滞后（k）时U（D，γ）的自协方差- j） isQn，T（k- j） =E（U（D，γ）tj+（k-j） U（D，γ）tj）=H-2(γ-1） HH（2H- 1） e类-γ（tj+（k-j）-tj））×HγHB（（γ- 1） 小时+1，2小时- 1） +Zatj+（k-j）-tjHm2γH-1B（高/米；（γ- 1） H+1，2H- 1） dm公司B（·，·）表示β函数，B（·；·，·）表示不完全β函数，B（1；·，·）=B（·，·）。证据见附录A.推论3.1。用Cn，T（m）表示u（D，γ）在滞后m处的增量过程的自协方差。然后其自协方差函数的形式为：Cn，T（m）=2Qn，T（m）- [Qn，T（m- 1） +Qn，T（m+1）]（12）带0≤ m级≤ n- 1.证明。Cn，T（m）=EU（D，γ）tm+1U（D，γ）t= 呃U（D，γ）tm+1- U（D，γ）tmU（D，γ）t- U（D，γ）ti=EU（D，γ）tm+1U（D，γ）t+ EU（D，γ）tmU（D，γ）t- EU（D，γ）tmU（D，γ）t- EU（D，γ）tm+1U（D，γ）t= 2Qn，T（m）- [Qn，T（m- 1） +Qn，T（m+1）]备注3.3。我们分别给出命题（3.3）和推论（3.1）的两个例子。参数H=0.9的过程U（D，0.3）的自协方差函数，参见附录B图1；参数H=0.9的过程U（D，0.3）的自协方差函数，参见图2，附录B.3.2混合Fr作用高斯过程现在我们准备构造一系列连续过程X，它是高斯的，并且具有以下性质（i）Let∧={t，…，tn}，0=t<…<tn=t，是[0，t]和k∧k=max1的分区≤k≤n | tk- tk公司-1|. 然后二次变分过程hxit=limk∧k→0Pnk=0（Xtk+1- Xtk）=t.（ii）相应的g增量过程Ξtk=Xtk- Xtk公司-1具有与FARIMA相似的自协方差结构，即，它捕获短期和长期依赖关系。我们将这个过程构造为Xt=σWt+BHt+U（D，γ）twith H∈ （，1）和γ>0。我们假设这三个过程是相互独立的，分数高斯噪声b和s第二类U（D，γ）t的分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程可能有不同的Hurs-t参数。

然后，其增量过程定义为Ξtk=σWtk+ZHtk+U（D，γ）tK（13）注意，首先，分数高斯噪声zht和第二类递增分数Ornstein-Uhlenbeck过程U（D，γ）t可能有不同的赫斯特参数。然而，从统计角度来看。。。。分数阶高斯噪声过程ZHT捕捉长程依赖关系，其自协方差函数表现为渐近aFARIMA。然而，如果数据包含很强的短相关性，则无法捕获它们，参见图？？。为了建立短程关联模型，我们加入了第二类增量分馏-乌伦贝克过程。因此，我们得到了一个与FARIMA或分数指数过程具有相似自协方差结构的过程。在连续时间的许多应用中，例如在delta hedging问题中，我们需要使用It^o公式。然而，我们需要证明它的使用，因为fBm和FOU都有二次变化零。因此，增加一个增量布朗运动Bt，使得过程X具有一个连续的二次变化，hXit=σt。此外，布朗过程的增量是独立的，因此Zd的自变函数不会改变。然后，根据命题3.4，其递增过程Z的结构类似于FARIMA过程，见图？？和8。新过程Z比FARIMA过程更节省，从而减少了模型估计和预测中的错误。提案3.4。定义Ξ为混合分数高斯过程，即Ξtk=σBtk+ZHtk+U（D，γ）tkw，H>和γ>0，间隔[0，T]。然后计算方差asE（Ξtk）=EWtk+1- Wtk公司+ EBHtk+1- BHtk公司+ EU（D，γ）tk+1- U（D，γ）tk备注3.4。

