排名。图1：二阶压缩和反压缩该图绘制了从L（2）到D（2）（左面板）以及从L（2）到C（2）（右面板）的转换，其中x=1，x=2，p=1/2。G（3）和B（3）将用于开发thirdorder的双层建筑。px1+G（2）px2+B（2）+G（3）（a.）第二顺序：好的先于坏的px1+B（2）px2+G（2）+B（3）（B.）第二顺序：坏的先于好的见图1。显然，在强烈的风险厌恶下，D（2） C（2）。这些首选项对应于h≤ DT下0至U≤ 欧盟模式下为0。事实上，压缩和反压缩是Rothschild和Stiglitz（1970）意义上的平均保留收缩和平均保留扩散的特例，DT和EU对平均保留收缩和平均保留扩散的评估是一致的。现在转到第三级，正如第2.2节所预期的那样，DT和欧盟之间的协议可能会崩溃。基于对好与坏的先验关系以及压缩和反压缩的概念，无模型偏好部署如下。我们从byL（3）=[1，1/3；2，1/3；4，1/3]给出的初始彩票L（3）开始。然后我们生成D（3）asD（3）=[1+1/M，1/3；2- 2/M，1/3；4+1/M，1/3]，带M≥ 3.

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2022-6-2 17:53:04

为了从L（3）中获得D（3），我们首先通过施加挤压来变换L（3）的最差两种状态，附加G（3）=[x，p；-x、在这种情况下，我们取p=1/n，n=3，x=1/M，M≥ 3、然后在L（3）的最佳两种状态下，我们执行反挤压，通过attachingB（3）=[-x、 p；x、 p]，出于第6节中显而易见的原因，我们不会将更改后的彩票C（2）和D（2）与它们生成的初始彩票L（2）进行比较，尽管这种比较在这种特殊情况下很简单，其中D（2） L（2） C（2）。事实上，在本节中，D（m） L（米） C（m），m=2，3，4，对于具有在符号中交替的高阶导数的概率加权函数的DT DM。为了简洁起见，我们有时会在下面的部分中直接从C（m）构造D（m）。这又是一个例证。一般处理方法见第6节。图2：三阶压缩和反压缩序列该图绘制了从L（3）到D（3）（左面板）以及从L（3）到C（3）（右面板）的转换，其中x=1，x=2，x=4，p=1/3。G（4）和B（4）将用于开发第四级的双层建筑。px1px2px3+G（3）+B（3）+G（4）（a.）第三顺序：良好优先于badpx1px3+B（3）+G（3）+B（4）（B.）第三顺序：不良优先于良好，p=1/n，n=3，x=1/M，M≥ 在从L（3）到d（3）的转换中，好（G（3））先于坏（B（3））。为了使所需的状态数尽可能少，为了便于和节省说明，我们在本插图中考虑只有3个状态的彩票L（3），并且具有相等的发生概率，并且我们在重叠状态（即结果2）下挤压和反挤压，并且挤压量相同。

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nandehutu2022

2022-6-2 17:53:07

然而，我们的一般做法并不需要这些限制；详见第6节。类似地，我们生成一个彩票C（3），给定C（3）=[1- 1/M，1/3；2+2/M，1/3；4.- 1/M，1/3]，通过让坏的B（3）先于好的G（3），从最初的彩票L（3）中获得。请参见图2中的图示。如第6节所示，这一结果的精确陈述被推迟，参见定理6.1和6.2-，“双重审慎”（或“h≥ 0”）对应于“D（3） C（3）”。Tversky和Kahneman（1992）以及Prelec（1998）的著名概率加权函数都显示了h≥ 在实验隐含的典型参数集下为0。重要的是要认识到，欧盟最大化者与美国之间没有一致意见≥ C（3）和D（3）之间的比较为0。这基本上是这样的，因为这两个平均值相同的彩票有不同的方差和偏斜。实际上，Var[D（3）]>Var[C（3）]和Skew[D（3）]>Skew[C（3）]。因此，与谨慎型相比，风险厌恶程度相对较高（较低）的欧盟DM更倾向于C（3）（D（3））。虽然我们关于挤压和反挤压的故事可能会对所比较的彩票产生不同的原始矩（尤其是方差），但它保持了第二个对偶矩的相等。事实上，我们可以验证Ehmin（D（3），D（3））i=Ehmin（C（3），C（3））i。这是EU和DT可能从第三阶开始偏离的根本原因。我们注意到，如果我们从初始抽奖开始，由▄L（3）=[1，1/3；2，1/3；3，1/3]给出，那么在转换到相应的▄D（3）和▄C（3）时，方差的相等性将得到保持。在这种情况下，欧盟DM和U≥ 0和带H的DT DM≥ 0会优先选择▄D（3）而不是▄C（3）。

