具有中间极限的鲁棒期望效用最大化

2022-6-2 19:12:24

具有中间限制的鲁棒期望效用最大化*Patrick Cheridito+Michael Kupper2018年11月摘要本文研究了离散时间内随机禀赋下的鲁棒期望效用最大化问题。我们给出了最优策略存在的条件，并导出了最优效用的对偶表示。我们的方法基于单音凸泛函的一般表示结果、Choquet电容性定理和mediallimits的函数版本。新颖之处在于，它可以在非支配模型不确定性下工作，而不需要任何时间一致性假设。作为应用，我们讨论了具有动量约束、Wasserstein约束和Wasserstein惩罚的鲁棒效用最大化问题。关键词：鲁棒期望效用最大化、凸对偶、Choquet容量、中值极限、动量约束、Wasserstein距离。MSC 2010学科类别一：91B16、90C47、93E201简介我们考虑一个稳健的预期效用最大化问题，公式（X）=supθ∈ΘinfP∈P（EPuX+TXt=1θtSt！+α（P）），（1.1），其中X是随机禀赋，S，S，St可交易资产的价格演化，Θ可能交易策略集，u a随机效用函数，P a一组概率测度和α：P→ [0, ∞)惩罚函数。在特殊情况下α≡ 0，（1.1）减少toU（X）=supθ∈ΘinfP∈PEPuX+TXt=1θtSt！。（1.2）关于稳健效用最大化的大量文献假设P族占主导地位；参见例如[13、23、12、24、25、5、22、1]。在这种情况下，我们可以，就像在经典的预期效用中一样*德国康斯坦茨大学数学和统计系，邮编78464；奥地利维也纳大学数学系，邮编1090。

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2022-6-2 19:12:28

非常感谢澳大利亚科学基金（FWF）通过Y00782赠款提供的财政支持。+瑞士苏黎世苏黎世ETH数学系RiskLab，8092德国康斯坦茨大学数学与统计系，邮编78464。e、，全部P∈ P对于公共概率测度P是绝对连续的*框架P={P}，应用Komlós定理从近似最优策略序列构造最优策略。然后，可以使用最优策略的存在性来推导出U的对偶表示。非支配模型不确定性下问题（1.2）的不同离散时间版本已由[21，4，18，2]研究过。他们都做出了时间一致性假设，这使得他们能够使用动态规划参数在时间上逐步向后解决问题。[15，17]研究了形式为（1.2）的非连续时间非支配问题，其中P由鞅或Lévy过程定律的时间一致族组成。在本文中，我们研究了没有支配或时间一致性假设的问题（1.1）。因此，我们不能应用Komlós定理或动态规划参数。相反，我们使用凸对偶方法，这是Choquet电容性定理[9]和mediallimits的函数版本。就我们的目的而言，中间极限是一个正线性函数lim-med:l∞→ R满足LIM inf≤ lim med公司≤ 具有以下性质：对于任意一致有界的泛可测函数序列Xn:E→ R在可测空间（E，F）上，X=lim med Xnis universallymeasurable，EPX=lim med EPX对于F的泛完备上的每一个概率测度P。Mokobozki证明了在ZFC的常用公理和连续势下存在中间极限；见[16]。

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2022-6-2 19:12:31

后来，诺曼（Normann）[19]证明，假设ZFC和Martin的公理就足够了。在[20]中，利用中值极限证明了关于一般鞅测度集的最优拟sure超边策略的存在性。首先，我们仅从凸性和可积性假设出发，推导出下半连续随机禀赋X的U（X）的对偶表示。然后，我们证明了一个合适的无套利条件和一个中间极限的存在意味着问题（1.1）允许最优策略。在此基础上，我们可以将U（X）的对偶表示从下半连续推广到可测随机禀赋。作为样本空间，我们考虑一个非空子集Ohm 共（（0，∞) ×R）T+1包含欧几里德度量和相应的Borelσ-代数。我们假设有一个货币市场账户根据Mt（ω）=ωt发展，1和一个金融资产，其单位Mt的价格由St（ω）=ωt给出，2。X：Ohm → R是一个Borel可测映射，描述了以MT为单位的随机禀赋。通常，St表示增量St- St公司-1、假设P是Borel概率测度的非空集Ohm 和α：P→ R+：=[0，∞) 具有infP属性的映射∈Pα（P）=0。用（Ft）Tt=0表示由（Mt，St）Tt=0生成的过滤。集合Θ由所有策略（θt）Tt=1组成，对于每个t，θt：Ohm → R相对于通用完成F是可测量的*t型-1英尺-1和Borelσ-代数R.u：Ohm ×R→ R是一个随机效用函数，我们假设它满足以下条件：（U1）u（ω，x）对于每n，在x（U2）中是递增和凹的∈ N、 u：Ohm × [-n∞) → R是连续且有界（U3）limx→-∞supω∈Ohmu（ω，x）/| x |=-∞.如果集P在转移概率串联下是稳定的，则问题（1.2）是时间一致的。形式（1.1）问题的时间一致性条件如。

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2022-6-2 19:12:34

[7, 8].回想一下，通用补全F*σ-代数F定义为σ（F）的交集∪ NP）在F上的所有概率测度P上，其中NP表示P-null集的集合。说X:E→ R是普遍可测的，我们的意思是它相对于普遍完成F是可测的*关于F和R上的Borelσ-代数，这等价于说X相对于F是可测的*以及R上Borelσ-代数的普遍完备。在整篇文章中，我们理解了弱意义上的“增加”和“减少”。即满足度u（ω，x）≥ 所有x的u（ω，y）≥ y、注意，如果u不依赖于ω，（1.1）测量贴现终端财富x+PTt=1θt的效用另一方面，如果u的形式为u（ω，x）=u（ωTx），则函数为u:R→ R、然后（1.1）评估未贴现的终端财富MT（X+PTt=1θtSt）。我们假设存在一个连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 这样Z≥ 1.∨PTt=0 | St |和所有子级集{ω∈ Ohm : Z（ω）≤ z} ，z∈ R+，结构紧凑。设BZbe所有Borel可测函数X的s步：Ohm → 使得X/Z有界，lz所有下半连续X的集合∈ BZand-cz全连续X的空间∈ BZ。通过MZwe表示所有Borel概率测度P的集合Ohm满足EPZ<∞.

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nandehutu2022

2022-6-2 19:12:37

那么，所有P的EPX都已确定∈ MZand X公司∈ BZ。为了导出U的对偶表示，我们需要P和α满足以下两个条件：（A1）P是MZandα的凸集：P→ σ（MZ，CZ）-闭子级集的R+a凸映射Pc：={P∈ P：α（P）≤ c} ，c∈ R+（A2）存在一个递增函数β：[1，∞) → R使得limx→∞β（x）/x=∞ andinfP公司∈PnEPu(-β（Z））+α（P）o>- ∞ .由v表示u的凸共轭，由v（ω，y）：=supx给出∈R{u（ω，x）- xy}，（ω，y）∈ Ohm ×R+。如果u满足（U2），u（ω，0）在ω中有界，并且一个hasv（ω，y）=supx∈Q{u（ω，x）- xy}≥ u（ω，0）。特别是，v是一个Borel可测函数Ohm ×R+至(-∞ , ∞ ] 从下面开始的边界。索福q∈ R+和Borel概率测度Q onOhm, 可以定义αv（qQ）：=infP∈P{Dv（qQ k P）+α（P）}，其中Dv（qQ k P）是qQ和P之间的v-散度，给定byDv（qQ k P）：=EPv公司qdQ/dP如果qQ<< P∞ 否则设QZbe为所有概率测度P的集合∈ MZunder，其中（St）Tt=0是鞅和所有对（q，q）的^QZtheset∈ R+×MZ使q=0或q∈ QZ。我们的第一个对偶结果如下：定理1.1。假设（U1）–（U3）和（A1）–（A2）。ThenU（X）=min（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）o∈ R代表所有X∈ LZ。（1.3）为了能够导出最优策略的存在性并将对偶性（1.3）推广到Borel可测随机禀赋X，我们需要以下无套利条件：（NA）每个P∈ P由一个P′控制∈ 不允许套利，其中Borel概率测度POhm 如果存在策略，据说会承认套利∈ Θ因此P[PTt=1θtSt>0>0和P[PTt=1θtSt公司≥ 0] = 1.定理1.2。假设存在一个中间极限，则u full fills（U1）–（U3）和（NA）成立。然后，对于每个Borel可测函数X，获得了supremumin（1.1）：Ohm → R使得U（X）∈ R、此外，如果满足（A1）–（A2），则u（X）=inf（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）o∈ R代表所有X∈ BZ。