由于Ξ是平稳的，其方差可以用第一个增量asE（Ξt）=σ（t）来表示- t） +（t- t） 2H+2Qn，T（0）- Qn，T（1）= σt+t2H+2EU（D，γ）t- 2E类U（D，γ）tU（D，γ）t.通过构造，我们可以将It^o公式应用到我们的新过程X中。我们根据[3]给出了向前积分的定义。定义3.2。让t≤ T和X:R+-→ R是一个连续的过程。沿区间[0，T]的等距π分划，过程Y相对于X的正积分，使得|πn|→ 0 isZtYsdXs：=limn→∞nXk=1Ytk（Xtk+1- Xtk）带tk∈ πn（14），当P-a.s极限退出时。如果X是具有连续二次变化hXit的连续过程，使得hXit=limk∧k→0Pnk=0（Xtk+1- Xtk）P-a.s那么根据定理3.5，我们得到了下面的It^o公式。设X：[0，∞) -→ Rbe具有连续二次变化hXit和f的连续函数∈ C1,2（[0，t]×R）一个二次微分实函数。对于任何t，则f（Xt，t）=f（X，0）+Ztfs（Xs，s）ds+Ztfx（Xs，s）dXs+Ztfxx（Xs，s）dhxis≥ 0、备注3.6。注意，integralRtfx（Xs，s）dXsis被理解为沿分区πn.4时间聚集的向前积分。我们很快就说明了时间聚集对FARIMA过程的影响。定义4.1。

设n=mT，m≥ 2和L为滞后运算符，然后序列t=m-1Xi=0Li！ymT（15）重新呈现了yn的m周期非重叠聚合。FARIMA（p，d，q）过程遵循方程式Φp（L）（1- 五十） dyn=Θq（L）εn（16）原始过程和聚合过程通过多项式连接。我们将方程（16）的两边乘以多项式Pyj=1(1 - δmLm）（1- δLm）1.- Bm1- Bd+1因此，聚合系列yt遵循一个FARIMA（p，d，N），其中N=p+d+1+q- p- d- 1米（17） 自协方差函数为γY（j）=m-1Xi=0Li！2d+1γy（mj+（d+1）（m- 1） ）（18）更多详情，请参阅[17、18、15]。相反，混合分数阶高斯噪声h作为方差和自方差，取决于长度间隔T和采样频率n asEΞkTn= σTn+田纳西州2H+康斯坦德ΞkTnΞjTn=田纳西州2小时|（k）- j） +1小时- 2 | k- j | 2H+|（k- j）- 1 | 2H+ Cn，T（k- j） 分别为H>。对于有限长度的聚集，聚集的自协方差结构将取决于混合分数高斯噪声的精确自协方差结构。5期权套期保值和预期缺口量化风险的需要在许多不同的情况下产生，并一直受到系统性风险恐惧的驱动，即单个金融机构的问题可能溢出的危险，在极端情况下，破坏整个金融系统的正常功能。从金融机构和监管当局的各级风险管理来看，从全球金融危机中吸取的教训现在备受关注。《偿付能力II》（Solvency II）和《巴塞尔协议III》（Basel III），这两个以风险为基础的保险监管改革，是针对银行资本充足率、杠杆率和流动性标准的全球监管框架，将在未来多年内从根本上改变金融业的重点。一个中心问题是风险的衡量。

在现有的方法中，巴塞尔协议III提到了提高交易账簿和复杂证券化风险的资本要求的风险价值（VaR），而Solvency II在定义目标资本时使用了预期短缺的相关概念。ES捕获了倾斜和厚尾的支付函数。VaR和ES的计算基本上包括确定损失分布函数FX（x）=P（x≤ x） ，或将此分布函数描述为其均值和方差的函数。为了实现这一点，需要建立一个操作校准模型，该模型能够捕捉金融投资组合价值动态的主要特征。在预测财务状况的风险度量（VaR，ES）时，比较了驱动fGn和FARIMA混合的s-Tocastic过程的效果。5.1风险度量的特征在本文中，我们关注巴塞尔协议III和偿付能力II框架中应用的那些度量。定义5.1。对于分布为P的财务头寸X，我们将其风险值定义为α级（V aRα）asV aRα（X）：=-qX（α）=inf{m | P（X≤ m）≥ α} （19）其中qX（α）是X的分位数函数。从从业者的角度来看，V aR是他在给定持有期或水平期内预期的最大损失，具有一定的置信度。然而，次可加性属性对于V aR通常不成立，soV aR不是一个一致的风险度量。对于次加性测量，多样性可以降低风险，而对于不符合此条件的测量，多样性可能会增加其价值；参见[1]。根据ARV定义的一致性度量的一个可能性是条件风险值或预期短缺。定义5.2。设X为特定时间范围和特定概率水平α上的财务状况∈ (0, 1). 例外差额为α=αZαV aRp（X）dp（20）备注5.1。