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2022-6-2 17:53:11

也就是说，欧盟和DT可能（但不必）在第三级出现分歧。为了解释h的四阶导数的符号，我们从byL（4）=[1，1/4；2，1/4；4，1/4；7，1/4]给出的扩展彩票L（4）开始。现在，在L（4）最差的三种状态下，我们进行了三阶描述的有益转换（即G（3）在B（3）之前的转换），附件G（4）=[x，p；-2x，p；x、 p]，在这种情况下，p=1/n，n=4，x=1/M，M≥ 接下来，在L（4）的最佳三种状态上，我们进行完全相反的变换，通过attachingB（4）=[-x、 p；2x，p；-x、 p]，所以我们得到一个彩票D（4），给定比亚迪（4）=[1+1/M，1/4；2- 3/M，1/4；4+3/M，1/4；7.- 1/M，1/4]。相反，让坏的东西先于好的东西，我们就产生了c（4）=[1- 1/M，1/4；2+3/M，1/4；4.- 3/M，1/4；7+1/M，1/4]。在第6节中，我们证明了具有“双温”（或“h”）的DT DM一致优先于C（4≤ 0”）-见定理6.3和6.4。要了解欧盟模型中双重故事的含义，当M=4时，比较D（4）到C（4）是很方便的。虽然在这种情况下，C（4）和D（4）具有相同的均值和方差，但我们很容易验证D（4）比C（4）具有更小的偏度和更小的峰度。因此，谨慎和节制的DM对这两种彩票的欣赏程度不能达成一致：一些人更喜欢D（4），而另一些人更喜欢C（4），这取决于他们的谨慎和节制的相对程度。

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2022-6-2 17:53:14

这一观察明确了四阶EU和DT可能（继续）发散的原因：虽然四阶压缩和反压缩序列可能会为C（4）和D（4）产生不同的三阶原始矩，但它保持了三阶对偶矩的相等性，再次证实了它们与双重故事的相关性。我们最后注意到，三阶和四阶彩票分别通过二阶和三阶相关变换的简单迭代生成。因此，这种分析可以进行到任意顺序，以解释概率加权函数的连续导数的符号。因此，正如在Eeckhoudt和Schlesinger（2006）的方法中一样，我们获得了一系列简单的嵌套彩票，现在可以对h（m）的符号进行适当的解释。4带衍生工具的投资组合选择考虑一个初始确定财富为w的DT投资者。假设他将一个金额α分配给一个风险资产（“股票”），并将一个金额w- α至无风险资产（“债券”）。债券（股票）每投资一个单位就可获得r（r）的可靠（风险）回报。假设R和R与投资金额无关。投资者旨在确定最佳金额α*. 因为（w- α）（1+r）+α（1+r）=w（1+r）+α（r- r）而theDT求值是平移不变的且正齐次的，他的问题是：arg maxα{α（V[r]- r） }。（4.1）我们添加约束0≤ α ≤ w、很容易得出最优解α*是一种更精确的解决方案。假设V[R]<R，则最优解为α*= 0、在这种情况下，投资者完全投资于债券。现在想象一下，投资者对风险回报的分布进行了改进。特别是，他有可能为该股票提供零预期价值、零成本的衍生产品。