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2022-6-2 19:12:39

（1.4）在特殊情况下，其中α≡ 0且u的形式为u（x）=- 经验值(-λx）对于风险规避参数λ>0，如果考虑等效问题w（x）=supθ，则对偶表达式（1.4）简化，而不是（1.2）∈ΘinfP∈P-λlog EPexp-λX- λTXt=1θtSt！。推论1.3。假设存在一个中间极限，并且P是一个n，关于空σ（MZ，CZ）-满足（NA）的闭凸子集。如果存在递增函数β：[1，∞) → R使得limx→∞β（x）/x=∞andsupP∈PEPexp（β（Z））<∞,thenW（X）=infQ∈QZ公司方程x+λH（Q k P）∈ R代表所有X∈ BZ，其中H（Q k P）：=infP∈PH（Q k P）是相对熵（Q k P）的稳健版本：=（EQlog（dQ/dP）如果Q<< P∞ 否则在下文中，我们将讨论三个稳健效用最大化问题的例子，这些问题既不占主导地位，也不具有时间一致性，但在我们的框架中仍然有效。示例1.4。我们的第一个例子是由动量约束给出的一组概率度量P的形式（1.2）。考虑表单的示例空间Ohm = Ohm× · · · × OhmT、在哪里Ohm= {（a，s）}对于初始值a，s>0和Ohmt=[at，bt]×（0，∞) f或常数0<at≤ bt，t=1，T注意z（ω）=PTt=0ωt，2∨ （ωt，2）-1定义连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 对于紧凑的子级设置，显然，（NA）弱于没有P∈ P承认套利。另一方面，它意味着[6]的鲁棒无套利条件NA（P），该条件已在[21，4，18，2]中用于推导最优策略的存在性。实际上，假设（NA）成立，并且存在这样一种策略，即P[PTt=1θtSt公司≥ 0]=1表示所有P∈ P、然后每个P∈ P由一个P′控制∈ P不允许套利。因此，P[PTt=1θtSt>0]=P′[PTt=1θtSt>0]=0，表明NA（P）h变老。{Z≤ z} ，z∈ R+，使Z≥ 1.∨PTt=0 | St |。对于所有t=1，T和i=1，一、设ci<0和Di，Cit，Dit>0为常数，使m inici<-1和maxidi>1。

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2022-6-2 19:12:42

假设所有钻孔概率的集合POhm 满足力矩约束集≤ Citand EP[Sdit]≤ 同上，对于所有t=1，T和i=1，一、为非空。然后对α进行全填充（A1）≡ 0.此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，且存在一个常数q<max1≤我≤I | ci |∧ 最大值1≤我≤I | di |使得u（ω，x）/（1+| x | q）有界，那么（A2）保持α≡ 最后，如果sci<cIt和sdi<Ditforall t=1，T和i=1，一、然后P也满足（NA）。附录A.1中给出了证明。示例1.5。作为第二个例子，我们考虑一个形式为（1.2）的问题，其概率测度集P在参考测度的给定Wasserstein距离内。让示例空间Ohm与示例1.4中的形式相同，并考虑metricd（ω，ω′）：=TXt=1e-ρκt（|ωt，1- ω′t，1 |κ+|Д（ωt，2）- Д（ω′t，2）|κ）！1/κ, ω, ω′∈ Ohm,式中ρ≥ 0和κ≥ 1是常数，函数Д：（0，∞) → R由ν（x）：=（x）给出- 1如果x>1日志（x）如果x≤ 1、表示ω*= （（a，s），（a，1），（aT，1））∈ Ohm. 那么，Z（ω）=s+T+eρTT1-1/κd（ω，ω*) 是连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 具有紧子级集{Z≤ z} ，z∈ R+，使Z≥ 1.∨PTt=0 | St |。选择一个参考度量值P*∈ MZ满足EP*Zp<∞ 对于给定的指数p>1。固定一个常数η>0，并考虑ballP：={P∈ MZ：Wp（P，P*) ≤ η} P左右*关于p-Wasserstein距离Wp，由Wp（p，p*) := infπZOhm×Ohmd（ω，ω′）pdπ（ω，ω′）1/p，其中对所有钻孔概率测量π取最小值Ohm × Ohm 带边线P和P*.然后，α的P满足度（A1）≡ 0以及（NA）。此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，存在一个常数q<p，使得u（ω，x）/（1+| x | q）有界，那么（A2）也适用于α≡ 0

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2022-6-2 19:12:46

附录A.2证明了这一点。或者，可以考虑满足形式EP[（MtSt）ci]力矩条件的Borel概率测度集P≤ Citand EP[（MtSt）di]≤ 同上，t=1，T和i=1，一、其中，mt描述了货币市场账户的演变。然后，假设P为非空，（A1）仍然满足，并且（A2）在相同条件下适用于u。对于（NA）的有效条件是存在常数et∈ 【at，bt】使得（ets）ci<Citand（ets）di<dit对于所有t=1，T和i=1，一、示例1.6。作为我们的最后一个例子，我们考虑一个形式为（1.1）且带有Wasserstein惩罚的问题。让示例空间Ohm 与示例1.4和1.5中的形式相同。如示例1.5所示，修复一个组件p>1和letZ、d、Wpbe。对于给定常数η>0和参考测量值P*∈ MZsatisfyingEP*Zp<∞, 定义α（P）：=ηWp（P，P*)pand P：={P∈ MZ：α（P）<∞}. 然后（A1）和（NA）保持不变。此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，存在一个常数q<p，使得u（x）/（1+| x | q）有界，然后（A2）也被填满。附录A中提供了证明。3、其余部分的组织如下。在第2节中，我们首先建立了Choquet电容性定理的函数版本。然后，我们得到了不同实值函数集上增加凸函数的对偶表示结果。这些结果适用于具有完全正规拓扑的一般样本空间，并且不需要存在中间极限。在第3节中，我们首先证明定理1.1。然后，在证明定理1.2和推论1.3之前，我们导出了中值极限的一些基本性质。