如果X的分布函数是连续的，则可以表示ESα=E（X | X≤ V aRα）。5.2套期保值和随机性消除可根据混合分数高斯过程对衍生产品基础资产的价格动态进行建模，因为dst=uStdt+σStdXt（21）。因此，期权价格的动态是F（St，t）的函数∈C1,2（[0，t]×R），并根据It^o的公式（22）F（St，t）=Ftdt公司+FSt（uStdt+σStdXt）+σStFStdt=σStFStdXt+uStFSt+σStFSt公司+Ft型dtLetξt表示一个期权组合的价值，其值为C（St，t）和-ηt价格为St的减持股票。ηt的负号表示我们持有标的资产的空头头寸。因此，时间t时的Portfolio值为ξt=Ct- ηtSt。我们可以写ξt=dCt- ηtdSt=σStCStdXt+uStCSt+σStCSt公司+Ct型dt公司- ηt（uStdt+σStdXt）=σStCSt公司- ηtdXt公司+uStCSt公司- ηt+σStCSt公司+Ct型其中，我们将方程式（22）和（21）分别替换为dC（St，t）和dst。现在，如果ηt=C（St，t）我们消除了定价的随机性，并且通过C（St，t）和STARE相关的事实，期权价格将改变bydCt=ηtdSt（23）相对于时间t的最终价格【20】。示例5.1。假设我们有一个有一个期权和一只股票的投资组合，其价值ξt=Ct+St。使用delta近似（23），其价值是Stalone的线性函数，当ξt=（ηt+1）时，任何变化都由Dξt=（ηt+1）Dst在任何t处给出。我们假设股票的收益分布为正态，ru，t~ N（uu，t，σu，t），其中uu，是根据方程式（26）计算的条件平均值，σu，是根据方程式（27）计算的条件方差。

因此，投资组合收益的分布也是正态分布，即Rp，t~ （ηt+1）Nuu，t，σu，t让我们用V aRαu表示基础资产的风险价值，其中αi是置信水平，那么V aRαu=uu，tSt-1+σu，tΦ-1（α）St-1（24）让我们用V aRαp表示投资组合的风险价值，其中α是概率，并回顾Var是投资组合损失分布的分位数。α=p（ξt- ξt-1.≤ V aRαp）=p（（ηt+1）（St- St公司-1) ≤ V aRαp）=p（（ηt+1）St-1（eru，t- 1) ≤ V aRαp）=p（（ηt+1）St-1（eru，t- 1) ≤ V aRαp）=pru，t- uu，tσu，t≤日志（ηt+1）V aRαpSt-1+ 1- uu，tσu，t使用收益Φ的正态性假设-1(α) =日志（ηt+1）V aRαpSt-1+ 1- uu，tσu，t对于小（ηt+1）V aRαpSt-1我们可以使用近似对数（1+x）≈ x、 因此，在置信水平α下，一个投资组合单位的风险价值为：V aRαp=（ηt+1）σu，tΦ-1（p）St-1+uu，t（ηt+1）St-1=（ηt+1）V aRαuIf我们假设基础股票对数价格由混合fgn过程（21）建模，然后在α水平上投资组合的预期短缺为αisESαp=-uu，t+ασu，tφ（（ηt+1）V aRαu）ξt-（25）现在，σu，t是赫斯特和伽马参数的函数，可以通过命题（3.4）来计算。注意，我们使用了混合f GN具有等于hBitso的连续二次变化的结果，我们能够使用伊藤公式来调整选项增量值的线性近似值。6回测研究我们检查混合模型是否能很好地替代Farima模型，以预测表现出短期-长期依赖性的金融数据的风险。6.1预测n+kWe时的条件均值和方差假设我们的r和dom变量是联合高斯的。我们表示Xn+kasbXn+k=Pni=1ai，kxin的最佳线性预测值，并使用均方误差（MSE）作为我们的标准，kXn+k-bXn+kkL=E（（Xn+k-bXn+k））。

假设过程是弱平稳的，让bxn+kdenote为xn+Kg的最小均方误差线性预测值，数据‘‘X’=（X，…，xn），平均u和自方差γl，其中l=0，n- 1、bxn+k=u+g′kΓ-1n（(R)x- u）（26），其中g′k=（γn+k-1.γk），根据总方差定律，预测的条件方差isVn+k=γ- g′kΓ-1ngk（27）我们使用DurbinLevinson算法计算均值和方差的预测因子【7】。6.2风险模型比较执行ce。最好通过监测未来模型的性能来评估预期短缺预测的准确性。然而，预计很少观察到违规行为，需要很长一段时间。Backtersting是一种用于比较riskmodel在过去一段时间内执行ces的过程。在我们的研究中，我们不关心模型参数的估计，而是比较它们的性能。因此，我们从FARIMA模型模拟数据。这有两个方面，第一，它允许我们控制数据的相关性，第二，使用FARIMA风险预测作为基准来评估混合模型的性能。我们假设模型参数是固定的，但伽马参数除外，伽马参数经过校准，因此混合模型的预测条件方差与FARIMA近似。我们假设数据是独立的。这是一个值得怀疑的假设，因为我们关注数据中的相关性，但我们可能会第一次得到模型验证的内部信息。未来需要通过更正式的违规比率测试进行研究，以得出更好的结论。我们根据方程（5）、（12）和d命题（2.1-4）计算自协方差函数。