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2022-6-2 17:53:18

衍生产品的选择是通过应用双层结构，通过压缩和反压缩，使R的mthorder改进，m≥ 2、股票和衍生品风险投资组合的回报率以“R”表示。（我们将很快提供衍生品的详细信息。）那么，有两种情况是可能的：（i）如果V【\'R】≤ r、对债券的全额投资仍处于最佳状态。（ii）如果改善幅度很大，以至于V[(R)R]>R，则DT投资者将从一个角落解决方案（债券的全部投资，即α）转移*= 0）到othercorner解决方案（风险投资组合的全部投资，即α*= w）。为了说明这些mthorder改进，为了便于说明，假设r≡ 0.考虑第二阶第一阶。假设股票价格以1/2的概率取1和3。援引这两个故事，我们发现，无论何时，只要出现以下情况，看涨期权的多头仓位与看涨期权的空头仓位相结合，每种仓位的执行价格都为2，从而使联合预期值为零，就能提高风险投资组合的吸引力≤ 实际上，在这种情况下，R和R之间的差异可以看作是压缩和反压缩的结果。如图3左上图所示，这种多头认沽和短期看涨期权的组合提供了一种对抗不利股票情景的对冲，这种对冲是通过放弃上行潜力来实现的。在本节中，风险股票价格S（1+R）与初始股票价格一起，扮演着双重故事中遇到的彩票C（m）的角色，而股票和衍生品投资组合S（1+R）扮演着彩票D（m）的角色。衍生产品补充剂直接从R中产生改善R。具体而言，R=（C（m）- S） /砂R=（D（m）- S） /秒。

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2022-6-2 17:53:21

在第二阶，C（2）=[1，1/2；3，1/2]和D（2）=[2，1/2；2，1/2]。当然，C（2）和D（2）可以通过压缩和反压缩，即通过附加G（2）=[1/2，1/2]和B（2）=[3/2，1/2；5/2，1/2]从公共初始彩票L（2）=[3/2，1/2；5/2，1/2]生成-1/2，1/2]，至L（2）。如果好（坏）在坏（好）之前，则生成D（2）（C（2））。股票价格-2-1012衍生收益最优投资组合选择：二阶股票价格-2-1012衍生收益最优投资组合选择：三阶股票价格-1012衍生收益最优投资组合选择：二阶股票价格-1012衍生收益最优投资组合选择：四阶下一步，考虑三阶。现在假设股票价格以1/4的概率取值{1，3，5，7}。然后，运用双重故事，我们可以很容易地证明，在股价为4且预期值为零的情况下，所谓的“跨越式”期权可以提高风险投资组合的吸引力（R对R），只要≥ 如图3右上面板所示，在不良股票情景和良好股票情景下，多头交易会产生效果，但在中间股票情景下会产生损失。由于多头交易不仅增加了风险组合的偏度，而且增加了风险组合的方差，因此，多头交易补充在欧盟下不会一致，而在DT下则相反。最后，在第四阶，假设股票价格取{1，3，5，7，9，11，13，15}值，每个值的概率为1/8。

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2022-6-2 17:53:24

然后，双重情况意味着，在股票价格为4的情况下，多头多头与股票价格为12的情况下，联合预期值等于零，提高了风险投资组合的吸引力，前提是≤ 图3最后一个面板中所示的这种多空组合是所谓“波动率价差”的一个常见而简单的例子。因此，我们发现，当概率权重函数的连续导数在符号上交替时，风险资产回报分布的mthorder（双重）改进不会减少对风险资产的需求。这与欧盟（EU）下的常见结果形成了鲜明对比，在欧盟，R的m短期（原始）改善对需求的影响不明确，甚至对m≥ 1、事实上，为了获得这样的自然结果，即在欧盟范围内，此类改进会导致对风险资产的更高需求，需要施加额外的非平凡条件（详情参见埃克霍特和戈利尔（1995）和戈利尔（1995）第9.3节）。5具有背景风险的自我保护在本节中，我们考虑具有初始确定财富的DT DM，其面临的风险为货币金额`>0。损失发生的概率p取决于DM施加的自我保护效应e。特别是，p（e）正在减少ine。效益以货币等价物计量。DM旨在确定最佳的效率水平*这最大化了他的DT评估。我们在存在独立背景风险的情况下分析这个问题。