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2022-6-2 19:12:49

在附录中，我们展示了条件（A1）、（A2）和（NA）在Choquet电容性定理的三个示例1.4、1.5和1.6.2函数版本和增加凸函数的对偶表示中的适用性。在本节中，我们首先通过在论文结尾处计算aremark，推导出Choquet电容性定理的函数版本【9】。然后，我们建立了可测函数空间上定义的增加凸函数的对偶表示结果。用扩展实线表示[-∞, ∞]. 对于给定的非空集E，考虑两个嵌套子集H G结果H是一个非空格，G包含G中递增序列的所有上确界以及G中任意序列的所有上确界。H-Suslin格式是一个映射σ：Sn∈NNn公司→ H和H-Suslin函数a元素X∈f或mx=supγ∈NNinfn公司∈Nσ（γ，…，γN），其中σ是H-Suslin格式。我们用S（H）表示所有H-Suslin函数集，用Hδ表示所有H中的序列。如果φ：G→R是一个递增映射，我们将其扩展到REby setting^φ（X）：=inf{φ（Y）：X≤ Y、 Y型∈ G} ，X∈重新连接约定inf := +∞.下面是[9]中定理1的函数形式：命题2.1。Letφ：G→R是具有以下两个性质的递增映射：（C1）limnφ（Xn）=φ（limnXn）对于H（C2）中的每个递减序列（Xn）limnφ（Xn）=φ（limnXn）对于G中的每个递增序列（Xn）。特别是，对于可度量样本空间，如果Xn+1，我们称G中的序列（Xn）为递增序列（Xn）≥ 对于所有n，如果Xn+1，则减小≤ 对于所有n，即φ（X）≥ φ（Y）表示所有X，Y∈ G使得X≥ YThen，^φ（X）=sup{φ（Y）：Y≤ 十、 Y型∈ 所有X的Hδ}∈ S（H）。证据表示F=E×R，设A是形式sx的F子集的集合∈E{x}×Ax，其中每个x，Ax=[-∞, ax）或ax=[-∞, ax]对于某些ax∈R、那么A在交集和并集下是稳定的。对于∈ A、定义XA:E→R乘以XA（x）：=ax。

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2022-6-2 19:12:52

然后对于任何子集族（Aα） A、一个有XTαAα=infαXAα和XSαAα=supαXAα。特别地，Hδ：={A∈ A：XA∈ Hδ}是稳定的有限并集和可数交集。很明显，设置函数|φ：2F→R、由φ（B）给出：=infφ（XA）：B A、 A∈ A} ，在Hδ中增加并满足极限|φ（Bn）=|φ（TnBn）f或减少序列（Bn）。此外，如果（Bn）是F的子集的递增序列，使得limnφ（Bn）<+∞, 存在一个∈ A和Yn∈ G使Bn 安，XAn≤ Ynandφ（Yn）≤φ（Bn）+1/n（或φ（Yn）≤ -n，若|φ（Bn）=- ∞ ). 序列An=Tm≥nAmand▄Yn=infm≥nYmare在增加，一个hasSnBn A：=序号▄An∈ A和XA≤ Y：=supn▄Yn∈ G、 So▄φ（SnBn）≤^φ（XA）≤ φ（Y）=limnφ（~Yn）≤ limnφ（Bn）。这表明根据[9]，φ是（F，Hδ）上的抽象容量。对于形式为X=supγ的H-Suslin函数∈NNinfn公司∈Nσ（γ，…，γN），定义σ：Sn∈NNn公司→ Hδ乘以￠σ（·）：=Sx∈E{x}×[-∞, σ（·）（x）]。ThenA=[γ∈NN\\n∈N∧σ（γ，…，γN）是由满足XA=X的Hδ生成的Suslin集。因此，从[9]的定理1中可以得到：^φ（X）=φ（a）=sup{φ（B）：B A、 B类∈ Hδ}=sup{φ（Y）：Y≤ 十、 Y型∈ Hδ}。下面，设E为完全正规拓扑空间，V:E→ R+\\{0}是一个连续函数。用BV表示所有Borel可测函数X:E的集合→ 使得X/V分别由BV中的所有连续函数和上半连续函数组成的子集cv和uv包围。如果（Xn）是E上实值函数的递增（递减）序列，该序列向点收敛到E上的实值函数X，我们写Xn↑ X（Xn↓ 十）。让ca+Vbe表示满足hV，ui<+∞. 对于定义在包含CV的BV子集上的实值映射φ，我们定义φ*CV（u）：=supX∈CV{hX，ui- φ（X）}，u∈ 钙+钒。

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2022-6-2 19:12:55

（2.1）那么以下条件成立：即|φ（B）≥§φ（C）适用于所有B、C∈ 2使B C即Bn+1 Bn对于所有n，Bn+1 bn特别是对于所有度量空间，这覆盖了所有度量空间。定理2.2。如果φ：CV→ R是满足（R1）φ（Xn）的增凸泛函↓ φ（0）对于CVN中的每个序列（Xn），使得Xn↓ 0，则φ（X）=最大u∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）对于每个X∈ CV，（2.2）和所有子级集{u∈ 钙+钒：φ*CV（u）≤ c} ，c∈ R、是σ（ca+V，CV）-紧的。此外，每增加一个凸泛函φ：UV→ 性质为（R2）φ（Xn）的R w↓ φ（X）对于CVN中的每个序列（Xn），使得Xn↓ X代表某些X∈ UV的表示形式为φ（X）=maxu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）, 十、∈ UV，（2.3）和每增凸泛函φ：BV→ 满足（R2）和（R3）φ（Xn）↑ BV中每个序列（Xn）的φ（X），使得Xn↑ X代表某些X∈ BV，可写为φ（X）=supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）, 十、∈ 英属维尔京群岛。（2.4）证明。首先，设φ：CV→ R是满足（R1）的增凸函数。从φ的定义可以清楚地看出*固定X的CVthat∈ CV，φ（X）≥ hX，ui- φ*所有u的CV（u）∈ ca+V.（2.5）此外，根据Hahn–Banach扩张定理，存在一个正线性泛函ψ：CV→ R使得ψ（Y）≤ φ（X+Y）- φ（X）表示所有Y∈ 个人简历现在，考虑CVN中的函数序列（Xn），这样Xn↓ 0。那么，一个具有所有λ∈ （0，1），φ（X+Xn）≤ λφXλ+ (1 - λ)φXn1型- λ. （2.6）自7年起→ φ（yX）是从R到R的凸函数，它是连续的。因此，对于λ接近1，λφ（X/λ）接近φ（X）。通过（R1），一个具有（1- λ） φ（Xn/（1- λ)) ↓ (1 - λ)φ(0). 由此得出φ（X+Xn）↓ φ（X），因此，ψ（Xn）↓ 0表示n→ +∞.