然后，使用一般理论第（2.1-2）节评估预期短缺和风险价值。我们通过违约率和波动率分析结果。如果某一天的回报超过预测，那么我们将其视为航空损失。设是一个Bernou lli随机变量，概率为ES的风险水平，这里的w是违规数量，而是非违规数量，那么违规率为：ψ=E（）（28）。因此，下表中给出了数值结果。没有一个模型表现良好。。。模型比率比率波动率Farima 3.6 9.2e-06fGn 4.0 8.6e-06混合3.6 9.2-067附录A-FouAutoVariances的计算我们从命题（3.2）开始计算fOUkernel表示。回想一下，过程U（D，γ）在（11）asU（D，γ）t=e中定义-γtZt-∞e（γ-1） sdZas=H-(γ-1） 他-γtZats（γ-1） hdzsat:=a（t，H）：=Het/Handγ>0。变量的变化为ass=Hes/H。为了计算积分，我们开始定义常数C≡ H（2H- 1） 从那里-γ（t+s）Zt-∞Zs公司-∞H2（H-1） e（γ-1+小时）（u+v）欧盟/小时- 电动汽车/小时2(1-H） du dv=Ce-γ（t+s）Zt-∞Zs公司-∞e（γ-1） （u+v）eH（u+v）H欧盟/小时- 电动汽车/小时2（H-1） du dv=H-2(γ-1） HCe公司-γ（t+s）Zt-∞Zs公司-∞H2（γ-1） He（γ-1） （u+v）HHeuHevH×高浓缩铀/小时-Hev/H2（H-1） du dv=H-2(γ-1） HCe公司-γ（t+s）Zt-∞Zs公司-∞赫赫赫夫(γ-1） HeuHevH×高浓缩铀/小时-Hev/H2（H-1） 接下来，我们对变量m=Heu/Hand n=Hev/H进行更改。常数项现在是C=H-2(γ-1） HC。

因此，=Ce-γ（t+s）ZatZas（mn）（γ-1） H | m- n | 2（H-1） dm dn=Ce-γ（t+s）ZasZas（mn）（γ-1） H | m-n | 2（H-1） dm dn+ZatasZas（mn）（γ-1） H | m-n | 2（H-1） dm dn= 总工程师-γ（t+s）ZasZm（mn）（γ-1） H | m-n | 2（H-1） dm dn+ZatasZas（mn）（γ-1） H | m-n | 2（H-1） dm dn我们继续对变量θ=nm进行第二次更改，结果=Ce-γ（t+s）Zasm2γH-1Zθ（γ-1） H | 1- θ| 2（H-1） dθdm+Zatasm2γH-1Zas/mθ（γ-1） H | 1- θ| 2（H-1） dθdm！=总工程师-γ（t+s）2 B（（γ-1） H+1，2H-1） Zasm2γH-1dm+Zatasm2γH-1B（as/m；（γ-1） H+1，2H-1） d m最后，我们得到了期望的结果asE（U（D，γ）t，U（D，γ）s）=H-2(γ-1） HH（2H- 1） e类-γ（t+s）a2γHsγHB（（γ- 1） 小时+1，2小时- 1） +Zatasm2γH-1B（as/m；（γ- 1） H+1，2H- 1） dm公司8附录B-图0 20 40 60 80 1000.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0自协方差增量fBm+fou2lagaautocorrelationfou2fugnbothFigure 1：在参数H=0.9的fr作用高斯噪声的自协方差函数中，参数sγ=0.1和H=0.9的第二类U（D，γ）分数Orns-tein-Uhlenbeck过程的自协方差效应。LagAutocorrelationsShort dependences fou 2Long dependences fgn两者合计0 20 40 60 80 100-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0图2：固定伽马=0.1LagaAutoCorrelationH=0.6H=0.7H=0.8H=0.90 10 20 30时，第二类U（D，γ）t参数sγ=1.5 a和H=0.7的分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程在fr作用高斯噪声的自方差函数中的自方差效应，参数H=0.7.0 10 30 500.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ACF-0.5 0.0 0.5 1.0ACF在固定Hurst=0.7LagAutocorrelationG=0.1G=0.3G=0.5G=1.5图3：在左图中，第二类U（D，γ）tat差异H和固定γ=0.1的增量分形nalOrnstein-Uhlenbeck过程的自协方差函数。第二幅图显示了同一过程的自方差，在不同的gammas G下，固定Hurstparameter H=0.7。参考文献[1]Acerbi C.，Tasche D.（2001）《预期短缺：风险价值的自然一致替代品》。

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