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2022-6-2 17:53:27

例如，该背景风险可能是由于持有风险金融资产的风险或第三级风险，R=（C（3）- S） /砂R=（D（3）- S） /S，其中c（3）=[1，1/4；3，1/4；5，1/4；7，1/4]和D（3）=[2，1/4；2，1/4；4，1/4；8，1/4]。它们可以由初始彩票L（3）=[3/2，1/4；5/2，1/4；9/2，1/4；15/2，1/4]通过附件G（3）=[1/2，1/4；-1/2、1/4]和B（3）=[-1/2, 1/4 ; 1/2，1/4]，处于非重叠状态。为简单起见，在股价为8时，多头和空头多头的支付被数字设置为0。另见欧盟模式中Dittmar（2002）的分析。采用埃利希和贝克尔（1972）的术语。不确定的劳动收入。在这种具有背景风险的自我保护问题中，幸运的迹象起着至关重要的作用。因此，在欧盟的前提下≥ 0与一个储蓄决策有关（Kimball（1990）），我们证明了在DTH的先验有效性下≥ 0可能与自我保护问题有关。当一个独立的二进制背景风险取±ε，ε>0，每个概率为1/2时，自我保护问题可以用以下四态彩票S（e）表示：S（e）=[w- ` - ε - e、 p（e）/2；w- ` + ε - e、 p（e）/2；w- ε - e、（1）- p（e））/2；w+ε- e、（1）- p（e））/2]，假设2ε<`。如果2ε>`，则S的中间两个状态会发生变化。DT-DMsolves:arg-maxe{V[S（e）]}。（5.1）我们始终假设V在e中是凹的。如果2ε<`，最优性的一阶条件readsV[S（e）]de=（p（e）/2）h（p（e）/2）（（w- ` - ε - e）- （w）- ` + ε - e））+p（e）h（p（e））（（w- ` + ε - e）- （w）- ε - e））+（p（e）/2）h（（1+p（e））/2）（（w）- ε - e）- （w+ε- e）（）- 1 = 0.经过明显的简化，我们得到p（e）ε(-h（p（e）/2）+2h（p（e））- h（（1+p（e））/2））- p（e）h（p（e））`- 1 = 0. （5.2）我们注意到，在没有任何背景风险的情况下，即当ε=0时，一阶条件减少到- p（e）h（p（e））`- 1 = 0.

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2022-6-2 17:53:30

（5.3）现在首先假设，如Eeckhoudt和Gollier（2005）中对欧盟的描述-p（e）h（p（e））`-当p（e）=1/2时，1=0。这意味着，在没有背景风险的情况下，DT DM会以最佳方式选择一个福利水平e，以确保发生损失的概率为1/2。在此假设下，我们从（5.2）中发现，背景风险的影响与- 小时（1/4）+2小时（1/2）- h（3/4）=（h（1/2）- h（1/4））- （h（3/4）- h（1/2））。（5.4）如果his的符号为正，则（5.4）为负，并注意p（e）ε也是负的。因此，鉴于V相对于e的凹度，如果DT DM是双重谨慎的，则在该设置中引入背景风险会刺激自我保护。接下来，考虑情况2ε>`。在这种情况下，一阶条件isdV[S（e）]de=（p（e）/2）h（p（e）/2）（（w- ` - ε - e）- （w）- ε - e））+（p（e）/2）h（（1+p（e））/2）（（w）- ` + ε - e）- （w+ε- e）（）- 1=0，经过明显简化后，该值降低至- （1/2）p（e）`（h（p（e）/2）+h（（1+p（e））/2））- 1 = 0. （5.5）回想一下，在没有任何背景风险的情况下，一阶条件等于（5.3）。因此，注意到（5.5）的左侧和（5.3）的左侧之间的差异等于-（1/2）p（e）`（h（p（e）/2）- 2h（p（e））+h（（1+p（e））/2）），（5.6），并维持以下假设：-p（e）h（p（e））`- 1=0当p（e）=1/2时，我们发现背景风险的影响再次与（5.4）的符号相关联，而这又取决于h的符号。因此，在维持的假设下-p（e）h（p（e））`-当p（e）=1/2，h时，1=0≥ 0保证在引入独立背景风险后，自我保护的边际效益增加。