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2022-6-2 19:12:58

由于在完全正规空间上，Borelσ-代数与所有连续实值函数生成的σ-代数相一致（见[26]），从Daniell–Stone定理中可以得出存在u∈ ca+v使ψ（Y）=hY，所有Y的ui∈ 个人简历因此，hX+Y，ui- φ（X+Y）≤ hX，ui- φ（X）表示所有Y∈ 个人简历特别是φ*CV（u）=hX，ui- φ（X），与（2.5）一起证明（2.2）。接下来，我们证明了子级集∧c：={u∈ 钙+钒：φ*CV（u）≤ c} ，c∈ R、是σ（ca+V，CV）-紧的。请注意，配备有规范kXkV的cv：=supx | X（X）/V（X）|是一个Banachspace。我们扩展φ*CVC至正锥体C*,+Vin拓扑对偶C*Vof CVusing定义（2.1）。然后设置∧∧c：={u∈ C*,+五： φ*CV（u）≤ c} isσ（c*五、 CV）-关闭。此外，s inceφ是实值，递增凸函数ν：R+→ (-∞, ∞], 由Д（y）给出：=supx∈R+{xy- φ（xV）}，满意→+∞^1（y）/y=∞. 因此，右连续逆ν-1： R→ R+具有propertylimx→+∞φ-1（x）/x=0。自φ起*CV（u）≥ su px∈R+{hxV，ui- φ（xV）}=Д（hV，ui），一个为u∈∧c，kukC*V=hV，ui≤ φ-1(φ*CV（u））≤ φ-1（c）<∞.因此，从Banach–Alaoglu定理得出∧aisσ（C*五、 CV）-紧凑型。现在，cho ose a∈ C*,+Vwithφ*CV（u）<∞ 设（Xn）是cv中的一个序列，使得Xn↓ 那么，对于每个y>0的常数，φ*CV（u）≥ hyXn，ui- φ（yXn），因此，hXn，ui≤φ（yXn）y+φ*CV（u）y.By（R1），一个得到hXn，ui↓ 0，根据Daniell–Stone定理，u在ca+V中。这表明φ*CV（u）=∞ 对于所有u∈ C*,+尤其是∧cis等于∧cand，因此σ（ca+V，CV）-紧。现在，假设φ：UV→ R是一个性质为（R2）的增凸函数。

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2022-6-2 19:13:01

为了证明二元表示（2.2）从cv扩展到UV，我们使用了在完全正规空间上，每个上半连续函数都是连续函数递减序列的逐点极限（见[26]）。结果很简单，每X∈ UV可以写为CV中递减序列（Xn）的逐点极限。根据（R2）和φ的定义*CVthatφ（X）=limnφ（Xn）≥ limnhXn，ui- φ*CV（u）≥ hX，ui- φ*所有u的CV（u）∈ ca+V.（2.7），另一方面，从（2.2）中得出φ（X）≤ φ（Xn）=m axu∈钙+钒hXn，ui- φ*CV（u）对于每n.SincehXn，ui- φ*CV（u）≤ hX，ui- φ*CV（u）≤ kXkVkukC*五、- φ*CV（u）≤ kXkVД-1(φ*CV（u））- φ*CV（u），这意味着存在c级∈ R使得φ（Xn）=最大u∈∧chXn，ui- φ*CV（u）对于所有n.请注意，hXn，ui- φ*n中的CV（u）和σ（ca+V，CV）都在下降-上部s连续性和凹陷性u。因此，根据极大极小结果，[10]的定理2，以及单调收敛定理，φ（X）=infnφ（Xn）=in fnmaxu∈∧ahXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈∧ainfnhXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈∧ahX，ui- φ*CV（u）,与（2.7）一起证明（2.3）。定理2.2的最后一部分来自命题2.1。的确，如果φ：BV→ R是一个满足（R 2）–（R3）的递增凸泛函，我们定义一个常数R>0，并设G为x的集合∈ BV满足| X |≤ r | V |。那么，φ，G和H=CV∩ G满足命题2.1的假设。M或以上，Hδ=UV∩ G

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2022-6-2 19:13:04

因此，根据命题2.1和（2.3），φ（X）=supY≤十、 Y型∈紫外线∩Gφ（Y）=supY≤十、 Y型∈紫外线∩Gmaxu∈钙+钒hY，ui- φ*CV（u）对于所有X∈ G∩ S（H）。自固定u起∈ ca+V，映射X 7→ hX，ui以及G和H也满足命题2.1的假设，其中φ（X）=supu∈ca+VsupY≤十、 Y型∈紫外线∩GhY，ui- φ*CV（u）= supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）对于所有X∈ G∩ S（H）。如果我们能证明G S（H），表示法（2.4）适用于所有X∈ 因为BVR是任意的。证明G S（H），我们注意到函数X∈ G可以写成asX=supqqV 1{X≥qV}- rV 1{X<qV},其中上确界接管所有有理数q in[-r、 r]。由于在完全正规空间中，开集可以表示为闭集的可数并（见[26]），因此从[3]中的属性7.35和推论7.35.1可以得出，由闭集生成的Suslin集包含Borelσ代数。因此，{X≥ qV}的形式为γ∈NNTn公司∈在E的闭子集中有值的Suslin格式∑的N∑（γ，…，γN）。映射σ：=qV 1∑- rV 1σctakes Hδ中的值，因此，qV 1{X≥qV}- rV 1{X<qV}=supγ∈NNinfn公司∈Nσ（γ，…，γN）属于S（Hδ）=S（H）。此外，S（H）在取可数上确界下是稳定的。因此，X∈ S（H），证明是完整的。下面的结果给出了（R2）的对偶条件，这将有助于下面定理1.1的证明。提案2.3。一个增凸泛函φ：UV→ R的性质（R1）满足（R2）i且仅当φ*CV（u）=φ*UV（u）：=supX∈UV{hX，ui- φ（X）}对于所有u∈ ca+V.（2.8）证明。首先，假设φsaties（R2）。对于给定的X∈ UZ，在cv中存在一个序列（Xn），使得Xn↓ X（见【26】）。

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2022-6-2 19:13:07

根据单调收敛定理和（R2），一个hashXn，ui- φ（Xn）→ hX，ui- φ（X）。这表明φ*CV（u）=φ*UV（u）f或所有u∈ 现在，假设φsaties（R1）与（2.8）一起，并假设（Xn）是cv中的一个序列，使得Xn↓十、∈ 紫外线。从φ的定义开始*UVand（2.8）φ（X）≥ supu∈钙+钒hX，ui- φ*紫外线（u）= supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）.另一方面，从定理2.2证明中的论点可以看出，存在一个σ（ca+V，CV）-紧凸子集∧，ca+V的φ（Xn）=maxu∈∧（hXn，ui- φ*CV（u））。极大极小结果的应用，定理2（10），以及单调收敛定理，给出了fnmaxu中的最小φ（Xn）=∈ΛhXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈∧infnhXn，ui- φ*CV（u）= 最大u∈ΛhX，ui- φ*CV（u）.特别是φ（Xn）↓ φ（X）。备注2.4。假设E是一个Polish空间，由所有Suslin函数X:E的集合SV表示→ r由cv生成，使得X/V有界。那么sv等于所有上半解析函数的集合x:E→ 使得X/V是有界的（见[3]的第7.41条），并且每个上半解析函数对于E上的Borelσ-代数的泛完备是可测的（见[3]的推论7.42.1）。由于E上的每个Borel测度都对Borelσ-代数的普遍完备有唯一的扩展，因此对于所有X，都很好地定义了hX，ui∈ SVandu∈ ca+V.如果φ：SV→ R是满足（R2）和φ（Xn）的递增凸函数↑ 对于SV中的每个序列（Xn），φ（X）使得Xn↑ X代表someX∈ SV，它与定理2.2的证明完全一样，φ（X）=supu∈钙+钒hX，ui- φ*CV（u）对于所有X∈ SV。3主要结果的证明3.1定理1.1的证明对于定理1.1的证明，我们需要以下引理：引理3.1。如果u等于（U2）–（U3），则为sup（ω，y）∈Ohm×[0，n]| v（ω，y）|<∞ 对于每n∈ N、证明。修复n∈ N、通过（U3），存在常数x≤ 0 s uch，supωu（ω，x）≤ （n+1）x表示所有x≤ x。

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2022-6-2 19:13:10

另一方面，根据f rom（U2），c：=supωsupx≥x | u（ω，x）|∈ R、现在，让x∈ 兰特y∈ [0，n]。Thenu（ω，x）- xy型≤ （n+1）x- xn公司≤ 如果x，则为0≤ xu（ω，x）- xy型≤ c- xn如果x≥ x、这表明v（ω，y）=supx∈R（u（ω，x）- xy）≤ c- xn。另一方面，v（ω，y）≥ u（ω，0）≥ -c、证明是完整的。引理3.2。如果u s aties（U1）–（U2），则存在常量c∈ R这样的QEQY-≤ qEQX+- EPu（X+Y）+EPvqdQdP+ C对于所有Borel可测函数X，Y：Ohm → R、每季度∈ R+和每对Borel概率测度P和Q onOhm 这样qdQ<< 数据处理证据由于u满足（U1）–（U2），c：=sup（ω，x）∈Ohm×R+{u（ω，x）- u（ω，0）}是有限的，满足pu（X+Y）≤ EPu-（X+Y）-+ c、此外，根据v的定义，（X+Y）-qdQdP≤ - u-（X+Y）-+ vqdQdP.因此，qEQY-≤ qEQX++qEQ（X+Y）-≤ qEQX+- EPu-（X+Y）-+ EPv公司qdQdP≤ qEQX+- EPu（X+Y）+EPvqdQdP+ c、引理3.3。如果u s aties（U1）–（U3），则functionalD（X）：=inf（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）osatis fies U（X）≤ D（X）<∞ 对于所有X∈ BZ。证据根据引理3.1，一个有D（X）≤ Dαv（0）=infP∈PEPv（0）+α（P）< ∞ 对于所有X∈ BZ。现在，考虑P∈ P、 X个∈ BZandθ∈ Θ使EPuX+PTt=1θtSt公司> - ∞ . v thatEPuX+TXt=1θt的定义立即生效圣！≤ EPv（0）。此外，对于q∈ (0, ∞) 和Q∈ QZ点击那个qQ<< P和EQv（qdQ/dP）<∞, 从引理3.2中可以得出，存在一个常数c∈ R使得qeqText=1θt圣！-≤ qEQX+- EPuX+TXt=1θtSt！+EPv公司qdQdP+ c<∞.因此，从[14]中的定理1和2可以看出Pts=1θns不锈钢Tt=0是一个Q-鞅，因此，EQPTt=1θtSt=0。

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nandehutu2022

2022-6-2 19:13:15

根据v的定义，一个hasuX+TXt=1θt圣！≤X+TXt=1θt圣！qdQdP+vqdQdP.因此，EPuX+TXt=1θt圣！≤ qEQ“X+TXt=1θtSt#+EPvqdQdP= qEQX+EPvqdQdP.现在，首先取inEPuX+TXt=1θtSt！+α（P）≤ qEQX+EPvqdQdP+ α（P）在所有P上∈ P和（q，q）∈^QZsuch that qQ<< P，然后是全域上的上确界θ∈ Θ，yieldsU（X）≤ D（X）。引理3.4。如果u s aties（U1）–（U2），则dv（qQ k P）=supX∈CZnEPu（X）- QEQXO适用于所有q∈ R+和P，Q∈ MZ。证据首先，注意如果q∈ R+和P，Q∈ 这样qQ对于P不是绝对连续的，存在一个Borel集a Ohm 这样qQ[A]>0，P[A]=0。因为Q是一个正则度量，所以存在一个闭集K A使得qQ[K]>0且P[K]=0。每m∈ N、存在一系列有界连续函数Xn：Ohm → R使Xn↓ m1K。根据单调收敛定理，EPU(-Xn）+qEQXn→ EPu(-m1K）+qEQ[m1K]=EPu（0）+qmQ[K]，因此，supX∈CZnEPu（X）- qEQXo=∞ = Dv（qQ k P）。接下来，假设qQ相对于P是绝对连续的。然后，EPu（X）- qEQX=EPu（X）- qdQdPX≤ EPv公司qdQdP对于所有X∈ 捷克。另一方面，存在一系列简单随机变量（Yn）uch thatEPu（Yn）- qdQdPYn→ EPv公司qdQdP,由此可知，CZEP中存在一个序列（Xn），因此u（Xn）- qdQdPXn→ EPv公司qdQdP= Dv（qQ k P）。这就完成了引理的证明。引理3.5。假设（U1）–（U3）和（A2）保持不变。然后，对于每个常数m∈ R+，存在c∈ R+使INFP∈PnEPu（X）+α（P）o=infP∈所有Borel可测函数X的PcnEPu（X）+α（P）：Ohm → R满足X≥ -mZ。证据修复m∈ R+。由（U2）–（U3）和（A2）可知，Д（x）：=infP∈PnxEPu(-mZ）+α（P）OI定义，适用于所有x∈ R+。那么，函数ψ：R→ (∞, ∞], 由ψ（y）给出：=supx≥0{xy+Д（x）}，正在增加并满足极限→∞ψ（y）/y→ ∞.

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何人来此

2022-6-2 19:13:18

因此，右连续逆ψ-1（y）：=inf{x∈ R：ψ（x）>y}具有limy性质→∞ψ-1（y）/y=0。自α（P）≥ ^1（x）- xEPu公司(-mZ）适用于所有x∈ R+，一个有α（P）≥ ψ(-EPu(-mZ），因此，EPu(-mZ）≥ -ψ-1（α（P））。通过（U1），一个具有所有X≥ -mZ，infP∈PnEPu（X）+α（P）o≤ EPu(∞) < ∞andEPu（X）+α（P）≥ EPu(-mZ）+α（P）≥ -ψ-1（α（P））+α（P）。自limc以来→∞c- ψ-1（c）=∞, 这表明存在一个c∈ R使INFP∈PnEPu（X）+α（P）o=infP∈PcnEPu（X）+或所有X的α（P）≥ -mZ。接下来，请注意，如果u满足（U2），则对于每个连续函数γ：[1，∞) → R、 Zγ：=1∨ (-u型(-γ（Z）））定义了Ohm 至[1，∞).引理3.6。假设（U2）–（U3）和（A1）–（A2）保持不变。然后，存在一个连续递增函数γ：[0，∞) → R使得limx→∞γ（x）/x=∞, 对于所有c∈ R+，Pcis aσ（MZγ，CZγ）-紧子集MZγ。证据通过（A2），存在一个递增函数β：[1，∞) → R使得limx→∞β（x）/x=∞ andinfP公司∈PEPu(-β（Z））+α（P）> - ∞ . 所以我们可以构造一个连续增函数γ：[1，∞) →R使得limx→∞γ（x）/x=limx→∞β（x）/γ（x）=∞. 从（U3）可以看出，存在一个z∈ R如u所示(-γ（Z））≤ -Z在{Z>Z}上。这表明CZ CZγ和MZγ MZ。givenc自∈ R+，一个搭扣∈PcEPu(-β（Z））+c≥ infP公司∈PcnEPu(-β（Z））+α（P）o>- ∞ ,一个获得Slimz→∞支持∈PcEP[Zγ{Z>Z}]=0。此外，从（U2）可以看出，Zγ在集合{Z）上有界≤ z} 。因此，Pc包含在MZγ中，并且由于（A1）是σ（MZ，CZ）-闭合的，所以它也是σ（MZγ，CZγ）-闭合的。请注意，第7页→ ZγdP transformsPcinto a subsetPcof the finite Borel measures M onOhm. 因为集合{Z≤ z} 是紧致的，它来自Prokhorov定理▄Pcisσ（M，Cb）-紧致，其中Cb都是有界连续函数Ohm. 但这相当于Pcbeingσ（MZγ，CZγ）-紧。接下来，让我们用Θ表示所有策略的集合θ∈ Θ使得θ对于所有t=1是连续且有界的。