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2022-6-2 17:53:34

因此，在双重审慎下，背景风险会刺激自我保护。通过类似的分析，我们可以将结果扩展到更多可能的情况。如果-p（e）h（p（e））`- 当p（e）时，1=0≤ 1/2，我们发现双重轻率DM（即h≤ 0）与无背景风险相比，有背景风险的影响较小。如果-p（e）h（p（e））`- p（e）时1=0≥ 1/2，我们得到双重审慎DM（即h≥ 0）在有背景风险的情况下比没有背景风险的情况下发挥更大的作用。6双重风险分摊在本节中，我们全面概括地阐述了第3节所述的双重情况。在本节中，我们考虑n状态彩票，并假设所有状态的发生概率为1/n，n∈ N、我们允许当移动到相邻状态时，结果的增量等于零。这可以解释为具有不等状态概率的YieldLotts。这两种情况之间存在差异。当2ε<`时，与无背景风险的情况相比，hadds的凸性是一个取决于ε大小的边际收益；参见（5.2）。当2ε>`，与无背景风险的情况相比，hadds的凸性是一种边际效益，与ε无关，但取决于`的大小；参见（5.6）。有关更多详细信息，请参阅扩展在线版本。6.1第三阶：双重普鲁登斯我们首先提供一类简单的彩票对，使得这些彩票对之间的偏好方向相当于在DT下签署概率权重函数的三阶导数。考虑g（3）=[δ，1/n；-δ、 1/n]和B（3）=[-δ、 1/n；δ、 1/n]，带δ，δ≥ 首字母缩略词“G”和“B”表示“好”和“坏”。

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2022-6-2 17:53:38

在将G（3）和B（3）状态附加到至少有三种状态的任意给定初始彩票上时，如果状态相加是可行的，我们生成D（3）如果G（3）状态先于B（3），我们生成C（3）如果B（3）状态先于G（3）。连接好的G（3）会导致挤压，而连接坏的B（3）会导致反挤压。为了强调这些变换的一般性，我们注意到：（i）δ和δ可能不同；（二）下列国家的数目“……”在G（3）和B（3）中表示可能不同；（三）“……的国家数目”G（3）和B（3）中的表示可以等于零；（iv）当将G（3）和B（3）与B（3）连接到初始彩票时，一方面与B（3）和G（3）之间的间距（即状态数）可能不同；（v）该间距可能为负值，因此好与坏部分重叠，但对于D（3），G（3）严格先于B（3）至少一种状态，对于C（3），B（3）严格先于G（3）至少一种状态。只要结果等级不受挤压和反挤压的影响，并且彩票结果不为负，所有这些普遍性都是允许的。这些概括性部分归功于这样一个事实，即我们没有将改变后的彩票与它们产生的最初彩票进行比较。相反，我们比较两种改变后的彩票：一种是好的先于坏的，另一种是相反的。我们说，如果对于任何这样的彩票对（C（3），D（3）），个人更喜欢D（3）而不是C（3），那么他就是“双重谨慎的”。下面的定理表明，在DT内，这是由h的正号来保证的。与这些彩票偏好相对应的个人行为类型，以及我们下面发展的他们的高阶概括，可能被称为“双重风险分配”。

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2022-6-2 17:53:41

就像在原始风险分配下一样，彩票中的伤害支持减轻了对此类个人的不利影响。定理6.1如果C（3）和D（3）是通过上述变换生成的，则D（3）优先于（dispreferred）C（3），由任何带h的DT DM生成≥ 0（小时≤ 0).在本小节的其余部分中，我们考虑了lotterypairs C（3）和D（3）的一个节俭子类，该子类对于签名h而言已经足够了。Let n≥ 3，考虑C（3）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1，1/n；xj+2，1/n；xj+3，1/n；xj+4，1/n；…；1/n]。对于任何给定的n，需要显示粗体的三个状态(≥ 3），剩余状态被任意添加，直到状态概率总和为1。只要下面执行的挤压和反挤压不会改变结果的排名，当移动到相邻的更高状态C（3）时，结果的增量可以是任意的非负和状态依赖的。然后，我们（直接）从C（3）nb连接到boldC2D（3）n=[1/M，1/n]中的三个状态来构造D（3）nf；-2/M，1/n；1/M，1/n]。这就产生了D（3）ngiven byD（3）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1+1/M，1/n；xj+2- 2/M，1/n；xj+3+1/M，1/n；xj+4，1/n。，1/n]。显然，C（3）和D（3）noccur是C（3）和D（3）的一个子类。要了解这一点，请考虑初始彩票L（3）ngiven byL（3）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1+1/（2M），1/n；xj+2- 1/M，1/n；xj+3+1/（2M），1/n；xj+4，1/n。，1/n），并通过附加好（bad），G（3）（B（3）），生成D（3）n（C（3）n），G（3）=[1/（2M），1/n；-1/（2M），1/n]和B（3）=[-1/（2M），1/n；1/（2M），1/n]，到L（3）n的前两个加粗状态，并将坏（好），B（3）（G（3）），附加到L（3）n的最后两个加粗状态。