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2022-6-2 19:13:22

，T，和定义U（X）：=supθ∈ΘinfP∈P（EPuX+TXt=1θtSt！+α（P）），X∈ BZ，以及▄U*CZ（qQ）：=supX∈CZn▄U（X）- qEQXo，用于q∈ R+和Q∈ MZ。那么下面的公式成立：引理3.7。如果（U1）–（U3）和（A1）–（A2）保持不变，则▄U是从BZto r到满足▄U（Xn）的递增凹映射↑对于CZ中的每个序列（Xn），U（X）使得Xn↑ X代表某些X∈ LZ（3.1）和▄U*CZ（qQ）=（Dαv（qQ），如果q=0或q∈ QZ公司∞ 如果q>0和q∈ MZ\\QZ。（3.2）证明。直接检查▄U是从BZto R增加的凹映射。为了显示（3.2），我们注意到对于给定的q∈ R+和Q∈ MZ，~U*CZ（qQ）=supX∈CZsupθ∈ΘinfP∈P（EPuX+TXt=1θtSt！+α（P）- qEQX）=supX∈CZsupθ∈ΘinfP∈P（EPu（X）+α（P）- qEQX+qEQTXt=1θtSt）。因为EQPTt=1θtSt=0表示所有θ∈~UΘ当且仅当S是Q-鞅时，有~U*CZ（qQ）=∞ 对于Q>0和Q∈ MZ\\QZ。另一方面，如果q=0或q∈ QZ，然后▄U*CZ（qQ）=supX∈CZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo。因此，从引理3.4中可以看出，U*CZ（qQ）≤ infP公司∈PsupX公司∈CZnEPu（X）+α（P）- qEQXo=infP∈P{Dv（qQ-kp）+α（P）}。（3.3）引理3.6中，存在一个连续递增函数γ：[1，∞) → R使得limx→∞γ（x）/x=∞, 对于所有c∈ R+，pC是MZγ的σ（MZγ，CZγ）-紧子集。对于给定常数m∈ R+，表示Cmz：={X∈ CZ:X≥ -mZ}和Dmv（qQ k P）：=supX∈CmZnEPu（X）- qEQXo。根据引理3.5，存在a∈ R+这样SUPX∈CmZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo=supX∈CmZinfP公司∈PanEPu（X）+α（P）- qEQXo。因此，由于EPu（X）+α（P）- qEQX在X中是凹的∈ CmZas以及P中的凸和σ（MZγ，CZγ）-下连续∈ Pc，它遵循极大极小结果，定理2（10），thatsupX∈CmZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo=infP∈帕苏普克斯∈CmZnEPu（X）+α（P）- qEQXo公司≥ infP公司∈P{Dmv（qQ-k-P）+α（P）}。现在，请注意-∞ < infω∈Ohmu（ω，0）≤ Dmv（qQ k P）≤ sup（ω，x）∈Ohm×R+u（ω，x）+qmEQZ<∞ 对于所有P∈ P、此外，Dmv（qQ-k-P）+α（P）在m中增加∈ P中的R~+以及凸和σ（MZγ，CZγ）-下半连续∈ P

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2022-6-2 19:13:25

如果存在一个b∈ R+这样的SUPM∈R+infP∈P{Dmv（qQ k P）+α（P）}=supm∈R+infP∈Pb{Dmv（qQ k P）+α（P）}，（3.4）定理2在[10]yieldssupm中的另一个应用∈R+infP∈P{Dmv（qQ k P）+α（P）}=infP∈Pbsupm公司∈R+{Dmv（qQ k P）+α（P）}≥ infP公司∈P{Dv（qQ-kp）+α（P）}。另一方面，如果（3.4）不适用于任何b∈ R+，在R+中存在一个序列（bn），使得bn→ ∞ 和SUPM∈R+infP∈P{Dmv（qQ k P）+α（P）}≥ 画→∞infω∈Ohmu（ω，0）+bn= ∞.这表明▄U*CZ（qQ）=supm∈R+supX∈CmZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo公司≥ infP公司∈P{Dv（qQ k P）+α（P）}，与（3.3）一起表示（3.2）。接下来，考虑CZN中的一个序列（Xn），这样Xn↑ X代表某些X∈ 捷克。自X起∈ CZ，一个hasX≥ - mZ代表一些m∈ R+。根据引理3.5，存在一个c∈ R+使INFP∈PnEPu（Xn）+α（P）o=infP∈PcnEPu（Xn）+α（P）of or all n.再次利用[10]的定理2，我们得到了supninfp∈PnEPu（Xn）+α（P）o=infP∈PcsupnnEPu（Xn）+α（P）o≥ infP公司∈PnEPu（X）+α（P）o，通过单调性，给出了ssupninfp∈PnEPu（Xn）+α（P）o=infP∈PnEPu（X）+α（P）o.（3.5）自，对于给定策略θ∈Θ，PTt=1θtS属于CZ，我们从（3.5）中得到∈PEPuXn+TXt=1θtSt！=infP公司∈PEPuX+TXt=1θtSt！，其中，由于▄U（X）=supθ∈ΘinfP∈佩普X+PTt=1θtSt公司, 意味着X的▄U满意度（3.1）∈ 捷克。尤其是φ（X）=-U(-十）是从BZto R到满足定理2.2条件（R1）的增凸映射。此外，φ*CZ（qQ）=U*CZ（qQ）≤ φ*UZ（qQ）=~U*LZ（qQ）：=supX∈LZinfP公司∈PnEPu（X）+α（P）- qEQXo公司≤ infP公司∈P{Dv（qQ k P）+α（P）}=~U*CZ（qQ）代表所有人（q，q）∈^QZ。

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nandehutu2022

2022-6-2 19:13:28

因此，从命题2.3可以看出，φ满足定理2.2的条件（R2），也就是说，U满足（3.1）。现在，我们准备证明定理1.1。定理1.1的证明从引理3.7和定理2.2得出▄U（X）=min（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）或所有X∈ LZ。因为，引理3.3，~U（X）≤ U（X）≤ inf（q，q）∈^qznqqx+Dαv（qQ）或所有X∈ LZ，这证明了定理。3.2中值极限为了证明定理1.2和推论1.3，我们需要中值极限的概念，为了我们的目的，中值极限是一个正线性泛函，lim-med:l∞→ R、满足lim inf≤ lim med公司≤ lim sup使得对于任何一致有界序列Xn:M→ 可测空间（M，F）上的泛可测函数的R，X=lim mednXnis泛可测，EPX=lim mednexn关于泛完备F上的每个概率测度P*Mokobozki最初表明，在通常的ZFC公理和连续统假设下，中间限制性性别歧视；见【16】。后来，诺曼（Normann）[19]证明，假设ZFC和Martin的公理就足够了。如果存在中间极限，我们将其扩展到nbysettinglim mednxn：=supk∈Ninfm公司∈Nlim medn公司(-m）∨ （xn∧ k）。（3.6）引理3.8。假设存在中间限制。然后保持以下条件：（i）满足RN的lim medn | xn |<∞ 是一个线性的s步。（ii）lim med：L→ R是一个正线性函数。（iii）Д（lim mednxn）≤ 每个凸函数的lim m ednД（xn）：R→ R和（xn）∈ 五十、（iv）lim mednXnis对于每个通用可测函数序列Xn通用可测：Ohm →R、（v）EPlim mednXn≤ F上每个概率测度P的lim MEDNEPX*以及每个通用可测函数序列Xn：Ohm → R使Xn≥ c表示所有n和常数c∈ R、证明。（i）和（ii）是（3.6）的简单结果。

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能者818

2022-6-2 19:13:33

为了表示（iii），我们注意到，根据芬切尔-莫雷奥克斯多雷姆公式，可以将Д（x）=supy写成∈Rxy公司- φ*（y）对于凸共轭Д*共Д。此外，由于lim inf≤ lim med公司≤ lim sup，对于常数序列xn，有lim medn（xn）=c≡ c、因此，sincelim med在L上是线性的，一个得到了ν（lim m ednxn）=supy∈Rlim mednxny公司- φ*（y）≤ lim m edn公司苏比∈Rxny公司- φ*（y）= lim m ednД（xn）。（iv）从（3.6）中得出，因为对于任何一致有界的普遍可测函数序列Xn，lim mednXnis普遍可测：Ohm → R、（v）：每k∈ N、 EPlim medn（Xn∧ k） =lim mednEP（Xn∧ k）≤ lim Mednexn，因此，根据（3.6）和单调收敛定理，EPlim mednXn≤ lim m ednEPXn。3.3定理1.2和推论1.3引理3.9的证明。假设存在一个中间极限，u满填充（U1）–（U3）和P满（NA）。让Xn：Ohm → R bea波雷尔可测函数序列逐点递减为波雷尔可测函数X：Ohm → R设定U（X）∈ R、然后U（Xn）减小到U（X），存在策略θ*∈ Θ使得u（X）=在fP中∈P（EPuX+TXt=1θ*t型St！+α（P））。证据由于U从上方有界，因此每个n都存在aθn∈ Θ使INFP∈P（EPuXn+TXt=1θntSt！+α（P））≥ U（Xn）-n、表示A±t：={ω∈ Ohm : lim medn（θnt（ω））±=∞} 和定义*t（ω）：=（lim mednθnt（ω）如果ω/∈ A+t∪ A.-t0否则。我们想展示Phlim mednSt |<∞对于所有t=1，…，i=1，T和P∈ P、（3.7）为此，我们注意到，通过（N A），每个P∈ P由一个P′控制∈ P不允许套利。根据资产定价的基本定理，存在一个与P′等价的鞅测度Q，如EQX+<∞ dQ/dP′是有界的。如果我们能证明Lim mednSt |<∞ Q-几乎可以肯定（3.8）对于所有t=1，T，（3.7）如下，因为Q支配P。为了证明（3.8），我们设置θn=0，并使用归纳参数。

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2022-6-2 19:13:37

修复t≥ 1，并假设（3.8）适用于所有s≤ t型- 1、自EP′uXn+TXt=1θntSt！+α（P′）≥ U（Xn）≥ U（X）∈ R、从引理3.1和3.2中可以得出，存在t常数c，c′∈ R，使EQTXt=1θnt圣！-≤ EQX+- EP′uXn+TXt=1θntSt！+EP′vqdQdP′+ c≤ EQX++α（P′）- U（X）+EP′vqdQdP′+ 对于所有n，c=c′。因此，从[14]中的定理1和2可以看出，pts=1θnsSsis是一个Q-鞅。因此Pts=1θns不锈钢-是Q-次鞅，因此，EQtXs=1θnsSs！-≤ 均衡器TXs=1θnsSs！-≤ c′。要了解这一点，请注意，d▄P/dP′=（1/1+X+）/EP′（1/1+X+）定义了一个与P′等效的度量值▄P，以便E▄PX+<∞.~P仍然不允许套利。因此，存在一个鞅测度Q，其界密度为dQ/dP；参见【11】中的定理5.17。Q等于P′，因此EQX+<∞ dQ/dP′是有界的。现在，我们从引理3.8的第（v）部分得到lim mednPts=1θns不锈钢-几乎可以肯定是Q-fine。但自（n）（圣）-≤t型-1Xs=1nsSs++tXs=1θnsSs！-,我们从归纳假设中得出lim medn（θnt）±(St）几乎可以肯定是Q-fine。自lim medn（θnt）起+(St）-=∞ A+t上∩ {St<0}，一个有Q[A+t∩ {St<0}]=0。根据鞅性质，这意味着q[A+t∩ {St6=0}]=0。相同的参数应用于-tgives Q[答-t型∩ {St6=0}]=0。接下来就是lim mednSt |<∞ Q-几乎可以肯定，这意味着（3.7）。因此，lim mednPTt=1θntSt=PTt=1θ*t型StP几乎可以肯定所有P∈ P、由于u是递增的，凹的，并且从上面有界，引理3.8的（iii）和（v）的应用-u givesU（X）≥ infP公司∈P（EPuX+TXt=1θ*t型St！+α（P））≥ infP公司∈P（EPlim mednuXn+TXt=1θntSt！+α（P））≥ infP公司∈P（lim mednEPuXn+TXt=1θntSt！+α（P））≥ lim medninfP∈P（EPuXn+TXt=1θntSt！+α（P））=在fnU（Xn）中。通过单调性，U（Xn）↓ U（X）和U（X）=infP∈PnEPuX+PTt=1θ*t型St公司+ α（P）o.定理1.2的证明假设存在一个中间极限，u满足（U1）–（U3）和P满（NA）。

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能者818

2022-6-2 19:13:40

然后，应用Lemma3.9（Xn=X）得出（1.1）中的上确界对于每个Borel可测函数X：Ohm → R满足U（X）∈ R.如果另外，（A1）-（A2）成立，我们从定理1.1的证明中知道φ（X）=-U型(-十）是从BZto R到满足定理2.2和φ的条件（R2）的增凸映射*CZ（qQ）=U*CZ（qQ）=如果q=0或q，则Dv（qQ，P）∈ QZ公司∞ 如果q>0和q∈ MZ\\QZ。此外，通过引理3.9，φful fills（R 3）。因此，根据定理2.2，u（X）=- φ(-十） =inf（q，q）∈R+×MZnqEQX+U*CZ（qQ）o=inf（q，q）∈^qznqqx+U*或所有X的CZ（qQ）∈ BZ。推论1.3的证明注：W（X）=-λ对数(-U（X））forU（X）=supθ∈ΘinfP∈PEPuX+TXt=1θt圣！和u（x）=- 经验值(-λx）。（3.9）很明显，u满足（U1）–（U3），并且在推论的假设下，P和平凡函数α≡ 0满填充（A1）–（A2）。因此，从定理1.2可以看出，（3.9）中的上确界是针对所有X的∈ BZ。特别是U（X）∈ (-∞, 0），因此，W（X）∈ R代表所有X∈ BZ。此外，v（y）=supx∈R{u（x）- xy}=yλ逻辑λ- 1.,从中可以看出∈PDv（qQ k P）=qλH（q k P）+qλlogqλ- 1..根据定理1.2，W（X）=-λ对数(-U（X））=-λ对数- inf（q，q）∈^QZqEQX+infP∈PDv（qQ k P）= -λ对数- infq公司∈R+qinfQ公司∈QZ（EQX+λH（Q k P））+qλlogqλ- 1..求解最小q得到W（X）=infQ∈QZ公司方程x+λH（Q k P）.附录A。1示例1.4的性质很明显，P是MZ的凸集。证明α满足（A1）≡ 0，足以证明它是σ（MZ，CZ）-闭合的。为此，设（Pn）是P中的一个序列，在σ（MZ，CZ）中收敛到一个Borelprobability测度P∧ m] =limnEPn[Scit∧ 米]≤ Citand EP[Sdit∧ m] =limnEPn【Sdit∧ 米]≤ 同上，对于所有t=1，T，i=1。