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2022-6-2 17:53:44

为了保持所需的状态数尽可能少，并增强节约性，为了满足签署h的目的，我们在重叠状态下挤压和反挤压，就像第3节一样。下面的定理表明，在DT中，对一类模式对D（3）和C（3）nsigns h的偏好：定理6.2如果，对于任何n≥ 3，a DT DM优先（dispreferred）D（3）to C（3）n，然后h≥ 0（小时≤ 0).6.2第四阶：双重温度接下来，我们提供了一类简单的彩票对，使得这些彩票对之间的偏好方向等效于在DT下签署概率权重函数的四阶导数。考虑g（4）=[δ，1/n；-δ、 1/n；-δ、 1/n；δ、 1/n]和B（4）=[-δ、 1/n；δ、 1/n；δ、 1/n；-δ、 1/n]，这是通过限制挤压和反挤压中的M来实现的，如下所述。带δ，δ≥ 将G（4）和B（4）附加到任意给定的初始彩票上，该彩票至少有四个状态，这样状态相加是可行的，我们生成D（4）ifG（4）状态优先于B（4），如果B（4）状态优先于G（4），我们生成C（4）。我们注意到，G（4）和B（4）都可以解释为大小相同但与G（3）和B（3）完全相反的简单串联。因此，我们通过三阶变换的简单迭代来定义四阶变换。为了强调这些变换的一般性，我们注意到：（i）δ和δ可能不同；（二）下列国家的数目“……”表示可能在G（4）和B（4）之间有所不同，但G（4）和B（4）都需要对称，即第一个和第三个“…”在G（4）中，表示相同的状态数，B（4）的状态数也类似（与G（4）和B（4）兼容，每个都是大小相同但正好相反的G（3）和B（3）的串联）；（iii）第一个和第三个国家的数量”。

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2022-6-2 17:53:47

.” 表示G（4）和B（4）是非负的，可以等于零，而中间（秒）的状态数“…”表示大于或等于-1；（iv）将G（4）和B（4）与B（4）和G（4）之间的间隔（即状态数）连接到初始彩票时，可能会有所不同；（v）该间距可能为负值，因此好的和坏的部分重叠，但对于D（4），G（4）严格先于B（4）至少一种状态，对于C（4），B（4）严格先于G（4）至少一种状态。只要结果排名不受影响，且彩票结果保持非负，所有这些概括性都是允许的。我们说一个人是“双重温和的”，如果对于任何这样的彩票对（C（4），D（4）），他更喜欢D（4）而不是C（4）。以下定理表明，在DT内，这是由h的负号保证的。定理6.3如果C（4）和D（4）是通过上述变换生成的，则D（4）优先于（dispreferred）C（4），由任何带h的DT DM生成≤ 0（小时≥ 0).如第6.1节所述，让我们在本小节的其余部分考虑彩票对C（4）和D（4）的简约子类，对于我们签署h来说已经足够了。让n≥ 4，考虑C（4）n=[x，1/n；…；xj，1/n；xj+1，1/n；xj+2，1/n；xj+3，1/n；xj+4，1/n；xj+5，1/n；…；1/n]。对于任何给定的n，需要显示粗体的四个状态(≥ 4），剩余状态被任意添加，直到状态概率总和为1。只要下面进行的转换不会改变结果的排名，当移动到相邻的更高状态C（4）时，结果的增量再次允许具有非负性和状态依赖性。如果状态数为“.”。

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