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2022-6-2 19:13:44

，我和m∈ N、然后是单调收敛≤ Citand EP[Sdit]≤ 同上，对于所有t和i。因此，P是σ（MZ，CZ）-闭合的。此外，如果u：Ohm ×R→ R是一个满足（U1）–（U3）的随机效用函数，存在一个常数q<p：=max1≤我≤I | ci |∧ 最大值1≤我≤I | di |使得u（ω，x）/（1+| x | q）有界，那么（A2）保持α≡ 0和β（x）=xp/q。现在，让我们假设sci<cIt和sdi<同上，对于所有t和i。为了表明P满足度（NA），我们假设t=2，对于t=1，2，t=bt=1表示符号简单。然后Ohm 可以用（0，∞) × (0, ∞). 一般情况来自类似的论点。选择P∈ P和分解itas P=P K、其中，Pis是第一个边际分布（对应于S的分布），K是转移概率核（对应于S的条件分布）。预测ε∈ （0，1），用Pε和Kε表示，由Pε给出的测度和核：=δ（1-ε） s+δ（1+ε）砂Kεx：=δ（1-ε） x+δ（1+ε）x。然后，测量值ε：=（εP+（1- ε） Pε）（εK+（1- ε） Kε）支配P，不允许套利。对于某些ε>0的情况，仍需证明Pε属于P。首先，请注意，对于m=cior di，EPεSm=εEPSm+（1- ε)(1 - ε） m+（1+ε）msm→ smasε→ 这表明，只要ε>0足够小，Pε下的力矩条件就满足。此外，对于m=cior di，一个hasEPεSm=εEPSm+ε（1- ε） EP公司KεSm+ε（1- ε） EPεKSm+（1- ε） EPεKεSm。（A.1）术语EPεKεSmconverges to smforε→ 因此，如果我们可以证明（A.1）中的其他期望值以ε为界，那么可以得出ε>0的力矩约束足够小。由于P属于P，因此预测EPSmis独立于ε和有限。第二个期望值满足PKεSm=EP（1- ε） mSm+EP（1+ε）mSm→ EPSm≤ Ciforε→ 最后，请注意，可以在P-zero集合上更改K，但仍然有P=PK

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2022-6-2 19:13:48

因此，可以假设K（1±εn）s=δsfo，对于一个收敛到0的正数序列（εn）。然后EPεnKSm=sm。因此，对于εnclose，Pεnhold的破裂力矩条件也足以为0，表明P full fills（NA）。A、 2例1.5的性质显然，W（·，P*)p、因此p也是凸的。此外，通过Kantorovich对偶（参见[27]中的定理5.10），一个hasWp（P，P*)p=supf∈Cb公司(Ohm) , g级∈Cb公司(Ohm) , f+g≤数据处理EPf+EP*g级,从中很容易看出P是σ（MZ，PZ）-闭合的。这表明（A1）适用于α≡ 接下来，注意Z（ω）=s+T+eρTT1-1/κd（ω，ω*) 定义连续函数Z：Ohm → [1, ∞) 具有紧子级集{Z≤ z} ，z∈ R+，使得z（ω）≥ s+T+TXt=1 |Д（ωT，2）- φ(ω*t、 2）|≥ 1.∨s+TXt=1ωt，2！=1.∨TXt=0 | St |。因为存在一个常数c∈ R+，使得Z（ω）p≤ c（1+d）（ω，ω*)p），WPS满足三角形线质量（参见第6章，共27章）和EPd（·，ω）*)p=Wp（p，Δω*)p、一个hasEPZp≤ c（1+Wp（P，Δω*)p）≤ 2p级-1c（1+Wp（P，P*)p+Wp（p*, δω*)p）≤ 2p级-1c（1+Wp（P，P*)p+EP*Zp）适用于所有P∈ MZ。特别地，如果u（ω，x）/（1+| x | q）有界于常数q<p，则(-β（Z））≥ -c（1+Wp（P，P*)p）对于β（x）=xp/q，一个新常数c∈ R+和所有P∈ P、表明（A2）适用于α≡ 为了证明P满意度（NA），我们再次假设T=2，对于T=1，2，at=bt=1。一般情况类似。选择P∈ P，并将其分解为P=P K、类似地，写入P*= P* K*,定义λ∈ （0，1），Pλ：=λδ（1-λ） s+δ（1+λ）s+（1- λ） P*Kλx：=λδ（1-λ） x+δ（1+λ）x+（1- λ） K级*x、那么测量值Pλ：=Pλ Kλ不允许套利。此外，存在λ∈ （0，1）如EPλd（·，ω*)p<∞ 和Wp（Pλ，P*) ≤ η/2. 现在，选择一个测度Pe等价于扩展一个转移概率核K，这样对于所有x>0，Kxis等价于kx和三个期望值sePKd（·，ω）*)p、 EpKλd（·，ω）*)pand EPλKd（·，ω）*)帕累尼特。

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2022-6-2 19:13:51

对于每个ε∈ （0，1），测量值ε，λ：=（εИP+（1- ε） Pλ）（εИK+（1- ε） Kλ）不允许套利，P<<PK<< Pε，λ。自Wp（·，P*)pis凸，Wp（Pε，λ，P*)由εWp（~P）控制的PIK，P*)p+ε（1- ε） Wp（▄P Kλ，P*)p+（1- ε） εWp（PλK，P*)p+（1- ε） Wp（Pλ，P*)p、由于EP*d（·ω）*)p<∞, 从三角形不等式中可以得到wp（≈PK，P*) ≤ Wp（▄PK，Δω*) + Wp（Δω*, P*) =EPKd（·，ω）*)p1/p+EP公司*d（·，ω）*))p1/p<∞,类似地，Wp（￠P Kλ，P*) < ∞ 以及Wp（PλK，P*) < ∞. 这表明Wp（Pε，λ，P*) ≤ η表示ε>0足够小，证明P满足（na）。A、 3例1.6的性质很容易看出P和α是凸的。此外，它遵循附录A.2中所有子级集Pc、c的参数∈ R+，是σ（MZ，CZ）-闭合的，对于每个c>0，则为pSaties（NA）。So（A1）保持并填充（NA）。最后，如果u（ω，x）/（1+| x | q）有界于常数q<p，则得到附录a.2中的结果(-β（Z））≥ -c1+W（p+q）/2（p，p*)（p+q）/2≥ -c1+Wp（P，P*)（p+q）/2（A.2）对于β（x）=x（p+q）/2q，常数c∈ R+和所有P∈ P、这表明INFP∈PnEPu(-β（Z））+ηWp（P，P*)采购订单>- ∞ ,和（A2）保持不变。参考文献【1】J.Backho Off和J.Fontbona（2016年）。无模型紧性的鲁棒效用最大化。西亚姆杰。鳍数学7(1), 70–103.[2] D.Bartl（2018年）。无界禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。即将在Ann发布。应用程序。问题。[3] D.P.Bertsekas和S.E.Shreve（1978年）。随机最优控制：离散时间情况。纽约学术出版社。[4] R.Blanchard和L.Carassus（2018年）。无界函数的离散时间鲁棒最优投资。安。应用程序。概率。28(3), 1856-1892.[5] G.Bordigoni、A.Matoussi和M.Schweizer（2007年）。鲁棒效用最大化问题的随机控制方法。在随机分析和应用中，Abel Sympos ium 2，125–151。[6] B.Bouchard，M。Nutz（2015）。

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2022-6-2 19:13:54

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